2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷(详解版)
2020届中考复习辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试题(有配套答案)
辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．12．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条B．2条C．3条D．6条3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣64．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．46．化简﹣的结果是（）A．B．C．D．7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾二、填空题11．分解因式：y3﹣y= ．12．解不等式组的整数解是．13．正五边形每个内角的度数为．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m= p=（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为间，客房日租金的总收入是．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为，点C的坐标为，AC的长为；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为，点H 抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．1【考点】18：有理数大小比较．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜0，＞0，0.5＞0，1＞0，∴各数中比0小的是﹣2．故选：A．2．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条B．2条C．3条D．6条【考点】P3：轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故选C．3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣6【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：把0.0000382用科学记数法表示为3.82×10﹣5，故选：B．4．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°【考点】IL：余角和补角．【分析】根据互补两角之和为180°，求解即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣∠1=140°．故选：C．5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．4【考点】W4：中位数．【分析】按大小顺序排列这组数据，中间两个数的平均数是中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，3，3，4，4，5，位置处于中间的数是：3，4，所以组数据的中位数是（3+4）÷2=3.5．故选B．6．化简﹣的结果是（）A．B．C．D．【考点】6B：分式的加减法．【分析】原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+=，故选D7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，∴红球所占的比例为100%﹣15%﹣45%=40%，设盒子中共有红球x个，则×100%=40%，解得：x=80．故选：B．8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数和常数项的符号确定二次函数的草图，从而确定其经过的象限即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣3x2﹣2中a=﹣3＜0，b=﹣2＜0，∴草图为：∴二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选D．9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，得出规律，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；∴第⑨个图形中共有三角形的总数为4×9﹣3=33；故选：A．10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾【考点】AA：根的判别式．【分析】讨论：即k=1，方程化为一元一次方程，有一个解；当k﹣1≠0时，根据判别式的意义得到△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综合两种情况可得到k的范围．【解答】解：当k﹣1=0时，即k=1，方程化为2x=0，解得x=0；当k﹣1≠0时，△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综上所述，k的范围为k≥．故选D．二、填空题11．分解因式：y3﹣y= y（y+1）（y﹣1）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行二次分解即可．【解答】解：y3﹣y=y（y2﹣1）=y（y+1）（y﹣1），故答案为：y（y+1）（y﹣1）．12．解不等式组的整数解是﹣1，0，1 ．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤﹣2，得：x≤1，解不等式1+2x＞x﹣1，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．13．正五边形每个内角的度数为108°．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°=540°，540°÷5=108°；方法二：360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为 1 ．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出D点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故答案为：1．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．【考点】E6：函数的图象．【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=kx+b，乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=mx+n，将（0，0）、（2，30）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=15x；将（0，100）、（1，80）代入y=mx+n中，，解得：，∴y=﹣20x+100．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴当甲乙两人相遇时，乙距离A地千米．故答案为：．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是25，40，．【考点】LB：矩形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论求解即可．【解答】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN==25．②如图2中，当DM=DN时，易知M与B重合，此时BC=CN=20，BN=40，③如图3中，当MN=MD时，易证BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（20﹣x）2+152，∴x=，故答案为25，40，．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣4a+4﹣a2﹣2a+3=﹣6a+7，当a==4时，原式=﹣24+7=﹣17．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）根据概率公式分别计算两人获胜的概率，即可做出判断．【解答】解：（1）画树状图如下：抽出数字为“2”的卡片的概率是=；（2）不公平，由树状图可知，x、y符号相同的有4种结果，x、y符号不同的结果有8种，∴小红获胜的概率为=，小颖获胜的概率为=，由于≠，∴此游戏对双方不公平．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【考点】LC：矩形的判定；KH：等腰三角形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m= 20 p= 15（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40 ；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表；W5：众数．【分析】（1）根据统计图中数据可以求得m的值，进而求得p的值；（2）根据（1）中m的值，可以求得N的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据（2）中条形统计图可以得到这组数据的众数；（4）根据统计图中数据可以估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【解答】解：（1）由题意可得，m=4÷20%=20，p%=，故答案为：20，15；（2）N=20×35%=7，补全的条形统计图，如右图所示；（3）由（2）中的统计图可知，被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40，故答案为：40；（4）由题意可得，该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数是：320×=48，即该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的有48人．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠OCB=∠CBA，求得∠ECA=∠OCB，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由（1）证得△OCE是直角三角形，根据三角函数的定义得到OC=3，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=CD，∴=，∴∠ABC=∠CBD，∵∠ECA=∠CBD，∴∠ECA=∠CBA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA，∴∠ECA=∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的直径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：由（1）证得△OCE是直角三角形，∵∠E=30°，EC=3，tanE=，即=，∴OC=3，∵∠EOC=90°﹣∠E=90°﹣30°=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形AOC=3×3﹣=﹣．五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为80 间，客房日租金的总收入是16000 ．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）当x=40时，可知客房少出租5×=20间，可得客房出租80间，根据“总收入=（每间客房原租金+提高的祖金）×（客房间数﹣因价格提高而减少的间数）”列式计算可得；（2）①由“每天至少能出租20间客房”依据“客房间数﹣因价格提高而减少的间数≥20”列不等式求解可得；②设客房的日租金的总收入为y元，根据（1）中所列相等关系列出函数解析式，配方成顶点式即可得出函数最值情况，从而得出答案．【解答】解：（1）当x=40时，则客房出租100﹣5×=80间，∴客房日租金的总收入是×80=16000（元），故答案为：80，16000；（2）①若每间客房日租金提高x元，则客房少出租5×=，根据题意，得：100﹣≥20，解得：x≤160，∴0≤x≤160，且x是10的整数倍；②设客房的日租金的总收入为y元，则y==﹣x2+20x+16000=﹣（x﹣20）2+16200，∵0≤x≤160，且x是10的整数倍，∴当x=20时，此时每件客房的日租金为180元，答：旅馆将每间客房的日租金提高20元时，客房日租金的总收入最高．六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是（，0）．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，列方程组即可得到一次函数的解析式，再求出点M的坐标，即可得到反比例函数的解析式；（2）①平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6；②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．求出线段DM的中垂线的解析式即可解决问题．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，得到，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．如图1中，过点M作ME⊥y轴于E，=•OB•ME=×2ME=3，∵S△MOB∴ME=3，∵点M在直线AB上，当x=﹣3时，y=﹣2x﹣2=4，∴M（﹣3，4），把点M（﹣3，4）代入y=中，可得m=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）①如图2中，平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6，∴直线CD的解析式为y=﹣2x+6．②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．∵M（﹣3，4），D（0，6），∴直线DM的解析式为y=x+6，∴线段DM的中垂线的解析式为y=﹣x+，令y=0，得到x=，∴P（，0）．∴当p（，0）时，△PDM是等腰三角形．故答案为（，0）．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是4．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为或．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分可得结论；②点C到直线AB的距离就是求CG的长，利用60度的三角函数计算即可；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，作辅助线，构建两平行线的距离CG和PH，利用△PDF∽△NCF，计算PF==，CF=×6=，由勾股定理得：FH的长，最后求出AP的长；②当P在BA的延长线上时，如图4，同理可得AP的长．【解答】证明：（1）①∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵四边形DPCE是平行四边形，∴DF=CF=CD，∴DF=AB；②如图1，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在Rt△CBG中，∵∠B=60°，BC=4，∴sin∠B=，即，∴CG=2，∴点C到直线AB的距离是2；③当PE⊥DC，且垂足F为DC的中点时，如图2，此时PE的长最小，∴PE=2PF=2CG=4，故答案为：4；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，过C作CG⊥AB于G，过P作PH⊥CD于H，由（1）得：PH=CG=2，BG=2，∵四边形PCNM是平行四边形，∴PM∥CN，PM=CN，∴△PDF∽△NCF，∴=，∵DM=2PD，∴PM=3PD，∴CN=3PD，∴=，∵PN=10，CD=6，∴PF+FN=10，CF+DF=6，∴PF==，CF=×6=，在Rt△PFH中，由勾股定理得：FH==，∴CH=CF﹣FH=﹣，∴PG=CH=﹣，∴AP=AB﹣BG﹣PG=6﹣2﹣+=；②当P在BA的延长线上时，如图4，过F作FH⊥AB于H，过C作CG⊥AB于G，同理可知：FH=CG=2，BG=2，GH=CF=，PF=，由勾股定理得：PH=，∴AP=BG+GH+PH﹣AB=2++﹣6=；综上所述，AP的长为或．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），AC的长为3；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为（，﹣），点H 不在抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①令x=0和y=0可求得B、A与C的坐标，利用勾股定理求AC的长；②如图1，作辅助线，构建直角△ABD，利用面积法求BD=2，利用勾股定理求AB的长，根据三角函数的定义可得结论；（2）①利用勾股定理列方程求出H的坐标，横坐标是，在抛物线的坐标轴上，如果不是，则不在；②如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△APE≌△AC'F和△PAB′≌△C'AB'，得∠AB'P=∠AB'C'，再证明△AMN∽△AC'B'，则=，证P、E、M、A四点共圆，得∠AMP=∠AEP=90°，所以△AMP是等腰直角三角形，则MN=B′C′，根据已知可得出结论．【解答】解：（1）①当x=0时，y=6，∴A（0，6），∴OA=6，当y=0时，﹣x2+x+6=0，（x+2）（x﹣3）=0，x=﹣2或3，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣2，0），C（3，0），∴OC=3，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC===3；故答案为：（﹣2，0），（3，0），3；②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，=BC•AO=AC•BD，∵S△ABC即×5×6=××BD，∴BD=2，在Rt△AOB中，AB==2，∴sin∠BAC===；（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，由折叠得：AE=AO=AF=6，∠E=∠AOB=90°，∠F=∠AOC=90°，∠EAB=∠BAO，∠OAC=∠CAF，∴∠EAF=2∠BAO+2∠OAC=2（∠BAO+∠OAC）=2∠BAC，由（1）知：sin∠BAC=，且∠BAC为锐角，∴∠BAC=45°，∴∠EAF=∠E=∠F=90°，∴四边形AEHF是正方形，∴EH=FH=6，设H（x，y），则OG=x，∴BG=2+x，CG=3﹣x，∵EB=OB=2，FC=OC=3，∴BH=6﹣2=4，CH=6﹣3=3，由勾股定理得：42﹣（2+x）2=32﹣（3﹣x）2，x=，∴GH==，∴H（，﹣）；∴点H不在抛物线对称轴上；故答案为：（，﹣）；不在；②如图3，延长B'E至P，使PE=C'F，连接AP，∵AE=AF，∠AEP=∠AFH=90°，∴△APE≌△AC'F，∴AP=AC'，∠PAE=∠C'AF，由旋转得：∠B′AC′=45°，∴∠EAB′+∠C'AF=45°，∴∠PAE+∠EAB′=45°，∴∠PAB'=∠B'AC'=45°，∵AB′=AB′，∴△PAB′≌△C'AB'，∴∠AB'P=∠AB'C'，∵∠FEB'=∠B'AC'=45°，∴∠EMB'=∠AC'B'=∠AMN，∵∠MAN=∠B'AC'，∴△AMN∽△AC'B'，∴=，连接PM，∵∠PAM=45°，∠PEM=90°+45°=135°，∴∠PAM+∠PEM=180，∴P、E、M、A四点共圆，∴∠AMP=∠AEP=90°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴=，∴=，∴MN=B′C′，∵B′H2+C′H2=33=B'C'2，∴B'C'=，.. ∴MN=×=．故答案为：．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（ ）A ．11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） B ．10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩C ．91181013x y x y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D ．91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） 2．化简：x x y --y x y+，结果正确的是（ ） A ．1 B ．2222x y x y +- C ．x y x y -+ D ．22x y +3．如果一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＞0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＜04．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A ．a r //b r B ．a r -2b r =0 C ．b r =12a r D ．2a b =r r5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．6．函数y=11x x +-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥-1且x≠1B ．x≥-1C ．x≠1D ．-1≤x ＜17．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=5708．若关于x的不等式组255 332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围( )A．1162a-<-„B．116a2-<<-C．1162a-<-„D．1162a--剟9．已知关于x的不等式组217x ax-<⎧⎨-≥⎩至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．800sinα米D．800tanα米11．分式2231x xx+--的值为0,则x的取值为( )A．x=-3 B．x=3 C．x=-3或x=1 D．x=3或x=-112．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．把16a3﹣ab2因式分解_____．14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，3），则点C的坐标为_____．15．分解因式：a2b+4ab+4b=______．16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，7），（3m﹣1，7），若线段AB与直线y＝﹣2x﹣1相交，则m的取值范围为__．17．在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为_____．183a-_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？20．（6分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．21．（6分）当x取哪些整数值时，不等式21222xx-≤-+与4﹣7x＜﹣3都成立？22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．23．（8分）某校团委为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、其他等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列各题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）“其他”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布直方图；（4）该校共有3200名学生，请你估计一下全校大约有多少学生课余爱好是阅读．24．（10分）观察下列各式：①()()2111x x x -+=- ②()()23111x x x x -++=- ③()()324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 25．（10分）如图，直线y 1=﹣x+4，y 2=34x+b 都与双曲线y=k x 交于点A （1，m ），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）直接写出当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x 的解集； （3）若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标．26．（12分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD ＝1米，∠A ＝27°，求跨度AB 的长(精确到0.01米).27．（12分）（本题满分8分）如图，四边形ABCD 中，,E 是边CD的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相较于点F ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（）， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 2．B【解析】【分析】先将分母进行通分，化为（x+y ）（x-y ）的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.【详解】()()()()222222x y x +xy xy-y x +y -=-=x-y x+y x+y x-y x+y x-y x -y【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则.3．B【解析】试题分析：∵一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0，故选B ．考点：一次函数的性质和图象4．B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv -= 故错误.故选B.5．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.6．A【解析】分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 详解：根据题意得到：1010x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得x≥-1且x≠1，点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．7．A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，故选A.8．A【解析】【分析】分别解两个不等式得到得x ＜20和x ＞3-2a ，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a ＜15，然后再解关于a 的不等式组即可．【详解】255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20解②得x ＞3-2a ，∵不等式组只有5个整数解，∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，1162a ∴-<-… 故选：A【点睛】 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键．9．A【解析】【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a ＞5，再根据存在以3，a ，7为边的三角形，可得4＜a ＜10，进而得出a 的取值范围是5＜a ＜10，即可得到a 的整数解有4个．解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a的取值范围是5＜a＜10，∴a的整数解有4个，故选：A．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10．D【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=ACAB，即可解决问题.【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=AC AB，∴AB=800 tan tanACαα=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.11．A【解析】【分析】分式的值为2的条件是：（2）分子等于2；（2）分母不为2．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【详解】∵原式的值为2，∴2230 {10x xx+--≠＝，∴（x-2）（x+3）=2，即x=2或x=-3；又∵|x|-2≠2，即x≠±2．∴x=-3．故选：A．【点睛】此题考查的是对分式的值为2的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为2这个条件．12．B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．a（4a+b）（4a﹣b）【解析】【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：16a3-ab2=a（16a2-b2）=a（4a+b）（4a-b）．故答案为：a（4a+b）（4a-b）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．1）【解析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OC ，∠AOC=90°，∵∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠COE=∠OAF ，在△COE 和△OAF 中，90CEO AFO COE OAF OC OA ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAF ，∴CE=OF ，OE=AF ，∵A （13，∴CE=OF=1，3∴点C 3，1）， 故答案为（3，1）．点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.15．b （a+2）2【解析】【分析】根据公式法和提公因式法综合运算即可【详解】a 2b+4ab+4b=22(44)(2)b a a b a ++=+.故本题正确答案为2(2)b a +.【点睛】本题主要考查因式分解.16．﹣4≤m≤﹣1【解析】【分析】先求出直线y ＝7与直线y ＝﹣2x ﹣1的交点为（﹣4，7），再分类讨论：当点B 在点A 的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，当点B 在点A 的左侧，则3m ﹣1≤﹣4≤m ，然后分别解关于m 的不等式组即可．【详解】解：当y ＝7时，﹣2x ﹣1＝7，解得x ＝﹣4，所以直线y ＝7与直线y ＝﹣2x ﹣1的交点为（﹣4，7），当点B 在点A 的右侧，则m≤﹣4≤3m ﹣1，无解；当点B 在点A 的左侧，则3m ﹣1≤﹣4≤m ，解得﹣4≤m≤﹣1，所以m 的取值范围为﹣4≤m≤﹣1，故答案为﹣4≤m≤﹣1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y ＝﹣2x ﹣1与线段AB 有公共点找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．17．1【解析】【详解】∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴，即，∴MN=1.故答案为1.18．﹣a -【解析】 30a -≥Q ,0a ∴≤ .32a a a a -=-⋅=-- .三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．规定日期是6天．【解析】【分析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x 天，则若单独做，甲队需x 天，乙队需x+3天，根据题意列方程得1122133x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭解方程可得x=6，经检验x=6是分式方程的解．答：规定日期是6天．20．（1）CH=AB ．；（2）成立，证明见解析；（3）32+3【解析】【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF ≌△CBE ，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH ⊥BF ，∠BCE=90°，可得C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC ，即可判断出CH=BC ，最后根据AB=BC ，判断出CH=AB 即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF ≌△CBE ，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH ⊥BF ，∠BCE=90°，可得C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC ，即可判断出CH=BC ，最后根据AB=BC ，判断出CH=AB 即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK ＜AC+AK ，据此判断出当C 、A 、K 三点共线时，CK 的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK ≌△DEH ，即可判断出DK=DH ，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK ≌△DCH ，即可判断出AK=CH=AB ；最后根据CK=AC+AK=AC+AB ，求出线段CK 长的最大值是多少即可．【详解】解：（1）如图1，连接BE ，，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E 是DC 的中点，DE=EC ，∴点F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴EC=AF ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE ，∴∠1=∠2，∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC ，∴CH=BC ，又∵AB=BC ，∴CH=AB ．（2）当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论CH=AB 仍然成立．如图2，连接BE ，，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD ，DE=DF ，∴AF=CE ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE ，∴∠1=∠2，∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC ，∴CH=BC ，又∵AB=BC ，∴CH=AB ．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK ，∴当C 、A 、K 三点共线时，CK 的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE ，∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH ，在△DFK 和△DEH 中，KDF HDE DF DEDFK DEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DFK ≌△DEH ，∴DK=DH ，在△DAK 和△DCH 中，DA DC KDA HDC DK DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAK ≌△DCH ，∴AK=CH又∵CH=AB ，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，，∴CK=AC+AK=AC+AB=3，即线段CK长的最大值是3．考点：四边形综合题．21．2，1【解析】【分析】根据题意得出不等式组，解不等式组求得其解集即可．【详解】根据题意得21222473xxx-⎧≤-+⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤1，∴x可取的整数值是2，1．【点睛】本题考查了解不等式组的能力，根据题意得出不等式组是解题的关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为132；（3）①存在，P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），根据系数的关系，即可解答（2）先求出当x=0时，C的坐标，设直线AC的解析式为y=px+q，把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2x-1）=﹣x2+（），即可解答（3）①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，求出直线PC的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P1，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，再利用A的坐标求出P2，即可解答②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况，即可解答【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3，如答图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ACO，易知抛物线对称轴为x=1，∴DG=x-1，DF=10（x-1），∴DE+DF=﹣x2+2x+3+10（x-1）=﹣x2+（2+10）x+3-10，∴当x=101+，DE+DF有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13 -，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.23．（1）总调查人数是100人；（2）在扇形统计图中“其它”类的圆心角是36°；（3）补全频数分布直方图见解析；（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为960人．【解析】【分析】（1）利用参加运动的人数除以其所占的比例即可求得这次调查的总人数；（2）用360°乘以“其它”类的人数所占的百分比即可求解；（3）求得“其它”类的人数、“娱乐”类的人数，补全统计图即可；（4）用总人数乘以课余爱好是阅读的学生人数所占的百分比即可求解.【详解】（1）从条形统计图中得出参加运动的人数为20人，所占的比例为20%，∴总调查人数＝20÷20%＝100人；（2）参加娱乐的人数＝100×40%＝40人，从条形统计图中得出参加阅读的人数为30人，∴“其它”类的人数＝100﹣40﹣30﹣20＝10人，所占比例＝10÷100＝10%，在扇形统计图中“其它”类的圆心角＝360×10%＝36°；（3）如图（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为3200×30100＝960（人）．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．24．x n+1-1【解析】试题分析：观察其右边的结果：第一个是2x ﹣1；第二个是3x ﹣1；…依此类推，则第n 个的结果即可求得．试题解析：（x ﹣1）（n x +1n x -+…x+1）=11n x +-．故答案为11n x +-.考点：平方差公式．25．（1）3y x =；（2）x ＞1；（3）P （﹣54，0）或（94，0） 【解析】分析：（1）求得A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=k x ，可得y 与x 之间的函数关系式； （2）依据A （1，3），可得当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x的解集为x ＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，进而得出点P 的坐标． 详解：（1）把A （1，m ）代入y 1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=k x，可得k=1×3=3， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y=3x ； （2）∵A （1，3），∴当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x的解集为：x ＞1； （3）y 1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B 的坐标为（4，0），把A （1，3）代入y 2=34x+b ，可得3=34+b ， ∴b=94， ∴y 2=34x+94， 令y 2=0，则x=﹣3，即C （﹣3，0），∴BC=7，∵AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，∴P（﹣54，0）或（94，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．26．AB≈3.93m．【解析】【分析】想求得AB长，由等腰三角形的三线合一定理可知AB＝2AD，求得AD即可，而AD可以利用∠A的三角函数可以求出．【详解】∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD＝1米，∠A＝27°，∴AD＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB＝2AD，∴AB≈3.93m．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形，等腰三角形等知识，关键利用了正切函数的定义求出AD，然后就可以求出AB．27．（1）见解析；（2）6或【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．试题解析：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°∴AF∥BC∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE∵E是边CD的中点∴CE=DE∴△BCE≌△FDE（AAS）∴BE=EF∴四边形BDFC是平行四边形（2）若△BCD是等腰三角形①若BD=DC在Rt△ABD中，AB=∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；②若BD=DC过D作BC的垂线，则垂足为BC得中点，不可能；③若BC=DC过D作DG⊥BC,垂足为G在Rt△CDG中，DG=∴四边形BDFC的面积为S=．考点：三角形全等，平行四边形的判定，勾股定理，四边形的面积。
2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题含解析
