【数学】3.1.1 变化率问题gai
高中数学选修1-1精品课件2：3.1.1 变化率问题
[点评] 瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值．因此， 要求瞬时速度，应先求出平均速度．
(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运
动方程是 S＝－4t2＋16t(S 的单位为 m；t 的单位为 s)，则该物
体在 t＝2s 时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
题目类型二、瞬时变化率
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高 度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝(v0 －gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
题目类型一 平均变化率
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并 计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化 率为fx0Δ＋xΔx＝x0＋ΔΔxx3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
3．瞬时变化率、瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在
时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位
高中数学 3.1《变化率问题》课件(1) 北师大版选修1-1
3.1 变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2019/3/24
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
2019/3/24
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
2019/3/24
小结：
• 1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2 1
2019/3/24
0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
2019/3/24
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
3.1.1变化率问题
极限（数学术语）编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。
此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
极限思想编辑简介极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计极限思想的思维功能极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
人教A版高中数学选修1-1 第三章3.1.1 变化率问题教学课件 (共21张PPT)
们的意义。
lim f关’(键2)是求出： x0
ff
'
((22)；它说xf)明'(6在f)第(22)(h)附近，原
度油下温x降度；大在约第以63(h0C)/附H的近速，
lim f ’(6)
f (6 原油x)温度f 大(6约) 以5 0C/H的
x0
x 速度上升。
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些收获？ 平均变化率、瞬时变化率（即导数） 体会了函数思想、逼近思想方法、概念形成 过程中的抽象概括
t0
t
思考
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
lim f (x0 x) f (x0般地，函数y f (x)在x x0处的瞬时变化率是
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
h(
65
)
并思考下面的问题：
h(0)
P73
v
49 65 0
0 （1）运动员在这段
时间里是静止的吗？
49
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有
t 0时，在2，2+t这段时间内
v
h(2
t)
h(2)
4.9t 2
13.1t
(2 t) 2
t
4.9t 13.1
瞬时速度
我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
人教版高中数学选修1-1《3.1.1变化率问题》
求平均变化 率的步骤
平均变化率 的几何意义
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。
谢谢
高中数学人教A版选修1-1
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
整体介绍
引 言
“人类精神的 分
莱布尼茨
微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： ①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与 加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。 ②求曲线的切线。
3
情境二 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高 度 h (单位:m)与起跳后 的时间 t (单位:s) 存在 函数关系
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
思考：如何描述其运动状态呢？
吴敏霞跳水视频
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态, 那么:
x1
x2
求平均变化率的主要步骤
反思与感悟
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
y f ( x2 ) f ( x1 ) (3)计算平均变化率 x2 x1 x
小试牛刀
例练 求平均变化率 (1)函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
平均变化率
理解
用 x
x2 x1 ，则 y f ( x2 ) f ( x1 )
一变
y 可正、
可负、可0
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
x 和 y 的范围有要 思考：
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.1.1变化率问题1 精品
k P1P2
f x2 f x1 .
x2 x1
(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不 一定说明函数f（x）没有发生变化. （3）平均变化率的物理意义 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即 v st2 st1 .
【解题指导】
【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
s 3t （t）②2 ， 3… …t ………………………………3分
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案：f(x0+Δx)-f(x0)
1.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
y f x2 f x1 f x1 x f x1 . 式子中的Δx是一个整体
x
x2 x1
x
符号，不是Δ与x相乘.
(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
t12+t，
4
Δs=
（14 t0+Δt）2+(t0+Δt)-(
《3.1.1 变化率问题》PPT课件(河南省市级优课)
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
30
C (34, 33.4)
20
B (32, 18.6)
10
A (1, 3.5)
2
01
10
20
30 34
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
导入问题情境
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
温差15.1℃ 温差14.8℃
30
20
10
2
01
10
20
30 34 t(d)
构建数学模型
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
三、数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
20
30 34 t(d)
问题3 图中哪一段图像更“陡峭”？
问题4 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
山东省临清市高中数学全套教案选修1-1：3.1.1 变化率问题
3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤： T(月)6 3 9 12（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆ 【板书设计】：略【作业布置】：略。
高中数学 北师大选修1-1 3.1.1《变化率问题》
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 思函考数:关这系一是现象V (中r)， 4哪些r3 量在改变？变量的变化情况？
变式训练3
已知函数
，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
25 3t
必做题
人教版高中数学必修1-1《3.1.1变化率问题》
示, 我 们 把 这 个 式 子 称 为 函数 f x从 x1到 x2的 average rate of change .习 惯 上
用x表 示 x2 x1 ,即x x2 x1 ,
y
fx2 fx1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
2.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中 相应的平均速度为(A ) A. 6+t B. 6+t+ 9 C.3+t D.9+t
t
3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
小结：
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：
v 49
0(s / m)
65 0
49
O t 65 65
t
虽然运动员在
0 t 65 49
98 49
这段时间里的平均
速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然
