沪科版八年级数学三角形的边角关系测试题

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沪科版八年级数学(上)第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷

第 1 页八年级数学〔上〕第13章测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1. 以下关于三角形按边分类正确的选项是A B C D 2. 以下语句中，属于命题的是A ．等角的余角相等B ．两点之间，线段最短吗C ．连接P 、Q 两点D ．任何数是不是都有立方根 3. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行〞的题设是A ．垂直B ．两条直线C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线 4. 以下选项中，可以用来说明命题“假设|x |＞2，那么x ＞2〞是假命题的反例是A ．x ＝3B ．x ＝2C ．x ＝－2D ．x ＝－35. 如图，CD 、CE 、CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，那么以下各式中错误的选项是A ．AB ＝2BF B ．∠ACE ＝12∠ACBC ．AE ＝BED ．CD ⊥BE6. 三角形三边的长分别为1，2，x ，那么x 的取值范围在数轴上表示为A B C D7. 如图，直线a ∥b ，∠1＝55°，∠2＝45°，那么∠3的度数为A ．110°B ．100°C ．90°D ．80°8. 假如三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的2倍，那么这个三角形一定是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 9. 如图，以下结论错误的选项是 A ．∠AEH ＝∠CED B ．∠AHE ＞∠DC ．∠B ＞∠ACD D ．∠B ＋∠ACB ＝180°－∠A10. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，CF 平分△ABC 的外角∠ACE ，CF 交BA 延长线于点F ，交BD 延长线于点M 。

在以下结论中：①∠BMC ＝∠MBC ＋∠F ；②∠ABD ＋∠BAD ＝∠DCM ＋∠DMC ；③2∠BMC ＝∠BAC ；④3(∠BDC ＋∠F )＝4∠BAC 。

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1＋∠2的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.180°2、如图，△ABC的面积为1cm2， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A. B. C. D.3、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A.△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长B.△ABE的面积＋△CDE 的面积＝△BCE的面积C.△ABE∽△DECD.△ABE∽△EBC4、若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为A.20°B.50°C.80°D.100°5、平行四边形的两条对角线长分别为8cm和10cm，则其边长的范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜86、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.140°7、如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°8、如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A.70°B.80°C.90°D.100°9、如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是( )A.1B.5C.8D.1410、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD :S△ACD=( )A.3:4B.4:3C.16:9D.9:1611、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°B.如果，则∠B=60°，∠A=30° C.如果，那么△ABC是直角三角= D.如果，那么△ABC是直角三角形12、如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )A.24B.10C.4.8D.613、如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠ABC的度数是( )A. B. C. D.14、如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A.105°B.110°C.100°D.120°15、下列命题正确的有 ( )个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为750③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知四条线段的长分别为13 cm，10 cm，7 cm，5 cm，从中任取三条线段为边组成三角形，则这样的三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图为等边△ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC 上，且BD=BE，若AB=3，DE=1，则△EFC的面积为（）A. B.1 C. D.3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（）A.30°B.40°C.45°D.50°4、如图，已知，，，则的度数是（）A. B. C. D.5、如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC=70°，则∠EOF 等于（）A.10°B.20°C.30°D.70°6、已知三角形三边的长为a、b、c，则代数式（a-b）2-c2的值为（）A.正数B.负数C.0D.非负数7、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（）A.2B.4C.6D.88、某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对9、有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是( )A.3, 4, 8B.5, 6, 11C.3, 1, 1D.3, 4, 610、在中，，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定11、如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A.α﹣βB.β﹣αC.180°﹣α+βD.180°﹣α﹣β12、下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A.◎代表∠FECB.@代表同位角C.▲代表∠EFCD.※代表AB13、如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A，D 重合，记PB＋PC＝a，AB＋AC＝b，则a、b的大小关系是（）A.a＞bB.a＝bC.a＜bD.不能确定14、如果一个三角形的两条边长分别为2和6，那么这个三角形第三边的长可能是 ( )A.2B.3C.4D.6.215、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知三角形的三边长分别为4，8，a，则a的取值范围是 ________ ．17、如图，E是直线CD上的一点．已知□ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为________cm2。

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷4

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷4一、选择题（共12小题；共60分）1. 把一副三角尺，按如图所示的位置拼在一起，则图中A. B. C. D.2. 下列关于三角形分类不正确的是（注：斜三角形是钝角三角形和锐角三角形的统称）A. B.C. D.3. 三角形的三边长分别为，，，它们满足，则该三角形是A. 直角三角形B. 底边和腰不相等的等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是D.5. 下列命题是真命题的是A. 若，则，B. 若，则，C. 若，则且D. 若，则或6. 已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，则点叫做的A. 外心B. 内心C. 重心D. 无法确定7. 如图，在中，平分，交于点，于点，若，，则的面积为A. B. C. D.8. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是A. 已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式B. 如果的相反数为，那么为C. 如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数9. 下列能使两个直角三角形全等的条件是A. 一锐角对应相等B. 两锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条直角边对应相等10. 如图，被纸板遮住的三角形是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种都有可能11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是A. B. C. D.12. 甲乙两人轮流在黑板上写下不超过的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字时有必胜的策略．A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）13. 如图，共有个三角形．14. 如图，在中，是边上的高，平分，，，则．15. 命题：对顶角相等的逆命题为．16. 如图，放置，点与原点重合，与轴正半轴重合，是中点，点是的重心，若，则点的坐标为．17. 若三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形是三角形．18. 如图，是用七巧板拼成一个图形，其中，，板的面积分别为，，，则．三、解答题（共8小题；共104分）19. 如图，，，是直角三角形吗?为什么?20. 将下列命题先改写成“如果那么”的形式，再指出命题的条件和结论．（1）同旁内角互补；（2）一个锐角的补角大于这个角的余角；（3）异号两数相加得零．21. 如图，在中，是边上一点，连接．图中有几个三角形?它们分别是．22. 【例】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在中，为边上一点，则（填“”，“”或“”）（2）将（）中点移到内，得图②，试观察比较的周长与的周长的大小，并说明理由．（3）将（）中点变为两个点，得图③，试观察比较四边形的周长与的周长的大小，并说明理由．23. 以内（含）收费元；超过的部分每千米收费元．（1）写出应收费（元）与出租车行驶路程（）之间的关系式（其中）；（2）小亮乘出租车行驶，应付多少元?（3）小波付车费元，那么出租车行驶了多少千米?24. 如图，是的中线，点是的重心．（1）与的面积有什么关系? ．（2）与的面积有什么关系? ．25. 已知等腰三角形的周长是．（1）若其中一边长为，求另外两边的长；（2）若其中一边长为，求另外两边的长．26. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数．答案第一部分1. C2. C 【解析】根据选项，可知等边三角形与等腰三角形是从属关系．3. C4. C 【解析】A．，不能组成三角形，故不符合题意；B．，不能组成三角形，故不符合题意；C．，能组成三角形，故符合题意；D．，不能组成三角形，故不符合题意；故选C．5. D6. C 【解析】由网格中图可知，点为的中点，点为的中点，则、的交点是的重心．7. D 【解析】如图，过点作交的延长线于，平分，，，的面积．8. B 【解析】A、已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；B、如果的相反数为，那么为是真命题，它的逆命题是如果为的相反数为，是真命题；C、如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除，是假命题；D、如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．9. D10. D11. D12. D 【解析】对于选项A：当甲写时，乙可以写，，，，，，如果乙写，则乙必胜，因为无论甲写，，，，这五个数中的（连带）或（连带），乙可以写或，剩下个数字；当甲写或时，乙可以写（连带）或（连带），剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；对于选项B：当甲写后，乙可以写，，，，，，，如果乙写，则乙必胜，因为剩下，，，，这个数中，无论甲写（连带）或（连带），乙可以写或；当甲写或时，乙可以写（连带）或（连带），甲最后不能写，乙必胜；对于选项C：当甲写时，乙可以写，，，，，，当乙写（或）时，甲就必须写（或），因为乙写（或）后，连带（或）也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；对于选项D：甲先写，由于的约数有，，，，接下来乙可以写的数只有，，，，，，把这个数分成三组：，，，当然也可，，或，，等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，综上可知，只有甲先写，才能必胜，故选：D．第二部分13.14.15. 相等的角是对顶角16.17. 锐角18.【解析】由分析可知，所以图，，板的面积分别是：；；，所以．第三部分19. ，，，，，是直角三角形．20. （1）改写：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．条件：两个角是同旁内角；结论：这两个角互补．（2）改写：如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角．条件：一个角是锐角；结论：这个角的补角大于这个角的余角．（3）改写：如果两个数异号，那么这两个数相加得零．条件：两个数异号；结论：这两个数相加得零．21. 有个：、和．22. （1）【解析】，理由：三角形两边之和大于第三边．（2）的周长的周长．理由：如图，延长交于，在中，，在中，，两式相加得，于是得：的周长的周长．（3）四边形的周长的周长，理由：如图，分别延长，交于，由（）知，，又，可得，，可得结论．23. （1），即．（2）当时，．（3）当时，，．24. （1）是的倍（2）是的倍25. （1）当边长为是等腰三角形的腰时，则其它两边长为，此时构不成三角形；当边长为是等腰三角形的底边时，则其它两边长为，此时能构成三角形；另外两边的长分别为．（2）当边长为是等腰三角形的腰时，则其它两边长为，此时能构成三角形；当边长为是等腰三角形的底边时，则其它两边长为，此时能构成三角形；另外两边的长分别为或．26. 同解析【解析】【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【解析】解：，，，．答：的度数为．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．第11页（共11 页）。

