二次函数第4节

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九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件

2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2

22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(教案)

22.1.2第4节二次函数y=a(x-h) 2的图象与性质（教案）
一、教学内容
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质
1.二次函数y=a(x-h)^2的图象特点
- a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下
- h为抛物线的对称轴，即x=h
-抛物线顶点为(h, 0)
2.二次函数y=a(x-h)^2的性质
（2）强调对称轴（x=h）和顶点（(h, k)）的概念，解释它们与函数最值、单调性的关系，并通过具体例子进行说明。
（3）详细讲解图象的平移变换，使学生掌握左加右减、上加下减的变换规律，并能运用到具体问题中。
（4）结合实际情境，如物体抛掷、经济模型等，展示二次函数的应用，强调数学知识在实际问题中的运用。
1.提供更多具有代表性的案例，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.加强对学生的引导和启发，提高他们在解决问题时的独立思考能力。
3.优化问题设计，使学生在讨论过程中能够更加聚焦主题。
4.针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的辅导和答疑。
2.掌握二次函数图象变换方法，提高学生数学建模、数学运算的能力。
-通过图象变换，培养学生建立数学模型，解决实际问题的能力。
-在变换过程中，锻炼学生准确进行数学运算，提高解题效率。
3.培养学生运用二次函数知识解决实际问题的意识，提升数学应用、数据分析的核心素养。
-结合实例分析，引导学生运用所学知识解决生活中与二次函数相关的问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2024年人教版数学九年级上册必备书序第一部分第三章第4节-课件

x1=-1，x2=3； ③3a+c＞0;
④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3;
⑤当x＜0时，y随x增大而增大.
的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象;
②当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D. 由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A,B，
然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.
方法规律
1. 二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
值越大，开口越小.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+
bx+c的对称轴是直线
故：①b=0时，对称轴为y轴；
②
（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；③
（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.（口诀:“左同右异”）

（3）c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
C. 对称轴是直线x=-1，最小值是2
D. 对称轴是直线x=-1，最大值是2
2. (2016达州)如图1-3-4-1，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象与x轴交于点A(-1，0)，与y轴的交点B在(0，-2)和(0，
-1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1. 下列结论：
①abc＞0 ;②4a+2b+c＞0; ③4ac-b2＜8a;
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+ bx+c）.

北师版高考总复习一轮数学精品课件第三章函数与基本初等函数第四节二次函数与幂函数

3
或-5,故选C.
技巧点拨二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴
固定、区间变动.
(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点
和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的
思想即可完成.
对点训练5若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最
R
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
在R上在(-∞,0)上单调在R上
单调性单调
递增
递减,在(0,+∞) 单调递
上单调递增
1
x2
y=x3
增
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上单
调递增
y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
在(-∞,0)和
(0,+∞)上单调
递减
图象
过定点 (1,1)
3.二次函数的图象和性质
又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8,
所以 y=f(x)=a
1
−2
又因为 f(2)=-1,所 a
所以 f(x)=-4
1
−
2
2
+8.
1 2
2 − 2 +8=-1,解得
2
+8=-4x2+4x+7.
a=-4,
2+(-1)
x=
2
=
1
,所以
2
1
m= .
2
(方法3 利用二次函数的零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件

)
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点(4,2)，若 f(m)＝3，则实数 m
的值为( )
A. 3
图象
定义域
_R _
_R _
R__ _{x_|x_≥_0_}___
_{x_|_x≠_0_}___
值域
_R _
_{y_|y_≥_0_}___
R__ _{y_|y_≥_0_}___
_{y_|_y≠_0_}___
奇偶性奇__
偶__
奇__ _非_奇__非_偶___
奇__
单调性
增__
(_－_∞__，_0_)减__，__ (_0_，_＋__∞_)增____
5．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：51062031】
y＝－x2＋2x＋8 [设 y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为 x＝1，当 x＝1 时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下
[变式训练 1] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式．
[解] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2.2 分又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.8 分设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1.12 分 ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)，即 f(x)＝x2－4x＋3.15 分

