高中数学选修2-1 北师大版抛物线的简单性质课时作业(含答案)

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【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：3.2.2 抛物线的简单性质(1) Word版含解析

第三章 §2 课时作业26一、选择题1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．答案：D2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由定义|AB |＝5＋2＝7， ∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B3．[2014·安徽省合肥六中月考]已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4C ． 2D ．322＋1解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 答案：A4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4得到y 0＝±2.∴A (1，±2)．答案：B 二、填空题5．抛物线顶点在坐标原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______________．解析：∵过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍． ∴所求抛物线的方程为x 2＝±16y . 答案：x 2＝±16y6．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________．解析：把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.答案：(1,1)7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝3p .根据抛物线的定义，得 |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8. ∴p ＝2. 答案：2 三、解答题8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．解：设所求抛物线的标准方程为 x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，M (0，－p2)，∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋(y 0＋p 2)2＝17，∴x 20＝8代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 准线方程为y ＝－1或y ＝－2.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55.若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2，故所求的抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ＋t ，得y 2＋2y －2t＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与直线l 的距离等于55可得|t |5＝55，∴t ＝±1，由于－1∉⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，1∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为y ＝－2x ＋1.。

高中北师大版数学选修2-1学案：3.2.2 抛物线的简单性质含答案

解析：(1)由题意得，点 P 到准线的距离为 d1＋1，设抛物线的焦点
为 F，则 d1＋1＝|PF|，∴ d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，又焦点
52
52
到直线的距离为 d＝，∴ d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥ －1.
2
2
(2)本题可转化为在抛物线 y2＝4x 上找一个点 P，使得点 P 到点
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲
线．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的
方程为标准方程时，抛物线的顶点是坐标原点．
(4)离心率：抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，
叫作抛物线的离心率．可见，抛物线的离心率为 e＝1.
(5)通径：通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线 y2＝2px(p>0)两交
若 y 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为 x2＝2py(p>0)， ∵ 点(2,4)在抛物线上，∴ 22＝8p，
1 ∴ p＝，∴ 抛物线方程为 x2＝y.
2 ∴ 所求抛物线的标准方程为 y2＝8x 或 x2＝y.
1．抛物线的几何性质的几个注意点： (1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来，差别较大，它的离心率等于 1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆为有心圆锥曲线． (2)给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程；反过来，也能根据各种类型的抛物线的示意图，说出抛物线的类型．
【思路探究】由题中条件知抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，将点 M(4，－8)的坐标代入即可得答案．

北师大版高中数学选修2-1同步练习：17 抛物线的简单性质

课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 C [因为抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2,且点A(－2,3)在准线上,故－p 2＝－2,解得p ＝4,所以y 2＝8x,焦点F 的坐标为(2,0),直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.] 2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p ＞0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n,则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3 C [结合图像可知,过焦点的斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两个正三角形．]3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,则有 ( )A ．|P 1F|＋|P 2F|＝|FP 3|B ．|P 1F|2＋|P 2F|2＝|P 3F|2C ．2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|D ．|P 2F|2＝|P 1F|·|P 3F|C [∵点P 1,P 2,P 3在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,两边同时加上p,得2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2, 即2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|,故选C.]4．已知点A(2,0),抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3C [如图,直线MF 的方程为x 2＋y 1＝1, 即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α,则tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sin α＝15.] 5．如图,过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l 于点C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3,则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3xC [如图,分别过A,B 作AA 1⊥l 于点A 1,BB 1⊥l 于点B 1,由抛物线的定义知：|AF|＝|AA 1|,|BF|＝|BB 1|, ∵|BC|＝2|BF|,∴|BC|＝2|BB 1|,∴∠BCB 1＝30°,∴∠AFx ＝60°,连接A 1F,则△AA 1F 为等边三角形,过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1,则F 1为AA 1的中点,设l 交x 轴于点K,则|KF|＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF|,即p ＝32, ∴抛物线方程为y 2＝3x,故选C.]二、填空题6．顶点在原点,对称轴为y 轴且过(1,4)的抛物线方程是________．x 2＝14y [由题意知抛物线开口向上,设标准方程为x 2＝2py,∴1＝2p·4,∴2p ＝14,∴x 2＝14y.] 7．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切,则a ＝________．－14 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0, ∵直线与抛物线相切,∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0.∴a ＝－14.] 8．已知直线l 过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交,其中一交点为(2p,2p),则其焦点弦的长度为________．25p 8 [由题意知直线l 过⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0和(2p,2p), 所以l ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0. 由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝17p 8, 所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8.] 三、解答题9．已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15,求此抛物线的方程．[解] 设抛物线方程为x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y,得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0,即a<0或a>8.设两交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2, ∴|AB|＝54（x 1－x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝145（a 2－8a ）.∵|AB|＝15,∴145（a 2－8a ）＝15, 即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12,∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y.10．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A,B 两点,OA →·OB →＝－4,求证：直线l 必过一定点．[证明] 设l ：x ＝ty ＋b,代入抛物线y 2＝4x,消去x 得y 2－4ty －4b ＝0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝4t,y 1y 2＝－4b.又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b)(ty 2＋b)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt(y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b,又∵OA →·OB →＝－4,∴b 2－4b ＝－4,解得b ＝2,故直线过定点(2,0)．[能力提升练]1．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短,则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)C [因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交,设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m. 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0. ①设此直线与抛物线相切,此时有Δ＝0,即Δ＝16＋16m ＝0,∴m ＝－1.将m ＝－1代入①式,x ＝12,y ＝1, 故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA →＋FB →＋FC →＝0,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3B [设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(xC ,y C ),由FA →＋FB →＋FC →＝0,得x A ＋x B ＋x C ＝3.∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋32p ＝3＋32×2＝6.] 3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线C 上,且|AK|＝2|AF|,则△AFK 的面积为________．8 [易知F(2,0),K(－2,0),过点A 作AM 垂直准线于点M,则|AM|＝|AF|,∴|AK|＝2|AM|,∴△AMK 为等腰直角三角形．设A(m 2,22m)(m>0),则S △AFK ＝4×22m×12＝42m. 又由|AK|＝2|AM|,得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2,解得m ＝2,∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.]4．已知定点A(－3,0),B(3,0),动点P 在抛物线y 2＝2x 上移动,则PA →·PB →的最小值等于________．－9 [设P(x 0,y 0),则y 20＝2x 0,x 0≥0,∴PA →·PB →＝(－3－x 0,－y 0)·(3－x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－9＝x 20＋2x 0－9,当x 0＝0时,PA →·PB →min ＝－9.]5．抛物线y 2＝2px(p>0)上有两动点A,B 及一个定点M,F 为抛物线的焦点,若|AF|,|MF|,|BF|成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF|＝4,|OQ|＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．[解] (1)证明：设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则|AF|＝x 1＋p 2,|BF|＝x 2＋p 2,|MF|＝x 0＋p 2,x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22,∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t), 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p（y 21－y 22）＝2p y 1＋y 2＝p t , 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0), 即t(x －x 0－p)＋yp ＝0,可知线段AB 的垂直平分线过定点Q(x 0＋p,0)．(2)由(1)知|MF|＝4,|OQ|＝6,得x 0＋p 2＝4,x 0＋p ＝6,联立解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x.。

高中数学选修2-1 北师大版抛物线及其标准方程作业(含答案)

1．明确抛物线方程有四种形式，记住并理解：“一次项定轴，正负定方向”． 2．重视抛物线定义的灵活应用，并重视抛物线解题时“数形结合”的作用． 3．在采用待定系数法求抛物线标准方程时，如果不知道开口方向，可将抛物线方程设成y 2＝2mx (或x 2＝2my )，m ∈R ，m ≠0，此时焦点到准线的距离为|m |.4．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p ，进而求出p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级基础夯实]1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：抛物线的开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，2p ＝8，得p2＝2，故焦点坐标为(－2,0)．答案：B2．抛物线x 2＝4y 上一点P 的纵坐标为4，则点P 到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵x 2＝4y ，设P (x p,4)，故|PF |＝4＋1＝5. 答案：D3．抛物线y 2＝2x 的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：由y 2＝2x ，知p 2＝12，所以准线方程x ＝－p 2＝－12，故选D.答案：D4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为________．解析：∵y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：85．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±46．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)准线方程为y ＝23；(3)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5； (4)过点P (－2，－4)．解析：(1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，则p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .(2)因为抛物线的准线在y 轴正半轴上，且p 2＝23，则p ＝43，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(3)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝－10x .(4)如图所示，因为点P 在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝－2p 2y (p 2＞0)．分别将点P 的坐标代入上述方程，解得p 1＝4，p 2＝12.因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝－8x 和x 2＝－y .[B 级能力提升]7．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.答案：C8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：由已知得B 点的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，将其代入y 2＝2px 得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，则B 点到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.答案：3429．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，求|P A |＋d 的最小值．解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5.∴|P A |＋d 的最小值是5.10．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34 m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解析：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85.∴x 2＝－165y .。

