高考数学卫星变轨问题的讨论

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第八讲：卫星变轨问题和双星问题解析版

第八讲：卫星变轨问题和双星问题一、卫星相遇问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb .若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示．当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近．二、卫星变轨问题1．变轨分析(1)卫星在圆轨道上稳定运行时， G Mmr 2＝m v 2r＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . (2)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．(3)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，例题、如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r ，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A 、B 两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

下列判断正确的是（）例题、如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M ，（M ＞＞m 1，M ＞＞m 2）．a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ：T b ＝1：k ．（k ＞1，为正整数）从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（）A ．a 、b 距离最近的次数为k 次B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次C ．a 、b 、c 共线的次数为2k 次轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．2．三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3. 三、多星模型1．定义绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．A ．这两颗卫星的加速度大小相等，均为22gR rB ．卫星1出A 位置运动到B 位置所需的时间是3rr R gC ．这两颗卫星的机械能一定相等D ．卫星1向后喷气就一定能够追上卫星22．特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2. (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . 3．两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.针对训练题型1：相遇问题1．如图所示，A 和B 两行星绕同一恒星C 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，某一时刻两行星相距最近，则（）A ．经过T 1+T 2两行星再次相距最近B ．经过两行星再次相距最近C ．经过两行星相距最远D ．经过两行星相距最远【解答】解：根据万有引力提供向心力，列出等式：＝mω2rω＝所以ωA＞ωBA行星的周期为T1，B行星的周期为T2，所以T1＝T2＝两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上。

对卫星变轨过程中加速度的几点思考

对卫星变轨过程中加速度的几点思考作者：张勇来源：《中学物理·高中》2015年第04期变轨类问题是《万有引力与航天》这章中一个重要的知识点，而探讨环绕天体在变轨过程中的加速度问题则是该知识点中一个常见的探讨话题.当物体做匀速圆周运动时，合外力完全提供向心力，所以合外力产生的合加速度与向心加速度相等，但当环绕天体绕中心天体在椭圆轨道上运动时，如图1所示，卫星在A位置处所受到的引力F引作为卫星的合外力可分解成沿轨迹切线方向的分力F1和法线方向的分力F2，其中起到改变卫星运动方向的向心力是分力F2.所以此时合力所产生的合加速度和向心加速度是不相等的，从而我们在教学过程中经常会向学生强调当环绕天体在椭圆轨道上运动时要注意合加速度和向心加速度的区别.卫星在变轨过程中，如图2所示，不论卫星处于轨道1上，还是处于轨道2上，只要通过同一B点，由于受到地球的引力是相同的，所以具有的合加速度应该相同.因为在轨道1上卫星做匀速圆周运动，所以卫星在轨道1上通过B点时的合加速度等于其在B点时的向心加速度.而卫星在轨道2上合外力不等同于向心力，所以卫星在轨道2上通过B点时的合加速度可能与向心加速度并不相等.这样一来学生很容易认为卫星在两个轨道上通过B点时虽然合加速度是相同的，但向心加速度是不同的.甚至通过物体做匀速圆周运动时是合外力等于向心力，而物体做近心运动时是合外力大于向心力的关系判断出卫星在轨道1上通过B时的向心加速度应大于卫星在轨道2上通过B点时的向心加速度.因为卫星在B处所受地球的引力作为卫星的合外力是相同的，但在轨道1上在做匀速圆周运动，而在轨道2上通过B点后开始做近心运动.并且学生通过向心加速度公式a向=v2r好像也能得到相同的结论，因在B点卫星由轨道1变到轨道2需要减速，所以卫星在轨道1通过B点的速度v1应大于卫星在轨道2通过B点的速度v2，即v1>v2，所以卫星在轨道1上通过B点时的向心加速度大于在轨道2上通过B点的向心加速度.事实真的是如此吗？通过图2我们可以看到，即便是卫星在轨道2上通过B点，其瞬时速度沿轨迹的切线方向，也是与此时所受到的引力相垂直的.所以此时的引力仍只起到改变速度方向的作用，引力产生的合加速度仍然等于向心加速度.那么又如何解释此前用a向=v2r得出的结论呢？事实上卫星在轨道2上通过B点时不仅其速度v2小于v1，而且它在椭圆轨道上通过B点时对应的曲率圆半径r2也小于圆轨道半径r1，所以比值v2r仍可以是相等的.那么既然卫星在轨道2上通过B点时所受到的引力（合外力）等于向心力，卫星随后为什么不继续沿曲率圆做圆周运动而是沿轨道2做椭圆运动呢？如图3所示，我们可设想卫星由B点沿曲率圆运动很短的一段时间后到达C处.由于卫星所受到的引力仍然指向地球的球心，而地球的球心与曲率圆的圆心并不重合，引力不再完全提供向心力，所以卫星绕椭圆运动.虽然地球的球心与曲率圆的圆心不重合，但当卫星在椭圆轨道上运动到远地点或近地点时，卫星所受到的指向地心的引力恰好巧合地也指向曲率圆的圆心，从而才出现合加速度等于向心加速度的结果.而在其他位置也自然不具有这样的特点.通过上面的分析最终发现：当卫星绕地球在椭圆轨道上运动时，当卫星在近地点和远地点两个位置处，由于所受到的引力和速度仍然垂直，所以引力仍然完全提供向心力，得卫星的合加速度与向心加速度等同.而在其它点由于所受到的引力和速度不垂直，所以引力并非完全提供向心力，得卫星的合加速度与向心加速度并不等同，向心加速度只是合加速度的一个分量.。

