高考数学一轮复习9.7抛物线课件理新人教B版
高考理科数学一轮复习课件抛物线
高考理科数学一轮复 习课件抛物线
汇报人：XX
20XX-01-24
REPORTING
• 抛物线基本概念与性质 • 抛物线图像及其变换 • 抛物线方程求解方法 • 抛物线与其他曲线关系 • 抛物线在几何中的应用 • 抛物线在生活中的实际应用
目录
XX
PART 01
抛物线基本概念与性质
REPORTING
已知抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$ ）的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与 抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求该抛物线的方程。
XX
PART 04
抛物线与其他曲线关系
REPORTING
与直线交点问题
求解交点坐标
联立抛物线与直线的方程，解出 交点坐标。
待定系数法求方程
设定含有待定系数的抛物线方程。根 据题目给出的条件，设定一个含有待 定系数的抛物线方程。
代入已知条件求解待定系数。将已知 条件代入设定的方程中，通过解方程 或方程组求出待定系数的值。
利用性质求方程
利用抛物线的焦点和准线性质求方程。根据抛物线的焦点和准线的性质，可以列 出关于焦点和准线的方程，进而求出抛物线的方程。
利用抛物线的对称性质求方程。根据抛物线的对称性质，可以列出关于对称轴的 方程，进而求出抛物线的方程。
典型例题分析
例题1
已知抛物线的顶点在原点，焦点在 $x$ 轴上，且过点 $(2,1)$，求该抛物 线的方程。
例题2
例题3
已知抛物线 $C: y^2 = 2px$（$p > 0$）的焦点为 $F$，直线 $l$ 与抛物 线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 8$ 且 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距 离为 $3$，求该抛物线的方程。
最新-2018高三数学系列一轮复习 抛物线课件 理 新人教B版 精品
点评 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到 焦点与到准线距离的相互转换，是解决抛物线焦点弦有关问题的重 要途径.
变式迁移 2 如图所示 ，F 为抛物线 y2＝2px 的焦点，A(4,2)为抛物线内一 定点，P 为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为 8，求该抛物线 方程．
解析 如图所示，过 P 点作抛物线 C 准线的垂线，垂足为 H. 由定义，|PH|＝|PF|.当 H、P、A 三点共线时，|PA|＋|PF|最小．
点评 本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运 算能力和逻辑推理能力．其中证法一和二为代数法，证法三为几何 法，充分运用了抛物线的几何性质．数形结合，更为巧妙.
变式迁移 4
过抛物线 y2＝－x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，且
A、B 在直线 x＝14上的射影分别是 M、N，则∠MFN 等于(
解析 证法一：由题意知抛物线的焦点 F(p2，0)， 故可设过焦点 F 的直线 AB 的方程为 x＝my＋p2，
由x＝my＋p2， 消去 x 得 y2－2pmy－p2＝0. y2＝2px
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2＝－p2. ∴C 点坐标为(－p2，y2)．
于是直线 AC 的方程为yy2－－yy11＝－x－p2－x1x1， 要证明 AC 过原点，只需证明y02－－yy11＝0p2－－xx11，
(2)关于抛物线焦点弦的几个结论 设 AB 为过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2， y2)，直线 AB 的倾斜角为 θ，则 ①x1x2＝p42，y1y2＝－p2；
②|AB|＝si2np2θ＝x1＋x2＋p； ③以 AB 为直径的圆与准线相切； ④焦点 F 对 A、B 在准线上射影的张角为 90°；
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第7节 第1课时 抛物线的定义、方程与性质
|PF|=-y0+
2
x≥0,y∈R
向右
焦半径(其中 P(x0,y0)) |PF|=x0+2
y轴
F(0,2 )
2
F(0,-2 )
2
2
2
2
2
微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方
向,正确选择抛物线的标准方程.
2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦
D.y2=16x或y2=8x
解析 因为抛物线的准线方程是
所以点 M 的横坐标是
x=- ,而点
2
M 到准线的距离为 6,
6-2.所以点
又因为点 M 在抛物线上,所以
M 的坐标为(6-2,-4√2).
32=2p 6- ,解得 p=8 或 p=4,
2
故该抛物线的标准方程为 y2=16x 或 y2=8x.
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形 到抛物线顶
点的距离
顶点
对称轴
取决于一
焦点
次项变量
离心率
(x或y)的
准线方程 取值范围
范围
开口方向
原点
x轴
F(2 ,0)
F(-2 ,0)
e=1
x=-
x=
y=-
y=
x≤0,y∈R
向左
|PF|=-x0+
y≥0,x∈R
向上
|PF|=y0+
y≤0,x∈R
F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,
高考数学统考一轮复习第九章9.7抛物线课件文新人教版ppt
2
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物
[－1，1]
线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设
直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2 ＋(4k2
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定
是抛物线．( × )
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦
a
a
点坐标是 ，0 ，准线方程是x＝－ .( × )
引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，
1
1
所以|x0|＝4，所以S△MPF＝ ×|PM|×|x0|＝ ×5×4＝10.
