[推荐学习]高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义自主练习
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义教案苏教版选修1-2(2021学年)
201７－20１8版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入3．3 复数的几何意义教案苏教版选修1－2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０1７-20１８版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入 3.３复数的几何意义教案苏教版选修1-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-20１8版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入３．3 复数的几何意义教案苏教版选修1-2的全部内容。
3.3 复数的几何意义教学目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数.了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想.教学重、难点重点：复数的几何意义难点:复数加、减法的几何意义教学过程一、问题引入:我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？二、知识新授：复平面、实轴、虚轴：复数ｚ＝a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数ｚ=a+bi(a、ｂ∈R），由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(ａ,b）惟一确定,如z＝3+2i可以由有序实数对（3,2)确定,又如ｚ=－2＋i可以由有序实数对(-2，1）来确定;又因为有序实数对(ａ,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对（3，2)它与平面直角坐标系中的点A,横坐标为3,纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=ａ+bi(ａ、b∈R)可用点Z(a,b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面,x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为（０，0）, 它所确定的复数是ｚ=0＋0i＝0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0,实轴上的点(２，0）表示实数２，虚轴上的点(0,－１)表示纯虚数-ｉ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(－2,３）表示的复数是-2+３i ，z =-５-3i 对应的点（-5,－3）在第三象限等等．三、例题应用:例1、（1)下列命题中的假命题是（ D )(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;(Ｂ)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；（Ｃ)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数；（D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(2)复数z 与 所对应的点在复平面内( A )(A)关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C)关于原点对称 (D)关于直线对称 例2、已知复数z=(m ２＋m-6)＋（m ２+m-2）ｉ在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m 的取值范围。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数
1．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复 平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上．
解析： 复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i 在复平面内对应的点是
(a2－1,2a－1)．
(1)若 z 对应的点在实轴上，则有
复平面的定义
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． x轴叫做____实__轴____，y轴叫做___虚__轴_____，实轴上的点都 表 示 ___实__数_____ ； 除 ____原__点____ 外 ， 虚 轴 上 的 点 都 表 示 纯 虚 数．
1．复平面上的点的坐标与复数的关系 (1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示 复数的虚部． (2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它 们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点 不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
[思路点拨]
求解复数问题常用的解题技巧 (1)代数化：由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对 应的复数时，通常是由其对应关系列出方程(组)或不等式(组) 或混合组，求得复数的实部、虚部的值或范围，来确定所求的 复数． (2)几何化：利用复数的向量表示，充分运用数形结合，转 化成几何问题，渗透数形结合思想就是其中技巧之一，可简化 解题步骤，使问题变得直观、简捷、易解．
(2)当实数 x 满足xx22＋ －x2－x－6＞ 150＜，0， 即 2＜x＜5 时，点 Z 在 第四象限．
(3)当实数 x 满足 x2＋x－6－(x2－2x－15)－3＝0，即 x＝－ 2 时，点 Z 在直线 x－y－3＝0 上．
合作探究 课堂互动
复数的几何意义
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义学案 苏教版选修2-2
3.3 复数的几何意义义.1．复平面(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．x 轴叫做________，y 轴叫做________．实轴上的点都表示________．除原点外，虚轴上的点都表示________．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以用复平面内的点Z ________来表示，也可以用向量________来表示，三者的关系如下：(3)为方便起见，常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或向量OZ ，并且规定，相等的向量表示________复数． 预习交流1做一做：复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则实数a 的值为________． 预习交流2做一做：复数z ＝12＋i在复平面内所对应的点位于第________象限．2．复数的模(或绝对值)(1)________的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|. (2)如果z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝|a ＋b i|＝______. 预习交流3做一做：若对于实数x ，y ，复数x ＋y i 的模都为3，则点(x ，y )的轨迹方程是__________． 3．复数加减法的几何意义 (1)加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应，且1OZ ，2OZ 不共线．如下图，以1OZ ，2OZ 为两条邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 所表示的向量OZ 就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．(2)减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应．且1OZ ，2OZ 不共线，如下图，则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (即21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．实际上，在平面向量中已有向量的几何解释，同复数减法的几何解释是一致的．(3)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝________________，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的________．预习交流4 做一做：在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量AC 对应的复数为－1－i ，则向量BC 对应的复数为__________．答案：预习导引1．