高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质课时作业(含解析)北师大版选修2-1-

课时作业15 抛物线的简单性质时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．顶点在原点，焦点为F (32，0)的抛物线的标准方程是( C )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：顶点在原点，焦点为F (32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px (p >0)，由题意知p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x . 2．过抛物线y 2＝16x 的焦点的最短弦长为( A ) A ．16 B ．8 C ．32D ．4解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p ＝16.3．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由焦点弦公式易知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM ||MN |＝( C )A ．2 5B ．1 2C ．15D ．1 3解析：如图，过M 作准线的垂线MH ，设∠FAO ＝∠MNH ＝α，则sin α＝|OF ||AF |＝|MH ||MN |＝|MF ||MN |＝15.5．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( C )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( B )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2解析：由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ，由题意得，p2＋2＝4，∴p ＝4，x2＝－8y .又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝16，k ＝±4.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( D )A.12B.22C. 2D ．2解析：抛物线y 2＝8x 焦点坐标为(2,0)，直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －2，得k 2(x －2)2＝8x ，即k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)，由MA →·MB →＝0得(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，将y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1·x 2＝4代入上式中，整理得(k －2)2＝0，∴k ＝2.8．等腰直角三角形ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( B )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：不妨设点A 在x 轴上方，则由抛物线的对称性及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，∴B (2p ，－2p )，|AB |＝4p . ∴S △ABO ＝12×4p ×2p ＝4p 2.二、填空题9．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝±8.解析：椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 10．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝±2 3.解析：设正三角形边长为x .363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23，当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.则该抛物线的方程为y 2＝8x .解析：易知直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p2＝0，则x 1＋x 2＝5p4①.由焦点弦长公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9 ②. 由①②解得p ＝4，从而抛物线的方程是y 2＝8x . 三、解答题12．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解：依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0，x 20＋y 20－9x 0＝0，∴x 20＋(2p －9)x 0＝0.①∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p 2－x 0＝－1，即2px 0x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 0＝－1.∴x 0＝52p .②把②代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，O 为C 的顶点，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．解：(1)∵焦点坐标为F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，与y 2＝4x 联立消去y 可得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，从而焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. (2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，与y 2＝4x 联立消去x 可得y 2－4ky －4＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＋y B ＝4k ，y A y B ＝－4.∴x A x B ＝(ky A ＋1)(ky B ＋1)＝k 2y A y B ＋k (y A ＋y B )＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1. ∴OA →·OB →＝x A x B ＋y A y B ＝1－4＝－3. 即OA →·OB →是一个定值．——能力提升类——14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一内接△OAB ，O 为坐标原点，OA →·OB →＝0，直线OA 的方程为y ＝2x ，且|AB |＝413，则抛物线的方程为y 2＝165x .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A (p2，p )．又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－12x ，与y 2＝2px 联立可得B (8p ，－4p )．∵|AB |＝413，∴(p2－8p )2＋(p ＋4p )2＝208，解得p ＝85.故抛物线的方程为y 2＝165x .15．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程．(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．解：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝322，解得c ＝1(负根舍去)， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ，P (x 0，y 0)，由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 12x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线l 1上， ∴y 0＝x 12x 0－y 1. ① 同理，y 0＝x 22x 0－y 2 . ②综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y .∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线 AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.。

高中数学北师大版选修2-1课时作业3.2.3 抛物线的简单性质(2) Word版含解析

第三章§课时作业一、选择题．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若点，在抛物线的准线上的射影分别为，，则∠为( )．°．°．°．°解析：设抛物线的方程为＝(>)．如图，∵＝，＝，∴∠＝∠，∠＝∠.又∥∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∴∠＝∠＝°.答案：．设抛物线＝(＋)的准线为，直线＝与该抛物线相交于、两点，则点及点到准线的距离之和为( )．．．．解析：易知＝过抛物线的焦点，∴＋＝＝－＝×＝，故选择.答案：．已知点是抛物线＝上的一个动点，则点到点()的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．．．．解析：依题意设点在抛物线准线上的投影为点′，抛物线的焦点为，依抛物线的定义，知点到该抛物线准线的距离为′＝，则点到点()的距离与点到该抛物线准线的距离之和＝＋≥＝＝.答案：二、填空题．设斜率为的直线过抛物线＝(≠)的焦点，且和轴交于点.若△(为坐标原点)的面积为，则抛物线方程为( )．＝±．＝±．＝．＝解析：不论值正负，抛物线的焦点坐标都是，故直线的方程为＝，令＝得＝－，故△的面积为××＝＝，故＝±.故选择.答案：．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线＝与抛物线交于，两点，若()为的中点，则抛物线的方程为．解析：设抛物线的方程为＝(≠)，由方程组(\\(＝，＝))得交点坐标为()，(，)，而点()是的中点，从而有＝，故所求抛物线的方程为＝.答案：＝．设抛物线＝(>)的焦点为，点()．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为．解析：抛物线的焦点的坐标为，线段的中点的坐标为，代入抛物线方程得＝×，解得＝，故点的坐标为，故点到该抛物线准线的距离为＋＝.答案：．过抛物线＝(>)的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，.若梯形的面积为，则＝.解析：依题意，抛物线的焦点的坐标为，设(，)，(，)，直线的方程为－＝，代入抛物线方程得，－＋＝，故＋＝，＝＋＝＋＋＝，直角梯形有一个内角为°，故＝＝×＝，梯形面积为(＋)×＝××＝＝，＝.答案：三、解答题．过抛物线的焦点作不垂直于对称轴的直线交抛物线于，两点，线段的垂直平分线交对称轴于点.求证：＝.证明：如图，不妨设抛物线的方程为＝(>)，交点为(，)，(，)，的中点为(，)，则＝，。

高中数学选修2-1 北师大版抛物线的简单性质作业(含答案)

1．抛物线的性质和椭圆比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心．2．由抛物线的几何性质，确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程，对于非标准型的抛物线方程，关键是确定顶点的位置，当过焦点向准线作垂线时，焦点和垂足所连线段的中点就是抛物线的顶点．3．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p 2等于焦点到抛物线顶点的距离．4．在解题时，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化．再者要注意利用“数形结合”灵活运用定义．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级基础夯实]1．过点M (2,4)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：点M (2,4)是抛物线上的点，所以直线l 有两条，一条是切线，另一条是平行于抛物线的对称轴的直线．答案：B2．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1 C.54D.74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3， ∴x A ＋x B ＝52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：C3．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( )A ．－1＋ 2B.32－ 2 C ．1＋ 2D.32＋ 2 解析：由题意得F 的坐标为(0,1)．又M (1,0)，故线段MF 的方程为x ＋y ＝1(0≤x ≤1)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，x 2＝4y ，得交点A 的坐标为(22－2,3－22)．∴S ＝12×1×(3－22)＝32－ 2. 答案：B4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：∵F (p 2，0)，∴设AB ：y ＝x －p 2，与y 2＝2px 联立，得x 2－3px ＋p 24＝0. ∴x A ＋x B ＝3p .由焦半径公式x A ＋x B ＋p ＝4p ＝8，得p ＝2.答案：25．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知∠BMx ＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2. 答案：26．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若△OAB 的面积为10，求k 的值；(2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k 2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· 1k 4＋4k 2，由点到直线的距离公式得d ＝|k |1＋k 2， ∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16. (2)证明：由(1)可得k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. ∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2， ∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x ，得ky 2＋y －k ＝0， ∴y 1y 2＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ，∴以弦AB 为直径的圆必过原点．[B 级能力提升]7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为(a 4，0)．过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a 2.∴12·|a |4·|a |2＝4， ∴a 2＝64，∴a ＝±8，所以抛物线方程为y 2＝±8x ，故选B.。