2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm2．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，如图所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处，若M 、N 两点相距100海里，则∠NOF 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°4．下列运算结果正确的是（ ）A ．3a ﹣a=2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2C ．a （a+b ）=a 2+bD ．6ab 2÷2ab=3b5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－162(3)3b b -=-，则（ ）A ．3b >B ．3b <C ．3b ≥D ．3b ≤7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，已知⊙O 的半径为2，则图中的阴影部分面积为（ ）A ．8233π-B ．433π-C ．8333π- D ．9344π- 8．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（ ）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差9．3-的相反数是（ ）A ．33B ．-33C ．3D ．3-10．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知关于x 的方程x 2﹣2x+n=1没有实数根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化简结果是_____．12．一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______．13．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．14．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．15．分解因式：x 2y ﹣y ＝_____．16．若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____．17．分解因式：ax 2－a =______．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝1．在BC 上求作一点P ，使PA+PB ＝BC ；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)求BP 的长．19．（5分）解不等式组:3(2)421152x x x x ≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来. 20．（8分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线；若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．21．（10分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．22．（10分）已知抛物线23y ax bx =++的开口向上顶点为P（1）若P 点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y 的取值范围（用含a 的代数式表示）（3）若a ＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，求b 的值23．（12分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量，a为：（2）n为°，E组所占比例为%：（3）补全频数分布直方图；（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有名．24．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．()1求证：BCE DCF≅；()2当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【题目详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，∴OF CDOE AB=，即2126CD=，解得：CD=1.故选D.【题目点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.2、D【解题分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【题目详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．【题目点拨】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3、C【解题分析】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C．【题目点拨】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．4、D【解题分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【题目详解】解：A 、原式=2a ，不符合题意；B 、原式=a 2-2ab+b 2，不符合题意；C 、原式=a 2+ab ，不符合题意;D 、原式=3b ，符合题意；故选D【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、C【解题分析】 试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得 故选C.考点：一元二次方程的根的判别式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6、D【解题分析】等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围．【题目详解】 解：2(3b)3b -=-，3b 0∴-≥，解得b 3.≤故选D ．【题目点拨】()a 0a 0≥≥()2a a a 0=≥．7、A【解题分析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴BH 33OH=1，∴△OBC的面积=12×BC×OH3则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积3BOC=120°，∴图中的阴影部分面积=2240223360π⨯-8233π-A．点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．8、A【解题分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【题目详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，故选A．【题目点拨】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 9、C【解题分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.【题目详解】3-3所以33故选C．【题目点拨】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.10、C【解题分析】y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【题目详解】∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，∴k＜0，∵kb<0，∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C．【题目点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、﹣1【解题分析】根据根与系数的关系得出b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，求出n＞2，再去绝对值符号，即可得出答案．【题目详解】解：∵关于x的方程x2−2x+n=1没有实数根，∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，∴n＞2，∴|2−n |-│1-n│=n-2-n+1=-1.故答案为-1.【题目点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可.12、55cm2【解题分析】由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.【题目详解】由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm2，故答案为: 55πcm 2.【题目点拨】本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆锥的表面积=πrl +πr 2.13、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3≤． x 为整数，x ∴最大值为1． 故答案为1．【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．14、【解题分析】试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5，圆心角度数为90°的扇形和半径为1，圆心角为60°的扇形，则902560177S 36036012πππ⨯⨯⨯⨯=+=． 点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型．本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键．在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算．15、y （x +1）（x ﹣1）【解题分析】观察原式x 2y ﹣y ，找到公因式y 后，提出公因式后发现x 2-1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得.【题目详解】解：x 2y ﹣y＝y （x 2﹣1）＝y （x +1）（x ﹣1）．故答案为：y （x +1）（x ﹣1）．【题目点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．16、（﹣7，0）【解题分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案．【题目详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2，故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）．故答案为（-7，0）．【题目点拨】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．17、(1)(1)a x x +-【解题分析】先提公因式，再套用平方差公式.【题目详解】ax 2－a =a （x 2-1）=()()11a x x +- 故答案为：()()11a x x +-【题目点拨】掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.三、解答题（共7小题，满分69分）18、 (1)见解析；(2)2.【解题分析】（1）作AC 的垂直平分线与BC 相交于P ；（2）根据勾股定理求解.【题目详解】(1)如图所示，点P即为所求．(2)设BP＝x，则CP＝1﹣x，由(1)中作图知AP＝CP＝1﹣x，在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，解得：x＝2，所以BP＝2．【题目点拨】考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.19、不等式组的解集为﹣7＜x≤1，将解集表示在数轴上表示见解析.【解题分析】试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．试题解析：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：.考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．点睛：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.20、解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【解题分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【题目详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴2235AD DE AE=+=连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴AD AC AE AD=．3535=则AC=15（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．21、共有7人，这个物品的价格是53元．【解题分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.【题目详解】解：设共有x 人，这个物品的价格是y 元，83,74,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得7,53,x y =⎧⎨=⎩答：共有7人，这个物品的价格是53元.【题目点拨】本题考查了二元一次方程的应用.22、（1）21234y x x =-+；（2）1－4a≤y≤4＋5a ；（3）b ＝2或－10. 【解题分析】（1）将P （4，-1）代入，可求出解析式（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线2b x a =-中，可判断22b x a =->，且开口向上，所以y 随x 的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，2b x =-三种情况，再根据对称轴2b x =-在不同位置进行讨论即可． 【题目详解】解：（1）由此抛物线顶点为P （4，-1），所以y ＝a （x-4）2-1＝ax 2－8ax ＋16a －1，即16a －1＝3，解得a=14， b=-8a=-2 所以抛物线解析式为：21234y x x =-+； （2）由此抛物线经过点C （4，－1），所以 一1＝16a ＋4b ＋3，即b ＝－4a －1．因为抛物线2(41)3=-++y ax a x 的开口向上，则有0a > 其对称轴为直线412+=a x a ，而4112222a +==+>a x a所以当－1≤x≤2时，y 随着x 的增大而减小当x ＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a当x ＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a ；（3）当a ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋bx ＋3 ∴抛物线的对称轴为直线2b x =- 由抛物线图象可知，仅当x ＝0，x ＝1或x ＝－2b 时，抛物线上的点可能离x 轴最远 分别代入可得，当x ＝0时，y=3当x=1时，y ＝b ＋4当x=-2b 时,y=-24b +3 ①当一2b ＜0，即b ＞0时，3≤y≤b+4， 由b ＋4＝6解得b ＝2 ②当0≤-2b ≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b 2－12＜0，抛物线与x 轴无公共点 由b ＋4＝6解得b ＝2(舍去)； ③当b 12-> ，即b ＜－2时，b ＋4≤y≤3， 由b ＋4＝－6解得b ＝－10综上，b ＝2或－10【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x 轴距离的最大值的点不同．23、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940【解题分析】分析：（1）由于A 组的频数比B 组小24，而A 组的频率比B 组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a 和b 的值；（2）用360度乘以D 组的频率可得到n 的值，根据百分比之和为1可得E 组百分比；（3）计算出C 和E 组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D 组和E 组的频率和即可．本题解析：（1）调查的总人数为()24208%200÷-=，∴2008%16a =⨯=，20020%40b =⨯=，（2）D 部分所对的圆心角70360126200=︒⨯=︒，即126n =， E 组所占比例为：7018%20%25%100%12%200⎛⎫-+++⨯= ⎪⎝⎭， （3）C 组的频数为20025%50⨯=，E 组的频数为2001640507024----=，补全频数分布直方图为：（4）70242000940200+⨯=， ∴估计成绩优秀的学生有940人．点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.24、见解析【解题分析】（1）由菱形的性质得出∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，由已知和三角形中位线定理证出AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC ，由(SAS )证明△BCE ≌△DCF 即可； （2）由（1）得：AE ＝OE ＝OF ＝AF ，证出四边形AEOF 是菱形，再证出∠AEO ＝90°，四边形AEOF 是正方形．【题目详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ,OF ＝12DC ,OE ＝12BC ,OE ∥BC ，在△BCE和△DCF中,BE DFB D BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC,OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形.【题目点拨】本题考查了全等三角形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形、正方形、全等三角形的性质.。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×1072．估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间3．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球4．不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝27．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④8．将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A．15°B．75°C．85°D．165°9．某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A．25%B．25C．60D．9010．如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A．B．C．D．二.填空题（每小题3分，共18分）11．正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．12．面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是分．13．化简：＝．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的高DE＝cm．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN 与边BC相交于点F．当△AEP的面积为时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．计算：|1﹣6cos30°|﹣+（﹣）﹣2﹣（﹣3）0．18．一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．19．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD 上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．四.（每小题8分，共16分）20．某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是队．21．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．五、（本题10分）22．某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x/元40506070每天的销售量y/件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？六、（本题10分）23．如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x＜0时，直接写出不等式≥ax+b的解集；（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M的坐标．七、（本题12分）24．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE 与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长八.（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．参考答案一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：6 400 000＝6.4×106，故选：C．2．估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间【分析】根据正方形的面积公式可得面积为3的正方形的边长b的值为，因为1＜＜2，由此可以得到b的值的范围．解：面积为3的正方形的边长b的值为，∵1＜＜2，∴实数的值在整数1和2之间．故选：B．3．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球【分析】由已知三视图得到几何体是圆锥．解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．4．不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．5．一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．解：∵﹣1＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；又∵﹣2＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；故选：D．6．下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝2【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．解：A、m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2mn）2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2m）3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．7．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法，即可判断得出答案．解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．8．将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A．15°B．75°C．85°D．165°【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，所以α的余角为75°，故选：B．9．某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A．25%B．25C．60D．90【分析】根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D．10．如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作AD⊥l4于D，过点B作BE⊥l4于E，根据同角的余角相等求出∠CAD ＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．解：如图，过点A作AD⊥l4于D，过点B作BE⊥l4于E，设l1，l2，l3，l4间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝3，在Rt△BCE中，BC＝＝＝，∴sinα＝＝＝．故选：A．二.填空题（每小题3分，共18分）11．正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【分析】根据轴对称图形的特点可直接求解．解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．12．面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是81分．【分析】根据加权平均数定义可得．解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．13．化简：＝x+2．【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解：+＝﹣＝＝x+2．故答案为：x+2．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为10．【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分线，AD＝12，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+122＝132，解得BD＝5，∴BC＝10．故答案为：10．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的高DE＝ 4.8cm．【分析】根据菱形的面积公式得出其面积，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出DE 即可．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，∴菱形的面积＝＝24cm2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝4cm，OD＝3cm，∴AD＝，∴AB＝5cm，∴菱形的面积＝AB•DE＝24cm2，∴DE＝cm，故答案为：4.8．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是+．【分析】如图，作点G关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，QCAG+GF的最小值即可解决问题．解：如图，作点G关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ ⊥AB于J．∵四边形ABCD是正方形，AB＝16，∴AC＝AB＝16，∵PA＝AC，∴PA＝4，∵PJ⊥AJ，∠PAJ＝45°，∴PJ＝AJ＝4，BJ＝16﹣4＝12，∵PK⊥BC，∴∠B＝∠PJB＝∠PKB＝90°，∴四边形PJBK是矩形，∴PK＝BJ＝12，∵S△PAE＝＝•AE•PJ，∴AE＝，EJ＝4﹣＝，∵∠JPK＝∠MPN＝90°，∴∠JPE＝∠FPK，∵∠PJE＝∠PKF＝90°，∴△PJE∽△PKF，∴＝，∴＝，∴FK＝，CF＝12+＝，BF＝，∴BH＝+16＝，∴AF＝＝＝，AH＝＝＝，∵GF＝GH，∴AG+FG＝AG+GH，∵AG+GH≥AH，∴AG+GH≥，∴GA+FG的最小值为，∴△AFG的周长的最小值为+．故答案为+．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．计算：|1﹣6cos30°|﹣+（﹣）﹣2﹣（﹣3）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝|1﹣6×|﹣3+4﹣1＝3﹣1﹣3+4﹣1＝2．18．一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率＝；故答案为：．19．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD 上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积8．【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．解：（1）∵∠A＝45°，BD⊥AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，AD＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵EF⊥CD，∴EF⊥AB，∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，∵DF＝BE＝1，∴OE＝BE＝1，OF＝DF＝1，∴EF＝2；（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，∵OE＝EB＝OF＝DF＝1，∴OD＝OB＝，∴DB＝2，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝，∴▱ABCD的面积＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．四.（每小题8分，共16分）20．某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是8分，乙队成绩的众数是8分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是乙队．【分析】（1）根据中位数、众数的定义直接求解即可；（2）根据平均数、方差的计算方法，先计算乙队的平均数，再求乙队的方差；（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动的大小．解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为：8，8；（2）乙队的平均成绩为（10+9+5+8+8）＝8，其方差S2乙＝[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为：乙．21．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为31cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝50或130°．【分析】（1）根据OA＝OB，可以得到∠OBA＝∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA＝∠DAB，然后即可得到结论成立；（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．【解答】（1）证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠DAB，∴∠OAB＝∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），故答案为：31；②当点E在优弧AB上时，∵∠AOB＝100°，∴∠AEB＝50°，当点E在劣弧AB上室，∠AEB＝180°﹣50°＝130°，故答案为：50或130．五、（本题10分）22．某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x/元40506070每天的销售量y/件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y＝kx+b，将（40，140）、（50，120）代入上式，即可求解；（2）设该商品每天获得的利润为w，则w＝y（x﹣40），即可求解．解：（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y＝kx+b，将（40，140）、（50，120）代入上式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+220（40≤x≤70）；（2）设该商品每天获得的利润为w，则w＝y（x﹣40）＝（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2（x﹣100）（x﹣40）（40≤x≤70）；∵﹣2＜0，故w有最大值，当x＝（100+40）＝70时，w最大值，最大值为1800，故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1800元．六、（本题10分）23．如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x＜0时，直接写出不等式≥ax+b的解集﹣1≤x＜0或x≤﹣3；（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M的坐标（0，13）或（0，）．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分MC是斜边、CA是斜边、AM是斜边三种情况，分别求解即可．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1＝，解得：k＝﹣3，将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y＝﹣，y＝x+4；（2）观察函数图象得，当x＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式≥ax+b成立，即不等式的解集为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3，故答案为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3；（3）设点M（0，m）（m＞0），点C（1，0）、A（﹣3，1），则MC2＝1+m2，CA2＝（1+3）2+1＝17，AM2＝9+（m﹣1）2，当MC是斜边时，则1+m2＝17+9+（m﹣1）2，解得：m＝13；当CA是斜边时，同理可得：m＝（负值已舍去）；当AM是斜边时，同理可得：m＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，）．七、（本题12分）24．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE 与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长5﹣5；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长6或8【分析】（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB ＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝5﹣5，故答案为：5﹣5；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵＝，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝6；如图，当点E在线段DG上时，同理可求：BE＝16，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝8，综上所述：MN为6或8，故答案为：6或8．八.（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标（﹣12+3，0）或（﹣3，0）；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式y＝﹣x2﹣x﹣4．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝×9×（m+12）+×12×（﹣m2﹣m﹣9+9）﹣×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣3（舍弃）或﹣12+3，∴D（﹣12+3，0）．当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，可得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4．故答案为y＝﹣x2﹣x﹣4．。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列各数中，比-1大的数是（）A. B. -2 C. -3 D. 02.如图所示几何体的俯视图是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. （a2）3=a6B. a+2a2=3a3C. a2•a3=a6D. a6÷a3=a24.下列命题是假命题的为（）A. 如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形B. 锐角三角形的所有外角都是钝角C. 内错角相等D. 平行于同一直线的两条直线平行5.某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）A. 1.25mB. 10mC. 20mD. 8m6.如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（）A. x=2B. x=0C. x=-1D. x=-37.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A.B.C.D.8.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，=，若∠CAB=20°，则∠CAD的大小为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°9.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A. y=3（x-2）2-1B. y=3（x-2）2+1C. y=3（x+2）2-1D. y=3（x+2）2+110.如图，在菱形ABCD中，AB=4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A. B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分解因式：3x2-6x+3=______．12.已知单位体积的空气质量为1.34×10-3克/厘米3，将1.34×10-3用小数表示为______．13.某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22，15，18（单位：万元）．若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为______万元较为合适．14.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为______．15.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y=在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为______．16.如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）17.先化简，再求值：（x-2y）2+4y（x-y）-2x2，其中x=．18.如图，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形分别标有数字1、2、3，甲、乙、丙三人开始玩一个可以自由转动的转盘游戏，转盘停止后，记录下针指向的数字，若指针指向相邻两扇形的交界处，则重新转动转盘．（1）甲转动转盘一次，则指针指向数字2的概率为______；（2）甲转动转盘一次，记下指针指向数字，接着乙也转动转盘一次，再记下指针指向数字，利用画树状图或列表格的方法求两次记录的数字和小于数字4的概率．19.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE=CF，求证：▱ABCD是菱形．20.2014年11月，绵阳某中学结合语文阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生3600名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．21.一个无人超市仓库的货物搬运工作全部由机器人A和机器人B完成，工作记录显示机器人A比机器人B每小时多搬运50件货物．机器人A搬运2000件货物与机器人B搬运1600件货物所用的时间相等，求机器人A和机器人B每小时分别搬运多少件货物？22.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E．过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径．23.如图1，平面直角坐标系中，直线y=-x+5与直线y=x相交于点A，与x轴，y轴的正半轴分别相交于点B和点C，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，若P、Q两点同时从起点出发匀速运动，到达各自终点后停止不动．设运动时间为t秒．（1）OA的长为______，AC的长为______，sin∠OAC的值为______．（2）点R是坐标平面内的一点，且四边形APRQ是平行四边形．①当t=1时，求平行四边形APRQ的面积；②当平行四边形APRQ的面积为4时，t的值为______．24.如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB=20，AD=10设DE=x点G到直线BC的距离为y．①求y与x的函数关系式；②当=时，x的值为______；（3）如图2，若AB=BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1当时，DE：DC的值为______．25.如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（5，0）．B（-1，0）两点，与y轴交于C点，若点P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（-1＜t＜2），过点P作PQ⊥x 轴于点Q作PM∥x轴交抛物线于另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM，矩形PQNM的周长为l．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求1与t的函数关系式，并求l的最大值；（3）当l=12时连接对角线PN，在线段PN上取一点D（点D与点P，N不重合），连接DM，过点D作DE⊥DM交x轴于点E①的值为______；②是否存在点D．使△DEN是等腰三角形．若存在请直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、-＜-1，故本选项不符合题意；B、-2＜-1，故本选项不符合题意；C、-3＜-1，故本选项不符合题意；D、0＞-1，故本选项，符合题意；故选：D．根据实数的大小比较法则比较即可．本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．2.【答案】D【解析】解：从上往下看，得一个长方形，由3个小正方形组成．故选：D．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3.【答案】A【解析】解：A、（a2）3=a6，故此选项正确；B、a+2a2，无法计算，故此选项错误；C、a2•a3=a5，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：A．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确化简各式是解题关键．4.【答案】C【解析】【分析】依据三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质进行判断即可．本题主要考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【解答】解：A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形，是真命题；B．锐角三角形的所有外角都是钝角，是真命题；C．两直线平行，内错角相等，是假命题；D．平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；故选C．5.【答案】C【解析】解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）．即该旗杆的高度是20m．故选：C．设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．6.【答案】D【解析】【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=ax+b过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故选：D．7.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故选：B．在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线．先求出∠ABC=70°，进而判断出∠ABD=∠CBD=35°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=20°，∴∠ABC=70°，∵=，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=35°，∴∠CAD=∠CBD=35°．故选：D．9.【答案】C【解析】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（-2，-1），所得抛物线为y=3（x+2）2-1．故选：C．先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，∵AB=2DE，作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1，EH=CH=，在Rt△BEH中，BE==2，故选：B．由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；作EH⊥BC于H，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．11.【答案】3（x-1）2【解析】解：3x2-6x+3，=3（x2-2x+1），=3（x-1）2．先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.【答案】0.00134【解析】解：1.34×10-3=0.00134，故答案是：0.00134．把数据1.34×10-3中1.34的小数点向左移动3位就可以得到．本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10-n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．13.【答案】18【解析】解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标；故答案为：18．根据中位数的意义进行解答，即可得出答案．