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷64

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷64一、选择题（共12小题；共60分）1•已知直角三角形中一个锐角为30。

，则另一个锐角为（..）A. 30。

B. 45°C. 60° 2•三角形按边可分为（.）A. 等腰三角形、直角三角形、锐角三角形B. 直角三角形.不等边三角形C. 等腰三角形、不等边三角形D. 等腰三角形.等边三角形3 •已知△ ABC 的三边长为宀且满足（a —2）2 + 1〃一 2| + |c —2| = 0,则此三角形一定是（•） A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D. —般三角形4.若三角形的两条边的长度是4..cm 和7..cm , 则第三条边的长度可能是（.A. 2. .cmB.3. .cmC. & .cm) D. 12. .cm5.下列命题是真命题的是C .)A.若 a • h > 0 ,则 a > 0 , Z> > 0 C.若 a-b = 0 ,则 a = 0 且 b = 0 6•直角三角形的重心到斜边中点的距离，与斜边的比值是（•）1 1B*3 °41 A *2°-67•如图，已知在中，CD 是AB 边上的髙.BE 平分乙ABC 交CD 于点E, BC = 5 ,DE = 2 ,则卜BCE 的而积等于（..）D. 90°A. 10B.7&下列命题的逆命题是假命题的是（..）A.等腰三角形的两底角相等C.全等三角形的对应角相等9•如图所示，MBC的形状是（.）C.5 D.4B.全等三角形的对应边相等D.若a2 > b2 ,则|a| > \h\B A2〃 3"11•如果关于%的不等式（G +1）X >O +1A. a > 0B. a < 0 12. A 、B. C 、D 、E 、F 六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A, B, C, D,E 五队已分别比赛了 5.4. 3.2.1场球，由此可知，还没有与B 队比赛的球队是（.） A.C 队B.D 队C.E 队D.F 队二、填空题（共6小题；共30分）13. 如果知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形 _________ 确左.（填“能“或“不能”） 14. 将两张三角形纸片如图摆放，量得Zl + Z2 + Z3 + Z4 = 220°,则Z5 = __________15•把命题“平行于同一直线的两直线平行"改写成"如果•…，那么・・・"的形式： __ ・ 16. 如图，在 ZVISC 中，Z4Z?C = 90° , /12? = 6 , BC = 4 ,尸是△ ABC 的重心，连接CP,贝lj ABPC 的而积为 ___________ ・17. 一个三角形三个内角的度数之比是2:3:4,那么这个三角形是 ______________ 三角形.A ・锐角三角形B ・钝角三角形10.在 'ABC 中，若 LA -= |zcA.等腰三角形B.直角三角形C.直角三角形则UBC 是（.） C ・锐角三角形D.等腰三角形D.钝角三角形的解集为x v 1 ，那么C.a > -1的取值范朗是（• •）笫页（共页）18. 如图，D. £, F 是△4BC 内的三个点，且D 在AF 上，F 在CE 上，疋在BD 上.若CF =*F , AD =, BE = ^DE , \DEF 的面积是 1,贝U ^ABC 得而积是 _______ ・三. 解答题（共8小题；共104分）19•已知：如图，在△/13C 中，D 是/1B 上一点，且DA = DB = DC .求证：是直角三角形.20•将下列命题改写成“如果…… 那么……'‘的形式. 同位角相等，两直线平行.21. 如图所示，图中有多少个三角形?把它们用符号表示出来.b E u22. 如图所示，小明和小刚住在同一小区（4点），每天一起去学校（B 点）上学，一天，小明要先去文具店（C 点）买练习本再去学校，小刚要先去书店（D 点）买书再去学校，两人从家到学校谁走的路远?为什么？A23•将若干张长为20厘米、宽为10厘米的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2厘米.<1）求4张白纸粘合后的总长度：（2）设x张白纸粘合后的总长度为y厘米，写出y与兀之间的关系式:（3）求当x = 20时，的值.24•如图，AD是△/1BC的中线，点6是厶ABC的重心.（1）_________________________________________ HGBA与厶GBD的而积有什么关系? .（2）_________________________________________ HARC与'GBC的而积有什么关系? .25.已知等腰三角形的周长是16. .cm .（1）若英中一边长为4 cm ,求另外两边的长；（2）若英中一边长为6..cm ,求另外两边的长.26•阅读下而材料：小明遇到这样一个问题；在△4BC中，有两个内角相等.①若= 110°,求ZB的度数；②若Z/1 = 40° ,求的度数.小明通过探究发现，厶4的度数不同，ZB的度数的个数也可能不同，因此为同学们提供了如下解题的想法：对于问题①，根据三角形内角和泄理，因为Z4 = 110° >90° , ZB = ZC = 35° :对于问题②，根据三角形内角和左理，因为Z.4 = 40° < 90°,所以ZA =或Z4 = ZC或ZB = ZC ,所以ZB的度数可求.请回答：< 1）问题②中ZB的度数为_________ :<2）参考小明解决问题的思路，解决下而问题：在厶ABC中，有两个内角相等.设AA=x° ,当ZB有三个不同的度数时，求的度数（用含x的代数式表示）以及x的取值范围.答案第一部分1. C2. C3. C4. C 【解析】三角形的两边分别是4.cm和7..cm ,设第三边为x,则有7 —4vxv7 + 4 ,解得：3 <x < 11 ,各选项中，符合此范用的为C选项.故选C.5. D6. D7. C 【解析】作EF丄于F.13 F C・・BE平分Z.ABC . ED丄AB , EF丄BC ,.I EF = DE = 2 ,/.S、BCE—扌-BC - EF = |x5x2 = 5 .& c9. C10.B11.D12.C【解析】每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过.选（C）.第二部分13.不能【解析】画出简图比较容易判定.如图，知道三角形的一边之长和这边上的髙，三角形不能确左.14. 40°【解析】如图所示:Z1 + Z2 + Z6 = 180° . Z3 + Z4 + Z7 = 180°,・・・ Z1 + Z2 + Z6 + Z3 + Z4 + Z7 = 360° ,•/ Z1 + Z2 + Z3 + Z4 = 220° , /. Z6 + Z7 = 140°,/. Z5 = 180°-(Z6 + Z7) = 40°.15•如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 16. 4 17. 锐角 59 18- 24 第三部分19.・.・在4ABC 中，D 是AR 上一点，且DA = DB = DC , ... CD =扣,^ABC 是直角三角形.20•如果两条直线被第三条直线所截的［可位角相等，那么这两条直线平行 21. 图中有 6 个三角形，分别是△ ABC , "BE , HAED , 刀C , 5ABD , LAEC . 22. 小明走的路远.根据两边之和大于第三边，AC + CD > AD ,・・.AC ^CD + BD > AD + BD .23. ( 1) 20 x 4 - 2 x 3 = 74 (. .cm).(2) y = 20兀一2(兀一 1) = 18“+ 2 .(3) 当 x = 20 时，y= 18 x 20 + 2 = 362 ,.••当 x = 20 时，y = 362. .cm ・24. (1) S、GBA 是 S、GBD 的 2 倍(2) S'ABC 是 S^GBC 的 3 倍25. (1)当边长为4 cm 是等腰三角形的腰时，则其它两边长为4 .cm, & .cm , 此时4 + 4 = 8构不成三角形；当边长为4. cm 是等腰三角形的底边时，则其它两边长为6.cm, 6. cm ,此时4 + 6 >6能构成三角形：另外两边的长分别为6. cm , 6. cm .(2)当边长为6. cm是等腰三角形的腰时，则其它两边长为6 .cm , 4. cm ,此时4 + 6>6能构成三角形：当边长为6 cm是等腰三角形的底边时，则其它两边长为5 cm, 5. cm ,此时5 + 5 >6能构成三角形：另外两边的长分别为5. cm , 5. cm或6. cm , 4 .cm .26.(1) 40°或70。

