1.2(第1课时)绝对值三角不等式学案(含答案)

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第一讲(二)(1)：绝对值三角不等式

定理2: 如果a,b,c是实数,则
|a-c||a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| |a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
9
知识应用
例1 已知 0， | x a | ，| y b | . 求证：| 2 x 3 y 2a 3b | 5 .
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
有更一般的结论：
|f(x)|<g(x) |f(x)|>g(x) -g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)
-2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳：|x|<a（a>0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|x|<-2的解
|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
引伸：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就是
巩固练习：
求下列不等式的解集
① |2x+1|<5
② 3|1-4x|>9 ③ |4x|<-1
（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）

R
④ |x2-5x|>-6
⑤ 3<| 2x+1 | <5

绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)

提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察；法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集为，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像，并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
ab a b
当向量 a, 共b 线时，
同向： a b a b 反向： a b a b
y
ab b
a
O
x
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
a b ab a b
定理1的推广如果a,b，c是实数，则

01绝对值不等式(含经典例题+答案)

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2，又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)．例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4-

1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是() A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|<ξ2,|ξ−ξ|<ξ2,则|4ξ+2ξ−4ξ−2ξ|小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ25若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是.ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以3≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.8不等式|ξ+ξ||ξ|-|ξ|≥1成立的充要条件是.⇔|ξ+ξ|-(|ξ|-|ξ|)|ξ|-|ξ|≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|ξ|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|=|ξ+ξ+ξ+(-ξ+ξ-ξ)|2≤12(|ξ+ξ+ξ|+|ξ−ξ+ξ|)≤1.能力提升1已知x 为实数,且|x-5|+|x-3|<m 有解,则m 的取值范围是( )A.m>1B.m ≥1C.m>2D.m ≥2|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2, ∴|x-5|+|x-3|的最小值为2. ∴要使|x-5|+|x-3|<m 有解,则m>2.2已知h>0,a ,b ∈R ,命题甲:|a-b|<2h ;命题乙:|a-1|<h ,且|b-1|<h ,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 与b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h ,但此时a ,b 与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h ,|b-1|<h ,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h ,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.3已知|a|≠|b|,m =|ξ|-|ξ||ξ-ξ|,ξ=|ξ|+|ξ||ξ+ξ|,则ξ,ξ之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m ≤n,知|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,则|ξ|-|ξ||ξ-ξ|≤1≤|ξ|+|ξ||ξ+ξ|.4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小(a+b )(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )+(a-b )|=2|a|<2, 当(a+b )(a-b )<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )-(a-b )|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x+1ξ≥2(x≠0);②ξξ<ξξ(ξ>ξ>ξ>0);③ξ+ξξ+ξ>ξξ(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ);④|a+b|+|b-a|≥2a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒ξξξ>ξξξ即1ξ>1ξ,又由于c>0,故有ξξ>ξξ;③成立,因为ξ+ξξ+ξ−ξξ=(ξ-ξ)ξξ(ξ+ξ)>0(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ),所以ξ+ξξ+ξ>ξξ;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ξξ+ξξ|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x=1lgξ+lg x≥2,①正确;当ab ≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab ≠0,ξξ与ξξ同号,∴|ξξ+ξξ|=|ξξ|+|ξξ|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f (x ),若存在常数A>0,使得对任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤A|x 1-x 2|,则称f (x )具有性质L .问函数f (x )=x 2+3x+5与g (x )=√|ξ|是否具有性质L ?试证明.f (x )具有性质L,函数g (x )不具有性质L . 证明如下:(1)对于函数f (x )=x 2+3x+5,任取x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|=|ξ12−ξ22+3(ξ1−ξ2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2+3)| =|x 1-x 2||x 1+x 2+3|≤|x 1-x 2|(|x 1|+|x 2|+3)≤5|x 1-x 2|. 故存在A=5,使f (x )具有性质L . (2)对于函数g (x )=√|ξ|,设它具有性质L,任取x 1,x 2∈[-1,1],当x 1,x 2不同时为0时, 则|g (x 1)-g (x 2)|=|√|ξ1|−√|ξ2||=√|ξ12≤√|ξ12≤A|x 1-x 2|,得A ≥√|ξ121ξ≤√|ξ1|+√|ξ2|≤2.得1ξ∈(0,2]. 取x 1=14ξ2≤1,x 2=116ξ2≤14,有√|ξ1|+√|ξ2|=12ξ+14ξ=34ξ<1ξ, 与√|ξ1|+√|ξ2|≥1ξ矛盾, 故函数g (x )=√|ξ|不具有性质L .。