(1)复平面 实轴 虚轴 实数 纯虚数 (2)(a ，b ) OZ (3)同一个 预习交流1：提示：∵复数对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，即a ＝0或a ＝2.预习交流2：提示：z ＝12＋i ＝2－i (2＋i)(2－i)＝25－15i ，对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，在第四象限．2．(1)向量OZ (2)a 2＋b 2预习交流3：提示：∵|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝3， ∴x 2＋y 2＝9.3．(3)(a －c )2＋(b －d )2距离 预习交流4：提示：－3－2i一、复数的几何意义实数x 分别为什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 表示的点 (1)在实轴上？ (2)在虚轴上？思路分析：本题需弄清实轴、虚轴及实轴上数的特点、虚轴上数的特点，抓住特点完成．1．在复平面内，点A ，B 对应的复数分别是－3＋2i,1－4i ，则线段AB 的中点对应的复数是__________． 2．复数z ＝－2i －1，则复数z 在复平面内对应的点位于第__________象限．确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．二、有关复数模的问题已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .思路分析：常规解法：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件，求出a ，b .也可以巧妙地利用|z |∈R ，移项后得到复数的实部，再取模可得关于|z |的方程，求解即可．1．(2012湖南高考)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 2．已知复数z ＝a ＋i(0＜a ＜2)，则|z |的取值范围是__________．3．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若复数z 的虚部为3，且|z |＝2，复数z 在复平面内对应的点在第二象限，则复数z ＝__________.z 为复数，但|z |为实数，复数相等的定义即实部与实部相等，虚部与虚部相等．需明确谁是实部，谁是虚部，同时，把复数z 看作整体的方法值得借鉴．三、复数加减法几何意义的应用已知平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 对应的复数分别为1＋i 、4＋3i 、－1＋3i. 试求：(1)AD 对应的复数；(2)DB 对应的复数； (3)点C 对应的复数．思路分析：利用复数加法、减法的几何意义进行求解．1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA ，OB 对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD 对应的复数是__________．2．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB 对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3对应的点位于第__________象限．2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|z －i|，则z 所对应的点的集合构成的图形是__________． 3．已知复数z ＝(1－i)(2－i)，则|z |的值是__________．4．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为__________．5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为__________．6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝(a ＋d )－(c ＋b )，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－2i 1－i ＝0的复数z 对应的点在第______象限．活动与探究1：解：(1)当x 2－2x －15＝0，即x ＝－3或x ＝5时，复数z 对应的点在实轴上．(2)当x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3时，复数z 对应的点在虚轴上． 迁移与应用：1．－1－i 解析：由已知A (－3,2)，B (1，－4)， ∴AB 的中点为(－1，－1)， ∴AB 中点对应的复数为－1－i.2．三 解析：复数z 在复平面内对应的点为(－1，－2)，该点位于第三象限．活动与探究2：解法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i. ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 迁移与应用：1．10 解析：∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝32＋12＝10.2．(1，5) 解析：|z |＝|a ＋i|＝a 2＋1.∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5， ∴1＜|z |＜ 5.3．－1＋3i 解析：由已知得224b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，∴1a b =±⎧⎪⎨=⎪⎩，. 又∵复数z 对应的点在第二象限， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.活动与探究3：解：(1)设坐标原点为O ， 则有AD ＝OD －OA ，所以AD 对应的复数为(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i. (2)DB ＝OB －OD ，所以DB 对应的复数为(4＋3i)－(－1＋3i)＝5. 因为ABCD 是平行四边形， 所以AD ＝BC . 由(1)知BC ＝－2＋2i ， 而BC ＝OC －OB ，所以OC 对应的复数为(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i ，这就是点C 对应的复数． 迁移与应用：1．4－2i 解析：依题意有CD ＝BA ＝OA －OB ，所以CD 对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.2．解：(1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 的轨迹是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示．(2)圆方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22， 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.点O 到直线l 的距离为22，且过O 向l 引垂线，垂足在线段BE 上，22＜2－2，故集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22. 当堂检测1．二 解析：由已知得复数z 对应的点为(cos 3，sin 3)， 而cos 3＜0，sin 3＞0，∴点(cos 3，sin 3)在第二象限． 2．以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线 3．10 解析：z ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，∴|z |＝12＋(－3)2＝10.4．－3－4i 解析：CA ＝BA －BC ＝CB －AB ＝(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i. 5．9 解析：复数z 对应的点为(m －3,2m )， 由已知得m －3＝2m ，∴m＝9.6．一 解析：由定义得(z ＋1－i)－(1－2i ＋1＋2i)＝0，z －1－i ＝0， ∴z ＝1＋i ，对应点为(1,1)，故z 对应的点在第一象限．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.3 复数的几何意义导学案(无答案)新人教A版选修
山东省乐陵市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.3 复数的几何意义导学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省乐陵市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.3 复数的几何意义导学案（无答案）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为山东省乐陵市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.3 复数的几何意义导学案（无答案）新人教A版选修2-2的全部内容。
复数的几何意义【学习目标】：理解复数的几何意义及复数的模.理解共轭复数的意义。
【重点】：复数的几何意义及复数的模的概念。
【难点】：复数几何意义的运用。
【自学自测】1.对于复平面，下列命题正确的是（ ）A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的。