本题考查了众数、中位数和平均数，反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．14.【答案】（，）或（-，-），【解析】解：∵△A'B'C'与△ABC相似比为，若点C的坐标为（4，1），∴点C′的坐标为（4×，1×）或（4×（-），1×（-）），∴点C′的坐标为（，）或（-，-），故答案为：（，）或（-，-），根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15.【答案】2【解析】解：设D（x，2）则E（x+2，1），∵反比例函数y=在第一象限的图象经过点D、点E，∴2x=x+2，解得x=2，∴D（2，2），∴OA=AD=2，∴OD==2．故答案为2．设D（x，2）则E（x+2，1），由反比例函数经过点D、E列出关于x的方程，求得x 的值即可得出答案．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．16.【答案】【解析】解：∵BD：DC=1：3，∴设BD=a，则CD=3a，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AM=DM，AN=DN，∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，∴∠NDC=∠BMD，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△BMD∽△CDN，∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，即AM：AN=5：7，故答案为．由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明AM：AN的值．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17.【答案】解：（x-2y）2+4y（x-y）-2x2，=x2-4xy+4y2+4xy-4y2-2x2=-x2，当x=时，原式=-（）2=-3．【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．18.【答案】（1）；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次记录的数字和小于数字4的结果数为4，所以两次记录的数字和小于数字4的概率．【解析】解：（1）甲转动转盘一次，则指针指向数字2的概率=，故答案为：；（2）见答案【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次记录的数字和小于数字4的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．19.【答案】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，∴∠CFB=∠AEB=90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BC=BA∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形．【解析】根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC=BA，进而利用菱形的判定证明即可．此题考查菱形的判定，关键是根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC=BA．20.【答案】解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；折线图补充如右图；（3）扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数为360°×=48°；（4）估计最喜爱科普类书籍的学生人数为3600×=960（人）．【解析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（3）用360°乘以体育部分人数所占比例即可得；（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．也考查了利用样本估计总体．21.【答案】解：设B型机器人每小时搬运x件货物，则A型机器人每小时搬运（x+50）件货物．依题意列方程得：，解得：x=200．经检验x=200是原方程的根且符合题意．当x=200时，x+50=250．答：A型机器人每小时搬运250件，B型机器人每小时搬运200件．【解析】此题首先由题意得出等量关系，即A型机器人搬运2000件货物与B型机器人搬运1600件货物所用时间相等，列出分式方程，从而解出方程，最后检验并作答．本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．22.【答案】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵EO⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，∴∠AEO=∠ABC，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠AEO=∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠AEO+∠BCD=90°；（2）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵AC=CD，∴∠A=∠D，∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD=180°，∴3∠A+90°=180°，∴∠A=30°，∵AC=3，∴AB===2，∴⊙O的半径为．【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠AEO=∠ABC，根据切线的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，∠A=∠D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】（1）5 2（2）①当t=1时，如图2所示：则OP=1，CQ=，∴AP=OA-OP=4，AQ=AC-CQ=，作QE⊥OA于E，则QE=AQ×sin∠OAC=×=2，∴平行四边形APRQ的面积=AP×QE=4×2=8；②或3或4【解析】解：（1）∵直线y=-x+5，∴OA==5，当x=0时，y=5；y=0时，x=10；∴C（0，5），B（10，0），∴OC=5，∵直线y=-x+5与直线y=x相交于点A，∴解方程组得：，∴A（4，3），∴OA==5，∴OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，作AD⊥OC于D，如图1所示：则AD=4，OD=3，∴CD=OC-OD=2，AC==2，sin∠OAC=sin∠OCA===；故答案为：5，2，；（2）①当t=1时，OP=1，CQ=，得出AP=OA-OP=4，AQ=AC-CQ=，作QE⊥OA于E，则QE=AQ×sin∠OAC=2，由平行四边形面积公式即可得出结果；②分两种情况：当Q在线段AC上时，如图3所示：作QE⊥OA于E，OP=t，CQ=t，则AP=5-t，AQ=2-t，QE=AQ×sin∠OAC=（2-t）×=4-2t，∵▱APRQ的面积为4，∴（5-t）×（4-2t）=4，解得：t=，或t=（不合题意舍去），∴t=；当Q在线段AB上时，如图4所示：作QE⊥OA于E，OP=t，CQ=t，则AP=5-t，AQ=t-2，QE=AQ×sin∠OAC=（t-2）×=2t-4，∵▱APRQ的面积为4，∴（5-t）×（2t-4）=4，解得：t=3，或t=4；综上所述，当▱APRQ的面积为4时，t的值为或3或4；故答案为：或3或4．24.【答案】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∵四边形ABC都是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ABF=∠D=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠FAB=∠DAE，∵∠ABF=∠D=90°，∴△ADE∽△ABF．（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．∵∠GHF=∠C=90°，∴GH∥EC，∵FG=GE，∴FH=HC，∴EC=2GH=2y，∵DE+EC=CD=AB=20，∴x+2y=20，∴y=-x+10（0＜x＜20）．②；（3）-1 .【解析】解：（1）见答案.（2）①见答案.②∵=，∴可以假设EC=24k，BG=13k，∵EC=2GH，∴GH=12k，∴BH==5k，∴FH=CH=5k+10，∴FB=10k+10，∵y=-x+10，∴x=20-24k，∵△ADE∽△ABF，∴=，∴=，∴k=，∴x=．故答案为：（3）如图2中，连接BE，设DE=a，CD=BC=b．易证△ADE≌△ABF，可得BF=DE=a，∴S1=S△EBG+S△ECB=S△BFE+S△EBC=a（b-a）+b（b-a）=b2-a2-ab，∵S=b2，S=4S1，∴b2=2b2-a2-2ab，∴a2+2ab-b2=0，∴（）2+2•（）-1=0，∴=-1+或-1-（舍弃），∴=-1．故答案为-1．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．利用三角形的中位线定理，推出EC=2y，再根据DE+EC=20，即可解决问题．②由=，可以假设EC=24k，BG=13k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（3）如图2中，连接BE，设DE=a，CD=BC=b．构建一元二次方程，即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】（1）将A（5，0）．B（-1，0）代入y=ax2+bx+2，∴，∴，∴y=-x2+x+2；（2）对称轴为x=2，∵点P的横坐标为t，∴M点横坐标为4-t，∴PM=4-2t，PQ=-t2+t+2；∴l=2（4-2t-t2+t+2）=-（t+）2+，∵-1＜t＜2，∴t=-时，l有最大值；（3）①；②∵∠DEN在D的运动过程中始终是钝角，∴当ED=EN时，△DEN是等腰三角形，∴△DEM≌△NEM（HL），∴MN=DM=2，∴DE=EN=1，∴E（3，0），易求直线CN的解析式为y=-x+2，设D（m，-m+2），∴1=（m-3）2+（-m+2）2，∴m=4或m=，∵0＜m＜4，∴m=，∴D（，）.【解析】解：（1）见答案；（2）见答案；（3）①当l=12时，t=0或t=-1，∵-1＜t＜2，∴t=0，此时P点与C点重合，Q点与O点重合，如图：点M，N，E，D四点共圆，∴∠DEM=∠MNC，∵M（4，2），N（4，0），∴CM=4，MN=2，∴tan∠MNC=tan∠DEM，∴==2，∴；故答案为；②见答案.【分析】（1）将A（5，0）．B（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可求解；（2）利用对称性可知点P与点M关于对称轴x=2对称，所以PM=4-2t，PQ=-t2+t+2；结合矩形周长公式即可求解；（3）①当l=12时P点与C点重合，Q点与O点重合，点M，N，E，D四点共圆，可知∠DEM=∠MNC，利用正切值==2即可求解；②∠DEN在D的运动过程中始终是钝角，只有当ED=EN时，△DEN是等腰三角形，证明△DEM≌△NEM（HL），求出点E（3，0），直线CN的解析式为y=-x+2，设D（m，-m+2），利用DE=1得出方程求解；本题考查二次函数图象及性质，矩形的性质，三角形全等，三角函数值的应用，等腰三角形的存在性；是一道综合性很强的题，熟练掌握函数和三角形，矩形的性质，待定系数法求函数表达式，函数图象的对称性等知识是解题的关键．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝41°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝1．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转11°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A ．13B ．5C ．22D ．42．下面几何的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在Y ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：25．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是()A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家C．妈妈在距家12 km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮6．下列实数中，在2和3之间的是（）A．πB．2π-C．325D．3287．若关于x的一元二次方程2210x x kb-++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b=+的图象可能是:A．B． C．D．8．关于x的方程3x+2a=x﹣5的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜52B．a＞52C．a＜﹣52D．a＞﹣529．二次函数y=x2+bx–1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2–2x–1–t=0（t为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t的取值范围是A．t≥–2 B．–2≤t<7C．–2≤t<2D．2<t<710．甲、乙两人分别以4m/s和5m/s的速度，同时从100m直线型跑道的起点向同一方向起跑，设乙的奔跑时间为t（s），甲乙两人的距离为S（m），则S关于t的函数图象为（）A．B．C．D．11．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，已知△ADE的面积为1，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．512．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．A．50°B．40°C．30°D．25°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．14．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．15．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．17．如图，在矩形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_________．18．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表：价格/（元/kg）12 10 8 合计/kg小菲购买的数量/kg 2 2 2 6小琳购买的数量/kg 1 2 3 6从平均价格看，谁买得比较划算？（）A．一样划算B．小菲划算C．小琳划算D．无法比较三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某商城销售A，B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆，B型自行车售价为1 750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等．()1求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？()2现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13 000元，求获利最大的方案以及最大利润．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点E是»AD上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．21．（6分）在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC上一点，连接BE．(1)如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；(2)如图2，D为AB上一点，且满足AE=AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG=AF+FG．22．（8分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝3迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若AD＝2，BD＝3，请计算线段CD的长；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．（3）证明：△CEF是等边三角形；（4）若AE＝4，CE＝1，求BF的长．23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，tanB=22，求DF的值24．（10分）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB 相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于12BD的所有的等腰三角形．25．（10分）问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝62，求△ABC的外接圆半径R的值；问题探究（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝86，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝123，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．26．（12分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机．已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元．（1）求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元？（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍．设购进A型无人机x台，总费用为y元．①求y与x的关系式；②购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少？27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD113故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.2．B【解析】【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．解：从几何体正面看故选B ． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．C 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误；B 、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误；C 、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确；D 、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误． 故选C 【点睛】考核知识点：正方体的表面展开图. 4．B 【解析】 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ∴△DEF ∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：：∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE ：AB=2：5 ∵AB=CD ， ∴DE ：EC=2：35．D【解析】【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．【详解】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，∴小亮走的路程为：1×12=12km，∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；故选D．【点睛】本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.6．C【解析】【详解】分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.详解：A、3<π<4，故本选项不符合题意；B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、<4，故本选项不符合题意；故选C.点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.7．B【解析】【分析】【详解】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,可得()4410kb =-+V＞， 解得0kb ＜，即k b 、异号，当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B. 8．D 【解析】 【分析】先解方程求出x ，再根据解是负数得到关于a 的不等式，解不等式即可得. 【详解】解方程3x+2a=x ﹣5得 x=522a--， 因为方程的解为负数，所以522a--<0， 解得：a ＞﹣52.【点睛】本题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，要注意的是：若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变． 9．B 【解析】 【分析】利用对称性方程求出b 得到抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），再计算当﹣1＜x ＜4时对应的函数值的范围为﹣2≤y ＜7，由于关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，然后利用函数图象可得到t 的范围． 【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣2b=1，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2）， 当x=﹣1时，y=x 2﹣2x ﹣1=2；当x=4时，y=x 2﹣2x ﹣1=7， 当﹣1＜x ＜4时，﹣2≤y ＜7，而关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，∴﹣2≤t ＜7，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键. 10．B【解析】【分析】匀速直线运动的路程s 与运动时间t 成正比，s-t 图象是一条倾斜的直线解答．【详解】∵甲、乙两人分别以4m/s 和5m/s 的速度，∴两人的相对速度为1m/s ，设乙的奔跑时间为t （s ），所需时间为20s ，两人距离20s×1m/s=20m ， 故选B ．【点睛】此题考查函数图象问题，关键是根据匀速直线运动的路程s 与运动时间t 成正比解答．11．C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得DE ∥BC ，DE BC ＝12，即可证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ADE ABC S S ∆∆＝14，已知△ADE 的面积为1，即可求得S △ABC ＝1． 【详解】∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE BC ＝12， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ∆∆＝（12）2＝14， ∵△ADE 的面积为1，∴S △ABC ＝1．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，先证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到ADEABCSS∆∆＝14是解决问题的关键.12．B【解析】【详解】解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得∠3=∠1=50°，根据平角为180°可得，∠2=90°﹣50°=40°．故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1.5【解析】在Rt△ABC中，225AC=AB+BC，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝1．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE1＝B′E1＋B′C1，∴（4－x）1＝x1＋11．解之得32x=．14．5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1，故答案为5.5×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．43【解析】试题分析：1204=2180rππ⨯，解得r=43．考点：弧长的计算．16．1【解析】分析: 由PD−12PC ＝PD−PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG ＝1． 详解: 在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，∵221PB BG ==，422BC PB ==， ∴PB BC BG PB =， ∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴12PG BG PC PB ==， ∴PG ＝12PC ， 当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG 2243+1． 故答案为1点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．172【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，90ABE BAD ∴∠=∠=o ，∵AE ⊥BD ， 90AFB ∴∠=o ，90BAF ABD ABD ADB ∴∠+∠=∠+∠=o ，BAE ADB ∴∠=∠， ∴△ABE ∽△ADB ， AD AB AB BE，∴= ∵E 是BC 的中点， 2AD BE ∴=， 2222BE AB ∴==， 12BE BC ∴=∴=，，22223,6AE AB BE BD BC CD ∴+==+=，6.3AB BE BF AE ⋅∴== 过F 作FG ⊥BC 于G ，FG CD ∴P ， BFG BDC V V ∽，∴ FG BF BG CD BD BC ∴==，22,3FG BG ∴==， 43CG ∴=， 22 2.CF FG CG ∴=+=故答案为 2.18．C【解析】试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．考点：平均数的计算．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）每辆A 型自行车的进价为2 000元，每辆B 型自行车的进价为1 600元；（2）当购进A 型自行车34辆，B 型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．【解析】【分析】(1)设每辆B 型自行车的进价为x 元,则每辆A 型自行车的进价为（x+10）元,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;(2)由总利润=单辆利润×辆数,列出y 与x 的关系式,利用一次函数性质确定出所求即可.【详解】（1）设每辆B 型自行车的进价为x 元，则每辆A 型自行车的进价为（x+10）元，根据题意，得=，解得x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+10=1 600+10=2 000，答：每辆A 型自行车的进价为2 000元，每辆B 型自行车的进价为1 600元；（2）由题意，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000，根据题意，得，解得：33≤m≤1，∵m为正整数，∴m=34，35，36，37，38，39，1．∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，∴y随m的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答本题的关键.20．(1)证明见解析(2)BC=【解析】【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O 的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则BC CDCA BC=，即可得出10．【详解】（1）∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC CDCA BC=，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，∴10．考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.21．（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE 中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴，∴x=（负根已经舍弃），∴AB=AC=（2+ ）•，∴BC= AB= +1．作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22．（1）见解析；（2）CD =233；（3）见解析；（4）23【解析】试题分析：迁移应用：（1）如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；（2）结论：CD=3AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=3 2AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；（4）由AE=4，EC=EF=1，推出AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得HFBF=cos30°，由此即可解决问题．试题解析：迁移应用：（1）证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，DA=EA，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，（2）结论：CD=3AD+BD．理由：如图2-1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=32AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD=233+．拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，（4）∵AE=4，EC=EF=1，∴AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴HFBF=cos30°，∴3 3=23．（1）见解析；（2）3【解析】分析：（1）欲证明AE是⊙O切线，只要证明OA⊥AE即可；（2）由△ACD∽△CFD，可得DF CDCD AD=，想办法求出CD、AD即可解决问题.详解：（1）证明：连接CD．∵∠B=∠D，AD是直径，∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，∵∠B=∠EAC，∴∠EAC+∠1=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，∴CG∥AE，∴∠2=∠3，∵∠2=∠B，∴∠3=∠B，∵∠CAG=∠CAB，∴△ABC∽△ACG，∴AC AB AG AC=，∴AC2=AG•AB=36，∴AC=6，∵tanD=tanB=22，在Rt△ACD中，tanD=ACCD=2CD=2=62，AD=()22662+=63，∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，∴△ACD∽△CFD，∴DF CD CD AD=，∴3点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）证明见解析；（2）△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF ；（2）证明四边形DEBF 是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AB ∥CD ，OB=OD ，∴∠OAE=∠OCF ，在△OAE 和△OCF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF ；（2）∵OE=OF ，OB=OD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF 是矩形，∴BD=EF ，∴OD=OB=OE=OF=12BD ， ∴腰长等于12BD 的所有的等腰三角形为△DOF ，△FOB ，△EOB ，△DOE ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与平行四边形的性质.25．（1）△ABC 的外接圆的R 为1；（2）EF 的最小值为2；（3）存在，AC 的最小值为92．【解析】【分析】（1）如图1中，作△ABC 的外接圆，连接OA ，OC ．证明∠AOC=90°即可解决问题；（2）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．当直径AD 的值一定时，EF 的值也确定，根据垂线段最短可知当AD 与AH 重合时，AD 的值最短，此时EF 的值也最短；（3）如图3中，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ，连接EC ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，设BE=CD=x ．证明EC=AC ，构建二次函数求出EC 的最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，作△ABC 的外接圆，连接OA ，OC ．∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣10°＝45°，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝90°，∴AC＝12，∴OA＝OC＝1，∴△ABC的外接圆的R为1．（2）如图2中，作AH⊥BC于H．∵AC＝86，∠C＝45°，∴AH＝AC•sin45°＝86×22＝83，∵∠BAC＝10°，∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．∵∠EOF＝2∠BAC＝20°，OE＝OF，OH⊥EF，∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，∴EH＝OF•cos30°＝43•3＝1，∴EF＝2EH＝2，∴EF的最小值为2．（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，∴EC2AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，∴EC的值最小时，AC的值最小，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，∴∠∠BEC+∠BCE＝10°，∴∠EBC＝20°，∴∠EBH＝10°，∴∠BEH＝30°，∴BH＝12x，EH＝32x，∵CD+BC＝3，CD＝x，∴BC＝3x∴EC2＝EH2+CH23）2+211232x x⎛⎫+⎪⎝⎭＝x2﹣3x+432，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1232-＝3时，EC的长最小，此时EC＝18，∴AC＝22EC＝2，∴AC 的最小值为．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．26．（1）一台A 型无人机售价800元，一台B 型无人机的售价1000元；（2）①y ＝﹣200x+50000；②购进A 型、B 型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．【解析】【分析】（1）根据3台A 型无人机和4台B 型无人机共需6400元，4台A 型无人机和3台B 型无人机共需6200元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）①根据题意可以得到y 与x 的函数关系式；②根据①中的函数关系式和B 型无人机的数量不少于A 型无人机的数量的2倍，可以求得购进A 型、B 型无人机各多少台，才能使总费用最少．【详解】解：（1）设一台A 型无人机售价x 元，一台B 型无人机的售价y 元，346400436200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，8001000x y =⎧⎨=⎩， 答：一台A 型无人机售价800元，一台B 型无人机的售价1000元；（2）①由题意可得，y 800x 100050x 200x 50000++＝（﹣）＝﹣，即y 与x 的函数关系式为y 200x 50000+＝﹣； ②∵B 型无人机的数量不少于A 型无人机的数量的2倍，50x 2x ﹣∴≥， 解得，2163x ≤， y 200x 50000+Q ＝﹣，∴当x 16＝时，y 取得最小值，此时y 20016500004680050x 34⨯+＝﹣＝，﹣＝， 答：购进A 型、B 型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．27．（1）DD′=1，A′F= 4；（2）154；（1）754． 【解析】【分析】（1）①如图①中，∵矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；②如图①中，连接CF ，在Rt △CD′F 中，求出FD′即可解决问题；（2）由△A′DF ∽△A′D′C ，可推出DF 的长，同理可得△CDE ∽△CB′A′，可求出DE 的长，即可解决问题；（1）如图③中，作FG ⊥CB′于G ，由S △ACF =12•AC•CF=12•AF•CD ，把问题转化为求AF•CD ，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD ∽△FAC ，即可解决问题；【详解】解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC =4，CD′=CD=A′B′=AB=1∠A′D′C=∠ADC=90°．∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=1．②如图①中，连接CF ．∵CD=CD′，CF=CF ，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF ≌△CD′F ，∴∠DCF=∠D′CF=12∠DCD′=10°． 在Rt △CD′F 中，∵tan ∠D′CF=''D F CD ，∴，∴A′F=A′D′﹣D′F=4（2）如图②中，在Rt △A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2．∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF ∽△A′D′C ，∴''''A D DF A D CD =，∴243DF =， ∴DF=32． 同理可得△CDE ∽△CB′A′，∴'''CD ED CB A B =，∴343ED =， ∴ED=94，∴EF=ED+DF=154． （1）如图③中，作FG ⊥CB′于G ．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=1． ∵S △CEF=12•EF•DC=12•CE•FG ， ∴CE=EF ，∵AE=EF ，∴AE=EF=CE ，∴∠ACF=90°．∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴AC AD AF AC，∴AC2=AD•AF，∴AF=254．∵S△ACF=12•AC•CF=12•AF•CD，∴AC•CF=AF•CD=754．。
沈阳市2020版中考数学二模试卷A卷
沈阳市2020版中考数学二模试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）﹣2013的相反数是（）A . ﹣2013B . 2013C .D . -2. （2分）(2019·紫金模拟) 下列计算正确的是（）A . a2·a3=a6B . 2a+3b=5abC . a8÷a2=a6D . (a2b）2=a4b3. （2分）如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是（）A . 5B . 10C .D .4. （2分）(2018·道外模拟) 如图,是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（）A .B .C .D .5. （2分）下列说法中，正确的有（）①圆的半径垂直于弦；②直径是弦；③圆的内接平行四边形是矩形；④圆内接四边形的对角互补；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥相等的圆心角所对的弧相等．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个6. （2分）已知一组数据10，8，9，x，4的众数是8，那么这组数据的中位数是（）A . 4B . 8C . 9D . 107. （2分）(2020·眉山) 如图，四边形的外接圆为⊙O，，，，则的度数为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D等于（）A . 25°B . 30°C . 35°D . 50°二、填空题 (共10题；共10分)9. （1分） (2019八下·萝北期末) 如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是________．10. （1分） (2020八下·揭阳期末) 分解因式： 2x3-18x=________11. （1分） (2017九下·东台期中) 用科学记数法表示2030000，应记作________．12. （1分） (2017八下·通州期末) 如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为________．13. （1分）(2020·新野模拟) 某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品，如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），小芳获得2份奖品的概率为 ________.14. （1分）如果二次函数y=x²+2kx+k-4图像的对称轴是x=3,那么k=________ 。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试题(解析版)