2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积

+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？（随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40

第2章---第4节

＜－1三种情况讨论．
典例探究 · 提知能
【尝试解答】 (1)函数f(x)可化为f(x)＝(x－a)2＋1－a2，其图象的对称轴x＝a与所给区间[－1,1]呈现出如下图所示的三种位置关系．
课时知能训练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
结合图形分析如下：
自主落实 · 固基础
法二由顶点式， y＝a(x－2)2－1.将(0,11)代入可得 11＝4a－1，设
典例探究 · 提知能
于是 a＝3，所以 y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11. (2)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝1 可知 c＝1. 而 f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a ＋b，由 f(x＋1)－f(x)＝2x，可得 2a＝2，a＋b＝0.因而 a＝1，b＝－1.所以 f(x)＝x2－x＋1.,
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自主落实 · 固基础
第四节
二次函数与幂函数
高考体验 · 明考情
典例探究 · 提知能
课时知能训练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自主落实 · 固基础
高考体验 · 明考情
典例探究 · 提知能
课时知能训练
自主落实 · 固基础
【尝试解答】 ∴c＝0，
(1)由 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(0)＝0，
高考体验 · 明考情
1 1 又对任意 x∈R，有 f(－2＋x)＝f(－2－x) 1 ∴f(x)图象的对称轴为直线 x＝－2， 1 b 则－2a＝－2，∴a＝b，由于 f(x)≥x，即 ax2＋(b－1)x≥0 对∀x∈R 成立， ∴a＞0，且 Δ＝(b－1)2≤0，故 a＝b＝1. 所以 f(x)＝x2＋x.

中考数学精讲篇考点系统复习第三章函数第四节大中小二次函数的图像与性质

4ac－b2 得到 4a ＝3，即可判断④.
详见“本书 P52 第三章第四节考点梳理特训”
1．★(2020·齐齐哈尔)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与 x 轴交于点(4，0)，其对称轴为直线 x＝1，结合图象给出下列结论：①ac<0；②4a－2b＋c>0；③当 x>2 时，y 随 x 的增大而增大；④关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
42
【考情分析】湖南近 3 年主要考查：1.二次函数的图象与性质：二次函数图象的增减性、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标、对称轴、自变量的取值范围；2.二次函数图象与系数 a，b，c 的关系；3.二次函数解析式的确定，一般在压轴题第一问考查.
命题点 1：二次函数的图象与性质(2021 年考查 3 次，2020 年考查 7 次， 2019 年考查 9 次) 1．(2018·岳阳第 4 题 3 分)抛物线 y＝3(x－2)2＋5 的顶点坐标是( C ) A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5)
( C)
重难点 2：二次函数图象的平移
将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位
长度，所得抛物线为
( A)
A．y＝－5(x＋1)2－1
B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3
D．y＝－5(x－1)2＋3
【思路点拨】方法一：平移前抛物线的顶点坐标为(0，1)→平移后抛物线的顶点坐标为(－1，－1) 利用顶点式，a＝－5 平移后抛物线的解析式为 y＝－5(x＋1)2－1.方法二：直接利用“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律求出平移后抛物线的解析式，即 y＝－5x2＋1 左移，自变量加1；下移，常数项减2y＝－5(x＋1)2＋1－2.