B 实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的。
C 实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的.D 实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合时是一一对应的。
2。
在复平面内描出表示下列复数的点和向量：（1)3)5(42)4(23)3(23)2(52---+-+i i i i（6）2)8(4)7(3--i i3。
求下列复数的模：=+==-=z i z z i z 125)2(34)1(=+-==-=z i z z i z 21)4(223)3(4.求下列复数的共轭复数x y=-=z i z 58)1(=-=z i z 7)2( ==z z 3)3( =--=z i z 33)4(==z z 31)5( ==z i z 6)6(【自研自悟】1、的集合是什么图形？，满足下列条件的点设Z C z ∈（1）32)2(2≤≤=z z变式训练： 的集合是什么图形？，满足下列条件的点设Z C z ∈（1）1)1(=+-i z （2)1)1(≤+-i z2。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义导学案 新人教A版选修1-2(
河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修1-2的全部内容。
复数的几何意义学习目标:1。
能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：重点:1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．方法:合作探究一新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1）每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．(2)若复数z＝a＋bi（a、b∈R),则其对应的点的坐标是_______，不是（a,bi）．(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．如图:在复平面内复数z＝a＋bi（a、b∈R)可以用点___ 课堂随笔：或向量表示复数z＝a＋bi（a、b∈R）与点Z(a,b）和向量的一一对应关系如右上图:牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi,－a－bi的两个点的位置关系是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称2．复数z＝－1－2i（i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧,则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R 3．复数的模复数z＝a＋bi（a、b∈R)对应的向量为O，则O 的模叫做复数z的模，记作｜z｜且|z｜＝错误!当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z（a，b）到原点（0,0）的__________．由向量的几何意义知，｜z1－z2｜表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________．牛刀小试4．（2014·武汉市调研）复数z＝m（3＋i）－(2＋i）（m∈R，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于( ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．复数i＋i2的模等于__________. 6．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________。
近年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义(1)学案苏教版选修1-2(2021年
2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义（1）学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义（1）学案苏教版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义（1）学案苏教版选修1-2的全部内容。
3。
3 复数的几何意义［学习目标］1。
了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义。
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．［知识链接]1．下列命题中不正确的有________．（1）实数可以判定相等或不相等；（2)不相等的实数可以比较大小；（3）实数可以用数轴上的点表示；（4）实数可以进行四则运算；（5)负实数能进行开偶次方根运算；答案（5）2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a＋b i（a，b∈R），都和一个有序实数对(a，b）一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．［预习导引］1．复数的几何意义(1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋b i（a，b∈R）错误!复平面内的点Z(a，b)；②复数z＝a＋b i（a，b∈R）错误!平面向量O错误!＝(a，b）．2．复数的模复数z＝a＋b i(a,b∈R)对应的向量为O错误!，则O错误!的模叫做复数z的模，记作｜z|，且|z|＝错误!.3．两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．要点一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8)＋(m2＋3m－10）i对应的点(1）在虚轴上；（2)在第二象限；（3）在第二、四象限；（4）在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解复数z＝（m2－2m－8)＋（m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8,虚部为m2＋3m－10.(1）由题意得m2－2m－8＝0。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义自主练习 苏教版选修12
3.3 复数的几何意义自主广场我夯基 我达标1.已知复数Z 的模为2，则|Z-i|的最大值是（ ）A.1B.2C.5D.3思路解析：本题主要考查复数模的几何意义，可有两种思路：（1）不等关系，｜Z-i ｜≤｜Z ｜+｜i ｜≤3；（2）｜Z ｜=2，可知Z 在以原点为圆心，2为半径的圆上运动；｜Z-i ｜表示圆上的点到（0，1）的距离，由圆知1≤｜Z-i ｜≤3.因此最大值为3. 答案：D2.已知复数Z 满足|Z+2|-|Z-2|=1，则复数Z 的对应点在复平面上的集合是（ ） A.线段 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 思路解析：｜Z+2｜-｜Z-2｜=1表示双曲线靠近（0，2）的一支. 答案：D3.已知复数Z 1Z 2满足|Z 1|=3，|Z 2|=5，|Z 1-Z 2|=10，那么|Z 1+Z 2|为（ ） A.10 B.58 C.7 D.8思路解析：本题主要考查复数及模的几何意义.如图设Z 1、Z 2对应点为A 、B ，以，为邻边作OACB ，则对应的复数为21Z Z +，∵｜｜=3.｜｜=5，｜｜=10. 54222=， ∴cos∠OBC=-54∴｜Z 1+Z 2｜=｜｜58=.答案：B4.△ABC 的三个顶点对应的复数分别是Z 1、Z 2、Z 3，若复数Z 满足|Z-Z 1|=|Z-Z 2|=|Z-Z 3|，则Z 对应的点应为△ABC 的（ ）A.内心B.垂心C.重心D.外心思路解析：由几何意义知，Z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，Z 对应的点是△ABC 的外心. 答案：D5.已知Z∈C 且|Z|=1，则复数ZZ 12+（ ）A.是实数B.是虚数但不一定是纯虚数C.是纯虚数D.可能是实数也可能是虚数 思路解析：本题主要考查模的性质∵｜Z ｜=1，∴｜Z Z ｜=1，Z Z=1，∴Z Z Z Z Z Z +=+=+112∈R . 答案：A6.复平面内，过点A （1，0）作虚轴的平行线l ，设l 上的点对应的复数Z ，求Z1对应点的轨迹方程__________________________.思路解析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=1+ti ，Z1=x+yi ，又.1111111122i t t t ti ti ti Z +-+=+-=+= ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1,1122t t y t x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=≠+=.10,1122t t y x t x 消去t 得x 2+y 2=x. 答案：y 2+x 2=x7.设Z=10121⎪⎭⎫⎝⎛-i ,则Z·Z 等于_____________.