2019年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第72讲直线和圆的位置关系的判断方法

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高考数学一轮复习限时集训(七十二)直线与圆的位置关系理新人教A版

限时集训(七十二) 直线与圆的位置关系(限时：40分钟满分：50分)1.(满分10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以BC 为直径的圆O交AC 于点D ，连结OD ，并延长交BA 的延长线于点E ，圆O 的切线DF 交EB 于F .(1)证明：AF ＝BF ；(2)若ED ＝8，sin E ＝45，求OC 的长． 2．(满分10分)如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC是圆O 的割线，与圆O 交于B 、C 两点，圆O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明A 、P 、O 、M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小． 3．(满分10分)(2012·宿迁模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)∠AED ＝∠AFD ；(2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .4．(满分10分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .5．(满分10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，过点A的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D .(1)求证：AC 2＝AP ·AD ； (2)如果∠ABC ＝60°，⊙O 的半径为1，且P 为弧»AC 的中点，求AD 的长．答案限时集训(七十二) 直线与圆的位置关系1．解：(1)证明：连结BD ，则∠BDC ＝90°，由DF 是切线，得FB ＝FD ，∠FDO ＝∠EDF ＝90°，∵∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BCD ＝90°，∠BAD ＋∠BCD ＝90°.∴∠FDA ＝∠BAD .∴FA ＝FD ，∴AF ＝BF .(2)sin E ＝OC OC ＋ED ＝45，OC OC ＋8＝45，OC ＝32. 2．解：(1)证明：连结OP 、OM . 因为AP 与圆O 相切，所以OP ⊥AP .因为M 是圆的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OPA ＋∠OMA ＝180°.由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A 、P 、O 、M 四点共圆．(2)由(1)，得A 、P 、O 、M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OP M .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°.3．证明：(1)连结AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°，又EF ⊥AB ，∠EFA ＝90°，则A 、D 、E 、F 四点共圆．∴∠DEA ＝∠DFA .(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF .连结BC ，显然△ABC ∽△AEF ，∴AB AE ＝AC AF .即AB ·AF ＝AE ·AC .∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2.4．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠AC B ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .5．解：(1)证明：连结BP . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∠ACB ＝∠APB ，∴∠ABC ＝∠APB .∴△ABP ∽△ADB . ∴AB AP ＝ADAB ，即AB 2＝AP ·AD .∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AP ·AD .(2)∵∠ABC ＝60°且AB ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠BAC ＝60°.∵P 为弧AC 的中点． ∴∠ABP ＝∠PAC ＝30°.∴∠BAP ＝90°.∴BP 是⊙O 的直径．∴BP ＝2. ∴AP ＝12BP ＝1.在Rt △PAB 中，AB 2＝BP 2－AP 2＝3， ∴AD ＝AB 2AP ＝3.。

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第72讲直线和圆的位置关系的判断方法

第72讲直线和圆的位置关系的判断方法【知识要点】一、设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=，圆心到直线的距离d =.二、判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系 ①d r <⇔直线与圆相交； ②d r =⇔直线与圆相切； ③d r >⇔直线与圆相离：方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，从而确定直线和圆的位置关系. ①0∆>⇒方程组有两个不同的实数解⇒直线与圆相交； ②0∆=⇒方程组有两个相等的实数解⇒直线与圆相切； ③0∆<⇒方程组没有实数解⇒直线与圆相离.方法三（顶定点分析法）:先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交. 【方法讲评】【例1】已知圆C ：0822=-+x y x 与直线l ：m x y +-=，（1）1=m 时，判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.【点评】（1）利用几何的方法判断直线和圆的位置关系，先求直线到圆心的距离d ，再比较d 和圆的半径r 的大小关系，得出结论.（2）第2小问，本题利用的是代数法，也可以利用几何法解答.【反馈检测1】已知圆C ：22280x y x +--=，直线l ：30x ay a +-=．（1）当直线l 与圆C 相切时，求实数a 的值；（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程．【例2】已知：过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=相交于,M N 两点．求实数k 的取值范围；【解析】∵直线l 过点(0,1)A 且斜率为k ， ∴直线l 的方程为1y kx =+.将其代入圆22:(2)(3)1C x y -+-=，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，由题意：22[4(1)]4(1)70k k ∆=+-+⨯>，k <<. 【点评】本题利用代数的方法解答比较方便，如果利用几何的方法就比较麻烦，因为直线的方程里有参数k ，不是很好比较d 和r 的关系.【反馈检测2】已知圆221C x y ：+=与直线0l y m -+=相交于不同的A B 、两点，O 为坐标原点.（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB =，求实数m 的值.【例3】已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-= 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B【点评】对于本题，如果利用代数的方法和几何的方法，计算量比较大.但是如果找到直线的定点，就比较容易判断直线和圆的关系.所以当直线中含有参数时，都要注意考虑直线是否过定点. 【反馈检测3】已知动直线:(3)(2)0l m x m y m +-++=与圆22:(3)(4)9C x y -+-=．（1）求证：无论m 为何值，直线l 总过定点A ，并说明直线l 与圆C 总相交；（2）m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第72讲：直线和圆的位置关系的判断方法参考答案【反馈检测1答案】（1）相交；（2）244±=m.【反馈检测2答案】（1） (2,2)-；（2） 1m =±.【反馈检测2详细解析】（1）由221x y y m ⎧+=⎪-+= 消去y 得22410x m ++-=，由已知得，22)16(1)0m -->得240m -<，得实数m 的取值范围是(2,2)-；（2）因为圆心(0,0)C到直线0l y m -+=的距离为2m d ==，所以AB ==1m =±.【反馈检测3答案】（1）证明见解析；（2）52m =-时，直线l 被圆C【反馈检测3详细解析】（1）证明：直线l 变形为()()1320m x y x y -++-=．。

