河北省保定市数学高二上学期文数期中考试试卷

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河北省保定市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷B卷

河北省保定市 2019-2020 学年高二上学期数学期中考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2017 高二下·成都开学考) 已知命题 p：∀ x∈R，cosx＞1，则￢p 是（） A . ∃ x∈R，cosx＜1B . ∀ x∈R，cosx＜1C . ∀ x∈R，cosx≤1 D . ∃ x∈R，cosx≤12. （1 分）若 a、b 为实数，则 a＞b＞0 是 a2＞b2 的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分条件也非必要条件3. （1 分） (2018 高二上·台州月考) 直线（）与圆交于两点，则A.B. C. D.4. （1 分）若抛物线 A . -2的焦点与双曲线的右焦点重合,则 p 的值为（）第1页共8页B.2 C.4 D . -4 5. （1 分） (2016 高一上·青浦期中) 三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c B . 如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2 C . 对任意实数 a 和 b，有 a2+b2≥2ab，当且仅当 a=b 时等号成立 D . 如果 a＞b，c＞0 那么 ac＞bc6. （1 分） (2019·深圳模拟) 设为等差数列的前项和．若，公差为（）A . -2B . -1C.1D.27. （1 分） (2018 高二上·巴彦期中) 设椭圆交于两点，则的值是（）A.2的左焦点为，直线B.第2页共8页，则的与椭圆C.4 D.8. （1 分）已知双曲线 A. B. C. D.的离心率为，则的渐近线方程为（）9. （1 分） (2019 高二上·集宁期中) 若数列，则 a5－a4＝（）A.B.－C.D.10. （1 分）已知双曲线：曲线的渐近线的距离为 2，则抛物线的方程为（的离心率为 2.若抛物线）的焦点到双A.B. C. D. 11. （1 分） (2018 高三上·沧州期末) 设为抛物线第3页共8页的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则（）A.B.C.D.12. （1 分） (2018·江西模拟) 已知直线：与轴相交于点，点满足，交于点，则的值（）A . 等于 8B . 等于 4C . 等于 2D . 与有关二、填空题 (共 4 题；共 4 分)与抛物线：相交于，两点，，过点作抛物线的切线，与直线相13. （1 分） (2016 高二上·宝应期中) 已知椭圆 + =1 的一个焦点是（，0），且截直线 x= 所得弦长为，求该椭圆的方程________．14. （1 分） (2016 高三上·杭州期中) 抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p=________，准线方程为________．15. （1 分） (2016 高一下·赣州期中) 数列{an}的通项公式 an=ncos S2016=________．+1，前 n 项和为 Sn ，则16.（1 分）(2018 高二上·佛山期末) 是双曲线右支上一点，和上的点，则的最大值为________．分别是圆第4页共8页三、解答题 (共 6 题；共 9 分)17. （2 分） (2018·河北模拟) 已知函数（1）求的最小值；的最小值为（，，为正数）.（2）求证：.18. （1 分）设函数 y=lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为 A，函数 y= ， x∈（0，m）的值域为 B．（1）当 m=2 时，求 A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． 19. （2 分） (2016 高一下·汕头期末) 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，且 a1=﹣15，S5=﹣55．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若不等式 Sn＞t 对于任意的 n∈N*恒成立，求实数 t 的取值范围． 20. （ 2 分） (2018 高二下 · 巨鹿期末 ) 在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线的参数方程为，直线与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长。

河北省保定市数学高二上学期文数期中考试试卷

河北省保定市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）如图，将边长为 5+ 的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是（）.A.B.C.D. 2. （2 分）已知过点 A（-2，m）和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（）A.2B.0C . -8D . 103. （2 分）已知圆为（），直线，圆 C 上任意一点 A 到直线的距离小于 2 的概率A.第 1 页共 13 页B.C.D.4. （2 分）在空间中，有下列命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。

其中正确的命题个数有（）A.1B.2C.3D.45. （2 分） (2020·山东模拟) 已知曲线，切点分别为，则直线截圆，动点在直线所得弦长为（上，过点）作曲线的两条切线A. B.2 C.4D.6. （2 分） (2018 高一上·兰州月考) 已知异面直线 a ， b 分别在平面 α ， β 内，且 α∩β＝c ，那么直线 c 一定（）A . 与 a ， b 都相交B . 只能与 a ， b 中的一条相交C . 至少与 a ， b 中的一条相交D . 与 a ， b 都平行第 2 页共 13 页7. （2 分） (2017·聊城模拟) 已知两点 A（﹣m，0）和 B（2+m，0）（m＞0），若在直线 l：x+ 存在点 P，使得 PA⊥PB，则实数 m 的取值范围是（）y﹣9=0 上A . （0，3）B . （0，4）C . [3，+∞）D . [4，+∞）8. （2 分） (2019 高二下·电白期末) 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A.B.C.D.9. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨月考) 已知点斜率为，则的取值范围是（）在曲线A.B.C.第 3 页共 13 页上移动，设曲线在点处的切线D. 10. （2 分）圆 C1：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0 与圆 C2: A . 0条 B . 1条 C . 2条 D . 3条公切线的条数是（）11. （2 分） (2012·重庆理) 设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，的棱异面，则 a 的取值范围是（）和 a，且长为 a 的棱与长为A . （0，）B . （0，）C . （1，）D . （1，）12. （2 分）已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为（）A.B.C.D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·哈尔滨月考) 若直线经过直线和的交点,且平行于直线第 4 页共 13 页，则直线方程为________.14. （1 分）已知 A（2，5），B（4，﹣1）若在 y 轴上存在一点 P，使|PA|+|PB|最小，则 P 点的坐标为________．15. （1 分） (2017 高三上·济宁期末) 已知直线 l1：kx﹣y+4=0 与直线 l2：x+ky﹣3=0（k≠0）分别过定点 A、B，又 l1、l2 相交于点 M，则|MA|•|MB|的最大值为________．16.（1 分）(2019 高一上·中山月考) 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分）在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，（1）求 AC 与 A1D 所成角的大小；（2）若 E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小．18. （10 分） (2017 高二上·海淀期中) 已知直线、两点，且满足．（1）求圆的方程．与圆相交于（2）若，点，连，求四边形，为轴上两点，点在圆上，过作与的面积的取值范围．垂直的直线与圆交于另一第 5 页共 13 页19. （10 分） (2019 高二上·大庆月考) 已知焦点在轴上的椭圆经过点，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上的任意点，求点到直线：距离的最大值.20. （10 分） (2019 高二上·佛山期中) 如图，在长方形中，，，现将沿折起，使折到的位置且在面的射影恰好在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.21. （10 分） (2019 高一下·梅河口月考) 如图所示，四棱锥是四棱锥的高),, 为的中点.中，为线段( 上一点，（1）证明：（2）求三棱锥平面；的体积.22. （10 分） (2018 高二上·重庆期中) 已知圆 C 经过，上，过点，且斜率为 k 的直线 l 交圆 C 于 M、N 两点．第 6 页共 13 页，圆心 C 在直线（1）求圆 C 的方程；（2）若 O 为坐标原点，且，求直线 l 的方程．第 7 页共 13 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 13 页16-1、三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、 18-1、 18-2、19-1、第 9 页共 13 页19-2、第 10 页共 13 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

河北省保定市博野中学高二数学第一学期期中测试试题

高二年级第一学期期中测试数学试题第一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若③b a bc ac >>则若,22；④b a b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４2.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 3.下列函数中，最小值为22的是（）A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．xx e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=4.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是（）A ．a <-2B ．32-<a <0 C ．-2<a <0D ．-2<a <32 5.．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是（）A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P>QD ． P<Q6.．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤--0101x y x y x 下，则目标函数y x z +=10的最优解是（）A ．（0，1），（1，0）B ．（0，1），（0，-1）C ．（0，-1），（0，0）D ．（0，-1），（1，0）7.．不等式| x －1| > |x －2|的解集是（）A ．}23|{<x x B ．}223|{<<x xC ．}23|{>x xD ． }2|{>x x8.直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+b y x 恒有公共点，则b 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，5）C ． [1,5)U(5,+ ∞ )D ．1, + ∞9.满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（）A ．5B ．8C ．12D ．1310.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）A ．| x |-| y |=1B ．x -y =1C ．( | x |-| y | )2=1D ．| x -y |=111.若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（）A ． 22B ．2C ．21D ．212.(理) 已知一个圆的方程为 ⎩⎨⎧==θθcos 2sin 2y x (θ为参数)，则该圆和直线x -y +2=0的交点的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个 (文)若斜率为-2的直线l 经过点（0，8），则l 与两坐标轴围成的三角形面积为（）A ．8B ．16C ．32D ．64第二卷(满分90分)二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共20分） 13．已知-1<a+b<3且2<a-b<4则2a+3b 的取值范围为：14．一个椭圆的离心率为e=0.5，准线方程为x =4，对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程为．15．椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是．16.(理) 到点A （-1，0）和点B （1，0）的斜率之积为一1的动点P 的轨迹方程是．(文) 曲线y=|x| 与圆x2+y2=4 所围成的最小区域的面积是三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知x>0，y>0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值．（10分）18．(理)（12分）}13|{-≥-=xxxA}0,|1||{>>-=aaxxB若φ=⋂BA，求a的取值范围．(文)函数)34lg(2++-=mmxmxy的定义域为R，求实数m的取值范围．（12分）19.（12分）已知两点A(－1,－5)，B(3,－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率20.(12分）已知圆C和y轴相切，圆心C在直线3=-yx上,且被直线y=x截得的弦长为72，求圆C的方程21．(理)(12分)若直线y =x +t 与椭圆1422=+y x 相交于P 、Q 两点，当t 变化时，求|PQ|的最大值(文) 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程．（12分）22.（12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41。