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷33

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷33一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图所示，在中，，，为垂足，则与互余的角是A. B. C. 与 D.2. 下列关于三角形分类不正确的是（注：斜三角形是钝角三角形和锐角三角形的统称）A. B.C. D.3. 下列说法正确的是A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形D. —个等边三角形一定不是钝角三角形4. 下列各组数据中，能构成三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，5. 【测试】下列命题中，是真命题的有①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线，直线，那么；④同一平面内，如果直线，直线，那么．A. 个B. 个C. 个D. 个6. 如图，，，是的三条中线，它们交于点．若的面积为，则的面积为A. B. C. D. 无法计算7. 如图，中，，是的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动到终点，动点从点出发，沿方向匀速运动到终点．已知，两点同时出发，并同时到达终点，连接，，．在整个运动过程中，的面积大小变化情况是．A. 一直增大B. 一直减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大8. 下面三个定理中，存在逆定理的有个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行．A. B. C. D.9. 由下列线段，，能组成直角三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，10. 如图，三角形被木板遮住一部分，这个三角形是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都有可能11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是A. B. C. D.12. 如图所示，直线，相交于点，，从给出的A，B，C，D四个答案中，选择适当的代号填人括号内．与的关系是A. 互为补角B. 互为余角C. 既不互余也不互补D. 相等二、填空题（共6小题；共30分）13. 如图，在中，是边上一点，是边上一点．（1）以为边的三角形共有个，它们是；（2）是和的内角；（3）在中，的对边是．14. 已知在中，，那么度．15. “对顶角相等”的逆命题是．16. 已知点是的重心，是中线，，那么．17. 三角形按角分类可分为三角形、三角形和三角形．18. 如图，在中，，是边上的高，点，是的三等分点，若，，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（共8小题；共104分）19. 如图，，，是直角三角形吗?为什么?20. 写出两个数学命题，并写成“如果那么”的形式．21. 图中有几个不同的三角形?用符号表示这些三角形．22. ，，，四个工艺品厂的位置如图所示，四个点分别表示四个厂的位置，现准备修建一个公共展厅来展销这四个厂家的产品．公共展厅建在何处，才能使四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短?23. 某商店出售一种商品，质量与售价之间的关系如下表：（1）写出售价（元）与质量（千克）的函数关系式；（2）小张想买此种商品千克，应付款多少元?24. 如图，是的中线，点是的重心．（1）与的面积有什么关系? ．（2）与的面积有什么关系? ．25. 已知等腰三角形的周长是．（1）若其中一边长为，求另外两边的长；（2）若其中一边长为，求另外两边的长．26. 如图为一机器零件，的时候是合格的，小明测得，，，请问该机器零件是否合格并说明你的理由．答案第一部分1. C2. C 【解析】根据选项，可知等边三角形与等腰三角形是从属关系．3. D4. B 【解析】A．，不能组成三角形，故此选项错误；B．，能组成三角形，故此选项正确；C．，不能够组成三角形，故此选项错误；D．，不能组成三角形，故此选项错误．5. D【解析】①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；②对顶角相等，是真命题；③同一平面内，如果直线，直线，那么；是真命题；④同一平面内，如果直线，直线那么．是真命题；故选：D．6. C7. D8. C9. D 【解析】A、，不能组成直角三角形，故此选项错误；B、，不能组成直角三角形，故此选项错误；C、，不能组成直角三角形，故此选项错误；D、，能组成直角三角形，故此选项正确．10. D11. D12. B第二部分13. ，，，，，，14.15. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角16.17. 锐角，钝角，直角18.【解析】中，，是边上的高，是轴对称图形，且直线是对称轴，和的面积相等，，，是边上的高，，，，，．故答案为：．第三部分19. ，，，，，是直角三角形．20. 答案不唯一，如：如果两条直线平行，那么同位角相等；如果，，那么．21. ，，，，．22. 如图，连接，，交于点，公共展厅应建在处．理由如下：在平面上任取一点，与不重合，连接，，，，则，，即．当点在或上时也满足以上情况．所以公共展厅建在点处，才能使四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短．23. （1）．（2）当时，由（）得，．答：应付元．24. （1）是的倍（2）是的倍25. （1）当边长为是等腰三角形的腰时，则其它两边长为，此时构不成三角形；当边长为是等腰三角形的底边时，则其它两边长为，此时能构成三角形；另外两边的长分别为．（2）当边长为是等腰三角形的腰时，则其它两边长为，此时能构成三角形；当边长为是等腰三角形的底边时，则其它两边长为，此时能构成三角形；另外两边的长分别为或．26. 不合格．连接，在中，，，在中，，该机器零件不合格．。

八年级数学上册试题第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)

第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是；(4)△DEF的面积为．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。

沪科版八年级数学上册试题第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷 (含解析)

第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知一个三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的第三边长可能是（）A ．3B ．6C ．9D ．102．下列图形中具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，CE 是的外角的平分线，若，，则的度数为（）．A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，5．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（）．A ．如果a>0，b>0，则a+b>0B ．直角都相等C ．两直线平行，同位角相等D ．若a=b ，则|a|=|b|6．具备下列条件的，不是直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．：：：：7．如图，直线CE ∥DF ，∠CAB ＝125°，∠ABD ＝85°，则∠1+∠2＝（）ABC ACD ∠40B ∠=︒65ACE ∠=︒A ∠1cm 2cm 3cm 3cm 4cm 5cm4cm 5cm 10cm 6cm 9cm 2cmABC A B C ∠+∠=∠1123A B C∠=∠=∠23A B C ∠=∠=∠A ∠B ∠1C ∠=34A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立．∴③假设在中，④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（）A ．④③①②B ．③④②①C ．①②③④D ．③④①②9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（）A ．三角形中有一个内角小于B ．三角形中有一个内角大于C ．三角形的三个内角都小于D ．三角形的三个内角都大于10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（）①；②；③；④．A ．①②③B ．①③④C ．①②④D．①②③④ABC ∆AB AC =90B ∠<︒180A B C ∠+∠+∠>︒180︒90B ∠<︒ABC ∆90B ∠≥︒AB AC =90B C ∠=∠≥︒180B C ∠+∠≥︒60︒60︒60︒60︒ABC BD BE F CA FH BE ⊥BD G BC H DBE F ∠=∠()12F BAC C ∠=∠-∠2BEF BAF C ∠=∠+∠BGH ABE C ∠=∠+∠二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）11．命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是__________，逆命题是__________命题（填“真”或“假”）12．现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________．13．BM 是ABC 中AC 边上的中线，AB=7cm ，BC=4cm ，那么ABM 与BCM 的周长之差为_________________cm ．14．用一组整数a ，b ，c 的值说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是错误的，这组值可以是a ＝__，b ＝__，c ＝__．15．如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为4．则△BEF 的面积为_________．16．如图，射线AB 与射线CD 平行，点F 为射线AB 上的一定点，连接CF ，点P 是射线CD 上的一个动点（不包括端点C ），将沿PF 折叠，使点C 落在点E 处．若，当点E 到点A 的距离最大时，_____．三、解答题（本大题共8小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-21每小题8分，第22小题10分，第23小题12分，第24小题14分）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ，点F 为AC 延长线上的一点，连接DF．60︒1142∠=︒2∠= PFC △=62DCF ∠︒=CFP ∠(1)求∠CBE 的度数；(2)若∠F ＝25°，求证：．18．如图，有下列三个条件：①DE//BC ；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）BE DF ∥12∠=∠B C ∠=∠180B C BAC ∠+∠+∠=︒19．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求和的值．解：问题：（1）若，求的值．（2）已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．20．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的外角的平分线相交于点E ，且∠A=60°．(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；②若∠ABC=100°，则∠E=________．(2)嘉嘉说∠E 的大小与∠B 的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．2222690m mn n n ++-+=m n 2222222226902690()(3)0m mn n n m mn n n n m n n ++-+=∴+++-+=∴++-=Q 0,303,3m n n m n ∴+=-=∴=-=2222440x y xy y +-++=y x ,,a b c ABC 2210841a b a b +=+-c ABCc21．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1 l2证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P 180° 所以∠1+∠2 180°，这与矛盾，故不成立．所以．22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD 于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数；（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数．23．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．24.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．答案一、选择题1．B【分析】组成三角形的三边的大小关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求出答案．【详解】解：设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得，∴，即．故选：．2．C【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．【详解】解：A 、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；B 、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；C 、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；D 、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．故选C ．3．B【分析】根据角平分线的定义，可求出∠ACD=2∠ACE ，再根据三角形的外角定理即可求出．【详解】∵CE 是的外角的平分线，，∴∠ACD=2∠ACE=130°，∵，∴∠A=130°-40°=90°，故选：B ．4．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A 、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B 、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；6363x -<<+39x <<B A ∠ABC ACD ∠65ACE ∠=︒40B ∠=︒C 、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D 、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B ．5．C【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．【详解】解：A.如果，则不一定是，，选项错误，不符合题意；B.如果角相等，但不一定是直角，选项错误，不符合题意；C.同位角相等，两直线平行，选项正确，符合题意；D.如果，可得或，选项错误，不符合题意．故选：C ．6．C【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．【详解】解：根据三角形的内角和为180°，可知，据此逐项判断：A 、由，可以推出，本选项不符合题意；B 、由，可以推出，本选项不符合题意；C 、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意；D 、由，可以推出，本选项不符合题意；故选：C ．7．A【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．【详解】解：∵CE ∥DF ，∴∠CAB ＝125°，∠ABD ＝85°，0a b +>0a >0b >a b =a b =a b =-180A B C ∠+∠+∠=o A B C ∠+∠=∠90C ∠=︒1123A B C ∠=∠=∠90C ∠=︒23A B C ∠=∠=∠108011A ⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭ABC ∆::1:3:4A B C ∠∠∠=90C ∠=︒1,2CAB CEA DBA DFB ∠=∠+∠∠=∠+∠180CEA DFB ∠+∠=︒12∠+∠180CEA DFB ∠+∠=︒1,2CAB CEA DBA DFB∠=∠+∠∠=∠+∠()12CAB ABD CEA DFB ∴∠+∠=∠+∠-∠+∠，故选A ．8．D【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤1、假设在中，2、由，得，即3、，这与三角形内角和为矛盾4、因此假设不成立．综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②故选：D9．C【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，故选：C ．10．D【分析】根据角平分线的性质、三角形的高线性质和三角形内角和定理判断即可；【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确；，，∵，∴，12585180=︒+︒-︒=30︒ABC ∆90B ∠≥︒AB AC =90B C ∠=∠≥︒180B C ∠+∠≥︒180A B C ∴∠+∠+∠>︒180︒90B ∴∠<︒BD FD ⊥90FGD F ∠+∠=︒FH BE ⊥90BGO DBE ∠+∠=︒FGD BGH ∠=∠DBE F ∠=∠90ABD BAC ∠=︒-∠9090DBE ABE ABD ABE BAC CBD DBE BAC ∠=∠-∠=∠-︒+∠=∠-∠-︒+∠90CBD C ∠=︒-∠DBE BAC C DBE ∠=∠-∠-∠由①得，，∴，故②正确；∵BE 平分，∴，，∴，，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，∴，故④正确；∴正确的有①②③④；故选：D ．二、填空题11．对角线互相平分的四边形是平行四边形真【分析】根据逆命题的要求写出逆命题，再判断即可．【详解】解：命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．12．【分析】由直尺可得，由直角三角板可知，再利用三角形外角定理和平行线性质推角，即可得到答案．【详解】解：如图，由题可知∴∵，∴又∵∴故答案为：．DBE F ∠=∠()12F BAC C ∠=∠-∠ABC ∠ABE CBE ∠=∠BEF CBE C ∠=∠+∠22BEF ABC C ∠=∠+∠BAF ABC C ∠=∠+∠2BEF BAF C ∠=∠+∠AEB EBC C ∠=∠+∠ABE CBE ∠=∠AEB ABE C ∠=∠+∠BD FC ⊥FH BE ⊥FGD FEB ∠=∠BGH ABE C ∠=∠+∠52︒AB CD 490∠=︒AB CD 56∠=∠1142∠=︒490∠=︒5141429052∠=∠-∠=︒-︒=︒26∠=∠252∠=︒52︒13．3【分析】根据中线的定义可得，ABM 与BCM 的周长之差=AB BC ，据此即可求解．【详解】解：∵BM 是ABC 的中线，∴MA=MC ，∴=AB+BM+MA BC CM BM=AB BC=74=3(cm)．答：ABM 与BCM 的周长是差是3 cm ．故答案是：3．14． -2 -3 -4【分析】根据题意选择a 、b 、c 的值，即可得出答案，答案不唯一．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3，c ＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4），∴命题若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是错误的；故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．15．1【分析】根据点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，可以推出，进而推出，即可得到答案．【详解】解：∵点D 是BC的中点- ΔΔABM BCM C C ------ 12S S =△BEC △ABC 14B E F A B C S S =∴∵点E 是AD 的中点∴∴又∵点F 是CE 的中点∴又∵∴故答案为：1．16．【分析】利用三角形三边关系可知：当E 落在AB 上时，AE 距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．【详解】解：利用两边之和大于第三边可知：当E 落在AB 上时，AE 距离最大，如图：∵且，∴，∵折叠得到，∴，∵，∴．故答案为：三、解答题17.（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，∵BE 平分∠CBD，ABD ADCS S = DEC S S S S ===△ABE △DBE △AEC △12S S =△BEC △ABC1124BEF BEC ABCS S S == 4ABC S = 1BEF S =△59︒AB CD =62DCF ∠︒=62CFA ∠︒EFP CFP ∠=∠118EFP CFP ∠+∠=︒59EFP CFP ∠=∠=︒AB CD =62DCF ∠︒=62CFA ∠︒PCF PEF EFP CFP ∠=∠118EFP CFP ∠+∠=︒59EFP CFP ∠=∠=︒59︒∴；（2）证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE=90°，∵∠CBE=65°，∴∠BEC=90°－65°=25°，∵∠F ＝25°，∴∠F=∠BEC ，∴．18.（1）解：一共能组成三个命题：①如果DE//BC ，，那么；②如果DE//BC ，，那么；③如果，，那么DE//BC ；（2）解：都是真命题，如果DE//BC ，，那么，理由如下：∵DE//BC ，∴，∵，∴．如果DE//BC ，，那么；理由如下：∵DE//BC ，∴，，∵，∴；如果，，那么DE//BC ；理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC ，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC ，1652CBE CBD ∠=∠=︒BE DF ∥12∠=∠B C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠12∠=∠B C ∠=∠12∠=∠B C ∠=∠1B ∠=∠2C∠=∠12∠=∠B C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠1B ∠=∠2C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠12∠=∠B C ∠=∠180B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠B+∠C=∠1+∠2，∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC ．19.解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵是中最长的边，∴，即．20.（1）解：①∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=50°，∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；②∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=80°，12∠=∠B C ∠=∠2222440x y xy y +-++=2222440x xy y y y -++++=()()2220x y y -++=0,20x y y -=+=2,2x y =-=-()2124y x -=-=2210841a b a b +=+-2210258160a a b b -+++=-()()22450a b -+=-50,40a b -=-=5,4a b ==c ABC 545c ≤<+59c ≤<121212121212∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；故答案为：①30°；②30°；（2）解：嘉嘉说得对．理由如下：∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC ，∠DCE=∠ACD∵∠DCE=∠DBE+∠E∴∠E=∠DCE －∠DBE=∠ACD －∠ABC=(∠ACD －∠ABC)又∵∠ACD=∠ABC+∠A∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC ）=∠A∴∠E 的大小与∠B 的度数无关．21.已知：如图，直线l 1，l 2被l 3所截，∠1+∠2=180°．求证：证明：假设l 1不平行l 2，即l 1与l 2交与相交于一点P ．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l 1∥l 2．22.（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠DCE ，∵∠B ＝∠D ，∴∠D ＝∠DCE ，∴AD ∥BC ；1212121212121212l l //（2）解：设∠CAG ＝x ，∠DCG ＝z ，∠BAC ＝y ，则∠EAD ＝y ，∠D ＝∠DCE ＝2z ，∠AGC ＝2∠CAE ＝2x ，∵AB ∥CD ，∴∠AHD ＝∠BAH ＝x ＋y ，∠ACD ＝∠BAC ＝y ，△AHD 中，x ＋2y ＋2z ＝180°①，△ACG 中，x ＋2x ＋y ＋z ＝180°，即3x ＋y ＋z ＝180°，∴6x ＋2y ＋2z ＝360°②，②﹣①得：5x ＝180°，解得：x ＝36°，∴∠CAE ＝36°；（3）解：设∠CAE ＝x ，∠DCG ＝z ，∠BAC ＝y ，则∠EAD ＝y ，∠D ＝∠DCE ＝2z ，∠AGC ＝3∠CAE ＝3x ，∵AB ∥CD ，∴∠AHD ＝∠BAH ＝x ＋y ，∠ACD ＝∠BAC ＝y ，△AHD 中，x ＋2y ＋2z ＝180°①，△ACG 中，x ＋3x ＋y ＋z ＝180°，∴4x ＋y ＋z ＝180°，∴8x ＋2y ＋2z ＝360°②，②﹣①得：7x ＝180°，解得：x ＝，∴∠CAE ＝；故答案为：．23.（1）解：△AOC 中，∠A+∠C=180°-∠AOC ，△BOD 中，∠B+∠D=180°-∠BOD ，∵∠AOC=∠BOD ，∴∠A+∠C=∠B+∠D ；1807︒1807︒1807︒（2）解：①以线段AC 为边的“8字型”有：△ACM 和△PDM ，△ACO 和△BOD ，△ACO 和△DNO ，共3个；以点O 为交点的“8字型”有：△ACO 和△BDO ，△ACO 和△DNO ，△AMO 和△BDO ，△AMO 和△DNO ，共4个；②△AMC 和△DMP 中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM ，△BDN 和△PAN 中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN ，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN ，∵PA 平分∠BAC ，PD 平分∠BDC ，∴∠CAM=∠PAN ，∠BDN=∠PDM ，∴∠C+∠B=2∠P ，∴120°+100°=2∠P ，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP ，∠CDB=3∠CDP ，∴∠CAM=∠CAB ，∠PAN=∠CAB ，∠BDN=∠BDC ，∠PDM=∠BDC ，△AMC 和△DMP 中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM ，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB ，3（∠C-∠P ）=∠BDC-∠CAB ，△BDN 和△PAN 中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN ，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB ，（∠P-∠B ）=∠BDC-∠CAB ，∴3（∠C-∠P ）=（∠P-∠B ），2∠C-2∠P=∠P-∠B ，3∠P=∠B+2∠C ；24.（1）如图①中，13232313131323233232∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB ）=180°（∠ABC+∠ACB ）=180°（180°﹣∠A ），=90°∠A ，∵∠BPC=α，∴∠A=2α﹣180°．故答案为2α﹣180°．（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如图②中，∵外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，∴∠QBC+∠QCB （∠MBC+∠NCB ）（360°﹣∠ABC ﹣∠ACB ）（180°+∠A ）12-12-12+12=12=12==90°∠A ，∴∠Q=180°﹣（90°∠A ）=90°∠A ，∵∠BPC=90°∠A ，∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）延长CB 至F ，∵BQ 为△ABC 的外角∠MBC 的角平分线，∴BE 是△ABC 的外角∠ABF 的角平分线，∴∠ABF=2∠EBF ，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠ECB ，∵∠EBF=∠ECB+∠E ，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E ，即∠ABF=∠ACB+2∠E ，又∵∠ABF=∠ACB+∠A ，∴∠A=2∠E ，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ∠ACB ∠NCB =90°，如果△CQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；12+12+12-12+12=12+③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷6

