解三角形应用举例
解三角形的实际应用举例
例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长
度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60(指车厢AC与水平线夹 角),油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度(结果精确到0.01m).
AB sin CAB 15 sin15 BC sin120 sin ACB
6 2 sin15 4
5 6 BC ( 3 1) 4.48(海里) 2
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。 (2)解决实际应用问题的步骤
A1 A
60
45
11.12m
1.5m
12 m
B
60
45
C1
D1
求A1B
A1 1.5m A
C 12m D
解 在△BC1D1中, ∠BD1C1=180O -60O=120O, ∠C1BD1=60O 45O=15O,由正弦定理,得
C1 D1 BC1 sin C1 BD1 sin BD1C1 C1 D1 sin BD1C1 12sin120 BC1 sin C1 BD1 sin15
B 80O A0 A B0 C
分析
如图,不难得到,活塞移动的距离为: A0A=A0C-AC,易知
高三数学解三角形及应用PPT优秀课件
例4：在ΔABC中，a,b, c 分别是角A、B、
C的对边长，已知 a,b,c成等比数列，且
a2c2a cb，c求角A的大小及
的值。
b
sin c
B
例４．已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中，
有 2 R s 2 A i s n 2 C i n 2 a b s B 成i 立，n 求△ABC
面积S的最大值．
例5：在某海滨城市附近海面有一台风，(据检测ar，c当c前o2台s)
风30中0 心km位的于海城面市P处O(，如并图以)的20东k偏m南/ h方的向速度向西偏北451的0方 向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭。
THANKS
FOR Wຫໍສະໝຸດ BaiduTCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
例1．在ΔABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b,c ，如果 a2b(bc)，
求证：A＝2B
例3．已知锐角ΔABC中， siA n B ) ( 5 3 ,siA n B ) ( 1 5，
（1）求证：taA n 2taB n ；
高考数学复习 强化双基系列课件
解三角形应用举例
解三角形应用举例
一、测量距离问题
例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，
D，若测得CD＝
3
2km，∠ADB＝∠CDB
＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.
答案
6 4
解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝
3
2km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝DC
sin∠DBC
·sin∠BDC
＝
3
2
sin 45°·sin 30°＝
6
4(km).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2
＋BC2－2AC·BCcos 45°＝3
4＋3
8
－2×3
2
×
6
4×
2
2
＝3
8.
∴AB＝
6
4km.
∴A，B两点间的距离为
6
4km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝
60°，则P，Q两点间的距离为m.
答案900
解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－
∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为
解三角形的实际应用举例ppt课件
最大角度
工具
第三章 三角函数
栏目导引
实例讲解
分析：这个问题就是在ABC
Baidu Nhomakorabea
C
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
BAC 60 620' 6620'
1.40m
求BC的长，由于已知 ABC
的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC。
解：由余弦定理，得
60
A
620'
1.95m
答案： 70
工具
第三章 三角函数
栏目导引
变式训练 1（2） 如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测
量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的
距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则 A、B 两点的
距离为 ( A )
A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D．252 2 m
工具
第三章 三角函数
栏目导引
探要点、究所
探然究点三 ：与方向有关的实际问题
解 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得sin∠DBDAB＝sin∠ABADB， ∴DB＝ABsi·nsi∠n∠ADDBAB＝53＋sin310·s5i°n 45°
高中数学解三角形应用举例(有答案)
解三角形应用举例
一．选择题（共19小题）
1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）
A．m B．m C．m D．m
2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：
①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．
4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B
处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）
A．t anγB．t anγ
D．t anγ
C．
tanγ
5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）
1.2解三角形的应用举例PPT课件
＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
答：该救援船到达D点需要1小时．
-
36
总结
实际问题 实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
-
37
1.三角形中线问题
例：△ABC 中，D 是 BC 的中点点，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，
-
31
[解析] 如图，作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M. 由题中所给数据可得， DF＝ MF2＋MD2＝ 302＋1702 ＝10 298， DE＝ DN2＋EN2＝ 502＋1202 ＝130，
-
32
EF＝ BE－FC2＋BC2＝ 902＋1202＝150. 在△DEF中，由余弦定理得， cos ∠DEF＝DE22×＋DEEF×2－EDFF2＝1302＋2×1510320－×11052×0 298＝1665.
