2018年12月西南大学复变函数与积分变换【1153】大作业答案
复变函数_习题集(含答案)
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
38.设函数 在 内解析，令 .证明： 在区间 上是一个上升函数，且若存在 及 （ ），使 ，则 常数．
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
6.求 的值．
7.求值 ．
8.求值 ．
9.求值 ．
10.求值 ．
11.求积分 ，其中C是连结O和i的任意连续曲线．
12.计算积分 ，其中 是沿 由原点到点 的曲线．
13.计算积分 ，其中路径为沿抛物线 自原点到点 的有向曲线段．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
, .
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
西安交通大学18年12月补考《复变函数》作业考核试题[100分答案]
![西安交通大学18年12月补考《复变函数》作业考核试题[100分答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/f464ee1043323968011c92b1.png)
西安交通大学18年12月补考《复变函数》作业考核试题
1、B
2、B
3、C
4、C
5、D
一、单选题共30题，90分
1、复函数在一点有极限是是在该点连续的（）
A充分条件
B必要条件
C充要条件
D既非充分也非必要条件
正确答案是：B
2、
AA
BB
CC
DD
正确答案是：B
3、关于收敛圆，下列说法错误的是（）
A幂级数在收敛圆内处处收敛
B在圆外处处发散
C在圆周上一半收敛，一半发散
D在圆周内处处解析
正确答案是：C
4、关于幂级数的收敛半径，下列说法错误的是（）
A幂级数可能仅仅只在原点收敛
B可能在复平面上处处收敛
C求导后导数的收敛半径变小
D任意阶导数都与原幂级数的收敛半径一致
正确答案是：C
5、下列说法错误的是：复函数在一点处可导，则（）
A在该点处可微
B实部函数与虚部函数均在该点可微
C满足C-R条件
D在该点处解析
正确答案是：D
6、
AA
BB
CC
DD
正确答案是：B
7、
西南大学2018秋[1153]《复变函数与积分变换》作业答案
![西南大学2018秋[1153]《复变函数与积分变换》作业答案](https://img.taocdn.com/s3/m/bf173005ccbff121dd3683d6.png)
1、复函数LnZ（）
1.
除去原点及负半实轴外处处解析
2.
在复平面上处处解析
3.
在复平面上处处不解析
4.
除去原点外处处解析
2、
复数列的极限为（）1. -1
2.
不存在
3.
4. 1
3、洛朗级数的正幂部分叫（）1. A. 解析部分
2.
无限部分
3.
主要部分
4.
都不对
4、
1.
一阶极点
2.
本性奇点
3.
一阶零点
4.
可去奇点
1.
2πi
2.
3.
4πi
4.
以上都不对
6、
1. z=1+i点绝对收敛
2. z=1+2i点一定发散
3. z=-2点条件收敛
4. z=2i点绝对收敛
7、若（），则复函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域D内的连续函数。
1.
以上都不对。
2. u(x,y),v(x,y)至少有一个在区域D内连续；
3. u(x,y)在区域D内连续；
4. u(x,y),v(x,y)在区域D内连续；
8、
1.
+∞
2. 2
3. 1
4.
1. B. -2i
2. -1
3. 1
4. 2i
10、下列结论不正确的是（）．
1. D. sinz是复平面上的有界函数
2. lnz是复平面上的多值函数
3. cosz是无界函数
4. e^z是周期函数
11、设z=cosi ，则
1. Imz=0
2.
argz=π
3.
Rez=π
4. |z|=0
12、方程所表示的平面曲线为（）
1.
椭圆
2.
圆
3.
双曲线
4.
直线
13、
1.
π+arctan1/2
2. -arctan1/2
3.
π-arctan1/2
4. arctan1/2 14、
1.
2. 1
3.
πi
4.
2πi
15、
1. 2
2.
3. 1
4.
无解
16、
1. F. z=1+i点绝对收敛；
2. z=-2i点绝对收敛；
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y)
x, y
2
y
x dx
2x
y
dy
C
0,0
x
0
x
dx
y
0
2x
y
dy
C
1 x2 2xy 1 y2 C
2
2
四．(20 分)求下列积分的值
1． 2 3 ei
2．这里 m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的
x2
Baidu Nhomakorabeax
a2
eixd
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
复变函数与积分变换课后习题答案详解
…
复变函数与积分变换
（修订版）主编：马柏林
（复旦大学出版社）
/
——课后习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++.
①解i 4
πππ2222e cos isin i i 442222
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=
+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ ②解： ()()()()
35i 17i 35i 1613i
7i 1
1+7i 17i 2525
+-+==-++-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：
()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a a z a -∈+); 3
3
31313;;;.22n i i z i ⎛⎫⎛⎫
-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
① ：∵设z =x +iy
则
()()()()()()()22
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y
-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴
()222
2
2
Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,
()22
2Im z a xy z a x a y
-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵
()()()()()
()()()3
2
3
2
2
222222
3223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换
（修订版）主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++.