河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学含答案

高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A.22i+ B.22i-- C.2i- D.2i2.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（）A.2B.3C.4D.53.若{},,a b c是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2a b a b +B.,,a a b a c++C.,,a a c c-D.,,2b c a c a b c++++4.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =- ，则点M 到平面α的距离d =（）A.1B.2C.3D.25.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan B b ==，则2()a c ac+=（）A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35 D.9208.已知圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n α⊂或n ∥αD.若m ∥,,m n α相交，则n ∥α10.已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（）A.()12P B C ⋂= B.()18P B =C.()724P B C ⋃=D.()16P C =11.已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m 的正方体B.底面半径和高均为1.9m 的圆锥C.棱长均为2m 的四面体D.半径为0.75m 的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为__________.14.在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC 的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.（1）证明：1cos C b=.（2）若2,a ABC = 的面积为1，求c .17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .（1）证明：BC ⊥平面PBE .（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.（1）若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD ∥l .（2）若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值.19.（17分）给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P ，如果对于D 上任意的点P ，21ni i PP =∑为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P 为关于图形D 的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P 为图形D ，判断点123,,P P P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；（2）若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++- 的取值范围；（3）若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑的值.高二数学考试参考答案1.C 因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.2.D 因为()()2,1,2,1,BA BC m BA BC =-=-⊥ ，所以()410BA BC m ⋅=-+-=，解得5m =.3.B 因为()22a a b b =+- ，所以,,2a b a b + 共面；{},,a b c 是空间的一个基底，假设,,a a b a c ++ 共面，则存在不全为零的实数,s t ，使得()()a s a b t a c =+++ ，即()a s t a sb tc =+++，则1,0s t s t +===，无解，故,,a a b a c ++不共面；因为()a a c c =-+ ，所以,,a a c c - 共面；因为()()2a b c b c a c ++=+++ ，所以,,2b c a c a b c ++++ 共面.4.A 14213MN n d n ⋅--+===.5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6⨯=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan B =，所以2π3B =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++=，即2()4a c ac +=，故2()4a c ac+=.7.B 设{i A =第i 次拨号拨对号码},1,2i =.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112A A A +，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545P A A A P A P A A +=+=+⨯=.8.C 如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，分别记为M ，,,,,N E F P G ，连接111,,,,,,,B D BD EF FP PG GM MN NE .根据正方体的性质易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 为该正六边形的中心，且1A C ⊥平面MNEFPG ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为r，因为11B D ==，所以1112FP B D ==，所以22r FP ==，圆锥的底面积23ππ2S r ==，圆锥的高1122AO ==，所以圆锥的体积1113π3322V S A O =⋅=⨯=.9.BC 对于A ，若m ∥,n α∥α，则直线,m n 可能相交或平行或异面，故A 错误.对于B ，若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥，故B 正确.对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 正确.对于D ，若m ∥,,m n α相交，则n ∥α或n 与α相交，故D 错误.10.BCD因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()0P B C P A B P A C ⋂=⋂=⋂=，故A 错误.由()()()()1348P A B P A P B P B ⋃=+=+=，得()18P B =，故B 正确.由()()()()15412P A C P A P C P C ⋃=+=+=，得()16P C =，故D 正确.因为()()()1178624P B C P B P C ⋃=+=+=，所以C 正确.11.AC 设扇形所在圆的半径为R ，对于A ，设正方体的棱长为a ，如图1，则可容纳的最长对角线max 2OA R ===，解得max 1.15 1.1a =≈>，故A 正确.对于C ，如图2，取三段14圆弧的中点,,B C D ，则四面体OBCD 的棱长均为2m ，所以可以容纳，故C 正确.对于B ，如图2，同选项C 的分析，BCD 的外接圆半径为1.93<，所以不可以容纳，故B 错误.对于D ，如图3，4，设球的半径为r ，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆O '与圆O 内切，2O M OO r r r =+=++''10.7320.75r=-≈<，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133AB A B==，所以方亭1111ABCD A B C D-的体积()()221111331333V h S S h=⋅+=⋅+⨯+=下上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4D OD BC==-，则1cos,5BC ODBC ODBC OD⋅==-，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC∠θ=，因为BAD CAD∠∠=，所以BAD CAD∠∠θ==.由ABC ABD ADCS S S=+，得111sin2sin sin222AB AC AD AB AD ACθθθ⋅=⋅+⋅，即()sin2sinAB AC AD AB AD ACθθ⋅=⋅+⋅，又AB AC AD AB AC AD⋅=⋅+⋅，所以sin2sinθθ=，即2sin cos sinθθθ=，又02πθ<<，所以π2θ<<，所以sin0θ>，则1cos2θ=，所以π3θ=，所以2π23BAC∠θ==，则ABC外接圆的半径232sin3BCRBAC∠===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b+++⨯+⨯=，解得0.03b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++⨯=<前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+⨯=>，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5x+-⨯=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+⨯+⨯+⨯++⨯=分钟. 16.（1）证明：因为()sin cos 1cos sin C B a C B =-，所以sin cos cos sin cos sin C B C B a C B +=，即()cos sin sin a C B C B =+.根据πB C A +=-，得()sin sin C B A +=，所以cos sin sin a C B A =，由正弦定理得cos ab C a =，所以cos 1b C =，从而1cos C b=.（2）解：由（1）可得1sin C b==.因为ABC 的面积为1，所以1sin 12ab C b b=⋅=，解得22b C ==.又2a =，所以由余弦定理得c ==.17.（1）证明：连接,DE BD ，因为PA PB PD PE ===⊥平面ABCD ，所以EA EB ED ==.又四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，所以ABD 是正三角形，所以30EBD ∠= .由AB BD BC CD ===，得BCD 是正三角形，60DBC ∠= .所以90EBC EBD DBC ∠∠∠=+= ，即BC BE ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，可得BC PE ⊥.因为PE BE E ⋂=，所以BC ⊥平面PBE .（2）解：以E 为坐标原点，,EB EP的方向分别为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AB =，所以2,3BE AE PE ====则())()(()(()0,2,0,1,0,2,0,0,0,,,0,2,,B AC P BC BP AC --=-=-=-.设(),,m x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得()m =.设直线AC 与平面PBC 所成的角为θ，则sin 6m AC m AC θ⋅=== ，即直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为6.18.（1）证明：连接EG ，因为,,90AE AG AB AD ABE ADG ∠∠==== ，所以ABE ADG ≅ ，则BE DG =.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知BE ∥DG ，所以四边形BDGE 是平行四边形，从而BD ∥GE .又BD ⊄平面AEFG ，所以BD ∥平面AEFG .又BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEFG l =，所以BD ∥l .（2）解：易证四边形AEFG 为平行四边形.以A 为坐标原点，AB ，1,AD AA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.()()1,0,tan ,0,1,tan E G αβ，则()()1,0,tan ,0,1,tan AE AG αβ==，cos AE AG EAG AE AG ∠⋅==，sin S AE AG EAG ∠==S =因为π4αβ+=，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-.由()tan tan 1tan tan tan ,tan 0,1αβαβαβ+=-∈ ，可得0tan tan 3αβ<- .S =，易知()2f x x =-42x +在(0,3-上单调递减，所以当tan tan 3αβ=-min S =，当且仅当tan tan 1αβ==-时，S .19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.理由如下：当P 与()10,0P 重合时，有2221238PP PP PP ++= ，当P 与()22,0P 重合时，有222123128PP PP PP ++=≠ ，故()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.（2）因为12233411414PP P P P P PP PP PP PP ++-=-= ，所以12233414PP P P P P PP PP ++-=，当P 与2P 重合时，4PP取得最大值，当P 与4P 重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PP P P P P PP ++-的取值范围为0,⎡⎣.（3）设单位圆E 的圆心为O ，所以()2024202420242222221220241112024||2.i l i i i PP OP OPOP OP OP OP OP OP ====-=++++-⋅∑∑∑因为多边形122024PP P 是正2024边形，所以20242024110,0.i l i i OP OP OP ===⋅=∑∑又1i OP OP == ，所以2024214048i i PP ==∑ ，故122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，且.2024214048l i P ==∑.。

