[VIP专享]2016届山东省烟台市高考数学二模试卷(理科)解析版

2016年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）（2016•烟台二模）已知i是虚数单位，若复数z满足=i，则|z|（ ）A．2B．C．D．2．（5分）（2016•烟台二模）设全集U=R，若集合A={x|y=log2（4﹣x2）}，集合B={y|y=2x﹣1，x∈R}，则集合∁U（A∩B）=（ ）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．（5分）（2016•烟台二模）为估测某校初中生的身高情况，现从初二（四）班的全体同学中随机抽取10人进行测量，其身高数据如茎叶图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）A．172，172B．172，169C．172，168.5D．169，1724．（5分）（2016•烟台二模）若命题p：∀x∈R，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，命题q：∀x∈R，不等式|x﹣1|+|x+1|＞a恒成立，则命题￢p是q的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）（2016•烟台二模）某程序框图如图所示，则输出的S的值为（ ）A．B．C．0D．﹣6．（5分）（2016•烟台二模）已知a，b为空间两条不重合的直线，α，β为空间两个不重合的平面，则以下结论正确的是（ ）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若α⊥β，a⊥β，则a∥αC．若a⊂α，a∥β，则α∥βD．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β7．（5分）（2016•烟台二模）看函数f（x）在定义域内满足条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）﹣f（x+t）＜0（其中t＞0），则函数f（x）的解析式可以是（ ）A．y=x+B．y=tanx C．y=D．y=x38．（5分）（2016•烟台二模）已知x，y满足线性约束条件，则目标函数z=的最小值为（ ）A．B．C．D．9．（5分）（2016•烟台二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=90°，且|PF1|是|PF2|和|F1F2|的等差中项，则椭圆的离心率e为（ ）A．B．C．D．10．（5分）（2016•烟台二模）设函数f（x）的定义域为R，若不等式|f（x）|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f（x）为“T”函数，给出下列四个函数：①f1（x）=，②f2（x）=xsinx，③f3（x）=ln（x2+1），④f4（x）=．其中，“T”函数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2016•烟台二模）若a=sinxdx，则（x﹣）8的展开式中的常数项为 （用数字作答）12．（5分）（2016•烟台二模）已知函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（π，0）对称，若将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为 ．13．（5分）（2016•烟台二模）给定两个单位向量，，它们的夹角为60°．点C在以O为圆弧上运动，若=x+y，其中x，y∈R，则xy的最大值为 ．14．（5分）（2016•烟台二模）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，（0，3）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且•=，则实数k的值为 ．15．（5分）（2016•烟台二模）设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=，则f（）+f（）+…+f（）+f（0）+f（2）+…+f（2015）+f（2016）= ．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．16．（12分）（2016•烟台二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b≠c，且sin2C﹣sin2B=sinBcosB﹣sinCcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，sinC=，求△ABC的面积．17．（12分）（2016•烟台二模）已知函数f（x）=，数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S n+1=f（S n）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=S12+S22+…+S n2，当n≥2时，求证：4T n＜2﹣．18．（12分）（2016•烟台二模）如图，菱形ABCD的棱长为2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E为边AD的中点．（1）求证：平面PBE⊥平面BCP；（2）当直线AP与底面ABCD所成的角为30°时，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2016•烟台二模）甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．（1）求没下满5局甲即获胜的概率；（2）设比赛停止时已下局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．20．（13分）（2016•烟台二模）已知点（，）是等轴双曲线C：=1上一点，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合．（1）求抛物线的方程；（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2+（y﹣1）2=1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．21．（14分）（2016•烟台二模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣b（x+1）2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2﹣1．