学案1：1 绝对值三角不等式

1.2.1 绝对值三角不等式学习目标1．理解绝对值的几何意义．2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.预习导学1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0.思考1 求下列各数的绝对值：(1)3； (2)－8； (3)0.2．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |⇔(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2⇔a 2＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |⇔ab ≤|a ||b |⇔ab ≤|ab |，由已知知识可知ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab ＝|ab |⇔ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考2 说出下列不等式等号成立的条件：(1)|a |＋|b |≥|a ＋b |；(2)|a |－|b |≤|a ＋b |；(3)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a |≥a ，|a |≥－a 及绝对值的和的性质．思考3 当|a |>a 时，a ∈________；当|a |>－a 时，a ∈(0，＋∞)．当堂检测1．若|x －a |<m ，|y －a |<n ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |<2mB ．|x －y |<2nC ．|x －y |<n －mD ．|x －y |<n ＋m2．设ab >0，下面四个不等式：①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |.其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．4．方程|x |＋|log a x |＝|x ＋log a x |(a >1)的解集是________________．5．|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(3，4)D.[3，＋∞)7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A.必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．10．x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2. 12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．13．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.14．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )．方法小结1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a ∈R ，则|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0.|a |≥0，－|a |≤a ≤|a |，|a |2＝a 2. 2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件： |a ＋b |＝|a |＋|b |(ab ≥0)；|a －b |＝|a |＋|b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a ＋b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a －b |(ab ≥0)．参考答案思考1 (1)3 (2)8 (3)0思考2 (1)等号成立的条件是：ab ≥0；(2)等号成立的条件是：ab ≤0且a ≥b .(3)等号成立的条件是：(a －b )(b －c )≥0思考3 (－∞，0)当堂检测1.答案: D2.答案: C3.答案: 5 04.答案: {x |x ≥1}5.答案: A6.答案: A7．答案：B解析：∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；当|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．8．答案：4 －4解析：解法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二把函数看作分段函数y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.9．答案：5解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.10．答案：[0，2]解析：由|a |＋|b |≥|a －b |知，|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，同理|y |＋|y －1|≥1，故|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，所以0≤x ≤1且0≤y ≤1，即0≤x ＋y ≤2.11．解析：(1)由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.12．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②当ab ＜0时，则a (－b )＞0，|a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.13．证明：∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)＋(y－2x)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题意设|x＋y|<13，|2x－y|<16，∴3|y|<2×13＋16＝56.∴|y|<518.14．证明：由绝对值不等式知，ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝|x－x1|＋|x2－x|＋|y－y1|＋|y2－y|≥|(x－x1)＋(x2－x)|＋|(y－y1)＋(y2－y)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝ρ(A，B)．当且仅当(x－x1)·(x2－x)≥0且(y－y1)·(y2－y)≥0时等号成立．。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析新人教A版选

1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在点A 或点C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |； ②点B 不在点A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .原式――→变形重新分组――→定理转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s 3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s 3＝s . 所以|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a ，b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是( )A ．|a ＋b |>|a －b |B ．|a ＋b |<|a －b |C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b | 解析：选B ∵ab <0且|a －b |2＝a 2＋b 2－2ab ，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <|a －b |2.∴(|a |＋|b |)2＝a 2＋b 2＋2|ab |＝|a －b |2.故A 、D 不正确；B 正确；又由定理1的推广知C 不正确．2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6. 求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.(1)(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．(1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)∵|x |≤1，|a |≤1， ∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54.(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．(江西高考)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．解析：|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，|y |＋|y －1|≥|y －(y －1)|＝1，所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2，当且仅当x ∈，y ∈时，|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|取得最小值2，而已知|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈，y ∈，所以x ＋y ∈．答案：4．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．解：由题意知a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a<min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．课时跟踪检测(四)1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当a ＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确，D显然不正确．2．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B 原不等式即为|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<0. 3．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有( )A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|解析：选D ∵a，b，c∈R，且a>b>c，令a＝2，b＝1，c＝－6.∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，∴|a－c|>|a－b|.4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小解析：选B 当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2.5．不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，则a 的取值范围为________．解析：若使不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，只需a >(|x －1|－|x －2|)max . 因为|x －1|－|x －2|≤|x －1－(x －2)|＝1，故a >1.故a 的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)6．设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________．解析：∵|x －a |＋|x －b |＝|a －x |＋|x －b |≥|(a －x )＋(x －b )|＝|a －b |＞2， ∴|x －a |＋|x －b |＞2对x ∈R 恒成立，故解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是______(把你认为正确的序号都填上)．解析：log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确．综上可知①③④正确．答案：①③④8．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1. 证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1. 9．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：∵f (x )－f (a )＝x 2－x －a 2＋a ＝(x －a )(x ＋a －1)，|f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1<2|a|＋2＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求：(1)y的最小值；(2)使y<a有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)y＝|x－4|＋|x－3|＝|x－4|＋|3－x|≥|(x－4)＋(3－x)|＝1，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1，要使y<a有解，∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可，∴a max＝1.。