卫星变轨问题(推荐完整)

地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次
点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2
、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道
上正常运行时，以下说法正确的是：
（ BD ）
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上
(2)a、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径 r 和中心天体质量共同决定。
(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大
小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由 v ＝ GrM判断。
(4)卫星在不同轨பைடு நூலகம்上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(5)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
卫星由低轨道进入高轨道后，重力势能增加，动能减少，机械能增加反之，卫星由高轨道进入低轨道后，重力势能减少，动能增加，机械能减少总结：1、势能的变化比动能变化快
2、轨道半径变大机械能增加，轨道半径变小机械能减小，卫星在同一轨道上运动，机械能不变。
（课标全国卷）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近
• 不行，因为飞船加速后做离心运动会偏离原来的圆轨道而无法与空间站对接。
对接方法：
• 飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道。
• 通过控制轨道使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，此时飞船适当减速，便可实现对接，如图示。
飞船
空间站
例：在太空中有两飞行器a、b，它们在绕地球的同一圆形轨道上同向运行，a在前b在后，

人造卫星的椭圆轨道和变轨问题探析

教学研究新课程NEW CURRICULUM天体的运行问题是高考的热点问题，在椭圆轨道和变轨问题上，中学阶段基本上都是做定性解释，很少做定量计算，且在教学实践中，一些学习优秀、善于思考的学生往往会在此类问题上提出更深层次的问题，如卫星在椭圆轨道的近、远地点的向心加速度大小和不同轨道的向心加速度、速度大小怎么比较？在用F n =m v 2r、a n =v 2r求解时，在近、远地点的“r ”到底是哪个量？怎么求？虽然学生提出的问题有的已经超出中学生应当掌握的范围，但是从激励学生的探究需求出发，对一些优秀的学生在这些问题上可适当做些拓展，况且作为授业解惑的教师，也需要对这些问题有个清楚的认识。

可是在教学实践中发现一些教师由于在这些问题上认识不清甚至根本不知道，经常被学生问得手足无措而避而不谈或者作出错误解释，一些材料在这些问题上的解释往往也是模棱两可。

若想对椭圆轨道的有关问题进行定量计算，首先必须对椭圆的曲率和曲率半径等有关知识有清晰的认识。

一、椭圆的曲率半径1.曲线的曲率和曲率半径曲率是描述曲线弯曲的程度，曲线y =f （x ）（设x =Φ（t ），y =φ（t ））的曲率的计算公式为k =x ′y ″-x ″y ′x ′2+y ′2[]32。

如图1所示，设k （k ≠0）为曲线y=f （x ）在点M 处的曲率，圆C 与曲线相切于M 点，若CM=R =1k ，圆C 称为曲线在点M 的曲率圆，圆C 的半径R 则称为曲线在点M 的曲率半径。

故曲率半径的计算公式为：R =1k =x ′2+y ′2[]32x ′y ″-x ″y ′—————①（1）2.椭圆的曲率半径如图2，a 是椭圆的半长轴，b 是椭圆的半短轴，椭圆的参数方程为：x=a cos θ，y=a sin θ。