（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；（2）若方程f（x）﹣t=0在[﹣1，e﹣1]内有两个不等实数根，求实数t的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）；（3）设g（x）=﹣2x2+x+m﹣1，若对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．2016年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）（2016•烟台二模）已知i是虚数单位，若复数z满足=i，则|z|（ ）A．2B．C．D．【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足=i，则||=|i|即：|z|=×1=．故选：D．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2016•烟台二模）设全集U=R，若集合A={x|y=log2（4﹣x2）}，集合B={y|y=2x﹣1，x∈R}，则集合∁U（A∩B）=（ ）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据函数的定义域和值域求出A，B的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：由4﹣x2＞0，得﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），y=2x﹣1＞﹣1，即B=（﹣1，+∞），则A∩B=（﹣1，2），∁U（A∩B）=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据函数的定义域和值域求出A，B的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）（2016•烟台二模）为估测某校初中生的身高情况，现从初二（四）班的全体同学中随机抽取10人进行测量，其身高数据如茎叶图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）A．172，172B．172，169C．172，168.5D．169，172【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，根据众数是出现次数最多的数求出众数即可得解．【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为158，160，161，165，166，172，172，174，177，183，所以其中位数为=169，由茎叶图知出现次数最多的数是172，可得众数为172．故选：B．【点评】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与众数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．4．（5分）（2016•烟台二模）若命题p：∀x∈R，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，命题q：∀x∈R，不等式|x﹣1|+|x+1|＞a恒成立，则命题￢p是q的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】分别求出命题p为真命题，题q为真命题的a的范围，再求出￢p成立的a的范围，根据充分条件和必要条件的定义判断即可．【解答】解：若命题p为真命题：∀x∈R，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，∴（2）2﹣4a＜0，∴a＞2，∴￢p为a≤2，若命题q为真命题：∀x∈R，不等式|x﹣1|+|x+1|＞a恒成立，根据绝对值的几何意义得|x﹣1|+|x+1|＞2，∴a＜2，∴命题￢p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了不等式恒成立的问题，以及绝对值三角不等式，充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．5．（5分）（2016•烟台二模）某程序框图如图所示，则输出的S的值为（ ）A．B．C．0D．﹣【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S，利用正弦函数的周期性求出S的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是S=sin+sin+sin+sin+sin+…+sin；分析最后一次循环情况，i=2015时，不满足条件i≥2016，执行循环：S=sin+sin+sin+sin+sin+…+sin=[sin+sin+sin+sin+sin+sin]+…+[sin（670π+）+sin（670π+）+sin（sin670π+）+sin（670π+）+sin（670π+）]=[++0+（﹣）+（﹣）+0]+…+[++0+（﹣）+（﹣）]=0，i=2016时，满足条件i≥2016，退出循环，输出S=0．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了正弦函数的周期性问题，是基础题目．6．（5分）（2016•烟台二模）已知a，b为空间两条不重合的直线，α，β为空间两个不重合的平面，则以下结论正确的是（ ）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若α⊥β，a⊥β，则a∥αC．若a⊂α，a∥β，则α∥βD．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β【分析】利用线面、平面与平面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：对于A，若α⊥β，a⊂α，则：a⊥β或a与β相交或a⊂β，不正确；对于B，因为一条直线与一个平面都垂直于同一个平面，此面与线的位置关系是线在面内或线与面平行，不正确；对于C，根据平面与平面平行的判定定理，可知不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定定理，可知正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较高的空间想像能力以及对空间中线面位置关系的了解，本题考查了空间想像能力及打理判断的能力，是考查基本概念的常见题型．7．（5分）（2016•烟台二模）看函数f（x）在定义域内满足条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）﹣f（x+t）＜0（其中t＞0），则函数f（x）的解析式可以是（ ）A．