学案1.2 绝对值不等式

学案1.2 绝对值不等式一、学习目标：1、了解绝对值不等式的解法；2、会解含参不等式3、绝对值不等式的相关证明二、学习重、难点1、解绝对值不等式方法2、绝对值不等式的性质以及证明三、学习过程1、绝对值不等式的性质⑴a 的几何意义: 表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离.a b -表示数轴上的数A 对应的点与数b 对应的点B 的距离.(2)ab a b =,a ab b= （3）0≥⇔+=+ab b a b a 0≤⇔+=-ab b a b a b a ab b a b a >≤⇔+=-且0 b a ab b a b a >≥⇔-=-且0（4）2、解绝对值不等式——基本思想：去绝对值符号1、含一个绝对值的不等式的解法例1、解不等式2|55|1x x -+<． 2、含两个绝对值的不等式例2、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.点评：形如|()f x |<|()g x |型不等式，此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0 所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，nx 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －nx |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，nx 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，nx 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

3、解含参绝对值不等式例3、解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x总结：形如|()f x <a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式，此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ；当a =0时，|()f x <a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0；当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式(第1课时)预习导航学案新人教A版选修4-5

1.2 绝对值不等式 1预习导航1．理解绝对值的几何意义．2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．3．三个实数的绝对值不等式及应用．1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离．(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的距离，即线段AB 的长度．归纳总结 (1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a >0时，0，当a ＝0时，－a ，当a <0时.(2)对任意实数a ，都有|a |＝a 2.(3)实数积和商的绝对值运算法则： |ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a ||b |(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．【做一做】若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |解析：|x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|a －y |＜h ＋k .答案：C3．三个实数的绝对值不等式定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

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人教版高中数学选修(4-5)-1.2《绝对值三角不等式》参考学案

选修4-5学案 1.2.1绝对值三角不等式姓名 ☆学习目标： 1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用☻知识情景：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥.当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,,那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立.讨论: 10. 你能解析基本不等式的几何意义吗?20. 怎样用语言表述基本不等式?30. 在应用基本不等式求最值时要注意什么?推论10. 两个正数的算术平均数2b a +, 几何平均数ab ,平方平均数 , 调和平均数b a ab +2，从小到大的排列是:3.定理3 如果,,a b c R +∈,那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立.定理3的国语表述: 推论10. 对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的即当且仅当a b c ==时, 等号成立.☆探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要打的意义. ☻建构新知：1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩2. 绝对值的几何意义：10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，那么||a b -的几何意义是例1 设函数()14f x x x =+--．()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．2. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系. ①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++. 综上,得定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当时, 等号成立.在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有||||||a b a b ++ 它的几何意义就是: 定理1的证明:定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当时, 等号成立.。

201X-201x高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法学案新人教

1.2.2 绝对值不等式的解法预习案一、预习目标及范围1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、预习要点教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a∅ ∅ |x |>a {x ∈R |x ≠0} R教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．三、预习检测1.不等式|x ＋1|＞3的解集是( )A ．{x |x ＜－4或x ＞2}B ．{x |－4＜x ＜2}C ．{x |x ＜－4或x ≥2} D.{x |－4≤x ＜2}2.不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 3.在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．探究案一、合作探究题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．[再练一题]1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】解f x≤3，由集合相等，求a→求y＝f x＋f x＋5的最小值，确定m的取值范围[再练一题]2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.【精彩点拨】(1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．[再练一题]3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.二、随堂检测1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.参考答案预习检测：1.【解析】由|x ＋1|＞3，得x ＋1＞3或x ＋1＜－3，因此x ＜－4或x ＞2.【答案】 A2.【解析】 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．【答案】 C3.【解析】不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，当－32≤x ≤32时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 随堂检测：1.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 B2.【解析】由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3.【解析】 |x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－32且x ≠－2 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

