积分变换第1讲
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积分变换-1 傅立叶变换
1-2 傅立叶变换
傅里叶正弦积分公式： 2 f (t ) f ( ) sin d sin td 0 0 傅里叶正弦变换式（正弦变换）：
Fs ( ) f (t ) sin tdt 0 傅里叶正弦逆变换式：
f (t )
a bn n a n cos n t bn sin n t a n2 bn2 cos n t sin n t a2 b2 a n2 bn2 n n
an a b
2 n 2 n
sin n
bn a b
2 n 2 n
cos n
[解]
sin x g ( x) 2 1 x
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频
谱 1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
a0 f T (t ) (a n cos n t bn sin n t ) 2 n 1
1-2 傅立叶变换
1, 0 t 1 [例5]求函数 f (t ) 0, t 1 的正弦变换和余
弦变换。 [解] Fs ( ) Fs [ f (t )] ˆ
0
f (t ) sin tdt |
1 0
sin tdt
0
1
cos t
1 cos
1-1 傅立叶积分公式
如果 f T (t ) 是以T为周期的周期函数，并且在 T T , 上满足狄利克雷（Dirichlet）条件： 2 2 T T 即函数在 2 , 2 上满足： 1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、 至多只有有限个极值点。 T T 那么 f T (t ) 在 2 , 2 上的连续点t处，可以展开 成傅里叶级数。若t是的间断点，则 1 f T (t ) [ f (t 0) f (t 0)] 2
数理方法-第一章-积分变换
−l −1 i kπx f (x) = e l , 1 + k2 π2 k=−∞
2.1. 傅立叶级数
41
2.1.3 有限区间上函数的傅立叶级数展开
在很多物理问题中，物理量f (x) 是被限制在物理系统之内的，即f (x) 是定义在一个有 限区间[0, l] 上的， 它并不是周期函数。为了运用上一节所讨论过的傅立叶级数方法来研究问 题，我们需要对此有限区间上的函数进行拓展，人为地构造出一个新的周期函数，而这个新 的周期函数在我们所讨论关心的区间[0, l]上与原来所要研究的函数f (x)完全一致。 以上这段话给出了用傅里叶级数方法来研究有限区间函数的一般性和方法。 单从这段话 看，似乎对于有限区间函数的延拓有许多不同的途径和方法。但，一个限定在有限区间上的 函数必然有其相应的边界条件， 这个边界条就极大地限制了我们进行周期函数延拓的途径并 最终确定了函数延拓的方案。 最常用最基本的函数的延拓有奇延拓和偶延拓两种， 分别对应于函数f (x) 的两中不同的 边界条件。 我们首先来讨论奇延拓的情形。对函数f (x)进行奇延拓所需满足的边界条件： f (x) 为定 义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
kπx , x ∈ [0, l] l kπx dx. l (2.18)
bk
=
2 l
ˆl F (x) sin
0
另一种基本的也是常见的延拓是偶延拓， 而进行偶延拓的条件为： f (x) 为定义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
0
bk =
] kπx πA [ 1 − (−1)k , dx = l k
于是， 我们就得：
2.1. 傅立叶级数
41
2.1.3 有限区间上函数的傅立叶级数展开
在很多物理问题中，物理量f (x) 是被限制在物理系统之内的，即f (x) 是定义在一个有 限区间[0, l] 上的， 它并不是周期函数。为了运用上一节所讨论过的傅立叶级数方法来研究问 题，我们需要对此有限区间上的函数进行拓展，人为地构造出一个新的周期函数，而这个新 的周期函数在我们所讨论关心的区间[0, l]上与原来所要研究的函数f (x)完全一致。 以上这段话给出了用傅里叶级数方法来研究有限区间函数的一般性和方法。 单从这段话 看，似乎对于有限区间函数的延拓有许多不同的途径和方法。但，一个限定在有限区间上的 函数必然有其相应的边界条件， 这个边界条就极大地限制了我们进行周期函数延拓的途径并 最终确定了函数延拓的方案。 最常用最基本的函数的延拓有奇延拓和偶延拓两种， 分别对应于函数f (x) 的两中不同的 边界条件。 我们首先来讨论奇延拓的情形。对函数f (x)进行奇延拓所需满足的边界条件： f (x) 为定 义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
kπx , x ∈ [0, l] l kπx dx. l (2.18)
bk
=
2 l
ˆl F (x) sin
0
另一种基本的也是常见的延拓是偶延拓， 而进行偶延拓的条件为： f (x) 为定义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
0
bk =
] kπx πA [ 1 − (−1)k , dx = l k
于是， 我们就得：
第六章积分变换法1nx
重复以上过程便可以得到证明
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