【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：第3章抛物线的简单性质 Word版含答案[ 高考]

抛物线的简单性质同步练习【选择题】1．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别是（A ）(14a , 0), x =－14a （B ）(－14a , 0), x =－14a（C ）(0, 14a ), y =－14a （D ）(0, －14a ), y =14a2．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，点A 的坐标是(－1, 8)，P 是抛物线上一点，|PA |+|PF |则的最小值是（A ）8 （B ）9 （C 1 （D ）103．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（A ）x 2+y 2－x －2y －41=0 （B ）x 2+y 2+x －2y +1=0 （C ）x 2+y 2－x －2y +1=0 （D ）x 2+y 2－x －2y +41=0 4．抛物线y = 4x 2上一点到直线y = 4x －5的距离最短，则该点的坐标是（A ）(1, 2) （B ）(0, 0) （C ）(21, 1) （D ）(1, 4) 5．抛物线x 2=－32y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是（A ）4 （B ）－4 （C ）41 （D ）－41 6．对于抛物线，有如下说法：① 抛物线只有一个顶点，一个焦点；② 抛物线没有对称轴，也没有对称中心；③ 抛物线的焦点与准线之间的距离为2p ，其中说法正确的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．已知点A (4, －2)，F 为y 2=8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |+|MF |取最小值时，点M 的坐标是（A ）(0, 0) （B ）(1, －22) （C ）(2, －2) （D ）(21, －2) 8．过点M (－p , p )作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有（A ）3条（B ）2条（C ）1条（D ）不能确定9．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点，A , B 在准线上的射影分别为A 1, B 1，则∠A 1FB 1为（A ）等于90° （B ）大于90° （C ）小于90° （D ）不能确定10．以过抛物线的焦点弦为直径的圆与它的准线的位置关系是（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定11．已知A , B 是抛物线y 2=2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（A ）x =p （B ）x =3p （C ）x =23p （D ）x =25p 12．若抛物线的准线为2x +3y －1=0，焦点坐标为(－2, 1)，则抛物线的对称轴方程是（A ）2x +3y +1=0 （B ）3x －2y +8=0 （C ）3x －2y +6=0 （D ）3x +2y +4=0【填空题】13．若抛物线y 2==2px (p >0)上一点到其准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标是 .14．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点的纵坐标是－4，且该点到焦点的距离是6，则抛物线的标准方程是 .15．已知三点A (2, y 1), B (x 2, －4), C (6, y 2)，三点均在抛物线y 2=2px (p >0)上，且2<x 2<6，若A , B , C 三点到焦点的距离依次成等差数列，则x 2= ; y 1= ;y 2= .16．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p = .17．已知M ={(x , y )| y 2=21x }, N ={(x , y )| (x －23)2+y 2=49}，则M ∩N 中元素的个数是 .18．斜率为1的直线与抛物线x 2=2y 相交于A , B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 .19．对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q ，点P (a , 0)都满足|PQ |≥a ，则a 的取值范围是 .【解答题】20. 过(0,-2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，求|AB|21．已知抛物线y 2=2px (p >0)，过动点M (a , 0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A , B ，（1）若|AB |≤2p ，求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，试求△MNQ 的面积。

(教师用书)高中数学 3.2.2 抛物线的简单性质课时训练北师大版选修21

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 抛物线的简单性质课时训练北师大版选修2-1一、选择题1．抛物线x 2＝－4y 的通径长为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 【解析】由题意知p ＝2，所以通径长为2p ＝4.【答案】 C2．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p 等于( ) A.32B ．52C ．4D ．8 【解析】抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，∴3＋p 2＝5，∴p ＝4. 【答案】 C3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p 2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36. 【答案】 C4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D ．π2【解析】抛物线的焦点为(32，0)．设直线方程为y ＝k (x －32)，与方程y 2＝6x 联立得： 4k 2x 2－(12k 2＋24)x ＋9k 2＝0.设直线与抛物线交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2， ∴x 1＋x 2＋3＝3k 2＋6k 2＋3＝12. ∴k 2＝1，∴k ＝±1.故弦所在直线的倾斜角是π4或34π. 【答案】 B5．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2) 【解析】由于直线x ＋2＝0为准线，所以该圆必过焦点．又焦点坐标为(2,0)．故选B【答案】 B二、填空题6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________．【解析】由e ＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .【答案】 x 2＝4y7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【解析】 ∵y 2＝4x ，∴p ＝2，F (1,0)，又∵|AF |＝2，∴x A ＋p 2＝2，∴x A ＋1＝2，∴x A ＝1.即AB ⊥x 轴，F 为AB 的中点，∴|BF |＝|AF |＝2. 【答案】 28．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．【解析】由题意，得x 2＝14y ，∴准线方程为y ＝－116.设点M (x 0，y 0)，则y 0－(－116)＝1，得y 0＝1516. 【答案】 1516三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M 的横坐标．【解】 ∵点M 到对称轴的距离为6，∴设点M 的坐标为(x ，±6)． ∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋p 2＝10，2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，p ＝18.即点M 的横坐标为1或9.10．已知点A (2,0)，B (4,0)，点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，求AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标．【解】设点P (x 0，y 0)，则y 20＝－4x 0(x 0≤0)，∴AP →·BP →＝(x 0－2，y 0)·(x 0－4，y 0)＝x 20－6x 0＋8＋y 20＝x 20－10x 0＋8＝(x 0－5)2－17.∵x 0∈(－∞，0]，∴当x 0＝0时，AP →·BP →取最小值，此时点P 的坐标为(0,0)．11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设O C →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