把x ′=-a sin θ、x ″=-a cos θ、y ′=b cos θ、y ″=-b sin θ代入①式得：R =（a 2sin 2θ+b 2cos 2θ）32ab，取不同的θ值可以求得椭圆不同位置的曲率半径，比如把P （θ=0）和Q （θ=π）代入椭圆曲率半径公式可得：P 、Q 两点的曲率半径均为b 2a，A 、B 两点的曲率半径均为a 2b 。

例谈卫星变轨问题

摘要：飞速发展的航天事业，已大大提高了中国的国际地位和影响力。

因此在物理上这些与航天航空、星际探索相关知识点应给引起高度重视，成为高考命题的热点。

本文通过以下几个实例对卫星变轨问题进行了分析。

关键词：卫星变轨一、变轨前后卫星在圆周轨道上的稳定状态稳定状态就是指卫星进入预定轨道（可近似为圆周）正常运行状态，靠万有引力来充当向心力。

由万有引力公式与向心力四种表达式建立如下等量关系：g■=ma向=■=mrω2=m■r。

推导得出：向心加速度a=■、线速度v=■、角速度ω=■、周期t=2π■。

对环绕同一中心天体的卫星来讲，轨道半径越大，周期越大，而向心加速度、线速度、角速度越小。

这个规律适用于轨道是圆周人造卫星问题，不适用于轨道是椭圆卫星问题。

二、卫星的缓慢变轨例1 人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。

在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将________（填“减小”或“增大”）；其动能将________（填“减小”或“增大”）。

解析：本题考查万有引力定律及人造地球卫星。

根据万有引力定律可知，人造地球卫星离地球越近，受到的万有引力越大，故轨道半径缓慢减小时，万有引力大小会增大。

由公式可知，速度与轨道半径成反比，故轨道半径缓慢减小时，卫星的速度越来越大，故动能将增大。

三、卫星的快速变轨卫星变轨就是通过调整卫星的线速度，使卫星进入半径较大或较小的新轨道运行。

具体有以下两种情况：1.当万有引力不足以提供卫星所需要的向心力时，卫星做离心（轨道半径增大）运动。

从而使卫星由切点进入到半径较大的轨道运行。

2.当万有引力大于卫星所需要的向心力时，卫星做向心（轨道半径减小）运动，从而使卫星由切点进入到半径较小的轨道运行。

例2 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在a点从圆形轨道ⅰ进入椭圆轨道ⅱ，b为轨道ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（）。

a.在轨道ⅱ上经过a的速度小于经过b的速度b.在轨道ⅱ上经过a的动能小于在轨道ⅰ上经过a的动能c.在轨道ⅱ上运动的周期小于在轨道ⅰ上运动的周期d.在轨道ⅱ上经过a的加速度小于在轨道ⅰ上经过a的加速度解析：a选项考查的是稳定轨道ⅱ上的情况，根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，a正确。

卫星变轨专题

B 卫星在转移轨道上的周期小于24h
C 卫星在近地轨道及转移轨道上经过P点时的加速度相等
D 卫星在同步轨道及转移轨道上经过Q点时所需的向心力相等
例1.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道
1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，
将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3
圆周运动，速率为v1，第一次在P点点火加速，在短时间内将速率由v1增加
v4
到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道
Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为
v3，此时进行第二次点火加速，在短
时间内将速率由v3增加到v4，使卫星
进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周
运动。则有（ ABC ）
v3 Q
v1 Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
P v2
A v2>v1>v4>v3
a
课堂练习
1、据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200km和100km，运行速率分别为v1和v2。那么，v1和v2的比值为（月球半径取1700km）
A 19 B 18 C 18 D 19
18
19
19
18
答案：C
课堂练习
2、我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（B C ）
❖ D. 无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
◆例:4、如图所示.卫星由地面发射后,经过发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,再次调速后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b,卫星在停泊轨道与工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则( AC ) A.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为(a/b)1/2 B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为(b/a)1/2 C.卫星从停泊轨道进入地月转移轨道时, 卫星必须加速 D.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度

卫星变轨问题(附知识点及相关习题的答案)

人造卫星变轨问题专题一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

轨道半径r 确定后，与之对GM、周期T 2r 3、向心加速度 a GM应的卫星线速度 v 也都是确定的。

如果卫星r 2rGM的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。

同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。

在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。

二、渐变由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。

解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。

如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。

由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力m v 2减r小了，而万有引力大小GMm没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。

r 2由㈠中结论可知：卫星线速度 v 将增大，周期 T 将减小，向心加速度三、突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。

