2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析
2020年中考数学选择填空压轴题汇编几何综合结论含解析
几何综合结论1. （2020深圳）如图，矩形纸片個8中,AB=6. 5（7=12.将纸片折叠，使点3落在边"的延长线上的点 G 处，折痕为肪 点E 、尸分别在边血和边證上.连接％,交CD 于点、K, FG 交CD 于点、H.给出以下结 论： ① EF1BG ；② GE=GF ：③ 冰和2X00的而积相等；④ 当点尸与点Q 重合时，Z/?£F=75° ,其中正确的结论共有（ ）【解答】解：如图，连接宓设EFG BG 交于点0,•••将纸片折叠，使点〃落在边〃的延长线上的点G 处,B. 2个 C. 3个D. 4个:.EFIBG, BO=GO. BE=EG, BF= FG,故①正确,AD//BC.:・ZEGO= ZFBO、又T ZEOG= ZBOF,:.、BOZ'GOE (ASA\:・BF=EG,:・BF=EG=GF、故②正确，•: BE=EG=BF=FG、・••四边形购沪是菱形，:•乙BEF= ZGEF,当点尸与点Q重介时，则BF=BC=BE=\2,TsinZ 遊「，•••ZM5=30° ,:・ZDEF=W,故④正确，由题意无法证明△宓和△GAZf的而积相等，故③错误：故选：C.2.（2020贵州铜仁）如图，正方形個力的边长为4,点厅在边曲上，BE=\,ZQLW=45°，点尸在射线刖上，且过点尸作“的平行线交BA的延长线于点H, 67■与初相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论：①尸的而积为S②△庇G的周长为&③必=亦+血：其中正确的是（）A.①(D ③B. @@C.①②【解答】解：如图，在正方形個8中，AD//BC. AB=BC=AD=49AZZ£W=90° ,HF//AD.AZ J ^=90° ,VZ2£4F=90° - ZMQ45° >AAFH=AHAF.:.AH=HF=\=BE.:.EH=AE^AH=AB- BE ・AH=4 = BC 、:AEHFg'CBE (SAS'、:・EF=EC, ZHEF= ZBCE,•:乙BCE+乙BEC=9$ ,:・HEHZBEC=9y »:.ZFEC=9Q° ,:■ \ CEF 是等腰直角三角形, 在 R 仏CBE 中，BE=1. BC=A. H 刀D.②③ ZB=ZBAD=9Q Q ,:.EC=BE+BC = 17.=i=g =兰：£g云EF・EC 2EC 2\故①正确；过点尸作FQLBC于0,交.AD于P,•••Z 时=90° = ZH= ZHAD.・••四边形北明是矩形，•: AH=HF,.•・矩形册叨是正方形，:.AP=PH=AH=\,同理：四边形测是矩形，:.PQ=AB=\y BQ=AP1、FQ=FP-PQ=z. CQ=BO BQ=3、•: AD〃BC,•••△/TVs △磁，FP _况. 五一&在RtAEAG 中，根据勾股宦理得，EG°V/i^=4,=空 Is t 2旳工空 Is 产云 :・E C 羊D C+B E,故③错误，・•・正确的有①故选：C.:.AG=AP^PG'AEG 的周长为 AG-E&rAEI r 3=8,敬②正确; 25:.DG^BE 1£7•: EC= ( 3:.DG=AD- AG3. （2020黑龙江鹤岗）如图，正方形 馭7?的边长为⑦ 点&在边月万上运动（不与点川3重合），ADAM= 45°，点尸在射线凡『上，且AF ^^BE,仔■与血相交于点G,连接应'、EF 、EG.则下列结论： ① ZECF= 45° :② △近的周长为（1 <3：③ B »D C=E C ；④△轩的而积的最大值是肚其中正确的结论是（ ）•:BE=BH, Z 翊=90° ,:・AF=EH,⑤当BE 二;a 时，G 是线段初的中点.A.①②③B.②④⑤C.①®®D.①④⑤ 【解答】解：如图1中, 任BC 上截取BH=庞,连接筋•: ZDAM=ZEHB=45° , Z馳?=90° ,:・ZFAE=ZEHC=\35° ,•: BA=BC, BE= BH,:.AE=HC.:仏FAE^HEHC (SAS)、:・EF=EC, ZAEF= ZECH,•:乙EC出乙CEB=90° ,:.AAEF^ACEB=W y•••Z亦*90° ,:•乙ECF= ZEFC='M ,故①正确，如图2中.延长初到/ 使得BE,则厶CBMHCDH ISAS). :・ZECB= ZDCH、：.2LECH= ABCD=W ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•: CG=CG、CE=CH.:.HGCE^HGCH (SAS),:・EG=GH,V GH=D&rDH. DH=BE、:・EG=BE+DG.故③错误，'AEG的周长=AE^EG-AG= AE-AH= AD-DH^AE= AE^E&vAD= A&rAD= 2a.故②错误,二屈 设殆F 贝^AE=a-x. AF 阳=—- 十一■ ■£> 2 W.Y ax解得-Y •:.AG=GD.故⑤正确,故选:D.4. （2020黑龙江绥化）如图，在Rt △磁中，G9为斜边初的中线，过点。
2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题39 几何间综合型(解析版)
专题40 几何综合型【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【例1】(2020•宝山区一模)如图，OC 是ABC ∆中AB 边的中线，36ABC ∠=︒，点D 为OC 上一点，如果OD k OC =g ，过D 作//DE CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点，将ODE ∆绕点O 顺时针旋转α度(其中0180)α︒<<︒后，射线OM 交直线BC 于点N ．(1)如果ABC ∆的面积为26，求ODE ∆的面积(用k 的代数式表示)；(2)当N 和B 不重合时，请探究ONB ∠的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式；(3)写出当ONB ∆为等腰三角形时，旋转角α的度数．【分析】(1)通过证明ODE OCA ∆∆∽，可得2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，即可求解； (2)通过证明OEM BAC ∆∆∽，可得36EOM ABC ∠=∠=︒，分两种情况讨论可求解；(3)分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：(1)OC Q 是ABC ∆中AB 边的中线，ABC ∆的面积为26，13OAC S ∆∴=，//DE AC Q ，ODE OCA ∴∆∆∽，OEM OAC ∠=∠， ∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD k OC =g ， 213ODE S k ∆∴=，(2)ODE OCA ∆∆Q ∽， ∴OE OD DE k OA OC AC===， OC Q 是ABC ∆中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，2AB AO ∴=，12EM DE =， ∴2OE k EM AB AC==，且OEM OAC ∠=∠， OEM BAC ∴∆∆∽，36EOM ABC ∴∠=∠=︒，如图2，当0144α<<︒时，AON B ONB ∠=∠+∠Q ，AOE EOM B ONB ∴∠+∠=∠+∠y α∴=如图3，当144180α︒<<︒时，36(180)BON EOM BOE α∠=∠-∠=︒-︒-Q144NOB α∴∠=-︒，36(144)180BNO ABC NOB αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-Q ；(3)当0144α<<︒时，若OB ON =，则36ABC BNO α∠=∠=︒=，若OB BN =，则18036722ONB α︒-︒∠==︒=， 若ON BN =，则36ABC BON ∠=∠=︒，180236108ONB α∴∠=︒-⨯︒=︒=，当144180α︒<<︒时，若OB BN =，则18180N NOB α∠=∠=︒=︒-，162α∴=︒．【例2】(2020•嘉定区一模)已知：点P 在ABC ∆内，且满足APB APC ∠=∠(如图)，180APB BAC ∠+∠=︒．(1)求证：PAB PCA ∆∆∽；(2)如果120APB ∠=︒，90ABC ∠=︒，求PC PB的值； (3)如果45BAC ∠=︒，且ABC ∆是等腰三角形，试求tan PBC ∠的值．【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．(2)证明PAB PCA ∆∆∽，利用相似三角形的性质解决问题即可．(3)分三种情形：AB AC =，AB BC =，AC BC =分别求解即可解决问题．【解答】证明：(1)180ABP BAP APB ∠+∠+∠=︒Q ，180APB BAC ∠+∠=︒，ABP BAP APB APB BAC ∴∠+∠+∠=∠+∠，即ABP BAP APB APB BAP CAP ∠+∠+∠=∠+∠+∠，ABP CAP ∴∠=∠，又APB APC ∠=∠Q ，PAB PCA ∴∆∆∽．(2)如图1中，180APB BAC ∠+∠=︒Q ，120APB ∠=︒，60BAC ∴∠=︒，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒Q ，60BAC ∠=︒， ∴12AB AC =， 又PAB PCA ∆∆Q ∽， ∴12PB PA AB PA PC AC ===， ∴14PB PB PA PC PA PC ==g ，即4PC PB=． (3)45BAC ∠=︒Q ，180APB BAC ∠+∠=︒，APB APC ∠=∠，135APB APC ∴∠=∠=︒．36036013513590BPC APB APC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，PCA PAB ∆∆Q ∽， ∴PA PC AC PB PA AB ==， ∴2()PC PC PA AC PB PA PB AB==g ． ①如图2中，当ABC ∆是等腰三角形，且AB AC =时，2tan ()1PC AC PBC PB AB∠===． ②如图3中，当ABC ∆是等腰三角形，且AB BC =时，45ACB BAC ∠=∠=︒，90ABC ∠=︒，易得AC AB = ∴2tan ()2PC AC PBC PB AB∠===． ③如图104-，当ABC ∆是等腰三角形，且AC BC =时，45ABC BAC ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，易得AC AB =， ∴21tan ()2PC AC PBC PB AB ∠===． 【例3】(2020•徐汇区一模)如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，点D 是边AB 上的动点(点D 不与点AB 重合)，点G 在边AB 的延长线上，CDE A ∠=∠，GBE ABC ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ．(1)求cos A 的值；(2)当2A ACD ∠=∠时，求AD 的长；(3)点D 在边AB 上运动的过程中，:AD BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求:AD BE 的值；如果变化，请说明理由．【分析】(1)作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ．解直角三角形求出BM ，AM 即可解决问题．(2)设AH 交CD 于K ．首先证明AK CK =，设AK CK x ==，在Rt CHK ∆中，理由勾股定理求出x ，再证明ADK CDA ∆∆∽，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．(3)结论：:5:6AD BE =值不变．证明ACD BCE ∆∆∽，可得56AD AC BE BC ==． 【解答】解：(1)作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ．AB AC =Q ，AH BC ⊥，3BH CH ∴==，4AH ∴=，1122ABC S BC AH AC BM ∆==Q g g g g ， 245BC AH BM AC ∴==g ，75AM ∴==， 7cos 25AM A AB ∴==． (2)设AH 交CD 于K ．2BAC ACD ∠=∠Q ，BAH CAH ∠=∠，CAK ACK ∴∠=∠，CK AK ∴=，设CK AK x ==，在Rt CKH ∆中，则有222(4)3x x =-+， 解得258x =， 258AK CK ∴==， ADK ADC ∠=∠Q ，DAK ACD ∠=∠，ADK CDA ∴∆∆∽， ∴255858AD AK DK CD AC AD ====，设AD m =，DK n =， 则有25258825()8m n m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得12539m =，625312n =．12539AD ∴=． (3)结论：:5:6AD BE =值不变．理由：GBE ABC ∠=∠Q ，2180BAC ABC ∠+∠=︒，180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒，EBC BAC ∴∠=∠，EDC BAC ∠=∠Q ，EBC EDC ∴∠=∠，D ∴，B ，E ，C 四点共圆，EDB ECB ∴∠=∠，EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠Q ，EDC DAC ∠=∠，EDB ACD ∴∠=∠，ECB ACD ∴∠=∠，ACD BCE ∴∆∆∽， ∴56AD AC BE BC ==．1．(2020•金山区一模)如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP CQ =，过点P 作PM AB ⊥，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP x =，平行四边形PQNM 的面积为y ．(1)当平行四边形PQNM 为矩形时，求PQM ∠的正切值；(2)当点N 在ABC ∆内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．【分析】(1)当四边形PQMN 是矩形时，//PQ AB ．根据tan PM PQM PQ∠=求解即可． (2)如图1中，延长QN 交AB 于K ．求出MK ，PM ，根据y PM MK =g 求解即可．(3)分两种情形：①如图31-中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作//NE BC 交PQ 于E ，作NH CB ⊥交CB 的延长线于H ，EG BC ⊥于G ．根据12EG PC =构建方程求解．②如图32-中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH CB ⊥交CB 的延长线于H ．根据PC GH =构建方程求解即可．【解答】解：(1)在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒Q ，8AC =，6BC =，10AB ∴===，当四边形PQMN 是矩形时，//PQ AB ．395tan 5253PA PM PQM PQ CQ ∴∠===．(2)如图1中，延长QN 交AB 于K ．由题意6BQ x =-，35QN PM x ==，45AM x =，424455x KQ BQ -==，318355x BK BQ -==， 325x MK AB AM BK -∴=--=， QN QK <Q ， ∴324455x x -<， 247x ∴<， 296324(0)257x x y PM MK x -∴==<g …．(3)①如图31-中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作//NE BC 交PQ 于E ，作NH CB ⊥交CB 的延长线于H ，EG BC ⊥于G ．