60° 75°
答： 5 6 海里
-
B
11
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用 (1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
-
12
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用
(1)测量距离.
1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例——高度、角度问题
【解析】设人的位置为 A，塔底为 B，塔顶为 C 过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D，则
DAB 150 ， DAC 750 ，BD=15m
AB BD 15 15( 6 2) （m） 0 0 sin15 sin15
AB 15( 6 2) sin CAB sin 900 60(2 3) （m） 0 sin ACD sin15
答：活塞移动的距离约为81 mm．
来自百度文库
1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题 及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料 中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.
2.实际问题处理
实际问题
抽象概括 示意图 还原说明
数学模型
实际问题的 解
推 演 理 算 数学模型的 解
3. 解三角形在实际测量中的常见应用
答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东 12°方向航行才能用2小时追上敌舰.
1．在⊿ABC 中，已知 A=30°，且 3a 3b 12 ， 则 C 的值为（ C ） A 4 B 9 C 4或9 D 无解
2.我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时， 测 得 某 国 的 雷 达 站 在 潜 艇 的 东 偏 北 30 方 向 的 100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为 70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路 程后会有暴露目标？（ B ） A C 50
三角形的高用途举例
三角形的高用途举例
三角形是一个有三个边和三个角的几何形状。它在我们的日常生活中有很多有趣的应用和实际用途。以下是一些关于三角形高的举例，以及这些例子的详细说明。
1. 地理学中的山脉高度测量：地理学家使用三角测量方法来测量和确定山脉的高度。在这种方法中，他们选择一个已知高度的地点，使用测量仪器测量到山脉的某个顶点，然后测量到山脉底部的一个点。通过使用三角形的概念和应用正弦定理，他们可以计算出山脉的高度。
2. 建筑设计中的倾斜度计算：在建筑设计中，设计师需要计算屋顶的倾斜度，以便确保屋顶可以在重力的作用下保持稳定。这可以通过测量屋顶的两个点之间的距离和高度，然后应用三角形的概念来计算出屋顶的倾斜度。
3. 航海中的角度测量：船长和航海员使用角度测量设备来确定船只相对于地平线的角度，以及船只与其他目标（如灯塔或陆地）之间的角度。他们可以使用三角形的概念和正切定理来计算出这些角度，并以此来确定船只的位置和方向。
4. 飞行器的高度测量：在航空领域，飞行员使用高度表来测量飞机相对于地面的高度。这个高度是通过测量大气压力的变化来确定的。然后，使用气压高度计可以通过应用三角形的概念和正切定理来计算飞机的高度。
5. 数学几何中的角度计算：数学家使用三角形的概念和三角函数来计算和研究
各种角度及其性质。这些计算和研究可以应用于许多不同的领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
6. 地球上的距离测量：三角测量是一种用于测量地球上两个点之间距离的方法。通过测量两个点之间到第三个点的角度，然后使用三角形的概念来计算出这两个点之间的距离。
高中数学2.3.2解三角形应用举例（第二课时）教案北师大版必修5
高中数学2.3.2解三角形应用举例（第二课时）教案北师大版
必修5
第一篇：高中数学 2.3.2解三角形应用举例(第二课时) 教案北师大版必修5
1.3.2解三角形应用举例(第二课时)教学目标: 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件学法:画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力。日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程。（4）教学设想:
1、设置情境:提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
2、新课讲授例
1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
高考数学 解三角形应用举例
第23讲 解三角形应用举例
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！ 上方 ###的角叫仰角，在水平线！！！ 下方 ###的角叫俯角(如图①).
2．方位角
从指北方向！
！
！
顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B 点的方位角为α(如图②).
3．方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③)
(1)北偏东α，即由指北方向！！！ 顺时针 ###旋转α到达目标方向. (2)北偏西α，即由指北方向！！！ 逆时针 ###旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.
4．坡度(比)
坡角：坡面与水平面所成的！！！ 二面角 ###的度数(如图④，角θ为坡角).
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度(比)). 5．解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C 适用于任意三角形.( √ )
(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )
(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π
2.( √ ) 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.
高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——距离问题课件 新
2．如图所示，OA，OB的方向角各是北_偏__东__6_0__°__，__北__偏__西__3_0_°_____.