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1. 地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×107【答案】C【解析】【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6400000=6.4×106，故选C．点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2. 面积为3的正方形的边长范围在（）A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间【答案】B【解析】【分析】先求出边长，然后根据无理数的估算判断即可．【详解】解：∵正方形的面积为3，∴∵1 2∴面积为3的正方形的边长范围在1和2之间故选B．【点睛】本题是对无理数知识的考查，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 球【答案】A【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是圆锥．【详解】由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选A．【点睛】本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键．4. 不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．【详解】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5. 一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三，四象限D. 第二、三、四象限【答案】D【解析】【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．【详解】∵﹣1＜0，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限，又∵﹣2＜0，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限，故选D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．6. 下列运算正确的是（）A. m2+m2＝2m2B. （m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C. （﹣2mn）2＝﹣4m2n2D. （2m）3÷m3＝2【答案】A【解析】【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．【详解】解：A.m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B.(m﹣n)(n﹣m)＝﹣(n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C.(﹣2mn)2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D.(2m)3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式是解题的关键．7. 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】试题解析：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选C．考点：基本作图.8. 将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A. 15°B. 75°C. 85°D. 165°【答案】B【解析】【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，∴α的余角为75°，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9. 某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A. 25%B. 25C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．【详解】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：72240×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D．【点睛】此题考查根据条形统计图和扇形统计图求总体并求各部分所占扇形统计图的圆心角度数．10. 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A. 213B. 313C. 32D. 23【答案】A【解析】【分析】如图（见解析），过点A 作4AD l ⊥于D ，过点B 作4BE l ⊥于E ，先根据同角的余角相等求出CAD BCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得CE AD =，然后利用勾股定理列式求出BC 的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得．【详解】如图，过点A 作4AD l ⊥于D ，过点B 作4BE l ⊥于E ，设1234,,,l l l l 间的距离为(0)a a > 则3,2AD a BE a ==ABC 是等腰直角三角形90,ACB AC CB ∴∠=︒=∵90CAD ACD ∠+∠=︒，18090BCE ACD ACB ∠+∠=︒-∠=︒∴CAD BCE ∠=∠在ACD △和CBE △中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD CBE AAS ≅∴3CE AD a ==在Rt BCE 中，2222(3)(2)13CB CE BE a a a =+=+=则213sin sin 13BE BCE CB aα=∠=== 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、正弦三角函数等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．二．填空题（共6小题）11. 正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．【答案】四【解析】试题分析：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．故答案为4．考点：轴对称图形．12. 面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是_____分．【答案】81【解析】【分析】根据加权平均数定义可得．【详解】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．13. 化简：2x4x22x+=--_____．【答案】x2+【解析】试题分析：先转化为同分母（x ﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解： ()()222x 2x 2x 4x 4x 4x 2x 22x x 22x x 2x 2+--+=-===+------． 14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为_____．【答案】10【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC ＝2BD ，再由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，AD 是角平分线，AD ＝12，∴BC ＝2BD ，AD ⊥BC ．在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+122＝132，解得BD ＝5，∴BC ＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．同时考查勾股定理的应用，能正确地识图，根据图形选择合适的方法进行求解是关键．15. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=_____．【答案】4.8．【解析】试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=AB•DH，即12×6×8=5•DH，解得DH=4.8．考点：菱形的性质．16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝14AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为203时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是_____．【答案】34265【解析】【分析】如图，作点Ｆ关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，GH+AG+GF的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，作点F关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝16， ∴AC 2AB ＝2∵PA ＝14AC ， ∴PA ＝2，∵PJ ⊥AJ ，∠PAJ ＝45°，∴PJ ＝AJ ＝4，BJ ＝16﹣4＝12， ∵PK ⊥BC ，∴∠B ＝∠PJB ＝∠PKB ＝90°， ∴四边形PJBK 是矩形，∴PK ＝BJ ＝12，∵S △PAE ＝203＝12•AE•PJ ， ∴AE ＝103，EJ ＝4﹣103＝23， ∵∠JPK ＝∠MPN ＝90°，∴∠JPE ＝∠FPK ，∵∠PJE ＝∠PKF ＝90°，∴△PJE ∽△PKF ， ∴PJ EJ PK FK=， ∴24312FK =， ∴FK ＝2，CF ＝12+2＝14，BF ＝2， ∴BH ＝14+16＝30，∴AF 22AB BF +22162+265AH 22AB BH +221630+34，∵GF ＝GH ，∴AG+FG ＝AG+GH ，∵AG+GH≥AH ，∴AG+GH≥34，∴GA+FG 的最小值为34，∴△AFG 的周长的最小值为34+故答案为：34+【点睛】本题考查了正方形的性质及最短路径问题，熟练使用正方形的性质，相似的判定及性质，最短路径的确定是解题的关键．三．解答题（共9小题）17. 计算：|1﹣6cos30°|﹣（﹣12）﹣2﹣（﹣3）0． 【答案】2【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝|1﹣﹣﹣1 ＝1﹣﹣1＝2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．18. 一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球． ①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．【答案】（1）①图见解析，29，②49；（2）23 【解析】【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是29；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是49；故答案为：49；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率4263 ；故答案为：23．【点睛】此题考查列表法或树状图求概率，难度一般,需注意实验为放回实验还是不放回实验．19. 如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF 交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．【答案】（1）2；（2）8【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵∠A＝45°，BD⊥AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，AD＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDB=∠DBA＝45°,∵EF⊥CD，∴EF⊥AB，∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，∵DF＝BE＝1，∴OE＝BE＝1，OF＝DF＝1，∴EF＝2；（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，∵OE＝EB＝OF＝DF＝1，∴OD＝OB2∴DB＝2，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB22224DB==，∴▱ABCD的面积＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积解答．20. 某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是队．【答案】（1）8，8；（2）乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）乙【解析】【分析】（1）由中位数、众数的定义求解即可；（2）根据平均数、方差的计算方法，计算出乙队的平均数和方差即可；（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动即可．【详解】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为8，8；（2）乙队的平均成绩为15（10+9+5+8+8）＝8，其方差S2乙＝15[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝15×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为乙．【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，掌握平均数、中位数、众数确定方法和方差的意义是解答本题的关键．21. 如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．【答案】（1）见解析；（2）①31，②50或130【解析】【分析】（1）根据OA＝OB，可以得到∠OBA＝∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA＝∠DAB，然后即可得到结论成立；（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．【详解】（1）证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠DAB，∴∠OAB＝∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为：21006360π⨯≈31（cm2），故答案为：31；②当点E在AEB上时，∵∠AOB＝100°，∴∠AEB＝50°，当点EAB 上时， ∠AEB ＝1(360100)1302︒︒︒-=故答案为：50或130．【点睛】本题以圆为背景，考查了角平分线的证明，扇形面积的计算，角度的计算，熟练掌握圆的相关性质，扇形的面积公式，圆周角定理是解题的关键．22. 某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系如表： 销售单价x/元40 50 60 70 每天的销售量y/件140 120 100 80(1)请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)表格数据符合一次函数的规律，2220y x =+﹣(40≤x≤70)；(2)销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元【解析】【分析】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y kx b =+，将(40，140)、(50，120)代入上式，即可求解；(2)设该商品每天获得的利润为w ，则(40w y x =-)，即可求解．【详解】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y kx b =+，将(40，140)、(50，120)代入上式得：1404012050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2220k b =⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2220(4070y x x =-+≤≤)；(2)设该商品每天获得的利润为w ，则(40w y x =-)=(2220x +﹣)(40x ﹣)2(110x =--)(40x -)(4070x ≤≤)； 对称轴为12x =(110+40)=75， ∵20<﹣，故当75x <时，w 随x 的增大而增大，而4070x ≤≤， ∴当x=70时，w 有最大值，此时，w=2400，故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求解析式，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w 与x 之间的函数关系式是解题关键．23. 如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝k x（k≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax+b 的图象交于点A(﹣3，1)、B(m ，3)．点C 的坐标为(1，0)，连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式k x≥ax+b 的解集 ； （3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标 ．【答案】（1）y ＝﹣3x ，y ＝x+4；（2）﹣1≤x ＜0或x≤﹣3；（3）(0，13)或(0113+【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分MC 是斜边、CA 是斜边、AM 是斜边三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：1＝3k -，解得：k ＝﹣3， 将点B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m ＝﹣1，故点B （﹣1，3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得： 133k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩， 故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y ＝﹣3x，y ＝x+4； （2）观察函数图象得，当x ＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式k x ≥ax+b 成立， 即不等式的解集为：﹣1≤x ＜0或x≤﹣3，故答案为：﹣1≤x ＜0或x≤﹣3；（3）设点M （0，m ）（m ＞0），点C （1，0）、A （﹣3，1），则MC 2＝1+m 2，CA 2＝（1+3）2+1＝17，AM 2＝9+（m ﹣1）2，当MC 是斜边时，则1+m 2＝17+9+（m ﹣1）2，解得：m ＝13；当CA 是斜边时，同理可得：m ； 当AM 是斜边时，同理可得：m ＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，几何图形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式，根据图象求取值范围，构成直角三角形的分类讨论是解题的关键．24. （1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝AB ＝，AG ＝4，AE ＝AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长【答案】（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ，见解析；（2）53﹣5；（3）63或83【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△GAD ≌△EAB ，可得BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，由直角三角形的性质可得BE ⊥DG ； （2）由“SAS ”可证△GAD ≌△EAB ，可得BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ＝15°，可得∠DEB ＝90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD ∽△AEB ，可得3DG AD BE AB ==，∠DGA ＝∠AEB ，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．【详解】解：（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ，理由如下：如图1：延长BE 交AD 于N ，交DG 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝AE ，AB ＝AD ，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，∴∠GAD ＝∠EAB ，∴△GAD ≌△EAB （SAS ），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，∵∠ABE +∠ANB ＝90°，∴∠ADG +∠DNH ＝90°，∴∠DHN ＝90°，∴BE ⊥DG ；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝2AB＝102，GE＝2AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝12BD＝52＝DG，DE＝3BE＝56，∴GE＝56﹣52，∴AE＝2＝53﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝35，故答案为：35；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD ＝13AB ＝39，AG ＝4，AE ＝3∴DB 22AB AD +16131639⨯+⨯13GE 22AG AE +1648+8，∠DAB ＝∠GAE ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ， 又∵3AD AG AB AE ==， ∴△AGD ∽△AEB ， ∴3DG AD BE AB ==，∠DGA ＝∠AEB ， ∴BE 3，∵∠DGA ＝∠GAE +∠DEA ，∠AEB ＝∠DEB +∠AED ，∴∠GAE ＝∠DEB ＝90°，∵DB 2＝DE 2+BE 2，∴64×13＝（DG +8）2+3DG 2，∴DG ＝12或DG ＝﹣16（舍去），∴BE ＝3∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝12BE ＝3 如图，当点E 在线段DG 上时，同理可求：BE＝163，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝12BE＝83，综上所述：MN为63或83，故答案为：63或83．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣12+35，0)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x ﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣55∴D（﹣50）．当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，可得'493''0cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣133x﹣4．故答案为：y＝﹣x2﹣133x﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=2CD；④△DCE与△BDF的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在Y ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S△DEF:S△ABF=（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：254．如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为（）A．100°B．80°C．50°D．20°5．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A ．20°B ．35°C ．15°D ．45°6．下列各数中是有理数的是（ ）A ．πB ．0C ．2D ．35 7．北京故宫的占地面积达到720 000平方米，这个数据用科学记数法表示为( ) A ．0.72×106平方米B ．7.2×106平方米C ．72×104平方米D ．7.2×105平方米8．如图，用一个半径为6cm 的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G 向下移动了3πcm ，则滑轮上的点F 旋转了（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．45°9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC 沿着CD 折叠后，点A 落在点E 处，则BE 的长为（ ）A ．5B ．42C ．7D ．5210．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，2AC =，下列结论中，正确的是（ ）A ．2sin AB A =B ．2cos AB A =C ．2tan BC A =D ．2cot BC A =11．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列几何体中，俯视图为三角形的是( )A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=6cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm1．（结果保留π）．14．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.15．对于一元二次方程2520x x-+=，根的判别式24b ac-中的b表示的数是__________．16．若分式方程x a2x4x4=+--的解为正数，则a的取值范围是______________．17．今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次，这个数据用科学记数法可记为_____．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝3CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；若菜园面积为384m2，求x的值；求菜园的最大面积．20．（6分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．现在平均每天生产多少台机器；生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．（1）求证；∠BDC＝∠A．（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．22．（8分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=1x+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．（1）函数y=1x+1的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移个单位得到；（2）函数y=1x+1的图象与x轴、y轴交点的情况是：；（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是．23．（8分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，3 1.732).24．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D在AC边上一点，连接BD，以BD为边在AB的左侧作等边△DEB，连接AE，求证：AB平分∠EAC．25．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？26．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27．（12分）小强想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道I上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小强计算湖中两个小亭A、B之间的距离.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正确；由折叠可得，DE=AE=3，∴2222-=，DE CE∴BD=BC﹣DC=4﹣221，∴BD＞CE，故②正确；∵BC=42CD=4，∴2CD，故③正确；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴2，∵△DCE的周长22，由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42+（4﹣2）2，∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；故选D．点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二、三、四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．D【解析】试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，从而DE：AB=DE：DC=2：5，所以S△DEF:S△ABF=4：25试题解析:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BA=DC∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∴DE：AB=DE：DC=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25，考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．4．B【解析】解：如图所示：由题意可得：∠1=30°，∠3=50°，则∠2=30°，故由DC∥AB，则∠4=30°+50°=80°．故选B．点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出∠3的度数是解题关键．5．A【解析】【分析】∠的根据∠ABD＝35°就可以求出»AD的度数，再根据»180=，可以求出»AB,因此就可以求得ABCBD︒度数，从而求得∠DBC【详解】解：∵∠ABD＝35°，∴的度数都是70°，∵BD为直径，∴的度数是180°﹣70°＝110°，∵点A为弧BDC的中点，∴的度数也是110°，∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，∴∠DBC＝＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．6．B【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C2是无理数，故本选项错误；D35故选B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．7．D【解析】试题分析：把一个数记成a×10n （1≤a<10，n 整数位数少1）的形式，叫做科学记数法． ∴此题可记为1．2×105平方米．考点：科学记数法8．B【解析】【分析】由弧长的计算公式可得答案.【详解】 解：由圆弧长计算公式l=180n r π,将l=3π代入, 可得n =90o ，故选B.【点睛】本题主要考查圆弧长计算公式l=180n r π，牢记并运用公式是解题的关键. 9．C【解析】【分析】连接AE ，根据余弦的定义求出AB ，根据勾股定理求出BC ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据面积公式出去AE ，根据翻转变换的性质求出AF ，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：连接AE ，∵AC=3，cos ∠CAB=13， ∴AB=3AC=9，由勾股定理得，22AB AC -2，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，∴CD=12AB=92，S △ABC =12×3×， ∵点D 为AB 的中点，∴S △ACD =12S △ABC =2，由翻转变换的性质可知，S 四边形ACED ，AE ⊥CD ，则12×CD×，解得，，∴，由勾股定理得，=72， ∵AF=FE ，AD=DB ，∴BE=2DF=7，故选C ．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．C【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【详解】∵90︒∠=C ，2AC =， ∴2cos AC A AB AB==， ∴2cos AB A =， 故选项A ，B 错误， ∵tan 2BC BC A AC ==， ∴2tan BC A =，故选项C 正确；选项D 错误．故选C ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．11．C【解析】【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×1072.估算面积为3的正方形的边长b的值（）A. 在0和1之间B. 在1和2之间C. 在2和3之间D. 在3和4之间3.某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 球4.不等式-x+3≥0的正整数解有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.一次函数y=-x-2的图像经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限6.下列运算正确的是（）A. m2+m2=2m2B. （m-n）（n-m）=n2-m2C. （-2mn）2=-4m2n2D. （2m）3÷m3=27.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④8.将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A. 15°B. 75°C. 85°D. 165°9.某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A. 25%B. 25C. 60D. 9010.如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.正六边形是轴对称图形，它有______ 条对称轴．12.面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是______分．13.化简：=______．14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB=13．AD=12．则BC的长为______．15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC=8cm，BD=6cm，则菱形ABCD的高DE=______cm．16.如图，在正方形ABCD中，AB=16．连接AC，点P在线段AC上，PA=AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是______分，乙队成绩的众数是______分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲=2，则成绩波动较大的是______队．四、解答题（本大题共8小题，共74.0分）18.计算：|1-6cos30°|-+（-）-2-（-3）0．19.一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率______．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率______．20.如图，▱ABCD中，∠A=45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE=DF=1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积______．21.如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB=100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为______cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB=______°．22.某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销x销售单价x/元40506070每天的销售量y/件14012010080（）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？23.如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y=（k≠0，x＜0）与一次函数y=ax+b的图象交于点A（-3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x＜0时，直接写出不等式≥ax+b的解集______；（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M 的坐标______．24.（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB=10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE=15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长______；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD=4，AB=4，AG=4，AE=4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长______25.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO=12，OB=9．抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF=1时．①直接写出点D的坐标______；②若△DEF的面积为30，当抛物线y=-x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：6 400 000=6.4×106，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】解：面积为3的正方形的边长b的值为，∵1＜＜2，∴实数的值在整数1和2之间．故选：B．根据正方形的面积公式可得面积为3的正方形的边长b的值为，因为1＜＜2，由此可以得到b的值的范围．此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出无理数的大小．3.【答案】A【解析】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．由已知三视图得到几何体是圆锥．本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键．4.【答案】C【解析】解：∵不等式-x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．【解答】解：∵-1＜0，∴一次函数y=-x-2的图象一定经过第二、四象限；又∵-2＜0，∴一次函数y=-x-2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y=-x-2的图象经过第二、三、四象限；故选D．6.【答案】A【解析】解：A、m2+m2=2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（m-n）（n-m）=-（n2-mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C、（-2mn）2=4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2m）3÷m3=8m3÷m3=8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法，即可判断得出答案．此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．8.【答案】B【解析】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°-45°=15°，所以α的余角为75°，故选：B．根据三角形的外角的性质计算即可．本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：调查的总人数有：24÷10%=240（人），美术所占的百分比是：×100%=30%，则音乐所占的百分比是：1-15%-10%-20%-30%=25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%=90°；故选：D．根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．10.【答案】A【解析】解：如图，过点A作AD⊥l4于D，过点B作BE⊥l4于E，设l1，l2，l3，l4间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE=AD=3，在Rt△BCE中，BC===，∴sinα===．故选：A．过点A作AD⊥l4于D，过点B作BE⊥l4于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11.【答案】6【解析】解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．根据轴对称图形的特点可直接求解．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．12.【答案】81【解析】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%=81（分）．故答案为：81．根据加权平均数定义可得．本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．13.【答案】x+2【解析】解：+=-==x+2．故答案为：x+2．先转化为同分母（x-2）的分式相加减，然后约分即可得解．本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．14.【答案】10【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC=13，AD是角平分线，AD=12，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，即BD2+122=132，解得BD=5，∴BC=10．故答案为：10．先根据等腰三角形的性质得出BC=2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15.【答案】4.8【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC=8cm，BD=6cm，∴菱形的面积==24cm2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=4cm，OD=3cm，∴AD=，∴AB=5cm，∴菱形的面积=AB•DE=24cm2，∴DE=cm，故答案为：4.8．根据菱形的面积公式得出其面积，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出DE即可．考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半．16.【答案】+【解析】解：如图，作点G关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．∵四边形ABCD是正方形，AB=16，∴AC=AB=16，∵PA=AC，∴PA=4，∵PJ⊥AJ，∠PAJ=45°，∴PJ=AJ=4，BJ=16-4=12，∵PK⊥BC，∴∠B=∠PJB=∠PKB=90°，∴四边形PJBK是矩形，∴PK=BJ=12，∵S△PAE==•AE•PJ，∴AE=，EJ=4-=，∵∠JPK=∠MPN=90°，∴∠JPE=∠FPK，∵∠PJE=∠PKF=90°，∴△PJE∽△PKF，∴=，∴=，∴FK=，CF=12+=，BF=，∴BH=+16=，∴AF===，AH===，∵GF=GH，∴AG+FG=AG+GH，∵AG+GH≥AH，∴AG+GH≥，∴GA+FG的最小值为，∴△AFG的周长的最小值为+．故答案为+．如图，作点G关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，QCAG +GF的最小值即可解决问题．本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】8 8 乙【解析】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为：8，8；（2）乙队的平均成绩为（10+9+5+8+8）=8，其方差S2乙=[（10-8）2+（9-8）2+（5-8）2+（8-8）2+（8-8）2]=×14=2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为：乙．（1）根据中位数、众数的定义直接求解即可；（2）根据平均数、方差的计算方法，先计算乙队的平均数，再求乙队的方差；（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动的大小．本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小．18.【答案】解：原式=|1-6×|-3+4-1=3-1-3+4-1=2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】【解析】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率=；故答案为：．（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】8【解析】解：（1）∵∠A=45°，BD⊥AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA=45°，AD=DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵EF⊥CD，∴EF⊥AB，∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，∵DF=BE=1，∴OE=BE=1，OF=DF=1，∴EF=2；（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，∵OE=EB=OF=DF=1，∴OD=OB=，∴DB=2，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB=，∴▱ABCD的面积=AB•EF=4×2=8．故答案为：8．（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积解答．