河北省保定市定州中学高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题1．用秦九昭算法计算多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，x=﹣4时，V3的值为（）A．﹣742 B．﹣49 C．18 D．1882．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是（）A．50 B．47 C．48 D．523．在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．4．以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．6．在区间（0，4）上任取一数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是（）A．B．C．D．7．为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（）A．15，10，15 B．16，10，14 C．15，11，14 D．16，9，158．已知数列{a n}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k=5时，输出的，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n B．a n=2n﹣1 C．a n=2n+1 D．a n=2n﹣39．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x值的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在50，60）元的学生有30人，则n的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．90011．执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x=（）A．0 B．2 C．4 D．0或412．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示，设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．x甲＜x乙，m甲＞m乙 B．x甲＜x乙，m甲＜m乙C．x甲＞x乙，m甲＞m乙 D．x甲＞x乙，m甲＜m乙二、填空题13．某校对全校900名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本．已知女生抽了25人，则该校的男生数应是人．14．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．15．阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是．16．如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．月份x1234用水量y 4.543 2.5三、解答题（共4小题，满分48分）17．（12分）某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为50，60），…，），（1）求成绩在40，50）和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组100，110），…，后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为120，130）内的概率．19．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照60，70），80，90），的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在90，100160，180），200，220），240，260），280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，240，260），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在﹣π，π20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在40，50），90，10070，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在90，10040，50）与的人数分别是3和3，所以从成绩是90，10040，5090，10040，50）与的人数分别是3和3，所以从成绩是90，10040，5090，10090，100），140，150120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120，130）内的频率；（2）由频率分布直方图计算出平均分；（3）计算出120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题．19．（12分）（2014•德州一模）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照60，70），80，90），的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在90，10080，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在160，180），200，220），240，260），280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，240，260），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．。

河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学含解析

六校联盟高二年级期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+= D.50x y +-=3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -= B.双曲线E 的离心率为62C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为146.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.定义：设{}123,,a a a是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.68.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.511.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是912.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A .OM PD⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB 所成角的余弦值为10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.15.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.（1）求点M 的轨迹方程；（2倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”2222222(2)x y x y x y +--+-+.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P 截得的弦长为22.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足2OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.【详解】已知直线a 的方向向量是()1,0,1m = ，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，设直线a 与平面α所成角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以·sin cos ,0m n m n m nθ====，所以0θ︒=，故直线a 与平面α所成角为0︒.故选：A .2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+=D.50x y +-=【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程【详解】因为圆22:260C x y x y +--=，即()()221310x y -+-=，所以圆心为()1,3，又直线124x y +=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为12，∴所求直线的方程为()1312y x -=-，即250x y -+=.故选：C3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线sin30cos3050x y +︒-︒=的斜率sin 30cos303k ︒=-=-︒，所以该直线的倾斜角为150︒.故选：D.4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -=B.双曲线E 的离心率为2C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±【答案】A 【解析】【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【详解】由直线210y x =-过点F ，得()5,0F ，5c =，所以2225a b +=，又直线210y x =-与双曲线只有一个公共点，当直线210y x =-与双曲线渐近线平行时，2ba=，可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，双曲线方程为221520x y -=，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线22221210x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222224401000b a x a x a b a -++-=，()()()222222240441000a b a a b a ∆=---=，即2241000a b -++=，又2225a b +=，则25750a +=，无解，所以双曲线方程为221520x y -=，A 选项正确；离心率c e a ===B 选项错误；顶点坐标为()，D 选项错误；实轴长为2a =C 选项错误；故选：A.5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为25C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为14【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A 正确；根据蒙日圆方程定义可知C 正确；结合长方形G 的对角线长和基本不等式可求得BD 错误.【详解】对于A ，由椭圆M 方程知：2a =，3b =221c a b =-=，∴椭圆M 的离心率12c e a ==，A 正确；对于BC ，由A 知：椭圆M 对应的蒙日圆方程为：227xy +=，正方形G 是圆227x y +=的内接正方形，∴正方形G 对角线长为圆的直径27，∴正方形G ()227142=，B 错误，C 正确；对于D ，设长方形G 的长和宽分别为,m n ，长方形G 的对角线长为圆的直径27，2228m n ∴+=，∴长方形G 的面积22142m n S mn +=≤=（当且仅当14m n ==，即长方形G 的面积的最大值为14，D 正确.故选：B.6.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】寻找12MF F △的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据12MF F △面积的取值范围可以得到12MF F △的内切圆半径的取值范围.【详解】设12MF F △的内切圆半径为r ，椭圆方程为22221x y a b+=，则5a =，4b =，2229c a b =-=，即3c =，又()()1212121122822=++=+=△MF F S PF PF F F r a c r r ，所以1218=△MF F r S ，由于1212110641222<≤⋅=⨯⨯=△MF F S b F F ，所以302<≤r .故选：D7.定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++ ，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.6【答案】A 【解析】【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得向量p 在基底(){}2,,2a b b b c --下的坐标为：()1,2,1-，则()22222p a b b b c a b c =--+-=--，所以向量p 在{},,a b c下的坐标为：()2,2,1--，3=，故A 项正确.故选：A.①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④【答案】C 【解析】【分析】0a =时，两直线重合，①错误，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑12x x =和12x x ≠两种情况得到③正确，1λ=时不成立，④错误，得到答案.【详解】对①：当0a =时，直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=重合，错误；对②：若成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线斜率存在设为k ，则221119y x -=，222219y x -=，相减得到()()()()1212121209y y y y x x x x +-+--=，即2209k-=，解得9k =，直线AB ：98y x =-，229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得到272144730x x -+=，无解，错误；对③：当12x x =时，直线方程为1x x =；当12x x ≠时，直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，两种情况可以合并为：()()()()121121y y x x x x y y --=--，正确；对④：当1λ=时，()()1,2,1,1,2,1a b =-=--，a b =- ，夹角为π，错误；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n 为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔【答案】BCD 【解析】【分析】由()()2a b b c a c a +=++-+可判断选项A ；利用空间位置关系的向量证明判断B ，C ，D.【详解】选项A.设()()2a b x b c a y c a +=++++,即()()()1210x y a x b x y c --+--+= 由{},,a b c 为空间的一个基底，即,,a b c不共面，则101200x x y x y -=⎧⎪--=⎨⎪+=⎩，解得1,1x y ==-即()()2a b b c a c a +=++-+ ，所以,2,a b b c a c a ++++共面，即不能构成空间的另一个基底，故选项A 正确.选项B.若非零向量a与平面α平行，则所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，选项B 不正确；选项C.显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，选项C 不正确；选项D.由1v n ⊥，得直线l 与平面α平行，也可能直线l 在平面α内，选项D 不正确；故选：BCD10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.5【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离0，从而可判断求解.【详解】由题意得：圆心()2,0C ，半径：1r =，直线30kx y +-=过定点：()0,3P ，当圆心与定点P 的连线垂直直线时，M到直线有最大的距离且为：11CP r +=+=，当直线与圆相交时有最小距离0，故M到直线的距离范围为：01d ≤≤+故选项ABC 符合题意，D 项不符合题意.故选：ABC.11.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是9【答案】BC 【解析】【分析】根据2ABF △的周长为4a 即可判断A ；设()[],,5,5P x y x ∈-，根据120PF PF ⋅=求出P 点的坐标即可判断B ；根据椭圆的定义结合余弦定理求出12PF PF 即可判断C ；求出OP 的最大值，再根据max max 1PQ OP =+即可判断D.【详解】设椭圆C 的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则22225,9,16a b c ===，所以5,3,4a b c ===，对于A ，过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为420a =，故A 错误；对于B ，可取()()120,4,0,4F F -，设()[],,5,5P x y y ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则()()12,4,,4PF x y PF x y =---=--，所以222221291616916702525PF PF x y y y y ⋅=+-=-+-=-= ，解得[]575,54y =±∈-，所以椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，故B 正确；对于C ，由题意可得1212210,28PF PF a F F c +====，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，即()21212126431003PF PF PF PF PF PF =+-=-，所以1212PF PF =，所以12PF F △的面积为121sin 602PF PF ︒=C 正确；对于D ，设()[],,5,5P x y x ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则OP ==因为[]5,5y ∈-，所以[]20,25y ∈，所以[]3,5OP =，所以max max 16PQ OP =+=，故D 错误.故选：BC.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A.OM PD ⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB ，由线面平行的判定定理即可判断C ，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【详解】连接OC ，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，又PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，AD CO ⊥，又PO CO O = ，,PO CO ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又OM ⊂平面POC ，所以AD OM ⊥，又//AD BC ，所以OM BC ⊥，故B 正确；当点M 为线段PC 的中点时，取BP 的中点N ，连接,MN AN ，则//MN BC ，且12MN BC =，又O 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以//MN AO ，且MN AO =，所以四边形AOMN 为平行四边形，所以//OM AN ，又OM ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ，所以//OM 平面PAB ，故C 正确；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为正三角形，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，又OD OC ⊥，OD OP O ⋂=，,OD OP ⊂平面OPD ，所以OC ⊥平面OPD ，又PD ⊂平面OPD ，所以OC PD ⊥，显然PD 与平面OPC 不垂直，故当点M 运动到点C 位置时，才有OM PD ⊥，故A错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,2,,0,,0,0,O A B C P ，又13PM PC =，所以0,,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,,33AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，(AP =- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则0n AB x n AP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =，则1,1y z =-=，所以)1,1n =-，设直线AM 与平面PAB 的夹角为θ，则sin cos ,10n AM n AM n AMθ⋅=<>==⋅，则310cos 10θ==，所以直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】先求出AM 在AN上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可【详解】AM 在AN 上的投影向量的模长32AN AM d AN⋅==.则点M 到直线AN的距离为112==故答案为：11214.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到3c b =，即可求出离心率.【详解】圆22680x y x +-+=即()2231x y -+=，圆心为()3,0，半径1r =，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，依题意1d ==，即3c b =，又222c a b =+，所以a =，所以离心率324c e a ===.故答案为：415.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得CF =，再在CDF 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD，且AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 2142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+--= ⎪⎝⎭，即CF =又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .【答案】4-【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线EF 的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到4MB MC AC +≥-，由此得解.【详解】如图，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，由题意得46MA MB -=<，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故24,2,26,3,a a c c b =====所以曲线EF 的轨迹方程为221(0)45x y x -=>，因为AC =所以244MB MC MC MA a AC +=+-≥-=，当且仅当,,A M C 共线时，等号成立，所以从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为()4km .故答案为：634-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 2倍.（1）求点M 的轨迹方程；（22倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.【答案】（1）22(6)32x y -+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；（2）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.【小问1详解】设点M 的坐标为(),x y ，由2MA =，2222(2)2(2)x y x y ++=-+221240x x y -++=，即22(6)32x y -+=.【小问2详解】设点M 的坐标为(),x y ，由MA k MB =，得2222(2)(2)x y x y ++=-+化简得()()()()2222221411410kxk x k y k -+++-+-=，当1k =时，方程为0x =，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当0k >且1k ≠时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥++=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以()2221,01k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241kk -的圆.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.【答案】2105.【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线AB 的方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由题意得23c a a ==，解得2,a c b ====，所以椭圆方程为22162y x +=，因为221121623+=<，所以()1,1P 在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB += ，所以点P 为线段AB 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以()()()()2121212130y y y y x x x x +-++-=，所以()()2121260y y x x -+-=，即()()212130y y x x -+-=，所以21213y y x x -=--，所以直线AB 为()131y x -=--，即340x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离5d ==.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证；（2）利用向量法求点面距离；（3）利用向量法求两个平面的夹角.【小问1详解】以点1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C ，()10,0,1,0,1,2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()111,1,0,0,0,1,1,1,2DB A A AE ⎛⎫===-- ⎪⎝⎭ ，所以10,0DB A A DB AE ⋅=⋅= ，所以1,BD AA BD AE ⊥⊥，又1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面1A AE ，因此BD ⊥平面1A AE .【小问2详解】平面1AB E 的法向量为()123,,m x x x =，()1110,1,1,1,0,2B A B E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则1231130,10,2m B A x x m B E x x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取11x =，可得()1,2,2m =，又()10,0,1B B = ，则点B 到平面1AB E 的距离为123B B m d m ⋅== .【小问3详解】设平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角为θ，因为平面1111D C B A 的一个法向量为()0,0,1n = ，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，故3sin θ=，所以平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值为3.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”.【答案】（1）10x y +-=（2）a ⎡∈⎣（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.【小问1详解】因为AC BC =，所以ABC 是等腰三角形，由三线合一得：ABC 的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设ABC 的欧拉线为l ，则l 过AB 的中点，且与直线AB 垂直，由()()1,01,2A B -､可得：AB 的中点1102,22D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()200,1,111AB D k -==--，所以1l k =-，故l 的方程为10x y +-=.【小问2详解】因为l 与圆222:(5)M x y r ++=相切，故r ==圆22()2x y a +-=的圆心坐标为()0,a，半径1r =，则要想圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤a ⎡∈⎣.【小问3详解】，所以该式子是表示点(),x y 到点()1,1、点()2,0的距离之和，又10x y +-=，所以上述式子表示直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值.设点()1,1E 关于直线10x y +-=的对称点为(),G s t ，则有11,11110,22t s s t -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得00s t =⎧⎨=⎩，即()0,0G .所以2FG =，所以直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值为2FG =.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P截得的弦长为.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.【答案】（1）224x y +=（2）（3）4【解析】【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为(),P a a -，结合圆与直线2x =相切得到半径，再利用弦长公式求解即可；（2）由（1）可知点P 即为原点，根据条件得到原点O 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式求解即可；（3）根据当1PQ l ⊥时，PQ 最小，此时四边形PMQN 的面积最小进行求解.【详解】（1）设圆P 的圆心为(),P a a -，半径为r ，因为圆P 与直线2x =相切，所以2r a =-.又直线20x y --=被圆P 截得的弦长为，=0,2,a r =⎧⎨=⎩即圆心坐标为()0,0,2r =，所以圆P 的方程为224x y +=.（2）依题意，P 即为坐标原点,2O OC OD ==，且30OCD ∠= ，则点()0,0O 到CD 的距离为1，于1=，解得k =，所以直线l 的斜率为（3）由切线长定理可得QM QN =，又因为PM PN =，所以PMQ PNQ ≅ ，所以四边形PMQN 的面积22PMQ S S PM MQ MQ ==⋅= ，因为||MQ =1QP l ⊥时，QP 取最小值，且min ||QP ==，所以四边形PMQN 的面积的最小值为4S ==.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）设()(),,,A A B x y A x y，根据OA = ，把B 点的坐标用A 点的坐标表示，再代入曲线22:186x y C +=即可得解；（2）设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再结合120k k +=可求出m ，即可得直线l 的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设()(),,,A A B x y A x y ，因为点A 在曲线22:186x y C +=上，所以22186A A x y +=，因为OA =，所以A A x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186A A x y +=可得22(2)(2)186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）知，Γ的右焦点为()1,0F ，令1x =，则21143y +=，解得32y =±，所以31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据题意设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，则121212112233232322,22y y y y k k my my my my ----====，于是由120k k +=得12122323022y y my my --+=，化简得()()121243*y y y y =+，由221,34120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消去x 整理，得()2234690m y my ++-=，()()222Δ(6)363414410m m m =++=+>，由根与系数的关系得12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，代入()*式得：2218363434m m m -=-++，解得2m =，所以直线l 的方程为210x y --=，方法一：()2121239Δ14421720,,416y y y y =+=+=-=-，所以154PQ ===，点M 到直线l的距离355d ==，所以1115359522458MPQ S PQ d ==⨯⨯= .方法二：由题意可知1324MPQ MPF MQF P Q P Q S S S MF x x x x =+=-=- ，210x y --=代入2234120x y +-=消去y ，得242110x x --=，所以()2111Δ(2)44111800,,024P Q P Q x x x x =--⨯⨯-=>+==-<，所以33448MPQ P Q S x x =-=== .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；,x y所满足（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.。