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷6一、选择题（共12小题；共60分）1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是A. B. C. D.2. 下列关于三角形分类不正确的是（注：斜三角形是钝角三角形和锐角三角形的统称）A. B.C. D.3. 三角形的三边长分别为，，，它们满足，则该三角形是A. 直角三角形B. 底边和腰不相等的等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4. 下列长度的条线段，能首尾依次相接组成三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，5. 下列命题与它的逆命题均为真命题的是A. 内错角相等B. 对顶角相等C. 如果，那么D. 互为相反数的两个数和为6. 在中，是边上中线，点是重心，若，那么的长为A. B. C. D.7. 用边长为的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.8. 下列说法中，正确的是A. 每一个命题都有逆命题B. 假命题的逆命题一定是假命题C. 每一个定理都有逆定理D. 假命题没有逆命题9. 下列说法中错误的是A. 在中，，则为直角三角形B. 在中，若，则为直角三角形C. 在中，若，，则为直角三角形D. 在中，若，则为直角三角形10. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是A. B.C. D.11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是A. B. C. D.12. 有A，B，C，D，E共位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知：A赛了盘，B赛了盘，C赛了盘，D赛了盘，那么同学E赛了盘．A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）13. 如图，以为一边的三角形是；是的内角；在中，所对的角是，所对的边是；以为一个内角的三角形有．14. 如图，中，和的平分线交于点，若，则15. 命题"全等三角形的面积相等"的逆命题是．16. 已知，是的中线，，相交于点，如果，那么．17. 一个三角形的三个内角的度数之比为，则该三角形按角分应为三角形．18. 中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．三、解答题（共8小题；共104分）19. 如图，，，是直角三角形吗?为什么?20. 请给下列各题中的式子命名，并给出各名称的定义．（1）．（2）．21. 已知的周长为，，，的对边分别为，，，且，，满足条件，求，，的长．22. 在平面内，分别用根，根，根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢?通过尝试，列表如下所示．（1）根火柴能搭成三角形吗?（2）根，根火柴能搭成几种不同形状的三角形?画出它们的示意图．23. 为倡导绿色出行，某共享单车近期登陆徐州，根据连续骑行时长分段计费：骑行时长在以内（含）的部分，每计费元（不足按计算）；骑行时长超出的部分，每小时计费元（不足按计算）．根据此收费标准，解决下列问题：（1）连续骑行?（2）若连续骑行（且为整数）需付费元，则与的函数表达式为；（3）若某人连续骑行后付费元，求其连续骑行时长的范围．24. 如图，是的中线，点是的重心．（1）与的面积有什么关系? ．（2）与的面积有什么关系? ．25. 已知等腰三角形的周长是．（1）若其中一边长为，求另外两边的长；（2）若其中一边长为，求另外两边的长．26. 如图，已知：，分别平分和，其中，，求的值．答案第一部分1. B2. C 【解析】根据选项，可知等边三角形与等腰三角形是从属关系．3. C4. B5. D【解析】A．内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；B．对顶角相等，是真命题，它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；C．如果，那么，是假命题，故本选项不符合题意；D．互为相反数的两个数和为，是真命题．它的逆命题是：和为的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．6. B7. B8. A9. D10. A【解析】观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．11. D12. B 【解析】共有个人，A赛盘，则A与B，C，D，E每人赛一盘；B赛盘，因为D赛了盘，则这三盘一定是与A，C，E的比赛；C赛了两盘，是与A和B赛的．则E一共赛了盘，是与A和B赛的．第二部分13. 与，，，，，和14.15. 面积相等的两个三角形全等16.17. 锐角18. 或或【解析】在中，，，．，．沿过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当时，如图①所示，；②当，且在上时，如图②所示，作的高，则，，，；③当时，如图③所示，．综上所述：等腰三角形的面积可能为或或．第三部分19. ，，，，，是直角三角形．20. （1）一元一次方程：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．（2）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程．21. ，，（），（），（），（），（），（），（）．故，，的长分别为．22. （1）根火柴不能搭成三角形．（2）根火柴能搭成一种三角形，示意图如下：根火柴能搭成种不同形状的三角形，示意图如下：23. （1）当时，，应付元．（2）【解析】．（3）当，，，连续骑行时长的范围是：．24. （1）是的倍（2）是的倍25. （1）当边长为是等腰三角形的腰时，则其它两边长为，此时构不成三角形；当边长为是等腰三角形的底边时，则其它两边长为，此时能构成三角形；另外两边的长分别为．（2）当边长为是等腰三角形的腰时，则其它两边长为，此时能构成三角形；当边长为是等腰三角形的底边时，则其它两边长为，此时能构成三角形；另外两边的长分别为或．26.【解析】提示：，，两式相加，，，即可求得．。