//PD BC Q ，//EN BC ，//PD NE ∴，//PE DN Q ，∴四边形PDNE 是平行四边形，PE DN ∴=，DN DM =Q ，PQ MN =，PE EQ ∴=，//EG PC Q ，CG GQ ∴=，12EG PC ∴=， Q 四边形EGHN 是矩形，3395525NH EG NQ PM x ∴====，8PC x =-， ∴91(8)252x x =-g ， 解得20043x =．②如图32-中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH CB ⊥交CB 的延长线于H ．DH PC =Q ，198225x x ∴-=g ， 解得40059x =， 综上所述，满足条件x 的值为20043或40059． 2．(2020•普陀区一模)如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，2AD =，5BC =，3DC =，点E 在边BC 上，tan 3AEC ∠=，点M 是射线DC 上一个动点(不与点D 、C 重合)，联结BM 交射线AE 于点N ，设DM x =，AN y =．(1)求BE 的长；(2)当动点M 在线段DC 上时，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当动点M 运动时，直线BM 与直线AE 的夹角等于45︒，请直接写出这时线段DM 的长．【分析】(1)如图1中，作AH BC ⊥于H ，解直角三角形求出EH ，CH 即可解决问题．(2)延长AD 交BM 的延长线于G ．利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图31-中，当点M 在线段DC 上时，45BNE ABC ∠=∠=︒．②如图32-中，当点M 在线段DC 的延长线上时，45ANB ABE ∠=∠=︒，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，作AH BC ⊥于H ，//AD BC Q ，90C ∠=︒，90AHC C D ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AHCD 是矩形，2AD CH ∴==，3AH CD ==，tan 3AEC ∠=Q ， ∴3AH EH=， 1EH ∴=，123CE =+=，532BE BC CE ∴=-=-=．(2)延长AD 交BM 的延长线于G ．//AG BC Q ， ∴DG DM BC CM =， ∴53DG x x=-， 53x DG x ∴=-，563233x x AG x x +=+=--， Q AN AG NE BE=，∴6332xx +-=，3)y x ∴=<<．(3)①如图31-中，当点M 在线段DC 上时，45BNE ABC ∠=∠=︒，EBN EAB ∆∆Q ∽，2EB EN AE ∴=g ，∴4= 解得12x =．②如图32-中，当点M 在线段DC 的延长线上时，45ANB ABE ∠=∠=︒，BNA EBA ∆∆Q ∽，2AB AE AN ∴=g，2∴=解得13x=，综上所述DM的长为12或13．3．(2019•闵行区一模)如图，在梯形ABCD中，//AD BC，AB CD=，5AD=，15BC=，5cos13ABC∠=．E 为射线CD上任意一点，过点A作//AF BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE x=，AGyDG=．(1)求AB的长；(2)当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果23ABEFABCDSS=四边形四边形，求线段CE的长．【分析】(1)分别过点A、D作AM BC⊥、DN BC⊥，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；(2)根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；(3)根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】解：(1)分别过点A、D作AM BC⊥、DN BC⊥，垂足为点M、N．//AD BC Q ，AB CD =，5AD =，15BC =，11()(155)522BM BC AD ∴=-=⨯-=， 在Rt ABM ∆中，90AMB ∠=︒， ∴55cos 13BM ABM AB AB ∠===． 13AB ∴=．(2)QAG y DG =， ∴1AG DG y DG+=+．即得 51DG y =+， AFD BEC ∠=∠Q ，ADF C ∠=∠．ADF BCE ∴∆∆∽． ∴51153FD AD EC BC ===， 又CE x =Q ，13FD x =，13AB CD ==．即得1133FC x =+． //AD BC Q ， ∴FD DG FC BC=． ∴5113115133x y x +=+． ∴3923x y x-=． ∴所求函数的解析式为3923x y x -=，函数定义域为3902x <<． (3)在Rt ABM ∆中，利用勾股定理，得12AM =． ∴()()115151212022ABCD S AD BC AM =+⋅=+⨯=梯形． Q 23ABEFABCD S S =四边形四边形， 80ABEF S ∴=四边形．设ADF S S ∆=．由ADF BCE ∆∆∽，13FD EC =，得 9AEC S S ∆=．过点E 作EH BC ⊥，垂足为点H ．由题意，本题有两种情况： (ⅰ)如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形． 5S ∴=．945AEC S S ∆∴==． ∴11154522BEC S BC EH EH ∆=-=⨯-=． 6EH ∴=．由 DN BC ⊥，EH BC ⊥，易得 //EH DN ． ∴61122CE EH CD DN ===． 又 13CD AB ==，∴132CE =， (ⅱ)如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADF ABCD ABEF S S S S ∆++=四边形四边形．8200S ∴=．解得25S =．9225BEC S S ∆∴==． ∴111522522BEC S BC EH EH ∆==⨯⨯=g ．解得 30EH =． ∴305122CE EH CD DN ===． ∴652CE =， ∴136522CE =或．4．(2020•奉贤区一模)如图，已知平行四边形ABCD 中，AD =5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE m =．(1)当点E 在边AD 上时，①求CEF ∆的面积；(用含m 的代数式表示)②当4DCE BFG S S ∆∆=时，求:AE ED 的值；(2)当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF ∆与CFG ∆相似，求m 的值．【分析】(1)①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出AEF BGF ∆∆∽，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用4DCE BFG S S ∆∆=建立方程求出m ，即可得出结论；(2)分两种情况：①当AEF CGF ∆∆∽时，得出AFE CFG ∠=∠，进而得出12BG BC =，tan FG BG CBF =∠=，再根据勾股定理得，52BF =，进而得出515522AF AB BF =+=+=，最后判断出BGF AEF ∆∆∽，得出比例式建立方程求解即可得出结论； ②当AEF CGF ∆∆∽时，先判断出90AFC ∠=︒，进而得出2CF BF =，再根据勾股定理得，求出1BF =，得出6AF AB BF =+=，同理：BG =，再判断出BGF AEF ∆∆∽，得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：(1)①EF AD ⊥Q ，90AEF ∴∠=︒， 在Rt AEF ∆中，tan 2A =，AE m =，tan 2EF AE A m ∴==，根据勾股定理得，AF ， 5AB =Q ，5BF ∴=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，BC AD ∴==//AD BC ，90G AEF ∴∠=∠=︒，AEF BGF ∴∆∆∽， ∴AE AF BG BF=，∴m BG =BG m ∴=，CG BC BG m m ∴=+=，2112)22CEF S EF CG m m m ∆∴===-g g g ；②由①知，AEF BGF ∆∆∽， ∴FG BF EF AF=，2)BF FG EF m m AF ∴===g ，2)EG EF FG m m ∴=+=+=， 11)522CDE S DE EG m ∆∴==g g ，211)))22BFG S BG FG m m m ∆===g g ， 4DCE BFG S S ∆∆=时，25)m ∴=，m ∴=舍)或m =DE AD AE ∴=-==:3AE ED ∴==， 即：:AE ED 的值为3；(2)Q 四边形ABCD 是平行四边形，BC AD ∴==//AD BC ，EF AD ⊥Q ，EF BC ∴⊥，90AEF CGF ∴∠=∠=︒，AEF ∆Q 与CFG ∆相似，∴①当AEF CGF ∆∆∽时，如图1，AFE CFG ∴∠=∠，EF BC ⊥Q ，12BG BC ∴= //AD BC Q ，CBF A ∴∠=∠，tan 2A =Q ，tan 2CBF ∴∠=，在Rt BGF ∆中，tan FG BG CBF =∠，根据勾股定理得，52BF =， 515522AF AB BF ∴=+=+=， //BC AD Q ，BGF AEF ∴∆∆∽， ∴BG BF AE AF=，∴522152m =，m ∴；②当AEF CGF∆∆∽时，如图2，EAF GFC∴∠=∠，90EAF AFE∠+∠=︒Q，90GFC AFE∴∠+∠=︒，90AFC∴∠=︒，//AD BCQ，CBF A∴∠=∠，tan tan2CBF A∴∠==，在R BFC∆中，2CF BF CBF BF=∠=g，根据勾股定理得，222BF CF BC+=，2224BF BF∴+=，1BF∴=，6AF AB BF∴=+=，在Rt BGF∆中，同理：BG=，//AD BCQ，BGF AEF ∴∆∆∽，∴AE AF BG BF=，∴61=，m∴．即：如果AEF∆与CFG∆相似，m5．(2020•虹口区一模)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4BC =，3sin 5ABC ∠=，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE AD ⊥分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ，过点A 作//AG BD ，交直线BE 于点G ．(1)当点D 在BC 的延长线上时，如果2CD =，求tan FBC ∠；(2)当点D 在BC 的延长线上时，设AG x =，DAF S y ∆=，求y 关于x 的函数关系式(不需要写函数的定义域)；(3)如果8AG =，求DE 的长．【分析】(1)求出3AC =，可得DAC FBC ∠=∠，则2tan tan 3DC FBC DAC AC ∠=∠==； (2)由条件可得AGF CBF ∠=∠，可得AF CF AG BC =，可用x 表示CF 和AF 的长，求出CD ，则12DAF S AF CD ∆=g ，可用x 表示结果；(3)分两种情况，①当点D 在BC 的延长线上时，②当点D 在BC 的边上时，可求出AE 长AD 的长，则DE AD AE =-可求出．【解答】解：(1)90ACB ∠=︒Q ，4BC =，3sin 5ABC ∠=， ∴设3AC x =，5AB x =， 22(3)16(5)x x ∴+=，1x ∴=，即3AC =，BE AD ⊥Q ，90AEF ∴∠=︒，AFE CFB ∠=∠Q ，DAC FBC ∴∠=∠，2tan tan 3DC FBC DAC AC ∴∠=∠==； (2)//AG BD Q ，AGF CBF ∴∠=∠，tan tan AGF CBF ∴∠=∠， ∴AF CF AG BC=， AG AF BC CF=， ∴34x CF CF-=， ∴124CF x=+． ∴1233344x AF CF x x =-=-=++． EAF CBF ∠=∠Q ， ∴CD CF AC BC=， ∴94CD x=+， 211392722442(4)DAFx x S AF CD x x x ∆∴==⨯⨯=+++g ； (3)①当点D 在BC 的延长线上时，如图1，8AG =Q ，4BC =，//AG BD ， ∴21AG AF BC CF ==， 2AF CF ∴=，3AC =Q ，2AF ∴=，1CF =， ∴1tan tan 4CF AGE CBF BC ∠=∠==，4GE设AE x=，4GE x=，222168x x∴+=，解得x=，即AE同理tan tanDAC CBF∠=∠，∴14 DCAC=，34 DC∴=，AD∴===．∴DE AD AE=-=②当点D在BC的边上时，如图2，//AG BDQ，8AG=，4BC=，∴8241 AG AFBC CF===．6AF∴=，EAF CBF ABC∠=∠=∠Q，cos cosEAF ABC∴∠=∠，∴654 AE=，∴245 AE=，同理AC BC AD AB=，5AD ∴154AD =． 2415215420DE AE AD ∴=-=-=． 综合以上可得DE或2120． 6．(2019•上海)如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：12E C ∠==∠； (2)如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；(3)如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADE ABCS S ∆∆的值． 【分析】(1)由题意：90E ADE ∠=︒-∠，证明1902ADE C ∠=︒-∠即可解决问题． (2)延长AD 交BC 于点F ．证明//AE BC ，可得90AFB EAD ∠=∠=︒，BF BD AE DE=，由:2:3BD DE =，可得2cos 3BF BF ABC AB AE ∠===． (3)因为ABC ∆与ADE ∆相似，90DAE ∠=︒，所以ABC ∠中必有一个内角为90︒因为ABC ∠是锐角，推出90ABC ∠≠︒．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】(1)证明：如图1中，AE AD ⊥Q ，90DAE ∴∠=︒，90E ADE ∠=︒-∠，AD Q 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠，同理12ABD ABC ∠=∠， ADE BAD DBA ∠=∠+∠Q ，180BAC ABC C ∠+∠=︒-∠，11()9022ADE ABC BAC C ∴∠=∠+∠=︒-∠， 1190(90)22E C C ∴∠=︒-︒-∠=∠．(2)解：延长AD 交BC 于点F ．AB AE =Q ，ABE E ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，E CBE ∴∠=∠，//AE BC ∴，90AFB EAD ∴∠=∠=︒，BF BD AE DE=， :2:3BD DE =Q ， 2cos 3BF BF ABC AB AE ∴∠===．(3)ABC ∆Q 与ADE ∆相似，90DAE ∠=︒，ABC ∴∠中必有一个内角为90︒ABC ∠Q 是锐角，①当90BAC DAE ∠=∠=︒时，12E C ∠=∠Q ， 12ABC E C ∴∠=∠=∠， 90ABC C ∠+∠=︒Q ，30ABC ∴∠=︒，此时2ADE ABCS S ∆∆= ②当90C DAE ∠=∠=︒时，1452E C ∠=∠=︒， 45EDA ∴∠=︒，ABC ∆Q 与ADE ∆相似，45ABC ∴∠=︒，此时2ADE ABCS S ∆∆= 综上所述，30ABC ∠=︒或45︒，2ADE ABC S S ∆∆=2 7．(2020•浦东新区一模)在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，3AC =，D 为AB 边上一动点(点D 与点A 、B 不重合)，联结CD ，过点D 作DE DC ⊥交边BC 于点E ．