y=x+B．y=tanx C．y=D．y=x3【分析】根据已知条件即可判断出f（x）满足定义域为R，为奇函数，增函数，判断每个选项中的函数是否满足f（x）的上面几个条件即可找出正确选项．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0；∴f（x）为奇函数；f（x）﹣f（x+t）＜0，即f（x+t）＞f（x），t＞0；∴f（x）在R上为增函数；A．y=x+，再其定义域上的单调性不一致，∴该选项错误；B．y=tanx，在每一个区间上是增函数，∴该选项错误；C．y=，在每一个区间上是减函数，∴该选项错误；D．y=x3显然是奇函数，且在R上为增函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查奇函数的定义，减函数的定义，以及基本函数的单调性．8．（5分）（2016•烟台二模）已知x，y满足线性约束条件，则目标函数z=的最小值为（ ）A．B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，然后利用z=的几何意义，即可行域内的动点与定点（﹣1，﹣2）连线的斜率的倒数求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，B（0，4），P（﹣1，﹣2），由图可知，过PB的直线的斜率大于0且最大，即，∴目标函数z=的最小值为．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）（2016•烟台二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=90°，且|PF1|是|PF2|和|F1F2|的等差中项，则椭圆的离心率e为（ ）A．B．C．D．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意可得：，化简即可得出．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意可得：，化为：+=4c2，∴7e2+2e﹣5=0，0＜e＜1．解得e=，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016•烟台二模）设函数f（x）的定义域为R，若不等式|f（x）|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f（x）为“T”函数，给出下列四个函数：①f1（x）=，②f2（x）=xsinx，③f3（x）=ln（x2+1），④f4（x）=．其中，“T”函数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】当x=0时，有|f1（x）|=|x|成立，当x≠0时，利用不等式的性质说明|f1（x）|≤|x|成立，由此说明①是“T”函数；直接由|sinx|≤1得到|f2（x）|≤|x|，说明②是“T”函数；分类求导说明|f3（x）|≤|x|，说明③是“T”函数；举例说明④不是“T”函数．【解答】解：对于①，f1（x）=，当x=0时，有||=0≤x，当x≠0时，若||≤|x|，则2|x|≤|x2+1|=|x|2+1，由不等式的性质可得上式显然成立，故f2（x）是“T”函数；对于②，f2（x）=xsinx，∵|sinx|≤1，∴|xsinx|=|x||sinx|≤|x|，故f2（x）为“T”函数；对于③，f3（x）=ln（x2+1），令g（x）=|ln（x2+1）|﹣|x|=ln（x2+1）﹣|x|，当x≥0时，g（x）=ln（x2+1）﹣x，g′（x）=，∴g（x）在[0，+∞）上为减函数，则g（x）≤g（0）=0，即|ln（x2+1）|≤|x|．当x＜0时，g（x）=ln（x2+1）+x，g′（x）=，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，则g（x）≤g（0）=0，即|ln（x2+1）|≤|x|．故f3（x）为“T”函数；对于④，f4（x）=，当x=0时，||=＞0，故f4（x）不是“T”函数．∴“T”函数的个数有3个，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2016•烟台二模）若a=sinxdx，则（x﹣）8的展开式中的常数项为1120（用数字作答）【分析】求定积分可得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【解答】解：∵a=sinxdx=﹣cosx=2，则（x﹣）8=（x﹣）8的展开式的通项公式为：T r+1=•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为•24=1120，故答案为：1120．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．12．（5分）（2016•烟台二模）已知函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（π，0）对称，若将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为．【分析】利用余弦函数的对称性可得φ=kπ﹣，k∈Z，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及余弦函数的奇偶性解得m=﹣，结合m的范围，即可得解最小值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（π，0）对称，∴2×+φ=kπ+，k∈z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=cos（2x+kπ﹣），k∈Z，∵将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位得到函数y=cos[2（x﹣m）+kπ﹣]=cos（2x﹣2m+kπ﹣），k∈Z为偶函数，∴要使函数g（x）为偶函数，即x=0为其对称轴，只需﹣2m+kπ﹣=k1π，（k∈Z，k1∈Z），∴解得：m=﹣，∵m＞0∴m的最小正值为，此时k﹣k1=1，k∈Z，k1∈Z．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．13．（5分）（2016•烟台二模）给定两个单位向量，，它们的夹角为60°．点C在以O为圆弧上运动，若=x+y，其中x，y∈R，则xy的最大值为．