2
2
悟·技法
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转
(
)
A．经过点O
B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y2 ＝2px(p>0)的焦点F作斜率为
3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝(
)
A．2
B．1
C． 3
D．4
π
解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝ ，
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
2018届高三数学(理)一轮复习课件：9.7抛物线
=
√3
2
.
解析
关闭
答案
-9知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
3.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程 为 .
关闭
设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相
关闭
2= 等 ,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. y 4x
3452源自2.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x ( ) A.
1 2
������2 - 3 =1
的渐近线的距离是
B.
√3
2
C.1
D.√3
关闭
由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=±√3x,即±√3x-y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦 点到双曲线的渐近线的距离 d= B
1 1 S= (x+3)y. 2
π 0, 3
关闭
,则 x≥9.
令 t=S2=4(x+3)2× 12x=3x(x+3)2. 则 t'=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数 t 单调递增.
2 36√3x=9 时,S 最小,此时������min 故当 =3× 9× 122,即 Smin=36√3.
������������
������
|������������|-1
|������������|-1
|������������| -1
2 (2) 如图 知∠AFM=60° . |������������ |+1 ,由 kAF=|������������ +1 √|3 C.|������������|+1 D. 2
人教B版高考数学大一轮总复习讲义抛物线
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，
∴抛物线 C 的方程为 y2＝8x.
(2)直 线 l2 与 l1 垂 直 ， 故 可 设 直 线 l2： x＝ y＋ m， A(x1， y1)，
B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点为 M. 由Error!得 y2－8y－8m＝0，
解得 x＝2 或 x＝1，∴点 N 的横坐标为1.∵抛物线 y2＝4x 的准线方
2
2
程为 x＝－1，∴|NF|＝3，|MF|＝3，∴|NF||MF|＝12，故选 A. 2
8．(2020·合肥市模拟)已知过抛物线 y2＝4 2x 的焦点 F 的直线
→→ 与抛物线交于 A，B 两点，AF＝3FB，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点
1
3
2py(p>0)的 焦 点 为 F， 点 P(x0， )在 C 上 ， 且 |PF|＝ ， 则 p＝ (
2
4
B )
1
1
A.
B.
4
2
3
C.
D．1
4
p
1
解析：抛物线的准线方程为 y＝－ ，因为 P(x0， )在抛物线
2
2
上，所以点 P 到准线的距离 d＝1＋p＝|PF|＝3，则 p＝1，故选 B.
1 △ABD 中，|AD|＝ |AB|，则∠BAD＝60°，所以∠AFx＝60°，所以
2 kAB＝ 3，则直线 AB：y＝ 3(x－ 2)，代入 y2＝4 2x，得[ 3(x
2 － 2)]2＝4 2x，即 3x2－10 2x＋6＝0，解得 x1＝3 2，x2＝
3 1 ，则 xA＝3 2，yA＝2 6，则四边形 AMCF 的面积为 ×(4 2＋2 2
9.7抛物线2022届高三数学(新高考)一轮复习PPT(36张)
类题通法
(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有
关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线 21.《离骚》中屈原通过加高自己的帽子和佩带表明要使自己品格更加高洁的两句：
6.作者提出自己的观点——“无所待”才是真正的逍遥的并列句了三类人的句子是：至人无己，神人无功，圣人无名。
类题通法 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的 形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更 是如此.
【跟踪训练 1】
(1)从抛物线 y2＝4x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂
线，垂足为 M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜
率为( )
刺等情节，塑造了荆轲这位敢于扶危济困、助弱御强、有勇有谋、视死如归的古代侠士形象。荆轲刺秦王并不能真正挽救燕国的危亡。
解析：Q(－2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设 荆轲千百年来，被受压迫的人们敬仰的原因，在于他站在了斗争的最前列，去反对秦国对山东六国的进攻和挽救燕国的危亡，本文揭
6．[2019·北京卷]设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为________．
答案：(x－1)2＋y2＝4 解析：∵抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的坐标为(1,0)，准线 l 为直线 x ＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)，又∵圆与 l 相切．∴圆心到 l 的距 离为圆的半径，∴r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
()
A．y2＝－92x 或 x2＝34y
B．y2＝92x 或 x2＝43y
C．y2＝92x 或 x2＝－43y
D．y2＝－92x 或 x2＝－43y
高考数学一轮总复习 9.7 抛物线精品课件 理 新人教版
2
2
的焦点与双曲线 − =1
6
3
的右焦点重合,则 p 的值
.
关闭
2
由双曲线
6
2
− =1
3
2
的右焦点 F(3,0)是抛物线 y2=2px 的焦点,得 =3,p=6.
关闭
6
第九页，共22页。
解析
答案
解析
答案
(jiě xī) (dá àn)
梳理
(shūlǐ)自
测
5.已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l:x=-2 的距离相等,则点 P 的
主要体现在两个距离的转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准
线的距离的转化.
第三页，共22页。
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px
(p>0)
梳理
(shūlǐ)自
测
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
O(0,0)
A.