直线与圆的位置关系典例+讲解+习题+答案

4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R所以直线L与直线O相交。

2．切线问题：例3：已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2) 法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；\当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。

综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。

(1)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。

解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为所以PT的方程为综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0 例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2） B(4，5) 解： (1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。

直线与圆的位置关系-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)(解析版)

2.2 直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；（2）=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；（3）<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点.2、代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；二、直线与圆相交时的弦长求法：1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：222=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l k x k x x x x 三、直线与圆相切时的切线问题1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。

（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。

2、求过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k ，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k ，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程。

高考四元聚焦·理数——《对点训练》第72讲直线与圆的位置关系

高考四元聚焦·理数——《对点训练》第72讲直线与圆的位置关系即PC ＝6(负值舍去)．4.(2019·北京市房山区4月一模)如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝3，PB ＝1，则∠ABC ＝( B )A ．70°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝3，PB ＝1，所以解得PC ＝3，即BC ＝2，OA ＝1，OP ＝2，因为OA ⊥PA ，所以∠P ＝30°，∠AOB ＝60°，因为OA ＝OB ，所以∠ABC ＝60°，故选B.5.(2019·北京市西城区第一学期期末)如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O的割线．若PA BC ＝32，则PB BC ＝ 12. 解析：根据切割线定理有PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )，PA BC ＝32， PB 2＋PB ·BC －34BC 2＝0， (2PB ＋3BC )(2PB －BC )＝0，所以PB BC ＝－32(舍去)，PB BC ＝12. 6.(2019·广东省惠州市第四次调研)如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，以AC 为直径作圆O 交AB 于D ，则CD＝125.解析：∠ADC为直径AC所对的圆周角，则∠ADC＝90°.在Rt△ACB中，CD⊥AB.由等面积法有AB·CD＝CA·CB，故得CD＝125.7.(2019·衡水调研)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tan θ的值为52.解析：设BD＝k(k>0)．因为AD＝5DB，所以AD＝5k，AO＝OB＝5k＋k2＝3k，所以OC＝OB＝3k，OD＝2k.由勾股定理得，CD＝OC2－OD2＝(3k)2－(2k)2＝5k，所以tan θ＝CDOD＝5k2k＝52.8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的大小；(2)当OA＝3时，求AP的长．解析：(1)因为在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，所以∠AOB＝180°－2×30°＝120°.因为PA，PB是⊙O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°，所以∠APB＝60°.(2)如图，过点O作OD⊥AB交AB于点D.因为在△OAB中，OA＝OB，所以AD＝12AB.因为在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，所以AD＝OA·cos 30°＝332，AP＝AB＝3 3.9.(2019·吉林省长春市3月第二次调研)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．解析：(1)证明：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，即有BEBA＝DECA，而AB＝2AC，所以BE＝2DE，又CD是∠ACB的平分线，所以AD＝DE，从而BE＝2AD.(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，解得t＝12或t＝－2(舍去)，即AD＝12.。