21.【答案】31 50或130【解析】（1）证明：∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA=∠DAB，∴∠OAB=∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB=100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），故答案为：31；②当点E在优弧AB上时，∵∠AOB=100°，∴∠AEB=50°，当点E在劣弧AB上室，∠AEB=180°-50°=130°，故答案为：50或130．（1）根据OA=OB，可以得到∠OBA=∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA=∠DAB，然后即可得到结论成立；（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】解：（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y=kx+b，将（40，140）、（50，120）代入上式得：，解得：，故函数的表达式为：y=-2x+220（40≤x≤70）；（2）设该商品每天获得的利润为w，则w=y（x-40）=（-2x+200）（x-40）=-2（x-100）（x-40）（40≤x≤70）；∵-2＜0，故w有最大值，当x=（100+40）=70时，w最大值，最大值为1800，故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【解析】（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y=kx+b，将（40，140）、（50，120）代入上式，即可求解；（2）设该商品每天获得的利润为w，则w=y（x-40），即可求解．此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．23.【答案】-1≤x＜0或x≤-3 （0，13）或（0，）【解析】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1=，解得：k=-3，将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m=-1，故点B（-1，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y=-，y=x+4；（2）观察函数图象得，当x＜0时，x≥-1或x≤-3时，不等式≥ax+b成立，即不等式的解集为：-1≤x＜0或x≤-3，故答案为：-1≤x＜0或x≤-3；（3）设点M（0，m）（m＞0），点C（1，0）、A（-3，1），则MC2=1+m2，CA2=（1+3）2+1=17，AM2=9+（m-1）2，当MC是斜边时，则1+m2=17+9+（m-1）2，解得：m=13；当CA是斜边时，同理可得：m=（负值已舍去）；当AM是斜边时，同理可得：m=-4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，）．（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分MC是斜边、CA是斜边、AM是斜边三种情况，分别求解即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．24.【答案】5-5 6或8【解析】解：（1）BE=DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠DAB=90°，∴∠GAD=∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，∵∠ABE+∠ANB=90°，∴∠ADG+∠DNH=90°，∴∠DHN=90°，∴BE⊥DG；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG=AE，AB=AD=10，∠GAE=∠DAB=90°，∠ADB=45°=∠ABD，BD=AB=10，GE=AE，∴∠GAD=∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE=DG，∠ADG=∠ABE=15°，∴∠BDE=45°-15°=30°，∠DBE=45°+15°=60°，∴∠DEB=90°，∴BE=BD=5=DG，DE=BE=5，∴GE=5-5，∴AE==5-5，当点E在线段DG上时，同理可求AE=5-5，故答案为：5-5；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD=4，AB=4，AG=4，AE=4，∴DB===8，GE===8，∠DAB=∠GAE=90°，∴∠DAG=∠BAE，又∵=，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA=∠AEB，∴BE=DG，∵∠DGA=∠GAE+∠DEA，∠AEB=∠DEB+∠AED，∴∠GAE=∠DEB=90°，∵DB2=DE2+BE2，∴64×13=（DG+8）2+3DG2，∴DG=12或DG=-16（舍去），∴BE=12，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN=BE=6；如图，当点E在线段DG上时，同理可求：BE=16，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN=BE=8，综上所述：MN为6或8，故答案为：6或8．（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE=DG，∠ADG=∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE=DG，∠ADG=∠ABE=15°，可得∠DEB=90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA=∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】（-12+3，0）或（-3，0）y=-x2-x-4【解析】解：（1）由题意A（-12，0），B（0，-9），把A，B的坐标代入y=-x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-x-9．（2）如图1中，设M（m，-m2-m-9），S△ABM=S△ACM+S△MBC-S△ACB=×9×（m+12）+×12×（-m2-m-9+9）-×12×9=-6m2-72m=-6（m+6）2+216，∵-6＜0，∴m=-6时，△ABM的面积最大，此时M（-6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD=FB，∵F（-12，-10），B（0，-9），∴102+（m+12）2=122+12，∴m=-12-3（舍弃）或-12+3，∴D（-12+3，0）．当点F在线段AC上时，同法可得D（-3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（-12+3，0）或（-3，0）．故答案为（-12+3，0）或（-3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（-3，0），E（0，-4），把D，E代入y=-x2+b′x+c′，可得，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-x-4．故答案为y=-x2-x-4．（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，-m2-m-9），根据S△ABM=S△ACM+S△MBC-S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD=FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
辽宁省沈阳市2020年中考数学二模试卷解析教师版(26页)
辽宁省沈阳市2020年中考数学二模试卷数学试题一．选择题（每题2分，满分20分）1.在实数3.14，﹣π，13 ）A. B. 13 C. ﹣π D. 3.14【答案】A【解析】【分析】先根据倒数的定义计算，再比较大小解答．【详解】解：在3.14，﹣π，13所以先求两个负数的倒数：﹣π的倒数是﹣1π≈﹣0.3183≈﹣4472， 所以﹣1π 故选：A ．【点睛】本题考查了倒数的定义．解题的关键是掌握倒数的定义，会比较实数的大小．2.据报道，2020年某市户籍人口中，60岁以上的老人有1230000人，预计未来五年该市人口“老龄化”还将提速．将1230000用科学记数法表示为（ ）A. 12.3×105B. 1.23×105C. 0.12×106D. 1.23×106【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中1≤a ＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】将1230000用科学记数法表示为1.23×106．故选：D ．【点睛】本题考查科学记数法-表示较大的数，解题的关键是准确确定科学记数法的表示形式10n a ⨯中a 和n 的值．3.如图所示的是由完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据左视图是指从几何体的左侧观察得出的图形作答．【详解】这个立体图形的左视图为：故选D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．4.若24a =，29b =，且0ab <，则-a b 的值为( )A. 5±B. 2-C. 5D. 5-【答案】A【解析】【分析】首先根据平方根的定义求出a 、b 的值，再由ab ＜0，可知a 、b 异号，由此即可求出a-b 的值．【详解】解：∵a 2=4，b 2=9，∴a=±2，b=±3，而ab ＜0，∴①当a ＞0时，b ＜0，即当a=2时，b=-3，a-b=5；②a ＜0时，b ＞0，即a=-2时，b=3，a-b=-5．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．5.如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A. ∠α+∠β＝95°B. ∠β﹣∠α＝95°C. ∠α+∠β＝85°D. ∠β﹣∠α＝85°【答案】D【解析】【分析】过点C作CF∥AB，然后利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补进行推理证明即可. 【详解】解：过点C作CF∥AB∵AB∥DE，CF∥AB∴AB∥DE∥CF∴∠BCF=∠α∠DCF+∠β=180°∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF∴∠α+180°-∠β=95°∴∠β﹣∠α＝85°故选：D【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是本题的解题关键.6.下列事件中，属于必然事件的是（）A. 三角形的外心到三边的距离相等B. 某射击运动员射击一次，命中靶心C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C）点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7.已知多边形的每个内角都是108°,则这个多边形是( )A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．【详解】∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°-108°=72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°=5，∴这个多边形是五边形，故选A ．【点睛】此题考查多边形的外角与内角，解题关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．8. 将函数y=﹣3x 图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）A. 32y x =-+B. 32y x =--C. ()32y x =-+D. ()32y x =-- 【答案】A【解析】试题分析：直接根据一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可：∵将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+2．故选A．考点：一次函数图象与平移变换．9.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个同号的实数根D. 没有实数根【答案】D【解析】【分析】关于x的方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解．【详解】∵y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是没有实数根，故选D．【点睛】此题主要考查了方程ax2+bx+c=0的根的情况，关键是看函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点．10.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④【答案】D【解析】分析】 ①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；②求出△BAE ∽△CAD ，得出比例式，把AB 代入，即可求出答案；③通过等积式倒推可知，证明△PME ∽△AMD 即可；④2CB 2转化为AC 2，证明△ACP ∽△MCA ，问题可证．【详解】∵在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，∠ABC=∠AED=90°，∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，即∠CAM=∠DEM=90°，∵∠CMA=∠DME ， ∴△CAM ∽△DEM ，故①正确；由已知：AB ，AE ， ∴AC AD AB AE=， ∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE ∽△CAD ， ∴BA BE AC CD=，即BE CD =，即BE ，故②错误； ∵△BAE ∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME ∽△AMD【∴MP ME MA MD，∴MP•MD=MA•ME，故③正确；由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AB，∴2CB2=CP•CM，故④正确；即正确的为：①③④，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二．填空题（每题3分，满分18分）11.在九年级体育考试中，某校某班参加仰卧起坐测试的8名女生成绩如下（单位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45，则这组数据的众数为_____．【答案】45【解析】【分析】在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数）则这组数据的众数为45.【详解】解：这组数据的众数为45.故答案为45.【点睛】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．12.如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为_____m．【答案】7.5【解析】试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB ）∵最小值3m ）∴AB =3m ）∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC =5m ）∴BC =4）又可得△CAB ∽△CFE ） ∴BC AB EC EF=， ∵AE =5m ） ∴4310EF =， 解得：EF =7.5m .故答案为7.5.点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.13.不等式组2021x x x -⎧⎨>-⎩… 的最小整数解是_____． 【答案】0【解析】【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【详解】解：不等式组整理得：21xx⎧⎨>-⎩…，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为0【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝kx交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是_____．【答案】34．【解析】【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图像上的点的坐标特征得到A点（2，0），B点（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB＝，所以，EF＝12AB，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DE＝2EF＝1，设F点坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上的点的坐标特征得到t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝12，则E点坐标为（32，12），继而可求得k的值．【详解】如图，作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，由直线y＝﹣x+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝，∴EF＝12AB，∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD＝DE＝2EF＝1，设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝12，∴E点坐标为（32，12），∴k＝32×12＝34．故答案为34．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数kyx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k,即xy＝k．15.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______．【答案】1【解析】【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】解：连接BC ，由网格可得2322125AB BC ==+= ，2221310AC =+=，即2225510AB BC AC +=+==，∴ABC V 为等腰直角三角形，∴45BAC ∠=︒，则1tan BAC ∠=，故答案为1.【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE ＝12EB ，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 的值为_____．【答案】【解析】【分析】连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S △DEC =S △DFA =12S 平行四边形ABCD ，求出AF×DP=CE×DQ ，求出BF=1，BE=2，BN=12，BM=a ，，CM=，求出CE=【详解】解：连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S △DEC ＝S △DFA ＝12S 平行四边形ABCD ，即12AF ×DP ＝12CE ×DQ ， ∴AF ×DP ＝CE ×DQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵∠DAB ＝60°，∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°，∴∠BFN ＝∠MCB ＝30°，∵AB ＝3，BC ＝2，∴设AB ＝3a ，BC ＝2a ，∵AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，∴BF ＝1，BE ＝2，BN ＝12，BM ＝1，由勾股定理得：FN CM ，AF CEDP ＝DQ∴DP ：DQ ＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF ×DP=CE ×DQ 和求出AF 、CE 的值．三．解答题17.先化简，再求值：（2﹣11x x -+）÷22691x x x ++-，其中x ﹣3．【答案】13x x -+；1﹣ 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝()()()211221·13x x x x x x +-+-+++ =()()()2113·13x x x x x +-+++ ＝13x x -+， 当x﹣31==- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.18.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点（不与点A 重合），连结BE ，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连结BP 、EQ ．求证：四边形BPEQ 是菱形．【答案】详见解析【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE ，由ASA 证明△BOQ ≌△EOP ，得出PE=QB ，证出四边形BPEQ 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；【详解】证明：∵PQ 垂直平分BE ，∴PB ＝PE ，OB ＝OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠PEO ＝∠QBO ，在△BOQ 与△EOP 中，PEO QBO OB OEPOE QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOQ ≌△EOP （ASA ），∴PE ＝QB ，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、本题综合性强，有一定难度．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明．19.甲口袋中有三个球分别标有数码1，-2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，-5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．【答案】（1）详见解析；（2）49 P=【解析】【分析】利用列表法展示所有可能的结果，再找出两次摸出的小球数字之积是负数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解（1）列表法如下表示：（2）由（1）可知，共有9种可能的乘积，其中乘积为负数的有4个，则抽取的两个球数码的乘积为负数的概率49 P=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．四．解答题20.目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行了调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m=___________，n=_____________；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生种，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？【答案】（1）100，35；（2）详见解析；（3）800人．【解析】【分析】（1）由共享单车的人数以及其所占百分比可求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购的百分比可求得网购人数，用微信人数除以总人数求得其百分比，由此即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比即可求得答案．【详解】（1）抽查的总人数m=10÷10%=100，支付宝的人数所占百分比n%=35100100%⨯=35%，所以n=35，故答案为：100，35；（2）网购人数为：100×15%=15人，微信对应的百分比为：40100%40% 100⨯=，补全图形如图所示：（3）估算全校2000名学生种，最认可“微信”这一新生事物的人数为：2000×40%=800人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关问题，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键．21.某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x(元)(x＞50)，每周获得的利润为y(元)．(1)求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；(2)求y与x之间的函数关系式；(3)该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润最大？最大值是多少？【答案】）1）2210））2）y））10x2+1100x）28000））3）包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是2250元．【解析】【分析】）1）根据利润=每件的利润×销售量即可））2）根据利润=每件的利润×销售量即可．）3）根据（2）中关系式，将它化为顶点式即可．【详解】）1））53）35）5）×[200））53）50）×10]）13×170）2210（元）．答：每周获得的利润为2210元；）2）由题意，y））x）35）5）[200）10）x）50）]即y与x之间的函数关系式为：y））10x2+1100x）28000））3）∵y））10x2+1100x）28000））10）x）55）2+2250）∵）10）0）∴包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是2250元．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，将实际问题转化为数学模型求解，注意配方法求二次函数最值的应用五．解答题22.如图，以AB为直径的）O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作）O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cos B＝35，求DE的长．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】【分析】（1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DF，而DF⊥BC，根据平行线的判定得到OD∥BC，然后利用平行线的性质和等量代换可得∠OAD=∠C，则根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，由平行线的性质得cos∠DOG=cosB=35，则在Rt△ODG中利用余弦可计算出r=3，再在Rt△ODH中利用余弦可求出OH=95，则AH=65，利用勾股定理可计算出AD，然后证明DE=AD即可．【详解】（1）证明：连结OD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C，而OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠C，∴BA＝BC；（2）作DH⊥AB于H，如图，设）O的半径为r，∵OD∥BC，∴∠B＝∠DOG，∴cos∠DOG＝cosB＝35，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG＝ODOG，即325rr=+，∴r＝3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH＝35 OHOD=，∴OH＝95，∴AH＝3﹣95＝65，在Rt△ADH中，AD5=，∵∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，而OA＝OB，OD∥BC，∴AD＝CD，∴DE＝AD＝5．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决（2）小题的关键是利用三角函数的定义和勾股定理求出圆的半径和AD的长，再证明DE=AD ．六．解答题23.如图①，已知直线y ））2x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ）C ，以OA ）OC 为边在第一象限内作长方形OABC ） ）1）求点A ）C 的坐标；）2）将△ABC 对折，使得点A 的与点C 重合，折痕交AB 于点D ，求直线CD 的解析式（图②）） ）3）在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得△APC 与△ABC 全等？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】）1）A）2）0））C）0）4）））2）344y x =-+））3）存在）P 的坐标为）0）0）或168,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或612,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】分析】（1）已知直线y=-2x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，即可求得A 和C 的坐标；（2）根据题意可知）ACD 是等腰三角形，算出AD 长即可求得D 点坐标，最后即可求出CD 的解析式； （3）将点P 在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P 的坐标．【详解】（1）（1）令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，∴A （2，0），令x=0，则y=4，∴C （0，4）；（2）由折叠知：CD=AD ．设AD=x ，则CD=x ，BD=4-x ，根据题意得：（4-x）2+22=x2解得：x=5 2此时，AD=52，D(2，52)设直线CD为y=kx+4，把D(2，52)代入得52=2k+4解得：k=-3 4）该直线CD解析式为y=-34x+4．（3））当点P与点O重合时，）APC））CBA，此时P（0，0））当点P在第一象限时，如图，由）APC））CBA得）ACP=）CAB，则点P在直线CD上．过P作PQ）AD于点Q，在Rt）ADP中，AD=52，PD=BD=4-52=32，AP=BC=2由AD×PQ=DP×AP得：52PQ=3）PQ=6 5）x P=2+65=165，把x=165代入y=-34x+4得y=85此时P(165，85)（也可通过Rt）APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标））当点P在第二象限时，如图同理可求得：CQ=8 5）OQ=4-85=125此时P(-65，125)综合得，满足条件的点P有三个，分别为：P1（0，0）；P2(165，85)；P3(-65，125)．考点：一次函数综合题．24.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形，证明详见解析；（3）492．的【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝∴MN 最大＝=∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×（2＝492； 方法2：由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝12BD ， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，∴BD ＝AB+AD ＝14，∴PM ＝7，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×72＝492． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=12CE ，PN=12BD ，解（2）的关键是判断出△ABD ≌△ACE ，解（3）的关键是判断出BD 最大时，△PMN 的面积最大，是一道中考常考题．七．解答题25.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -. （1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ∆=,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.【答案】（l ）224233y x x =-- ；（2）点P 的坐标为104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 到y 轴的距离为118 . 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，计算即可.（2）首先设出P 点的坐标，再利用PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-求解未知数，可得P 点的坐标.（3）首先求出直线AB 的解析式，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，再利用平行证明MD MB =，列出方程求解参数，即可的点M 到y 轴的距离.【详解】（l ）因为抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)-，∴2c =-，又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)-∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩解，得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，抛物线表达式为224233y x x =-- （2）连接PO ，设点224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 则PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-2124113232223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--+⨯⨯-⨯⋅ ⎪⎝⎭ 23m m =-由题意得234m m -=∴4m =或1m =-（舍） ∴224102333m m --= ∴点P 的坐标为104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点(3,0)A 、(0,2)B -，∴302k n n +=⎧⎨=-⎩解，得232k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以AB 的表达式为223y x =- 设存在点M 满足题意，点M 的坐标为224,233t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，则D 的坐标为2,23t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2223MD t t =-+，22433BE t t =-+. 又MD y P 轴∴ABO MDB ∠=∠又∵ABO ABM ∠=∠∴MDB ABM ∠=∠∴MD MB = ∴2223MB t t =-+.在Rt BEM ∆中 222222422333t t t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：118t = 所以点M 到y 轴的距离为118 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合性问题，难度系数高,但是是中考的必考知识点,应当熟练地掌握.。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试题
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1.地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×1072.面积为3的正方形的边长范围在（）A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间3.某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 球4.不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三，四象限D. 第二、三、四象限6.下列运算正确的是（）A. m2+m2＝2m2 B. （m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2 C. （﹣2mn）2＝﹣4m2n2 D. （2m）3÷m3＝27.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④8.将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A. 15°B. 75°C. 85°D. 165°9.某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A. 25%B. 25C. 60D. 9010.如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A. 213B.313C.32D.23二．填空题（共6小题）11.正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．12.面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是_____分．13.化简：2x4x22x+=--_____．14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为_____．15.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH= ．16.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝14AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP的面积为203时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是_____．三．解答题（共9小题） 17.计算：|1﹣6cos30°|27+（﹣12）﹣2﹣（﹣3）0． 18.一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同． （1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球． ①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率； ②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．19.如图，▱ABCD 中，∠A ＝45°，连接BD ，且BD ⊥AD ，点E 、点F 分别是AB 、CD 上的点，连接EF 交BD 于点O ，且EF ⊥CD ，BE ＝DF ＝1． （1）求EF 长；（2）直接写出▱ABCD 的面积 ．20.某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是队．21.如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．22.某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如表：销售单价x/元40 50 60 70每天的销售量y/件140 120 100 80(1)请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？23.如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y＝kx（k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A(﹣3，1)、B(m，3)．点C的坐标为(1，0)，连接AC，BC．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x ＜0时，直接写出不等式kx≥ax+b 的解集 ； （3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标 ．24.（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝413，AB ＝439，AG ＝4，AE ＝43，将矩形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长25.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ． （1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标； （3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时． ①直接写出点D 的坐标 ；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式．2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1.地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×107C由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6400000=6.4×106，故选C．点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.面积为3的正方形的边长范围在（）A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间B先求出边长，然后根据无理数的估算判断即可．【详解】解：∵正方形的面积为3，∴正方形的边长为3∵1＜3＜2∴面积为3的正方形的边长范围在1和2之间故选B．本题是对无理数知识的考查，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．3.某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 球A由已知三视图得到几何体是圆锥．【详解】由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选A．本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键．4.不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个C先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．【详解】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三，四象限D. 第二、三、四象限D根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．【详解】∵﹣1＜0，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限，又∵﹣2＜0，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限，故选D．本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．6.下列运算正确的是（）A. m2+m2＝2m2B. （m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C. （﹣2mn）2＝﹣4m2n2D. （2m）3÷m3＝2A根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．【详解】解：A.m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B.(m﹣n)(n﹣m)＝﹣(n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C.(﹣2mn)2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D.(2m)3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式是解题的关键．7.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④D根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法，即可判断得出答案．【详解】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．此题主要考查了尺规作图，正确把握作图方法是解题关键．8.将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A. 15°B. 75°C. 85°D. 165°B根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，∴α的余角为75°，故选：B．本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9.