河北省保定市高二上学期阶段性考试数学文试卷含答案

文数试题（考试时间：120分钟分值：150分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )A.12B.22 C.2 D ．2 2.若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则2z 的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2 3.命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是（）A ．2x ∀>，230x -≤B ．2x ∀≤，230x ->C ．02x ∃>，230x -≤D ．02x ∃≤，230x -≤ 4．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )5.已知命题00:0,10p x x a ∃>+-=若p 为假命题，则a 的取值范围为（） A. (－∞,1) B. (－∞,1] C. (1,+∞) D. [1,+∞) 6．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( ) A ．H 0：男性喜欢参加体育活动 B ．H 0：女性不喜欢参加体育活动 C ．H 0：喜欢参加体育活动与性别有关 D ．H 0：喜欢参加体育活动与性别无关 7.将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（）A ．y=x ﹣2B ．y=x ﹣2（0≤y ≤1）C ．y=x+2（﹣2≤x ≤﹣1）D ．y=x+28.已知命题p ：不等式1x x m +->的解集为R ，命题q ：()()52xf x m =--是减函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A-BCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =( ) A.14 B.18 C. 116D.12710．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为( ) A ．1B . 2C .22D . 3 11.设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A 2⎛ ⎝B ．(2，＋∞)C.2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.2⎛ ⎝∪(2，＋∞) 12.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94二、填空题（每空5分，共20分）。