(1)如图，当ED EB =时，求AD 的长；(2)设AD x =，BE y =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；(3)把BCD ∆沿直线CD 翻折得CDB '∆，联结AB '，当CAB '∆是等腰三角形时，直接写出AD 的长．【分析】(1)证明ACD EDB B ∠=∠=∠，推出tan tan ACD B ∠=∠，可得AD AC AC AB=，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH BD ⊥于H ．证明ACD HDE ∆∆∽，推出AC AD DH EH =，由此构建关系式即可解决问题． (3)分两种情形：①如图31-中，设CB '交AB 于K ，作AE CK ⊥于E ，DM CB ⊥'于M ，DN BC ⊥于N ．利用角平分线的性质定理求出BD 即可．②如图32-中，当CB '交BA 的延长线于K 时，同法可得BD ．【解答】解：(1)ED EB =Q ，CD DE ⊥Q ，90CDE A ∴∠=∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒Q ，90ADC EDH ∠+∠=︒，ACD EDB B ∴∠=∠=∠，tan tan ACD B ∴∠=∠， ∴AD AC AC AB =， ∴334AD =， 94AD ∴=．(2)如图1中，作EH BD ⊥于H ．在Rt ACB ∆中，90A ∠=︒Q ，3AC =，4AB =，5BC ∴=，BE y =Q ，35EH y ∴=，45BH y =，445DH AB AD BH x y =--=--， 90A DHE ∠=∠=︒Q ，ACD EDH ∠=∠，ACD HDE ∴∆∆∽， ∴AC AD DH EH =， ∴343455x x y y =--， 2205(04)94x x y x x-∴=<<+．(3)①如图31-中，设CB '交AB 于K ，作AE CK ⊥于E ，DM CB ⊥'于M ，DN BC ⊥于N3AC AB ==Q ，AE CB ⊥'，1522CE EB CB ∴='='=，AE ∴ 由ACE KCA ∆∆∽，可得AK =，185CK =，4BK AB AK ∴=-= DCK DCB ∠=∠Q ，DM CM ⊥，DN CB ⊥，DM DN ∴=， ∴181********2CDKCDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆=====g g g g ，251004343BD BK ∴==100724(4343AD AB BD ∴=-=-= ②如图32-中，当CB '交BA 的延长线于K时，同法可得251004343BD BK ==7243AD AB BD ∴=-=8．(2020•静安区一模)已知：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =g ，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．(1)找出图中与ACD ∆相似的三角形，并说明理由；(2)当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；(3)如图2，当90BAC ∠=︒，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值．【分析】(1)根据相似三角形的判定定理进行判定即可；(2)由相似三角形的性质即可得出答案；(3)由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】解：(1)与ACD ∆相似的三角形有：ABE ∆、ADC ∆，理由如下： 2AB BE DC =Q g ， ∴BE AB AB DC=，AB AC =Q ，B C ∴∠=∠，BE AC AB DC=， ABE DCA ∴∆∆∽．ABE DCA ∆∆Q ∽，AED DAC ∴∠=∠．AED C EAC ∠=∠+∠Q ，DAC DAE EAC ∠=∠+∠， DAE C ∴∠=∠．ADE CDA ∴∆∆∽；(2)ADE CDA ∆∆Q ∽，又DF Q 平分ADC ∠， ∴DG DE AD DF AD CD==， 设CE a =，则33DE CE a ==，4CD a =， ∴34a AD AD a=，解得：AD =，∴DF AD DG CD === (3)90BAC ∠=︒Q ，AB AC =，45B C ∴∠=∠=︒，45DAE C ∴∠=∠=︒DG AE ⊥Q ，45DAG ADF ∴∠=∠=︒，AG DG AD ∴==，EG ∴==，AE AG EG a ∴=+=，AED DAC ∠=∠Q ，ADE DFA ∴∆∆∽， ∴AD AE DF AD=，2AD DF a AE ∴===，∴DG DF ==． 9．(2020•杨浦区一模)已知在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ．在PCD ∠内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q (与B 、D 不重合)，且30PCQ ∠=︒．(1)如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；(2)当点P 在射线BA 上时，设BP x =，CQ y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；(3)联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果QCE ∆与BCP ∆相似，求线段BP 的长．【分析】(1)如图1中，作PH BC ⊥于H ．解直角三角形求出BH ，PH ，在Rt PCH ∆中，理由勾股定理即可解决问题．(2)如图1中，作PH BC ⊥于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．证明POQ BOC ∆∆∽，推出30OPQ OBC PCQ ∠=∠=︒=∠，推出PQ CQ y ==，推出PC =，在Rt PHB ∆中，12BH x =，PH =，根据222PC PH CH =+，可得结论．(3)分两种情形：①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．分别求解即可． 【解答】解：(1)如图1中，作PH BC ⊥于H ．Q 四边形ABCD 是菱形，4AB BC ∴==，//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，120A ∠=︒Q ，60PBH ∴∠=︒，3PB =Q ，90PHB ∠=︒，3cos602BH PB ∴=︒=g ，sin 60PH PB =︒=g ， 35422CH BC BH ∴=-=-=，PC ∴==(2)如图1中，作PH BC ⊥于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．Q 四边形ABCD 是菱形，30ABD CBD ∴∠=∠=︒，30PCQ ∠=︒Q ，PBO QCO ∴∠=∠，POB QOC ∠=∠Q ，POB QOC ∴∆∆∽， ∴PO BO QO CD =， ∴OP QO BO CD=， POQ BOC ∠=∠Q ，POQ BOC ∴∆∆∽，30OPQ OBC PCQ ∴∠=∠=︒=∠，PQ CQ y ∴==，PC ∴=，在Rt PHB ∆中，12BH x =，PH =， 222PC PH CH =+Q ，22213)(4)2y x x ∴=+-，8)y x ∴=<…．(3)①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．此时120CQE ∠=︒，60PBC ∠=︒Q ，PBC ∴∆中，不存在角与CQE ∠相等，此时QCE ∆与BCP ∆不可能相似．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．则60CQE B QBC QCP CBP ∠=∠=+∠=︒=∠，PCB E ∠>∠Q ，∴只可能75BCP QCE ∠=∠=︒，作CF AB ⊥于F ，则2BF =，CF =，45PCF ∠=︒，PF CF ∴==，此时2PB =+③如图4中，当点P 在AB 的延长线上时，CBE ∆Q 与CBP ∆相似，120CQE CBP ∴∠=∠=︒，15QCE CBP ∴∠=∠=︒，作CF AB ⊥于F ．30FCB ∠=︒Q ，45FCB ∴∠=︒，122BF BC ∴==，CF PF ==2PB ∴=．综上所述，满足条件的PB 的值为2+2．10．(2020•闵行区一模)已知：如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，90ADC ∠=︒，2CD =，(点A 、B 分别在直线CD 的左右两侧)，射线CD 交边AB 于点E ，点G 是Rt ABC ∆的重心，射线CG 交边AB 于点F ，AD x =，CE y =．(1)求证：DAB DCF ∠=∠；(2)当点E 在边CD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)如果CDG ∆是以CG 为腰的等腰三角形，试求AD 的长．【分析】(1)由点G 是Rt ABC ∆的重心，证明CF AB ⊥，即90AFC ∠=︒，利用外角的性质即可证明结论；(2)过点B 作BH CD ⊥于点H ，先证CAD BCH ∆≅∆，得出2BH CD ==，CH AD x ==，2DH x =-，再证ADE BHE ∆∆∽，利用合比性质即可求出结论；(3)分两种情况讨论，当GC GD =时，如图21-，取AC 的中点M ，联结MD ，可证112AD CH CD ===；当CG CD =时，如图22-，可由重心分别求出CF ，AC ，CD 的长，可由勾股定理求出AD 的长．【解答】(1)证明：Q 点G 是Rt ABC ∆的重心，CF ∴是Rt ABC ∆的中线，又Q 在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CF AB ∴⊥，即90AFC ∠=︒，DEF ADE DAE EFC ECF ∠=∠+∠=∠+∠Q ，且90ADE EFC ∠=∠=︒， DAB DCF ∴∠=∠；(2)解：如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则90CBH BCH ∠+∠=︒，又90BCH ACD ∠+∠=︒Q ，ACD CBH ∴∠=∠，又90ADC CHB ∠=∠=︒Q ，AC CB =，CAD BCH ∴∆≅∆，2BH CD ∴==，CH AD x ==，2DH x =-，90ADC CHB BHD ∠=∠=∠=︒Q ，//AD BH ∴，ADE BHE ∴∆∆∽， ∴AD DE BH EH =， ∴2x DE EH =， ∴22x DE EH DH EH EH++==， ∴422x EH x -=+， ∴2424(02)22x x y CE CH HE x x x x -+==+=+=<++…；(3)解：当GC GD =时，如图21-，取AC 的中点M ，联结MD ，那么MD MC =，联结MG，MG CD⊥，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH AD=，那么112AD CH CD===；当CG CD=时，如图22-，即2CG=，点G为ABC∆的重心，∴332CF CG==，26 AB CF∴==，∴AC AB==，∴AD综上所述，1AD=。
(2020新编)中考数学冲刺：几何综合问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D AB C QP【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t ．当QA=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，解得：t=2（s ），所以，当t=2s 时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12，∴S △QAC =12QA •DC=12（6-t ）•12=36-6t ． 在△APC 中，AP=2t ，BC=6， ∴S △APC =12AP •BC=12•2t •6=6t ． ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36-6t ）+6t=36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可提出：P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD 中：①当QA AP AB BC=时，△QAP ∽△ABC ，则有： 62126t t -=，解得t=1.2（s ）， 即当t=1.2s 时，△QAP ∽△ABC ；②当QA AP BC AB=时，△PAQ ∽△ABC ，则有： 62612t t -=，解得t=3（s ）， 即当t=3s 时，△PAQ ∽△ABC ；所以，当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒（1）直接写出梯形ABCD 的中位线长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，使得MC=MN ．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，进而就可以得出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；②由△ABD ≌△ACE ，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE ；（2）先判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，在Rt △DCE 中，根据勾股定理得出CE 2+CD 2=DE 2，即可得到BD 2+CD 2=DE 2；（3）①运用（2）中的方法得出BD 2+CD 2=DE 2；②根据Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，求得CE=22106-=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt △DCE 中，求得DE=2228+=，最后根据△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，∴∠BAD=∠EAC ．在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ；②∵BD=CE ，AC=BC ，又∵BC=BD+CD ，∴AC=CE+CD ；（2）BD 2+CD 2=DE 2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt △DCE 中，CE 2+CD 2=DE 2，∴BD 2+CD 2=DE 2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE ，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD ，∴Rt △DCE 中，CE 2+CD 2=DE 2，∴BD 2+CD 2=DE 2；②∵Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，∴CE=22106-=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt △DCE 中，DE=2228+=68，∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AE=683422==． 【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD ．∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，∴ ∠1=∠2．∵ △ABC 是等边三角形，∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°．