直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版

，圆心距为(特别地，，且倾斜角为相切于点，且，则的面积是B.【答案】半径分别为，直线的方程为.，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题届高三入学摸底】若过点的取值范围是（B D，若对任意与一定圆相切，【答案】【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切）及直线，当直线被时，则B. C. D.【解析】由题意，得，又因为，所以，且与圆，求【答案】，圆心到直线的距离为和圆两点，若，则D已知直线：与圆交于过的垂线与轴交于两点，则【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，所以，所以．又直线的倾斜，由平面几何知识知在梯形中，．，（上存在点，使得，则正实数B. C. D..的值．【解析】将配方得：由于两圆相切，故或或.届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是与圆的位置关系是，则圆心为圆心到直线的距离截直线所得线段的长度是，即则圆心为，半径的圆心为，半径届高考适应性】已知圆，点为直线引两条切线为切点，则直线经过定点C是圆是圆②得，过定点，故选上有且仅有两个点到直线的距离等于的距离为：的距离为当】已知点及圆的方程；两点，当时，求以线段为直径的圆或；的.，..，故圆心必在，所以，使得过点垂直平分弦在平面直角坐标系已知的最小值为（B. C. D.作圆的弦，其中最短的弦长为【答案】圆的圆心坐标为，点作圆的弦，过点垂足为点，则，且，当点与点重合时，大值，此时取最小值，且求过点的切线方程，半径为，当直线的斜率不存在时，过点的方程为到直线的距离知，此时，直线与圆相切；，即由题意知，所以方程为，即，.已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（或 C. D. 或。