河北省保定市2019-2020学年数学高二上学期文数期中考试试卷A卷

河北省保定市2019-2020学年数学高二上学期文数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·大港期中) 已知数列则是它的（）A . 第项B . 第项C . 第项D . 第项2. （2分）若，则下列不等式中一定不成立的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·通辽期末) 在中，已知，则（）A . 5B . 10C .D .4. （2分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A . [1,5]B . [2,6]C . [3,11]D . [3,10]5. （2分） (2018高三上·泉港期中) 在等差数列中，若，则的值是A . 24B . 48C . 96D . 1066. （2分） (2016高二上·杭州期中) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·蚌埠期末) 等差数列满足，，则其前5项和（）A . 9B . 15C . 25D . 508. （2分）已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 不能确定9. （2分） (2016高二上·上杭期中) 已知等差数列{an}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 6410. （2分） (2017高一下·衡水期末) 函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则 + 的最小值为（）A . 3+2B . 3+2C . 7D . 1111. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 c2﹣ab=a2+b2 ，则角C为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°12. （2分）在中，“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）将这三个数从小到大排列为________14. （1分） (2018高二下·无锡月考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ， b ， c ，设S是△ABC 的面积，若﹣，则角A的值为________．15. （1分） (2016高二上·汉中期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn= an+ ，则{an}的通项公式________．16. （1分）(2018·河北模拟) 若向量 , 是椭圆上的动点，则的最小值为________．三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 已知关于的不等式 .（1）若该不等式的解集为，求，的值；（2）若，求此不等式的解集.18. （10分） (2018高三上·沧州期末) 已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为 .若，，求面积的最大值.19. （10分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求{ }的前n项和．（Ⅲ）求{anbn}的前n项和．20. （10分）(2020·河南模拟) 已知的面积为，且内角依次成等差数列.（1）若，求边的长；（2）设为边的中点，求线段长的最小值.21. （2分） (2017高一下·资阳期末) 已知等比数列{an}中，2a4﹣3a3+a2=0，且，公比q≠1．（1）求an；（2）设{an}的前n项和为Tn，求证．22. （10分）(2017·抚顺模拟) 已知数列{an}的前n项和，且a1 ， a4是等比数列{bn}的前两项，记bn与bn+1之间包含的数列{an}的项数为cn ，如b1与b2之间包含{an}中的项为a2 ， a3 ，则c1=2．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{ancn}的前n项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

保定市年高二数学文考试卷及答案

保定市年高二数学文考试卷及答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#高二12月月考数学文试题考试时间：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．1.某校有40个班，每班有50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是( ).A ．40B ．50C ．120D ．1502.命题“∀x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>3.执行下列程序后，输出的i 的值是( ) A ．54.曲线222211(9)259259x y x y k k k+=+=<--与曲线的( ). A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等5.函数y ＝f (x )的图象在点x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( ).2 C6.在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，[a ，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b|等于（）A . hmB ．h mC ．m hD ．与m ，n 无关7.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）8. 函数3232y x x =-+在区间[]1,1-的最大值为（）i=1 WHILE i<=10i=i+5 WENDPRINT i ENDA ．-2 9.焦点为(06)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是( ) A.2211224y x -= B.2212412y x -= C.2212412x y -= D.2211224x y -= 10. 若椭圆的短轴为AB ,它的一个焦点为1F ,则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.32C.22D.1211. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-12. 对于上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（）A .(0)(2)2(1)f f f +< B.(0)(2)2(1)f f f +≤C .(0)(2)2(1)f f f +≥ D.(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13.某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．14.已知抛物线的准线方程是14x =-，则它的标准方程是__________.15.函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．16.已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为 .三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤． 17.（本小题满分10分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16，(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程.(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．18.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数。

河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题

一．选择题（每小题5分，共60分）1.命题:“∀x ∈R,022<+-x x ”的否定是( ) A.∀x ∈R,022≥+-x xB.∃x ∈R, 022≥+-x xC.∃x ∈R,022<+-x xD.∀x ∈R,022≥+-x x 2. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）Ａ．23与26B ．24与30C ．31与26D ．26与303.命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（） A.0 B.2 C.3 D.4 4 ．如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（）A ．16B ．2524 C ．34D ．11125. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,80,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．606.已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C . 充要条件D .既不充分也不必要条件7. 广告费用x （万元）4 2 35 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63． 6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元1 2 42 03 5 6 3 0 1 14 1 28．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个是事件的概率（） A ．颜色全同 B ．颜色全不同 C ．颜色不全同 D ．无红球9. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1,2,…840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．1410. 在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨11若,a b 为实数，则“01ab <<”是11a b ba＜或＞的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的左、右焦点分别为21,F F ，以2F 为圆心，2OF （O为椭圆中心）为半径作圆2F ，若它与椭圆的一个交点为M ，且1MF 恰好为圆2F 的一条切线，则椭圆的离心率为（）A ．13-B ．32-C ．22 D ．23 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．用辗转相除法求两个数 102,238 的最大公约数是_________14．数据5，7，7，8，10，11的标准差是15. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______16.12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF ∙的最大值是三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)求PF 1·PF 2的最大值．(2)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；18.（本小题满分12分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0．05,此分数段的人数为5人． (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 求平均成绩.(3) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率．19．(本小题满分12分) 设p:实数x 满足,其中,实数x 满足(Ⅰ)若且为真，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.20. （本题满分12分）已知方程20x bx c ++=,设b c 和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. 求方程20x bx c ++=有实根的概率;21. （本题满分12分）若点(),p q ，在3,3p q ≤≤中按均匀分布出现.（１）点(,)M x y 横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点(,)M x y 落在上述区域的概率？（２）试求方程22210x px q +-+=有两个实数根的概率.22. （本题满分12分）已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率e=36，过点A （0，-b ）2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩22430x ax a -+<0a >:q 1,a =p q∧xp ⌝⌝q和B （a ，0）的直线与坐标原点距离为23. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点E （-1，0），若直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆相交于C 、D 两点，试判断是否存在k 值，使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值，若不存在说明理由.17.解：(1)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值为100 ……4分(2)设PF 1＝m ，PF 2＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n)2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. ……10分 18.解析:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人．∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d ,由4226d ⨯+=100,解得2=d ．∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． ……4分(2) 9805.012510.011525.010535.09520.08505.075=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯平均成绩为98分。

河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷

河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·中山期末) 已知命题p：∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0，那么命题¬p为（）A . ∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0B . ∃x∈R，x2﹣x﹣2＜0C . ∀x∈R，x2﹣x﹣2≤0D . ∀x∈R，x2﹣x﹣2＜02. （2分）设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A ，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若（），且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·浙江期末) 若为实数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A . （x≠0）B . （x≠0）C . （x≠0）D . （x≠0）5. （2分） (2016高一下·天津期末) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A . 9.4，0.484B . 9.4，0.016C . 9.5，0.04D . 9.5，0.0166. （2分） (2019高一下·蛟河月考) 如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（）A . n≤5?B . n≤6?C . n≤7?D . n≤8?7. （2分） (2015高三下·湖北期中) 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·重庆期末) 已知点，点的坐标满足，则的最小值为（）A .B . 0C .D . －89. （2分） (2017高二下·临川期末) 已知变量x ， y具有线性相关关系，测得（x ， y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为，则的值是（）A . 1B . 0.9C . 0.8D . 0.710. （2分） (2017高二上·石家庄期末) 抛物线y= 的焦点坐标是（）A . （，0）B . （0，）C . （0，1）D . （1，0）11. （2分）(2017·枣庄模拟) 若双曲线的一条渐近线的倾斜角是直线l：x﹣2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·朝阳模拟) 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·天津期末) 某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取________人．14. （1分） (2017高二上·泰州月考) 双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为________ ．16. （1分） (2019高二上·阜阳月考) 已知为椭圆的下焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则当的值最大时点的坐标为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二上·六安月考) 已知命题p：和命题q：方程有两个不等的负实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围.18. （10分） (2019高二上·保定月考) 参加某高中十佳校园主持人比赛的甲、乙选手得分的茎叶统计图如图所示.（1）比较甲、乙两位选手的平均数；（2）分别计算甲、乙两位选手的方差，并判断成绩更稳定的是哪位.19. （10分） (2019·赣州模拟) 已知抛物线：的焦点为，点在上且其横坐标为1，以为圆心、为半径的圆与的准线相切.（1）求的值；（2）过点的直线与交于，两点，以、为邻边作平行四边形，若点关于的对称点在上，求的方程.20. （10分）设椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，点P在椭圆上，△PF1F2的周长为16，直线2x+y=4经过椭圆上的顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆同时被直线l1：10x﹣5y﹣21=0与l2：10x﹣15y﹣33=0平分，求直线l的方程．21. （10分） (2018高二上·东台月考) 一根直木棍长为6m，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2m的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2m的概率．22. （10分） (2018高二上·寻乌期末) 在圆上任取一点，点在轴的正射影为点，当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）点在曲线上，过点的直线交曲线于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