∵ BP=BA ，∴ BP=BC ．∵ BD= BD ，∴ △PBD ≌△CBD ．∴ ∠BPD=∠3．∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ，∴ △BCD ≌△ACD ．∴ 134302ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题【高清课堂：几何综合问题 例1 】 4.如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E.(1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．【思路点拨】（1）由题意可得：DE 是线段BC 的垂直平分线，易证DE ∥AC ，即DE 是△ABC 的中位线，即可求得DE 的长；（2）由DE ∥AC ，DE=12AC ，易证△AOC ∽△EOD ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA ：OE=2，然后求得△ACE 的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案． （1）根据题意得：DE ⊥BC ，CE=BE ，∵∠ACB=90°，即AC ⊥BC ，∴DE ∥AC ，∴AD=BD ，∴DE=12AC=12×8=4； （2）∵DE ∥AC ，DE=12AC ， ∴△AOC ∽△EOD ，∴OA ：OE=AC ：DE=2，∵CE=12BC=12×6=3， ∵∠ACB=90°，AC=8，∴S△ACE=12CE•AC=12×3×8=12，∴S△OCE=13S△ACE=4，∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8，∴其中最小一块的面积等于4．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=2∴B′C=BB′－BC=22－2，∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA．∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45°∴CF=2'=2-22B C∴SB FC△'=221CF=3－22∴S阴=SB E′△A －SB FC′△=22－2．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB 于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=. ∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.。
2020年浙江省中考数学几何综合题冲刺训练含解析
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
7、如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，
∴ =cos30°= ，
∵GC=2OG，
∴ = ，
∵HGND为平行四边形，
∴HD=GN，
∴HD：GC：EB=1： ：1．
①请探究AD与BD之间的位置关系：；
②若AC＝BC＝ ，DC＝CE＝ ，则线段AD的长为；
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ ，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
最新2020年中考数学几何全套复习讲义
初中几何全套复习讲义1.三角形的有关概念2.全等三角形3.等腰三角形4.直角三角形、勾股定理、面积5.角平分线、垂直平分线6.平行四边形7.矩形、菱形8.正方形9.梯形10.三角形、梯形的中位线11.锐角三角函数12.解直角三角形13. 三角函数的综合运用14.比例线段15.相似三角形（一）16.相似三角形（二）17.相似形的综合运用（一）18.相似形的综合运用（二）19.圆的有关概念和性质20.垂径定理21.切线的判定与性质22.与圆有关的角23.圆中成比例的线段24.圆与圆（一）25.圆与圆（二）26.正多边形和圆中考数学几何全套复习讲义1.三角形的有关概念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。
关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。
应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
精典例题：【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b ，且a b ，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（）A 、3a L 3b B、2(a b) L 2aC、2a6 b L 2b aD、3a b L a 2b分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。
答案：B变式与思考：在△ABC 中，AC＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（）A 、1＜AB ＜29 B、4＜AB ＜24 C、5＜AB ＜19 D、9＜AB ＜19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。
0，∠ACB ＝610，延长BC 至E，使CE＝AC ，延长CB 至【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45D，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。
分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E 的度数，即可求得∠DAE1的度数。
略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CEA∴∠D＝12∠ABC ，∠E＝12∠ACB10 （∠ABC ＋∠ACB ）＝53∴∠D＋∠E＝20－（∠D＋∠E）＝1270∴∠DAE ＝180 D B C例 2 图E探索与创新：【问题一】如图，已知点 A 在直线l 外，点B、C 在直线l 上。
专题14 几何综合(25题压轴题)(解析版)
2020年上海市16区中考数学二模汇编专题14 几何综合（25题压轴题）1.（2020闵行二模）2.（2020嘉定二模）3.（2020松江二模）4.（2020宝山二模）5.（2020奉贤二模）6.（2020金山二模）7.（2020静安二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模）13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）1.（2020闵行二模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．【整体分析】（1）连接OQ，根据正六边形的特点和内角和求出∠EBC =60°，然后通过弧之间的关系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因为BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案；（2）在BE上截取EM=HE，连接HM，首先根据正六边形的性质得出EHM是等边三角形，则有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，从而有∠C=∠HMB=120°，然后通过等量代换得出∠GBC=∠HBE，由此可证明△BCG∽△BMH，则有，即，则y关于x的函数关系式可求，因为点Q在边CD上，则x的取值范围可求；（3）分两种情况：①当点G在边CD上时：又分当时和当时两种情况；②当点G在CD的延长线上时，同样分当时和当时两种情况，分别建立方程求解并检验即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连接OQ．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=DE，∠ABC=120°．∴BC DE=，∠EBC=∠ABC=60°．∵点Q是CD的中点，∴CQ DQ=．∴，即．∴∠BOQ=∠EOQ，又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，∴∠BOQ=∠EOQ=90°．又∵BO=OQ，∴∠OBQ=∠BQO=45°，∴∠CBG=60°45°=15°．（2）如图，在BE上截取EM=HE，连接HM．∵六边形ABCDEF是正六边形，直径BE=8，∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，∴∠FEB=∠FED=60°．∵EM=HE，∴EHM是等边三角形，∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，∴∠C=∠HMB=120°．∵∠EBC=∠GBH=60°，∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE，即∠GBC=∠HBE．∴△BCG∽△BMH，∴．又∵CG= x，BE=8，BC=4，∴，∴y与x的函数关系式为（）．（3）如图，当点G在边CD上时．由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°，①当时，∵AF=ED，∴FH=DG，，∴CG EH即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．②当时，即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．如图，当点G在CD延长线上时．由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，①当时，∵AF=ED，∴FH=DG，，∴CG EH即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．②当时，即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，且符合题意．∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．【点睛】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解分式方程，做出辅助线并分情况讨论是解题的关键．2.（2020嘉定二模）如图8，在△ABC中，,AB=5cm，.动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动.已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒. 联结BD.（1）当AB AD =时，求ABD ∠tan 的值；（2）以A 为圆心，AD 为半径画⊙A ；以点B 为圆心、BE 为半径画⊙B .讨论⊙A 与⊙B 的位置关系，并写出相对应的t 的值.（3）当△BDE 为直角三角形时，直接写出的值.【考查内容】 两圆位置关系、锐角三角形比的应用、等腰三角形的性质、直角三角形存在性问题【解析】（1）等腰三角形三线合一的性质、等积法求高、锐角三角比的意义；（2）由内切和外切分别求出对应的t 的值，再根据两圆位置关系确定t 的取值范围；（3）按照直角进行分类讨论，由一线三等角求解非常方便。
2020-2021中考数学培优(含解析)之平行四边形及答案解析
2020-2021中考数学培优(含解析)之平行四边形及答案解析一、平行四边形1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=12BC•AD=12AB•CE．从而得2AD=CE，∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，∴AB=AP×PB，即：PA•PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5， 在Rt △ADE 中，点M 是AE 的中点， ∴AE=2DM=2EM ，同理：BE=2CN=2EN ， ∵AB=AE+BE ， ∴2DM+2CN=AB ， ∴DM+CN=AB ，同理：EM+EN=AB ∴△DEM 与△CEN 的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE ）+[（DM+CN ）+（EM+EN ）]=（DE+CN ）+AB=5+．点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,102)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，35；（3）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '， ∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． ∵(1052,1052)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．3．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D 停止．以PQ 为边在AB 上方作等边三角形PQN ．将△PQN 绕QN 的中点旋转180°得到△MNQ ．设四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3）．（1）当点N 落在边BC 上时，求t 的值．（2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，求t 的值．（3）当点Q 沿D→B 运动时，求S 与t 之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN 的边MN 、MQ 与边BC 的交点分别是E 、F ，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN 的面积比为2：3时t 的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题4．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠3∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，3OH=23∴()2212362+-=如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=233， 综上所述：OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC +∠ADC =180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ADF ：∠FDC =3：2，DF ⊥AC ，求∠BDF 的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD 是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO ，根据矩形的性质得出OD=OC ，求出∠CDO ，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO ，BO=DO∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．6．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．7．