①解i 4
πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ ②解： ()()()()
35i 17i 35i 1613i
7i 1
1+7i 17i 2525
+-+==-++-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a a z a -∈+
); 33
3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy
则
()()()()()()()22
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y
-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴
()222
2
2
Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,
()22
2Im z a xy z a x a y
-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵
()()()()()
()()()3
2
322222222
3223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）
一、填空（3分×10）
1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，
，
。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：
。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==
')(z f 6．。
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。8．幂函数的映照特点是：
。9．若=F [f (t )]，则= F 。)(ωF )(t f )]
[(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)
已知，求函数使函数为解析函
222
1
21),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算
⎰=--2||6)
3)(1(z z z z dz
四、计算积分（5分×2）1．
⎰=-2||)
1(z z z dz
2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰
-c i z z
3
)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)
(1
)(i z z z f -=
1．1||0<-<i z 2．+∞
<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）
（1）与构成一对傅氏变换对。)(0t t -δo iwt e -（2）)
(2ωπδ=⎰
∞+∞
-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
复变函数与积分变换课后答案
1 1 3 z 2 3z 2 4 3z 2 lim 1 ∴ Res f z , 0 lim z 2 2 1! z0 z 2 z 0 4
3z 2 Res f z , 2 lim 1 z 2 z2 1 2 3. 利用罗朗展开式求函数 z 1 sin 在∞处的留数． z
故
0 2
x a
dx
z 2 z 2 lim lim πi z ai z ai 2 z ai z ai 2 π 2a
(5)
x sin x
0
x 2 b 2 2
故： I
(2)
1 az dz ，其中 T 为直线 Rez=c, 2 πi T z 2
c>0, 0<a<1
a z e z ln a ecln a 解 ： 在 直 线 z=c+iy (- ∞ < y <+ ∞ ) 上 ， 令 f z 2 2 ， f c iy 2 ， z z c y2
c i
f c iy dy f z dz lim
c i ecln a f z dz 是存在的，并且 dy 收敛，所以积分 2 2 c i c y
复变函数课后习题答案(全)
精心整理
页脚内容
习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+（2）(1)(2)i i i --
（3）131i i i
--（4）821
4i i i -+-
解：（1）1323213i
z i -==
+， 因此：32
Re , Im 1313z z ==-，
（2）3(1)(2)1310
i i i
z i i i -+===---，
因此，31
Re , Im 1010z z =-=，
（3）133335122
i i i
z i i i --=-=-+=
-， 因此，35
Re , Im 32z z ==-，
（4）821
41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+（3）(sin cos )r i θθ+
（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解：（1）2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
（2）13i -+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin
2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+
精心整理
页脚内容
3． 求下列各式的值： （1）5(
复变函数与积分变换习题解答
i,
又l114im00
1-n2 1+ n2
=
-1,l114im001
2n + n2
=0,
故 a”
收敛 ，
l儿．一l�m。aII =- 1
归e)' 又！吧勹勹 一II
2) a" =(1+21)
2
II
一i0
2
II
=0, 故 a,. 收敛， 四皿 a,.=0
3) 由于 a" 的实部{(-1)"} 发散 ， 故 a" 发散
7
如果I:c11z11 的收敛半径为R, 11=0
证明级数I11=:0 (Rec11)才的收敛半径�R。
证明 对干圆lzl<R内的任意—点Z, 由已知Ic11z11 绝对收敛即fie、,,llzl"收敛，又
11=0
11=0
为
寸也 因IRec11I s lc11 I, 从而IRec11llzlII sl c11 II z111 , 故由正项级数的比较判别法L 11=0 IRec11 II
由Abel定理知LC 牙在其收敛圆内绝对收敛，再证其在圆周上绝对收敛即 11=0
<J:>
oo
ro
可。在圆周上任取—点17' 区IC,,T/ 11 I=区拉，zI; , 知I:c,,, TJ"绝对收敛， 故结论成立。
[1153]《复变函数与积分变换》 20年春季西南大学作业答案
![[1153]《复变函数与积分变换》 20年春季西南大学作业答案](https://img.taocdn.com/s3/m/5b862296bb4cf7ec4bfed00d.png)
西南大学网络与继续教育学院课程代码： 1153 学年学季：20201
单项选择题
1、复函数LnZ（）
.除去原点及负半实轴外处处解析
.在复平面上处处解析
.在复平面上处处不解析
.除去原点外处处解析
2、
复数列的极限为（）
. -1
.不存在
. 0
. 1
3、洛朗级数的正幂部分叫（）
. A. 解析部分
.无限部分
.主要部分
.都不对
4、
.一阶极点
.本性奇点
.一阶零点
.可去奇点
5、
.2πi
. 0
.4πi
.以上都不对
6、
. z=1+i点绝对收敛
. z=1+2i点一定发散
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案
1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+
（2）
(1)(2)
i
i i
--
（3）13
1
i
i i
-
-
（4）821
4
i i i
-+-
解：（1）
132
3213
i z
i
-
==
+
，
因此：
32 Re, Im
1313 z z
==-，
232
arg arctan,
31313
z z z i
==-=+
（2）
3
(1)(2)1310
i i i
z
i i i
-+
===
---
，
因此，
31
Re, Im
1010
z z
=-=，
131
arg arctan,
31010
z z z i
π
==-=--
（3）
133335
122
i i i
z i
i i
--
=-=-+=
-
，
因此，
35
Re, Im
32
z z
==-，
535
,arg arctan,
232
i
z z z
+
==-=
（4）821
41413
z i i i i i i