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷13

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷13一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图，在中，，，则图中互为余角的角有A. 对B. 对C. 对D. 对2. 三角形按边可分为A. 等腰三角形、直角三角形、锐角三角形B. 直角三角形、不等边三角形C. 等腰三角形、不等边三角形D. 等腰三角形、等边三角形3. 若的三条边长分别是，，，且，则这个三角形是A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形4. 已知的三边长都是整数，且，，则的周长可能是A. B. C. D.5. 下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②不等式组无解；③相等的角是对顶角；④将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则的度数为．其中真命题有A. 个B. 个C. 个D. 个6. 如图，在非等腰中，为的中点，为的中点，正确的结论是A. B.C. D.7. 如图，任意四边形中，和相交于点，把，，，的面积分别记作，，，，则下列各式成立的是A. B.C. D.8. 下列定理：①同角的余角相等；②线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等；③同位角相等，两直线平行；④同角的补角相等．其中有逆定理的有A. 个B. 个C. 个D. 个9. 有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有A. 个B. 个C. 个D. 个10. 如图，在中，，点，是上两点，连接，，则图中钝角三角形共有A. 个B. 个C. 个D. 个11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是A. B. C. D.12. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，元素，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，则下列相关表述错误的是A. 当时，选择这本书B. 当时，不选择这本书C. 当，，全是时，选择这本书D. 只有当时，才不能选择这本书二、填空题（共6小题；共30分）13. 由直线上的三条线段相接所组成的图形叫做三角形．14. 在中，三个角的度数之比是，则这个三角形的最大角是．15. 命题“如果，那么”的逆命题是．16. 已知的重心到边的中点的距离是，那么中线的长为．17. 在中，，，那么是三角形（按角分类）．18. 如图，已知的面积为 .第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接点，，，得到 .第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接点，，，得到按此规律，要使得到的三角形的面积超过，则最少经过次操作．三、解答题（共8小题；共104分）19. 已知：如图，在中，是上一点，且．求证：是直角三角形．20. 在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲认为这不是命题，因为这句话是错误的；乙认为这是命题，因为它做出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．谁的说法是正确的?21. 如图所示，以为边的三角形有多少个?以为顶点的三角形有多少个?分别写出这些三角形．22. 有一个探险家，挖空心思想出一个“难极”来．什么是探险家的“难极”呢?一般情况下，如果从某地出发，先往北走千米，再往东走千米，然后南走千米，这时，终止地总要在出发地正东千米处．而若从某地出发，先往北走千米，再往东走千米，然后往南走千米，能正好回到原来的出发地，这个出发地被探险家称为“难极”．你知道探险家的“难极”在哪里吗?23. 已知，求的值．24. 如图，是的中线，点是的重心．（1）与的面积有什么关系? ．（2）与的面积有什么关系? ．25. 等腰三角形的两边长，满足，求这个等腰三角形的周长．26. 如图，中，，，平分，于，，求的度数．答案第一部分1. C2. C3. B 【解析】，且，，为等边三角形．4. B 【解析】的三边长都是整数，且，，，故或或，则的周长可能是，，，．5. C【解析】平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行，正确，为真命题．②不等式组在数轴上表示为：无公共部分，故无解，正确，为真命题．③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，错误．④连接并延长至，在中，，在中，，正确，为真命题．①②④，个正确为真命题．6. D7. D 【解析】与同底，与同高，与同底，与同高，8. B9. D10. C【解析】是的外角，，，，是的外角，，图中钝角三角形共有个：，，．11. D12. D第二部分13. 不在同一条，首尾顺次14.15. “如果，那么”16.17. 钝角18.【解析】由题意可得规律：第次操作后得到的三角形的面积变为，则，可得最小为 .故最少经过次操作．第三部分19. 在中，是上一点，且，，是直角三角形．20. 判断一件事情的句子叫做命题，乙的说法正确．21. 以为边的三角形有个，分别是，，，以为顶点的三角形有个，分别是，，．22. 南极．因为往北走米，再往东走米，然后再往南走米回到原点，那么走的就是一个三角形．所有只有在南极才合理．23. ．24. （1）是的倍（2）是的倍25. ，， .当为腰时，则，不成立；当为腰时，则，能构成三角形．这个等腰三角形的周长为．26. ．提示：．。

沪科版八年级数学-三角形中的边角关系

三角形中的边角关系专题训练一三角形的三边关系13、若,,a b c 是△ABC 的三边长，请化简a b c b c a c a b --+--+--14、若△ABC 的两边长之比为2:3，三边长都是整数且周长为18cm ，求各边的长。

15、设三角形的三条边长为整数,c a b ，，且a b c ≤≤，当4b =，满足条件的三角形共有多少个？其中等腰三角形有多少个？等边三角形有多少个？专题训练二三角形的角的关系17、如右图，在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B ，∠C 越来越大．若∠A 减小x °，∠B 增加y °，∠C 增加z °，则z y x ,,之间的关系是（）A 、z y x +=B 、z y x -=C 、y z x -=D 、180=++z y x °18、在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=专题训练三三线+周长+面积21、已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是_________22、在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形的各边长分别为多少？23、已知△ABC 的面积是182cm ,AD 是△ABC 的中线，则△ADC 的面积是___________24、如图，在△ABC 中，已知点D 、E 分别为边BC 、AD 上的中点，且S △ABC =4cm 2，则S △BEC 的值为_________25、如图，点D 是△ABC 的边BC 上任意一点，点E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积为18cm 2，则△BEF 的面积为_____________26、如图，△ABC 的面积为12，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，且AE=2EC ，O 是DC 与BE 的交点，S △DBO =a ，S △CEO =b ，则a ﹣b= ．27、在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=_______28、在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 与BE 交于点F ，若∠DFE=120°，则∠A=_______ 探究练习探究一、数三角形的个数29、若n 为三角形底边的顶点数，则第n 个图形中三角形的个数是_________________探究二、三角形边之间的不等关系的应用30、如图1，D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD，E为BD上的任意一点，连接CE（1）用不等号填空AB+AC_____________DB+DCDB+DC_____________EB+EC（2）如图2所示，P是三角形内部的任意一点，探索AB+AC与PB+PC的大小（2）如图3所示，M, N是△ABC内任意两点，试探索AB+AC与BM+MN+NC的大小关系，并写出探索过程。