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S △APF ＝S △BPE ，∵PF 是△APC 的中线，∴△APF 与△CPF 的底AF ＝CF ，又等高，∴S △APF ＝S △CPF ，∴S △CPF ＝S △BPE ，∵EF ∥GH ∥BC ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PB 、PC 的中点，∴△AEF 底边EF 上的高等于△ABC 底边BC 上高的一半，△PGH 底边GH 上的高等于△PBC 底边BC 上高的一半，∴△PGH 底边GH 上的高等于△AEF 底边EF 上高的一半，∵GH ＝EF ，∴S △PGH ＝12S △AEF ＝S △APF ， 综上所述，与△BPE 面积相等的三角形为：△APE 、△APF 、△CPF 、△PGH ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．8．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中y 与x 的函数表达式;（2）求证:DE DF ⊥;（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝5455-32． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；（3）分三种情况：①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，分别列方程计算可得结论．【详解】（1）设y ＝kx +b ，由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4，代入得：24k b b +=⎧⎨=⎩，得24k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）∵BE ＝x ，BC ＝2∴CE ＝2﹣x ， ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-， ∴CE CD AF AD=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠DAF ＝90°，∴△CDE ∽△ADF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，∴DE ⊥DF ；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DGE ＝∠GEB ，∴∠DEG ＝∠BEG ，在△DEF 和△BEF 中，FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△BEF （AAS ），∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2﹣x ，∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2﹣x ）2＝x 2，x ＝54； ②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，∴四边形CDHE 是平行四边形，∴∠C ＝90°，∴四边形CDHE 是矩形，∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2﹣x ，EH ⊥DG ，∴HG ＝DH ＝2﹣x ，∴AG ＝2x ﹣2，∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，∴EH ∥AF ，∴△EHG ∽△FAG ， ∴EH HG AF AG =， ∴124222x x x -=--， ∴125555x x -+==（舍）， ③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，∵AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠DEC ，∴∠GED ＝∠DEC ，∵∠C ＝∠EDF ＝90°，∴△CDE ∽△DFE ， ∴CE DE CD DF=， ∵△CDE ∽△ADF ， ∴12DE CD DF AD ==， ∴12CE CD =， ∴2﹣x ＝12，x ＝32， 综上，x ＝545-5或32． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．9．（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．【答案】（1）2AF；（2）无变化；（3）AF313．【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出2，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出22CACB=，同理得出22CFCE=，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出2，6，即可得出62，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．试题解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，22，点D为BC的中点，∴AD=122，∵四边形CDEF是正方形，∴2，∵BE=AB=2，∴2AF，故答案为2AF；（2）无变化；如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=2CA CB =， 在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=2CF CE =， ∴CF CA CE CB=， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE ﹣∠ACE=∠ACB ﹣∠ACE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴BE CBAF CA=∴AF ， ∴线段BE 与AF 的数量关系无变化；（3）当点E 在线段AF 上时，如图2，由（1）知，，在Rt △BCF 中，，，根据勾股定理得，，∴BE=BF ﹣，由（2）知，，∴﹣1，当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=CA CB =， 在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=CF CE =，∴CF CA CE CB = ， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴BE CBAF CA=∴AF ，由（1）知，，在Rt △BCF 中，，，根据勾股定理得，，∴由（2）知，，∴+1．即：当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，线段AF 1+1．10．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．(1)如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；(2)如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+2FC．【答案】（1）25422）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC2AB＝2，求出AF＝2，CF＝AC﹣AF2，求出△CEF 是等腰直角三角形，得出EF＝CF2，CE2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG2CF，证出BM＝DG，证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再证明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC2AB＝2，∵4AF＝3AC＝2，∴AF＝2∴CF＝AC﹣AF2∵EF ⊥AC ，∴△CEF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CF ＝2，CE＝2CF ＝2，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：AE ＝2225AF EF +=， ∴△AEF 的周长＝AE +EF +AF ＝252322542++=+； （2）证明：延长GF 交BC 于M ，连接AG ，如图2所示：则△CGM 和△CFG 是等腰直角三角形，∴CM ＝CG ，CG 2，∴BM ＝DG ，∵AF ＝AB ，∴AF ＝AD ，在Rt △AFG 和Rt △ADG 中，AG AG AF AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴FG ＝DG ，∴BM ＝FG ，∵∠BAC ＝∠EAH ＝45°，∴∠BAE ＝∠FAH ，∵FG ⊥AC ，∴∠AFH ＝90°，在△ABE 和△AFH 中，90B AFH AB AFBAE FAH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△AFH （ASA ），∴BE ＝FH ，∵BM ＝BE +EM ，FG ＝FH +HG ，∴EM ＝HG ，∵EC ＝EM +CM ，CM ＝CG 2CF ，∴EC ＝HG 2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．11．在ABC V 中，AD BC ⊥于点D ，点E 为AC 边的中点，过点A 作//AF BC ，交DE 的延长线于点F ，连接CF ．()1如图1，求证：四边形ADCF 是矩形；()2如图2，当AB AC =时，取AB 的中点G ，连接DG 、EG ，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF ）．【答案】(1) 证明见解析；（2）四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形．【解析】【分析】（1）由△AEF ≌△CED ，推出EF=DE ，又AE=EC ，推出四边形ADCF 是平行四边形，只要证明∠ADC=90°，即可推出四边形ADCF 是矩形．（2）四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形．【详解】()1证明：∵//AF BC ，∴AFE EDC ∠=∠，∵E 是AC 中点，∴AE EC =，在AEF V 和CED V 中，AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF CED ≅V V ，∴EF DE =，∵AE EC =，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=o ，∴四边形ADCF 是矩形．()2∵线段DG 、线段GE 、线段DE 都是ABC V 的中位线，又//AF BC ， ∴//AB DE ，//DG AC ，//EG BC ，∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形．【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.12．如图，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点，分别延长CO 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD 、OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ．（1）如图1，若正方形OEFG 的对角线交点为M ，求证：四边形CDME 是平行四边形． （2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边相交于点N ，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON 是等腰三角形，请直接写出α的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【解析】【分析】（1）由四边形OEFG 是正方形，得到ME=12GE ，根据三角形的中位线的性质得到CD ∥GE ，CD=12GE ，求得CD=GE ，即可得到结论； （2）如图2，延长E′D 交AG′于H ，由四边形ABCD 是正方形，得到AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG 是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC ，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形OEFG 是正方形，∴ME=12GE ， ∵OG=2OD 、OE=2OC ，∴CD ∥GE ，CD=12GE ， ∴CD=GE ， ∴四边形CDME 是平行四边形；（2）证明：如图2，延长E′D 交AG′于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，∵将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC ，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O 与△ODE′中，OA OD AOG DOE OG OE ⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩＝＝＝，∴△AG′O ≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AD 相交于点N ，如图3，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°-45°=45°；②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，Ⅰ、当AN=AO时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO+90°=112.5°；Ⅱ、当AN=ON时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°+45°=135°，Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，综上所述：若△AON是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．13．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．14．(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。
2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)
又∵抛物线的对称轴为 x＝b2＝1，即 b＝2，
∴m－2＋2m＋1＝2，解得 m＝1，
∴c＝3，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3；
y＝－x2＋2x＋3
(2)由y＝kx＋2
可得：x2＋(k－2)x－1＝0，
∴x1＋x2＝2－k，x1x2＝－1，
∴|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2＝ （2－k）2＋4≥2，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′， 又由(1)易知 P(1，4)， ∵P′P＝O′B′＝OB＝3，C(0，3)， ∴P′(－2，4)，C′(0，－3)，PC＝ 2， ∴直线 P′C′的解析式为 y＝－72x－3， 直线 P′C′与 x 轴的交点为(－67，0)， ∵PC，O′B′为定值， ∴当 CO′＋PB′取最小值 P′C′时 L 最小， 此时 O′(－67，0)，则 B′(175，0)． 又∵P′C′＝ （4＋3）2＋22＝ 53， ∴L 最小值＝P′C′＋PC＋O′B′＝ 53＋ 2＋3.