【分析】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则B（1，0），A（cos60°，sin60°），即A（）设∠BOC=α，则=（cosα，sinα）∵=x+y=（x+y，x）∴cosα=x+y，sinα=x∴x=sinα，y=cosα﹣sinα，∴xy=（cosα﹣sinα）•sinα=sin2α+cos2α﹣=sin（α+30°）﹣∵0°≤α≤60°，∴30°≤α+30°≤90°∴≤sin（α+30°）≤1，∴xy有最大值，当α=60°时取最大值．故答案为：．【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角函数的性质，确定x，y的关系式是关键．　14．（5分）（2016•烟台二模）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，（0，3）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且•=，则实数k的值为．【分析】联立方程组消元，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据根与系数的关系得出x1x2，y1y2，代入数量积公式列方程解出k．【解答】解：直线l的方程为y=kx+3，联立方程组，消元得：（k2+1）x2﹣4x+3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=．∴y1y2=（kx1+3）（kx2+3）=k2x1x2+3k（x1+x2）+9=++9．∴•=x1x2+y1y2=+++9=，解得，k=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，根与系数的关系，属于中档题．15．（5分）（2016•烟台二模）设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=，则f（）+f（）+…+f（）+f（0）+f（2）+…+f（2015）+f（2016）=1．【分析】由已知中f（tanx）=，根据万能公式，可得f（x）的解析式，进而可得f（x）+f（）=0，进而可得答案．【解答】解：∵f（tanx）==，∴f（x）=，f（）===﹣，∴f（x）+f（）=0∴f（）+f（）+…+f（）+f（0）+f（2）+…+f（2015）+f（2016）=f（0）=1．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据已知求出f（x）的解析式，以及f（x）+f（）=0是解答的关键．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．16．（12分）（2016•烟台二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b≠c，且sin2C﹣sin2B=sinBcosB﹣sinCcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，sinC=，求△ABC的面积．【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可由得到，而由条件便可得出B≠C，且，从而便可得出，这样便可求出A=；（2）可根据正弦定理求出c=，从而可判断出C＜A，这样便可得出cosC=，而由sinB=sin（A+C）即可求出sinB的值，从而由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意得，；整理得，；∴；由b≠c得，B≠C，又B+C∈（0，π）；∴；∴；∴；（2）在△ABC中，；∴由正弦定理得，；∴；由c＜a得，C＜A，∴；∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==；∴=．【点评】考查二倍角的正余弦公式，两角和差的正弦公式，三角形的内角和为π，以及正弦定理，大边对大角定理，三角形的面积公式．17．（12分）（2016•烟台二模）已知函数f（x）=，数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S n+1=f（S n）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=S12+S22+…+S n2，当n≥2时，求证：4T n＜2﹣．【分析】（1）由题意可得：S n+1=f（S n）=，两边取倒数可得：=+2，即﹣=2，利用等差数列的通项公式可得：S n=．再利用递推关系可得：a n．（2）=，n≥2时，≤=．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：由题意可得：S n+1=f（S n）=，两边取倒数可得：=+2，即﹣=2，∴数列是等差数列，首项为2，公差为2．∴=2+2（n﹣1）=2n，解得S n=．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣．∴a n=．（2）证明：=，n≥2时，≤=．∴T n＜++…+=+=，即4T n＜2﹣．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题18．（12分）（2016•烟台二模）如图，菱形ABCD的棱长为2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E为边AD的中点．（1）求证：平面PBE⊥平面BCP；（2）当直线AP与底面ABCD所成的角为30°时，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）连接BD，因为四边形ABCD 为棱长为2的菱形，∠BAD=60°，所以△ABD 为等边三角形，又E 为边AD 的中点，所以BE⊥AD，而AD∥BC，故BE⊥BC；…2分因为CP⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以BE⊥PC，BC∩CP=C，故BE⊥平面BCP，…4分又BC⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面BCP．…5分（2）连接AC，因为CP⊥平面ABCD，所以∠PAC 就是直线AP 与底面ABCD所成的角，故∠PAC=30°，在Rt△ACP中，tan∠PAC=tan30°=，可得CP=2，建立空间直角坐标系C﹣xyz 如图，此时∠BCy=30°，…6分可得C（0，0，0），P（0，0，2），B（1，，0），A（3，，0），=（1，，0），=（0，0，2），=（2，0，0），=（﹣1，﹣，2），…8分，设=（x，y，z）为平面PBC 的一个法向量，则有•=0，•=0，即，可得=（﹣3，，0），同理可得平面PAB的一个法向量=（0，2，3），…10分cos＜，＞===，∵二面角A﹣PB﹣C是钝二面角，所以二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．