高考数学一轮总复习第72讲直线与圆的位置关系的判定与性质考点集训理新人教A版

考点集训(七十二) 第72讲直线与圆的位置关系的判定与性质1．如图，直线ΡQ与⊙Ο相切于点Α，ΑΒ是⊙Ο的弦，∠ΡΑΒ的平分线ΑC交⊙Ο于点C，连结CΒ，并延长与直线ΡQ相交于点Q，若ΑQ＝6，AC＝5.(1)求证：QC2－QΑ2＝ΒC·QC；(2)求弦AB的长．2．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.(1)求证：AC·BC＝AD·AE；(2)若AF＝2, CF＝22，求AE的长．3．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ︵＝AC ︵，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D.(1)求证： PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝3，求AP·AD 的值．5．如图AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E.(1)若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．6．如图，已知AB是圆O的一条弦，延长AB到点C使AB＝BC，过点B作DB⊥AC且DB ＝AB，连接DA与圆O交于点E，连接CE与圆O交于点F.(1)求证：DF⊥CE；(2)若AB＝6，DF＝3，求BE.7．如图所示，已知圆Ο外有一点Ρ，作圆Ο的切线ΡΜ，Μ为切点，过ΡΜ的中点Ν，作割线ΝΑΒ，交圆于Α、Β两点，连接ΡΑ并延长，交圆Ο于点C ，连接ΡΒ交圆Ο于点D ，若ΜC ＝ΒC.(1)求证：△ΑΡΜ∽△ΑΒΡ；(2)求证：四边形ΡΜCD 是平行四边形．8．如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为BD ︵的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE.(1)求证：AG·EF ＝CE·GD ；(2)求证：GF AG ＝EF2CE2.第72讲直线与圆的位置关系的判定与性质【考点集训】1．【解析】(1)因为PQ 与⊙O 相切于点A ，由切割线定理得：QA 2＝QB·QC＝(QC －BC)QC ，所以QC 2－QA 2＝BC·QC.(2)由(1)可知，QA 2＝QB·QC＝()QC －BC QC. 因为PQ 与⊙O 相切于点A ，所以∠PAC ＝∠CBA. 因为∠PAC ＝∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CBA ，所以AC ＝BC ＝5，又知AQ ＝6，所以QC ＝9.由∠QAB ＝∠ACQ 知△QAB ∽△QCA ，所以AB AC ＝QA QC ，所以AB ＝103.2．【解析】(1)连结BE ，由题意知△ABE 为直角三角形．因为∠ABE ＝∠ADC ＝90°，∠AEB ＝∠ACB ，△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC，即AB·AC＝AD ·AE.又AB ＝BC ，所以AC·BC＝AD·AE.(2)因为FC 是圆O 的切线，所以FC 2＝FA·FB，又AF ＝2，CF ＝22，所以BF ＝4，AB ＝BF －AF ＝2，BC ＝AB ＝2. 因为∠ACF ＝∠FBC ，又∠CFB ＝∠AFC ，所以△AFC ∽△CFB.所以AF FC ＝AC BC ，得AC ＝AF·BC CF ＝ 2cos ∠ACD ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝24，∴sin ∠ACD ＝144＝sin ∠AEB ， ∴AE ＝AB sin ∠AEB ＝4147.3.【解析】(1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ， ∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ，∴PF PC ＝PDPO，由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，故PF ＝PC·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为OF ＝2－r ＝1即r ＝1. 所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT ＝2 2. 4.【解析】连结BP ，∵四边形ABCP 内接于圆， ∴∠PCD ＝∠BAD ，又∠PDC ＝∠BDA ， ∴△PCD ∽△BAD ， ∴PC BA ＝PD BD，又∵AB ＝AC ， ∴PC AC ＝PD BD. (2)连结BP.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∵四边形ABCP 内接于圆，∴∠ACB ＝∠APB ，从而∠ABC ＝∠APB ，又∠BAP ＝∠BAD ，∴△PAB ∽△BAD.∴PA BA ＝ABAD ，∴AP ·AD ＝AB 2，又∵AB ＝AC ＝3，∴AP ·AD ＝AB 2＝AC 2＝9 . 5.【解析】(1)连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ， ∴∠DEC ＝∠DCE ，连结OE ，则∠OBE ＝∠OEB ， ∵∠ACB ＋∠ABC ＝90°， ∴∠DEC ＋∠OEB ＝90°，∴∠OED ＝90°，∴DE 是圆O 的切线．(2)设CE ＝1，AE ＝x ，由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2，由射影定理可得，AE 2＝CE·BE，从而 x 2＝12－x 2，解得x ＝3，得到∠ACB ＝60°. 6．【解析】(1)∵CA 与⊙O 交于点B ，CE 与⊙O 交于点F ， ∴由割线定理，得CA ·CB ＝CF·CE， ∵AB ＝BC ＝DB ，DB ⊥AC ，∴DA ＝DC ＝2CB ，∠CDB ＝∠ADB ＝45°， ∴△CDA 是等腰直角三角形，即∠CDA ＝90°，∴CA ·CB ＝2CB 2＝DC 2＝CF ·CE，即DC CF ＝CE DC. 又∵∠DCE ＝∠DCF ，∴△CDE ∽△CFD ， ∴∠CFD ＝∠CDE ＝90°，即DF ⊥CE.(2)在等腰Rt △CDB 中，AB ＝BC ＝DB ＝6，∴CD ＝2 3. 在Rt △DFC 中，DF ＝3，∴sin ∠DCF ＝DF CD ＝323＝12，∴∠DCF ＝30°，∴在Rt △CDE 中，CE ＝CD cos ∠DCE ＝23cos 30°＝4.又∵∠ECB ＝∠DCB －∠DCE ＝45°－30°＝15°，∴cos ∠ECB ＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝6＋24，∴在△BCE 中，BE 2＝BC 2＋CE 2－2BC · CE · cos ∠BCE ＝10－43，即BE ＝10－4 3. 7．【解析】(1)∵ΡΜ是圆Ο的切线，ΝΑΒ是圆Ο的割线，Ν是ΡΜ的中点，∴ΜΝ2＝ΡΝ2＝ΝΑ·ΝΒ， ∴ΡΝΒΝ＝ΝΑΡΝ，又∵∠ΡΝΑ＝∠ΒΝΡ，∴△ΡΝΑ∽△ΒΝΡ， ∴∠ΑΡΝ＝∠ΡΒΝ，即∠ΑΡΜ＝∠ΡΒΑ.∵ΜC ＝ΒC ，∴∠ΜΑC ＝∠ΒΑC ，∴∠ΜΑΡ＝∠ΡΑΒ， ∴△ΑΡΜ∽△ΑΒΡ.(2)∵∠ΑCD ＝∠ΡΒΝ，∴∠ΑCD ＝∠ΡΒΝ＝∠ΑΡΝ，即∠ΡCD ＝∠C ΡΜ， ∴ΡΜ∥CD ，∵△ΑΡΜ∽△ΑΒΡ，∴∠ΡΜΑ＝∠ΒΡΑ， ∵ΡΜ是圆Ο的切线，∴∠ΡΜΑ＝∠ΜC Ρ，∴∠ΡΜΑ＝∠ΒΡΑ＝∠ΜC Ρ，即∠D ΡC ＝∠ΜC Ρ， ∴ΜC ∥ΡD ，∴四边形ΡΜCD 是平行四边形． 8．【解析】(1)已知AD 为⊙M 的直径，连接AB ，则∠BCE ＝∠BAE ，∠CEF ＝∠ABC ＝90°，由点G 为弧BD 的中点可知∠GAD ＝∠BAE ＝∠FCE ，故△CEF ∽△AGD ，所以有CE AG ＝EFGD，即AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DFG ＝∠CFE ＝∠ADG ，故△AGD ∽△DGF ，所以GF GD ＝DC AG ＝EF CE，即GF AG ＝EF 2CE 2.。