第四节二次函数的图象和性质

第四节二次函数的图象和性质
知识梳理
1．定义形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数是一元二次函数，它的定义域是___R___，它的图象是一条__抛__物__线__，其中a是二次项系数，决定了抛物线的开口方向．当a>0时，开口___向__上___；当a<0时，开口___向__下___．对称轴方程为_x_=___2b_a__．a与b影响对称轴的位置，ab>0，对称轴在y轴____左____侧；ab<0，对称轴在y轴____右____侧；b＝0时，对称轴是y轴；c表示图象在y轴上的截距．c表示图象在y轴上的截距．
典例解析
【举一反三4】若函数y＝x2＋2(a－2)x＋3在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( B )
A．a≤－2 B．a≥－2 C．a≤－6 D．a≥－6
【提示】易求对称轴为x＝2－a，在x＝4的左侧或与x＝4重合，∴2－a≤4得a≥－2，故选B.
【思路点拨】充分利用二次函数图象，画出二次函数的草图，从图象上分析可得对称轴应在直线x ＝4的左侧，即－(a－2)≤4，解得a≥－2.
(2)若∀x∈R，都有f(x)>0，求实数m的取值范围． (1)(－∞，1] (2)(－3，5)
【解析】 (1)∵二次函数的开口向上，且在(－∞，0)上单调递减，
∴－ m 1 ≥0，则m≤1，即实数m的取值范围为(－∞，1]． (2)∵∀x2∈R，f(x)>0，即x2＋(m－1)x＋4>0恒成立， ∴Δ<0，即(m－1)2－16<0， ∴－4<m－1<4，∴－3<m<5，即实数m的取值范围为(－3，5)．
a>0
图象
定义域值域

11 第二章第四节二次函数与幂函数

又函数f
(x)有最大值8，即4a
－2a&－1 4a
－a2＝8，解得a＝－4.
故f (x)＝－4x2＋4x＋7.
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
求二次函数解析式的方法
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)
自查自测知识点一幂函数 1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
1 (1)函数y＝2x2是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
第二章函数第四节二次函数与幂函数
·考试要求· 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x12，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
第四节二次函数与幂函数
必备知识
落实“四基”
最值
4ac－b2
4ac－b2
当x＝－2ba时，ymin＝_____4_a______ 当x＝－2ba时，ymax＝____4_a___
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
【常用结论】 n
对于形如f (x)＝xm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f (x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f (x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f (x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．

北师版高考总复习一轮理科数精品课第2章函数的概念与性质第4节幂函数与二次函数

(1,0)代入,得
1
a= ,所以
9
1
f(x)= (x+2)2-1,即
9
1 2 4 5
f(x)= x + x- .
9
9 9
考点三
二次函数的图像与性质(多考向探究)
考向1.二次函数的图像
典例突破
例3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,
图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:
选项符合题意,故选C.
考向2.二次函数的单调性与最值
典例突破
例4.(2021新疆乌鲁木齐模拟)若定义在R上的二次函数f(x)的值域为[-4,
+∞),且满足f(1+x)=f(1-x),f(2)=-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[t,t+1]上的最小值g(t).
解:(1)由于f(1+x)=f(1-x),则二次函数f(x)的图像关于直线x=1对称,因为二次
衍生考点
核心素养
1.幂函数的图像与性质
2.二次函数的解析式
3.二次函数的图像
4.二次函数的性质
5.三个“二次”之间的关
系
1.数学抽象
2.直观想象
3.数学运算
4.逻辑推理
强基础增分策略
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 y=xα
叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.
微点拨幂函数的特点:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα图像上的一些特殊
点,如函数图像与y轴的交点,与x轴的交点等.
从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图像,反之,也能从图像中得

2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质

九年级数学(下)第二章《二次函数》
函数表达式
开口方向
a>0, 开口向上; a<0, 开口向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;

中考数学考点系统复习第三章函数第四节二次函数的图象与性质

( C)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．(2021·凉山州)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则
下列结论中不正确的是
( D)
A. abc>0
B．函数的最大值为 a－b＋c
C．当－3≤x≤1 时，y≥0
D．4a－2b＋c<0
6．(2021·贺州)如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于 A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是
小
(2)当 x≥0 时，y 与 x 的几组对应值如下表：
x0

1 2
1
3 2
2
5 2
3…
y0
1 16
1 6
7 16
1
95 48
7 2
…
结合上表，进一步探究发现，当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大．在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x≥0 时的函数 y 的图象．
(3)过点(0，m)(m＞0)作平行于 x 轴的直线 l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线 l 与函数 y＝16|x|(x2－x＋1)(x≥－2)的图象有两个交点，
(3)证明：由题意，得 P＝p2＋p＋1，Q＝q2＋q＋1， ∴P＋Q＝p2＋q2＋4 ＝2(q－1)2＋6≥6，由题意，知 q≠1.∴P＋Q>6.
10．(2020·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中 x1＜x2. (1)若抛物线的对称轴为 x＝1，当 x1，x2 为何值时，y1＝y2＝c； (2)设抛物线的对称轴为 x＝t，若对于 x1＋x2＞3，都有 y1＜y2，求 t 的取值范围．