=-+-=-+-=-+
因此，Re1,Im3
z z
=-=，
arg arctan3,13
z z z i
π
==-=--
2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1）i（2
）1-+（3）(sin cos)
r i
θθ
+
（4）(cos sin)
r i
θθ
-（5）1cos sin (02)
i
θθθπ
-+≤≤
解：（1）2
cos
sin
2
2
i
i i e π
π
π
=+=
（2
）1-+2
3
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22
i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
复变函数及积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1)i 解：2
cos
sin
2
2
i
i e i ππ
π
==+
(2)-1
解：1cos sin i e i πππ-==+
(3)1+
解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解：
2221cos sin 2sin 2sin
cos
2sin
(sin
cos )2
2
2
2
22
2sin
cos()sin()2sin 222222
i i i i i e παα
α
α
α
α
α
αααπαπαα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
-+=+=+⎛
⎫=-+-= ⎪⎝⎭
(5)3z
解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +
解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+
(7)11i
i
-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++
二、计算下列数值
(1) 解：
1
ar
2
1
ar
2
1
ar
2
b
i ctg k
a
b
i ctg
a
b
i ctg
a
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
==
⎧
⎪
=⎨
⎪
⎩
(2)
解：
6
22
6363
4
63
22
2
i
k
i i
i
i
e
i
e e
e i
π
ππππ
ππ
⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
⎧
=+
⎪
⎪
⎪
⎨
====+
⎪
⎪
⎪=-
⎩
(3) i i
解：
()22
22
i
i k k
i i e e
ππ
ππ
⎛⎫⎛⎫
+-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
==
(4)
解：
()1/22
22
i
i k k
e e
ππ
ππ
⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
==
(5) cos5α
解：由于：()()
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）
一、填空（3分×10）
1．)31ln(i --的模
，幅角
。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：
。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f
。
6．=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s
。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是：
。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f
。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=
。
二、(10分)
已知222
1
21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函
数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算
⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz
四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)
1(z z z dz
2．⎰
-c i z z
3
)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)
(1
)(i z z z f -=
在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-
六、证明以下命题：（5分×2）
（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。 （2）)(2ωπδ=⎰
∞+∞
-ω-dt e t i
七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧='+=+'+='++'0401
z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
复变函数与积分变换习题答案
习题六
1. 求映射1
w z
=
下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222
11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221
x x u x y ax a
=
==+,
所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a
=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y =
=-++ 22
2222
x y kx
u v x y x y x y =
=-
=-
+++ v ku =-
故1
w z =将y kx =映成直线v ku =-.
2. 下列区域在指定的映射下映成什么？
（1）Im()0,
(1i)z w z >=+；
解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+⋅+=-+ ,.
20.u x y v x y u v y =-=+-=-<
所以Im()Re()w w >.
故(1i)w z =+⋅将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
=
. 解：设z =x +i y , x >0, 0
i i i(i )i x y y x w z x iy x y x y x y -=
===+++++ Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222
,u v
y x u v u v
==++ 因为0
2
11
01,()22
u u v u v <
<-+>+ 故i w z =
将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案,推荐文档
.
. .
三、计算题（本大题共 4 小题，每题 7 分，共 28 分）
2 1 . 设 C 为从原点到 3－4i 的直线段，计算积分 I [(x y) 2xyi]dz C
22. 设 f (z) ez cos z . (1)求 f (z) 的解析区域，（2）求 f (z). z2 i
24．已知u(x, y) x2 y2 4x ，求一解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) ，并使 f (0) 3
）
）
2 i
D.
9!
3 2i n
A.级数
n0
7
是绝对收敛的
C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛
1
i
B.级数 2n n(n 1) 是收敛的
n2
D.在收敛圆周上，条件收敛
12. z 0 是函数
ez
的（
）
z(1 cos z)
A. 可去奇点
C.二级极点
1
13.
在点 z 处的留数为（
4 z2
解：(1)由方程 4 z2 0 得 z 2 ，故 f (z) 的解析区域为C \{2, 2}. (2) f (z) ez (4 z2 2z) sinz. (4 z2 )2
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为泰勒级数.
(z 1)(z 2)