运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
如 果 上 述 两 个 问 题 中 的函 数 关 系 用f x表 示, 那 么 问 题 中 变 化 率 可 用式 子 f x2 f x1 表
(2)解： △y=f (x+△x)- f (x)
=2△x ·x+(△x )2
y 2x x (x)2
x
x
2x x
课堂练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,2+Δy),则Δy/Δx=( )
3.1.1变化率问题
3.1.1变化率问题习题【知识点总结】1、我们把式子2121()()f x f x x x --称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率。
习惯上令21x x x ∆=-，类似有21()()y f x f x ∆=-，于是平均变化率可以表示为y x ∆∆. 2、平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示连接两点的线段所在直线的斜率。
3、我们把函数值的增量与自变量的增量的比值叫做函数在这一区间上的平均变化率。
4、求平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量21()()y f x f x ∆=-；（2）求自变量的增量21x x x ∆=-；（3）计算2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的值. 5、求平均变化率的另一种步骤：（1） 求函数值的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2） 计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆的值. 注意：知识点5计算平均变化率的方法，为后一节定义导数做铺垫，要好好理解。
【基本题型练习】1、求函数2y x =在区间[]1,3上的平均变化率。
解：22(3)(1)318y f f ∆=-=-=312x ∆=-=∴ (3)(1)84312y f f x ∆-===∆- 变式一：求函数2y x x =+在区间[]1,3上的平均变化率。
2、求函数2y x x =+在区间[]3,3x +∆上的平均变化率。
解：(3)(3)y f x f ∆=+∆-2222(3)396()96()x x x x x =+∆-=+∆+∆-=∆+∆∴ 26()6y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆ 变式二：求函数23y x =在区间[]3,3x +∆上的平均变化率。
【变式练习参考答案】变式一：求函数2y x x =+在区间[]1,3上的平均变化率。
解：22(3)(1)(3+1(11)8y f f ∆=-=-+=)312x ∆=-=∴ (3)(1)84312y f f x ∆-===∆- 变式二：求函数23y x =在区间[]3,3x +∆上的平均变化率。
课件11：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念
类型2 求瞬时速度 【例 2】 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的 关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度．
在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2.
【例 3】 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为__________．
【解析】Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，Δlxi→m0 1＋1Δx＋1＝21， 所以 y′|x＝1＝12. 【答案】12
【例 3】 (2)如果一个质点由定点 A 开始运动， 在时间 t 的位移函数为 y＝f(t)＝t3＋3， ①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求 Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
初试身手 1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】函数的平均变化率为ΔΔyx，显然其值是可正、 可负、可为零的，故选 D． 【答案】D
2．已知函数 f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值
3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念
学习目标
核心素养
1.了解导数概念的实际背景．(难点) 1．通过学习导数概念，培养
2.会求函数在某一点附近的平均变化 学生数学抽象的素养.
率．(重点)
2.借助导数的定义求函数在
3.会利用导数的定义求函数在某点处 某点的导数，培养数学运算
的导数．(重点、难点)
高中数学(3.1.1变化率问题)
思 考 ？
问题2：高台跳水
田亮在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少？ 在1秒到2秒时间段内呢？
探 究 ？
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把 这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的 平均变化率：
以上的二个例子中，我们可以了解到，平均变化率是指 在某个区间内数值的平均变化量.
怎样求解平均变化率呢？
一般情况下，求解步骤为：
思 考 ？
平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。
即要保证分子自变量的差值与分母相等，此时才为斜率
课堂小结 1、平均变化率 2、平均变化率的求解步骤 3、平均变化率的几何意义
第一章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
问题1：气球膨胀率
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。 发现： 随着气球内空气容量的增加，气球的半径 增加的越来越慢。
从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的平均随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐 渐变小。
最新新人教A版选修1-1高中数学 3.1.1 变化率问题公开课教学设计
3.1.1 变化率问题教案新人教A版选修1-1一.设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．二.教学目标1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
三.教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；四.教学难点：平均变化率的概念．五.教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．六.教学过程一．创设情景（1）让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？（2）学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．二．新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
3.1.1变化率问题,教案
3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
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第三章 导数及其应用 第一节 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V)
r (2) r (1) 0.16(dm),
r (2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L ), 2 1
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
思考:
• 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) ) f ( x1 ) y x2 x1 x
理解： y 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式:
探 究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 ， 需要用瞬时速度描述运动状态。
定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率:式子 x2 x1 的平均变化率.
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率 x x2 x1
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
v
描述其运
如果用运动员在某段时间内的平均速度 动状态, 那么:
h(0.5) h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05(m/s ); 0.5 0 h(2) h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v 8.2(m/s ); 2 1
4 3 V(r ) r . 3
3
3V . 4
随着 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 气球体积 r (1) r (0) 0.62(dm), 逐渐变大, 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0) 0.62(dm/L ), 它的平均 1 0 膨胀率逐 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
4、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q
y = x +1
y
2
P
x
M
1
j
-1 O
1
小结：
y f ( x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
直线AB的斜率
O
随堂练习:
1.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ;
(2) [ 0 , 5 ] .
• 2、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) D A、3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx • 3、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx