平面向量的概念公开课
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人教版数学必修第二册6.1平面向量的概念课件
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？
课前小测
边长相等
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，
an，则这n个向量( D )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
2．有下列物理量：
①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
√
√
×
×
×
其中可以看成是向量的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
C
2
B
1
A
||＝ 22 − 12 = 3
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量
(1)作出向量， ，；
(2)求的模．
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
了10 2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量， ，；
D
C
北
西
A
南
东
B
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字
母表示，例如： ， .
注意：用字母a表示向量时，印刷用黑体a，书写用Ԧ .
?
思考
(1)向量可以比较大小吗？
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段就是向量吗？
有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课课件
01
02
03
平行四边形的性质
通过平面向量的线性组合 ，可以证明平行四边形的 对边相等、对角线互相平 分等性质。
三角形的重心
利用平面向量，可以求出 三角形的重心坐标，进而 求出其他几何量。
空间几何
平面向量可以扩展到三维 空间，用于描述空间几何 图形的位置和方向。
平面向量在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，力是矢量，可以用平 面向量来表示和运算。通过力的 合成与分解，可以求解物体的运
向量的正交分解
将一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的坐标表示
将一个向量用一组有序实数对（x,y）表示，这组实数对称为该向量的坐标。
05
平面向量的解题技巧与方法
运用向量性质简化问题
01
向量具有方向性
利用向量的方向性，可以解决一些与向量方向相关的问题，如向量旋转
、向量投影等。
02
向量模的非负性
中职数学基础模块下册《平 面向量的概念》公开课课件
汇报人： 202X-12-22
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的应用 • 平面向量的性质与定理 • 平面向量的解题技巧与方法 • 平面向量与其他数学知识的联系与区别
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义与表示
向量的定义
数乘向量
数乘向量的定义
数乘向量是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。其实质是将向量 的每个分量都乘以该实数。
数乘向量的运算规则
数乘向量的运算规则是线性运算的分配律，即对于任意实数k和任意向量a，有 ka=k(a1,a2,...,an)=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
平面向量的概念教学课件
应用举例
通过具体例子展示如何利用夹角计算公式求解两向量的夹角， 并解释夹角在实际问题中的应用，如力的合成与分解等。
投影概念及其在计算中应用
投影概念
一个向量在另一个向量上的投影 是一个标量，其值等于该向量的 模与两向量夹角的余弦的乘积。
在计算中应用
通过具体例子展示如何利用投影 概念求解数量积和夹角，强调投 影在计算中的重要性。
向量减法
两个向量相减，对应坐标 分量相减，结果向量的坐 标为$(x_1-x_2,y_1-y_2)$。
向量数乘
一个向量与一个实数相乘， 结果向量的坐标为 $(kx,ky)$，其中$k$为实 数。
坐标运算在实际问题中应用
力的合成与分解
多个力作用于同一物体时，可用向量加法求解合力；一个力产生 多个效果时，可用向量减法求解分力。
实施方案
教师准备相关例子和问题，学生分组进行讨论，每组选派代表进行抢答，教师根据回答情况进行点评 和补充。
知识巩固检测题目设置和难度控制
题目设置
针对向量的基本概念和性质，设置选择题、填空题和计算题，确保题目覆盖全面，难度适中。
难度控制
根据学生的学习情况和反馈，适时调整题目难度，确保题目具有挑战性和可完成性，达到巩固知识的目的。
难度适中
按照循序渐进的原则，设计不同难 度的例题，以适应不同学生的学习 需求。
解题思路展示
通过详细解析例题的解题过程，展 示正确的解题思路和方法，帮助学 生理解和掌握平面向量的知识要点。
常见错误类型总结及避免方法
1 2 3
概念混淆 如将向量与标量混淆、误解向量运算性质等。应 加强对平面向量基本概念和性质的记忆和理解， 避免概念混淆。
共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$不共线，那么向量$\vec{p}$与向量$\vec{a}$、 $\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一一对实数$x$、$y$，使得 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$。
通过具体例子展示如何利用夹角计算公式求解两向量的夹角， 并解释夹角在实际问题中的应用，如力的合成与分解等。
投影概念及其在计算中应用
投影概念
一个向量在另一个向量上的投影 是一个标量，其值等于该向量的 模与两向量夹角的余弦的乘积。
在计算中应用
通过具体例子展示如何利用投影 概念求解数量积和夹角，强调投 影在计算中的重要性。
向量减法
两个向量相减，对应坐标 分量相减，结果向量的坐 标为$(x_1-x_2,y_1-y_2)$。
向量数乘
一个向量与一个实数相乘， 结果向量的坐标为 $(kx,ky)$，其中$k$为实 数。
坐标运算在实际问题中应用
力的合成与分解
多个力作用于同一物体时，可用向量加法求解合力；一个力产生 多个效果时，可用向量减法求解分力。
实施方案
教师准备相关例子和问题，学生分组进行讨论，每组选派代表进行抢答，教师根据回答情况进行点评 和补充。
知识巩固检测题目设置和难度控制
题目设置
针对向量的基本概念和性质，设置选择题、填空题和计算题，确保题目覆盖全面，难度适中。
难度控制
根据学生的学习情况和反馈，适时调整题目难度，确保题目具有挑战性和可完成性，达到巩固知识的目的。
难度适中
按照循序渐进的原则，设计不同难 度的例题，以适应不同学生的学习 需求。
解题思路展示
通过详细解析例题的解题过程，展 示正确的解题思路和方法，帮助学 生理解和掌握平面向量的知识要点。
常见错误类型总结及避免方法
1 2 3
概念混淆 如将向量与标量混淆、误解向量运算性质等。应 加强对平面向量基本概念和性质的记忆和理解， 避免概念混淆。
共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$不共线，那么向量$\vec{p}$与向量$\vec{a}$、 $\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一一对实数$x$、$y$，使得 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$。
《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
必修第二册·人教数学A版
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