【课堂设计】2021-2022学年高二数学北师大版选修2-1课后作业：3.2.2 抛物线的简单性质

2.2 抛物线的简洁性质1.抛物线y 2=ax(a ≠0)的准线是x=-1,那么它的焦点坐标是( ) A .(1,0) B .(2,0) C .(3,0) D .(-1,0)解析:∵准线为x=-a4=-1,∴a=4,即y 2=4x. ∴焦点坐标为(1,0). 答案:A 2.如图,F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =0,则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗ |等于( )A .6 B.4 C.3 D.2解析:由FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =0,知F 为△ABC 的重心,由抛物线方程知,F(1,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3), ∴x 1+x 2+x 3=3.又|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗ |=x 1+x 2+x 3+32p=3+3=6.答案:A3.已知直线l 过抛物线y 2=8x 的焦点且与它交于A,B 两点,若AB 中点的横坐标为3,则|AB|等于( ) A .7 B .5 C .8 D .10 解析:焦点为F(2,0),设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2×3=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x 1+2)+(x 2+2)=x 1+x 2+4=10. 答案:D4.设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足.假如直线AF 的斜率为-√3,那么|PF|=( ) A .4√3 B.8 C.8√3 D.16解析:直线AF 的方程为y=-√3(x-2),联立{y =-√3x +2√3,x =-2,得y=4√3,所以点P 的坐标为(6,4√3).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8. 答案:B5.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线相交于A,B 两点,若点A,B 在抛物线的准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1为( ) A .45° B .60° C .90° D .120°解析:设抛物线的方程为y 2=2px(p>0).如图,∵|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|,∴∠AA 1F=∠AFA 1, ∠BFB 1=∠FB 1B. 又AA 1∥Ox ∥B 1B,∴∠A 1FO=∠FA 1A,∠B 1FO=∠FB 1B. ∴∠A 1FB 1=12∠AFB=90°.答案:C6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y 轴上; ②焦点在x 轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线的方程为y 2=10x 的条件是 (要求填写适合条件的序号). 解析:由抛物线的方程为y 2=10x,知它的焦点在x 轴上,∴②适合.又∵抛物线的焦点坐标为F (52,0),原点O(0,0),设点P(2,1),可得k PO ·k PF =-1, ∴⑤也适合.而①明显不适合,通过计算可知③④不合题意. ∴应填序号为②⑤. 答案:②⑤7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=2√3x 上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是 . 解析:有两个顶点关于x 轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是π6和5π6. 可设三角形的边长为a,x 轴上方的顶点为(x 0,√33x 0),代入抛物线方程,得x 0=6√3.由√32a=6√3,得边长a=12. 答案:128.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为√3的直线与l 相交于A,与C 的一个交点为B,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则p= .解析:l:x=-p 2,过M(1,0)且斜率为√3的直线为y=√3(x-1).联立{x =-p 2,y =√3(x -1),解得{x =-p 2,y =-√3(p2+1),∴点A 的坐标为(-p 2,-√3(p 2+1)). 又∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴M 点为AB 的中点,∴B 点坐标为(p 2+2,√3(p 2+1)). 将B (p 2+2,√3(p2+1))代入y 2=2px(p>0),得3(p 2+1)2=2p (p2+2),解得p=2或p=-6(舍去). 答案:29.抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程. 解:如图,依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则经过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+12p.设直线交抛物线于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由抛物线的定义,得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x 1+p 2+x 2+p2,∴x 1+p 2+x 2+p2=8.①又点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线和直线的交点,由{y =-x +12p ,y 2=2px消去y,得x 2-3px+p 24=0.∴x 1+x 2=3p.将其代入①,得p=2. ∴所求抛物线的方程为y 2=4x.当抛物线的方程设为y 2=-2px 时,同理可求得抛物线的方程为y 2=-4x.10.已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A,B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D. (1)求证:点F 在直线BD 上;(2)设FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗ =89,求直线l 的方程.解:设直线l 与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则点D 的坐标为(x 1,-y 1).由题意,得l 的方程为x=my-1(m ≠0). (1)证明:将x=my-1代入y 2=4x, 并整理,得y 2-4my+4=0. 从而y 1+y 2=4m,y 1y 2=4.① 直线BD 的方程为y-y 2=y 2+y 1x 2-x 1·(x-x 2), 即y-y 2=4y 2-y 1·(x -y 224). 令y=0,得x=y 1y 24=1.所以点F(1,0)在直线BD 上.(2)由①知,x 1+x 2=(my 1-1)+(my 2-1)=4m 2-2,x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1)=1.由于FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2), 所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+4=8-4m 2, 故8-4m 2=89,解得m=±43.所以l 的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.11.已知过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点.求证: (1)x 1x 2为定值; (2)1|FA |+1|FB |为定值. 证明:(1)抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F (p 2,0),当直线的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=k (x -p 2)(k ≠0).由{y =k (x -p 2),y 2=2px ,消去y,整理,得 k 2x 2-p(k2+2)x+k 2p 24=0.由根与系数的关系,得x 1x 2=p 24为定值.当直线的斜率不存在,即AB ⊥x 轴时,x 1=x 2=p 2,x 1x 2=p 24也成立. ∴x 1x 2为定值p 24.(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x 1+p 2,|FB|=x 2+p 2. ∴1|FA |+1|FB |=1x 1+p 2+1x 2+p 2 =x 1+x 2+p p2(x 1+x 2)+x 1x 2+p 24=x 1+x 2+pp 2(x 1+x 2)+p 22 =x 1+x 2+p p 2(x 1+x 2+p )=2p 为定值.当直线的斜率不存在,即AB ⊥x 轴时,|FA|=|FB|=p,上式也成立. ∴1|FA |+1|FB |为定值2p.备选习题1.过点Q(4,1)作抛物线y 2=8x 的弦AB,恰被点Q 所平分,求AB 所在直线的方程.解法一:设以点Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有y 12=8x 1,①y 22=8x 2,②x 1+x 2=8,y 1+y 2=2.③①-②,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=8(x 1-x 2).④ 将③代入④,得y 1-y 2=4(x 1-x 2),即4=y 1-y2x 1-x 2,∴直线AB 的斜率k=4. ∴所求弦AB 所在的直线方程为y-1=4(x-4), 即4x-y-15=0.解法二:由题意,可设弦AB 所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k ≠0).由{y 2=8x ,y =k (x -4)+1消去x,得ky 2-8y-32k+8=0.此方程的两根就是线段AB 的端点A,B 两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,得y 1+y 2=8k.又y 1+y 2=2,∴k=4.∴所求弦AB 所在直线的方程为4x-y-15=0.2.已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程.(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任始终线,都有FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗ <0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x,y)满足:√(x -1)2+y 2-x=1(x>0).化简得y 2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l 与直线C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).设l 的方程为x=ty+m,由{x =ty +m ,y 2=4x得y 2-4ty-4m=0,Δ=16(t 2+m)>0,于是{y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4m .①FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗ <0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0.② 又x=y 24,于是不等式②等价于y 124·y 224+y 1y 2-(y 124+y 224)+1<0⇔(y 1y 2)216+y 1y 2-14[(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+1<0.③由①式,不等式③等价于m 2-6m+1<4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2-6m+1<0,即3-2√2<m<3+2√2. 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B 的任始终线,都有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗ <0,且m 的取值范围是(3-2√2,3+2√2). 3.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C 的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F 在x 轴上. (1)求抛物线C 的标准方程;(2)求过点F,且与直线OA 垂直的直线的方程;(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C 于D,E 两点,|ME|=2|DM|,记D 和E 两点间的距离为f(m),求f(m)关于m 的表达式. 解:(1)由题意,可设抛物线C 的标准方程为y 2=2px.由于点A(2,2)在抛物线C 上,所以p=1. 因此,抛物线C 的标准方程是y 2=2x.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12,0),又直线OA 的斜率为22=1,故与直线OA 垂直的直线的斜率为-1.因此,所求直线的方程是x+y-12=0.(3)如图所示,设D (s 22,s),E (t 22,t).由点M(m,0)及ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得t=-2s,m=s 2,所以E(2s 2,-2s). 于是f(m)=|DE|=√(2s 2-s 22)2+(-2s -s )2=32√m 2+4m (m>0).。