如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在 P 点点火加速，在短时间内将速率由 v 1 增加到 v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点 Q 时的速率为 v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由 v 3 增加到 v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

a 将增大。

v 3ⅢQ v 4v 1 Ⅱ Ⅰ Pv 2第一次加速：卫星需要的向心力mv 2 增大了，但万有引力 GMm 没变，因此卫星将开始做rr 2离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。

卫星变轨问题、双星模型(解析版)

万有引力与宇宙航行卫星变轨问题、双星模型素养目标：1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。

2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。

3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

1．神舟十六号载人飞船入轨后顺利完成人轨状态设置，采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱径向端口。

对接过程的示意图如图所示，神舟十六号飞船处于半径为1r 的圆轨道Ⅰ，运行周期为T 1，线速度为1v ，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅰ运动到B 处与天和核心舱对接，轨道Ⅰ上A 点的线速度为2v ，运行周期为T 2；天和核心舱处于半径为3r 的圆轨道Ⅰ，运行周期为T 3，线速度为3v ；则神舟十六号飞船（）A ．213v v v >>B ．T 1>T 2>T 3C ．在轨道Ⅰ上B 点处的加速度大于轨道Ⅰ上B 点处的加速度D ．该卫星在轨道Ⅰ运行时的机械能比在轨道Ⅰ运行时的机械能大【答案】A【解析】A ．飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅰ需要加速，所以经过A 点时21v v >圆轨道时，根据22GMm v m r r= 所以13v v >综合得213v v v >>故A 正确；B ．根据开普勒第三定律，轨道半长轴越大，周期越大，故B 错误；C ．根据2GMmma r= 则同一点处的加速度应该相等，故C 错误；D ．根据变轨原理可知，从低轨道到高轨道应点火加速，外力做正功，则卫星在轨道Ⅰ运行时的机械能比在轨道Ⅰ运行时的机械能小，故D 错误。

故选A 。

考点一卫星的变轨和对接问题1．卫星发射模型(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G Mmr 12＝m v 2r 1，如图所示。

(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G Mm r 12<m v A 2r 1，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在椭圆轨道B 点(远地点)，G Mm r 22>m v B 2r 2，将做近心运动，再次点火加速，使G Mmr 22＝m v B ′2r 2，进入圆轨道Ⅲ。

(完整版)卫星变轨问题分析

卫星变轨问题分析一：理论说明：卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析1．速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.2．加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．3．周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.4．机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.二、基础训练1、[变轨中运行参量和能量分析](多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是()A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用2、[变轨中运行参量的分析](多选)如图所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min 的工作轨道，开始对月球进行探测．下列说法正确的是()A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大C．卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多3、[变轨中运行参量的分析]2013年12月2日凌晨1时30分，嫦娥三号月球探测器搭载长征三号乙火箭发射升空．这是继2007年嫦娥一号、2010年嫦娥二号之后，我国发射的第3颗月球探测器，也是首颗月球软着陆探测器．嫦娥三号携带有一台无人月球车，重3吨多，是我国设计的最复杂的航天器．如图5所示为其飞行轨道示意图，则下列说法正确的是()A．嫦娥三号的发射速度应该大于11.2 km/sB．嫦娥三号在环月轨道1上P点的加速度大于在环月轨道2上P点的加速度C．嫦娥三号在环月轨道2上运动周期比在环月轨道1上运行周期小D．嫦娥三号在动力下降段中一直处于完全失重状态4．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星1和2均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径均为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图5所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是()．A．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为R2g r2B．两颗卫星所受的向心力大小一定相等C．卫星1由位置A运动到位置B所需的时间可能为7πr3RrgD．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速5、（多选）在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于2013年6月26日回归地球．如图所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的一点，M为轨道Ⅰ上的另一点，关于“神舟十号”的运动，下列说法中正确的有()A．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度B．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度C．飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期D．飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度6．2013年6月13日13时8分，搭载聂海胜、张晓光、王亚平3名航天员的“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km的近圆轨道上成功进行了我国载人空间交会对接．对接轨道所在空间存在极其稀薄的大气，下列说法正确的是()A．为实现对接，两者运行速度的大小都应等于第一宇宙速度B．对接前，“神舟十号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速C．由于稀薄空气，如果不加干预，天宫一号将靠近地球D．当航天员王亚平站在“天宫一号”内讲课不动时，她受平衡力作用。