人教初中数学《二次函数的图象和性质(第4课时)》教案 (公开课获奖)

22.1 二次函数的图象和性质教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）．所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．（课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ，所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．D CA BD CABDC A BⅢ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3．练习1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

2020重庆中考数学复习课件12第三章第四节二次函数的基本性质

A．1 B．2 C．3 D．4
考点二二次函数图象的平移
例3 (2019·绍兴)在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经过变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( ) A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【分析】先将两个二次函数化为顶点式，再确定顶点的平移方向和单位长度，即可得解．【自主解答】∵抛物线C1：y＝(x＋5)(x－3)＝(x＋1)2－16，顶点坐标是 (－1，－16)，抛物线C2：y＝(x＋3)(x－5)＝(x－1)2－16，顶点坐标是 (1，－16)，∴将C1向右平移2个单位可得到C2.故选B.
x1 x2 2
－b 2a (－ b ，4ac b2 ) 2a 4a
(2)利用解析式判断函数图象 y
❷根据二次函数图象判断相关结论
＞
＜
＞
＞
＜
＞
＞
＝
＞
＞
＜
＞
＝
＝
＜
＝
❸二次函数图象与a，b，c的特殊关系
1
－2
知识点三二次函数图象的平移
❶平移的步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可．
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜0
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1， 0)．下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＝0；③2a－b＝0；④4a－2b＋c＞ 0，其中正确的结论个数是( )
1．将抛物线y＝x2＋2向右平移1个单位后，所得新抛物线与y轴的交点坐

2.4.2北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第二课时最大利润

10
x y 160 x 120 6 当x 20时，y最大 19440 10 这时每间客房的日出租金为160+20=180元 3 x 2 24 x 19200 5
3 x 20 2 19440 5
x 0, 且120 0 x 200
解：设单价是 x 元时可以获利为 y 元. 13-x 则 y=(x - 10)(5000 + 500× )=-5000(x-12)2 +20000 0.1 因此厂家批发单价是 12 元时可以获得最大利润
探究活动一例2：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
y=(x-8)[100-10(x-10)] =-10x2+280x-1600
=-10(x-14)2+360
解：设每间客房的日租金提高 x 个 10 元，则每天客房出租数会减少 6x 间。设客房日租金总收入为 y 元则 y=(160+10x)(120-6x)= - 60(x-2)2+19440 ∵x≥0,且 120-6x>0 ∴0≤x<20 ∵- 60<0 ∴当 x=2 时，y 有最大值 19440。这时每间客房的日租金为 160+10×2=180 元。客房总收入最高为 19440 元。答：每Байду номын сангаас客房的日租金提高到 180 元时，客房日租金总收入最高为 19440 元。
b b 4ac b 2 对称轴是直线 x 顶点坐标是 , 2a 2a 4 a b 4ac b 2 当x 时, y有最大或最小值 . 2a 4a

4.第四节二次函数的图象和性质(精练版)

第三章函数第四节二次函数的图象和性质(建议时间：60分钟建议分值：123分)基础过关1. (2016芜湖市二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx ＋a的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限第1题图2. (2016马鞍山市二模)下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是()A. y＝(x－2)2＋1B. y＝(x＋2)2＋1C. y＝(x－2)2－3D. y＝(x＋2)2－33. (2016上海)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是()A. y＝(x－1)2＋2B. y＝(x＋1)2＋2C. y＝x2＋1D. y＝x2＋34. (2016宿迁)若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax ＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝15. (2016合肥市第四次十校联考)对于二次函数y＝x2－4x＋7的图象，下列说法正确的是()A. 开口向下B. 对称轴是x ＝－2C. 顶点坐标是(2，3)D. 与x 轴有两个交点6. (2016沈阳)在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋2x －3的图象如图所示，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是( )A. y 1＜y 2B. y 1＞y 2C. y 的最小值是－3D. y 的最小值是－4第6题图7. (2016陕西)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为( )A. 12B. 55C. 255D. 28. (2016长沙)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a b c b a++-的最小值为3.其中，正确结论的个数为 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. (2016哈尔滨)二次函数y ＝2(x －3)2－4的最小值为________.10. (2016大连)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________.第10题图11. (2016河南)已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________.12. (2016泸州)若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，则1211x x 的值为________. 13. (2016青岛)已知二次函数y ＝3x 2＋c 与正比例函数y ＝4x 的图象只有一个交点，则c 的值为________．14. (12分)(2016合肥市第二次十校联考)在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，－2)．(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；(2)点D 为该抛物线的顶点，设点E (m ，0)(m >2)，如果△BDE 和△CDE 的面积相等，求E 点坐标．15. (12分)(2016湘西节选)如图，长方形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点B (1，4)，和点E (3，0)两点．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)在线段OC 上是否存在一点D ，使得BD ⊥DE ，BD ＝DE ，若存在求点D 的坐标，若不存在，说明理由．第15题图满分冲关1. (2016遂宁) 已知直线y ＝bx －c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标中的图象可能是( )2. (2016天津)已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或33. (2016安徽中考名校大联考)若二次函数的顶点坐标为(－1，3)，且函数图象与y 轴的交点到x 轴的距离为1，则该函数的解析式为______________.4. (2016恩施州改编)抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n 的图象如图所示，下列说法中：①abc <0；②a ＋b ＋c >0；③5a －c ＝0；④当x <12或x >6时，y 1>y 2，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都选上)第4题图5. (12分)如图，过点A(－1，0)，B(3，0) 的抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若抛物线的对称轴上存在点P使S△PCB＝3S△POC，求此时DP的长．第5题图6. (12分)(2016阜阳市校级模拟) 设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为(a，b)、(c，d)，当a＝－c，b＝2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y＝x2＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和二次函数y2＝nx2＋x，函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，求n.答案基础过关1. D 【解析】由抛物线开口向上，可知a >0，由对称轴在y 轴的左侧，可知x ＝－2b a<0，∴b >0，∴直线y ＝bx ＋a 经过第一、二、三象限，则不经过第四象限．