2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 2.2 抛物线的简单性质 Word版含答案

2.2 抛物线的简单性质1．了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念．(重点)2．掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质．(重点) 3．会用顶点及通径的端点画抛物线的草图．(难点)教材整理抛物线的简单性质阅读教材P 74～P 79的部分，完成下列问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形．( ) (2)抛物线的离心率可以是32.( )(3)抛物线的通径为p .( )【解析】 (1)抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形．(2)抛物线的离心率e ＝1. (3)通径为2p .【答案】 (1)× (2)× (3)×2．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．1【解析】抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，则d ＝|2－3×0|12＋－3＝1.故选D.【答案】 D3．顶点在原点，对称轴为y 轴且过(1,4)的抛物线方程是________．【导学号：32550077】【解析】由题意知抛物线开口向上，设标准方程为x 2＝2py ， ∴1＝2p ·4，∴2p ＝14，∴x 2＝14y .【答案】 x 2＝14y .4．求顶点在原点，焦点在x 轴上，且通径长为6的抛物线方程．【解】因为抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，所以设所求抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)．因为通径长为6，所以m ＝±6，故抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝－6x .预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________(1)等腰直角△OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2【自主解答】设点A 在x 轴上方，则由抛物线的对称性及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y2＝2px ，得A (2p,2p )．∴B (2p ，－2p )，|AB |＝4p .∴S △ABO ＝12×4p ×2p ＝4p 2.【答案】 B(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2【自主解答】如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4. 过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ，则有|HQ||MF|＝|PQ||PF|＝34，∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3.【答案】 B(3)对称轴是x 轴，焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为________．【导学号：32550078】【自主解答】由题意知p ＝4，对称轴为x 轴， ∴标准方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x . 【答案】 y 2＝8x 或y 2＝－8x1．求抛物线的标准方程的步骤可用如下框图表示：2．需对焦点在直线上、焦点为椭圆的焦点、准线过椭圆的焦点等予以关注，此时，可能有两个焦点或准线方程，相应的抛物线的标准方程也就有两个．1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x【解析】当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如图所示， ∵△OAB 为等边三角形，且边长为1. ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ，同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x . 【答案】 C斜率为1的直线，B 两点，求线段AB 的长．【精彩点拨】运用数形结合的方法，将焦点弦长|AB |转化为p 与点A ，B 的横坐标之和．【自主解答】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，|AB |＝p ＋(x 1＋x 2)．由于抛物线y 2＝4x 中，p ＝2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋2.因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，且直线AB 的斜率为1，所以直线AB 的方程为y ＝x －1 ①.将①代入方程y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3＋22，x 2＝3－2 2.于是|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.所以，线段AB 的长是8.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是F ，点A (x 0，y 0)是抛物线上任一点，则|AF |＝x 0＋p 2.2．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点坐标的和还是交点坐标的差．这是正确解题的关键．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＋x 2＝8，则|AB |的值为( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．4【解析】 ∵y 2＝4x ，∵2p ＝4，p ＝2.∴由抛物线定义知：|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8＋2＝10.【答案】 A(1)已知P A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值；(2)求抛物线y ＝4x 2上一点，使它到直线l ：4x －y －5＝0的距离最短，并求此距离．【精彩点拨】 (1)中点A (－1,1)在抛物线外，利用抛物线的定义和几何性质将其转化为两点间的最短距离问题．(2)中的直线与抛物线相离，因此平移直线至与抛物线相切时得切点，切点到直线4x －y －5＝0的距离最短．【自主解答】 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.∵点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F (1,0)的距离，∴点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和等于点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到焦点F (1,0)的距离之和．显然，当点P 为直线AF 与抛物线的交点时，和取得最小值，最小值为|AF |＝＋＋1＝ 5.(2)法一：设与直线4x －y －5＝0平行的直线方程为y ＝4x ＋b ，与抛物线方程y ＝4x 2联立并消去y ，得4x 2－4x －b ＝0.由Δ＝(－4)2－4×4×(－b )＝16＋16b ＝0，得b ＝－1， ∴切线方程为y ＝4x －1.再由4x 2－4x ＋1＝0，得x ＝12，y ＝4×12－1＝1.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12－1－542＋12＝41717.法二：设P (x 0,4x 20)是抛物线y ＝4x 2上任一点，则点P 到直线4x －y －5＝0的距离d ＝|4x0－4x20－5|42＋12＝|4x20－4x0＋5|17＝－＋417≥417＝41717当2x 0－1＝0，即x 0＝12时取“＝”号，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1即为所求的点，此时最短距离为41717.(1)若曲线与直线相离，在曲线上求一点到直线的距离的最小问题，可找与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)利用抛物线的定义将问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决，这种方法在解题中有着广泛的应用，要深刻体会．3．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．【解】将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6＞2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为(2,2)．探究1【提示】画抛物线时，首先要确定抛物线的焦点和准线的位置，其次是确定过焦点且与抛物线的轴垂直的直线与抛物线两交点的坐标，依据这四个要素，即可画出较为准确的抛物线．对于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，如图，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p .探究2 抛物线y 2＝2px (p ＞0)是有界曲线吗？【提示】不是．当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线y 2＝2px (p ＞0)位于半个坐标平面内，且抛物线向右上方和右下方无限延伸，因此，抛物线是无界曲线．探究1 00能写出焦半径公式吗？【提示】焦半径公式如下： (1)y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p 2；(2)y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p 2；(3)x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p 2；(4)x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p 2.探究2 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．你能总结有关焦点弦的结论吗？【提示】 (1)x 1x 2＝p24；(2)y 1y 2＝－p 2；(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x1x2＝p ，即当x 1＝x 2时，焦点弦最短，是通径，为2p ； (4)弦长|AB |＝2psin2α(α为AB 的倾斜角)； (5)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (6)1|AF|＋1|BF|＝2p. 探究3 过抛物线焦点的直线一定会与抛物线相交形成焦点弦吗？【提示】由于抛物线的焦点一定在抛物线的轴上，因此抛物线的轴也是过抛物线焦点的直线，此时二者只有一个交点，即抛物线的顶点，不存在焦点弦．由此可知，与抛物线的轴平行或重合的直线和抛物线都只有一个交点．探究4 已知抛物线y 2＝12x ，则弦长为定值1的焦点弦有几条？【提示】因为通径的长2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a ，若a ＞2p ，则焦点弦存在两条；若a ＝2p ，则焦点弦存在一条；若a ＜2p ，则焦点弦不存在．由y 2＝12x 知p ＝14，则通径长2p ＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有两条．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【精彩点拨】解答本题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．【自主解答】设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x22，y1＋y22.而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ，则d ＝x1＋x22＋p 2＝x1＋x2＋p 2，∴d ＝|AB|2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，且|AB |＝5，则这样的直线( ) A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有无穷多条D ．不存在【解析】抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p ＝4＜5，所以这样的直线有两条．【答案】 B2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n ，则( ) A ．n ＝0 B ．n ＝1 C ．n ＝2D ．n ≥3【解析】结合图像可知，过焦点的斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形．【答案】 C3．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝82x B ．y 2＝±42x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±82x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2ax ，根据题意知12×|2a |×|a 2|＝4，∴|a |＝22，a ＝±2 2.∴抛物线方程为y 2＝±42x . 【答案】 B4．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．【导学号：32550079】【解析】由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝－＋y20＝x20－6x ＋9＋x0＝⎝⎛⎭⎪⎫x0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 【答案】112－1 5．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．【解】如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知|AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32.设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2x ，当x ＝54时，y 1y 2＝－p 2＝－14.∴(y 1＋y 2)2＝y 21＋y 2＋2y 1y 2＝x 1＋x 2＋2y 1y 2＝2x －12＝2.∴y 1＋y 2＝±2，即y ＝y1＋y22＝±22.∴中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－22.我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。

高二数学北师大版选修2-1教师用书第3章 2.2 抛物线的简单性质 Word版含答案

抛物线的简单性质
．了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念．(重点)
．掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质．(重点)
)
．会用顶点及通径的端点画抛物线的草图．(难点
阅读教材～的部分，完成下列问题．
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()抛物线是中心对称图形．( )
()抛物线的离心率可以是.( )
()抛物线的通径为.( )
【解析】()抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形．
()抛物线的离心率＝.
()通径为.
【答案】()×()×()×
．抛物线＝的焦点到直线－＝的距离是( )
．
．
．
【解析】抛物线＝的焦点为()，
则＝＝.故选.
【答案】
．顶点在原点，对称轴为轴且过()的抛物线方程是．
【导学号：】【解析】由题意知抛物线开口向上，设标准方程为＝，
∴＝·，∴＝，∴＝.
【答案】＝.
．求顶点在原点，焦点在轴上，且通径长为的抛物线方程．
【解】因为抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，所以设所求抛物线的方程为＝(≠)．因为通径长为，所以＝±，故抛物线方程为＝或＝－.
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高中数学北师大版选修2-1练习：第三章2.2 抛物线的简单性质(一) 2 Word版含解析