页 退出
复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
页 退出
复变函数与积分变换
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定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
页 退出
复变函数与积分变换
所以 类似可得
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积分变换第1讲
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
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24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
数理方法-第一章-积分变换
2.1. 傅立叶级数
39
我们再来看这组三角函数族
cos kπx kπx , sin , k = 0, 1, 2, · · · , ∞, l l (2.8)
它们其实构成了周期为2l的函数所构成的函数空间上的一组正交完备的基底。它们的正交性 前面已经看到。对于其完备性，数学上有严格的证明，我们这里限于篇幅将不对此进行严格 的论述， 但我们不妨进行一个形象的讨论。 首先是函数的2l周期性： 为了将任一个2l周期函数 的周期性完全地反映出来，我们必须要求这个函数基底成员的周期长度包含所有的可能性， 即对于任意个整数k， 都能在这个函数基底中找到一个成员， 它的周期为2l/k；另一方面是函 数的奇偶性：任何一个函数都可分解为奇函数部分和偶函数部分，因此这个函数基底也必须 完整地体现出这个奇偶性。从这两点来看， （2.8）式中的三角函数族完整地体现了这两点， 它 包含了完整的2l周期性及函数的奇偶性， 因此， 从这个角度， 我们大致可以一种不太严格的方 式理解和明了这个三角函数基底的完备性。
−l
k=1
其中的展开系数分别为
1 a0 = 2l 1 ak = l 1 l ˆl f (x) sin
−l
1 f (x)dx 2l
ˆl Adx =
0
A , 2 kπx dx = 0, l
ˆl
−l
kπx 1 f (x) cos dx = l l kπx 1 dx = l l
∞
ˆl A cos
0
ˆl A sin
f (x) =
∞ ∑ k=−∞
(2.10)
ck e
i kπx l
,
1 ck = 2l
ˆl
f (x) e−i
kπx l
积分变换第一章
变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
复变函数与积分变换：1节
一般地,若 f (t为) 周期函数 f (t T ) f (t) (T 0)
则
L[
f
(t )]
1
1 esT
T f (t ) estdt
0
3、关于拉氏变换的积分下限问题
对于满足拉氏变换存在定理条件的函数 f (t) ,在 t 0附近有界时, f (0)取什么值与讨论 f (t)的拉氏变换 毫无关系。因为 f (t) 在一点上的值不会影响积分值。 此时下限取为 0或 0都可以。但是如果 f (t)在t 0包含 了脉冲函数，则必须区分积分区间是否包括 t 0 ，如 果包括，则记下限为 0 ，不包括时，下限记为 0。于 是得出不同的拉氏变换，记为
为此考虑积分 um eudu AB
A, B分别对应的复数为 re j , Re j 取如图所示路径C，则
umeudu 0 C
即 0 ED DB BA AE
L
B
A
u re j
E
u Re j
D
从而
AB
EA ED DB
umeudu r m e jm ere j rje j d
一个邻域，这样拉氏变换的定义变为
L-[ f (t)]
f (t ) es tdt
0
为书写方便仍写成
L[ f (t )] f (t ) es tdt 0
例6：求单位脉冲函数拉氏变换 L[ (t)]
解： L[ (t )] (t ) es tdt 0
= L-[ f (t)]
(t ) es tdt
f (t ) e( j )tdt f (t ) estdt
0
0
f (t) (t) u(t)
则有 F (s)
s j f (t ) estdt
积分变换第1讲
的频谱图. 解： F ( )
f ( t )e i t dt
a 2e i t dt
E e i t i
a sin . 2 2E
24
频谱为 | F ( ) | 2 E | sin a | .
i
i
.
a0 fT ( t ) 2 e i n t e i n t e i n t e i n t a n ibn 2 2 n 1 a0 a n ibn i n t a n ibn i n t e e . 2 2 2 n 1
则在连续点处，有
6
a0 fT (t ) ( a n cos n t bn sin n t ). (1 ) 2 n 1
其中
2 a0 T 2 an T 2 bn T
T 2 T 2
fT ( t ) d t ,
2 , T
T 2
T 2 T 2
f T ( t ) cos nt dt ( n 1,2, ), f T ( t ) sin nt dt ( n 1,2, ).
所以 | F ( ) | f ( t ) cos tdt f ( t ) sin tdt , 显然有 | F ( ) || F ( ) | .
2 2
F ( )的 辐 角 arg F ( ) 称 为 f ( t ) 相 角 频 谱 .