1.2.1绝对值三角不等式教案(优秀经典公开课比赛教案)

课题：1.2.1绝对值三角不等式一、教材分析：本节课是人教A 版选修4-5《不等式选讲》中的第一讲“不等式和绝对值不等式”中第二节第一课时的内容，属于定理课．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义.绝对值三角不等式既是一个基本的结论，又是知识承上启下的一个生长点.承上：学生在初中里就已经接触和学习了绝对值的定义与几何意义，这里继续沿用；启下：绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法.二、教学目标：1、知识与技能：(1)理解绝对值的定义；(2)掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；(3)理解绝对值三角不等式；(4)会用绝对值不等式解决一些简单的问题。

2、过程与方法：利用绝对值的定义，充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

3、情感、态度与价值观：让学生在绝对值三角不等式的推理和证明过程中，体会转化和数形结合的数学思想，培养学生的分析问题、解决问题的能力。

三、教学重点：定理1的证明及几何意义。

四、教学难点：换元思想的渗透。

五、教学准备1、课时安排： 1课时2、学情分析：因为是选修4系列内容，面对的是高三学生，学生虽然在初中接触过绝对值的定义和几何意义，但对于绝对值不等式没有深入学习过，所以本节课的知识对学生来说比较新鲜.同时，利用几何意义探究绝对值不等式相关问题的方法对学生来说比较困难.有利要素是学生已经具备一定的分类讨论思想以及不等式证明的方法.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究七、教学过程1、自主导学：Ⅰ、创设情境：1、在数轴上，你能指出实数a 的绝对值a 的几何意义吗？2、绝对值的性质：)0(,≠=•=•b ba b ab a b a ，那么，b a b a +=+？b a b a -=-？2、合作探究（1）分组探究：Ⅱ、新知探究：探究一、你能用恰当的方法总结出b a +与b a +之间的大小关系吗？定理1：若a,b 是实数，则b a b a +≤+，当且仅当0≥ab 时取“=”。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课堂演练含解析4_5

第一讲不等式和绝对值不等1。

2 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式A级基础巩固一、选择题1．若|x－m|＜ε，｜y－m|＜ε,则下列不等式中一定成立的是（）A．|x－y|＜εB．|x－y|＜2εC．|x－y|＞2εD．｜x－y｜＞ε解析：｜x－y|＝|x－m－(y－m）｜≤|x－m|＋|y－m｜＜2ε.答案：B2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是（）A．|a＋b|＞a－b B．2错误!≤|a＋b|（ab＞0)C．|a＋b|≤｜a｜＋|b｜ D.错误!≥2解析：令a＝1,b＝－1,则A不成立．答案:A3．对于实数x，y，若｜x－1｜≤1，｜y－2|≤1，则|x－2y＋1｜的最大值为（)A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意得,|x－2y＋1｜＝|（x－1）－2（y－1)｜≤｜x －1｜＋｜2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知｜a|≠｜b|，m＝错误!，n＝错误!，则m,n之间的大小关系是（）A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m≤n解析：由绝对值三角不等式知|a|－｜b|≤｜a±b｜≤｜a|＋|b|,所以错误!≤1≤错误!。

答案：D5．不等式｜x＋3｜＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[－1，4］B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C．(－∞，－2）∪[5，＋∞）D．［－2,5］解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3｜＋｜x－1｜的最小值为4,所以不等式｜x＋3｜＋｜x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