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元测试卷

沪科版八年级上三角形中的边角关系单元试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是A.①B.②C.③D.④2.下列关于三角形分类不正确的是（注：斜三角形是钝角三角形和锐角三角形的统称）A.B.C.D.3.如果三角形中有一条边是另一条边的倍，并且有一个角是，那么这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.如图，的边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于A.B.C.D.5.如图，用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框，不计螺丝钉大小，其中相邻两螺丝钉间的距离依次为，，，，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝钉间的距离的最大值为A.B.C.D.6.在中，如果，那么是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定7.下列说法不正确的是A.基本事实和定理都是真命题B.基本事实就是定理，定理也是基本事实C.基本事实和定理都可以作为推理论证的依据D.基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明8.如图，在中，，，则外角的度数是A.B.C.D.9.下列命题与它的逆命题都为真命题的是A.已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式B.如果的相反数为，那么为C.如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除D.如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数10.已知等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是A.B.C.或D.或11.若的三条边长分别是，，，且，则这个三角形是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是A.甲一个人去了B.乙、丙两个人去了C.甲、丙、丁三个人去了D.四个人都去了二、填空题（共6小题；共30分）13.三角形按边分类：14.若等边三角形的周长为．则它的边长为．15.如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么．16.一个三角形的两边长分别是和，周长是偶数，那么第三边的长是．17.命题“同角的余角相等”的题设是，结论是．18.如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动．当为等腰三角形时，则的值为．三、解答题（共8小题；共104分）19.如图，已知在中，，分别是，边上的中线，若，，且的周长为，求的长．20.如图，已知，交于，，交于，，垂足为点，，求的度数．21.如图，已知，，，，试说明．22.七年级（）班数学小组的几名同学正在研究“对于所有的正整数，的值是否都是质数”，他们认真验算出当的值分别为，，，，时，式子的值都是质数．部分成员还想继续验算下去，小明同学说：“不必再验算下去了，对于所有正整数，式子的值都是质数．”你赞同小明的观点吗?并请验证一下当时的情形．精品文档-可编辑23.判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．（1）若，，则；（2）能被整除的整数，它的末位数字是．24.将下列命题写成”如果，那么“的形式，并说出题设和结论．（1）全等三角形的对应边相等．（2）直角三角形的两锐角互余．（3）直角都相等．（4）等边对等角．（5）同角的补角相等．25.已知：如图，在中，是上一点，且．求证：是直角三角形．26.小卓要制作一个周长为的等腰三角形，请写出底边与腰长的函数关系式，并求自变量的取值范围．答案第一部分1.D【解析】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．2.C【解析】根据选项，可知等边三角形与等腰三角形是从属关系．3.D4.C【解析】三角形内角平分线的交点到三边的距离相等，，，三个三角形中，，，边上的高相等，故面积之比等于三条边的比，故．5.B【解析】已知相邻两螺丝钉间的距离依次为，，，，故可将根木条的长看成，，，．①选，，作为三边长，，能构成三角形，此时两个螺丝钉间的最大距离为；②选，，作为三边长，，能构成三角形，此时两个螺丝钉间的最大距离为；③选，，作为三边长，，不能构成三角形，此种情况不成立；④选，，作为三边长，，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝钉间的距离的最大值为．6.C7.B8.B9.B【解析】A．已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；B．如果的相反数为，那么为是真命题，它的逆命题是如果为那么的相反数为，是真命题；C．如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除，是假命题；D．如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．故选：B．10.C11.B【解析】，且，，为等边三角形．12.C【解析】【分析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案．【解析】解：、丙说：“无论丁去不去，我都去．”丙一定去出游，故选项错误；、乙说：“丙去我就不去．”，由选项可知，乙一定没去，故选项错误；、丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”由选项可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确；、乙说：“丙去我就不去．”个人不可能都去出游，故此选项错误．故选：．【点评】此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键．第二部分13.底边和腰不相等，等边14.15.【解析】，，，为的角平分线，平分，，为的高，，，．16.或【解析】设第三边的长为，则，即．又因为周长是偶数，，为奇数，所以为奇数，所以或，故答案为或．17.两个角是同角的余角，这两个角相等18.第三部分19.因为，分别是，边上的中线，，，所以，，因为的周长为，所以．20.．21.如图，延长交于点，延长交于点．，，，，，，，，，（内错角相等，两直线平行）．22.不赞同．当时，．，不是质数．23.（1）真命题．理由：因为，，所以，所以该命题是真命题．（2）假命题．理由：能被整除，但它的末位数字不是，所以该命题是假命题．24.（1）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；题设：两个三角形全等；结论：它们的对应边相等．（2）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；题设：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．（3）如果几个角是直角，那么它们相等；题设：几个角是直角；结论：它们相等．（4）如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角也相等；题设：一个三角形的两条边相等；结论：这两条边所对的角也相等．（5）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等．25.在中，是上一点，且，，是直角三角形．26.由题意得解得．。

沪科版八年级数学上册第13章三角形的边角关系单元测试卷

沪科版八年级数学上册第13章三角形的边角关系单元测试卷1 / 20沪科版八年级数学上册第13章三角形的边角关系单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A. 3cm ，4cm ，8cmB. 8cm ，7cm ，15cmC. 5cm ，5cm ，11cmD. 13cm ，12cm ，20cm2. 下面四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（）A.B.C.D.3. 若（a -2）2+|b -3|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（）A. 6B. 7C. 8D. 7或84. 下列说法正确的有（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A. ①②B. ①③④C. ③④D. ①②④5. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（）A. 17B. 22C. 17或22D. 136. 三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（） A. 角平分线 B. 中位线 C. 高 D. 中线7. 已知同一平面内的三条直线a ，b ，c ，下列命题中错误的是（）A. 如果，，那么B. 如果，，那么C. 如果，，那么D. 如果，，那么8.下列命题中是真命题的个数是（）①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310.有下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中真命题的个数为（） .A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．12.如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC= ______ ．13.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．14.在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=______°．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）15.如下图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．沪科版八年级数学上册第13章三角形的边角关系单元测试卷3 / 2016. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =50°，AE ，CF 是角平分线，它们相交于为O ，AD 是高，求∠BAD 和∠AOC的度数．17. 写出下列命题的题设和结论．（1）同旁内角互补；（2）等角的余角相等；（3）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．18. 如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B =∠D ；③∠A =∠C ，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．19.如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．20.完成以下证明，在括号内填写推理的依据。

沪科版八年级数学上册《三角形中的边角关系、命题与证明》单元试卷检测练习及答案解析

沪科版八年级数学上册《三角形中的边角关系、命题与证明》单元试卷检测练习及答案解析一、选择题1、三角形中的两边长分别为3cm和7cm，下列四条线段中能作为第三边的是A．3cm B．4cmC．7cm D．10cm2、已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8，则该等腰三角形的周长为( )A．16或20 B．16C．20 D．12或243、已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是 ( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形4、等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（）A．4或6 B．4 C．6 D．55、下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm6、已知三角形的三边的长依次为5，7，x，则x的取值范围是（）A．5＜x＜7 B．2＜x＜7C．5＜x＜12 D．2＜x＜127、下列说法正确的是（）A．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形B．按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形C．三角形的外角大于任何一个内角D．一个三角形中至少有一个内角不大于60°8、下列语句中真命题有( )①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行.A．2个B．3个C．4个D．5个9、下列语句中，是命题的是（）A．∠α和∠β相等吗B．两个锐角的和大于直角C．作∠A的平分线MN D．在线段AB上任取一点10、下列命题中是真命题的个数是（）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等.②如果，那么③若，则x、y都等于0；④两个有理数的和一定大于这两个有理数。