[A.基础达标]1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D.圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．把(1，－3)代入得9＝2p 或1＝6p ，所以p ＝92或p ＝16，所以y 2＝9x 或x 2＝－13y .2．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据题意只要|FM |>4即可，由抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的经过焦点的弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B.当AB 的斜率为k 时，AB 所在的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px 得：k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p24＝0.根据根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝－p 2，故y 1y2x 1x 2＝－4. 当AB 斜率不存在时，即AB ⊥x 轴，易得y 1y 2x 1x 2＝－4.4．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 的直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12aC ．4a D.4a解析：选C.设直线方程为y ＝kx ＋14a ，代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －14a ＝0.由根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝ka ，x 1x 2＝1－4a2.p ＝y 1＋14a ＝kx 1＋12a ，q ＝y 2＋14a ＝kx 2＋12a ，所以1p ＋1q ＝1kx 1＋12a ＋1kx 2＋12a ＝k 2＋1a k 2＋14a 2＝4a . 5．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2)，其中x 0≠－1，x ≠x 0，则P A →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 20)，因为P A ⊥PQ ，所以P A →·PQ →＝0.所以－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 20)＝0，即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0，所以x ＝－x 0＋11－x 0＝(1－x 0)＋11－x 0－1，当x 0<1时，1－x 0＋11－x 0≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立．所以x ≥2－1＝1；当x 0>1时，1－x 0＋11－x 0＝－[(x 0－1)＋1x 0－1]≤－2，当且仅当x 0＝2时，等号成立，所以x ≤－2－1＝－3，故点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则n ＝________．解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y 轴，又过焦点且与x 轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．答案：27．已知点A 、B 是抛物线y 2＝4x 上的两点，O 是坐标原点，OA →·OB →＝0，直线AB 交x 轴于点C ，则|OC →|＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，因为OA →·OB →＝0，所以y 214·y 224＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＝－16.AB 所在的直线方程为y －y 1＝y 2－y 1y 224－y 214(x －y 214)＝4y 1＋y 2(x －y 214)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2－y 214＋y 214＝－y 1y 24＝4.答案：48．已知直线y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝3|FB |，则k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2<0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.① 又|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2且|AF |＝3|FB |，所以x 1＝3x 2＋4，②由①②解得x 2＝23，所以B (23，－433)，代入y ＝k (x －2)得k ＝ 3.答案： 39．已知M (3，y 0)(y 0>0)为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为抛物线C 的焦点，且|MF |＝5.(1)求抛物线C 的方程；(2)MF 的延长线交抛物线于另一点N ，求N 的坐标．解：(1)因为|MF |＝3＋p2＝5，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .(2)由题意知MF 不垂直于x 轴，故设MF 所在直线方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x M ·x N ＝4k 2k2＝4，因为x M ＝3，所以x N ＝43.因为N 为MF 的延长线与抛物线的交点，由图像可知y N <0.所以y N ＝－2px N ＝－463，所以N (43，－463)．10．已知动点M 到点(4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－3的距离多1. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C 所截得线段的长度．解：(1)由题意易知，动点M 到点(4，0)的距离与到直线x ＝－4的距离相等，故M 点的轨迹为以(4，0)为焦点，x ＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y 2＝16x .(2)设直线与抛物线的交点为A ，B ，直线AB 的方程为y －0＝33(x －4)，即y ＝33x －433，将直线方程与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －433，y 2＝16x ，得x 2－56x ＋16＝0，故x A ＋x B ＝56，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝56＋8＝64.[B.能力提升]1．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的准线与圆x 2＋y 2－4y －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．10 B ．6 C.18 D.124解析：选C.抛物线方程可化为x 2＝12py (p >0)，由于圆x 2＋(y －2)2＝9与抛物线的准线y＝－18p 相切，所以3－2＝18p ，所以p ＝18.2．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 在抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选A.设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x A ，x B ，x C 由F A →＋FB →＋FC →＝0得x A ＋x B＋x C ＝3，所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋3＝6.3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝____________．解析：过点N 作准线的垂线交准线于点N 1，则cos ∠NMF ＝cos ∠N 1NM ＝|NN 1||MN |＝|NF ||MN |＝32，故∠NMF ＝π6.答案：π64．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，抛物线C 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →.若点T ⎝⎛⎭⎫－12，0，则|TA ||TB |的值为____________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，因为AF →＝2FB →，所以AB 是过焦点F 的直线，F (12，0)，故AB 的直线方程为y ＝k (x －12)，代入y 2＝2x ，整理得：k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14，由AF →＝2FB →得x 1＋12x 2＋12＝2，即x 1＝2x 2＋12，得：A (1，2)，B (14，－22)，所以|TA ||TB |＝（1＋12）2＋（2）2（14＋12）2＋（22）2＝2.答案：25．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1，2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2. 所以所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1，k PB ＝y 2－2x 2－1，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)，所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得直线AB 的斜率为－1.6．(选做题)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点A (－1，0)和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．解：依题设抛物线C 的方程可写为y 2＝2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，① 设A ′，B ′分别是A ，B 关于l 的对称点，因而A ′A ⊥l ，直线A ′A 的方程为y ＝－1k(x ＋1)，②由①②联立解得AA ′与l 的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1，－kk 2＋1.又M 为AA ′的中点，从而点A ′的横坐标为x A ′＝2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＋1＝k 2－1k 2＋1，纵坐标为y A ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋1＋0＝－2k k 2＋1.③ 同理得点B ′的横、纵坐标分别为x B ′＝16kk 2＋1，y B ′＝8（k 2－1）k 2＋1.④又A ′，B ′均在抛物线y 2＝2px (p >0)上，由③得⎝⎛⎭⎫－2k k 2＋12＝2p ·k 2－1k 2＋1，由此知k ≠±1，即p ＝2k 2k 4－1.⑤同理由④得⎣⎢⎡⎦⎥⎤8（k 2－1）k 2＋12＝2p ·16k k 2＋1即p ＝2（k 2－1）2（k 2＋1）k . 从而2k 2k 4－1＝2（k 2－1）2（k 2＋1）k ，整理得k 2－k －1＝0，解得k 1＝1＋52，k 2＝1－52.但当k ＝1－52时，由③知x A ′＝－55<0，这与点A ′在抛物线y 2＝2px (p >0)上矛盾，故舍去k 2＝1－52.所以k ＝1＋52，则直线l 的方程为y ＝1＋52x .将k ＝1＋52代入⑤，求得p ＝255.所以直线方程为y ＝1＋52x .抛物线方程为y 2＝455x .。

北师大版高中数学【选修2-1】 3.2第2课时抛物线的简单性质练习课时作业含答案

第三章 3.2 第2课时抛物线的简单性质一、选择题1．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)[答案] B[解析] ∵圆心到直线x ＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A ．22B ． 2C ．322D ．2 2 [答案] C[解析] 本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用．设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF |＝m ；由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)⇔m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322.故选C ．在解决解析几何有关问题时，要加强与图形的结合，合理的选取方法求解．3．(2013·新课标Ⅰ文，8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 [答案] C[解析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C ．4．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值是( ) A ．2 B ．11＋22 C ．112D ．11－22[答案] D[解析] 如图所示，|PQ |min ＝|PA |min －1，|PA |＝(x －3)2＋y 2＝x 2－5x ＋9＝(x －52)2＋114，∴|PA |min ＝112.∴|PQ |min ＝112－1＝11－22.5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)则p ＝4.6．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y[答案] D[解析] 依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0，x 20＋y 20－9x 0＝0，∴x 20＋(2p －9)x 0＝0.① ∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p 2－x 0＝－1，即2px 0x 0⎝⎛⎭⎫p 2－x 0＝－1. ∴x 0＝52p .② 把②代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x . 二、填空题7．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________________米．[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．设抛物线方程为x 2＝－2py ，代入P (2，－2)得2p ＝2，∴x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x 2＝6，∴x ＝±6，则此时水面宽为26米，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________________．[答案] 34 2[解析] 由条件B (p4，1)代入y 2＝2px 得 1＝2p ×p4，∴p 2＝2，∴p ＝2， ∴B (24，1)，故d ＝34 2. 三、解答题9．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解析] 如图所示，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋p ＝8①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px .消去y 得，x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2， ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ．(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[分析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用平面解析几何的知识证k OA ·k OB ＝－1，从而证得OA ⊥OB ． (2)设直线AB 和x 轴的交点为N ，利用S △OAB ＝12|ON |·|y 1－y 2|求k 的值． [解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1消去x 后，整理，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－1.∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x .∴y 21·y 22＝x 1x 2.∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB ．(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝121k2＋4.∵S △OAB ＝10，∴10＝121k 2＋4.解得k ＝±16.一、选择题1．若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．0＜a ≤1 C ．a ≤1 D ．a ≤0[答案] C[解析] 设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝d 2＝x 2＋(y －a )2＝2y ＋(y －a )2＝y 2－(2a －2)y ＋a 2＝[y －(a －1)]2＋(2a －1)．因为y ∈[0，＋∞)，根据题意知，(1)当a －1≤0，即a ≤1，y ＝0时，d 2min ＝a 2.这时d min ＝|a |.(2)当a －1＞0，即a ＞1时，y ＝a －1时d 2取到最小值，不符合题意．综上可知a ≤1.2．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16[答案] B[解析] 考查抛物线定义设A (－2，y ) F (2,0)， ∴K AF ＝y－4＝－3，∴y ＝43，∴y p ＝43，∵P 在抛物线上，∴y 2p ＝8x p ， ∴x p ＝y 2p8＝16·38＝6.由抛物线定义可得|PF |＝|PA |＝x p －x A ＝6－(－2)＝8，故选B ．3．(2014·新课标Ⅰ理)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A ．72B ．3C ．52D ．2 [答案] B[解析] 本题考查抛物线的性质、向量的知识以及三角形的相似．设抛物线的焦点坐标是F (2,0)，过点Q 作抛物线的准线的垂线垂足是A ，则|QA |＝|QF |，抛物线的准线与x 轴的交点为G ，因为FP →＝4FQ →，则点Q 是PF 的三等分点，由于三角形QAP 与三角形FGP 相似，所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34，所以|QA |＝|QF |＝3.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3 [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由题知F (1,0)，∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3＝3，∵抛物线的准线为x ＝－1，∴根据抛物线定义得，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6. 二、填空题5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝__________________.[答案] 2[解析] 准线l 为x ＝－p2，过点M (1,0)且斜率为3的直线为y ＝3(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 2，y ＝3x －1，解得⎩⎨⎧x ＝－p2，y ＝－3p2＋1，∴点A 的坐标为(－p 2，－3(p2＋1))．又∵AM →＝MB →，∴M 点为AB 的中点， ∴B 点坐标为(p 2＋2，3(p2＋1))．将B (p 2＋2，3(p2＋1))代入y 2＝2px (p >0)，得3(p 2＋1)2＝2p (p2＋2)，解得p ＝2或p ＝－6(舍)．6．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________________.[答案] 56[解析] 本题考查了抛物线的性质，设|AF |＝x ，|BF |＝y ，由抛物线的性质知1x ＋1y ＝2p ＝2，又x ＋y ＝2512，∴x ＝56，y ＝54，即|AF |＝56.解决本题若能熟练地掌握抛物线中的相关结论，可迅速求解，要注意知识的积累．三、解答题7．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2y 0的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．[分析] 根据抛物线定义，可解出第一问，利用解析几何设而不求及两点斜率公式求第二问． [解析] (1)当y ＝p 2时，x ＝p8，又抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义得，所求距离为p 8－⎝⎛⎭⎫－p 2＝5p8.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，相减得(y 1－y 0)(y 1＋y 0)＝2p (x 1－x 0)，故k PA ＝y 1－y 0x 1－x 2＝2p y 1＋y 0(x 1≠x 0)．同理可得k PB ＝2py 2＋y 0(x 2≠x 0)．由PA 、PB 倾斜率角互补知k PA ＝－k PB ，即2p y 1＋y 0＝－2py 2＋y 0. ∴y 1＋y 2＝－2y 0，故y 1＋y 2y 0＝－2.设直线AB 的斜率为k AB ，由y 22＝2px 2，y 21＝2px 1，相减得(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝2p (x 2－x 1)． ∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2(x 1≠x 2)．将y 1＋y 2＝－2y 0(y 0>0)代入得k AB ＝2p y 1＋y 2＝－p y 0，所以k AB 是非零常数．8．(2013·福建文，20)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M 、N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． [解析] (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 22x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－41＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0. 所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.。

选修2-1抛物线的几何性质课时作业

课时作业14 抛物线的几何性质时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点P 到焦点F 的距离为10，则焦点到准线的距离是( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】 B【解析】由于P 到F 的距离等于P 到准线的距离，且等于10，所以y 轴与准线间的距离为10－6＝4，即p2＝4，故p ＝8. 【2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )B ．1C ．2D ．4【答案】 C【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，由题意知，3＋p2＝4，p ＝2.3．(2014·全国卷新课标Ⅱ理)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )^【答案】 D【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，两点间距离公式等基础知识．解法一：由题意可知：直线AB 的方程为y ＝33(x －34)，代入抛物线的方程可得：4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则所求三角形的面积为12×34×?y 1＋y 2?2－4y 1y 2＝94，故选D.解法二：设点A 、B 分别在第一和第四象限，AF ＝2m ，BF ＝2n ，则由抛物线的定义和直角2m ＝2×34＋3m,2n ＝2×34－3n ，解得m ＝32(2＋3)，n ＝32(2－3)，∴m ＋n ＝6.∴S △OAB ＝12·34·(m ＋n )＝94.故选D. 4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) —A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]【答案】 C【解析】由题意可知，y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以Q 点的坐标为(－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(斜率显然存在)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，所以k ＝0时，直线与抛物线的交点为(0,0)时，k ≠0，Δ＝[4(k 2－2)]2－4×(4k 2)×k 2≥0?－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知－1≤k ≤1，应选C.5．抛物线y ＝4x 2上的点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标是( )A ．(0,0)B ．(1,4)C ．(12，1) D ．以上都不对【答案】 C?【解析】设与直线y ＝4x －5平行且与抛物线y ＝4x 2相切的直线方程为y ＝4x ＋m ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，y ＝4x 2，消去y ，得4x 2－4x －m ＝0，Δ＝42＋4×4m ＝0，∴m ＝－1，将m ＝－1代入方程组，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝1.故所求点的坐标为(12，1)．6．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点的焦半径的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列，又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等差数列，又不成等比数列【答案】 A【解析】设三点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，由三点在抛物线上， ~则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3.由题意y 22－y 21＝y 23－y 22，三个焦半径x 1＋p 2，x 2＋p 2，x 3＋p 2，满足(x 2＋p 2)－(x 1＋p 2)＝y 222p －y 212p ＝12p (y 22－y 21)， (x 3＋p 2)－(x 2＋p 2)＝y 232p －y 222p ＝12p (y 23－y 22)． ∴(x 2＋p 2)－(x 1＋p 2)＝(x 3＋p 2)－(x 2＋p2)． ∴三个焦半径成等差数列．由x 1、x 2、x 3不全为0，∴不能成等比数列．.二、填空题(每小题10分，共30分)7．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点F 到AB 的距离为________．【答案】 2【解析】如图所示，由于|AB |＝43，∴y A ＝23，代入抛物线的方程，得x ＝3，即x M＝3.由抛物线的方程y2＝4x，知F(1,0)．》∴焦点F到AB的距离为2.8．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【答案】(2,0)【解析】直线x＋2＝0即x＝－2是抛物线y2＝8x的准线，由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的准线的距离，即动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的焦点的距离．故动圆必过抛物线的焦点(2,0)．9．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm，灯深为40cm，则光源到反射镜顶点的距离是________．【答案】 5.625cm【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，>∵灯口直径|AB|＝60，灯深|OC|＝40，∴点A的坐标为(40,30)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则900＝2p ×40，解得p ＝908＝454，∴焦点F 与抛物线顶点，即光源与反射镜顶点的距离为458＝(cm)．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知直线l 过点A (－3p2，p )且与抛物线y 2＝2px (p >0)只有一个公共点，求直线l 的方程．【解析】 (1)当直线l 与抛物线相切时，设直线l 的方程为y －p ＝k (x ＋3p2)，∴联立⎩⎨⎧y －p ＝k ?x ＋3p 2?，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py ＋(2＋3k )p 2＝0. %由Δ＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线l 的方程为2x －6y ＋9p ＝0或2x ＋2y ＋p ＝0.(2)当直线l 与x 轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时y ＝p .故满足条件的直线l 有三条，它们的方程是2x －6y ＋9p ＝0或2x ＋2y ＋p ＝0或y ＝p .【总结】注意两个问题：一是不要遗漏了直线的斜率不存在的情况，只考虑了斜率存在的情况；二是方程组消元后的方程不要只认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零时一次方程的解也符合题意．11．(13分)过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被点Q 平分.(1)求弦AB 所在直线的方程； (2)求弦AB 的长．-【解析】 (1)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1①；y 22＝8x 2②，x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，也即k ＝4.故所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.(2)设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k ?x －4?＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－32k ＋8k ＝8k －32. 因此，|AB |＝1＋1k 2·?y 1＋y 2?2－4y 1y 2.结合(1)可知k ＝4.故|AB |＝5272.12．(14分)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时，求k 的值．【解析】(1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k ?x ＋1?消去x 得ky 2＋y －k＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB . (2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12×1×?y 1＋y 2?2－4y 1y 2＝12?1k ?2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。

新北师大选修2-1高中数学课时跟踪训练(十七) 抛物线的简单性质

课时跟踪训练(十七) 抛物线的简单性质1．以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1 C.54 D.743． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上的一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．44．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．165．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是_____________．6．已知AB 是抛物线2x 2＝y 的焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标为________．7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．答案1．选C 依题意设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．选C 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 3．选C 如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3. 4．选B 由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°.△PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos 60°＝8. 5．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，则F ⎝⎛⎭⎫a 2，0.∴|y |＝ 2a ×a 2＝a 2＝|a |. 由于通径长为6，即2|a |＝6，∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2＝±6x .答案：y 2＝±6x6．解析：设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′.由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2. 又|PQ |＝y 0＋18，所以y 0＋18＝2，解得y 0＝158. 答案：158 7．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p 2. ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即∴ ⎝⎛⎭⎫2－p 22＋y 20＝ ⎝⎛⎭⎫2＋p 22＝3. 解得：p ＝1，y 0＝±22，∴抛物线方程为y 2＝2x .∴点M (2，±22)，根据两点间距离公式有：|OM |＝22＋(±22)2＝2 3.8．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.。