2019版高考数学精选地区9.2 直线、圆的位置关系

解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,
则OP=OM·sin
2019年8月10日
45°≤1,∴OM≤
1
sin遇45上你, 是缘分，愿您生活愉快，身体健
康，学业有成，金榜题名！
6
∴OM2≤2, ∴ x02 +1≤2, ∴ x02 ≤1,∴-1≤x0≤1.
思路分析解法一:利用切线的性质及数形结合思想得出x0的取值范围;解法二:过O作OP⊥ MN(垂足为P),在Rt△OPM中利用三角函数的定义得出OP与OM的关系,利用OP的范围得出 OM的范围,从而求得x0的取值范围.
且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以 | 2b | = 22 12 ,所以 b = 3 .故离心率e
a2 b2
a
=
1
b2 a2
=2.选A.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
3
3.(2015课标Ⅱ,7,5分,0.688)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
2019年8月10日
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7
B组自主命题·省(区、市)卷题组
考点一两条直线的位置关系
1.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲
线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是
答案 C 本题主要考查点到直线的距离.
解法一:由点到直线的距离公式得d= | cosθ msin θ 2 | , 1 m2

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第72讲直线和圆的位置关系的判断方法

第 72 讲直线和圆的地点关系的判断方法【知识重点】一、设直线 l : Ax By C0 圆 C : ( x a)2( y b)2r 2，圆心到直线的距离d Aa Bb C .A2B2二、判断直线与圆的地点关系的方法方法一 ( 几何法 ) ：比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径r的大小关系① d r直线与圆订交；② d r直线与圆相切；③ d r直线与圆相离：方法二（代数法）：经过鉴别式判断直线与圆的方程组的实数解的状况，进而确立直线和圆的地点关系.①0方程组有两个不一样的实数解直线与圆订交；②0方程组有两个相等的实数解直线与圆相切；③0方程组没有实数解直线与圆相离 .方法三（顶定点剖析法）: 先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆订交.【方法讲评】方法一几何法使用情形判断直线和圆的地点关系解题步骤先求直线到圆心的距离 d ，再比较 d 和圆的半径r的大小关系，得出结论.【例 1】已知圆C：x2y28x0 与直线l：y x m ，（1）m1时，判断直线 l 与圆 C 的地点关系；（2）若直线l 与圆 C 相切，务实数m的值.【评论】（ 1）利用几何的方法判断直线和圆的地点关系，先求直线到圆心的距离 d ，再比较d和圆的半径r的大小关系，得出结论. （2）第 2 小问，此题利用的是代数法，也能够利用几何法解答.【反应检测1】已知圆 C ：x2y22x80，直线l ：x ay3a0 ．（1）当直线l 与圆C 相切时，务实数a的值；（ 2）当直线l与圆C订交于A、B两点，且AB 4 2 时，求直线 l 的方程．方法二使用情形代数法判断直线和圆的地点关系解题步骤先联立直线和圆的方程消去y，获得对于x 的一元二次方程，再求鉴别式，得出结论.【例2】已知：过点A(0,1) 且斜率为k的直线l与圆 C : ( x 2) 2( y 3)2 1 订交于 M , N 两点．求实数 k 的取值范围；【分析】∵直线l 过点A(0,1)且斜率为 k ，∴直线 l的方程为 y kx1.将其代入圆 C : ( x2) 2( y3)2 1 ，得 (1 k 2 ) x24(1k) x70 ，由题意：[4(1k)] 24(1k2 )7 0 ，得47k47. 33【评论】此题利用代数的方法解答比较方便，假如利用几何的方法就比较麻烦，由于直线的方程里有参数 k ，不是很好似较 d 和r的关系.【反应检测2】已知圆C：x2y21与直线 l : 3x y m 0 订交于不一样的A、 B 两点， O 为坐标原点 .（ 1）务实数m的取值范围；（ 2）若AB3，务实数的值 .m方法三使用情形解题步骤定点剖析法直线中一般含有参数先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆订交.【例 3】已知圆C : x2( y 1)25，直线 l : mx y 1 m 0求证：对 m R ，直线 l 与圆 C 总有两个不一样的交点A, B【评论】对于此题，假如利用代数的方法和几何的方法，计算量比较大. 可是假如找到直线的定点，就比较简单判断直线和圆的关系. 因此当直线中含有参数时，都要注意考虑直线能否过定点.【反应检测3】已知动直线l : (m3) x(m2) y m0 与圆C : ( x3)2( y4) 29 ．（1）求证：不论m为什么值，直线l总过定点A，并说明直线l与圆C总订交；（2）m为什么值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？恳求出该最小值．高中数学常有题型解法概括及反应检测第72 讲：直线和圆的地点关系的判断方法参照答案【反应检测 1 答案】（ 1）订交；（ 2）m 4 4 2 .【反应检测2答案】（） ( 2,2)；（）m1.12【反应检测 2 详尽分析】（ 1）由x2y21消去 y 得3x y m04x223mx m210 ，由已知得， (23m)216(m2 1)0得 m240 ，得实数 m 的取值范围是 (2,2)；（ 2）由于圆心C (0,0)到直线 l :3x y mm m0 的距离为 d1，32因此 AB =2 r 2 d 2 2 1 m2 4 m24由已知得24m =3，解得m1.【反应检测 3 答案】（ 1）证明看法析；（ 2）m 5时，直线 l 被圆 C 所截得的弦长最小，最小值为 2 7．2【反应检测 3 详尽分析】（ 1）证明：直线l 变形为 m x y 13x 2 y0 ．。