微专题：卫星变轨问题和双星问题

专题卫星变轨问题和双星问题[学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.一、人造卫星的发射、变轨与对接 1.发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1＝7.9 km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F 引＝F 向，即G Mmr 2＝m v 2r ，从而使卫星进入预定轨道.2.卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据. 3.飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.图1(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )图2A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D.卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度答案 B解析卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： G Mmr 2＝m v 2r，v ＝GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误，由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确；在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速. 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误.在同一点P ，由GMmr 2＝ma n 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D 项错误.【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝F m ＝G Mr 2判断.二、双星问题1.如图3所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”.图32.双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点. (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. (3)两星的运动周期、角速度相同.(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .3.双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2.例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图4所示.已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图4答案 Lm 2m 1＋m 2 Lm 1m 1＋m 24π2L 3G (m 1＋m 2)解析双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2，对m 2：Gm 1m 2L 2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ，解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2.由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T＝4π2L3G(m1＋m2).【考点】双星问题【题点】双星问题1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图5所示，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是()图5A.“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C.“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D.“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等答案AD解析由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确.【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2.(卫星、飞船的对接问题)如图6所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()图6A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A 错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D 错误.3.(双星问题)如图7所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图7A.m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B.m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m 1做圆周运动的半径为25LD.m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项C 正确. 【考点】双星问题【题点】双星问题一、选择题考点一卫星的变轨问题1.(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图1A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A 的向心加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的向心加速度答案 ABC【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2.(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0.飞船在半径为4R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )图2A.飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g 0RB.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B 处的运行速率C.飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度D.飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝4∶1 答案 BC解析由m v 2R ＝mg 0知，v ＝g 0R ，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g 0R ，A 错误.由v ＝GMr 知，v Ⅰ<v Ⅲ，而飞船在轨道Ⅱ上的B 点做离心运动，有v ⅡB >v Ⅲ，则有v ⅡB >v Ⅰ，B 正确.由a n ＝GMr 2知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度，C 正确.由T ＝2πr 3GM知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝8∶1，D 错误. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题3.如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图3A.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B.v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C.v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma n 得：a n ＝GMr 2，由题图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝m v 2r得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题4.(多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射.卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km 、周期为118 min 的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，下列说法正确的是( )图4A.卫星在轨道Ⅲ的运行速度比月球的第一宇宙速度小B.卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P 点的加速度大C.卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的长D.卫星在轨道Ⅰ上经过P 点的速度比在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大答案 AD解析卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，可知卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A 正确.卫星在轨道Ⅲ上和在轨道Ⅰ上经过P 点时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B 错误.轨道Ⅲ的半径比轨道Ⅰ的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的短，C 错误.卫星从轨道Ⅰ经多次变轨进入轨道Ⅲ，在P 点需依次减速，D 正确. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题5.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图5所示，关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B 处与空间站对接.已知空间站C 绕月轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，月球的半径为R .那么以下选项正确的是( )图5A.月球的质量为4π2r 3GT2B.航天飞机到达B 处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速C.航天飞机从A 处到B 处做减速运动D.月球表面的重力加速度为4π2RT 2答案 A解析设空间站质量为m ，在圆轨道上，由G mM r 2＝m 4π2r T 2，得M ＝4π2r 3GT 2，A 正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B 处与空间站C 对接，必须在接近B 点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B 错误；航天飞机飞向B 处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C 错误；月球表面的重力加速度等于月球表面附近卫星的向心加速度，选项中4π2RT 2中的T 是空间站在半径为r 的轨道上做圆周运动的周期，比近月卫星周期大，D 错误. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题考点二双星问题6.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2之间的距离为r ，已知引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为( ) A.4π2r 2(r －r 1)GT 2B.4π2r 13GT 2 C.4π2r 3GT 2 D.4π2r 2r 1GT 2答案 D解析设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有 G m 1m 2r 2＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.【考点】双星问题【题点】双星问题7.两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大 C.两个天体的向心力大小一定相等 D.两个天体的向心加速度大小一定相等答案 C解析双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律，有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2 其中：r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2Lr 2＝m 1m 1＋m 2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 错误. 【考点】双星问题【题点】双星问题8.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( ) A.轨道半径约为卡戎的17B.角速度大小约为卡戎的17C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍答案 A解析双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B 错误.双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D 错误.根据m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 1r 2＝m 2m 1＝17，A 正确.根据v ＝ωr ，得v 1v 2＝r 1r 2＝17，C 错误. 【考点】双星问题【题点】双星问题9.(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起.如图6所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图6A.质量之比m A ∶m B ＝2∶1B.角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C.线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D.向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1 答案 AC解析双星都绕O 点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：G m A m BL 2＝m A ω2r A ①对B 星：G m A m BL 2＝m B ω2r B ②联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星运行的条件有：角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误. 【考点】双星问题【题点】双星问题10.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 答案 B解析如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM 1M 2r 2＝M 1(2πT )2r 1＝M 2(2πT )2r 2，解得G (M 1＋M 2)r 2＝(2πT )2(r 1＋r 2)，即GMr 3＝(2πT)2①当两星的总质量变为原来的k 倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有GkM (nr )3＝(2πT ′)2②联立①②两式可得T ′＝n 3kT ，故选项B 正确. 【考点】双星问题【题点】双星问题二、非选择题11.(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图7所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图7(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小. (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2. 答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3)3gR 2t 24n 2π2－R 解析 (2)在地球表面有mg ＝GMmR 2① 根据牛顿第二定律有：G Mm(R ＋h 1)2＝ma A ②由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2.(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn ④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题。