高中数学选修2-1北师大版抛物线的简单性质2 学案(含答案)

2.2 抛物线的简单性质自主整理抛物线y2=2px(p＞0)的简单性质1.范围抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的_____________,它的开口_____________,这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)满足不等式_____________;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向_____________和_____________无限延伸.抛物线是_____________曲线.2.对称性抛物线y2=2px(p＞0)关于对称,我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的_____________.抛物线只有对称轴_____________.3.顶点抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫作抛物线的.抛物线的顶点坐标是.4.离心率抛物线y2=2px(p＞0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的_____________,叫作抛物线的离心率.用_____________表示,e=_____________.5.通过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为_____________,.连结这两点的线段叫作抛物线的_____________,它的长为_____________.这就是抛物线标准方程中2p的一种意义.高手笔记1.要掌握抛物线的简单几何性质,如范围,对称性,顶点,开口方向等.学生利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法,也就是坐标法.以抛物线y2=2px(p＞0)为例,由于p＞0,所以x≥0,即抛物线在y轴右侧,同时x增大时,|y|也无限增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延展.以-y 代替y方程不变,故抛物线关于x轴对称.2.顶点就是坐标原点,即抛物线与坐标轴的交点,抛物线与椭圆比较,它只有一个焦点,一个顶点,一条对称轴.名师解惑1.重视抛物线的简单性质在解题中的作用剖析:掌握抛物线的简单性质,会运用这些性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合思想的运用,做题时尽可能画出草图来分析问题.由抛物线的范围可得抛物线顶点坐标的取值范围,在涉及求有关最值问题时,也就给出了函数的定义域的要求.2.利用抛物线的方程与性质解决实际问题剖析:解决实际应用问题应先建立恰当的直角坐标系,然后构造出抛物线的标准方程,写出已知点的坐标,确定焦点坐标与位置,画出草图,分析,解决问题.讲练互动【例1】求顶点在原点,以x 轴为对称轴,且通径长为8的抛物线方程,并指出它的焦点坐标和准线方程.解析:抛物线的通径长为2p,焦点在x 轴的哪一个半轴上未确定.故可设抛物线方程为y 2=2px(p≠0),但此时通径长应为|2p|,若不按此设法,需讨论. 解:设抛物线方程为y 2=2px(p≠0), 因为抛物线通径长为8, 所以|2p|=8. 所以p=±4.故所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x.若抛物线方程为y 2=8x,则焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2;若抛物线方程为y 2=-8x,则焦点坐标为(-2,0),准线方程为x=2. 绿色通道求抛物线方程一般要用待定系数法.需先设出方程,若只知道焦点在x 轴上,但不能确定开口方向时,把两种情况统一设为y 2=2px(p≠0)较方便.只要写出方程,就可顺利求出焦点坐标与准线方程. 变式训练1.一抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求此抛物线方程.解:如图,依题意设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0),则直线方程为y=-x+21p. 设直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x 1+2p +x 2+2p,即x 1+2p +x 2+2p=8.① 又A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线和直线的交点,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,2,212px y p x y 消去y 得x 2-3px+42p =0,所以x 1+x 2=3p.将其代入①得p=2. 所以所求抛物线方程为y 2=4x.当抛物线方程设为y 2=-2px 时,同理可求得抛物线方程为y 2=-4x.【例2】给定抛物线y 2=2x,设A(a,0)(a ＞0),P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d 的最小值. 解析:要求d 的最小值,首先应构造d 的目标函数d=f(x),此函数定含参数a,对参数a 的取值加以讨论,f(x)的定义域由抛物线范围确定. 解:设P(x,y),则x≥0,y 2=2x,所以d=f(x)=|PA|=1)]1([2)()(2222---=+-=+-a x x a x y a x .因为a ＞0,x≥0,故有(1)当0＜a ＜1时,a-1＜0,此时,x=0时,d 最小值为d min =a. (2)当a≥1时,a-1≥0,此时,x=a-1时,d 最小值为d min =12-a .绿色通道求抛物线上的动点到定点距离的最值时,除了要构造出目标函数之外,要注意抛物线是有范围的,从而确定目标函数的定义域;含有参数的,还要对参数进行讨论,否则极有可能出现错误.变式训练2.求抛物线y 2=64x 上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上点的坐标.分析:本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值;也可以转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线与已知直线的距离.解:设P(x 0,y 0)是抛物线上的点,则x 0=6420y,P 到直线4x+3y+46=0的距离d=5|643644|020++∙y y=80160)24(80|73648|20020++=++y y y . 所以当y 0=-24,x 0=9时,d 有最小值2.所以抛物线上的点到直线的最小距离等于2,这时抛物线上的点的坐标为(9,-24).。

高中数学选修2-1 北师大版抛物线及其标准方程课后作业(含答案)

2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y2=4x的焦点坐标为( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.答案:B2.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m时,水面宽10 m,则抛物线的方程可能是( )A.x2=-yB.x2=-yC.x2=-yD.x2=-y答案:A3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是( )A. B. C.1 D.解析:由准线方程为y=-,可知M到准线的距离为1,∴点M到x轴的距离等于1-.答案:D4.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x解析:由题意知,3+6a=5,∴a=,∴抛物线方程为y2=8x.答案:A5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列解析:由定义,知|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2,即2x2=x1+x3.故选A.答案:A6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2,令x=0得y=-,故点A的坐标为.由题意可得=4,∴a2=64,∴a=±8.答案:B7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.解析:设点A的坐标为(x,y).因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,所以x=1.所以A(1,±2).又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.答案:28.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:OA的垂直平分线交x轴于点,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-.答案:x=-9.若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是.解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得+1=|x+2|,∴=|x+2|-1=x+1.两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,∴x2-2x+1+y2=x2+2x+1,∴y2=4x,∴点P的轨迹方程为y2=4x.(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,∴点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.答案:y2=4x10.如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最近距离. 解:设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B'(如图).由抛物线的定义,得|AF|=|AA'|=y1+=y1+,|BF|=|BB'|=y3+=y3+,∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.又M是线段AB的中点,∴y2=(y1+y3)=.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为.11.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;(2)焦点是(-2,0);(3)准线是y=-;(4)焦点到准线的距离是2;(5)焦点到直线x=-5的距离是8.解:(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,∴方程为y2=16x;焦点为(0,3)时,=3,∴p=6,∴方程为x2=12y.故所求方程为y2=16x或x2=12y.(2)焦点为(-2,0),∴=2,∴p=4,∴方程为y2=-8x.(3)准线为y=-,∴,∴p=3,开口向上,∴方程为x2=6y.(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.∴方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),∴|x0+5|=8,∴x0=3或x0=-13,∴焦点为(3,0)或(-13,0),∴=3或-13,∴p=6或-26.∴方程为y2=12x或y2=-52x.12.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线上(设AA'为水面宽,且AA'=8 m),所以16=-2p×(-5),2p=,所以抛物线方程为x2=-y(-4≤x≤4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B'(B'与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由22=-y,得y=-,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+=2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.备选习题1.抛物线y2=8x的准线方程是( )A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4解析:由2p=8,得p=4,故准线方程为x=-2,故选A.答案:A2.设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程是.解析:当m>0时,由2p=m,得.这时抛物线的准线方程是x=-.∵抛物线的准线与直线x=1的距离为3,∴1-=3,解得m=8.这时抛物线的方程是y2=8x.同理,当m<0时,抛物线的方程是y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|的值最小.解:如图所示,设抛物线上的点P到准线的距离为|PQ|.由抛物线的定义,知|PF|=|PQ|,∴|PF|+|PM|=|PQ|+|PM|.∴当P,Q,M三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由M(-2,4),可设P(-2,y0),代入y=x2,得y0=,故P点的坐标为.4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线,交抛物线于P1,P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明:设线段P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,如图所示.根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,∴|P0Q0|=(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆的半径,且P0Q0⊥l,因此,该圆与准线相切.5.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解:将l和C的方程联立,得消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)。

高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线的简单性质 课时作业(含答案)

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