1.绝对值三角不等式一、选择题1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( )A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|解析:∵ab<0,∴a,b异号,设a=2,b=-3,则|a+b|=|2-3|=1,|a-b|=|2-(-3)|=5,1<5,∴|a+b|<|a-b|.答案:B2.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n解析:由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.答案:D3.若对任意实数x,不等式|x+1|-|x-2|>a恒成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,3)B.(-∞,3]C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]解析:恒成立问题,往往转化为求最值问题,本题中a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立, 即a<[|x+1|-|x-2|]min,也就转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值问题.∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3.∴[|x+1|-|x-2|]min=-3.∴a<-3.答案:C4.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析:∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.答案:C二、非选择题5.函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是.解析:y=|x+1|-|x-1|≤|x+1+1-x|=2,当且仅当x≥1时,等号成立.答案:26.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立. 答案:27.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是(把你认为正确的序号都填上).解析:∵x>1,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上①③④正确.答案:①③④8.已知p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则2. 解析:当p,q至少有一个为0时,≥2;当pq>0时,p,q同号,则px与同号,所以=|px|+≥2.故≥2.答案:≥9.已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,可知g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).10.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.解：证明:(1)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+| c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x) =bx+c,且-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.11. 设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解:(1)由a>0,有f(x)=+|x-a|≥+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.。

高二数学(人教版)必修四《绝对值三角不等式的应用》教学设计

《绝对值三角不等式的应用》教学设计一、教学目标（一）学习目标1.了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法.。

2.掌握运用绝对值三角不等式求函数的最值。

（二）学习重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

（三）学习难点：绝对值三角不等式取等条件及运用绝对值三角不等式求函数的最值。

二．课堂设计1.绝对值三角不等式的知识点：（1）|a|、|a-b|的几何意义；（2）定理1 若,a b R+≤+，当且仅当ab≥0时，∈，则||||||a b a b等号成立。

（3）定理2 若,,a c ab b c-≤-+-，当且仅当∈，则||||||a b c R(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

（4）拓展：若,a b R-≤±≤+及等号成立条件。

a b a b a b∈，则|||||||||||||a|-|b| ≤ |a+b|≤|a|+|b| （ab≥0取“=”）|a|-|b| ≤ |a-b|≤|a|+|b| （ab ≤0取“=”）2.典例分析：例1.函数|4||6|y x x =-+-的最小值为（）A.10B.7C.4D.2【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】|4||6||(4)|6||2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(4)(6)0x x --≤即46x ≤≤ 取等号.【思路点拨】注意使用绝对值三角不等式求最值时的不等号方向以及取等条件.【答案】D▲含参双绝对值问题例2 ,|38||32|R x x x a ∀∈+--≤，求实数a 的取值范围 .【知识点】绝对值三角不等式；恒成立问题.【解题过程】因为,|38||32|R x x x a ∀∈+--≤，所以max (|38||32|)x x a +--≤，||38||32|||(38)(32)|10x x x x +--≤+--=，即10a ≥【思路点拨】利用绝对值三角不等式求函数最值【答案】10a ≥例 3.若关于x 的不等式|38||3|10x x a ++-≤的解集非空，求实数a 的取值范围.【知识点】绝对值不等式；存在性问题即能立问题【解题过程】根据题意，得min (|38||3|)10x x a ++-≤，|38||3||(38)(3)||8|x x a x x a a ++-≥+--=+，所以|8|10,10810,182a a a +≤-≤+≤-≤≤ 【思路点拨】当函数参数时，仍可利用绝对值求最值【答案】182a -≤≤【设计意图】通过对例题的讲解，掌握数形结合解决双绝对值的含参问题.3. 课堂总结知识梳理（1）如果,a b 是实数，则||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立.（2）如果,,a b c 是实数，那么||||||a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立.重难点归纳（1）绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用.（2）绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.。

1.2.4绝对值(第一课时)学案

1.2.4绝对值(第一课时)学案一、学习目标：1、理解绝对值的几何意义和代数意义；2、会求一个有理数的绝对值；二、自主预习：1、一般地，，叫做数a 的绝对值。

2、5-= ，7.3+= ，0= ，8.5--= ；3、一个正数的绝对值是，即：若,0>a 则=a ；一个负数的绝对值是，即：若,0>a 则=a ；0的绝对值是（双重性）；4、如果一个数的绝对知是4，则这个数是；三、课堂同步互动：（一）绝对值的意义1、定义：（1）绝对值的几何意义：（2）计算：6=_____，3.5=_______; 7-=_______,7.3-=_____;0=__. 你能从上面的题目中发现什么规律吗？归纳绝对值的代数意义：绝对值的代数意义用式子表示：2、理解绝对值概念时应注意的问题（1）一个数的绝对值是表示_________________，这说明任何一个有理数的绝对值是一个______数，即0≥a .（2）绝对值等于0的数一定是0，即绝对值最小的数是___；绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是________；若两个数互为相反数，则这两个数的绝对值_____；若两个数的绝对值相等，则这两个数____________。