第 3 题解图② ①当∠AFP＝90°时，即∠AF1P1＝90°， ∴点 P1 既在 x 轴上，又在抛物线上，则点 P1 与点 B 重合，点 P1 的坐标为(1，0)； ②当∠FAP＝90°时，即∠F2AP2＝90°，则∠P2AO＝45°，设 AP2 与 y 轴的交点为点 N， ∴OA＝ON＝3，则 N(0，－3)， ∴直线 AP2 的解析式为 y＝－x－3，
y＝－x－3 联立抛物线与直线 AP2 的解析式，得方程组y＝－x2－2x＋3，
x＝－3 x＝2 解得y＝0 或y＝－5， ∵A(－3，0)， ∴P2(2，－5)； ③当∠APF＝90°时，即∠AP3F3＝90°，点 P3 既在 x 轴上，又在抛物线上，则点 P3 与点 B 重合，点 P3 的坐标为(1，0)．
中考数学专题复习——几何综合(最新讲义)
中考数学——几何综合（讲义）➢ 知识点睛1. 几何综合问题的处理思路①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度304560 1 ↔⎧⎪↔⎪⎪↔⎨⎪↔⎪⎪︒︒︒↔⎩，，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ↔⎧⎪⎧⎪↔⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪↔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪↔⎩、角平分线、垂直平分线轴对称性质勾股定理放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线边、线段连半径转移边放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系） 3 n ⎧⎧⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩倍长中线中位线中点三线合一特殊点斜边中线等于斜边的一半相似等分点面积转化（） 4 ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（3. 常见结构、常用模型⎧→⎧⎪⎪→⎪⎪⎨⎪→⎪⎪⎪→⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩中点结构中点的思考角度直角结构斜转直常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型 ➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．若∠AEF =55°，则∠EAF=________．F EDCBA提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件．具体操作：D 为中点，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．得到△ADC ≌△GDB ．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC =90°，∠C =70°，点E 是BC的中点，CD =CE ，则∠EAD 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形．AD CE B具体操作：AB ∥CD ，E 为BC 的中点，延长AE 交直线CD 于点F ．得到△ABE ≌△FCE ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．AB CD FEG提示：多个中点考虑中位线，利用中位线性质转移角、转移边．具体操作：GF ，GE 分别为△CDA ，△ABC 的中位线．4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =DC =3，sin C =45，则△ABC 的周长为______．提示：等腰三角形底边上的的中点——通过等腰三角形三线合一，构造直角三角形．具体操作：连接AD ，得到Rt △ADC ．5. 如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 是BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ．则以下结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④当∠ABC =45°时，BNPC ．其中正确的有（ ）具体操作：在Rt △BMC 中，MP 为斜边中线；在Rt △BNC 中，NP 为斜边中线．6. 如图，正方形ABCD 边长为9，点E 是线段CD 上一点，且CE 长为3，连接BE ，作线段BE 的垂直平分线分别交线段AD ，BC 于点F ，H ，垂足为G ，则AF 的长为______．H G F EDCBA方法1：提示：从边的角度考虑直角，往往先表达，然后用勾股定理建等式． 具体操作：连接BF ，EF ，则BF =EF ，设AF 为x ，分别在Rt △BAF 和Rt △EDF 中表达BF 2，EF 2，再利用BF 2=EF 2求解． 方法2：提示：从角度转移考虑直角，往往先找角相等，然后证相似或全等． 具体操作：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则可证△FMH ≌△BCE ，则MH =CE =3，连接EH ，利用勾股定理求解EH （BH ），则AF =BH -MH ． 7. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于D ．则AD 的长为_______________．DCBA提示：①特殊角+直角；②直角两边可看做是面积中的底或高．具体操作：①过点C 作CE ⊥AB ，交BA 延长线于点E ，在Rt △CAE 中利用特殊角60°求解；②将AD 看成高，求出BC 后，利用CE AB AD BC ⋅=⋅求解．8. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，则BD =________．ABECD提示：直角+角平分线，逆用三线合一构造出等腰三角形．具体操作：BE 既是角平分线、又是高．延长BA ，CE 交于点F ，可证△CAF ≌△BAD ．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________．DC提示：多个直角（直角三角形斜边上的高），考虑母子型相似．具体操作：由∠ACB =∠ADC =90°，考虑△BDC ∽△CDA ∽ △BCA ．10. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____．ABCDE提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型．具体操作：∠ABE =∠ECD =∠AED =90°，考虑△ABE ∽△ECD ．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为________．CB OAED提示：多个直角（斜放置的正方形、等腰直角三角形），考虑弦图．具体操作：过点D 作DF ⊥CB ，交CB 延长线于点F ，连接OF ．由弦图可知，△OCF 是等腰直角三角形．12. 如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4，则EF EG=________． FEDCG (B )A提示：斜直角要放平（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等．具体操作：过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N ，则△EMF ∽△ENG ．13. 已知直线l 1：y =112x b -+与直线l 2垂直，且直线l 2经过定点A (3，0)，则直线l 2表达式为________________．提示：坐标系下的垂直，优先考虑121k k ⋅=-． 具体操作：由121k k ⋅=-求得k 2，再利用A (3，0)求b 2．14. 如图，在⊙O 中，弦AB，弦ADACB =45°，则弦AD 所对的圆心角为_______．CA提示：圆背景下，要构造直角，考虑：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理．具体操作：连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ，BE ．在Rt △ABE 中，求解直径AE ；在Rt △ADE 中，利用边角关系，求解∠AED 进而得到∠AOD ． 15. 如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′处．若AE =2，DE =6，∠EFB =60°，则矩形ABCD 的面积是__________．B'A'F EDCBA提示：折叠，考虑：①利用对应边、对应角相等，考虑转移边、转移角；②矩形中的折叠常出现等腰三角形．具体操作：由折叠∠EFB =∠EFB′=60°，AE =A′E =2，∠B =∠A′B′F =90°，结合内错角∠B′EF =∠BFE =60°，可在Rt △A′B′E 中求解A′B′，即AB 的长．16. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．BCFAEMD提示：折叠，考虑折痕是对应点连线的垂直平分线．具体操作：连接BE ，BM ，ME ，则BM =ME ，在Rt △BAM 和Rt △MDE 中表达BM 2，ME 2，利用相等建等式求解．17. 如图，已知直线l ：y =122x -+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则点C 的坐标为_________．提示：折叠，可考虑折痕垂直平分对应点连线．函数背景下的折叠可以考虑121k k ⋅=-和中点坐标公式的组合应用．具体操作：连接OC ，先利用原点坐标和121k k ⋅=-求得OC 解析式；联立OC 和AB 解析式求出OC 的中点坐标后，进而求出点C 坐标．18. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，ACACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．（结果保留π）19.的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（ ） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°C'B'ABC提示：旋转是全等变换，对应边相等，对应角相等；会出现等腰三角形． 具体操作：由旋转可知AC =AC′（对应边相等），∠BAB′=∠CAC′（旋转角相等）．20. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接P A ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接PQ ，CQ ．若P A :PB :PC =3:4:5，则∠PQC =________．QBCPA提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等腰结构时往往会考虑利用旋转思想构造全等．具体操作：由等腰结构AB =BC ，PB =BQ ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB ≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理进行证明．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． FEDBA2. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，点E 是AD 上一点，且AE =4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，交AB 于点H ，连接EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是_______．HGOB A DEC F3. 如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 等于（ ） A ．3:4BCD．QDCFBPEACBGFEDA第3题图 第4题图4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE ⊥BD于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG ，DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为________．5. 如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD，AD =CD 中点，连接AE，且AE =BF =________．BCEADF6. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩小，恰好使DE =23CD ，连接AE ，则△ADE 的面积是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P (1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC ．线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ．若直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为__________．8. 如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE :AC =3:5，则ADAB的值为_________． ED C B AEDCBA9. 如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ；如图2，展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上，折痕为BM ，BM 交EF 于O ，且△NMO的周长为3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．图1BAD FC EMN图2OBAD F CE PHG 图3Q BA D F CE10.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG =_______．GHBA D F CE11.顺时针旋转得到△A B′C′，连接CC ′并延长，交AB 于点O ，交BB ′于点F ．若CC ′=CA ，则BF =_____．C'O B AFC B'12. 如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP ．若AE =AP =1，PB =APD ≌△AEB ；②BE ⊥DE ；③点B 到直线AE；④1△△APD APB S S +=⑤4ABCD S =正方形 ） A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤PDA B CE【参考答案】 ➢ 课前预习1. 55°2. A3. 23°4. 165. B6. 27.7 8. 10 cm 9. 410. 1或6 11. 712. 4313. 26y x =-14.120°15.16.138cm17.816 () 55，18.(4π19.C20.90°➢精讲精练1.12.73.D4.205.4-6.27.99 () 44，8.1 29.1210.11.5 212.B。
中考数学核心考点强化突破几何综合应用含解析