河北省保定市2020版高二上学期期中数学试卷C卷

河北省保定市2020版高二上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列则是这个数列的（）A . 第10项B . 第11项C . 第12项D . 第21项2. （2分） (2019高二上·榆林期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S10＝20，S20＝15，则S30＝（）A . 10B .C .D . 253. （2分） (2019高一下·顺德期中) 中，角，，的对边分别为，，，，，，则（）A .B .C .D .4. （2分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·桂林模拟) 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（）钱？A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·郑州期中) 在中，A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，，则的形状一定是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形7. （2分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A . 是锐角△B . 是直角△C . 是钝角△D . 是锐角△或钝角△8. （2分）在中,,则此三角形解的情况是（）A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解9. （2分）等差数列中，如果，，则数列前9项的和（）A . 297B . 144C . 99D . 6610. （2分）为等比数列的前项和，，则（）A . 12B . 21C . 36D . 4811. （2分）已知等差数列中，，记， S13=（）A . 78B . 68C . 56D . 5212. （2分）已知数列｛an}满足：，则的值所在区间是（）A . (0,1)B . (1,2)C . (2，3）D . （3，4）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·湖滨月考) 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为, ，此时气球的高是，则河流的宽度等于________ .14. （1分）(2020·吴江模拟) 任意实数a ， b ，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，则=________．15. （1分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△AB C的面积的最大值为，则此时△ABC的形状为________16. （1分） (2019高一下·扶余期末) 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一下·通榆月考) 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.18. （10分）(2017·红河模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 asinA=（ b ﹣c）sinB+（ c﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a= ，cosB= ，D为AC的中点，求BD的长．19. （15分） (2016高一下·吉林期中) 已知等比数列{an}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{bn}满足bn=3﹣2log2an ．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的范围．20. （5分）已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．（Ⅰ）计算渔政船C与渔港O的距离；（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？（参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00，≈3.62，≈3.61）21. （15分）(2016·绍兴模拟) 已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N•）．记Sn=a1+a2+…+an ． Tn= + +…+ ．求证：当n∈N*时（1）0≤an＜an+1＜1；（2） Sn＞n﹣2；（3） Tn＜3．22. （10分） (2015高三上·廊坊期末) 设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=3，a3=a22﹣27．（1）求{an}的通项公式；（2）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2021-2022学年河北省保定市部分学校高二上学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省保定市部分学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，则下列不是数列{}n a 的项的是（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】A【分析】根据数列的通项公式，判断是否存在N n *∈使得12n n a +=成立，可得答案.【详解】由于数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，故令122n n a +==，则0n = ，与N n *∈ 不符，故2不是数列{}n a 的项；令124,1n n +==，令128,2n n +==，令1216,3n n +==，即4，8，16是数列{}n a 的项，故选:A2．双曲线22124y x -=的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±【答案】D【分析】由标准方程及渐进性的定义可得.【详解】双曲线22124y x -=的渐近线方程为2y x =±．故选：D.3．数列{}n a 满足1711,2n na a a +=-=，则1a =（） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】D【分析】根据数列的递推公式，由72a =逐步向前求出1a 即可. 【详解】解：因为1711,2n na a a +=-=，所以7611a a =-，则65111a a =-=-，则541112a a ==-，则43121a a ==-，则32111a a =-=-，则211112a a ==-，所以12a =. 故选：D.4．已知直线1:21l y x =+，直线2:4270l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为（） ABCD【答案】A【分析】直接利用两平行线减的距离公式即可求解.【详解】直线1l 的方程可化为4220x y -+=，则直线1l 与2l之间的距离d =故选：A5．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若378a a +=，则9S =（） A ．24 B ．36 C ．48 D ．72【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】解：()()19379999836222a a a a S ++⨯====. 故选：B.6．若{},,a b c 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（） A ．a b +，a b -，b B ．a b -，a b c -+，c - C ．2a b +，2a b -，a c + D ．2a b -，42b a -，a c +【答案】C【分析】根据空间向量基本定理和空间向量的基底，直接判断. 【详解】选项A ：()2a b a b b +=-+，所以a b +，a b -，b 共面；选项B ：()a b a b c c -=-+-，所以a b -，a b c -+，c -共面；选项C ：a c +不能用2a b +，2a b -表示，所以2a b +，2a b -，a c +不共面；选项D ：2a b -，42b a -共线，则2a b -，42b a -，a c +共面．故选：C7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线右支上的一点，且12PF F △的周长为2242a a b ++，则双曲线C 的离心率的取值范围为（） A ．()1,2 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞【答案】A【分析】根据三角形周长及椭圆的定义求出12PF PF 、，然后利用三角形两边之差小于第三边，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围.【详解】设双曲线C 的焦距为2c ，222122F F c a b c ∴=+=，.P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，122PF PF a ∴-=，12PF F △的周长为2242a a b ++22121242PF PF F F a a b ∴++=++12242PF PF c a c ∴++=+，124PF PF a ∴+=，121224PF PF a PF PF a ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩，123PF aPF a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，12121221PF PF F F F F PF PF ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩,3223a a c c a a -<⎧∴⎨-<⎩，2a c c a <⎧∴⎨<⎩，12e ∴<<, ∴双曲线C 的离心率的取值范围为()1,2.故选：A8．已知数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11-，公差为2的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当n S 取得最小值时，n =（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据等差数列的通项求出数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得数列{}n a 的通项，再令0n a ≤，求得n ，即可得解.【详解】解：因为数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11-，公差为2的等差数列，所以213n nn a =-，所以213n na n =-，令0213n n a n =≤-，则132n ≤，又*N n ∈，所以当n S 取得最小值时，6n =. 故选：B. 二、多选题9．已知(1,1,1)a =-是直线1l 的一个方向向量，(2,2,2)b =-是直线2l 的一个方向向量，则下列说法不正确的是（） A ．(2,2,2)a b ⋅=-- B ．12//l lC ．12l l ⊥D ．直线1l ，2l 夹角的余弦值为13【答案】ABC【分析】根据向量的坐标运算和向量的位置关系，及夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量(1,1,1)a =-是直线1l 的一个方向向量，(2,2,2)b =-是直线2l 的一个方向向量，由(1,1,1)(2,2,2)12(1)21(2)2a b =-⋅-=⨯+-⨯+⨯--⋅=，所以A 不正确；设λa b ，可得(1,1,1)(2,2,2)λ-=-，此时121212λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，此时方程组无解，所以B 不正确；由2a b ⋅=-，所以1l 与2l 不垂直，所以C 不正确；由2a b ⋅=-，可得1|cos ,|3a b 〈〉==，所以D 正确.故选：ABC ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则（）A．a B ．2a b =C ．直线l 的斜率为1D ．直线l 的斜率为4【答案】AC【分析】根据椭圆离心率的定义可得a ；利用点差法可得2121221212y y x x b k x x y y a -+==-⋅-+，结合中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题意可得c e a ==a =．设()11A x y ，，()22B x y ，，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：AC11．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 作直线l 与x 轴垂直，且交C 于A ，B 两点，若三角形OAB 的外接圆与x 轴的一个交点坐标为(5,0)D ，则（） A ．1p = B ．2p =C ．四边形OADB 的面积为5D ．四边形OADB 的面积为10 【答案】BD【分析】由抛物线方程求得,A B 两点坐标，由对称性知圆心在x 轴，2OAD π∠=，用直角三角形中的射影定理求得p ，再求出四边形面积后可得正确选项．【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AB 与x 轴垂直，所以A ，B 的横坐标均为2p，代入抛物线方程求得其纵坐标为p ±，不妨设,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合三角形OAB 的对称性可知，2OAD π∠=，所以2||||||AF OF DF =，则2522p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2p =．四边形OADB 的面积为11||||451022AB OD =⨯⨯=．故选：BD ．12．已知(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆22:68210C x y x y ++-+=上存在点P ，使得222||||4PA PB m +=，则m 的值可能为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】BCD【分析】设点(,)P x y 由222||||4PA PB m +=，即可得到222x y m +=，再将圆C 配成标准式，求出圆心坐标，再根据两圆的位置关系得到不等式，解得即可；【详解】解：设点(,)P x y ，由222||||4PA PB m +=，所以22222()()4x m y x m y m +++-+=，则222x y m +=，即点P 是以(0,0)为圆心，m 为半径的圆上一点．