2019年高考数学二轮复习专题七解析几何7.2直线圆圆锥曲线小综合题专项练课件文

A.y=±33x C.y=± 721x
B.y=± 3x D.y=± 321x
解析 ∵F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,设 F1(-c,0),F2(c,0),
则|F1P|= ��2 + 4��2,∴ ��2 + 4��2=2c, ∴c2+4b2=4c2,
∴c2+4(c2-a2)=4c2,
∴4>
|-��| 2
2
≥1,
∵k>0,∴ 2≤k<2 2,故选 C.
7.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:��22 + ��22=1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点,P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与
7.2 直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练
1.直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系判定:
①几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定.
②代数法:解方程组
�� + �� (��-��)2 +
+ �� = (��-��)2
10.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在
x 轴的上方),l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的
距离为( C )
A. 5
B.2 2
C.2 3
D.3 3
解析由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,可得直

2019高考数学考点突破——直线与圆：两条直线的位置关系 Word版含解析.doc

两条直线的位置关系【考点梳理】1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离d ＝x 2－x 12＋y 2－y 12考点一、两条直线的平行与垂直【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.[解析] (1)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.法二由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23.【类题通法】1．判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．【对点训练】1．直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[答案] C[解析] ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋－m ＝0，m ＋－m，解得m ＝1.故选C.2．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. [答案] 23[解析] 因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23.考点二、两直线的交点与距离问题【例2】(1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12-x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.(2)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________．[答案] (1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2) x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [解析] (1)法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0，2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2，1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.(2)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 【类题通法】1．求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．【对点训练】1．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．2．已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．[答案] －13或－79[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.考点三、对称问题【例3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程.[解析] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上.设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3).又∵m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1，1)，N (4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上.易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 【类题通法】1．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直.2．如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3．若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【对点训练】1．点(2，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________. [答案] (0，3)[解析] 设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0，3).2．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0[答案] B[解析] 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1，1)．在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1，0)，设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.3．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x ＋3 D ．y ＝2x －3[答案] D[解析] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0，1)，B (1，3)，则点A 关于点(1，1)对称的点为M (2，1)，点B 关于点(1，1)对称的点为N (1，－1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.。