⑤如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。

沪科版八上数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元试卷附答案

13章三角形中的边角关系、命题与证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：52.下列命题正确的是（）A．直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到直线的距离B．纵坐标相同的两点所在的直线平行于x轴C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形3.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°4.如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC5.关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；命题4：直角三角形中斜边最长；以上真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（）A．2 B．1.5 C．D．5二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|﹣|a﹣7|的结果为﹣．8.若（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．9.如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），点D在y轴上，若△ABC的面积等于△BCD的面积，则点D的坐标可能是（只写一个即可）．10.已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．11.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．12.用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是．13.如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠DBF＝28°，则∠CAD的度数为．14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝108°，则∠A的度数为．15.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团均示队获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝30°，CD平分∠ACB．CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是．17.如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．18.已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．三、解答题（本大题共7小题，共44分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CDB＝70°，求∠A的度数．20.已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC的周长．21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．22.如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，求∠CDE的度数．24.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．（1）当∠B＝45°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B＝a，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有a、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．25.如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC．（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F，①若∠EFB＝25°，∠DEF＝10°，则∠DCF＝②若∠ACF﹣∠AEF＝18°，求∠EFB的度数；（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围．单元B卷三角形中的边角关系、命题与证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形；C、∠A+∠B＝∠C，此时∠C是直角，能判定△ABC是直角三角形；D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判定△ABC是直角三角形．故选：D．【知识点】勾股定理的逆定理、三角形内角和定理2.下列命题正确的是（）A．直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到直线的距离B．纵坐标相同的两点所在的直线平行于x轴C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形【解答】解：A、直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到直线的距离，故原命题错误，不符合题意；B、纵坐标相同的两点所在的直线可能平行于x轴也可能是x轴，故错误，不符合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；D、顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形，正确，符合题意，故选：D．【知识点】命题与定理3.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∵∠B＝45°，∴∠DFE＝65°+45°＝110°，故选：A．【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理4.如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠MON＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝30°+60°＝90°．∴S△AOC＝S△ABC，∴A，B，C，正确．故选：D．【知识点】三角形的面积5.关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；命题4：直角三角形中斜边最长；以上真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，是真命题；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，是真命题；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形，是真命题；命题4：直角三角形中斜边最长，是真命题；故选：D．【知识点】命题与定理6.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（）A．2 B．1.5 C．D．5【解答】解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴＝，CD＝BD，∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝＝5，∴S△OCD＝S△ACD＝＝，故选：C．【知识点】三角形的重心、三角形的面积二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|﹣|a﹣7|的结果为﹣．【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|﹣|a﹣7|＝a﹣3﹣7+a＝2a﹣10．故答案为：2a﹣10．【知识点】绝对值、三角形三边关系8.若（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【解答】解：由（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，得a﹣4＝0，b﹣9＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为9，底边长为4．∴周长为9+9+4＝22，故答案为：22．【知识点】等腰三角形的性质、三角形三边关系、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：绝对值9.如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），点D在y轴上，若△ABC的面积等于△BCD的面积，则点D的坐标可能是（只写一个即可）．【解答】解：∵BC∥x轴，过A作AD∥x轴交y轴于D，∵A（4，4），△ABC的面积等于△BCD的面积，∴则点D的坐标可能是（0，4），故答案为：（0，4）．【知识点】三角形的面积、坐标与图形性质10.已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．【解答】解：∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，∵△ABC的周长是20，∴AB+BC+AC＝20，∴2AD＝26﹣20＝6，∴AD＝3．故答案为3．【知识点】三角形的角平分线、中线和高11.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣140°＝220°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝110°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°．【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理12.用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是．【解答】解：当m＝10时，△＝（﹣6）2﹣4×10＝﹣4＜0，方程没有实数根，∴当m＝10可以说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，故答案为：10．【知识点】命题与定理13.如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠DBF＝28°，则∠CAD的度数为．【解答】解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵∠DBF＝28°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣28°＝62°，∴∠CAD＝90°﹣∠AFE＝90°﹣62°＝28°，故答案为：28°．【知识点】三角形内角和定理14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝108°，则∠A的度数为．【解答】解：在△PBC中，∵∠BPC＝108°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣108°＝72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×72°＝144°，在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣144°＝36°．故答案为：36°．【知识点】三角形内角和定理15.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团均示队获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．【解答】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁．故答案为：丁．【知识点】推理与论证16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝30°，CD平分∠ACB．CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是．【解答】解：∵∠B＝40°，CE⊥AB，∴∠BCE＝50°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣40°﹣30°）＝55°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝55°﹣50°＝5°，故答案为5°．【知识点】三角形内角和定理17.如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′＝∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．【知识点】三角形内角和定理18.已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB：BC＝1：2，∴设CD＝AB＝2a，则AD＝BC＝4a，由折叠的性质得：AF⊥BE，FG＝AG，∴∠ABE＝∠DAC＝∠ACB，∴tan∠ABE＝＝tan∠ACB＝＝，∴AE＝AB＝a，∴BE＝＝a，∴AG＝＝＝a，∴BG＝2AG＝a，AF＝2AG＝a，EG＝BE﹣BG＝a，∴△ABG的面积为S1＝BG×AG＝×a×a＝a2，四边形CDEF的面积为S2＝△ACD的面积﹣△AEF的面积＝×4a×2a﹣×a×a＝a2，∴S1：S2＝＝；故答案为：．【知识点】三角形的面积、矩形的性质、翻折变换（折叠问题）三、解答题（本大题共7小题，共44分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CDB＝70°，求∠A的度数．【解答】解：∵∠C＝∠CDB＝70°，∴∠DBC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵BD平分∠ABC∴∠ABC＝2∠DBC＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣70°＝30°．【知识点】三角形内角和定理20.已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC的周长．【解答】解∵a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得a＝3，b＝2，∵1＜c＜5，且c为整数，∴c＝2、3、4，∵△ABC是等腰三角形∴c＝2或3故△ABC的周长为：7或8．【知识点】配方法的应用、非负数的性质：偶次方、等腰三角形的性质、三角形三边关系21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC=25°，∴∠CEB=90°﹣∠CBE=65°．【知识点】三角形内角和定理22.如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．【解答】（1）证明：∵DE∥BC（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG＝∠FDC＝90°（两直线平行，同位角相等）∴PG⊥AB（垂直定义）；（2）解：是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG＝90°＝∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【知识点】命题与定理23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，求∠CDE的度数．【解答】解：由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∵∠A＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°，∴∠CDE＝75°．【知识点】三角形内角和定理24.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．（1）当∠B＝45°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B＝a，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有a、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．【解答】解：（1）∵∠C＝75°，∠B＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B+∠BAE＝45°+30°＝75°，∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°；（2）∠EFD＝（a﹣β），理由如下：由三角形的内角和定理得，∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠C﹣∠B），由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+（180°﹣∠C﹣∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），∵FD⊥BC，∴∠EFD＝90°﹣∠AEC＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B），即∠EFD＝（∠C﹣∠B）∵∠B＝a，∠C＝β，∴∠EFD＝（a﹣β）；（3）结论∠EFD＝（a﹣β）仍然成立．同（2）可证：∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），∴∠DEF＝∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），∴∠EFD＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝（∠C﹣∠B）∴∠EFD＝（a﹣β）．【知识点】三角形内角和定理25.如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC．（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F，①若∠EFB＝25°，∠DEF＝10°，则∠DCF＝②若∠ACF﹣∠AEF＝18°，求∠EFB的度数；（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围．【解答】解：（1）①∵∠DCF＝∠EFB+∠DEF＝25°+10°∴∠DCF＝35°故答案为35°②∵将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，∴∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBC∵∠AED＝∠D+∠EBD∴∠AED＝∠A+2∠ABC∵EF平分∠AED∴∠AEF＝∠FED＝∠AED＝∠A+∠ABC∵∠AEF＝∠EFB+∠ABC∴∠EFB＝∠A∵∠ACF＝∠A+∠ABC，且∠ACF﹣∠AEF＝18°，∴∠A+∠ABC﹣（∠A+∠ABC）＝18°∴∠A＝36°∴∠EFB＝∠A＝18°（2）不变如图，∵AB∥MN∴∠PGA＝∠PCM，∠AHY＝∠CNO∵CP平分∠BCM，HP平分∠AHY∴∠PCM＝∠BCM＝∠PGA，∠PHG＝∠AHY＝∠CNO∵∠BCM＝∠CNO+∠CON∴∠BCM＝∠CNO+45°∴∠PGA＝∠PHG+45°∵∠PGA＝∠GPH+∠PHG∴∠GPH＝45°【知识点】翻折变换（折叠问题）、三角形内角和定理。

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