某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A. 25%B. 25C. 60D. 90D根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．【详解】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：72240×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D．此题考查根据条形统计图和扇形统计图求总体并求各部分所占扇形统计图的圆心角度数．10.如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A. 213B. 313C. 32D. 23A 如图（见解析），过点A 作4AD l ⊥于D ，过点B 作4BE l ⊥于E ，先根据同角的余角相等求出CAD BCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得CE AD =，然后利用勾股定理列式求出BC 的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得．【详解】如图，过点A 作4AD l ⊥于D ，过点B 作4BE l ⊥于E ，设1234l ,l ,l ,l 间的距离为(0)a a > 则3,2AD a BE a ==ABC 是等腰直角三角形90,ACB AC CB ∴∠=︒=∵90CAD ACD ∠+∠=︒，18090BCE ACD ACB ∠+∠=︒-∠=︒∴CAD BCE ∠=∠在ACD 和CBE △中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD CBE AAS ≅∴3CE AD a ==在Rt BCE 中，2222(3)(2)13CB CE BE a a a =+=+=则213sin sin 1313BE BCE CB aα=∠=== 故选：A ．本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、正弦三角函数等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．二．填空题（共6小题）11.正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．四试题分析：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．故答案为4．考点：轴对称图形．12.面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是_____分．81根据加权平均数定义可得．【详解】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 13.化简：2x 4x 22x +=--_____． x 2+ 试题分析：先转化为同分母（x ﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解： ()()222x 2x 2x 4x 4x 4x 2x 22x x 22x x 2x 2+--+=-===+------． 14.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为_____．10先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分线，AD＝12，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+122＝132，解得BD＝5，∴BC＝10．故答案为：10．本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．同时考查勾股定理的应用，能正确地识图，根据图形选择合适的方法进行求解是关键．15.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ．4.8．试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=AB•DH，即12×6×8=5•DH，解得DH=4.8．考点：菱形的性质．16.如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝14AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为203时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是_____．1631837+如图，作点Ｆ关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，GH+AG+GF的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，作点F关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．∵四边形ABCD是正方形，AB＝16，∴AC2AB＝2，∵PA＝14 AC，∴PA＝2，∵PJ⊥AJ，∠PAJ＝45°，∴PJ＝AJ＝4，BJ＝16﹣4＝12，∵PK⊥BC，∴∠B＝∠PJB＝∠PKB＝90°，∴四边形PJBK是矩形，∴PK＝BJ＝12，∵S△PAE＝203＝12•AE•PJ，∴AE＝103，EJ＝4﹣103＝23，∵∠JPK＝∠MPN＝90°，∴∠JPE＝∠FPK，∵∠PJE＝∠PKF＝90°，∴△PJE∽△PKF，∴PJ EJ PK FK=，∴2438FK =，∴FK＝43，CF＝12+43＝403，BF＝83，∴BH＝403+16＝883，∴AF，AH∵GF＝GH，∴AG+FG＝AG+GH，∵AG+GH≥AH，∴AG+GH≥3∴GA+FG∴△AFG．．本题考查了正方形的性质及最短路径问题，熟练使用正方形的性质，相似的判定及性质，最短路径的确定是解题的关键．三．解答题（共9小题）17.计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣12）﹣2﹣（﹣3）0． 2 直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝|1﹣6×32|﹣33+4﹣1 ＝33﹣1﹣33+4﹣1＝2．本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．18.一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．（1）①图见解析，29，②49；（2）23（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种， 则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是29； ②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是49；故答案为：49；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率4263 ；故答案为：23．此题考查列表法或树状图求概率，难度一般,需注意实验为放回实验还是不放回实验．19.如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．（1）2；（2）8（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵∠A＝45°，BD⊥AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，AD＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDB=∠DBA＝45°,∵EF⊥CD，∴EF⊥AB，∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，∵DF＝BE＝1，∴OE＝BE＝1，OF＝DF＝1，∴EF＝2；（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，∵OE＝EB＝OF＝DF＝1，∴OD＝OB，∴DB＝，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB4==，∴▱ABCD的面积＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积解答．20.某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是队．（1）8，8；（2）乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）乙（1）由中位数、众数的定义求解即可；（2）根据平均数、方差的计算方法，计算出乙队的平均数和方差即可；（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动即可．【详解】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为8，8；（2）乙队的平均成绩为15（10+9+5+8+8）＝8，其方差S2乙＝15[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝15×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为乙．本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，掌握平均数、中位数、众数确定方法和方差的意义是解答本题的关键．21.如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．（1）见解析；（2）①31，②50或130（1）根据OA＝OB，可以得到∠OBA＝∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA＝∠DAB，然后即可得到结论成立；（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．【详解】（1）证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠DAB，∴∠OAB＝∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB 的面积为：21006360π⨯≈31（cm 2）， 故答案为：31；②当点E 在AEB 上时，∵∠AOB ＝100°，∴∠AEB ＝50°，当点E 在AB 上时，∠AEB ＝1(360100)1302︒︒︒-=故答案为：50或130．本题以圆为背景，考查了角平分线的证明，扇形面积的计算，角度的计算，熟练掌握圆的相关性质，扇形的面积公式，圆周角定理是解题的关键．22.某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系如表：销售单价x/元40 50 60 70 每天的销售量y/件140120 100 80 (1)请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(1)表格数据符合一次函数的规律，2220y x =+﹣(40≤x≤70)；(2)销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y kx b =+，将(40，140)、(50，120)代入上式，即可求解；(2)设该商品每天获得的利润为w ，则(40w y x =-)，即可求解．【详解】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y kx b =+，将(40，140)、(50，120)代入上式得：1404012050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2220k b =⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2220(4070y x x =-+≤≤)；(2)设该商品每天获得的利润为w ，则(40w y x =-)=(2220x +﹣)(40x ﹣)2(110x =--)(40x -)(4070x ≤≤)； 对称轴为12x =(110+40)=75， ∵20<﹣，故当75x <时，w 随x 的增大而增大，而4070x ≤≤， ∴当x=70时，w 有最大值，此时，w=2400，故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元．本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求解析式，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w 与x 之间的函数关系式是解题关键．23.如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝k x（k≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax+b 的图象交于点A(﹣3，1)、B(m ，3)．点C 的坐标为(1，0)，连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式k x≥ax+b 的解集 ； （3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标 ．（1）y ＝﹣3x ，y ＝x+4；（2）﹣1≤x ＜0或x≤﹣3；（3）(0，13)或(0，12+) （1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分MC 是斜边、CA 是斜边、AM 是斜边三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：1＝3k -，解得：k ＝﹣3， 将点B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m ＝﹣1，故点B （﹣1，3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得： 133k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩， 故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y ＝﹣3x，y ＝x+4； （2）观察函数图象得，当x ＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式k x ≥ax+b 成立， 即不等式的解集为：﹣1≤x ＜0或x≤﹣3，故答案为：﹣1≤x ＜0或x≤﹣3；（3）设点M （0，m ）（m ＞0），点C （1，0）、A （﹣3，1），则MC 2＝1+m 2，CA 2＝（1+3）2+1＝17，AM 2＝9+（m ﹣1）2，当MC 是斜边时，则1+m 2＝17+9+（m ﹣1）2，解得：m ＝13；当CA 是斜边时，同理可得：m ； 当AM 是斜边时，同理可得：m ＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，12+）． 本题考查了反比例函数与一次函数，几何图形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式，根据图象求取值范围，构成直角三角形的分类讨论是解题的关键． 24.（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由． （2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ； （3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝AB ＝，AG ＝4，AE ＝43，将矩形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ，见解析；（2）53﹣5；（3）63或83（1）由“SAS ”可证△GAD ≌△EAB ，可得BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，由直角三角形的性质可得BE ⊥DG ； （2）由“SAS ”可证△GAD ≌△EAB ，可得BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ＝15°，可得∠DEB ＝90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD ∽△AEB ，可得3DG AD BE AB ==，∠DGA ＝∠AEB ，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．【详解】解：（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ，理由如下：如图1：延长BE 交AD 于N ，交DG 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝AE ，AB ＝AD ，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，∴∠GAD ＝∠EAB ，∴△GAD ≌△EAB （SAS ），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，∵∠ABE +∠ANB ＝90°，∴∠ADG +∠DNH ＝90°，∴∠DHN ＝90°，∴BE ⊥DG ；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝2AB＝102，GE＝2AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝12BD＝52＝DG，DE＝3BE＝56，∴GE＝56﹣52，∴AE＝2＝53﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝35，故答案为：35；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD ＝13AB ＝39，AG ＝4，AE ＝3∴DB 22AB AD +16131639⨯+⨯13GE 22AG AE +1648+8，∠DAB ＝∠GAE ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ， 又∵3AD AG AB AE ==， ∴△AGD ∽△AEB ， ∴3DG AD BE AB ==，∠DGA ＝∠AEB ， ∴BE 3，∵∠DGA ＝∠GAE +∠DEA ，∠AEB ＝∠DEB +∠AED ，∴∠GAE ＝∠DEB ＝90°，∵DB 2＝DE 2+BE 2，∴64×13＝（DG +8）2+3DG 2，∴DG ＝12或DG ＝﹣16（舍去），∴BE ＝3∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝12BE ＝3 如图，当点E 在线段DG 上时，同理可求：BE＝163，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝12BE＝83，综上所述：MN为63或83，故答案为：63或83．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO ＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣12+35，0)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x﹣4 （1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷(有标准答案)
辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．12．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条B．2条C．3条D．6条3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣64．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．46．化简﹣的结果是（）A．B．C．D．7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾二、填空题11．分解因式：y3﹣y= ．12．解不等式组的整数解是．13．正五边形每个内角的度数为．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m= p=（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为间，客房日租金的总收入是．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为，点C的坐标为，AC的长为；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为，点H 抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．1【考点】18：有理数大小比较．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜0，＞0，0.5＞0，1＞0，∴各数中比0小的是﹣2．故选：A．2．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条B．2条C．3条D．6条【考点】P3：轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故选C．3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣6【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：把0.0000382用科学记数法表示为3.82×10﹣5，故选：B．4．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°【考点】IL：余角和补角．【分析】根据互补两角之和为180°，求解即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣∠1=140°．故选：C．5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．4【考点】W4：中位数．【分析】按大小顺序排列这组数据，中间两个数的平均数是中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，3，3，4，4，5，位置处于中间的数是：3，4，所以组数据的中位数是（3+4）÷2=3.5．故选B．6．化简﹣的结果是（）A．B．C．D．【考点】6B：分式的加减法．【分析】原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+=，故选D7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，∴红球所占的比例为100%﹣15%﹣45%=40%，设盒子中共有红球x个，则×100%=40%，解得：x=80．故选：B．8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数和常数项的符号确定二次函数的草图，从而确定其经过的象限即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣3x2﹣2中a=﹣3＜0，b=﹣2＜0，∴草图为：∴二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选D．9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，得出规律，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；∴第⑨个图形中共有三角形的总数为4×9﹣3=33；故选：A．10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾【考点】AA：根的判别式．【分析】讨论：即k=1，方程化为一元一次方程，有一个解；当k﹣1≠0时，根据判别式的意义得到△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综合两种情况可得到k的范围．【解答】解：当k﹣1=0时，即k=1，方程化为2x=0，解得x=0；当k﹣1≠0时，△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综上所述，k的范围为k≥．故选D．二、填空题11．分解因式：y3﹣y= y（y+1）（y﹣1）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行二次分解即可．【解答】解：y3﹣y=y（y2﹣1）=y（y+1）（y﹣1），故答案为：y（y+1）（y﹣1）．12．解不等式组的整数解是﹣1，0，1 ．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤﹣2，得：x≤1，解不等式1+2x＞x﹣1，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．13．正五边形每个内角的度数为108°．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°=540°，540°÷5=108°；方法二：360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为 1 ．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出D点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故答案为：1．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．【考点】E6：函数的图象．【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=kx+b，乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=mx+n，将（0，0）、（2，30）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=15x；将（0，100）、（1，80）代入y=mx+n中，，解得：，∴y=﹣20x+100．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴当甲乙两人相遇时，乙距离A地千米．故答案为：．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是25，40，．【考点】LB：矩形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论求解即可．【解答】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN==25．②如图2中，当DM=DN时，易知M与B重合，此时BC=CN=20，BN=40，③如图3中，当MN=MD时，易证BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（20﹣x）2+152，∴x=，故答案为25，40，．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣4a+4﹣a2﹣2a+3=﹣6a+7，当a==4时，原式=﹣24+7=﹣17．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）根据概率公式分别计算两人获胜的概率，即可做出判断．【解答】解：（1）画树状图如下：抽出数字为“2”的卡片的概率是=；（2）不公平，由树状图可知，x、y符号相同的有4种结果，x、y符号不同的结果有8种，∴小红获胜的概率为=，小颖获胜的概率为=，由于≠，∴此游戏对双方不公平．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【考点】LC：矩形的判定；KH：等腰三角形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m= 20 p= 15（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40 ；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表；W5：众数．【分析】（1）根据统计图中数据可以求得m的值，进而求得p的值；（2）根据（1）中m的值，可以求得N的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据（2）中条形统计图可以得到这组数据的众数；（4）根据统计图中数据可以估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【解答】解：（1）由题意可得，m=4÷20%=20，p%=，故答案为：20，15；（2）N=20×35%=7，补全的条形统计图，如右图所示；（3）由（2）中的统计图可知，被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40，故答案为：40；（4）由题意可得，该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数是：320×=48，即该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的有48人．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠OCB=∠CBA，求得∠ECA=∠OCB，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由（1）证得△OCE是直角三角形，根据三角函数的定义得到OC=3，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=CD，∴=，∴∠ABC=∠CBD，∵∠ECA=∠CBD，∴∠ECA=∠CBA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA，∴∠ECA=∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的直径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：由（1）证得△OCE是直角三角形，∵∠E=30°，EC=3，tanE=，即=，∴OC=3，∵∠EOC=90°﹣∠E=90°﹣30°=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形AOC=3×3﹣=﹣．五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为80 间，客房日租金的总收入是16000 ．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）当x=40时，可知客房少出租5×=20间，可得客房出租80间，根据“总收入=（每间客房原租金+提高的祖金）×（客房间数﹣因价格提高而减少的间数）”列式计算可得；（2）①由“每天至少能出租20间客房”依据“客房间数﹣因价格提高而减少的间数≥20”列不等式求解可得；②设客房的日租金的总收入为y元，根据（1）中所列相等关系列出函数解析式，配方成顶点式即可得出函数最值情况，从而得出答案．【解答】解：（1）当x=40时，则客房出租100﹣5×=80间，∴客房日租金的总收入是×80=16000（元），故答案为：80，16000；（2）①若每间客房日租金提高x元，则客房少出租5×=，根据题意，得：100﹣≥20，解得：x≤160，∴0≤x≤160，且x是10的整数倍；②设客房的日租金的总收入为y元，则y==﹣x2+20x+16000=﹣（x﹣20）2+16200，∵0≤x≤160，且x是10的整数倍，∴当x=20时，此时每件客房的日租金为180元，答：旅馆将每间客房的日租金提高20元时，客房日租金的总收入最高．六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是（，0）．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，列方程组即可得到一次函数的解析式，再求出点M的坐标，即可得到反比例函数的解析式；（2）①平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6；②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．求出线段DM的中垂线的解析式即可解决问题．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，得到，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．如图1中，过点M作ME⊥y轴于E，=•OB•ME=×2ME=3，∵S△MOB∴ME=3，∵点M在直线AB上，当x=﹣3时，y=﹣2x﹣2=4，∴M（﹣3，4），把点M（﹣3，4）代入y=中，可得m=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）①如图2中，平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6，∴直线CD的解析式为y=﹣2x+6．②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．∵M（﹣3，4），D（0，6），∴直线DM的解析式为y=x+6，∴线段DM的中垂线的解析式为y=﹣x+，令y=0，得到x=，∴P（，0）．∴当p（，0）时，△PDM是等腰三角形．故答案为（，0）．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是4．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为或．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分可得结论；②点C到直线AB的距离就是求CG的长，利用60度的三角函数计算即可；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，作辅助线，构建两平行线的距离CG和PH，利用△PDF∽△NCF，计算PF==，CF=×6=，由勾股定理得：FH的长，最后求出AP的长；②当P在BA的延长线上时，如图4，同理可得AP的长．【解答】证明：（1）①∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵四边形DPCE是平行四边形，∴DF=CF=CD，∴DF=AB；②如图1，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在Rt△CBG中，∵∠B=60°，BC=4，∴sin∠B=，即，∴CG=2，∴点C到直线AB的距离是2；③当PE⊥DC，且垂足F为DC的中点时，如图2，此时PE的长最小，∴PE=2PF=2CG=4，故答案为：4；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，过C作CG⊥AB于G，过P作PH⊥CD于H，由（1）得：PH=CG=2，BG=2，∵四边形PCNM是平行四边形，∴PM∥CN，PM=CN，∴△PDF∽△NCF，∴=，∵DM=2PD，∴PM=3PD，∴CN=3PD，∴=，∵PN=10，CD=6，∴PF+FN=10，CF+DF=6，∴PF==，CF=×6=，在Rt△PFH中，由勾股定理得：FH==，∴CH=CF﹣FH=﹣，∴PG=CH=﹣，∴AP=AB﹣BG﹣PG=6﹣2﹣+=；②当P在BA的延长线上时，如图4，过F作FH⊥AB于H，过C作CG⊥AB于G，同理可知：FH=CG=2，BG=2，GH=CF=，PF=，由勾股定理得：PH=，∴AP=BG+GH+PH﹣AB=2++﹣6=；综上所述，AP的长为或．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），AC的长为3；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为（，﹣），点H 不在抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①令x=0和y=0可求得B、A与C的坐标，利用勾股定理求AC的长；②如图1，作辅助线，构建直角△ABD，利用面积法求BD=2，利用勾股定理求AB的长，根据三角函数的定义可得结论；（2）①利用勾股定理列方程求出H的坐标，横坐标是，在抛物线的坐标轴上，如果不是，则不在；②如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△APE≌△AC'F和△PAB′≌△C'AB'，得∠AB'P=∠AB'C'，再证明△AMN∽△AC'B'，则=，证P、E、M、A四点共圆，得∠AMP=∠AEP=90°，所以△AMP是等腰直角三角形，则MN=B′C′，根据已知可得出结论．【解答】解：（1）①当x=0时，y=6，∴A（0，6），∴OA=6，当y=0时，﹣x2+x+6=0，（x+2）（x﹣3）=0，x=﹣2或3，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣2，0），C（3，0），∴OC=3，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC===3；故答案为：（﹣2，0），（3，0），3；②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，∵S=BC•AO=AC•BD，△ABC即×5×6=××BD，∴BD=2，在Rt△AOB中，AB==2，∴sin∠BAC===；（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，由折叠得：AE=AO=AF=6，∠E=∠AOB=90°，∠F=∠AOC=90°，∠EAB=∠BAO，∠OAC=∠CAF，∴∠EAF=2∠BAO+2∠OAC=2（∠BAO+∠OAC）=2∠BAC，由（1）知：sin∠BAC=，且∠BAC为锐角，∴∠BAC=45°，∴∠EAF=∠E=∠F=90°，∴四边形AEHF是正方形，∴EH=FH=6，设H（x，y），则OG=x，∴BG=2+x，CG=3﹣x，∵EB=OB=2，FC=OC=3，∴BH=6﹣2=4，CH=6﹣3=3，由勾股定理得：42﹣（2+x）2=32﹣（3﹣x）2，x=，∴GH==，∴H（，﹣）；∴点H不在抛物线对称轴上；故答案为：（，﹣）；不在；②如图3，延长B'E至P，使PE=C'F，连接AP，∵AE=AF，∠AEP=∠AFH=90°，∴△APE≌△AC'F，∴AP=AC'，∠PAE=∠C'AF，由旋转得：∠B′AC′=45°，∴∠EAB′+∠C'AF=45°，∴∠PAE+∠EAB′=45°，∴∠PAB'=∠B'AC'=45°，∵AB′=AB′，∴△PAB′≌△C'AB'，∴∠AB'P=∠AB'C'，∵∠FEB'=∠B'AC'=45°，∴∠EMB'=∠AC'B'=∠AMN，∵∠MAN=∠B'AC'，∴△AMN∽△AC'B'，∴=，连接PM，∵∠PAM=45°，∠PEM=90°+45°=135°，∴∠PAM+∠PEM=180，∴P、E、M、A四点共圆，∴∠AMP=∠AEP=90°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴=，∴=，∴MN=B′C′，... ∵B′H2+C′H2=33=B'C'2，∴B'C'=，∴MN=×=．故答案为：．。