…12分【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．19．（12分）（2016•烟台二模）甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．（1）求没下满5局甲即获胜的概率；（2）设比赛停止时已下局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【分析】（1）没下满5局甲即获胜有两种情况：①是两局后甲获胜，②是四局后甲获胜，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲获胜的概率．（2）依题意，ξ的所有取值为2，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）没下满5局甲即获胜有两种情况：①是两局后甲获胜，此时p1==，②是四局后甲获胜，此时p2=（）×=，∴甲获胜的概率p=p1+p2==．（2）依题意，ξ的所有取值为2，4，5，设前4局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为：（）2+（）2=，若该轮结束时，比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛结果是否停止没有影响，从而有：P（ξ=2）=，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴ξ的分布列为：ξ245P∴Eξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．20．（13分）（2016•烟台二模）已知点（，）是等轴双曲线C：=1上一点，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合．（1）求抛物线的方程；（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2+（y﹣1）2=1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．【分析】（1）求出双曲线方程，可得焦点坐标，利用抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，求出求抛物线的方程；（2）设P（x0，y0），A（m，0），B（n，0），n＞m．由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知（y0﹣2）n2+2nx0﹣y0=0，同理，（y0﹣2）m2+2mx0﹣y0=0，所以（m﹣n）2=，从而得到S△PBC=（n﹣m）y0，由此能求出△PBC面积的最小值．【解答】解：（1）∵点（，）是等轴双曲线C：=1上一点，∴﹣=1，∴a2=，∴c2=2a2=，∴c=，∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，∴=，∴p=1，∴抛物线的方程为x2=2y；（2）设P（x0，y0），A（m，0），B（n，0），n＞m．直线PB的方程：y﹣0=（x﹣n），化简，得y0x+（n﹣x0）y﹣y0n=0，∵圆心（0，1）到直线PB的距离是1，∴=1，∴y02+（n﹣x0）2=（n﹣x0））2﹣2y0n（n﹣x0））+y02n2，∵y0＞2，上式化简后，得（y0﹣2）n2+2nx0﹣y0=0，同理，（y0﹣2）m2+2mx0﹣y0=0，∴m+n=，mn=，∴（m﹣n）2=，∵P（x0，y0）是抛物线上的一点，∴x02=2y0，∴（m﹣n）2=，n﹣m=，∴S△PBC=（n﹣m）y0=（y0﹣2）++4≥2+4=8．当且仅当y0﹣2=时，取等号．此时y0=4，x0=±2．∴△PBC面积的最小值为8．【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．21．（14分）（2016•烟台二模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣b（x+1）2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2﹣1．（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；（2）若方程f（x）﹣t=0在[﹣1，e﹣1]内有两个不等实数根，求实数t的取值范围（其中e 为自然对数的底数，e=2.71828…）；（3）设g（x）=﹣2x2+x+m﹣1，若对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，从而求出函数的单调区间即可；（2）根据f（x）的单调性，得到f（﹣1）＞f（e﹣1），从而求出t的范围；（3）问题转化为2ln（x+1）+x2﹣3x≤m在x∈（﹣1，2）上恒成立，令h（x）=2ln（x+1）+x2﹣3x，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：x∈（﹣1，+∞），f′（x）=﹣2b（x+1），f′（1）=﹣4b，f（1）=aln2﹣4b，∴，解得，∴f′（x）=，∵x∈（﹣1，+∞），当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；（2）由题意：t=2ln（x+1）﹣（x+1）2，由（1）得：x∈（﹣1，0），f（x）递增，x∈（0，e﹣1），f（x）递减，而f（0）=﹣1，f（﹣1）=﹣2﹣，f（e﹣1）=2﹣e2，∵﹣2﹣﹣（2﹣e2）＞0，∴f（﹣1）＞f（e﹣1），要使方程f（x）﹣t=0在[﹣1，e﹣1]内有两个不等实数根，只需﹣2﹣≤t＜﹣1，∴﹣2﹣≤t＜﹣1；（3）由f（x）≤g（x）可得：2ln（x+1）﹣（x+1）2≤﹣2x2+x+m﹣1，即2ln（x+1）+x2﹣3x≤m在x∈（﹣1，2）上恒成立，令h（x）=2ln（x+1）+x2﹣3x，h′（x）=+2x﹣3=，令h′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣，令h′（x）＜0，解得：﹣＜x＜1，∴h（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，1）递减，在（1，2）递增，而h（﹣）=﹣2ln2，h（2）=2ln3﹣2，h（﹣）﹣h（2）=﹣2ln6＞0，∴h（x）max=h（﹣）=﹣ln2，∴m≥﹣ln2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想以及切线方程，是一道综合题．。