3．身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若 李明此时的仰角为30°，则该旗杆的高度约为_1_3_._2_____米(精确到0.1)．
[解析] 如图所示，BC＝1.7，OB＝20， ∴CD＝20，在△ACD 中，tan30°＝CADD， ∴AD＝20× 33＝203 3， ∴OA＝203 3＋1.7≈13.2.
∴在△ACD中，sin1A80C°－β＝sin2610°＝213＝14 3， 2
∴AC＝14 3sin(180°－β)＝14 3sinβ＝24， ∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°， 即212＝242＋AD2－2×24×12·AD， 整理，得AD2－24AD＋135＝0，解得AD＝15或AD＝9， 答：这个人再走15 km或9 km就可到达A城．
∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BCD 中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
∴BC＝
s3isni6n07°5°＝
6＋ 2
2.在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB
＝(
3)2＋(
6＋ 2
2)2－2
6＋ 3· 2
2·cos75°＝5.∴AB＝
第7讲 解三角形应用举例及综合问题
第7讲解三角形应用举例及综合问题
一、知识梳理
1．仰角和俯角
在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
常用结论
1．明确两类角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
2．解三角形应用题的一般步骤
二、教材衍化
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________米．
答案：50 2
2．如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________m.
解析：设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝3x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(3x)2－23·x2 cos 150°，
解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.
答案：127
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
解三角形应用举例--复习课
复习课: 解三角形应用举例
教学目标
重点：会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法．难点：利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系．
能力点：解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等．
教育点：熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，培养学生观察、分析、归纳能力．
自主探究点：通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力．
易错点：实际问题转化解三角形，要注意答语、单位．
学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：多媒体、投影仪．
一、【知识结构】
⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩距离问题高度问题
应用举例角度问题
面积问题
实际应用题
二、【知识梳理】
1.解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.
2.
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
3.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等； (3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②).
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 【范例导航】
例1如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案)
§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
题型一 测量距离、高度问题
例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种
路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC
匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经
测量cos A ＝1213，cos C ＝3
5
.
①求索道AB 的长；
②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
题型二测量角度问题
例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海
里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解三角形的实际应用举例
解三角形的实际应用举例
一、测量中的距离问题
1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()
A.5
B.5√3
C.10√3
D.10
答案:D
解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.
∴AB=5√3,BC=5,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.
∴CD=BD-BC=10.
2.(课时训练福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.
答案:30√2
解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,
在△ABC 中,根据正弦定理得,
AC sinB
=
BC sin∠BAC
,即√22
=
BC
12
,∴BC=30√2 km,
即此时船与灯塔的距离为30√2 km .
3.(课时训练福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C 在A 城的南偏西20°,一条笔直公路AB ,其中B 在A 城南偏东40°,B 与C 相距31千米.有一人从B 出发沿公路向A 城走去,走了20千米后到达D 处,此时C ,D 之间的距离为21千米,则A ,C 之间的距离是 千米.
答案:24
解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,
在△BCD 中,由余弦定理得cos ∠BDC=212+202-3122×21×20
=-1
7
.
设∠ADC=α,则cos α=1
7,sin α=
知识讲解_解三角形应用举例_提高
解三角形应用举例
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【学习策略】
解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点二、解三角形应用题的基本思路 实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解 要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者，常用字母i 表示。坡比是坡角的正切值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新课导入
塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名 世界的大数学家．他原是一位很精明的商人，靠卖橄 榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究 和旅行．他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了 金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已．
1.2 │ 新课导入
•
[解析] 塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天 气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然 后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好 等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因 为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度 相等．
10 A
50 40
B
BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
测量高度的问题
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在G,H两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
A
a sin AC sin( )
测量角度的问题
例6 我舰在敌岛 A 南偏西 50°相距 12 海里的 B 处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 202 122 2 12 20 ( ) 2 784
B
C
A
D
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( ) 解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( )
1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
画图形
数学模型
解 三 角 形
实际问题的解
检验（答）
数学模型的解
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sin C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
测量高度的问题
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得 公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在西偏北45°的方向上，仰角15°，求此 山的高度CD. 分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。
a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
D H
ຫໍສະໝຸດ BaiduC G
E B
测量高度的问题
例4: 在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔底 C处测得A处的俯角β＝30°。已 知铁塔BC部分的高为28m，求出 山高CD. 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长 解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
测量距离的问题
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。