中考数学核心考点强化突破：几何综合应用类型1 以三角形为背景的计算和证明问题1．如图,一条4 m 宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形,根据图中数据,可知这条道路的占地面积为____ m 2.【解析】如图,作DE⊥AC 于点E,可证△DAE∽△ACB∴DE AB ＝AE BC .即：4AB ＝312解得：AB ＝16(m),∴道路的面积为AD×AB＝5×16＝80(m 2)． 2．在Rt △ABC 中,∠A＝90°,AC ＝AB ＝4,D,E 分别是边AB,AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转,得到等腰Rt △AD 1E 1,设旋转角为α(0＜α≤180°),记直线BD 1与CE 1的交点为P.(1)如图1,当α＝90°时,线段BD 1的长等于；(直接填写结果)(2)如图2,当α＝135°时,求证：BD 1＝CE 1,且BD 1⊥CE 1；(3)求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)解：(2)证明：当α＝135°时,由旋转可知∠D 1AB ＝∠E 1AC ＝135°.又∵AB＝AC,AD 1＝AE 1,∴△D 1A B≌△E 1AC.∴BD 1＝CE 1且∠D 1BA ＝∠E 1CA.设直线BD 1与AC 交于点F,有∠BFA＝∠CFP ,∴∠CPF＝∠FAB＝90°.∴BD 1⊥CE 1.(3)1＋3(四边形AD 1PE 1为正方形时,距离最大,此时PD 1＝2,PB ＝2＋23)．3．如图,已知△ABC 中AB ＝AC ＝12厘米,BC ＝9厘米,点D 为AB 的中点．(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点P 点Q 的运动速度相等,经过1秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由；②若点P 点Q 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等？(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间,点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：(1)①∵t＝1(秒),∴BP＝CQ ＝3(厘米)∵AB＝12,D 为AB 中点,∴BD＝6(厘米)又∵PC＝BC －BP ＝9－3＝6(厘米)∴PC＝BD∵AB＝AC,∴∠B＝∠C ,在△BPD 与△CQP中,⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CQ ∠B＝∠C BD ＝PC,∴△BPD≌△CQP(SAS ),②∵V P ≠V Q ,∴BP≠CQ ,又∵∠B＝∠C ,要使△BPD≌△CPQ ,只能BP ＝CP ＝4.5,∵△BPD≌△CPQ ,∴CQ＝BD ＝6.∴点P 的运动时间t ＝BP 3＝4.53＝1.5(秒),此时V Q ＝CQ t ＝61.5＝4(厘米/秒)；(2)因为V Q ＞V P ,只能是点Q 追上点P,即点Q 比点P 多走AB ＋AC 的路程,设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,依题意得4x ＝3x ＋2×12,解得x ＝24(秒),此时P 运动了24×3＝72(厘米)又∵△ABC 的周长为33厘米,72＝33×2＋6,∴点P 、Q 在BC 边上相遇,即经过24秒,点P 与点Q 第一次在BC边上相遇．类型2 以四边形为背景的计算和证明问题4．已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE＝a,CF＝b.(1)如图1,当∠EAF被对角线AC平分时,求a,b的值；(2)当△AEF是直角三角形时,求a,b的值；(3)如图3,探索∠EAF绕点A旋转的过程中a,b满足的关系式,并说明理由．解：(1)可证△ACF≌△ACE,∴CE＝CF,∵CE＝a,CF＝b,∴a＝b,∵△ACF≌△ACE,∴∠AEF＝∠AFE,∵∠EAF＝45°,∴∠AEF＝∠AFE＝67.5°,∵CE＝CF,∠ECF＝90°,∠AEC＝∠AFC＝22.5°,∵∠CAF ＝∠CAE＝22.5°,∴∠CAE＝∠CEA,∴CE＝AC＝42,即：a＝b＝42；(2)当△AEF是直角三角形时,①当∠AEF＝90°时,∵∠EAF＝45°,∴∠AFE＝45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF2＝2FE2＝2(CE2＋CF2),AF2＝2(AD2＋BE2),∴2(CE2＋CF2)＝2(AD2＋BE2),∴CE2＋CF2＝AD2＋BE2,∴CE2＋CF2＝16＋(4＋CE)2,∴CF2＝8(CE＋4)①∵∠AEB＋∠BEF＝90°,∠AEB＋∠BAE＝90°,∴∠BEF＝∠BAE,∴△ABE∽△ECF,∴4CE ＝CE＋4CF,∴4CF＝CE(CE＋4)②,联立①②得,CE＝4,CF＝8∴a＝4,b＝8,②当∠AFE＝90°时,同①的方法得,CF＝4,CE＝8,∴a＝8,b＝4.(3)ab＝32,理由：如图,可证△ACF∽△ECA ,∴EC×CF＝AC 2＝2AB 2＝32∴ab＝32.5．已知：如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是矩形,OA ＝4,OC ＝3,动点P 从点C 出发,沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时,动点Q 从点O 出发,沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t(s)．(1)当t ＝1 s 时,求经过点O,P,A 三点的抛物线的解析式；(2)当t ＝2s 时,求tan ∠QPA 的值；(3)当线段PQ 与线段AB 相交于点M,且BM ＝2AM 时,求t(s )的值；(4)连接CQ,当点P,Q 在运动过程中,记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S,求S 与t 的函数关系式．解：(1)当t ＝1 s 时,则CP ＝2,∴P(2,3),且A(4,0),∴y＝－34x 2＋3x ；(2)当t ＝2 s 时,则CP ＝2×2＝4＝BC,即点P 与点B 重合,OQ ＝2,如图1,∴AQ＝OA －OQ ＝4－2＝2,且AP ＝OC ＝3,∴tan ∠QPA＝AQ AP ＝23；(3)当线段PQ 与线段AB 相交于点M,则可知点Q 在线段OA 上,点P 在线段CB 的延长线上,如图2,则CP＝2t,OQ ＝t,∴BP＝PC －CB ＝2t －4,AQ ＝OA －OQ ＝4－t,∵PC∥OA ,∴△PBM∽△QAM ,∴BP AQ ＝BM AM ,∴2t －44－t＝2,解得t ＝3；(4)当0≤t≤2时,如图3,由题意可知CP ＝2t,∴S＝S △PCQ ＝12×2t×3＝3t ；当2＜t≤4时,设PQ 交AB 于点M,如图4,由题意可知PC ＝2t,OQ ＝t,则BP ＝2t －4,AQ ＝4－t,同(3)可得BP AQ ＝BMAM ＝2t －44－t ,解得AM ＝12－3t t,∴S＝S 四边形BCQM ＝S 矩形OA BC －S △COQ －S △AMQ ＝24－24t－3t ；当t ＞4时,设CQ 与AB 交于点M,如图5,由题意可知OQ ＝t,AQ ＝t －4,∵AB∥OC ,∴AM OC ＝AQ OQ ,即AM 3＝t －4t ,解得AM ＝3t －12t ,∴BM＝12t,∴S＝S △BCM ＝12×4×12t ＝24t；综上可知： S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t （0≤t≤2）24－24t －3t （2＜t≤4）24t （t ＞4）.。
2020年中考数学培优 专题讲义设计 第9讲 最值问题之将军饮马问题
第10讲最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。
模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN为定值，故只需求AM＋NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A′，连接A′B，线段A′B的长度即为AM＋NB的最小值直线l上有一长度不变线段MN移动，求AM＋MN＋NB最小值的模型．将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN＋A2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一动点，则P A＋PC的最小值为．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A＋PC的值最小，∵DP＝P A，∴P A＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(33，∴AB3OA＝3，∵tan∠AOB＝ABOA3AOB＝30°，∴OB＝2AB＝3由三角形面积公式得：12×OA×AB＝12×OB×AM，∴AM＝32，∴AD＝2×32＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝12AD＝32，由勾股定理得：DN332，∵C(12，0)，∴CN＝3﹣12﹣32＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC31，即P A＋PC的最小值是312．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝332，∴P A＋PC的最小值为332．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：(1)74(2)221(3)1789(4)2916π+例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝12AA′＝1，∴A′H＝3，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝27，例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为2的线段MN在AC上运动．(1)求四边形BMNE周长最小值；(2)当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值为．解：作EF∥AC且EF2DF交AC于M，在AC上截取MN2DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，当BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴PQPQ QE EC++＝PQCD，∴2PQPQ+＝14，解得：PQ＝23，∴PC＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点．作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E最小(垂线段最短)，在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，∴OE＝12OA′＝2，A′E＝2242＝23．∴AM＋MP＋PN的最小值为23．【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为．2、在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是．3、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为．4、如图，钝角三角形ABC的面积为9，最长边AB＝6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为．5、如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，(1)若AC＝4，S△ABC＝6，则BD＋DE的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE的最小值为 ．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为 ．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝43，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 ．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为 ．O A PMB N8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 ．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．10、如图，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，3)，动点D 、E分别在射线OC 、OB上，则CE ＋DE ＋DB 的最小值是 ．11、如图，点A (a ，1)、B (－1，b )都在双曲线y ＝－3x(x ＜0)上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是 ．yxBAP O Q12、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是 ．13、如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．14、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE ⊥BC 于点E ．(1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P ，使得AP ＋PD 最小，在下图中画出点P ；(2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q ，求AQ 与PQ 的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝23，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，故所求最小值为23．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD3BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝3，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD3，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D7故BE ＋ED的最小值为7．4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A B C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝3AH ＝3∴cos ∠HAB ＝AH AB 233HAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝23，即PK＋QK的最小值为23．7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝42＝2∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝29.解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE＋DE＋BD的值最小，∵四边形OCBA是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A和C关于OB对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B和E′关于OC对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C作CN⊥OA于N，∵C(13)，∴ON＝1，CN3由勾股定理得：OC＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B和E′关于OC对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝12BC＝1，由勾股定理得：BF3E′F，在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′＝10．故答案为10．14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQ ＝3CQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12， 而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DHM ，∴AE ：HD ＝MA ：MD ，∴AE ＝HD MA MD ⨯＝23， ∴AF ＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A ′B 为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB ′A ′和长方形ABCD 在同一平面内，如图2①．在Rt △A ′B ′C 中，∠B ′＝90°，A ′B ′＝40，B ′C ＝60，∴AC ＝224060+＝2013． Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB ′A ′和长方形BCC ′B ′在同一平面内，如图2②．在Rt △A ′C ′C 中，∠C ′＝90°，A ′C ′＝70，C ′C ＝30，∴A ′C ＝227030+＝1058． ∵5200＜5800，∴往天花板ABCD 爬行的最近路线A ′GC 更近；(2)过点M 作MH ⊥AB 于H ，连接MQ 、MP 、MA 、MB ，如图3．∵半径为10dm 的⊙M 与D ′C ′相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，BC ′＝60dm ， ∴MH ＝60﹣10＝50，HB ＝15，AH ＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM 22AH MH +3125，MB 22BH MH +2725∴50≤MP 3125∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：几何最值问题
中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。
2020年中考数学压轴题-专题27 几何证明综合复习(判定四边形形状-矩形)(解析版)
专题27 几何证明综合复习（判定四边形形状-矩形）教学重难点1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。