2. C 【解析】由抛物线的对称轴为x ＝2，排除B 、D (其对称轴均为x ＝－2)，将点(0，1)代入抛物线排除A ，故选C.3. C 【解析】根据平移变换口诀“左加右减，上加下减”进行解答，把抛物线y ＝x 2＋2的图象向下平移1个单位得抛物线y ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.4. C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a ＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程得到3a ＋c ＝0成立；当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程得到15a ＋c ＝0，与3a ＋c ＝0不相符；当x ＝1时，将(1，0)代入得－a ＋c ＝0，与3a ＋c ＝0不相符；∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.【一题多解】由题意可知x ＝－1是方程ax 2－2ax ＋c ＝0的一个解．∵二次函数图象的对称轴为x ＝－22a a＝1，∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴方程的两个解为x 1＝－1，x 2＝3.5. C 【解析】∵抛物线a ＝1>0，∴抛物线开口向上，故A 错误；抛物线对称轴为x ＝－2b a ＝－－42×1＝2≠－2，故B 错误；将抛物线转化为顶点式为y ＝(x －2)2＋3，顶点坐标为(2，3)，故C 正确；∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×7×1＝－12<0，∴与x 轴没有交点，故D 错误．6. D 【解析】∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴函数的对称轴是x ＝－1，最小值为－4，故C 错误，在－3≤x ≤0上，函数增减性无法确定，故A 、B 错误．7. D 【解析】如解图，根据二次函数y ＝－x 2－2x ＋3图象可知，点A 和点B的纵坐标均为0，令－x 2－2x ＋3＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A (－3，0)，B (1，0)，顶点C 的横坐标为x ＝－2b a ＝－－22×（－1）＝－1，纵坐标为y ＝244ac b a -＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝4，∴点C 的坐标为(－1，4)．过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则CD ＝4，OD ＝1, 又∵OA ＝3，∴AD ＝2，∴tan ∠CAB ＝CD AD ＝42＝2.第7题解图9. －4 【解析】在二次函数顶点式y ＝a (x －m )2＋k 中，当a >0时，在顶点处取得最小值可知，该函数的最小值是－4.10. (－2，0) 【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴，∴M (m ，0)，又∵B (m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C (0，c )，D (m ，c )得，OC ＝DM ，即C 、D 关于对称轴对称，即O 、M 关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A (－2，0)．第10题解图 11. (1，4) 【解析】∵A (0，3)、B (2，3)，两点纵坐标相同，∴A 、B 两点关于直线x ＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－2(1)b ⨯-＝1，解得b ＝2，∵当x ＝0时，y ＝3，∴c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝1时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).12. －4 【解析】由题意可知：x 1，x 2为方程2x 2－4x －1＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12，则11x ＋21x ＝1212x x x x +＝2－12＝－4. 13. 43 【解析】把y ＝3x 2＋c 与y ＝4x 联立并消去y 得3x 2＋c ＝4x ，化简得3x 2－4x ＋c ＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×3c ＝0，解得c ＝43.14. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)，点C (0，－2)，∴102b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得12b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2－x －2，对称轴为直线x ＝12；(2)由x 2－x －2＝0可得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为B (2，0)，顶点坐标为D (12，－94)．若△BDE 和△CDE 的面积相等，则DE ∥BC ，则直线BC 的解析式为y ＝x －2，设直线DE 的解析式为y ＝x ＋d ，将点D (12，－94)代入得d ＝－114，∴直线DE 的解析式为y ＝x －114，当y ＝0时，m ＝114，∴E (114，0)．15. 解：(1)将点B (1，4)，点E (3，0)代入抛物线得4930a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得26a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋6x ，对称轴为x ＝－62×（－2）＝32；(2)设点D 的坐标为(0，t )，则OD ＝t ，DC ＝4－t ，分别在Rt △ODE 和Rt △BCD 中，根据勾股定理得32＋t 2＝12＋(4－t )2，解得t ＝1，∴存在这样的点D ，其坐标为(0，1)．满分冲关1. C 【解析】在A 中，抛物线的对称轴在y 轴右边，∴－2b a＞0，∵a ＞0，∴b ＜0；而从一次函数图象知：b ＞0，∴选项A 错误；在B 中，抛物线对称轴在y轴右边，∴抛物线对称轴－2b a＞0，∵a ＜0，∴b ＞0；从一次函数图象知：b ＜0，∴选项B 错误；在C 中，抛物线的对称轴在y 轴左边，∴－2b a＜0，∵a ＞0，∴b ＞0；抛物线与y 轴负半轴相交，∴c ＜0；而从一次函数图象知：b ＞0，－c ＞0，∴c ＜0，∴选项C 正确；在D 中，抛物线中c ＞0，而一次函数中－c ＞0，即c ＜0，∴选项D 错误．