圆22:68210C x y x y ++-+=，可化为22(3)(4)4x y ++-=，因为P 是圆C 上一点，所以|2|2m m -≤+，解得3m 7≤≤．故选：BCD 三、填空题13．抛物线2(0)x ay a =>上的点(,1)M m 到其准线l 的距离为2，则=a ______．【答案】4【分析】根据给定抛物线求出其准线方程即可列式计算作答.【详解】抛物线2(0)x ay a =>准线l 的方程为4ay =-，因为点(,1)M m 到准线l 的距离为2，于是得124a+=，解得4a =，所以4a =. 故答案为：414．过点(2,1)且与圆22210x x y -+-=相切的直线方程为______．【答案】30x y +-=【分析】先求得圆的圆心和半径，再根据点(2,1)在圆22210x x y -+-=上求解.【详解】22210x x y -+-=可化为22(1)2x y -+=，其圆心为(1,0) 因为点(2,1)在圆22210x x y -+-=上，所以切线的斜率k 满足10121k -⋅=--，解得1k =-，则切线方程为11(2)y x -=--，即30x y +-=．故答案为：30x y +-=15．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，若()200N m c m +<∈，则m 的最大值为__________．【答案】14【分析】由题意可得到数列{}n a 与{}n b 的通项公式，进而得到数列{}n c 的通项公式，然后由()200N m c m +<∈求得答案.【详解】由题意，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列{}n a ，首项为2，公差为3，则23(1)31n a n n =+-=- ，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列{}n b ，首项为2，公差为5，,则25(1)53n b n n =+-=-，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列，组成首项为2，公差为15的等差数列{}n c ，则215(1)1513n c n n =+-=- ，故由()200N m c m +<∈，令711513200,5m m -<< ，由于N m +∈，故m 的最大值为14，故答案为：1416．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，AB =AC =ABD △沿AD 翻折到AB D '的位置，使得四面体AB CD '为鳖臑，若G 为AB C '的重心，则直线DG 与平面AB C '所成角的正弦值为______．【答案】63【分析】根据题意可∠ADB′，∠ADC ，∠DB′C ，∠AB′C 为直角，求出四面体的棱长，然后在长方体中作出四面体ADB′C ，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.【详解】在直角ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，6AC =，则3BC =，2AD =，1BD =，2CD =，即在四面体AB CD '中，2AD =，1B D '=，2CD =，3AB '=，6AC =，则B D CD '<．要使四面体AB CD '为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要B C '⊥平面ADB '，此时ADB '∠，ADC ∠，DB C '∠，AB C ∠'为直角，满足四面体AB CD '为鳖臑，则223B C CD B D ''=-=．312的长方体中作出四面体AB CD '，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(002)A ，，3C ，，，(100)B '，，， 2323G ⎛ ⎝⎭，，，(102)AB '=，，，(03CB '=，，，2323DG ⎛= ⎝⎭，，．设()m x y z =，，为平面AB C '的一个法向量，则2030m AB x z m CB ⎧⋅==⎪⎨⋅''=-=⎪⎩，令1z =，则2x 0y =，所以(201)m =，，．又2cos 3m DG m DG m DG⋅===〈，〉，所以直线DG 与平面AB C '所成角的正弦值为四、解答题17．已知数列{}n a 满足()()111,121n n a na n a n n +==+++，设nn a b n=． (1)判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由； (2)若n a 是数列{}n c 的前n 项和，求{}n c 的通项公式．【答案】(1)数列{}n b 是等差数列,理由见解析 (2)43n c n =-【分析】（1）根据条件可得121n na a n n+-=+，即12n nb b ，即可作出判断；（2）利用（1）的结论，可求得n a 的表达式，继而利用1n n n c a a -=-求得答案. 【详解】(1)由()()111,121n n a na n a n n +==+++可得：121n na a n n+-=+ ，故由nn a b n=可知，12n nb b ，故数列{}n b 为等差数列；(2)由（1）知，数列{}n b 为首项1111a b == ，公差为2的等差数列，故12(1)21n b n n =+-=- ，即221,2nn a n a n n n=-=-，由于n a 是数列{}n c 的前n 项和，故111c a ==，当2n ≥ 时，2212[2(1)(1)]43n n n c a a n n n n n -=-=-----=- ，11c = 适合上式，故43n c n =- .18．在①双曲线E 的焦点在x 轴上，②双曲线E 的焦点在y 轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点(A ，()1,3B ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线E 与双曲线C 的渐近线相同，______，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长．注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)22162y x -=(2)答案不唯一，具体见解析【分析】(1)设双曲线C 的方程为221mx ny +=，将点A 、B 的坐标代入计算即可； (2)由(1)可得双曲线C 的渐近线方程，若选①则设双曲线E 的标准方程为22221()00a x y a b b >-=>，，进而可得a 、b 、c 的关系式，计算即可；若选②则设双曲线E 的标准方程为22221(00)y x a b a b-=>>，，同理计算即可.【详解】(1)设双曲线C 的方程为221mx ny +=，则6191n m n =⎧⎨+=⎩，解得1216m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22162y x -=；(2)双曲线C的渐近线方程为y =．选①，设双曲线E 的标准方程为22221()00a x y a bb >-=>，，所以22224ba c c ab ⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，b =所以双曲线E 的实轴长为2．选②，设双曲线E 的标准方程为22221(00)y x a b a b-=>>，所以22224ab c c a b ⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =1b =，所以双曲线E的实轴长为19．在数列{}n a 中，116,26n n a a a n +=--=-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知数列nn a b n=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求13T ．【答案】(1)27n a n n =-(2)42【分析】（1）根据条件利用累加法可求得答案；（2）写出7n n a b n n ==-，可得|7|n b n =-，继而求得答案. 【详解】(1)由题意116,26n n a a a n +=--=-得;121321()()()642(28)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=----+-2(214)72n n n n -==- , 即27n a n n =- ；(2)7n n a b n n==-，故|7|n b n =-, 故136765432101234562422T ⨯=++++++++++++=⨯=. 20．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，CF SD ⊥，210SC =，且//AD BC ，25SE ED ==，:5:3DF FA =，且4SA AB ==．(1)证明：平面SCD ⊥平面EFC ．(2)求二面角F EC B --的正弦值【答案】(1)证明见解析419 【分析】（1）由SA ⊥平面ABCD ，得到SA AD ⊥，结合题意得到FED SAD △∽△，得到SD EF ⊥，证得SD ⊥平面EFC ，即可证得平面SCD ⊥平面EFC ．（2）根据题意证得FC ⊥平面SAD ，以AD ，AM ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得平面BCE 和平面EFC 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：因为SA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以SA AD ⊥，又因为25245SD =⨯=，在直角SAD 中，可得22(45)48AD =-=，所以5DF =，3AF =，所以545DF SD =，258DE AD =，由FED SAD △∽△，所以90SAD FED ∠=∠=︒，即SD EF ⊥，又由CF SD ⊥，且EF FC F ⋂=，所以SD ⊥平面EFC ，又因为SD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面EFC ．(2)解：因为SD ⊥平面EFC ，所以SD EC ⊥，又因为SE ED =，可得DCE SCE △≌△，所以210DC SC ==，如图所示，连接AC ．因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA AC ⊥，SA FC ⊥，又因为FC SD ⊥，SD SA S ⋂=，所以FC ⊥平面SAD ，FC AD ⊥，所以22(210)426AC =-=，22(26)315FC =-=，过点A 作AM FC ∥交BC 于点M ，可得15AM FC ==，以AD ，AM ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，可得(1,15,0)B -，(3,15,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)S ，(8,0,0)D ．设平面BCE 的法向量为(,,)u x y z =，则00BC u CE u ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可取平面BCE 的一个法向量为(0,2,15)u =，又SD ⊥平面EFC ，所以平面EFC 的一个法向量为(8,0,4)SD =-．设二面角F EC B --的平面角为θ，则 41557|cos |19||| |1945SD u SD u θ⋅===⨯，则2419sin 1cos 19θθ=-=，所以二面角F EC B --的正弦值为41919．21．动点M 在圆22:4C x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．记点P 的轨迹为D ．(1)求D 的方程；(2)如果圆222:(1)E x y r +-=被曲线D 所覆盖，求圆E 半径的最大值．【答案】(1)22184y x +=【分析】（1）设(,)P x y ，()00,M x y ，由向量的数乘得出用,x y 表示00,x y ，M 点坐标代入圆方程可得轨迹方程；（2）设()11,G x y 是曲线D 上任意一点，(0,1)E ，求出GE 的最小值即可得，【详解】(1)设(,)P x y ，()00,M x y ，则()0,0N x ，()0,NP x x y =-，()00,NM y =．由2NP NM =，得0x x =，0y y =．因为()00,M x y 在圆C 上，所以2242y x +=．故D 的方程为22184y x +=．(2)设()11,G x y 是曲线D 上任意一点，则2211184y x +=，||GE所以1||GE y =-≤当12y =时，min ||GE =所以圆E22．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若12AB =，求l 的方程．(2)以A ，B 为切点分别作抛物线C 的两条切线，证明：两条切线的交点P 一定在定直线上，且PF AB ⊥．【答案】(1)10x ±-=(2)证明见解析【分析】（1）首先设出直线方程，并和抛物线联立,然后配合韦达定理以及焦点弦弦长可待定系数求出直线方程（2）首先设出抛物线的切线方程，将（1）所设A 、B 点代入即可得两条切线方程，通过联立方程即可证明交点在定直线上，并进而通过斜率证明PF AB ⊥【详解】(1)解：由题意得(1,0)F ，设直线l 的方程为1x ty =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩消元得2440y ty --=，所以124y y =-，124y y t +=．因为()22212122122||||||11244444y y y y y y AB AF BF t +-⎛⎫⎛⎫=+=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设知24412t +=，解得t =，所以l 的方程为10x -=．(2)设与抛物线C 相切的切线方程为x my b =+，则24,,y x x my b ⎧=⎨=+⎩化简得2440y my b --=．由0∆=，可得2b m =-．将A 点坐标代入方程2x my m =-，可得221104y m my -+=，12y m =，所以过A 的切线方程为21124y y x y =-．同理，过B 的切线方程为22224y y x y =-，联立方程组可得1x =-，1222y y y t +==，所以交点(1,2)t -在定直线1x =-上．当0=t 时，PF AB ⊥显然成立；当0t ≠时，2011PF t k t -==---，则1PF AB k k ⋅=-，所以PF AB ⊥．综上所述，PF AB ⊥．。