5
B.
5
C.-
D.-
5
∴|AB|=3 5,|FA|=2,|FB|=5.
5
4
5
∴在△FAB 中,由余弦定理知 cos∠AFB=- .
法二:由法一中知 A(1,-2),B(4,4),F(1,0),∴=(0,-2),=(3,4).
∴∠AFB 可以看作向量, 的夹角.
关闭
· 4
∴
对称轴
y=0
焦点
F
离心率
e=
高三高考数学复习课件9-7抛物线
方法二 将 y＝2 2(x－1)代入 y2＝4x， 得 2x2－5x＋2＝0，
∴x1＋x2＝25，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝92，
O 到 PQ 的距离 d＝2 3 2，
∴S△OPQ＝12×|PQ|×d
＝21×92×2 3 2＝23 2.
【答案】 (1)B
3 (2)2 2
题型三 直线与抛物线的综合问题
设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－21的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2，2)． 【答案】 (1)9 (2)(2，2)
【思维升华】 与抛物线有关的最值问题，一般情况下 都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较 大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线 想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关 问题的重要途径．
跟踪训练 2 (1)(2016·全国乙卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆
交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，
|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长 PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________．
【思维升华】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、 双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物 线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2 ＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
高考数学总复习 9.7抛物线配套文档 理 新人教b版
§9.7 抛物线1． 抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )2． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.3． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于 ( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.4． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .5． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案 4解析 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪 由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为求|P A |＋d 的问题．解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于 (12)2＋(－2)2＝172，选A. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 思维升华 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(1)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x(2)(2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3 答案 (1)B (2)C解析 (1)直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a2，故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 216，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x .(2)由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 题型三 抛物线焦点弦的性质例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .思维启迪 证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC ＝k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决． 证明 方法一 设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .方法二 如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ， 则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |， 即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .思维升华 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A y B ＝－p 2这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1、y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为C 、D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 题型四 直线与抛物线的位置关系例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离． 解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m，(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m )， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[](y 1＋y 2)2－2y 1y 2＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(15分)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的 面积为2(O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 思维启迪 (1)求MN 的长，由面积得p 的值；(2)问题的几何条件是：线段MN 的中垂线与y 轴的交点和M ，N 构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y 轴交点，利用直角边垂直关系列式求解． 规范解答解 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ， ∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p 22＝2，即p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .[5分](2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P . 故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.代入直线l 可得MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k)，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2k 2)，故P (0，3k ＋2k3)．[10分]又PM →·PN →＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0. 1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化解得ky 20－4y 0－3k ＝0，由y 0＝3k ＋2k 3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0.解得k ＝± 443.∴存在直线l ：y ＝± 443(x －1)．[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2的关系 式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.方法与技巧1． 认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 2．注意应用抛物线的定义解决问题．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A ．(0，18)B ．(－18，0)C ．(0，－12)D ．(－12，0)答案 C解析 把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2，∴p 2＝12，即焦点坐标为(0，－12)，故选C. 2． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 3． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2 答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.即x 1x 2＝p 24，则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5． 如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A ．p 2B.p 24C.p 22D.p 23答案 B解析 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD |＝x 2.又AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24.二、填空题6． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 7． 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.答案 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2.8． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝BM →，则p ＝________. 答案 2解析如图，由AB 的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM →＝BM →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.三、解答题9. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2.∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ② ②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2. (2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3 答案 B解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.2． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22)答案 D解析 如图所示，由题意， 可得|OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， ∴y 24＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 3． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 答案 C解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)， 又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8， 由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝322.故选C. 4． 已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 3解析 因为x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线， 所以可画图观察．如图，连接PF d 2＝PF ，∴d 1＋d 2＝d 1＋PF ≥FQ ＝|4×1－3×0＋11|42＋(－3)2＝155＝3.5． 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________． 答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知AF ＝AA 1，BF ＝BB 1， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ， 则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .6． 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等， 所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。
2019高考数学一轮复习-9.7 抛物线课件
2
2
(2)设 P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.
又点 P 到焦点 F 的距离为 2,
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
1
1
∴△OFP 的面积为 S=2·
|OF|·
|yP|= ×1×2=1.
2
-12考点一
2
+ 2 =1,解得
x=2,
将 A(2,1)代入抛物线方程,得 1=2p×2,解得
1
p= .
4
-20考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
与抛物线相关的最值问题
例 3(1)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为
d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A
( C )
7
9
A.
B.4
都有,主要有求抛物线的方程
或已知方程求参数,求抛物线
中的弦长、面积,以及直线与抛
物线综合问题等,也经常结合
椭圆或双曲线进行综合考查;
3.题目的难度:抛物线的客观
题难度中等偏低,抛物线与直
线、其他圆锥曲线及导数结合
出题难度偏高.
-3知识梳理
考点自测
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的
点坐标是 4 ,0 . ( × )
-8知识梳理
考点自测
2.(2017 湖南邵阳一模,文 5)点 A(2,1)到抛物线 y2=ax 准线的距
离为 1,则 a 的值为( C )
1
1