2. B 【解析】∵二次函数y ＝(x －h )2＋ 1，∴二次函数的对称轴为直线x ＝h ，∴二次函数值在x <h 时，y 随x 的增大而减小，在x >h 时，y 随x 的增大而增大，∴①当h ＜1时，在1≤x ≤3中，x ＝1时二次函数有最小值，此时(1－h )2＋ 1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②当1≤h ≤3时，x ＝h 时，二次函数的最小值为1；③当h ＞3时，在1≤x ≤3中，x ＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h )2＋ 1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)，综上所述，h 的值为－1或5.3. y ＝－2(x ＋1)2＋3或y ＝－4(x ＋1)2＋3 【解析】∵二次函数图象的顶点坐标是(－1，3)，∴设这个二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋3(a ≠0)，∵二次函数的图象与y 轴的交点到x 轴的距离为1，∴交点坐标为(0，1)或(0，－1)，把(0，1)代入y ＝a (x ＋1)2＋3，得1＝a ＋3，解得a ＝－2，则这个二次函数的解析式为y ＝－2(x ＋1)2＋3；把(0，－1)代入y ＝a (x ＋1)2＋3，得－1＝a ＋3，解得a ＝－4，则这个二次函数的解析式为y ＝－4(x ＋1)2＋3.故答案为y ＝－2(x ＋1)2＋3或y ＝－4(x ＋1)2＋3.4. ①③④ 【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与y 轴交点在正半轴，∴c ＞0，∵对称轴x ＝－2b a>0，∴b ＜0，∴abc ＜0，故①正确；由图象可知抛物线对称轴为x ＝3，则当x ＝5和x ＝1对应的函数值相同，即当x ＝1时，y ＝0.∴a＋b ＋c ＝0，故②错误；∵x ＝－2b a＝3，解得b ＝－6a ，∴a －6a ＋c ＝c －5a ＝0，∴5a －c ＝0，故③正确；根据函数图象可知，当x <12或x ＞6时，y 1在y 2的上方，∴当x <12或x ＞6时，y 1＞y 2，故④正确．5. 解：(1)将A (－1，0)，B (3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：b ＝2，c ＝3，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点D 的坐标为(1，4)；(2)设BC 与抛物线的对称轴交于点F ，如解图所示：则点F 的横坐标为1，第5题解图∵y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，∴OC ＝3，∴S △POC ＝12×3×1＝32，∵S △PCB ＝S △PCF ＋S △PBF ＝12PF (1＋2)＝3×32，解得PF ＝3，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋a ，则330a k a =⎧⎨+=⎩，解得：a ＝3，k ＝－1，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，当x ＝1时，y ＝2，∴F 的坐标为(1，2)，∴EF ＝2，当点P 在F 的上方时，PE ＝PF ＋EF ＝5，∴DP ＝5－4＝1；当点P 在F 下方时，PE ＝PF －EF ＝3－2＝1，∴DP ＝4＋1＝5，综上所述，DP 的长为1或5.6. 解：(1)∵y ＝x 2＋x ＋1，∴y ＝(x ＋12)2＋34，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的顶点坐标为(－12，34)，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(12，38)，∴所求二次函数的解析式为y ＝x 2－x ＋58；(2)y 1＋y 2＝x 2＋nx ＋nx 2＋x ＝(n ＋1)x 2＋(n ＋1)x ，y 1＋y 2＝(n ＋1)(x 2＋x ＋14)－14n +＝(n ＋1)(x ＋12)2－14n +， ∴顶点的坐标为(－12，－14n +)， y 1－y 2＝x 2＋nx －nx 2－x ＝(1－n )x 2＋(n －1)x ，y 1－y 2＝(1－n )(x 2－x ＋14)－14n -＝(1－n )(x －12)2－14n -， ∴顶点的坐标为(12，－14n -)，由于函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，则－2×14n -＝－14n +，解得n ＝13.。

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第2章“函数、方程与不等式”的第4节内容。

本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数联系起来，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数的应用。

同时，运用讨论法、案例分析法等教学方法，提高学生的参与度和积极性。

六. 教学准备1.教材：《北师大版九年级数学下册》。

2.教学课件：根据教学内容制作的课件。

3.练习题：针对本节课内容设计的练习题。

4.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线形的跳板，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题，讲解二次函数在实际生活中的应用。

通过例题，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

二次函数第4节

九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件

22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(教案)

2024年人教版数学九年级上册必备书序第一部分第三章第4节-课件

北师版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 二次函数与幂函数

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件

2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积

第2章---第4节

中考数学 精讲篇 考点系统复习 第三章 函数 第四节 大中小二次函数的图像与性质

第四节 二次函数的图象和性质

11 第二章 第四节 二次函数与幂函数

北师版高考总复习一轮理科数精品课 第2章 函数的概念与性质 第4节 幂函数与二次函数