变轨问题总结

变轨问题总结人造卫星变轨问题专题一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

轨道半径r确定后，与之对应的卫星线速度、周期、向心加速度也都是确定的。

如果卫星的质量也确定，那么与轨道半径r对应的卫星的动能Ek（由线速度大小决定）、重力势能Ep（由卫星高度决定）和总机械能E机（由能量转换情况决定）也是确定的。

一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。

同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。

在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。

解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。

由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r将减小。

由㈠中结论可知：卫星线速度v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能Ek将增大，势能Ep 将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热），因此卫星机械能E机将减小。

为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。

而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。

根据E机=Ek+Ep，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。

再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G是逐渐减小的。

卫星变轨问题

天体运动专题一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。

如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。

同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。

在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。

解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。

由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力rm v 2减小了，而万有引力大小2r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。

由(一)中结论可知：卫星线速度v 将增大，动能增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大。

三、突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。

如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在P 点点火加速，在短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

第一次加速：卫星需要的向心力rm v 2增大了，但万有引力2r GMm 没变（时间很短，可认为轨道半径没有变），因此卫星将开始做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。

变轨问题总结

变轨问题总结人造卫星变轨问题专题一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

轨道半径r确定后，与之对应的卫星线速度、周期、向心加速度也都是确定的。

一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。

同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。

在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。

解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。

为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。

而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。

根据E机=Ek+Ep，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。

再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G是逐渐减小的。

专题讲解：卫星的变轨问题

卫星的变轨问题1.圆轨道上的稳定运行G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr (2πT )2 2．变轨运行分析(1)当v 增大时，所需向心力m v 2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ GM r知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。

(2)当卫星的速度突然减小时，向心力m v 2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ GM r知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。

典题分析1 2012年6月16日18时37分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号”载人飞船发射升空，在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次交会对接、分离，于6月29日10时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是( )A ．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量B ．在对接前，“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接C ．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接D ．“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速2．(2012·广东高考)如图4－4－3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。

若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )图4－4－3A ．动能大B ．向心加速度大C ．运行周期长D ．角速度小解析：选CD 因为G Mm r 2＝m v 2r ＝ma ＝mrω2＝mr 4π2T 2，解得v ＝ GM r ，a ＝G M r 2，T ＝2 πr 3GM ，ω＝GM r 3，因为r 增大，所以动能减小，加速度减小，运行周期变长，角速度减小，即只有C 、D 正确。

高考物理一轮复习讲义天体运动专题(三)卫星的变轨问题天体追及相遇问题

卫星的变轨问题、天体追及相遇问题一、卫星的变轨、对接问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如右图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅰ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅰ。

2．卫星的对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.二、变轨前、后各物理量的比较1．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v ＝GM r判断。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

2．卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小受力分析 G Mm r 2<m v 2rG Mm r 2>m v 2r 变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 3.变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅰ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅰ上过A 点和B 点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅰ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.三、卫星的追及与相遇问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。