2020年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年中考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（）A．B．C．D．3．用科学记数法表示0.000000202是（）A．0.202×10﹣6B．2.02×107C．2.02×10﹣6D．2.02×10﹣7 4．下列计算正确的是（）A．2a﹣a＝1B．6a2÷2a＝3aC．6a+2a＝8a2D．（﹣2a2）3＝﹣6a65．某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：零件个数（个）678人数（人）152213表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（）A．7个，7个B．7个，6个C．22个，22个D．8个，6个6．不等式的解集为（）A．x≤B．1＜x≤C．1≤x＜D．x＞17．已知直线l l∥l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝85°，则∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．已知方程组，则x﹣y＝（）A．5B．2C．3D．49．反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜110．如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．分解因式：2x2﹣4xy+2y2＝．12．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有个．13．圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为．14．计算：（+a）•＝．15．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E为边AD上一点，将点C折叠与点E重合，折痕与边CD和BC分别交于点F和G，当DE＝2时，线段CF的长是．三、解答题（第17小题6分，18、19小题各8分，共22分）17．计算：（﹣1）2020+|﹣2|+tan45°+．18．在一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“中”、“国”、“加”、“油”的四个小球，除汉字不同外完全相同．摇匀后任意摸出一个球，记下汉字后不放回，再随机从中摸出一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加油”的概率．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．四、（每小题8分，共16分）20．为了解居民对垃圾分类相关知识的知晓程度（“A．非常了解”，“B．了解”，“C．基本了解”，“D．不太了解”），小明随机调查了若干人（每人必选且只能选择四种程度中的一种）．根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：请你结合统计图所给信息解答下列问题：（1）小明共调查了人，扇形统计图中表示“C”的圆心角为°；（2）请在答题卡上直接补全条形统计图；（3）请你估计50000名市民中不太了解垃圾分类相关知识的人数．21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x 的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？五、（本题10分）22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，边BC交⊙O于点D，作DE⊥AC 于点E，延长DE和BA交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，AE＝3，则直径AB的长度是．六、（本题10分）23．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），点C（3，）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作直线PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当MN＝MP时，求点M的坐标；（3）如图2，取点D（4，0），动点E在射线BC上，连接DE，另一动点P从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EB以每秒个单位的速度运动到终点B，当点E的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点E的坐标．七、（本题12分）24．在△ABC中，AB＝AC，点O在BC边上，且OB＝OC，在△DEF中，DE＝DF，点O 在EF边上，且OE＝OF，∠BAC＝∠EDF，连接AD，BE．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接AO，DO，则线段AD与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当∠BAC＝60°时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3，AC＝3，BC＝6，DF＝5，当点B在直线DE上时，请直接写出sin∠ABD的值．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（4，0），交y轴于点C，点D和点C关于对称轴对称，作DE⊥OB于点E，点M是射线EO上的动点，点N是y轴上的动点，连接DM，MN，设点N的坐标为（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M，N分别在线段OE，OC上，且ME＝ON时，连接CM，若△CMN的面积是，求此时点M的坐标；（3）是否存在n的值使∠DME＝∠MNO＝α（0°＜α＜90°）？若存在，请直接写出n 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣2B．﹣C．D．2【分析】直接估算无理数大小的方法以及实数比较大小的方法分析得出答案．解：∵1＜＜2，∴0＜＜1，故﹣2＜﹣＜＜1＜2，故选：D．2．如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，从上面看有两层，上层有4个正方形，下层有一个正方形且位于左二的位置．解：从上面看，得到的视图是：，故选：A．3．用科学记数法表示0.000000202是（）A．0.202×10﹣6B．2.02×107C．2.02×10﹣6D．2.02×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000000202＝2.02×10﹣7．故选：D．4．下列计算正确的是（）A．2a﹣a＝1B．6a2÷2a＝3aC．6a+2a＝8a2D．（﹣2a2）3＝﹣6a6【分析】根据合并同类项的运算法则、同底数幂的除法、积的乘方分别进行计算即可得出答案．解：A、2a﹣a＝a，故本选项错误；B、6a2÷2a＝3a，故本选项正确；C、6a+2a＝8a，故本选项错误；D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项错误；故选：B．5．某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：零件个数（个）678人数（人）152213表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（）A．7个，7个B．7个，6个C．22个，22个D．8个，6个【分析】根据众数和中位数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．解：由表可知7个出现次数最多，所以众数为7个，因为共有50个数据，所以中位数为第25个和第26个数据的平均数，即中位数为7个．故选：A．6．不等式的解集为（）A．x≤B．1＜x≤C．1≤x＜D．x＞1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣4≤1，得：x≤，则1＜x≤，故选：B．7．已知直线l l∥l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝85°，则∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出∠4的度数，由直线l1∥l2，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数．解：∵∠A+∠3+∠4＝180°，∠A＝30°，∠3＝∠1＝85°，∴∠4＝65°．∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠4＝65°．故选：D．8．已知方程组，则x﹣y＝（）A．5B．2C．3D．4【分析】方程组两方程相减即可求出所求．解：，①﹣②得：（2x+3y）﹣（x+4y）＝16﹣13，整理得：2x+3y﹣x﹣4y＝3，即x﹣y＝3，故选：C．9．反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1【分析】根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断．解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．故选：C．10．如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据矩形的性质和正方形的性质，可以得到BG和EG的长，从而可以得到tan∠EBC的值．解：作EF⊥DC于点F，作EG⊥BC交BC的延长线于点G，则四边形CGEF是矩形，设AB＝2a，∵在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，∴EF＝a，BC＝2a，∴EG＝a，CG＝a，∴tan∠EBC＝，故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．分解因式：2x2﹣4xy+2y2＝2（x﹣y）2．【分析】先提取公因式（常数2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：2x2﹣4xy+2y2，＝2（x2﹣2xy+y2），＝2（x﹣y）2．故答案为：2（x﹣y）2．12．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有20个．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.2＝，∴＝，解得：x＝20，即白球的个数为20个，故答案为：20．13．圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为3．【分析】连接BD，利用圆周角定理得到BD是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可．解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠C＝90°，BC＝DC，∴BD是圆的直径，∵BC＝3，∴BD＝＝＝3，故答案为：3．14．计算：（+a）•＝．【分析】先把括号内通分，然后约分得到原式的值．解：原式＝•＝•＝．故答案为．15．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为32m2．【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣x）m，首先列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣x）m，由题意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墙长为15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；故答案为：32m2．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E为边AD上一点，将点C折叠与点E重合，折痕与边CD和BC分别交于点F和G，当DE＝2时，线段CF的长是．【分析】过点F作FH⊥AD于H，易证∠DFH＝30°，设CF＝x，则DF＝6﹣x，DH ＝（6﹣x），HF＝（6﹣x），EH＝DE+DH＝5﹣，由折叠的性质得EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+HF2，即可得出答案．解：过点F作FH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AB＝CD＝6，∠EDF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∠DFH＝30°，设CF＝x，则DF＝6﹣x，DH＝DF＝（6﹣x），HF＝（6﹣x），∴EH＝DE+DH＝2+（6﹣x）＝5﹣，由折叠的性质得：EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+HF2，即x2＝（5﹣）2+[（6﹣x）]2，解得：x＝，∴CF＝，故答案为：．三、解答题（第17小题6分，18、19小题各8分，共22分）17．计算：（﹣1）2020+|﹣2|+tan45°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝1+﹣2+1﹣2＝﹣．18．在一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“中”、“国”、“加”、“油”的四个小球，除汉字不同外完全相同．摇匀后任意摸出一个球，记下汉字后不放回，再随机从中摸出一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加油”的概率．【分析】先根据题意列举出所有可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加油”的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：列举如下：中国加油中/（国，中）（加，中）（油，中）国（中，国）/（加，国）（油，国）加（中，加）（国，加）/（油，加）油（中，油）（国，油）（加，油）/所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加油”的情况有4种，则取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“龙岩加油”的概率为＝．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是30．【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【解答】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13，∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．四、（每小题8分，共16分）20．为了解居民对垃圾分类相关知识的知晓程度（“A．非常了解”，“B．了解”，“C．基本了解”，“D．不太了解”），小明随机调查了若干人（每人必选且只能选择四种程度中的一种）．根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：请你结合统计图所给信息解答下列问题：（1）小明共调查了500人，扇形统计图中表示“C”的圆心角为72°；（2）请在答题卡上直接补全条形统计图；（3）请你估计50000名市民中不太了解垃圾分类相关知识的人数．【分析】（1）从两个统计图中可知“A非常了解”的人数为150人，占调查人数的30%，可求出调查人数；用360°乘以“C”所占的百分比即可得出“C”的圆心角度数；（2）用总人数减去其它等级的人数求出B等级的人数，从而补全条形统计图；（3）用总人数乘以不太了解垃圾分类人数所占的百分比即可．解：（1）小明共调查的总人数是：150÷30%＝500（人），扇形统计图中表示“C”的圆心角为：360°×＝72°；故答案为：500，72；（2）B等级的人数有：500×40%＝200人，补全条形统计图如图所示：（3）根据题意得：50000×＝5000（人），答：估计50000名市民中不太了解垃圾分类相关知识的人数有5000人．21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为（50﹣x）元，平均每天的销量为（20+2x）件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？【分析】（1）根据“这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件衬衫的原利润及降价x元，即可得出降价后每件衬衫的利润及销量；（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．解：（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．故答案为：（50﹣x）；（20+2x）．（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，整理，得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30．∵为了扩大销售，尽快减少库存，∴x＝30．答：每件衬衫应降价30元．五、（本题10分）22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，边BC交⊙O于点D，作DE⊥AC 于点E，延长DE和BA交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，AE＝3，则直径AB的长度是．【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，推出OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；（2）设AD＝3k，BD＝4k，根据勾股定理得到AB＝5k，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AD＝3k，BD＝4k，∴AB＝5k，∵∠AED＝∠ADB＝90°，∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△DAE，∴＝，∴＝，∴k＝，∴AB＝5k＝．故答案为：．六、（本题10分）23．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），点C（3，）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作直线PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当MN＝MP时，求点M的坐标；（3）如图2，取点D（4，0），动点E在射线BC上，连接DE，另一动点P从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EB以每秒个单位的速度运动到终点B，当点E的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点E的坐标．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A，B两点坐标代入，转化为解方程组即可．（2）由题意M（m，m+1），N（m，﹣m+4），根据MN＝MP，构建方程解决问题即可．（3）如图2中，作BT∥AD，过点E作EK⊥BT于K．设直线BC交x轴于J．由BT ∥OJ，推出∠BJO＝∠TBJ，推出tan∠TBJ＝tan∠BJO＝，推出＝，设EK＝m，BK＝2m，则BE＝m，推出EK＝BE，由点P在整个运动过程中的运动时间t＝+＝DE+BE＝DE+EK，推出当D，E，K共线，DE+EK的值最小．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）∵点B（2，3），点C（3，），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵点P（m，0），PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N，∴M（m，m+1），N（m，﹣m+4），∵MN＝MP，∴m+1＝（﹣m+4）﹣（m+1），解得：m＝，∴M（，）；（3）如图2中，作BT∥AD，过点E作EK⊥BT于K．设直线BC交x轴于J．∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴tan∠BJO＝，∵BT∥OJ，∴∠BJO＝∠TBJ，∴tan∠TBJ＝tan∠BJO＝，∴＝，设EK＝m，BK＝2m，则BE＝m，∴EK＝BE，∵点P在整个运动过程中的运动时间t＝+＝DE+BE＝DE+EK，∴当D，E，K共线，DE+EK的值最小，此时DE＝DJ＝2，EK＝BK＝1，∴点P在整个运动过程中的运动时间的最小值为2+1＝3秒，此时E（4，2）．七、（本题12分）24．在△ABC中，AB＝AC，点O在BC边上，且OB＝OC，在△DEF中，DE＝DF，点O 在EF边上，且OE＝OF，∠BAC＝∠EDF，连接AD，BE．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接AO，DO，则线段AD与BE的数量关系是AD ＝BE，位置关系是AD⊥BE；（2）如图2，当∠BAC＝60°时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3，AC＝3，BC＝6，DF＝5，当点B在直线DE上时，请直接写出sin∠【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AO＝BO，DO＝EO，∠AOB＝∠DOE＝90°，由“SAS”可证△BOE≌△AOD，可得AD＝BE，∠OBE＝∠OAD，由直角三角形的性质可得AD⊥BE；（2）通过证明△AOD∽△BOE，可得＝，∠OAD＝∠OBE，可得结论；（3）如图3，连接AO，DO，由勾股定理可求AO的长，由（2）可知：△BEO∽△ADO，可求AD＝2BE，由勾股定理可求解．解：（1）如图1，延长AD，BE交于点H，∵AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝90°，OB＝OC，OE＝OF，∴AO＝BO，DO＝EO，∠AOB＝∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠AOD，∴△BOE≌△AOD（SAS），∴AD＝BE，∠OBE＝∠OAD，∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OBE+∠ABE+∠OAB，∴∠OAB+∠OAD+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AD⊥BE，故答案为：AD＝BE，AD⊥BE；（2）AD＝BE不成立，AD⊥BE仍然成立，如图2，连接AO，DO，∵AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC和△DEF是等边三角形，∵OB＝OC，OE＝OF，∴∠DOE＝90°＝∠AOB，DO＝EO，AO＝BO，∴∠AOD＝∠BOE，，∴△AOD∽△BOE，∴＝，∠OAD＝∠OBE，∴AD＝BE，∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OBE+∠ABE+∠OAB，∴∠OAB+∠OAD+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AD⊥BE，（3）如图3，连接AO，DO，∵AC＝3＝AB，OB＝OC，BC＝6，∴AO⊥BC，BO＝3，∴AO＝＝＝6，由（2）可知：△BEO∽△ADO，AD⊥BE，∴＝＝2，∴AD＝2BE，∵AB2＝AD2+BD2，∴45＝4BE2+（5+BE）2，∴BE＝﹣1，∴AD＝2﹣2，∴sin∠ABD＝＝．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（4，0），交y轴于点C，点D和点C关于对称轴对称，作DE⊥OB于点E，点M是射线EO上的动点，点N是y轴上的动点，连接DM，MN，设点N的坐标为（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M，N分别在线段OE，OC上，且ME＝ON时，连接CM，若△CMN的面积是，求此时点M的坐标；（3）是否存在n的值使∠DME＝∠MNO＝α（0°＜α＜90°）？若存在，请直接写出n 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求解即可得出结论；（2）先求出点E坐标，进而表示出OM，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出△MON∽△DEM，得出，再分点M在线段OE上和EO的延长线上，表示出ME，ON，进而得出n＝，即可得出结论．解：∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），对称轴为x＝，∵点D和点C关于对称轴对称，∴D（3，2），∵DE⊥OB，∴E（3，0），∵N（0，n），且N在线段OC上，∴CN＝OC﹣ON＝2﹣n，∵ME＝ON＝n，∴OM＝OE﹣ME＝3﹣n，∵△CMN的面积是，∴S△CMN＝CN•OM＝（2﹣n）（3﹣n）＝，∴n＝或n＝（舍去），∴M（，0）；（3）∵∠DME＝∠MNO＝α，∠MON＝∠DEM，∴△MON∽△DEM，∴，∵D（3，2），∴DE＝2，设M（m，0），当m＝0时，点M和点O重合，不能构成三角形MON，当点M在线段OE上时，则0＜m＜3，∴OM＝m，ME＝3﹣m，∴ON＝n，∴，∴n＝＝＝，∴0＜n＜，当点M在x轴负半轴时，则m＜0，∴OM＝﹣m，ME＝3﹣m，∴ON＝﹣n，∴，∴n＝＝＝，∴n＜0，即n的取值范围n＜且n≠0．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考数学二模试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．91032π⎛⎫-⎪⎝⎭米2B．932π⎛⎫-⎪⎝⎭米2C．9632π⎛⎫-⎪⎝⎭米2D．()693π-米22．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC3．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（）A．16cm B．13cm C．12cm D．1cm4．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB3BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B、C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D 的过程中，则点F运动的路径长为（）A．πB．3πC．33πD．233π5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝32b B．a＝2b C．a＝52b D．a＝3b6．下列运算正确的（）A．（b2）3=b5B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5D．a+a2=a37．下列命题是真命题的是( )A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．若三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，则该三角形是正三角形8．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．610．对于反比例函数2yx=，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小11．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．()12n n+B．()22n n+C．()32n n+D．()42n n+12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A29B．34C．2D41二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）132633=________.14．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为_____．15．分解因式：x2–4x+4=__________．16．将多项式xy2﹣4xy+4y因式分解：_____．17．不等式2x－5<7－(x－5)的解集是______________.18．解不等式组1 (1)1212xx⎧-≤⎪⎨⎪-<⎩，则该不等式组的最大整数解是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：DF＝PG；（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝43，AB＝14，求线段PC的长．21．（6分）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；m=7，n=4，求拼成矩形的面积．22．（8分）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（﹣t，y1）和（t，y2）（其中t 为常数且t＞0），将x＜﹣t的部分沿直线y＝y1翻折，翻折后的图象记为G1；将x＞t的部分沿直线y＝y2翻折，翻折后的图象记为G2，将G1和G2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G．例如：如图，当t＝1时，原函数y＝x，图象G所对应的函数关系式为y＝2(1) (11)2(1)x xx xx x--<-⎧⎪-≤≤⎨⎪-+>⎩．（1）当t＝12时，原函数为y＝x+1，图象G与坐标轴的交点坐标是．（2）当t＝32时，原函数为y＝x2﹣2x①图象G所对应的函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是．②图象G所对应的函数是否有最大值，如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．（3）对应函数y＝x2﹣2nx+n2﹣3（n为常数）．①n＝﹣1时，若图象G与直线y＝2恰好有两个交点，求t的取值范围．②当t＝2时，若图象G在n2﹣2≤x≤n2﹣1上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围．23．（8分）已知，抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（-3,0），与y轴交于点C（0,3）．（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标．（2）如何平移抛物线L得到抛物线L1，使得平移后的抛物线L1的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L2，点P（m，n）（m＞0）是抛物线L2上的一点，是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L2的表达式，若不存在，请说明理由．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是上的一点，∠DBC=∠BED ．（1）请判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知AD=5，CD=4，求BC 的长．25．（10分）综合与探究：如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，点()3,1C -在二次函数21332y x bx =-++的图像上． （1）求二次函数的表达式； （2）求点 A ，B 的坐标；（3）把△ABC 沿 x 轴正方向平移， 当点 B 落在抛物线上时， 求△ABC 扫过区域的面积．26．（12分）解方程组220y xx y =⎧⎨+-=⎩. 27．（12分）先化简，再求值：22111()211x x x x x --÷-+-，其中x=﹣1． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【详解】连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=12OA=12×6=1．∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=1，∴2222CD OD OC6333=-=-=．又∵CD333sin DOCOD62∠===，∴∠DOC=60°．∴2606193336336022DOCAODS S Sππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=-阴影扇形（米2）．故选C．2．C【解析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,则△ABD为等边三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.3．D【解析】【分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，∴OF CDOE AB=，即2126CD=，解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.4．D【解析】【分析】点F的运动路径的长为弧FF'的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【详解】如图，点F的运动路径的长为弧FF'的长，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=33BCAB==∴∠BAC=30°，∵∠CAF=∠BAC=30°，∴∠BAF=60°，∴∠FAF′=120°，∴弧FF'的长=1203231803π=．故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是判断出点F运动的路径．5．B【解析】【分析】从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解．【详解】由图形可知，S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故选B．【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解．6．C【解析】分析：直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．详解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；B、x3÷x3=1，故此选项错误；C、5y3•3y2=15y5，正确；D、a+a2，无法计算，故此选项错误．故选C．点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．D【解析】【分析】根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.【详解】A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误;C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误;D、∵a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，∴2a2＋2b2＋2c2-2ac-2bc-2ab=0，∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，∴a=b=c，故本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键.8．C【解析】【分析】根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题．【详解】解：由题意可得，y=308x=240x，当x=40时，y=6，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键．9．C【解析】分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值，由2017÷5=403…2，可知点P（2018，m）在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P（2018，m）代入即可．详解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0），∴OA1=5，∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣1，即m=﹣1．故选C．点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．10．C【解析】【详解】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y 随x的增大而减小，正确，故选C.考点：反比例函数【点睛】本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化11．C【解析】【分析】由图形可知：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1=()32n n+.【详解】第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+(n+1)=()32n n+个.【点睛】本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据图形的变化找出规律.12．D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB•h=13AB•AD ，∴h=23AD=2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=22AB AE + =2254+=41，即PA+PB 的最小值为41．故选D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）133【解析】【分析】3分母有理化，然后相加即可． 【详解】解：原式=3333+ =3【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14．10πcm 1．【解析】【分析】根据已知条件得到四边形ABCD 是矩形，求得图中阴影部分的面积=S 扇形AOD +S 扇形BOC =1S 扇形AOD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=71°，于是得到结论．【详解】解：∵AC 与BD 是⊙O 的两条直径，∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴S△ABO=S△CDO =S△AOD=S△BOD，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=1S扇形AOD，∵OA=OB，∴∠BAC=∠ABO=36°，∴∠AOD=71°，∴图中阴影部分的面积=1×2725360π⨯=10π，故答案为10πcm1．点睛：本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．15．（x–1）1【解析】试题分析：直接用完全平方公式分解即可，即x1﹣4x+4=（x﹣1）1．考点：分解因式.16．y（xy﹣4x+4）【解析】【分析】直接提公因式y即可解答.【详解】xy2﹣4xy+4y=y（xy﹣4x+4）．故答案为：y（xy﹣4x+4）．【点睛】本题考查了因式分解——提公因式法，确定多项式xy2﹣4xy+4y的公因式为y是解决问题的关键.17．x＜17 3【解析】解：去括号得：2x－5＜7－x+5，移项、合并得：3x＜17，解得：x＜173．故答案为：x＜173．18．x=1．【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．【详解】()111212x x ⎧-≤⎪⎨⎪-⎩①＜②， 由不等式①得x≤1，由不等式②得x ＞-1，其解集是-1＜x≤1，所以整数解为0，1，2，1，则该不等式组的最大整数解是x=1．故答案为：x=1．【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】作PM ⊥AD,在四边形ABCD 和四边形ABPM 证AD ＝PM ；DF ⊥PG ，得出∠GDH+∠DGH ＝90°，推出∠ADF ＝∠MPG ；还有两个直角即可证明△ADF ≌△MPG ，从而得出对应边相等（2）由已知得，DG ＝2PC ＝2；△ADF ≌△MPG 得出DF ＝PD ；根据旋转，得出∠EPG ＝90°，PE ＝PG 从而得出四边形PEFD 为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF 的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH 的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ，∵四边形ABPM 为矩形，∴AB ＝PM ，∴AD ＝PM ，∵DF ⊥PG ，∴∠DHG ＝90°，∴∠GDH+∠DGH ＝90°，∵∠MGP+∠MPG ＝90°，∴∠GDH ＝∠MPG ，在△ADF 和△MPG 中，∴△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG；（2）作PM⊥DG于M，如图，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四边形ABCD为矩形，∴PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC＝2；∵△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，∴PD＝＝，∴DF＝PG＝PD＝，∵四边形CDMP是矩形，∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，∵PD＝PG，PM⊥AD，∴MG＝MD＝1，DG＝2，∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，∴△DHG∽△PMG，∴，∴GH＝＝，∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝1．【点睛】本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值20．（1）（2）证明见解析；（3）1．【解析】【分析】（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；（2）由条件可得∠CAO=∠PCB，结合条件可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到PC APPB PC，又因为tan∠ABC=43，所以可得AC BC =43，进而可得到PCPB=43，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．【详解】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠A CO=∠DAC．∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=1．【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．21．（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为1．【解析】【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.【详解】（1）矩形的长为：m﹣n，矩形的宽为：m+n，矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，当m=7，n=4时，S=72-42=1．【点睛】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．22．（1）（2，0）；（2）①﹣32≤x≤1或x≥32；②图象G所对应的函数有最大值为214；（3）①5151t-<<+；②n≤15-或n≥1+5．【解析】【分析】（1）根据题意分别求出翻转之后部分的表达式及自变量的取值范围，将y=0代入，求出x值，即可求出图象G与坐标轴的交点坐标；（2）画出函数草图，求出翻转点和函数顶点的坐标，①根据图象的增减性可求出y随x的增大而减小时，x的取值范围，②根据图象很容易计算出函数最大值；（3）①将n＝﹣1代入到函数中求出原函数的表达式，计算y=2时，x的值.据（2）中的图象，函数与y=2恰好有两个交点时t大于右边交点的横坐标且-t大于左边交点的横坐标，据此求解.②画出函数草图，分别计算函数左边的翻转点A，右边的翻转点C，函数的顶点B的横坐标（可用含n的代数式表示），根据函数草图以及题意列出关于n的不等式求解即可.【详解】（1）当x＝12时，y＝32，当x≥32时，翻折后函数的表达式为：y＝﹣x+b，将点（12，32）坐标代入上式并解得：翻折后函数的表达式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，x＝2，即函数与x轴交点坐标为：（2，0）；同理沿x＝﹣32翻折后当12x≤-时函数的表达式为：y＝﹣x，函数与x轴交点坐标为：（0，0），因为12x≤-所以舍去.故答案为：（2，0）；（2）当t＝32时，由函数为y＝x2﹣2x构建的新函数G的图象，如下图所示：点A 、B 分别是t ＝﹣32、t ＝32的两个翻折点，点C 是抛物线原顶点， 则点A 、B 、C 的横坐标分别为﹣32、1、32， ①函数值y 随x 的增大而减小时，﹣32≤x≤1或x≥32， 故答案为：﹣32≤x≤1或x≥32； ②函数在点A 处取得最大值，x ＝﹣32，y ＝（﹣32）2﹣2×（﹣32）＝214， 答：图象G 所对应的函数有最大值为214； （3）n ＝﹣1时，y ＝x 2+2x ﹣2，①参考（2）中的图象知：当y ＝2时，y ＝x 2+2x ﹣2＝2，解得：x ＝﹣1±5，若图象G 与直线y ＝2恰好有两个交点，则t ＞5﹣1且-t>51--,所以5151t -<<+；②函数的对称轴为：x ＝n ，令y ＝x 2﹣2nx+n 2﹣3＝0，则x ＝n±3，当t ＝2时，点A 、B 、C 的横坐标分别为：﹣2，n ，2，当x ＝n 在y 轴左侧时，（n≤0），此时原函数与x 轴的交点坐标（n+5，0）在x ＝2的左侧，如下图所示，则函数在AB 段和点C 右侧，故：﹣2≤x≤n ，即：在﹣2≤n 2﹣2≤x≤n 2﹣1≤n ，解得：n≤12-； 当x ＝n 在y 轴右侧时，（n≥0），同理可得：；综上：或 【点睛】在做本题时，可先根据题意分别画出函数的草图，根据草图进行分析更加直观.在做第（1）问时，需注意翻转后的函数是分段函数，所以对最终的解要进行分析，排除掉自变量之外的解；（2）根据草图很直观的便可求得；（3）①需注意图象G 与直线y ＝2恰好有两个交点，多于2个交点的要排除；②根据草图和增减性，列出不等式，求解即可.23．（1）顶点（-2，-1） A （-1,0）; （2）y=（x-2）2+1; (3) y=x 2-103x+3, 2239y x x =++,y=x 2-4x+3, 2833y x x =++. 【解析】【分析】（1）将点B 和点C 代入求出抛物线L 即可求解.（2）将抛物线L 化顶点式求出顶点再根据关于原点对称求出即可求解.（3）将使得△PAC 为等腰直角三角形，作出所有点P 的可能性，求出代入23y x dx =++即可求解.【详解】（1）将点B （-3,0），C （0,3）代入抛物线得： {0=9-3b+cc=3，解得{b=4c=3，则抛物线243y x x =++. Q 抛物线与x 轴交于点A,∴ 2043x x =++，12x =-3x =-1，，A （-1,0），抛物线L 化顶点式可得()2y=x+2-1，由此可得顶点坐标顶点（-2，-1）.（2）抛物线L 化顶点式可得()2y=x+2-1，由此可得顶点坐标顶点（-2，-1） Q 抛物线L 1的顶点与抛物线L 的顶点关于原点对称，1L ∴对称顶点坐标为（2，1），即将抛物线向右移4个单位，向上移2个单位.(3) 使得△PAC 为等腰直角三角形，作出所有点P 的可能性.1P AC ∆Q 是等腰直角三角形1P A CA ∴=,190,90CAO ACO CAO P AE ∠+∠=︒∠+∠=︒Q ,1CAO P AE ∴∠=,190PEA COA =∠=︒Q , ()1CAO APE AAS ∴∆≅∆,∴求得()14,1P -.,同理得()22,1P -,()33,4P -,()43,2P ,由题意知抛物线23y x dx =++并将点代入得：222228103,43,3,3933y x x y x x y x x y x x =++=-+=++=-+. 【点睛】本题主要考查抛物线综合题，讨论出P 点的所有可能性是解题关键.24．（1）BC 与相切；理由见解析； （2）BC=6【解析】试题分析：（1）BC 与相切；由已知可得∠BAD=∠BED 又由∠DBC=∠BED 可得∠BAD=∠DBC ，由AB 为直径可得∠ADB=90°，从而可得∠CBO=90°，继而可得BC 与相切（2）由AB 为直径可得∠ADB=90°，从而可得∠BDC=90°，由BC 与相切，可得∠CBO=90°，从而可得∠BDC=∠CBO ，可得，所以得，得，由可得AC=9，从而可得BC=6（BC="-6" 舍去）试题解析：（1）BC 与相切； ∵，∴∠BAD=∠BED ，∵∠DBC=∠BED ，∴∠BAD=∠DBC ，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴∠CBO=90°，∴点B 在上，∴BC 与相切 （2）∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵BC 与相切，∴∠CBO=90°，∴∠BDC=∠CBO ，∴，∴，∴，∵，∴AC=9，∴，∴BC=6（BC="-6" 舍去）考点：1．切线的判定与性质；2．相似三角形的判定与性质；3．勾股定理．25．（1）2113362y x x =-++；（2）(1,0),(0,2)A B -；（3）192． 【解析】【分析】（1）将点(3,1)C -代入二次函数解析式即可；（2）过点C 作CD x ⊥轴，证明BAO ACD ≅V V 即可得到1,2OA CD OB AD ====即可得出点 A ，B 的坐标； （3）设点E 的坐标为()2(0)E m m ->，，解方程21132362m m -++=-得出四边形ABEF 为平行四边形，求出AC ，AB 的值，通过ABC V 扫过区域的面积=EFC ABEF S S ∆+四边形代入计算即可．【详解】解：(1)∵点(3,1)C -在二次函数的图象上，21333132b ∴-⨯++=-． 解方程，得16b = ∴二次函数的表达式为2113362y x x =-++． (2)如图1，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ．90CDA ∴∠=︒90CAD ACD ∴∠+∠=︒．90BAC ∠=︒Q ，90BAO CAD ∴∠+∠=︒BAO ACD ∴∠=∠．在Rt BAO V 和Rt ACD △中，∵90BOA ADC BAO ACD AB CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAO ACD ∴≅V V ．∵点C 的坐标为(3)1-，， 1,312OA CD OB AD ∴====-=．(1,0),(0,2)A B ∴-．(3)如图2，把ABC ∆沿x 轴正方向平移，当点B 落在抛物线上点E 处时，设点E 的坐标为()2(0)E m m ->，． 解方程21132362m m -++=-得：3m =-(舍去)或72m = 由平移的性质知，AB EF =且//AB EF ，∴四边形ABEF 为平行四边形，72AF BE ∴==AC AB ===QABC ∴V 扫过区域的面积=EFC ABEF S S ∆+四边形=1712222OB AF AB AC ⋅+⋅=⨯+192=． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是灵活运用二次函数的性质与几何的性质． 26．22x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】把y=x 代入220x y +-=,解得x 的值，然后即可求出y 的值；【详解】把(1)代入(2)得：x 2+x ﹣2＝0，(x+2)(x ﹣1)＝0，解得：x ＝﹣2或1，当x ＝﹣2时，y ＝﹣2，当x ＝1时，y ＝1，∴原方程组的解是22x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了高次方程的解法，关键是用代入法先求出一个未知数，再代入求出另一个未知数． 27．-2.【解析】【分析】根据分式的运算法化解即可求出答案．【详解】 解：原式=2111()?(1)1x x x x x x++--=-， 当x=﹣1时，原式=2(1)121-+=--． 【点睛】熟练运用分式的运算法则．。
备战2020中考【6套模拟】沈阳市中考模拟考试数学试卷含答案