必修第二册·人教数学A版
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
平面向量的概念 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
系.
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
2024版中职数学平面向量的概念ppt课件
01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。
03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。
向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。
向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。
方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。
方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。
零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。
与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。
030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。
共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。
向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。
共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。
加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。
几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。
01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。
向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
平面向量的概念(优秀经典公开课课件)
[易错警示] Байду номын сангаас向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． [规律方法]
相等向量与共线向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量共线具有传递性，即向量 a，b，c 为非零向量，若 a∥b，b∥c， 则可推出 a∥c.
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向 量：
①O→A，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°； ②A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东； ③B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°.
[解析] (1)12 (2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小 方格数与纵向小方格数相等．又因为|O→A|＝4 2，小方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量O→A 如图所示． ②由于点 B 在点 A 正东方向处，且|A→B|＝4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的 横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出向量A→B如 图所示．
解析 (1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示．
(2)依题意知，三角形 ABC 为正三角形，所以 AC＝2000 km.又因为∠ACD＝ 45°，CD＝1000 2，所以△ACD 为等腰直角三角形，即 AD＝1000 2 km，∠CAD ＝45°，所以 D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1000 2 km.
3．向量的表示
导学 3 相等向量与共线向量 如图所示，向量A→P，Q→B，B→C有什么关系？
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
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a
a
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N
B
E
M
K A
H
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−４
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？
A
B
图7－5
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
uuur
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
D
C
uuur
（2）找出向量 DC 的负向量；
O
（3）找出与向量
uuur AB
平行的向量．
A
B
图7－4
解 由平行四边形的性质，得
uuur uuur （1） CB DA；
写出图中与向量OA 、OB 、OC
u量uur 与OA相等的向量有
B
uuuur uuur DO, CB.
uuuv 与OB相等的向量有 C
uuur uuur EO, DC.
相等的向
A
O
F
uuur
与OC相等的向量有 D
E
uuur uuur
FA, ED.
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
B
相等吗?
(2) OB 与 AF
100km.
a
a
C
D
3.向量的关系：
a
平行向量: 表示为：
方向相同或相反的非零向量. a // b // c
b
零向量与任一向量平行. L
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为：
a
b
a
负向量(相反向量) b
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？
东
A b
a
b A
a
A
B√
南
b
b
A
A
平面向量的概念及表示
学校：鹤山职中 教师：麦 群 超
第七章 平面向量
7.１ 平面向量的概念
小组探究
猫与老鼠哪个重?
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 0.2公斤,谁更重?
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
（3）若AB = CD,则四边形ABCD是平行四边形； ur ur ur r ur r
（4）若a = b,b = c,则a = c; ur r ur r ur ur
(5)若a //c,b //c,则a //b
（1）错 （4）对
（2）错 （3）错 （5）错
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
uuቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
D
C
uuur
（2）找出向量 DC 的负向量；
O
（3）找出与向量
uuur AB
平行的向量．
要结合平行四边形
的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
相等吗?