（二）求一个数的绝对值例1 在数轴上画出表示4，,2-131，0,5.4-及其他们的相反数的点，然后写出所有各数的绝对值.例2 绝对值等于它本身的数是，绝对值等于它的相反数的数是 . 例3 若012=++-b a ，则=a ，=b .四、课堂训练：1、判断下列说法是否正确：（1）符号相反的数互为相反数（）；（2）符号相反且绝对值相等的数互为相反数（）；（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右（）；（4）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远（）.2、说出下列各数的绝对值：,125- +23 ， 5.3-， 0， ,32 ,23- 05.0-. 上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对值最小？五、中考链接1、2+= ， 14.3-= ， 7--= 。

1-2-4 绝对值(第1课时绝对值的概念及性质)(学案)-(人教版)

1.2.4 绝对值（第1课时绝对值的概念及性质）学案1. 理解绝对值的概念，能够正确地写出一个有理数的绝对值；2. 知道一个有理数的绝对值是非负数.★知识点1：绝对值的概念掌握绝对值的非负性是学好绝对值的关键，一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离是正数或0，所以|a|≥0.互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；绝对值等于0的数有一个，是0.没有绝对值等于负数的数.★知识点2：绝对值的求法在求一个数的绝对值时，先判断这个数是正数、负数还是0，再由绝对值的定义去求.★知识点3：绝对值的性质求一个数的绝对值的方法，就是给这个数带上符号“| |”，如a－b的绝对值为|a－b|，任何一个数只要带了这个符号，其结果就不可能是负数，就像带了平方符号一样，a2、|a|都具有非负性.1. 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的，记作.2. 一个正数的绝对值是它的；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是，即：(0)(=0)(0)aa aa⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩＞＜.1. 数轴的概念，数轴的三要素：.2. -（-4）是的相反数，的相反数是-（+3），一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是.问题1：两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10 km，到达A、B两处.追问1：它们行驶的路线相同吗？追问2：它们行驶的路程相同吗？问题2：绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.（几何定义）．①A，B两点分别表示数－10和10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以－10和10的绝对值都是，即|－10|＝，|10|＝. 显然|0|＝.②一个数是由它的和两部分组成．例1：写出下列各数的绝对值：6，－8，－0.9，52，211，100，0.例2：填表并找规律:讨论：当a>0时，|a|=___；当a<0时，|a|=___；当a=0时，|a|=___.1. 有没有绝对值等于－2的数？2. 一个数的绝对值会是负数吗？为什么？3. 不论有理数a取何值，它的绝对值总是什么数？1. 判断下列说法是否正确？(1)符号相反的数互为相反数. ( )(2)符号相反且绝对值相等的数互为相反数.( )(3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右. ( )(4)一个数的绝对值越大，在数轴上表示它的点离原点越远.( ) 2. 计算：(1)|-0.1|= ；(2)|-101|= ；(3)|0|= ；(4)-|-7.5|= ；(5)如果|x|=2，则x = .3. (1)绝对值是3的数有几个？是什么？(2)绝对值是0的数有几个？是什么？(3)绝对值是－1的数是否存在？为什么？4. 判断正误：(1)|－0.3|＝|0.3|；( )(2)－|－5|＝|－5|；( )(3)－|3|＝|－3|；( )(4)有理数的绝对值一定是正数；( )(5)绝对值最小的数是0；( )(6)如果数a的绝对值等于a，那么a一定为正数；( )(7)若a＝b，则|a|＝|b|；( )(8)若|a|＝|b|，则a＝b. ( )1. 表示数a的点到的距离叫做数a的绝对值；正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.2. _____的绝对值等于它本身，的绝对值等于它的相反数. 绝对值等于10的正数是，绝对值等于2.5的数是，绝对值等于3的数是.3. 绝对值最小的数是，任何一个数的绝对值0.4. 绝对值小于3的整数一共有多少个？5. 如果| a |=－a，则a的取值范围是.6. 求绝对值不大于2的整数.7. 如果| a +3 |与| 2b-8 |互为相反数，求a、b的值.1．（2022•百色）－2023的绝对值等于（）A．－2023B．2023C．±2023D．2022 2．（2022•广东）|-2|=（）A．-2B．2C．12D．123.（2020•包头3/26）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）A．﹣2或1B．﹣2或2C．﹣2D．14.（2019•呼和浩特1/25）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（）【参考答案】1. 绝对值；|a|；2. 本身；相反数；0；a；0；-a.1. 原点、单位长度、正方向；2. -4；3；非正数.问题1：追问1：不同，因为方向不同；追问2：相同. 因为线段OA的长度= 线段OB的长度.问题2：①10；10；10；0；②符号；绝对值.例1：解：|6|=6；|－8|=8；|－0.9|=0.9；5522=；221111-=；|100|=100；|0|=0.例2：解：任何一个数的绝对值都是非负数(正数和0).一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.互为相反数的两个数，其绝对值相等.1. (1)（×）；(2)（√）；(3)（×）；(4)（√）.2. (1)0.1；(2)101；(3)9；(4)-7.5；(5)±2.3.(1)有两个，分别是3和-3；(2)有一个，是0.；(3)不存在，到原点的距离不能是负数.4. (1)（√）；(2)（×）；(3)（×）；(4)（×）；(5)（√）；(6)（×）；(7)（√）；(8)（×）.1. 原点；本身；相反数；0；2. 非负数；负数；10；-2.5、+2.5；-3 ，+3；3. 0；大于等于；4. 答：绝对值小于3的整数一共有5个，它们分别是:－2，－1，0，1，2；5. a≤0；6. 0，±1，±2.7. 解：因为| a +3 |≥0，| 2b-8 |≥0，且| a +3 |与| 2b-8 |互为相反数，所以a +3=0，2b-8=0，解得：a =-3，b=4.1．【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；。