思路解析：本题主要考查复数代数形式的运算. Z=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫⎝⎛-212122212121215050502100i i i i i i i i i 2222+-= ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=i i Z Z 22222222=1 8.在复平面内，复数Z 1在连结1+i 和1-i 的线段上移动，设复数Z 2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数Z 1+Z 2在复平面上移动范围的面积.思路分析：本题主要考查复数的几何意义，可结合图形入手处理问题. [解]设w=Z 1+Z 2，Z 2=w-Z 1，｜Z 2｜=｜w-Z 1｜ ∵｜Z 2｜=1，∴｜w-Z 1｜=1上式说明对于给定的Z 1，w 在以Z 1为圆心，1为半径的圆上运动，又Z 1在连结1+i 和1-i 的线段上移动.∴w 移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π. 9.已知复数|Z|=1，求|Z+Z1|的最大值和最小值. 思路分析：本题主要考查复数的基本运算.[解]设Z=x+yi ，（xy∈R ）则x 2+y 2=1|||1|12Z Z Z Z +=+=｜x 2-y 2+1+2xyi ｜=｜2x 2+2xyi ｜=222)2()2(xy x +=2｜x ｜由于｜x ｜≤1，于是当Z=±1时，ZZ 1+有最大值2； 当Z=±i 时，ZZ 1+有最小值. 我综合 我发展10.（经典回顾）复数Z=iim 212+-(m∈R ,i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路解析：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义. 由已知Z=51212=+-i i m [(m-4)-2(m+1)i]在复平面上的对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-.01,04m m 而此方程组无解.因此不可能在第一象限. 答案:A11.（经典回顾）若Z∈C ，且|Z+2-2i|则|Z-2-2i|的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.5 思路解析:本题考查复数代数形式的运算，数形结合思想. 方法1：设Z=a+bi(a,b∈R ),因此有|a+2+(b-2)i|=1.即（a+2)2+(b-2)2=1,又|Z-2-2i|=a a ab a 81)2(1)2()2()2(2222-=+-+-=-+-而|a+2|≤1,即-3≤a≤-1，∴当a=-1时，|Z-2-2i|取最小值3. 方法2利用数形结合法：|Z+2-2i|=1表示圆心在（-2，2），半径为1的圆上，而|Z-2-2i|表示圆上的点与点（2，2）的距离，其最小值为3. 答案:B12.已知Z ∈C ，在复平面内，Z ，Z 对应的点分别为P 、P 2，O 为坐标原点，则在下列结论中正确的为（ ）①当Z 为纯虚数时P 1、O 、P 2三点共线； ②当Z 为实数时，21OP =；③当Z 为虚数时，P 、O 、P 2三点构成等腰三角形；④无论Z 为何复数21OP -≠A.①②B.②③C.③④D.①④ 思路解析:当Z 为纯虚数时，Z 与Z 对应的点均在虚轴上，故P 1、P 2、O 三点共线；①正确；显然③错误；当Z=0时，1OP 对应的点复数为0，2OP 对应的复数也为0，此时有1=-2OP 成立，故④错误. 答案:A 13.（经典回放）对于任意两个复数Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i(x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为Z 1⊙Z 2=x 1x 2+y 1y 2，设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点，如果w 1⊙w 2=0，那么△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为_____________.思路解析:本题主要考查复数的几何意义.设w 1=x 1+y 1i,w 2=x 2+y 2i,由复数的几何意义得P 1（x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，又w 1⊙w 2=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴OP 1⊥OP 2 ∴∠P 1OP 2=2π. 答案:2π 14.（经典回放）已知Z ，w 为复数，（1+3i)Z 为纯虚数，w=iZ+2，且|w|=25,求w. 思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算.方法1：设Z=a+bi(a 、b∈R ),则（1+3i)Z=a-3b+(3a+b)i.由题意知a=3b≠0.∵|w|=25|2|=+iZ∴|Z|=10522=+b a .将a=3b 代入，解得a=±15,b=±5.故w=±ii++2515=±(7-i). 方法2：由题意设(1+3i)Z=Ki,(K≠0且K∈R ) 则w=)31)(2(i i Ki++.∵|w|=25 ∴K=±50.故w=±(7-i)。
秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义学案新人
2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修1-2的全部内容。
3.1。
2 复数的几何意义学习目标：1。
理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．（重点、难点）2.掌握实轴、虚轴、模等概念．（易混点)3。
掌握用向量的模来表示复数的模的方法．（重点)[自主预习·探新知]1．复平面思考：有些同学说：实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？［提示］不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模（1）定义：向量错误!的模叫做复数z＝a＋b i的模．（2）记法：复数z＝a＋b i的模记为｜z|或｜a＋b i｜且|z|＝错误!.[基础自测]1．思考辨析（1）复平面内的点与复数是一一对应的．( ）（2)复数即为向量，反之，向量即为复数．（）（3）复数的模一定是正实数．（）（4)复数与向量一一对应．（）[答案]（1)√(2)×（3）×（4)×2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( ）A．(0,－1）B．(－1，0）C．（0,0) D．（－1,－1)A［复数z＝－i的实部为0，虚部为－1,故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1)．] 3．向量a＝(－2,1）所对应的复数是( ）A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋iD［向量a＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i.]4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位），则｜z｜＝________.5［∵z＝1＋2i，∴|z|＝错误!＝错误!。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义知识导航学案苏教版选修
3.3 复数的几何意义知识梳理1.复数的点表示如图3-3-1所示，点Z 的横坐标是a,纵坐标是b ，复数Z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_____________，x 轴叫做_____________,y 轴叫做_____________.显然，实轴上的点都是实数；除了____________外，虚轴上的点都表示纯虚数.图3-3-1按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即_____________.2.复数的向量表示设复平面内的点Z 表示复数Z=a+bi ，连结OZ ，显然向量是由点Z 惟一确定的；反过来，点Z （相对于原点来说）也是由向量惟一确定的.因此，复数集C 与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的（实数O 与零向量对应），即_____________.3.复数的模（1）向量OZ 的模r ，叫做复数Z=a+bi 的_____________，记作|Z|或|a+bi|.如果b=0，那么Z=a+bi 是一个实数a,它的模等于|a|（也就是a 的绝对值）.由模的定义知|Z|=|a+bi|=r=_____________.(r≥0,r∈R )（2）为方便起见，我们常把复数Z=a+bi 说成点Z 或说成向量，并且规定，相等的向量表示_____________.4.复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图3-3-2，OZ 表示复数_____________，21Z Z 表示_____________，即OZ =_____________，21Z Z =_____________.图3-3-2知识导学复数的向量表示，复数的点表示，概念不容易理解.复数Z=a+bi,复平面内的点Z(a,b)，以原点为起点的平面向量OZ 具有一一对应关系，另外，复数的加减法的几何意义，实际上遵循的是向量的平行四边形法则（三角形法则），因此复习平面向量的有关知识是必要的.可以采用相类比的办法来理解三者的对应关系及复数加减法的几何意义.疑难突破1.复数与点、向量间的对应每一个复数，在复平面内都有惟一的点和它对应；反过来，每一个点都有惟一的复数和它对应.