【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。
【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。
这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。
所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
11.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。
2020年中考数学培优 专题讲义 第12讲 四边形和面积
第14讲四边形与面积模拟讲解BADCBA DCPDCBAA DB CDCBASΔABC=S ADESΔBDF=12S正方形ABCDSΔAGE=12S正方形CEFGS=12SΔBDC=14S正方形ABCDS四边形ABCD=12AC•BDS1=S2SΔADP+SΔBPC=S ABP•SΔDPC=12S ABCDS1+S3=S2+S4=12S ABCDS1+S3=S2=12S ABCDS1S2S1S2S3S4S3S2S1【例题讲解】例题1、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A.4 B.5 C.6D.7【解析】可知S△BEC=S△DFC=12S平行四边形ABCD∴S△AFD+S△BFC=12S平行四边形=S△EBC∴S3+S4+①+S1+②=①+S2+②∴S4=S2-S1-S3=12-2-3=7 故选D【巩固练习】1、已知△ABC，面积为12，点D在边BC上，满足CD:BD=1：2，点E为AC的中点，连接BE、AD相交于点P，设△APE的面积为S1，△BPD的面积为S₂，求S2-S1=.2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）A.60B.90C.144D.169例题2、如图，在面积为24的平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，连接FH、EG，且GH=12DC.则图中阴影部分面积为.【解析】如右图，连接EF 、EH 、GF ，则四边形EFCD 为平行四边形，且S EFCD =12由题意得，12HO GO HG OF OE EF ===,设△HOG 的底HG=a ，高为h ，则△OEF 的底EF 为2a ，高为2h ，平行四边形DEFC 的底EF 为2a ，高为3h ，则2a ·3h=12，即ah=2所以S △HOG =12ah=1，S △OEF =12·2a ·2h=4，所以S 阴影=S EFCD -S △HOG -S △EOF =12-1-4=7例题3、如图，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于G ，BD 和AF 相交于H ，那么四边形BEGH 的面积是 .HG FEDC BA【解析】∵BC //AD ，∴△BFH ∽△DAH ，且相似比为1：2，S △ADH =12×2×43=43，S △FBH =12×2×23=13，易证△ABF ≌△DAE ，∴∠BAF=∠ADF ，∠BAF+∠AEG=90°∴∠AEG=90°，∴△AEG ∽△EDA ∴EG AE AG AD =，AG AE AD DE =，解得，S △AEG =15， S 四边形BEGH =2-15-43=715【巩固练习】1、如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是第1题第2题第3题2、如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积为3、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ=14DC.若AB=16，BC=20，则图中阴影部分的面积是4、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以斜边BC上的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，当BP=3时，求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是第4题第5题5、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=13AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为例题4、如图，以△ABC的两条边AB、AC为一边向上作正方形ABED和正方形ACGF，连接FD。
【备考2020】北师大初中数学中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(基础)
1 中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D ABC QP2【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t ．当QA=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，解得：t=2（s ），所以，当t=2s 时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12，∴S △QAC =12QA •DC=12（6-t ）•12=36-6t ． 在△APC 中，AP=2t ，BC=6， ∴S △APC =12AP •BC=12•2t •6=6t ． ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36-6t ）+6t=36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可提出：P 、Q两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD 中：①当QA AP AB BC=时，△QAP ∽△ABC ，则有： 62126t t -=，解得t=1.2（s ）， 即当t=1.2s 时，△QAP ∽△ABC ；②当QA AP BC AB=时，△PAQ ∽△ABC ，则有： 62612t t -=，解得t=3（s ）， 即当t=3s 时，△PAQ ∽△ABC ；所以，当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒（1）直接写出梯形ABCD 的中位线长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，使得MC=MN ．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；34 （3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE=90°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE ，若BE=10，BC=6，求AE 的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，进而就可以得出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；②由△ABD ≌△ACE ，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE ；（2）先判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，在Rt △DCE 中，根据勾股定理得出CE 2+CD 2=DE 2，即可得到BD 2+CD 2=DE 2；（3）①运用（2）中的方法得出BD 2+CD 2=DE 2；②根据Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，求得CE=22106-=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt △DCE 中，求得DE=2228+=，最后根据△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，∴∠BAD=∠EAC ．在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ；②∵BD=CE ，AC=BC ，又∵BC=BD+CD ，∴AC=CE+CD ；（2）BD 2+CD 2=DE 2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠A CE=45°，BD=CE ，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴CE=22106-=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt△DCE中，DE=2228+=68，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=683422==．【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0︒＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD．5∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠1=∠2．∵△ABC是等边三角形，∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．∵ BP=BA，∴ BP=BC．∵ BD= BD，∴△PBD≌△CBD．∴∠BPD=∠3．∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，∴△BCD≌△ACD．∴1 34302ACB∠=∠=∠=︒．∴∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长；（2）由DE∥AC，DE=12AC，易证△AOC∽△EOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA：OE=2，然后求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．6【答案与解析】（1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE，∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴DE∥AC，∴AD=BD，∴DE=12AC=12×8=4；（2）∵DE∥AC，DE=12AC，∴△AOC∽△EOD，∴OA：OE=AC：DE=2，∵CE=12BC=12×6=3，∵∠ACB=90°，AC=8，∴S△ACE=12CE•AC=12×3×8=12，∴S△OCE=13S△ACE=4，∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8，∴其中最小一块的面积等于4．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=2∴B′C=BB′－BC=22－2，∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA．∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45°∴CF=2'=2-22B C∴SB FC△'=221CF=3－22∴S阴=SB E′△A－SB FC′△=22－2．75．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB 所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x （cm），过点E 作EH ⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB 于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，8∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD 上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.9。
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2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）参考答案与试题解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠F AB＝∠FBA，∴F A＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）作过点A作AF⊥BE于点F，根据AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，得出△ABF∽△BEC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠CEB．（2）a＝b．证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，∵AB＝AE，∴BF＝BE，∵∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC∴＝，∴＝，即a＝b．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF＝∠2，F A＝FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE＝F A，∠1＝∠BAF，则∠5＝∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，则∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：由△AFG∽△BF A，易得∠AGF＝∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG＝∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：＝＝．即＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，则GD＝a，FD＝a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得＝，则＝＝．设EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，又由FQ∥ED，易证得＝＝，所以FM＝FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE＝FC，∴∠1＝∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB＝CB，∠4＝∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠2，F A＝FC，∴FE＝F A，∠1＝∠BAF，∴∠5＝∠6．∵∠1+∠BEF＝180°，∴∠BAF+∠BEF＝180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360°，∴∠AFE+∠ABE＝180°．又∵∠AFE+∠5+∠6＝180°，∴∠5+∠6＝∠3+∠4，∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD．又∵∠AFB＝∠GF A，∴△AFG∽△BF A，∴∠AGF＝∠BAF．又∵∠MBF＝∠BAF，∴∠MBF＝∠AGF．∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG，∴∠MBG＝∠BMG，∴BG＝MG．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF．又∵∠FGA＝∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴＝＝．∵AF＝AD，∴＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，∴GD＝a，∴FD＝a∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠ADB，∴BE∥AD，∴＝，∴＝＝．设EG＝2k（k＞0），∴BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，∴GQ＝QE，∴GQ＝EG＝k，MQ＝3k+k＝k．∵FQ∥ED，∴＝＝，∴FM＝FN．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠F AE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；（3）①当交点E在O、A之间时，若∠EOF＝∠BAC，此时，∵，∴，∴OE＝AE，则OE＝；若∠EOF＝∠ABC，此时，∴，则OE＝；②当交点E在O、B之间时，OE＝．综上所述，OE＝或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．。