1[1].2绝对值三角不等式课件(人教A选修4-5)

2．___________________________________ 定理 2 ：如果 a ， b ， c 是实数，那么 |a － ______________________________________ c|≤|a － b| ＋ |b － c|. 当且仅当 (a － b)(b － ______________________ c)≥0时，等号成立.
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) 1 ＝－log(1＋a)(1－a)－ . log1＋a1－a 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， 1 1 ∴左边＝－t－ t ＝(－t)＋ >2. －t 由选择题的唯一性，其余可不判断．
二
绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
学习目标 1 ．绝对值三角不等式课前自主学案式定理并会应用；
2．会进行含绝对值三角不等式的证明．
课前自主学案
如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a| 1．定理1：____________________________ ＋|b|.当且仅当ab≥0时等号成立． ______________________________ a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a 推论1：如果 ______________________________ －b|≤|a|＋|b| ____________. 如果a，b是实数，那么|a|－推论2：__________________________ |________________. b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|

人教版数学高二学案第一讲二、绝对值不等式(一)

二绝对值不等式1绝对值三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？提示表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和.2.定理2的几何解释是什么？提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.1.绝对值的几何意义如图(1)，|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.如图(2)，|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离.2.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.3.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立.要点一绝对值三角不等式的性质例1设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值.解|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②当ab＜0时，则a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥0，应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a－c的变形要记住：a－c＝(a－b)＋(b－c)，从而不等式|a ＋b|≤|a|＋|b|可以变形为|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.跟踪演练1若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A.|a|＜|b|＋|c|B.|c|＜|a|＋|b|C.b＞||c|－|a||D.b＜|a|－|c|解析由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.而由A 成立，得|c |－|a |＞－|b |，由B 成立，得|c |－|a |＜|b |，∴－|b |＜|c |－|a |＜|b |.即||c |－|a ||＜|b |＝b .故C 成立.由A 成立知D 不成立，故选D.答案 D要点二用绝对值三角不等式的性质证明不等式例2 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2. 证明 ∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2>|b |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.故原不等式成立. 规律方法分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.跟踪演练2 证明不等式：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. 证明当a ＋b ＝0时，不等式显然成立.当a ＋b ≠0时，∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1 |a＋b|≥1|a|＋|b|.于是|a＋b|1＋|a＋b|＝11＋1|a＋b|≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|，∴|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.要点三绝对值三角不等式在生活中的应用例3在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N 都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小值.解设点P(x，y)，且y≥0.(1)点P到点A(3，20)的“L路径”的最短距离d，等于水平距离＋垂直距离，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(2)点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和的最小值d＝水平距离之和的最小值h＋垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.当20≥y≥1时，v＝20－y＋2y＝20＋y≥21，当y＝1时取“＝”.∵x ∈时，水平距离之和h ＝|x －(－10)|＋|14－x |＋|x －3|≥|x ＋10＋14－x |＋|x －3|≥24，且当x ＝3时， h ＝24.因此，当P (3，1)时，d ＝21＋24＝45.当0≤y ＜1时，v ＝20－y ＋(1－y )＋1＋y ＝22－y ＞21，水平距离之和h 不变，所以d ＞45.