《卫星变轨问题和双星问题》解题技巧

《卫星变轨问题和双星问题》解题技巧一、人造卫星的变轨问题 1.变轨问题概述 (1)稳定运行卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即GMm r 2＝m v 2r.(2)变轨运行卫星变轨时，先是线速度大小v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨.2.实例分析 (1)飞船对接问题①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图1甲所示).②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.图1(2)卫星的发射、变轨问题如图2，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P点点火加速，使其满足GMmr2＝mv2r，进入圆轨道3做圆周运动.图2如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度答案 B解析卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mmr2＝mv2r，可得v＝GMr因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误；由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速，所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误；在同一点P，由GMmr2＝ma n知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.4.判断卫星的加速度大小时，可根据a＝Fm＝GMr2判断.针对训练(多选)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图4A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B点的速度B.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度答案ABC解析在轨道Ⅱ上由A点运动到B点，由开普勒第二定律可知，经过A的速度小于经过B的速度，A正确；从轨道Ⅰ的A点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，B正确；根据开普勒第三定律r3T2＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D错误.二、双星或多星问题1.双星模型(1)如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.图5(2)特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比.(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm1m2L2＝m 1ω2r1，Gm1m2L2＝m2ω2r2.2.多星系统在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示.已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.图6答案Lm2m1＋m2Lm1m1＋m24π2L3G(m1＋m2)解析双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对m1：Gm1m2L2＝m 1r1ω2对m2：Gm1m2L2＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L解得r1＝Lm2m1＋m2，r2＝Lm1m1＋m2由Gm1m2L2＝m1r14π2T2及r1＝Lm2m1＋m2得周期T＝4π2L3G(m1＋m2).宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是( )图7A.每颗星做圆周运动的角速度为Gm L3B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍答案 C解析任意两星间的万有引力F＝G m2L2，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知r＝33L，F合＝2F cos 30°＝3F，由牛顿第二定律可得F合＝mω2r，联立可得ω＝3GmL3，a n＝ω2r＝3GmL2，选项A、B错误；由周期公式可得T＝2πω＝2πL33Gm，L和m都变为原来的2倍，则周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得v＝ωr＝GmL，L和m都变为原来的2倍，则线速度v′＝v，大小不变，选项D错误.【课堂同步训练】1.(卫星变轨问题) 2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8所示，地球在椭圆轨道Ⅰ 上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ 上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是( )图8A.沿轨道Ⅰ 运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道ⅡB.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期C.沿轨道Ⅰ 运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度D.在轨道Ⅰ 上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大答案 B2.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图9A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误.3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A.轨道半径约为卡戎的17B.角速度约为卡戎的17C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍答案 A解析双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B 错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D 错误；根据m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 1r 2＝m 2m 1＝17，A 正确；根据v ＝ωr ，得v 1v 2＝r 1r 2＝17，C 错误. 4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T ，两星到共同圆心的距离分别为R 1和R 2，引力常量为G ，那么下列说法正确的是( )A.这两颗恒星的质量必定相等B.这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3GT 2C.这两颗恒星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1D.其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2答案 BCD解析两星有共同的周期T ，由牛顿第二定律得G m 1m 2(R 1＋R 2)2＝m 14π2T 2R 1＝m 24π2T 2R 2，所以两星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故A 错误，C 正确；由上式可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3GT 2，故B 、D 正确.【课后强化训练】一、选择题1. 1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则( )图1A.v1＞v2，v1＝GMrB.v1＞v2，v1＞GMrC.v1＜v2，v1＝GMrD.v1＜v2，v1＞GMr答案 B解析根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由GMmr2＝mv2r可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v＝GMr，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>GMr，故B正确.2.两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小一定相等D.两个天体的向心加速度大小一定相等答案 C解析双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D错误；根据牛顿第二定律有：G m1m2L2＝m1ω2r1，Gm1m2L2＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L故r1＝m2m1＋m2L，r2＝m1m1＋m2L，故v1v2＝r1r2＝m2m1故质量大的天体线速度较小，故A错误.3.如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道Ⅰ 到达P点后经过调整速度进入圆轨道Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上.下列说法正确的是( )图2A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2 km/sB.“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过P点进入轨道Ⅱ时要加速C.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P点的速度D.“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过P点的加速度与在轨道Ⅲ上经过P点的加速度相等答案 D4.如图3所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中不正确的是( )图3A.