因此复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应.因为有这种一一对应关系，才有复数的点表示.同理，复数Z=a+bi 与平面内以原点为起点的向量也具有一一对应关系，因此也有复数的向量表示.2.复数加法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.如图3-3-3所示，已知复数Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i 及其对应的向量OZ =（x 1，y 1), 2OZ =(x 2，y 2).以1OZ ，2OZ 为两条邻边作平行四边边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 表示的向量OZ =1OZ +2OZ =（x 1+x 2,y 1+y 2)，这正是两个复数之和Z 1+Z 2所对应的有序实数对.图3-3-33.复数减法的几何意义实质为平面向量的三角形法则，向量12Z Z 对应两个复数的差Z 1-Z 2，作12Z Z OZ =，则点Z 也对应复数Z 1-Z 2，要特别注意的是12Z Z 差向量指向的是被减数.典题精讲【例1】 在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数Z 1=1+i,Z 2=5+i,Z 3=3+3i,以AB 、AC 为邻边作一平行四边形ABCD ，求D 对应的复数Z 4及AD 的长.思路分析：本题考查复数的几何意义，首先画出图形，结合向量用已知的向量表示所求的向量再得出所求的复数.解：由复数的加减法的几何意义+=即Z 4-Z 1=（Z 2-Z 1）+（Z 3-Z 1）∴Z 4=Z 2+Z 3-Z 1=7+3i|AD|=|Z 4-Z 1|=|（7+3i)-(1+i)=|6+2i|=102.绿色通道：复数的加减法的几何意义，复数的向量表示本身就是研究图形的有关性质，因此在解题时要注意利用图形的平面性质去解决有关问题.【变式训练】 设复平面上两个点Z 1和Z 2所对应的复数Z 1=1，Z 2=2+i ，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点Z 3所对应的复数Z 3.思路分析：本题考查复数的几何意义及运用图形的能力.要注意先由题意画出符合条件的图形共有2个.[解]如图，作Z 2A ，Z 3B 分别垂直于x 轴，已知｜Z 1A ｜=1，｜AZ 2｜=1，｜Z 1Z 2｜=2，∵△Z 1Z 2Z 3为正三角形∴｜Z 1Z 3｜=｜Z 1Z 2｜=2，∠Z 3Z 1B=75°故有｜BZ 3｜=｜Z 1Z 3｜sin75°=231+，｜BZ 1｜=｜Z 1Z 3｜cos75°=213-. ｜OB ｜=｜OZ 1｜-｜BZ 1｜=233-. ∴Z 3=21(3-3）+21(1+3)i 同样可得. Z 3′＝21(3+3)+21(1-3)i. 【例2】 已知点集D={Z||Z+1+i 3|=1,Z∈C }，试求|Z|的最大值和最小值.思路分析：本题考查复数模的意义|Z+1+i 3|=1可看出Z 1到点（-1,3-)的距离为1，因此可画出图形结合图形求解.解：点集D 的图象为以点C （-1,3-)为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数Z ，则||=|1Z |由图知，当OP 过圆心C （-1，3-）时与圆交于A 、B ，则|Z|的最小值是|OA|=|OC|-1=22)3()1(-+--1=2-1=1，即|Z|min =1；|Z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3，即|Z|max =3.绿色通道：把代数问题转化为几何问题，这是数形转化的一种形态，是常用的数学思维方法. 黑色陷阱：由于此题中的条件具有较明显的几何意义，最好采用数形结合的方法处理可简化运算.若用代数方法化简将会很复杂.【变式训练】 已知Z=3+ai 且|Z-2|＜2，求实数a 的取值范围.思路分析：本题可以从代数方法入手去掉模得出关于a 的不等式；也可从几何意义出发得出对应的图形，利用数形结合解决.[解法1]利用模的意义，从两个已知条件中消去Z∵Z=3+ai（a∈R ）由｜Z-2｜＜2得｜3+ai-2｜＜2即｜1+ai ｜＜2， ∴221a +＜2,解得3-＜a ＜3.[解法2]利用复数的几何意义，由条件｜Z-2｜＜2可知Z 在复平面内对应的点Z ，在以（2，0）为圆心2为半径的圆内（不包括边界）.如图所示，由Z=3+ai 可知，Z 对应的点在直线x=3上，所以线段AB （除去端点）为动点的集合，由图知3-＜a ＜3.【例3】 已知Z 1=x+5+yi,Z 2=x-5+yi 且x∈R ,y∈R ,|Z 1|+|Z 2|=6,求f(x,y)=|2x-3y-12|的最值.思路分析：本题主要考查复数的几何意义，要结合几何图形来考虑问题.解 ∵|Z 1|+|Z 2|=6 ∴2222)5()5(y x y x +-=++=6.它是2a=6,a=3,c=5,b=2的一个椭圆，其标准方程为4922y x +=1，由椭圆的参数方程知⎩⎨⎧==.sin 2,cos 3θθy x ∴f(x,y)=|2x -3y-12|=｜6cos θ-6sin θ-12|=6|cos θ-sin θ-2|=6|2sin(θπ-4)-2|当θ=4π-时，即x=223,y=2-时， f(x,y)min =6|2-2|=12-62;当θ=43π,即x=-223,y=2时，f(x,y)max =6|2+2| =12+62.绿色通道：确定复数Z 用到两个条件，在应用时可以分别从形和数两个方面进行解析：（1）从形入手，积累一些常见结论是很有必要的.如|Z-Z 1|=|Z-Z 2|表示线段Z 1Z 2的中垂线；|Z-Z 1|=定值，表示以Z 1为圆心的圆.|Z-Z 1|+|Z-Z 2|=2a(2a ＞|Z 1Z 2|)表示以Z 1、Z 2为焦点的椭圆等.（2）从数入手就是设复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题，而复数相等是转化的桥梁.（可得到两个实数等式所组成的方程组）.【变式训练】 设虚数Z 满足|2Z+5|=|Z +10|（1）求|Z|的值；（2）若Zm m Z +为实数，求实数m 的值； （3）若（1-2i)Z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数Z.思路分析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=x+yi ，将复数问题转化为实数问题是常见的解题思路.解:（1）设Z=x+yi （x 、y∈R ，且y≠0）则（2x+5）2+（2y ）2=（x+10）2+y 2，得到x 2+y 2=25，∴｜Z ｜=5.（2）∵yix m m yi x Z m m Z +++=+ =)()(2222yx my m y y x mx m x +-+++i 为实数. ∴22yx my m y +-=0.又y≠0且x 2+y 2=25， ∴251m m -=0.解得m=±5. （3）（1-2i ）Z=（1-2i ）（x+yi ）=（x+2y ）+（y-2x ）i依题意得x+2y=y-2x ，∴y=-3x ①又∵｜Z ｜=5即x 2+y 2=25 ② 由①、②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2103210y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2103210y x ∴Z=i 2103210-或Z=i 2103210+-问题探究模的几何意义导思：模的几何意义与向量，解析几何的有关问题联系密切.在现在的高考中复数的考查经常出现此类问题.因为模本身表示的是一种长度，向量与解析几何也与图形有关，因此研究此类问题时要联系图形，考查数形结合的思想.探究：（1）|Z|的模表示Z 对应的点到原点的距离.（2）|Z 1-Z 2|表示复平面两点间的距离.（3）|Z-Z 0|=r 表示以Z 0为圆心，r 为半径的圆的方程.（4）|Z-Z 1|=|Z-Z 2|表示线段Z 1Z 2的中垂线的方程.（5）|Z-Z 1|+|Z-Z 2|=2a(a ＞0，且2a ＞|Z 1Z 2|）表示以Z 1Z 2为焦点，a 为长半轴的椭圆方程.（6）Z 1Z 2≠0则|Z 1+Z 2|=|Z 1-Z 2|⇔对应的两个向量1OZ ⊥2OZ .（7）复数Z 1、Z 2、Z 3对应的点分别为A 、B 、C ，则AB 的中点对应的复数为221Z Z +，△ABC 的重心所对应的复数为3321Z Z Z ++.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课堂导学案