所以，当点P (x ，y )满足P (3，1)时，点P 到A ，B ，C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.规律方法数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的两点间的距离为：d ＝|x 1－x 2|或d ＝|y 1－y 2|，如果已知两个变量x 1，x 2的大小关系，则不用加绝对值.跟踪演练3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10 km 和第20 km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？解设生活区应该建于公路路牌的第x km 处，两个施工队每天往返的路程之和为s (x )km ，则s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|).因为|x －10|＋|x －20|＝|x －10|＋|20－x |≥10，当且仅当(x －10)(20－x )≥0时取等号.解得10≤x ≤20.所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路之和最小.要点四绝对值三角不等式的综合应用例4 已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在上的单调性，并给出证明；(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. (1)解 f (x )在上是减函数.证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－xx 2＋1.取－1≤x 1＜x 2≤1，则u 1－u 2＝（x 2－x 1）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.又在上u ＞0，故lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在上是减函数.(2)证明 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16＝13. ∴－13≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤13. 由(1)的结论，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 710，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝lg 1310， ∴lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 规律方法此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键.跟踪演练4设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).证明|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－1)|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1.∵|x|－|a|≤|x－a|＜1，∴|x|＜|a|＋1.∴|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1).∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的.2.求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理.1.若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是()A.|x－y|＜2hB.|x－y|＜2kC.|x－y|＜h＋kD.|x－y|＜|h－k|解析|x－y|＝|(x－a)＋(a－y)|≤|x－a|＋|a－y|＜h＋k.答案C2.已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是()A.m＞nB.m＜nC.m＝nD.m≤n解析由绝对值三角不等式，知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.∴|a|－|b||a－b|≤1≤|a|＋|b||a＋b|.答案D3.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________.解析y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立.答案24.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求证：(1)|c|≤1；(2)|b|≤1.证明(1)由|f(0)|≤1，得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1，得|a＋b＋c|≤1，由|f(－1)|≤1，得|a－b＋c|≤1，故|b|＝|a＋b＋c＋（－a＋b－c）|2≤12(|a＋b＋c|＋|a－b＋c|)≤1.。

绝对值不等式

定理1 如果a, b是实数, 则 | a b || a | | b |, 当且仅当ab 0时, 等号成立.
探究如果把定理1 中的实数a, b 分别换为向量a , b, 能得出什么结果? 你能解释它的几何意义吗?
在上面的不等式中 , 用向量 a, b 分别替换a, b,当向量a, b不共线时, 那么由向量加法的三角形法则, 向量a b, a, b构成三角形, 因此我们有向量形式的不等式 | a b || a | | b | .
全国名校高中数学选修系列优质学案汇编（附详解）
二绝对值不等式
从不等式的背景可以看到, 许多不等关系都涉及到距离的长短, 面积或体积的大小 , 重量的大小, 等等 , 它们都要通过非负数来表示 .因此, 研究含有绝对值的不等式具有重要意义.
1 绝对值三角不等式
我们知道,实数a的绝对值 | a | 有明确的几何意义, 它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离图1.2 11.
下面研究| a |, | b |, | a b | 之间的关系 .
探究用恰当的方法在数轴上把 | a |, | b |, | a b | 表示出来, 你能发现它们之间的什么关系?
我们先分 ab 0和ab 0两种情况讨论 . 当ab 0时, 如图1.2 2容易得到 | a b || a | | b | .
为了更好地理解定理 1, 我们再从代数推理的角度给出它的证明 . 证明当ab 0时, ab | ab |,
| a b |
2
a b a2 2ab b2
2
| a | 2 | ab | | b |
2

| a | | b |