卫星在轨道3上的周期小于在轨道1上的周期B.卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率C.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率D.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时加速度大于经过P点的加速度答案 A解析根据开普勒第三定律r3T2＝k知，卫星的轨道半径越大，则周期也越大，故卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期，故A不正确；由卫星运行时所受万有引力提供向心力，即GMmr2＝mv2r，可知v＝GMr，因此卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故B正确；根据开普勒第二定律知，卫星在轨道2上运行时，从Q点向P点运动，速度逐渐减小，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率，故C正确；卫星离地面越远，万有引力越小，根据牛顿第二定律，加速度也越小，故卫星在轨道2上运行时经过Q点时加速度大于经过P点的加速度，故D正确.5.如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图4A.m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m1做圆周运动的半径为2 5 LD.m2做圆周运动的半径为2 5 L答案 C解析设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m1m2L2＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r 1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，解得r1＝25L，r2＝35Lm1、m2运动的线速度大小分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C正确.6.如图5所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率和加速度大小，下列结论正确的是( )图5A.v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2B.v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3C.v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3D.v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3答案 D解析根据万有引力提供向心力，即GMmr2＝ma n得：a n＝GMr2，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M点时的速率为v 1′，根据GMmr2＝mv2r得：v＝GMr，又因为r1＜r3，所以v1′＞v3，飞船在圆轨道M点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1>v1′，故v1＞v3＞v2，故选D.7.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图6所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接.已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转.那么以下选项正确的是( )图6A.月球的质量为4π2r3 GT2B.航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速C.航天飞机从A处到B处做减速运动D.月球表面的重力加速度为4π2R T2答案 A解析设空间站质量为m，在圆轨道上，由G mMr2＝m4π2rT2，得M＝4π2r3GT2，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg月＝G MmR2，可得g月＝GMR2＝4π2r3R2T2，D错误.8.(多选)如图7所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，忽略月球的自转，则( )图7A.飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g0RB.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率C.飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度D.飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1答案BC解析由mv2R＝mg0知，v＝g0R，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g0R，A错误；由v＝GMr知，vⅠ<vⅢ，而飞船在轨道Ⅱ上的B点做离心运动，有vⅡB>vⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B正确；由a n＝GMr2知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度，C正确；由T＝2πr3GM知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D错误.9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为( )A.n3k2T B.n3kTC.n2kT D.nkT答案 B解析设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有G m1m2L2＝m1r14π2T2G m1m2L2＝m2r24π2T2并且r1＋r2＝L解得T＝2πL3G(m1＋m2)当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T′＝2πn3L3Gk(m1＋m2)＝n3kT故选项B正确.10.(多选)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图8所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量.假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )图8A.它们做圆周运动的万有引力保持不变B.它们做圆周运动的角速度不断变大C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大D.体积较大星体圆周运动的线速度变大答案CD解析由F＝Gm1m2L2知F增大，A错误；设体积较小者质量为m1，轨迹半径为r 1，体积较大者质量为m2，轨迹半径为r2，则有Gm1m2L2＝m1ω2r1，Gm1m2L2＝m2ω2r2得：ω＝G(m1＋m2)L3，因m1＋m2及L不变，故ω不变，B错误；半径r2＝Gm1ω2L2，因m1增大，故r2变大，C正确；线速度大小v2＝ωr2，变大，D正确.11.进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的( )A.1倍B.2倍C.12倍 D.22倍答案 D解析设正方形边长为L，每颗星的轨道半径为r＝22L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：2×Gm2L2cos 45°＋Gm22L2＝mω2r得：ω＝(2＋22)GmL L，所以当边长变为原来的一半，星体的角速度变为原来的22倍，故D项正确.二、非选择题12.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图9所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：图9(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2.答案(1)加速(2)gR2(R＋h1)2(3)3gR2t24n2π2－R解析 (2)在地球表面有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：GMm(R ＋h 1)2＝ma A ②由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2(3)飞船在预定圆轨道上，由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 13.如图10所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L .已知星球A 、B 的中心和O 三点始终共线，星球A 和B 分别在O 的两侧.引力常量为G .图10(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg 和7.35×1022 kg.求T 2与T 1两者平方之比.(计算结果保留四位有效数字)答案 (1)2πL 3G (M ＋m )(2)1.012解析 (1)两星球围绕同一点O 做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A 、B 的轨道半径分别为r 1、r 2，由牛顿第二定律知：对B有：G MmL2＝M4π2T2r2对A有：G MmL2＝m4π2T2r1又r1＋r2＝L联立解得T＝2πL3G(M＋m)(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知M 地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1＝2πL′3G(M地＋m月)若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得GM地m 月L′2＝m月4π2T22L′解得T2＝2πL′3 GM地则T2T1＝M地＋m月M地故T22T21＝M地＋m月M地≈1.012.。

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