专题01 集合与简易逻辑 (解析版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之上海专版(2020版)专题01 集合与简易逻辑1. 【上海市交通大学附属中学2019-2020学年9月月考数学试题】在等差数列{}n a 中，设*,,,k l p r N ∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分非必要条件【答案】D【解析】若等差数列为123455,4,3,2,1..a a a a a =====⋯则当1,5,2,3k l p r ====时，k l p r +>+成立，但k l p r a a a a +>+不成立，所以非充分条件 当1,2,3,4k l p r ====时，k l p r a a a a +>+成立，但k l p r +>+不成立，所以非必要条件 综上可知，k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的既非充分非必要条件 所以选D.2. 【上海市奉贤区2019-2020学年高三上学期第一次模拟考试】己知点(),P a b 的，曲线1C 的方程y =2C 的方程221x y +=，则“点(),P a b 在曲线1C 上“是”点(),P a b 在曲线2C 上“的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】当点(),P a b 在曲线1C 上时，有221b a b ⇒+==，所以由点(),P a b 在曲线1C 上，可以推出点(),P a b 在曲线2C 上；当点(),P a b 在曲线2C 上时，有221a b b +=⇒=(),P a b 在曲线2C 上不一定能推出点(),P a b 在曲线1C 上，所以“点(),P a b 在曲线1C 上“是”点(),P a b 在曲线2C 上“的充分非必要条件.故选：A 3. 【上海市七校3月联考（理)数学试题】 设a b 、均为非零实数,则“1b a<”是“1ab >”的什么条件?( )A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】Q 当1,1b a =-=,满足1b a<,但1ab >不成立∴ 1b a<不能推出1a b >.Q 若1a b >,则0ab >∴01ba << 故1b a <成立∴ 1a b >能推出1b a<∴ “b1a<”是“1a b >”的必要不充分.故选:A.4. 【上海嘉定区2019-2020学年高二上学期期末数学试题】列向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行是二元一次为方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分且非必要条件【答案】B 【解析】 设:p “列向量12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行”，:q “二元一次为方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解”， 取列向量11⎛⎫ ⎪⎝⎭与11⎛⎫⎪⎝⎭，121c c ==，则两向量平行，对应的二元一次方程组为11x y x y +=⎧⎨+=⎩即10x y +-=，此方程组（方程）有无数解，故“若p 则q ”为假命题． 若二元一次为方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则直线111222210,:0:l a x b y c a x b c l y +-+-==平行，所以1221a b a b =，列向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行，故“若q 则p ”为真命题，所以p 是q 的必要非充分条件． 故选：B ．5. （2019·上海市行知中学高三月考）下列各式中，正确的个数是（ ） （1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）{}00=；（5）{}00∈； （6）{}{}11,2,3∈；（7）{}{}1,21,2,3⊆；（8）{}{},,a b b a ⊆. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】∅表示空集，没有元素，{}0有一个元素，则{}0∅≠，故（1）错误Q 空集是任何集合的子集，故（2）正确∅和{}0都表示集合，故（3）错误0表示元素，{}0表示集合，故（4）错误{}00∈，故（5）正确{}1，{}12,3，都表示集合，故（6）错误 {}1,2中的元素都是{}1,2,3中的元素，故（7）正确由于集合的元素具有无序性，故{}{},,a b b a ⊆，故（8）正确 综上，正确的个数是4个 故选D6.（2019上海卢湾高级中学高三月考（理））设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【答案】B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.7. （2018·上海中学高三月考）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．8.（2018·上海高三期中）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．9. （2020·上海高三）己知点(),P a b 的，曲线1C 的方程y =曲线2C 的方程221x y +=，则“点(),P a b 在曲线1C 上“是”点(),P a b 在曲线2C 上“的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】当点(),P a b 在曲线1C 上时，有221b a b ⇒+==，所以由点(),P a b 在曲线1C 上，可以推出点(),P a b 在曲线2C 上；当点(),P a b 在曲线2C 上时，有221a b b +=⇒=(),P a b 在曲线2C 上不一定能推出点(),P a b 在曲线1C 上，所以“点(),P a b 在曲线1C 上“是”点(),P a b 在曲线2C 上“的充分非必要条件. 故选：A10（2020·上海高三）设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，2z z a +=若0z z +=，则0a =，z bi =，当0b =，则0z =，不是纯虚数 若z 为纯虚数，则0a =，0b ≠，此时20z z a +==成立 所以0z z +=是z 为纯虚数的必要不充分条件 故选B.11. （2020·上海市金山中学期末）设a b 、均为非零实数,则“1b a<”是“1ab >”的什么条件?( )A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】Q 当1,1b a =-=,满足1b a<,但1ab >不成立∴ 1b a<不能推出1a b >.Q 若1a b >,则0ab >∴01ba << 故1b a <成立1a b >能推出1b a<∴ “b1a<”是“1a b >”的必要不充分.故选:A.12. （2019·上海市晋元高级中学月考）已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0}1，B ．{}1C ．{1}2，D ．{012}，， 【答案】B【解析】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素。