(完整版)直线与圆的位置关系练习题

精品word完整版-行业资料分享专项训练：直线与圆的位置关系一、单选题1．直线截圆所得的弦长为A．B．C．D．2．直线与圆的位置关系是A．相切B．相交但不过圆心C．相交且过圆心D．相离3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是A．B．C．D．4．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不确定5．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．B．C．D．6．“”是直线与圆相切的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知集合，集合，若的概率为1，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知圆，直线，在上随机选取一个数，则直线与圆有公共点的概率为A．B．C．D．9．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点,则实数m的取值范围是A．(－2,2)B．(－1,1)C．[1,)D．(－,)10．设圆x2＋y2＋2x＋2y－5＝0与x轴交于A,B两点,则|AB|的长是A ．B ． 2C ． 2D ． 311．圆与圆都关于直线对称,则圆C 与y 轴交点坐标为 A ．B ．C ．D ．12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线和圆的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相离D ．相切13．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ． (－，) B ． [－，]C ． (－，)D ． [－，]14．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为 A ． B ．C ．D ．15．（题文）若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为A ．B ．C ．D ．16．动圆C 经过点，并且与直线相切，若动圆C 与直线总有公共点，则圆C的面积为（） A ．有最大值B ．有最小值C ．有最小值D ．有最小值17．已知直线：与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 518．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是( )．A ．B ． (－∞，]∪[0，＋∞)C ．D ．19．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值精品word 完整版-行业资料分享为（） A ．32 B ． 62 C ． 32或32- D ． 62或62- 20．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（） A ． []0,1 B ． []1,1- C ． 22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ． 20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值（）A ．322B ． 142C ． 324D ．3212- 22．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为22，则a 等于 A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．22 23．直线被圆所截得的最短弦长等于（） A ．B ．C ．D ．24．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（） A ． 23 B ． 2 C ． 6 D ． 325．过点且被圆截得弦长最长的直线的方程为（）．A ．B ．C ．D ．26．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ． 3x ＋y －5＝0B ． x －2y ＝0C ． x －2y ＋4＝0D ． 2x ＋y －3＝027．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ． x ＋y －2＝0 B ． x －y ＋2＝0 C ． x ＋y －3＝0 D ． x －y ＋3＝028．经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y -+= D ．210x y ++=二、填空题29．经过A (0,－1)和直线x ＋y ＝1相切,且圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程是______. 30．圆心为()1,0，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____． 31．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx的最大值为________． 32．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．三、解答题33．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0,(1)若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线l 的方程； (2)若点是圆C 上的动点,求的取值范围.34．已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.精品word完整版-行业资料分享参考答案1．D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】由条件求得圆心到直线2x+y-5=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【详解】圆（x-1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，-2）、半径为，圆心到直线2x+y-5=0的距离为，小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a，则设m=ab=a（1-a）=-a2+a，∴当时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是．故选：A．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．4．A【解析】【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，再根据圆的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.【详解】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以的直线方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.5．B精品word完整版-行业资料分享【解析】【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．6．C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论.【详解】由圆，可得圆心为，半径．∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．B【解析】【分析】A表示圆上的点，B表示直线直线上的点，要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然有交点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径即可求得a的取值范围【详解】A表示圆x2+y2=1上的点，圆心为（0,0），半径为1，B表示直线x+y+a=0上的点要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然相交，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径：故有：d＝≤1，解得：,故选：B.【点睛】本题考查了集合中的一种类型——点集，通常与平面几何相联系，从集合间的关系转化为直线与圆的位置关系，关键是理解A∩B≠Φ的概率为1与直线与圆必然相交的关系．8．C【解析】【分析】由有公共点这一条件，判断出直线和圆的位置关系，进而求得k的取值范围；由几何概型概率求解方法，可求得有公共点的概率值。

直线与圆的位置关系题型归纳

直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。

研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。

本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。

一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。

1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。

2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 求解直线方程和圆的方程的解集。

- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。

三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。

高考数学-直线与圆位置关系

直线与圆的位置关系一. 教学目标1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定，能将圆的几何性质和代数方法结合起来解决直线与圆、圆与圆相交或相切问题．2.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；3.能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系.4. 能利用相切关系求切线方程、切线长、确定参数的值或参数的取值范围.5.能利用相交关系求割线方程、弦长、确定参数的值或参数的取值范围二. 知识梳理1. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，无公共点． 2. 直线与圆的位置关系的判断方法判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)法一：代数法：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000． (2)法二：几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 223.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB ＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．要点诠释：如何求弦长？提示：(1)代数法：弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |．(2)几何法：设弦心距为d ，圆半径为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2．其中，弦长公式对直线与椭圆、双曲线、抛物线的相交弦也适用．代数法是直线与圆锥曲线相交求弦长的通法；几何法是充分利用了圆的几何性质，计算量小，简洁明了，但仅对圆的弦长适用．4.过一点作圆的切线的方程：（解题方法） (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。

高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。

高考数学考点归纳之直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学考点归纳之直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法．考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________．解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0，圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离，所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。