3.3 复数的几何意义课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】 设复数z 满足|z |=5，且(3+4i)z 在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|2z -m|=52 (m∈R ),求z 和m 的值.解：设z =a +b i(a ,b ∈R )∵|z |=5,∴a 2+b 2=25.而（3+4i ）z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(4a +3b ）i ，又∵(3+4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，∴3a -4b +4a +3b =0，得b =7a ，∴a =±22，b =±227， 即z =±(22+227i)， 2z =±(1+7i). 当2z =1+7i 时，有|1+7i-m|=52，即（1-m ）2+72=50,得m=0,m=2. 当2z =-(1+7i)时，同理可得m=0,m=-2.类题演练 1已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围.答案：解：∵x 为实数，∴x 2-6x +5和x -2都是实数.∵复数x 2-6x +5+(x -2)i 在复平面内对应的点在第三象限， ∴⎩⎨⎧<-<+-.02,0562x x x∴{.2,51<<<x x 解得1<x <2,即1<x <2为所求实数x 的范围.变式提升 1已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z 1+(z 2-2)i=2z 2-(1+z 1)i,求z 1和z 2.答案：解:由于z 1、z 2在复平面内的对应点关于原点对称，有z 2=-z 1，代入已知等式，得3z 1+(-z 1-2)i=-2z 1-(1+z 1)i.解得5z 1=i.∴z 1=51i,z 2=-51i. 二、复数的向量表示【例2】向量表示的复数为3+2i ，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量A O ''，分别写出.(1)向量A O '对应的复数；(2)点O '′对应的复数；(3)向量O A ''对应的复数.思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解：如右图所示，O 为原点，点A 的坐标为（3，2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O′的坐标为（-2，3）.点A′的坐标为（1，5），坐标平移不改变OA 的方向和模.（1）向量A O ''对应的复数为3+2i;（2）点O '对应的复数为-2+3i;（3）向量O A ''对应的复数为-3-2i.类题演练 2已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，3+2i ，-2+4i.试求：(1)AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数.答案：解析：（1）OA AO -=，∴AO 表示的复数为-(3+2i)即-3-2i. (2)-=， ∴表示的复数为（3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)+=+=, ∴OB 表示的复数为（3+2i ）+(-2+4i)=1+6i,即B 点对应的复数为1+6i,变式提升 2已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1=3和z 2=-5+5i ，求向量a 与b 的夹角.答案：解:a =（3，0），b =（-5，5），所以a ·b =-15，|a |=3，|b |=25.设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ=2225315-=⨯-=⋅b a b a . 因为0≤θ≤π,所以θ=43π. 三、复数模的几何意义【例3】 设Z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z |=4；（2）2<|z |<4.解：（1）如左下图，复数z 的模等于4，就是说，向量OZ 的模等于4，所以满足条件|z |=4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆.（2）不等式2<|z |<4可化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><.2,4z z 如右上图，不等式|z |<4的解集是圆|z |=4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z |<4的点Z 的集合.容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件|z |=r(r 为正常数)的点Z 的集合是以原点为圆心、r 为半径的圆.类题演练 3已知点集D={z ||z +1+3i|=1,z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义(教
3。
1.2 复数的几何意义学习目标核心素养1。
理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点）2．掌握实轴、虚轴、模等概念. （易混点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点）1。
通过复数的几何意义的学习,培养学生的直观想象核心素养．2．借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用,提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养。
1．复平面思考：有些同学说,实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数,这句话对吗？[提示］不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模（1)定义：向量错误!的模叫做复数z＝a＋b i的模．(2）记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或｜a＋b i｜且｜z|＝错误!。
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为（）A．（0,－1）B．(－1，0）C．（0,0）D．（－1，－1）A［复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1)．］2．向量a＝（－2, 1)所对应的复数是（)A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋iD[向量a＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i。
］3．在复平面内,O为原点,向量错误!对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量错误!对应复数为（)A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2iB[由题意知,A点坐标为（－1,－2）,B点坐标为（2,1)，故错误!对应复数为2＋i.］4．已知复数z＝1＋2i（i是虚数单位)，则|z｜＝________。
错误!［∵z＝1＋2i，∴｜z|＝错误!＝错误!。
］复数与复平面内的点的关系1．在复平面上，如何确定复数z＝a＋b i（a，b∈R）对应的点所在的位置?[提示］看复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标（a，b）所在的象限即可．2．在复平面上,若复数z＝a＋b i（a,b∈R）对应的点在第一象限，则实数a,b应满足什么条件?我们可以得到什么启示？[提示］a〉0，且b〉0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．【例1】求实数a分别取何值时，复数z＝错误!＋(a2－2a－15)i(a∈R）对应的点Z满足下列条件:（1）在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．思路探究:错误!→错误!→错误![解]（1）点Z在复平面的第二象限内，则错误!解得a＜－3。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义互动课堂学案 苏教版选修12
3.3 复数的几何意义互动课堂疏导引导1.复数的几何意义复数的几何意义实质是复数的两种几何表示方法，即复数的点表示和向量表示.复数对应的点与复数对应的向量之间是一一对应的关系.复数z=a+bi 对应的向量的模叫做复数的模，它是复数对应的点到原点的距离，具体公式是｜z ｜=22b a .2.注意以下问题(1)①复平面上虚轴含原点；②AB 与OB 模相等且同向，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O 时，此向量才与它的终点表示同一复数；③对于复数z=a+bi ，若无a 、b∈R 这一条件，就不能视a 为实部，b 为虚部，在理解概念时，要善于利用数形结合的思想.(2)抓住复数的分类，明确复数问题实数化是解决问题的最基本的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的条件.(3)数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.(4)复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的. 即这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.(5)应注意,复数z=a+bi 用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内的点Z 的坐标是(a,b),而不是(a,bi).(6)对于复数a+bi(a 、b∈R ),当b=0时,复数a+bi 就是实数,由上面的公式,有|a|=2a .这与以前关于实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对值概念的扩充.3.复数加法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法来进行.4.复数减法的几何意义复数的减法可以按照向量的减法来进行.5.复平面内的两点间距离公式d=|z 2-z 1|,其中z 1、z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数,d 为Z 1和Z 2间的距离.