备战2020中考【6套模拟】沈阳市中考模拟考试数学试卷含答案中学数学二模模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题,在每小题的四个选项中只有一个是正确的,请把正确的选 项选出来,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分,满分36分.1. 下列各数中：-4、12π、39、0.010010001、73、0是无理数的有A.1个B.2个C.3个D.4个2.关于x 的方程-2x 2+4x+1=0的两个根分别是x 1、x 2,则x 12+x 22是A.2B. -2C. 3D. 53.点P 在平面直角坐标系中，位于x 轴上方，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴4个单位长度，则点P 关于x 轴对称的点的坐标是A.（3，4）、（-3，4）B. （4，-3）、（-4，-3）C. （3，-4）、（-3，-4）D. （4，3）、（-4，3） 4.如图，在四边形ABCD 中，点E 在线段DC 直线AD ∥BC 的条件有：（1）∠D=∠BCE ，（2）∠B=∠BCE ，（3）∠B=1800，（4）∠A+∠D=1800，（5）∠B=∠DA.1个B. 2个C. 3个D. 4个5.等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则等腰三角形的周长是 A.9cm B.12cm C.9cm 或12cm D. 都不对6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，Sin ∠A=43，AB=8cm ，则△ABC 的面积是A.6cmB.24cmC. 27cmD. 67cm7.班主任老师给获得文明小组的同学们发放水果，若每人5个，多8个，若每人7个，差4个，问有多少名同学？多少个水果？A.6名，38个B.4名，28个C. 5名，30个D. 7名，40个 8.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，直线m 是 图像的对称轴，则下列各式的取值正确的是：a>0, b<0，c>0， b 2-4ac<0，2a+b>0，a+b+c>0A.1个B. 2个C. 3个D. 4个9.X 的值适合不等式31x 122-x +≤+且x 是正整数，则x 的值是A.0，1B.0，1，2C. 1，2D.110. 如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD 的宽度为2m ，F 是线段CD 的中点，EF 经过圆心O 交⊙O 与点E ，EF=3m ，则 ⊙O 直径的长是 A. m 32 B.m 35 C.m 34 D. m 31011.如图，等腰△ABC 中，∠BAC=1200，点D 在边BC 上，等腰△ADE 绕点A 顺时针旋转300后，点D 落在边AB 上，点E 落在边AC 上，若AE=2cm ，则四边形ABDE 的面积是多少A. 4cmB. 3cmC.23cmD.43cm12.如图，在正方形ABCD 中，对角线相交于点O ，BN 平分∠CBD ，交边CD 于点N ，交对角线AC 于点M ，若OM=1，则线段DN 的长是多少A. 1.5B. 2C. 2D. 22第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.13.某校春季运动会，小红参加100米和200米的比赛，每组六人分别在1--6号跑道同时进行比赛，问小红两次都抽到3号跑道的概率是 。
2020届辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷(有答案)(加精)
辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．12．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．6条3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣64．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140° D．150°5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．46．化简﹣的结果是（）A． B． C． D．7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣D．k⩾二、填空题11．分解因式：y3﹣y=．12．解不等式组的整数解是．13．正五边形每个内角的度数为．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m=p=（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA 到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为间，客房日租金的总收入是．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为，点C的坐标为，AC的长为；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为，点H抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．1【考点】18：有理数大小比较．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜0，＞0，0.5＞0，1＞0，∴各数中比0小的是﹣2．故选：A．2．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．6条【考点】P3：轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故选C．3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣6【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：把0.0000382用科学记数法表示为3.82×10﹣5，故选：B．4．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140° D．150°【考点】IL：余角和补角．【分析】根据互补两角之和为180°，求解即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣∠1=140°．故选：C．5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．4【考点】W4：中位数．【分析】按大小顺序排列这组数据，中间两个数的平均数是中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，3，3，4，4，5，位置处于中间的数是：3，4，所以组数据的中位数是（3+4）÷2=3.5．故选B．6．化简﹣的结果是（）A． B． C． D．【考点】6B：分式的加减法．【分析】原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+=，故选D7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，∴红球所占的比例为100%﹣15%﹣45%=40%，设盒子中共有红球x个，则×100%=40%，解得：x=80．故选：B．8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数和常数项的符号确定二次函数的草图，从而确定其经过的象限即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣3x2﹣2中a=﹣3＜0，b=﹣2＜0，∴草图为：∴二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选D．9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，得出规律，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；∴第⑨个图形中共有三角形的总数为4×9﹣3=33；故选：A．10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣D．k⩾【考点】AA：根的判别式．【分析】讨论：即k=1，方程化为一元一次方程，有一个解；当k﹣1≠0时，根据判别式的意义得到△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综合两种情况可得到k的范围．【解答】解：当k﹣1=0时，即k=1，方程化为2x=0，解得x=0；当k﹣1≠0时，△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综上所述，k的范围为k≥．故选D．二、填空题11．分解因式：y3﹣y=y（y+1）（y﹣1）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行二次分解即可．【解答】解：y3﹣y=y（y2﹣1）=y（y+1）（y﹣1），故答案为：y（y+1）（y﹣1）．12．解不等式组的整数解是﹣1，0，1．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤﹣2，得：x≤1，解不等式1+2x＞x﹣1，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．13．正五边形每个内角的度数为108°．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°=540°，540°÷5=108°；方法二：360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为1．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出D点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故答案为：1．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．【考点】E6：函数的图象．【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=kx+b，乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=mx+n，将（0，0）、（2，30）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=15x；将（0，100）、（1，80）代入y=mx+n中，，解得：，∴y=﹣20x+100．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴当甲乙两人相遇时，乙距离A地千米．故答案为：．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是25，40，．【考点】LB：矩形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论求解即可．【解答】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN==25．②如图2中，当DM=DN时，易知M与B重合，此时BC=CN=20，BN=40，③如图3中，当MN=MD时，易证BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（20﹣x）2+152，∴x=，故答案为25，40，．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣4a+4﹣a2﹣2a+3=﹣6a+7，当a==4时，原式=﹣24+7=﹣17．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）根据概率公式分别计算两人获胜的概率，即可做出判断．【解答】解：（1）画树状图如下：抽出数字为“2”的卡片的概率是=；（2）不公平，由树状图可知，x、y符号相同的有4种结果，x、y符号不同的结果有8种，∴小红获胜的概率为=，小颖获胜的概率为=，由于≠，∴此游戏对双方不公平．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【考点】LC：矩形的判定；KH：等腰三角形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m=20p=15（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表；W5：众数．【分析】（1）根据统计图中数据可以求得m的值，进而求得p的值；（2）根据（1）中m的值，可以求得N的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据（2）中条形统计图可以得到这组数据的众数；（4）根据统计图中数据可以估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【解答】解：（1）由题意可得，m=4÷20%=20，p%=，故答案为：20，15；（2）N=20×35%=7，补全的条形统计图，如右图所示；（3）由（2）中的统计图可知，被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40，故答案为：40；（4）由题意可得，该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数是：320×=48，即该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的有48人．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA 到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠OCB=∠CBA，求得∠ECA=∠OCB，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由（1）证得△OCE是直角三角形，根据三角函数的定义得到OC=3，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=CD，∴=，∴∠ABC=∠CBD，∵∠ECA=∠CBD，∴∠ECA=∠CBA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA ， ∴∠ECA=∠OCB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECA +∠ACO=∠OCB +∠ACO=90°，∴OC ⊥CE ，∵OC 是⊙O 的直径，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）证得△OCE 是直角三角形，∵∠E=30°，EC=3， tanE=，即=，∴OC=3，∵∠EOC=90°﹣∠E=90°﹣30°=60°，∴S 阴影=S △COE ﹣S 扇形AOC =3×3﹣=﹣．五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x 是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为 80 间，客房日租金的总收入是 16000 ． （2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x 的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？【考点】HE ：二次函数的应用．【分析】（1）当x=40时，可知客房少出租5×=20间，可得客房出租80间，根据“总收入=（每间客房原租金+提高的祖金）×（客房间数﹣因价格提高而减少的间数）”列式计算可得；（2）①由“每天至少能出租20间客房”依据“客房间数﹣因价格提高而减少的间数≥20”列不等式求解可得；②设客房的日租金的总收入为y元，根据（1）中所列相等关系列出函数解析式，配方成顶点式即可得出函数最值情况，从而得出答案．【解答】解：（1）当x=40时，则客房出租100﹣5×=80间，∴客房日租金的总收入是×80=16000（元），故答案为：80，16000；（2）①若每间客房日租金提高x元，则客房少出租5×=，根据题意，得：100﹣≥20，解得：x≤160，∴0≤x≤160，且x是10的整数倍；②设客房的日租金的总收入为y元，则y==﹣x2+20x+16000=﹣（x﹣20）2+16200，∵0≤x≤160，且x是10的整数倍，∴当x=20时，此时每件客房的日租金为180元，答：旅馆将每间客房的日租金提高20元时，客房日租金的总收入最高．六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是（，0）．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，列方程组即可得到一次函数的解析式，再求出点M的坐标，即可得到反比例函数的解析式；（2）①平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6；②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．求出线段DM的中垂线的解析式即可解决问题．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，得到，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．如图1中，过点M作ME⊥y轴于E，=•OB•ME=×2ME=3，∵S△MOB∴ME=3，∵点M在直线AB上，当x=﹣3时，y=﹣2x﹣2=4，∴M（﹣3，4），把点M（﹣3，4）代入y=中，可得m=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）①如图2中，平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6，∴直线CD的解析式为y=﹣2x+6．②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．∵M（﹣3，4），D（0，6），∴直线DM的解析式为y=x+6，∴线段DM的中垂线的解析式为y=﹣x+，令y=0，得到x=，∴P（，0）．∴当p（，0）时，△PDM是等腰三角形．故答案为（，0）．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是4．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为或．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分可得结论；②点C到直线AB的距离就是求CG的长，利用60度的三角函数计算即可；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，作辅助线，构建两平行线的距离CG和PH，利用△PDF∽△NCF，计算PF==，CF=×6=，由勾股定理得：FH的长，最后求出AP的长；②当P在BA的延长线上时，如图4，同理可得AP的长．【解答】证明：（1）①∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵四边形DPCE是平行四边形，∴DF=CF=CD，∴DF=AB；②如图1，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在Rt△CBG中，∵∠B=60°，BC=4，∴sin∠B=，即，∴CG=2，∴点C到直线AB的距离是2；③当PE⊥DC，且垂足F为DC的中点时，如图2，此时PE的长最小，∴PE=2PF=2CG=4，故答案为：4；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，过C作CG⊥AB于G，过P作PH⊥CD于H，由（1）得：PH=CG=2，BG=2，∵四边形PCNM是平行四边形，∴PM∥CN，PM=CN，∴△PDF∽△NCF，∴=，∵DM=2PD，∴PM=3PD，∴CN=3PD，∴=，∵PN=10，CD=6，∴PF+FN=10，CF+DF=6，∴PF==，CF=×6=，在Rt△PFH中，由勾股定理得：FH==，∴CH=CF﹣FH=﹣，∴PG=CH=﹣，∴AP=AB﹣BG﹣PG=6﹣2﹣+=；②当P在BA的延长线上时，如图4，过F作FH⊥AB于H，过C作CG⊥AB于G，同理可知：FH=CG=2，BG=2，GH=CF=，PF=，由勾股定理得：PH=，∴AP=BG+GH+PH﹣AB=2++﹣6=；综上所述，AP的长为或．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），AC的长为3；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为（，﹣），点H不在抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①令x=0和y=0可求得B、A与C的坐标，利用勾股定理求AC的长；②如图1，作辅助线，构建直角△ABD，利用面积法求BD=2，利用勾股定理求AB的长，根据三角函数的定义可得结论；（2）①利用勾股定理列方程求出H的坐标，横坐标是，在抛物线的坐标轴上，如果不是，则不在；②如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△APE≌△AC'F和△PAB′≌△C'AB'，得∠AB'P=∠AB'C'，再证明△AMN∽△AC'B'，则=，证P、E、M、A四点共圆，得∠AMP=∠AEP=90°，所以△AMP是等腰直角三角形，则MN=B′C′，根据已知可得出结论．【解答】解：（1）①当x=0时，y=6，∴A（0，6），∴OA=6，当y=0时，﹣x2+x+6=0，（x+2）（x﹣3）=0，x=﹣2或3，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣2，0），C（3，0），∴OC=3，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC===3；故答案为：（﹣2，0），（3，0），3；②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，=BC•AO=AC•BD，∵S△ABC即×5×6=××BD，∴BD=2，在Rt△AOB中，AB==2，∴sin∠BAC===；（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，由折叠得：AE=AO=AF=6，∠E=∠AOB=90°，∠F=∠AOC=90°，∠EAB=∠BAO，∠OAC=∠CAF，∴∠EAF=2∠BAO+2∠OAC=2（∠BAO+∠OAC）=2∠BAC，由（1）知：sin∠BAC=，且∠BAC为锐角，∴∠BAC=45°，∴∠EAF=∠E=∠F=90°，∴四边形AEHF是正方形，∴EH=FH=6，设H（x，y），则OG=x，∴BG=2+x，CG=3﹣x，∵EB=OB=2，FC=OC=3，∴BH=6﹣2=4，CH=6﹣3=3，由勾股定理得：42﹣（2+x）2=32﹣（3﹣x）2，x=，∴GH==，∴H（，﹣）；∴点H不在抛物线对称轴上；故答案为：（，﹣）；不在；②如图3，延长B'E至P，使PE=C'F，连接AP，∵AE=AF，∠AEP=∠AFH=90°，∴△APE≌△AC'F，∴AP=AC'，∠PAE=∠C'AF，由旋转得：∠B′AC′=45°，∴∠EAB′+∠C'AF=45°，∴∠PAE+∠EAB′=45°，∴∠PAB'=∠B'AC'=45°，∵AB′=AB′，∴△PAB′≌△C'AB'，∴∠AB'P=∠AB'C'，∵∠FEB'=∠B'AC'=45°，∴∠EMB'=∠AC'B'=∠AMN，∵∠MAN=∠B'AC'，∴△AMN∽△AC'B'，∴=，连接PM，∵∠PAM=45°，∠PEM=90°+45°=135°，∴∠PAM+∠PEM=180，∴P、E、M、A四点共圆，∴∠AMP=∠AEP=90°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴=，∴=，∴MN=B′C′，∵B′H2+C′H2=33=B'C'2，∴B'C'=，∴MN=×=．故答案为：．。
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2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107 2．（2分）估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间3．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球4．（2分）不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（2分）下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝27．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④8．（2分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A ．15°B ．75°C ．85°D ．165°9．（2分）某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A ．25%B ．25C ．60D ．9010．（2分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A ．13132B ．13133C ．23D ．32二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．12．（3分）面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是分．13．（3分）化简：xx x -+-2422＝．14．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，则菱形ABCD 的高DE ＝cm ．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝41AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP 的面积为320时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣21）﹣2﹣（﹣3）0．18．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．19．（8分）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．四.（每小题8分，共16分）20．（8分）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2＝2，则成绩波动较大的是队．甲21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．五、（本题10分）22．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x /元40506070每天的销售量y /件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣3，1）、B （m ，3）．点C 的坐标为（1，0），连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式xk≥ax +b 的解集；（3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标．七、（本题12分）24．（12分）（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB 在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107【解答】解：6400000＝6.4×106，故选：C．2．（2分）估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间【解答】解：面积为3的正方形的边长b的值为3，∵1＜3＜2，∴实数3的值在整数1和2之间．故选：B．3．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．4．（2分）不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．5．（2分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：∵﹣1＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；又∵﹣2＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；故选：D．6．（2分）下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝2【解答】解：A、m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2mn）2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2m）3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．7．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．8．（2分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A ．15°B ．75°C ．85°D ．165°【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，所以α的余角为75°，故选：B ．9．（2分）某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A ．25%B ．25C ．60D ．90【解答】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：24072×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D ．10．（2分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A ．13132B ．13133C ．23D ．32【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥l 4于D ，过点B 作BE ⊥l 4于E ，设l 1，l 2，l 3，l 4间的距离为1，∵∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，在△ACD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC BCE CAD BEC ADC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BCE 中，BC ＝1322=+CE BE ，∴sin α＝13132132==BC BE ．故选：A．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【解答】解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．12．（3分）面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是81分．【解答】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．13．（3分）化简：x x x -+-2422＝x +2．【解答】解：x x x -+-2422＝2-4-22x x x -＝24-2-x x =2)2)(2(--+x x x ＝x +2．14．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为10．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，AD 是角平分线，AD ＝12，∴BC ＝2BD ，AD ⊥BC ．在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+122＝132，解得BD ＝5，∴BC ＝10．故答案为：10．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，则菱形ABCD 的高DE ＝4.8cm ．【解答】解：∵在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，∴菱形的面积＝21×8×6＝24cm 2，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴AD ＝cm OA OD 522=+，∴AB ＝5cm ，∴菱形的面积＝AB •DE ＝24cm 2，∴DE ＝8.4524=cm ，故答案为：4.8．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝41AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP 的面积为320时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是34+265．【解答】解：如图，作点G 关于点C 的对称点H ，连接AH ，GH ，过点P 作PK ⊥BC 于K ，PJ ⊥AB 于J ．∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝16，∴AC ＝2AB ＝162，∵PA ＝41AC ，∴PA ＝42，∵PJ ⊥AJ ，∠PAJ ＝45°，∴PJ ＝AJ ＝4，BJ ＝16﹣4＝12，∵PK ⊥BC ，∴∠B ＝∠PJB ＝∠PKB ＝90°，∴四边形PJBK 是矩形，∴PK ＝BJ ＝12，∵S △P AE ＝320＝21•AE •PJ ，∴AE ＝310，EJ ＝4﹣310＝32，∵∠JPK ＝∠MPN ＝90°，∴∠JPE ＝∠FPK ，∵∠PJE ＝∠PKF ＝90°，∴△PJE ∽△PKF ，∴FKEJ PK PJ ，∴FK32124=，∴FK ＝2，CF ＝12+2＝14，BF ＝2，∴BH ＝30，∴AF ＝65222=+BF AB ，AH ＝22BH AB +＝34，∵GF ＝GH ，∴AG +FG ＝AG +GH ，∵AG +GH ≥AH ，∴AG +GH ≥34，∴GA +FG 的最小值34，∴△AFG 的周长的最小值为34+265．故答案为34+265．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣21）﹣2﹣（﹣3）0．【解答】解：原式＝|1﹣6×23|﹣33+4﹣1＝33﹣1﹣33+4﹣1＝2．18．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率94．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率32．【解答】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是92；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是94；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率64＝32；19．（8分）如图，▱ABCD 中，∠A ＝45°，连接BD ，且BD ⊥AD ，点E 、点F 分别是AB 、CD 上的点，连接EF 交BD 于点O ，且EF ⊥CD ，BE ＝DF ＝1．（1）求EF 的长；（2）直接写出▱ABCD 的面积8．【解答】解：（1）∵∠A ＝45°，BD ⊥AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠DBA ＝45°，AD ＝DB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∵EF ⊥CD ，∴EF ⊥AB ，∴△OEB 是等腰直角三角形，△DFO 是等腰直角三角形，∵DF ＝BE ＝1，∴OE ＝BE ＝1，OF ＝DF ＝1，∴EF ＝2；（2）∵△OEB 和△DFO 是等腰直角三角形，∵OE ＝EB ＝OF ＝DF ＝1，∴OD ＝OB ＝2，∴DB ＝22，∵△ADB 是等腰直角三角形，∴AB ＝2DB=22×2=4，∴▱ABCD 的面积＝AB •EF ＝4×2＝8．故答案为：8．四.（每小题8分，共16分）20．（8分）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是8分，乙队成绩的众数是8分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S 2甲＝2，则成绩波动较大的是乙队．【解答】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为：8，8；（2）乙队的平均成绩为51（10+9+5+8+8）＝8，其方差S 2乙＝51[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝51×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S 2甲＜S 2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为：乙．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的弦，直线BC 与⊙O 相切于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，连接OA ，OB ．（1）求证：AB 平分∠OAD ；（2）当∠AOB ＝100°，⊙O 的半径为6cm 时．①直接写出扇形AOB 的面积约为31cm 2（结果精确到1cm 2）；②点E 是⊙O 上一动点（点E 不与点A 、点B 重合），连接AE ，BE ，请直接写出∠AEB＝50或130°．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∵OB ⊥CB ，AD ⊥BC ，∴OB ∥AD ，∴∠OBA ＝∠DAB ，∴∠OAB ＝∠DAB ，∴AB 平分∠OAD ；（2）①∵∠AOB ＝100°，⊙O 的半径为6cm ，∴扇形AOB 的面积为：36061002⨯π≈31（cm 2），故答案为：31；②当点E 在优弧AB 上时，∵∠AOB ＝100°，∴∠AEB ＝50°，当点E 在劣弧AB 上室，∠AEB ＝180°﹣50°＝130°，故答案为：50或130．五、（本题10分）22．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x /元40506070每天的销售量y /件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y ＝kx +b ，将（40，140）、（50，120）代入上式得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 5012040140，解得：⎩⎨⎧==2202b k ，故函数的表达式为：y ＝﹣2x +220（40≤x ≤70）；（2）设该商品每天获得的利润为w ，则w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2（x ﹣110）（x ﹣40）（40≤x ≤70）；∵﹣2＜0，故w 有最大值，当x ＝70，w 最大值，最大值为240，故销售单价定为75元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣3，1）、B （m ，3）．点C 的坐标为（1，0），连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式xk≥ax +b 的解集﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3；（3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标（0，13）或（0，2131+）．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：1＝3-k，解得：k ＝﹣3，将点B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m ＝﹣1，故点B （﹣1，3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：⎩⎨⎧+=+-=b k b k 331，解得⎩⎨⎧==41b k ，故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y ＝﹣x3，y ＝x +4；（2）观察函数图象得，当x ＜0时，x ≥﹣1或x ≤﹣3时，不等式xk≥ax +b 成立，即不等式的解集为：﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3，故答案为：﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3；（3）设点M （0，m ）（m ＞0），点C （1，0）、A （﹣3，1），则MC 2＝1+m 2，CA 2＝（1+3）2+1＝17，AM 2＝9+（m ﹣1）2，当MC 是斜边时，则1+m 2＝17+9+（m ﹣1）2，解得：m ＝13；当CA 是斜边时，同理可得：m ＝2131+（负值已舍去）；当AM 是斜边时，同理可得：m ＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，2131+）．七、（本题12分）24．（12分）（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长53﹣5；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长63或83【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，∵∠ABE +∠ANB ＝90°，∴∠ADG +∠DNH ＝90°，∴∠DHN ＝90°，∴BE ⊥DG ；（2）如图，当点G 在线段DE 上时，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝AE ，AB ＝AD ＝10，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°＝∠ABD ，BD ＝2AB ＝102，GE ＝2AE ，∴∠GAD ＝∠EAB ，∴△GAD ≌△EAB （SAS ），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ＝15°，∴∠BDE ＝45°﹣15°＝30°，∠DBE ＝45°+15°＝60°，∴∠DEB ＝90°，∴BE ＝21BD ＝52＝DG ，DE ＝3BE ＝56，∴GE ＝56﹣52，∴AE ＝2GE ＝53﹣5，当点E 在线段DG 上时，同理可求AE ＝53﹣5，故答案为：53﹣5；（3）如图，若点G 在线段DE 上时，∵AD ＝413，AB ＝439，AG ＝4，AE ＝43，∴DB ＝13822=+AD AB ，GE ＝822=+AE AG ，∠DAB ＝∠GAE ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ，又∵AEAG AB AD ==31∴△AGD ∽△AEB ，∴31==AB AD BE DG ，∠DGA ＝∠AEB ，∴BE ＝3DG ，∵∠DGA ＝∠GAE +∠DEA ，∠AEB ＝∠DEB +∠AED ，∴∠GAE ＝∠DEB ＝90°，∵DB 2＝DE 2+BE 2，∴64×13＝（DG +8）2+3DG 2，∴DG ＝12或DG ＝﹣16（舍去），∴BE ＝123，∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝21BE ＝63；如图，当点E 在线段DG 上时，同理可求：BE ＝163，∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝21BE ＝83，综上所述：MN 为63或83，故答案为：63或83．八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 和点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时．①直接写出点D 的坐标（﹣12+35，0）或（﹣3，0）；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式y ＝﹣x 2﹣313x ﹣4．【解答】解：（1）由题意A （﹣12，0），B （0，﹣9），把A ，B 的坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 得⎩⎨⎧-==+--9012144c c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=9451c b ，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣451x ﹣9．（2）如图1中，设M （m ，﹣m 2﹣451m ﹣9），S △ABM ＝S △ACM +S △MBC ﹣S △ACB ＝21×9×（m +12）+21×12×（﹣m 2﹣451m ﹣9+9）﹣21×12×9＝﹣6m 2﹣72m ＝﹣6（m +6）2+216，∵﹣6＜0，∴m ＝﹣6时，△ABM 的面积最大，此时M （﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F 在AC 的延长线设时，连接DF ，FB ．设D （m ，0）．∵EF 垂直平分线段BD ，∴FD ＝FB ，∵F （﹣12，﹣10），B （0，﹣9），∴102+（m +12）2＝122+12，∴m ＝﹣12﹣35（舍弃）或﹣12+35，∴D （﹣12+35，0）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b ′x +c ′，可得⎩⎨⎧-==+--4'0''39c c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4'313'c b ，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣313x ﹣4．。