因为{2,3,4,5}A B ⋂=，所以阴影部分所表示的集合是{1}。

故选：B 。

13. （2020·上海高三）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =I _________．【答案】{}1,2【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂=故答案为：{}1,214. （2019上海市市西中学高三期中）已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =U ，则实数a 的取值范围是______________________ . 【答案】1a ≤【解析】在数轴上表示出集合A 和集合B ,要使A B R =U ，只有1a ≤.15.（2020·上海市金山中学期末）已知集合A={x|x 2-3x ＜0，x ∈N *}，则用列举法表示集合A= ______ ． 【答案】{1,2} 【解析】由集合A ={x|x 2−3x <0,x ∈N ∗}，一元二次不等式的解法可得集合A ={x|0<x <3,x ∈N ∗}={1,2}，故答案为{1,2}.16. （2019上海市七宝中学高三月考）能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________. 【答案】1,2,3---【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 17. （2020·上海市金山中学高一期末）若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[)0,4 【解析】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意.当0a ≠时, 210ax ax -+=无实数解,故∆<0,可得:240a a -< 解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4.故答案为:[)0,4.18. （2020·上海市金山中学期末）已知集合[]{}{}2,2,3,()(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=-++>,（1）当4a =时,求A B I ;（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)[8,4]A =--,当4a =时,{}(4)(7)0(,7)(4,)B x x x =-+>=-∞-⋃+∞,[8,7)A B ∴=--I .(2){|()(3)0}B x x a x a =-++>,①当32a =-时,3|,2B x x R x ⎧⎫=∈≠-⎨⎬⎩⎭,A B ∴⊆恒成立;②当32a <-时,{|3}x x a x a <>--或, A B ⊆Q ,4a ∴>-或38a --<-,解得4a >-或5a >(舍去),所以342a -<<-; ③当32a >-时,{|3}B x x a x a =<-->或, A B ⊆Q ,34a ∴-->-或8a <-(舍去),解得312a -<<.综上所述,当A B ⊆,实数a 的取值范围是(4,1)-. 19. （2019上海市杨浦高级中学月考）已知关于x 的方程20x ax b -+=的两根为,p q ，方程20x bx c -+=的两根为,r s ，如果,,,p q r s 互不相等，设集合{,,,}M p q r s =，作集合{|,,,}S x x u v u M v M u v ==+∈∈≠；{|,,,}P x x uv u M v M u v ==∈∈≠；若已知{5,7,8,9,10,12},{6,10,14,15,21,35}S P ==，求实数,,a b c 的值.【解析】{},,,,,,S p q p r p s q r q s r s =++++++ {},,,,,P pq pr ps qr qs rs =b pq r s ==+，因此,b S ∈且b P ∈，所以{}10b S P ∈⋂=，即10b =； 又a p q =+，因此()()()()()()()()33p q p r p s q r q s r s p q r s a b +++++++++++=+++=+ 即，()157891012173a b p q r s +=+++=+++++=，所以7a =； 又c rs =，因此()()pq pr ps qr qs rs pq p q r s rs b ab c +++++=++++=++ 即，61014152135101b ab c ++=+++++=，所以21c =.。