进一步,模的性质有(1)|z|=|z |;(2)||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|;(3)|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2(|z 1|2+|z 2|2).6.在复平面内,四边形OACB 的顶点A 、B 、C 对应的复数分别为z 1、z 2、z 1+z 2,则四边形OACB 为平行四边形.进一步有(1)若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为矩形;(2)若|z 1|=|z 2|,则四边形OACB 为菱形;(3)若|z 1|=|z 2|且|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为正方形.活学巧用例1 已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围.解：∵x 为实数，∴x 2-6x+5和x-2都是实数.∵复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎨⎧<<+0.2-x 0,56x -x 2∴⎩⎨⎧<<<2.x 5,x 1解得1＜x ＜2，即1＜x ＜2为所求实数x 的范围.点评：本例求x 的范围，是根据复数在复平面内对应的点所在的象限确定实部和虚部组成的不等式组，由不等式组求出x 的范围.例2 已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z 1+(z 2-2)i=2z 2-(1+z 1)i,求z 1和z 2.解：由于z 1、z 2在复平面内的对应点关于原点对称，有z 2=-z 1，代入已知等式,得 3z 1+(-z 1-2)i=-2z 1-(1+z 1)i.解得5z 1=i.∴z 1=i 51,z 2=i 51-. 点评：由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决.例3 已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1=3和z 2=-5+5i ，求向量a 与b 的夹角. 解：a =(3，0)，b =(-5，5)，所以a ·b =-15，|a |=3，|b |=25.设a 与b 的夹角为θ，所以cosθ=2225315||||-⨯-=•b a b a .因为0≤θ≤π，所以θ=43π. 点评：复数的向量表示形式与点也是一一对应关系，因而向量的知识与复数间可以相互转化来解决问题.例4 设z∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)｜z ｜=4； (2)2＜｜z ｜＜4.解：(1)复数z 的模等于4，就是说，向量OZ 的模等于4，所以满足条件｜z ｜=4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆.(2)不等式2＜｜z ｜＜4可化为不等式组⎩⎨⎧><.2||,4||z z不等式｜z ｜＜4的解集是圆｜z ｜=4内部所有的点组成的集合，不等式｜z ｜＞2的解集是圆｜z ｜=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2＜｜z ｜＜4的点Z 的集合.容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.点评：满足条件｜z ｜=r(r 为正常数)的点Z 的集合是以原点为圆心、r 为半径的圆.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课件苏教版选修2_2
这部分，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
若复数z满足|z－i|≤ 2 (i为虚数单位)，则z在复平面所对应
2π 的图形的面积为______.
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，
2 2
∴|z－i|＝ x ＋y－1 ，
由|z－i|≤ 2知 x2＋y－12≤ 2，x2＋(y－1)2≤2.
∴复数 z 对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心， 2为半径的圆面(含边界)，
∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.
解析答案
题型三 复数的模及其应用
例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.
解 方法一
∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)对应的点在x轴上方；
解 由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，
所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
解 由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
2.复数与向量的对应
→ 一一 因为复平面内的点Z(a，b)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量 OZ → 来表示. 对应(实数0与零向量对应)，所以复数z＝a＋bi也可以用向量 OZ → 之间的关系可用下图来 复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量 OZ
表示.
因此，我们又常把复数z＝a＋bi说成点Z或 → ，并且规定相等的向量表示同一个 向量OZ 复数.
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
近年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义习题课学案苏教版选修1-2(2021年
2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义习题课学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义习题课学案苏教版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义习题课学案苏教版选修1-2的全部内容。
3.3 复数的几何意义习题课课时目标1。
进一步理解复数的概念.2。
通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念。
3。
将复数的运算和复数的几何意义相联系．1．复数相等的条件：a＋b i＝c＋d i⇔____________（a，b，c,d∈R)．2．复数z＝a＋b i （a，b∈R）对应向量错误!，复数z的模|z|＝｜错误!|＝__________.3．复数z＝a＋b i （a，b∈R)的模｜z｜＝__________，在复平面内表示点Z（a，b）到______________．复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i,则｜z1－z2|＝a－c2＋b－d2，在复平面内表示____________．4．i4n＝______，i4n＋1＝______，i4n＋2＝______,i4n＋3＝______ （n∈Z)，错误!＝______.一、填空题1．复数错误!2＝__________。
2．已知i2＝－1，则i（1－错误!i）＝____________。
3．设a，b为实数，若复数错误!＝1＋i,则a＝________，b＝______.4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数错误!的点是________．5．若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·z＋z＝__________.6．设复数z满足z（2－3i）＝6＋4i（其中i为虚数单位)，则z的模为________．7．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.8．若｜z－3－4i|＝2，则｜z｜的最大值是________．二、解答题9．已知复平面上的▱ABCD中,错误!对应的复数为6＋8i，错误!对应的复数为－4＋6i,求向量错误!对应的复数．10．已知关于x的方程x2－(6＋i）x＋9＋a i＝0 (a∈R）有实数根b.（1)求实数a，b的值;(2)若复数z满足｜错误!－a－b i｜－2|z｜＝0，求z为何值时,｜z｜有最小值，并求出｜z|的最小值．能力提升11．复数3＋3i，－5i,－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C,求第四个顶点对应的复数．12．（1)证明｜z|＝1⇔z＝错误!；（2)已知复数z满足z·z＋3z＝5＋3i，求复数z。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3 复数的几何意义
自主广场
我夯基 我达标
1.已知复数Z 的模为2，则|Z-i|的最大值是（ ） A.1 B.2 C.5 D.3
思路解析：本题主要考查复数模的几何意义，可有两种思路：（1）不等关系，｜Z-i ｜≤｜Z ｜+｜i ｜≤3；（2）｜Z ｜=2，可知Z 在以原点为圆心，2为半径的圆上运动；｜Z-i ｜表示圆上的点到（0，1）的距离，由圆知1≤｜Z-i ｜≤3.因此最大值为3.
答案：D
2.已知复数Z 满足|Z+2|-|Z-2|=1，则复数Z 的对应点在复平面上的集合是（ ）
A.线段
B.椭圆
C.双曲线
D.双曲线的一支
思路解析：｜Z+2｜-｜Z-2｜=1表示双曲线靠近（0，2）的一支.