高中数学训练题及解析——直线与圆的位置关系

平面解析几何——直线与圆的位置关系一、选择题1．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2，2)C．(－24，24) D．(－18，18)答案 C解析设l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k＋2k|k2＋1<1，∴－24<k<24.2．直线x sinθ＋y cosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案 B解析圆心到直线的距离d＝|sinθ－2－sinθ|sin2θ＋cos2θ＝2.所以直线与圆相切．3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为()A.2－1 B．2－ 2C. 2D.2－1与2＋1答案 A解析如图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，故直线l0与l1的距离为2－1，∴平移的最短距离为2－1，故选A.4．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4；O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b ∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切答案 C解析由两圆方程易知其圆心坐标分别为O1(a，b)、O2(a＋1，b＋2)，经计算得：O1O2＝5，由于R－r＝1<O1O2＝5<R＋r＝3，故两圆相交．5．函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆孤，如图，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为()A．(－1，－22)∪(0，22)B．(－1，－22)∪(22，1)C．(－22，0)∪(0，22)D．(－22，0)∪(22，1)答案 D6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 2C.7 D．3答案 C解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，∴|PM|最小值为22，|PQ|＝|PM|2－1＝(22)2－1＝7，选C.7．若圆O1方程为：(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝0，圆O2方程为：(x－3)2＋(y－2)2－1＝0，则方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝(x－3)2＋(y－2)2－1表示的轨迹是() A．线段O1O2的中垂线B．过两圆的公切线交点且垂直于线段O1O2的直线C．两圆公共弦所在的直线D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案 D解析∵圆心距|O1O2|＝(3＋1)2＋(2＋1)2＝5>2＋1＝3，∴两圆相离．把所给的轨迹方程化简得4x＋3y－7＝0显然线段O1O2的中点不在直线4x＋3y－7＝0上，排除A、C，由计算知，到两圆的切线长相等的点的轨迹恰为直线4x＋3y－7＝0.8．已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－433)∪(433，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案 C解析解法一：(直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决．过A 、B 两点的直线方程为y ＝a 4x ＋a2，即ax －4y ＋2a ＝0，则d ＝|2a |a 2＋16＝1，化简后，得3a 2＝16，解得a ＝±433.再进一步判断便可得到正确答案为C.解法二：设AB 1直线方程为{y ＝k (x ＋2)x 2＋y 2＝1⇒(1＋k 2)x 2＋4k 2x ＋4k 2－1＝0，Δ＝0，k ＝±33，直线AB 1方程为y ＝33(x ＋2)，直线AB 2方程为y ＝－33(x ＋2)，可得B 1(2，433)，B 2(2，－433)，要使从A 看B 不被圆挡住，B 纵坐标即实数a 的取值范围为(－∞，－433)∪(433，＋∞)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 答案 A 二、填空题10．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB→|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于________．答案 ±2解析由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB ，所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.11．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为________．答案 x －2y ＋3＝0解析设圆心为N (2,0)，由圆的性质得直线l ⊥MN 时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.12．(2010·江西卷，理)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________．答案 [－34，0]解析如图，记题中圆的圆心为C (3,2)，作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|3k ＋1|1＋k2，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2＝24－9k 2＋6k ＋11＋k2≥23，即4－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥3，解得－34≤k ≤0.13．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 取值范围是__________．答案－1＜b ≤1或b ＝－ 2解析 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)方程x 2＋y 2＝1(x ≥0)所表示的曲线为半圆(如图)当直线与圆相切时或在l 2与l 3之间时，适合题意．三、解答题14．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1.设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c ，分别代入圆C 的方程得2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0，由于相切，则方程有等根，即b ＝3或b ＝－1，c ＝5或c ＝1. 故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.15．(2011·北京海淀区期末)已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值； (3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解设圆心C (a ，a )，半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos 〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0.(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又易知|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12·|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4(d 21＋d 2)＋d 21·d 2＝212＋d 21·d2≤212＋(d 21＋d22)2＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以S 的最大值为7.。

2019版高考数学：§9.2 直线、圆的位置关系

因为l与C交于两点,所以 | 2k 3 1| <1. 1 k2
解得 4 7 <k< 4 7 .
3
3
所以k的取值范围为

4
3
7 ,4 3
7

.

(5分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
距离d= | a | 2
.由r2=d2+
|
AB 2
|
2
,得a2+2= a2 +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.
2
评析本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到直线的距离公式,利用弦长的一半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.
2019年7月10日
所以x1+x2= 41(1kk2
)
,x1x2= 7
1 k
2
.
(7分)
OM ·O N =x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= 4k (1
1
k k2
)
+8.
由题设可得 4k(1 k) +8=12,解得k=1,
1 k2
所以l的方程为y=x+1.
故20圆19心年C在7月l上1,所0日以|MN|=2. (12分你)是我今生最美的相遇遇
+mx2-2=0,可得

x y

m, 2 1. 2

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