2017-2018年河北省保定市高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2017-2018学年河北省保定市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=3的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．122．（5分）命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是（）A．∃x0≤5，log5x0＞1 B．∃x0≤5，log5x0≤1C．∀x＞5，log5x≤1 D．∃x0＞5，log5x0≤13．（5分）变量x，y之间的一组相关数据如表所示：x4567y8.27.8 6.6 5.4若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.96 B．﹣0.94 C．﹣0.92 D．﹣0.984．（5分）设P为双曲线=1上一点F1，F2，分别为左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．1或9 C．3或7 D．95．（5分）“a＞log23”是“a＞log210”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d=（）A．4 B．5 C．7 D．87．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：现将参赛选手按成绩由好到差编为1﹣25号，再用系统抽样方法从中选取5人，一张纸选手甲的成绩为85分，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的最小值为（）A．89 B．90 C．86 D．888．（5分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，给出下列两个命题：p：若点（1，2）在C的一条渐近线上，则e=，q：若点（1，2）在C 上，则e的取值范围为（1，），那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4 B．﹣7 C．﹣22 D．﹣3210．（5分）据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）A．33 B．34 C．35 D．3611．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，），B（0，﹣），P为函数y=图象上一点，若|PB|=2|PA|，则cos∠APB=（）A．B．C．D．12．（5分）已知P为椭圆C：=1上任意一点，A（，0），动点M满足|MA|=，且PM⊥AM，则|PM|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是．14．（5分）已知A（1，1），B（3，m），若m为区间[2，9]上任意选取的一个实数，则直线AB的斜率大于2的概率为．15．（5分）P为椭圆=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则△PF1F2的面积为．16．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且抛物线交于A，B两点，若=5，则直线l的斜率为．三、解答题：苯大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，q：∀x∈（0，+∞），+81x ≥a．（1）若a=10，判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：：∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．18．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）（1）求M的长轴长（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．19．（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．21．（12分）已知动点P（x，y）的轨迹为曲线C，且•=0，其中Q（﹣4，y），O（0，0）（1）若直线x=4交曲线C于P1，P2两点，求△P1OP2的面积（2）点M为曲线C上一点，国点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点（A，B都异于M），过点F（1，0）且与AB垂直的直线l 与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．2017-2018学年河北省保定市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=3的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．12【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣y2=3的标准方程为﹣=1，其中a=b=，则c==，其焦距2c=2；故选：C．2．（5分）命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是（）A．∃x0≤5，log5x0＞1 B．∃x0≤5，log5x0≤1C．∀x＞5，log5x≤1 D．∃x0＞5，log5x0≤1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是：“∃x0＞5，log5x0≤1”．故选：D．3．（5分）变量x，y之间的一组相关数据如表所示：x4567y8.27.8 6.6 5.4若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.96 B．﹣0.94 C．﹣0.92 D．﹣0.98【解答】解：由题意得：=5.5，=7，故样本中心点是（5.5，7），故7=5.5+12.28，解得：=﹣0.96，故选：A．4．（5分）设P为双曲线=1上一点F1，F2，分别为左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．1或9 C．3或7 D．9【解答】解：根据题意，双曲线的方程为=1，其中a==2，c==又由P是双曲线上一点，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=4，又由|PF1|=5，则|PF2|=1或9，又由|PF2|＞c﹣a=﹣2，故||PF2|=9；故选：D．5．（5分）“a＞log23”是“a＞log210”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵log23＜log210”∴“a＞log23”是“a＞log210”必要不充分条件，故选：B．6．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d=（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：根据题意，抛物线x2=2py（p＞0）经过点（4，1），则有16=2p，解可得p=8，则抛物线的标准方程为：x2=16y，其焦点坐标为（0，4），点（4，1）到其焦点的距离d==5；故选：B．7．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：现将参赛选手按成绩由好到差编为1﹣25号，再用系统抽样方法从中选取5人，一张纸选手甲的成绩为85分，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的最小值为（）A．89 B．90 C．86 D．88【解答】解：将参赛选手按成绩由好到差分为5组，第一组（80，81，82，83，85），第二组（86，86，86，86，88），第三组（89，90，92，93，94），第四组（95，95，95，97，99），第五组（100，100，105，106，107），甲的编号为第一组的第5个，则其余4名选手的成绩分别为88、94、99、107；所以被选取的其余4名选手成绩的最小值为88．故选：D．8．（5分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，给出下列两个命题：p：若点（1，2）在C的一条渐近线上，则e=，q：若点（1，2）在C 上，则e的取值范围为（1，），那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：若点（1，2）在C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则b=2a，c=a，e=，故p是真命题；若点（1，2）在C：=1（a＞0，b＞0）上，则b＞2a，c＞a，e＞，故q是假命题；故命题p∧q，（￢p）∧q，（￢p）∧（￢q）均为假，p∧（￢q）为真，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4 B．﹣7 C．﹣22 D．﹣32【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i=2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4，i=3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9，i=4满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16，i=5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16﹣25，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，故解得：S=﹣4．故选：A．10．（5分）据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）A．33 B．34 C．35 D．36【解答】解：由已知中的频率分布直方图可得：前两组的频率为（0.014+0.024）×10=0.38，前三组的频率为（0.014+0.024+0.028）×10=0.66，故数据的中位数在第三组，其值为：30+×10≈34，故选：B．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，），B（0，﹣），P为函数y=图象上一点，若|PB|=2|PA|，则cos∠APB=（）A．B．C．D．【解答】解：∵P为函数y=图象上一点，∴P是双曲线y2﹣x2=1（y≥1）上一点，∴A（0，），B（0，﹣）是双曲线y2﹣x2=1的焦点，∵|PB|=2|PA|，∴|PB|﹣|PA|=|PA|=2，∴|PB|=4，|PA|=2，|AB|=2，∴cos∠APB===．故选：C．12．（5分）已知P为椭圆C：=1上任意一点，A（，0），动点M满足|MA|=，且PM⊥AM，则|PM|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2【解答】解：∵A（，0），动点M满足|MA|=，∴点M的轨迹为以点A为圆心，为半径的圆，∵PM⊥AM，即PM为圆的切线，∴当PA最小时，切线长PM最小，设P（x，y），则有=1PA2=（x﹣）2+y2=，当x=时，PA2最小为此时|PM|=，故选：B．二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是若x2≤1，则x≤1．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，故答案为：若x2≤1，则x≤114．（5分）已知A（1，1），B（3，m），若m为区间[2，9]上任意选取的一个实数，则直线AB的斜率大于2的概率为．【解答】解：A（1，1），B（3，m），∴直线AB的斜率为k==；令＞2，解得m＞5；又m∈[2，9]，∴直线AB的斜率大于2的概率为P==．故答案为：．15．（5分）P为椭圆=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则△PF1F2的面积为4．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为=1，其中a==4，b==2，c==2，则|F1F2|=2c=4，P为椭圆=1上一点，则|PF1|+|PF2|=2a=8，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则|PF1||PF2|=16，解可得：|PF1|=|PF2|=4，即△PF1F2为周长为4的等边三角形，其面积S=×4×4×=4；故答案为：4．16．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且抛物线交于A，B两点，若=5，则直线l的斜率为±．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由若=5，可得y1=﹣5y2，解得或，∴m=（﹣+）=﹣，或（﹣）=，即斜率为±故答案为：±．三、解答题：苯大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，q：∀x∈（0，+∞），+81x ≥a．（1）若a=10，判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：：∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．【解答】解：（1）命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，则p为真命题，则￢p为假命题，q：∀x∈（0，+∞），+81x≥2=9，当且仅当x=时取等号，故a≤9，故q：∀x∈（0，+∞），+81x≥10为假命题，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，（2）∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，则4﹣4（a﹣9）≥0，解得a≤10，故r成立是q成立的必要不充分条件18．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）（1）求M的长轴长（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．【解答】解：（1）由椭圆N：=1，得c=，即椭圆M的两焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），又椭圆M过点（0，2），∴椭圆M的短半轴长b=2，则长半轴长a=，∴M的长轴长2a=；（2）由（1）知椭圆M：．如图：联立，解得A（0，2），B（）．∴=0×．19．（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+194+196+193+194+197+196+195+193+197）=195（cm），乙厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+196+193+192+195+194+195+192+195+193）=194（cm）．（2）①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，所选的轮胎是标准轮胎的概率p=．②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，平均数为=（195+194+196+194+196+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2]=，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为=（195+196+195+194+195+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2+（194﹣195）2+（195﹣195）2+（195﹣195）2]=，∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轮胎相对相对更好．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4），可得p=2，抛物线的准线方程为x=﹣1，d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==，∴d+|MD|的最小值为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∴直线l的斜率k==6，故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），即18x﹣3y﹣35=0．21．（12分）已知动点P（x，y）的轨迹为曲线C，且•=0，其中Q（﹣4，y），O（0，0）（1）若直线x=4交曲线C于P1，P2两点，求△P1OP2的面积（2）点M为曲线C上一点，国点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点（A，B都异于M），过点F（1，0）且与AB垂直的直线l 与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．【解答】解：（1）由•=0，可得：﹣4x+y2=0，化为：y2=4x．联立，解得x=4，y=±4．∴|P1P2|=8，∴△P1OP2的面积S==16．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，可得：y2﹣4my﹣4=0，△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴|DE|=8==，解得：m=±1．设A（x3，y3），B（x4，y4），M（x0，y0）．则=±1，+=0，=4x0，=4x3，=4x4．联立化为：y3+y4=±4，y3+y4=﹣2y0，解得，．∴M（1，±2）．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．【解答】（1）解：由题意可得，解得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程为；（2）证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B′三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），，，，，∵x1（y2﹣2）+x2（y1﹣2）=x1（kx2﹣1）+x2（kx1﹣1）=2kx1x2﹣（x1+x2）=．∴与共线，则Q，A，B′三点共线．第21页（共21页）。

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