O
(3) 与 OA 长度相等 C
的向量有几个? 12
(4) 与 OA 共线的
向量有哪几个? uuuv uuuv uuDuv 有CB, FE, DO.
A F
E
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有9个
练习3:
1、下列命题正确的是 ( D )
（A）共线向量都相等 （B）单位向量都相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）零向量与任一向量平行
其中是向量a与b平行的有_①__③__. ④
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
度
| AB |
（或称为模）。记作
3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作 0 （手写体）。
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫
速度是既有大小又有方向的量
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等．
既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量?
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
2.下列说法正确的是 (A )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
始点
终点
三. 向量的有关概念
1.向量的大小(模): (模)表示： | AB |
向或量| aA|B
或 a 的大小
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
a
|
a||
b|
√
b
a
b
×
2.两个基本向量：
零向量: 模为零的 向量(方向不确定). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
uuur uuur uuur uuur
（2） BA DC，CD DC；
（3）uBuAur
//
uuur uuur AB，DC
//
uuur uuur AB，CD
//
uuur AB．
练习1：判断下列各命题是否正确？ ur ur ur uur
（1）a = b ,则a = b;
(2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； uuur uuur
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
Ｆ
力
Ｆ
三要素：大小，方向，作用点
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
速度：物
体运动的
位移与所 用的时间
Ｖ
的比值
二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
始点
终点
始点
a 终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或
a
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N
B
E
M
K A
H
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−４
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？
A
B
图7－5
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
uuur
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
D
C
uuur
（2）找出向量 DC 的负向量；
O
（3）找出与向量
uuur AB
平行的向量．
A
B
图7－4
解 由平行四边形的性质，得
uuur uuur （1） CB DA；
写出图中与向量OA 、OB 、OC
u量uur 与OA相等的向量有
B
uuuur uuur DO, CB.
uuuv 与OB相等的向量有 C
uuur uuur EO, DC.
相等的向
A
O
F
uuur
与OC相等的向量有 D
E
uuur uuur
FA, ED.
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
B
相等吗?
(2) OB 与 AF
100km.
a
a
C
D
3.向量的关系：
a
平行向量: 表示为：
方向相同或相反的非零向量. a // b // c
b
零向量与任一向量平行. L
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为：
a
b
a
负向量(相反向量) b
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？
东
A b
a
b A
a
A
B√
南
b
b
A
A
平面向量的概念及表示
学校：鹤山职中 教师：麦 群 超
第七章 平面向量
7.１ 平面向量的概念
小组探究
猫与老鼠哪个重?
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 0.2公斤,谁更重?
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
（3）若AB = CD,则四边形ABCD是平行四边形； ur ur ur r ur r
（4）若a = b,b = c,则a = c; ur r ur r ur ur
(5)若a //c,b //c,则a //b
（1）错 （4）对
（2）错 （3）错 （5）错
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
uuቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
D
C
uuur
（2）找出向量 DC 的负向量；
O
（3）找出与向量
uuur AB
平行的向量．
要结合平行四边形
的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
相等吗?
O
(3) 与 OA 长度相等 C
的向量有几个? 12
(4) 与 OA 共线的
向量有哪几个? uuuv uuuv uuDuv 有CB, FE, DO.
A F
E
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有9个
练习3:
1、下列命题正确的是 ( D )
（A）共线向量都相等 （B）单位向量都相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）零向量与任一向量平行
其中是向量a与b平行的有_①__③__. ④
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
度
| AB |
（或称为模）。记作
3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作 0 （手写体）。
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫
速度是既有大小又有方向的量
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等．
既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量?
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
2.下列说法正确的是 (A )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
始点
终点
三. 向量的有关概念
1.向量的大小(模): (模)表示： | AB |
向或量| aA|B
或 a 的大小
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
a
|
a||
b|
√
b
a
b
×
2.两个基本向量：
零向量: 模为零的 向量(方向不确定). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
uuur uuur uuur uuur
（2） BA DC，CD DC；
（3）uBuAur
//
uuur uuur AB，DC
//
uuur uuur AB，CD
//
uuur AB．
练习1：判断下列各命题是否正确？ ur ur ur uur
（1）a = b ,则a = b;
(2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； uuur uuur
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
Ｆ
力
Ｆ
三要素：大小，方向，作用点
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
速度：物
体运动的
位移与所 用的时间
Ｖ
的比值
二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
始点
终点
始点
a 终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或