答案：D
3.已知复数Z 1Z 2满足|Z 1|=3，|Z 2|=5，|Z 1-Z 2|=10，那么|Z 1+Z 2|为（ ） A.10 B.58 C.7 D.8
思路解析：本题主要考查复数及模的几何意义.如图设Z 1、Z 2对应点为A 、B ，以，为邻边作OACB ，则OC 对应的复数为21Z Z +，
∵｜｜=3.｜｜=5，｜｜=10. 5
4||||22
22=∙OB OA ， ∴cos∠OBC=-5
4
∴｜Z 1+Z 2｜=｜OC ｜58=.
答案：B
4.△ABC 的三个顶点对应的复数分别是Z 1、Z 2、Z 3，若复数Z 满足|Z-Z 1|=|Z-Z 2|=|Z-Z 3|，则Z 对应的点应为△ABC 的（ ）
A.内心
B.垂心
C.重心
D.外心
思路解析：由几何意义知，Z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，Z 对应的点是△ABC 的外心.
答案：D
5.已知Z∈C 且|Z|=1，则复数Z
Z 12+（ ） A.是实数 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.是纯虚数
D.可能是实数也可能是虚数
思路解析：本题主要考查模的性质
∵｜Z ｜=1，∴｜Z Z ｜=1，Z Z =1，∴Z Z Z
Z Z Z +=+=+112∈R . 答案：A
6.复平面内，过点A （1，0）作虚轴的平行线l ，设l 上的点对应的复数Z ，求
Z 1对应点的轨迹方程__________________________.
思路解析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=1+ti ，Z
1=x+yi ，又.1
111111122i t t t ti ti ti Z +-+=+-=+= ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1,1122t t y t x ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=≠+=.10,1122t t y x t x 消去t 得x 2+y 2=x.
答案：y 2+x 2
=x 7.设Z=10121⎪⎭
⎫ ⎝⎛-i ,则Z·Z 等于_____________. 思路解析：本题主要考查复数代数形式的运算. Z=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212221212121505050
2100i i i i i i i i i 2
222+-= ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-
=i i Z Z 22222222=1 8.在复平面内，复数Z 1在连结1+i 和1-i 的线段上移动，设复数Z 2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数Z 1+Z 2在复平面上移动范围的面积.
思路分析：本题主要考查复数的几何意义，可结合图形入手处理问题.
[解]设w=Z 1+Z 2，Z 2=w-Z 1，｜Z 2｜=｜w-Z 1｜
∵｜Z 2｜=1，∴｜w-Z 1｜=1
上式说明对于给定的Z 1，w 在以Z 1为圆心，1为半径的圆上运动，又Z 1在连结1+i 和1-i 的线段上移动.
∴w 移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π.
9.已知复数|Z|=1，求|Z+Z
1|的最大值和最小值. 思路分析：本题主要考查复数的基本运算.
[解]设Z=x+yi ，（xy∈R ）则x 2+y 2=1
|
||1|12Z Z Z Z +=+=｜x 2-y 2+1+2xyi ｜=｜2x 2+2xyi ｜=222)2()2(xy x +=2｜x ｜ 由于｜x ｜≤1，于是当Z=±1时，Z
Z 1+有最大值2； 当Z=±i 时，Z
Z 1+
有最小值. 我综合 我发展 10.（经典回顾）复数Z=
i i m 212+-(m∈R ,i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路解析：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义.
由已知Z=5
1212=+-i i m [(m-4)-2(m+1)i]在复平面上的对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-.
01,04m m 而此方程组无解.因此不可能在第一象限. 答案:A
11.（经典回顾）若Z∈C ，且|Z+2-2i|则|Z-2-2i|的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 思路解析:本题考查复数代数形式的运算，数形结合思想.
方法1：设Z=a+bi(a,b∈R ),因此有|a+2+(b-2)i|=1.
即（a+2)2+(b-2)2=1,
又|Z-2-2i|=a a a b a 81)2(1)2()2()2(2222-=+-+-=-+-而|a+2|≤1,即-3≤a≤-1，∴当a=-1时，|Z-2-2i|取最小值3.
方法2利用数形结合法：
|Z+2-2i|=1表示圆心在（-2，2），半径为1的圆上，而|Z-2-2i|表示圆上的点与点（2，2）的距离，其最小值为3.
答案:B
12.已知Z ∈C ，在复平面内，Z ，Z 对应的点分别为P 、P 2，O 为坐标原点，则在下列结论中正确的为（ ）
①当Z 为纯虚数时P 1、O 、P 2三点共线；
②当Z 为实数时，21OP =；
③当Z 为虚数时，P 、O 、P 2三点构成等腰三角形；
④无论Z 为何复数21OP -≠
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④ 思路解析:当Z 为纯虚数时，Z 与Z 对应的点均在虚轴上，故P 1、P 2、O 三点共线；①正确；显然③错误；当Z=0时，1对应的点复数为0，2对应的复数也为0，此时有1=-2成立，故④错误.
答案:A
13.（经典回放）对于任意两个复数Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i(x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为Z 1⊙Z 2=x 1x 2+y 1y 2，设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点，如果w 1⊙w 2=0，那么△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为_____________.
思路解析:本题主要考查复数的几何意义.设w 1=x 1+y 1i,w 2=x 2+y 2i,由复数的几何意义得P 1（x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，又w 1⊙w 2=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴OP 1⊥OP 2
∴∠P 1OP 2=
2π. 答案:2
π 14.（经典回放）已知Z ，w 为复数，（1+3i)Z 为纯虚数，w=
i Z +2，且|w|=25,求w. 思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算.
方法1：设Z=a+bi(a 、b∈R ),则（1+3i)Z=a-3b+(3a+b)i.由题意知a=3b≠0.∵|w|=25|2|=+i
Z ∴|Z|=10522=+b a .将a=3b 代入，解得a=±15,b=±5.故w=±
i i ++2515=±(7-i). 方法2：由题意设(1+3i)Z=Ki,(K≠0且K∈R )
则w=)
31)(2(i i Ki ++.∵|w|=25 ∴K=±50. 故w=±(7-i)。