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K (t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
2
复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数
|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
复变函数与积分变换第1章
（1）乘积与商的几何意义
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有|z|<R，则D是
有界区域；否则无界。
r2
(1) 圆环域: r1zz0r2;
r1z0
(2) 上半平面: Im z0;
y
(3) 角形域: arzg;
(4) 带形域: a Im z b .
o
x
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有的
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctayn
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
2
x2
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r 2 m gm z 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
积分变换第1讲-课件
11
这是因为
p e j(n-m) d =
1
p
e j(n-m)
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m)p - e- j(n-m)p ]
j(n - m)
=
1
e- j(n-m)p [e j2(n-m)p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ip k = c2 o k s is2 i kn = 1
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f || = [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f (t ) g (t ) d t -T 2
这样可令
T
T
2 - T 2
nwt d t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwt d t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwt d t =
m =1
2
=
bn
T
2 sin
-T 2
(n, m = 1,2,3,, n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3,, n m), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
复变函数和积分变换1
cosisini
22
§1.2.5 复数的乘方与开方
zrco issin
乘方
z n r c o i ss i n n r n cn o i ss n i n
r=1 co is sin n cn o is sn in
德摩弗（De )公式
§1.2.5 复数的乘方与开方
z1 z2
z1 z2
,Argzz1 2Ar1gA z r2gz
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
例1.5 用三角表示计算 1 3 i3 i
解： 1 3i2cosisin
3 3
3i2 co s6 5 isi n6 5
1 3 i3 i 4 c o 2 s is i n 2 4 i
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
复数 zxiy
实部
虚数单位 i2=-1
虚部
Rze x,Im zy z 2i Rez 2,Imz1
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
纯虚数 iy
复数相等
共轭复数
zxiy z x iy
z z
§1.1 复数
§1.1.2 复数的四则运算
z1x1iy1 z2x2iy2
写成复数形式为：
z z 1 z 2 x 1 t 0 t 1
§1.3.3 平面曲线
§1.3.3 平面曲线
若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们都以
该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个 是无界区域，称为外部。
设D是一区域，如果对D内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D， 则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域。
22
§1.2.5 复数的乘方与开方
zrco issin
乘方
z n r c o i ss i n n r n cn o i ss n i n
r=1 co is sin n cn o is sn in
德摩弗（De )公式
§1.2.5 复数的乘方与开方
z1 z2
z1 z2
,Argzz1 2Ar1gA z r2gz
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
例1.5 用三角表示计算 1 3 i3 i
解： 1 3i2cosisin
3 3
3i2 co s6 5 isi n6 5
1 3 i3 i 4 c o 2 s is i n 2 4 i
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
复数 zxiy
实部
虚数单位 i2=-1
虚部
Rze x,Im zy z 2i Rez 2,Imz1
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
纯虚数 iy
复数相等
共轭复数
zxiy z x iy
z z
§1.1 复数
§1.1.2 复数的四则运算
z1x1iy1 z2x2iy2
写成复数形式为：
z z 1 z 2 x 1 t 0 t 1
§1.3.3 平面曲线
§1.3.3 平面曲线
若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们都以
该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个 是无界区域，称为外部。
设D是一区域，如果对D内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D， 则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域。
积分变换第一章1-2节
-
0
e
- t - jw t
e
dt
1 - jw 2 2 jw w
这就是指数衰减函数的Fourier变换.
0
e
- ( jw ) t
dt
根据(1.9)式, 有
-1
1 jw t f (t ) =ℱ F (w) F ( w ) e dw 2p - 1 - jw jw t e dw 2 2 2p - w
1 f (t ) 2p
-
f ( )e- jw d e jw t d w (1.7) -
设 F (w ) 则
-
f ( t )e
-
- jw t
dt
jw t
(1.8) (1.9)
1 f (t ) 2p
F (w )e d w
(1.8)式叫做f(t)的Fourier变换式, (1.9)式为F(w)的 Fourier逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为 F(w)= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F(w)]
a0 an - jbn jnwt an jbn - jnwt ( e e ) 2 n1 2 2 T a0 1 2 c0 T fT (t )dt 2 T -2
T 2 T 2 T 2 T 2
an - jbn 1 cn [ fT (t ) cos nwtdt - j fT (t ) sin nwtdt] 2 T T 1 T 1 2T fT (t )[cosnwtdt - j sin nwt ]dt 2T fT (t )e - jnwt dt T -2 T -2
0
e
- t - jw t
e
dt
1 - jw 2 2 jw w
这就是指数衰减函数的Fourier变换.
0
e
- ( jw ) t
dt
根据(1.9)式, 有
-1
1 jw t f (t ) =ℱ F (w) F ( w ) e dw 2p - 1 - jw jw t e dw 2 2 2p - w
1 f (t ) 2p
-
f ( )e- jw d e jw t d w (1.7) -
设 F (w ) 则
-
f ( t )e
-
- jw t
dt
jw t
(1.8) (1.9)
1 f (t ) 2p
F (w )e d w
(1.8)式叫做f(t)的Fourier变换式, (1.9)式为F(w)的 Fourier逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为 F(w)= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F(w)]
a0 an - jbn jnwt an jbn - jnwt ( e e ) 2 n1 2 2 T a0 1 2 c0 T fT (t )dt 2 T -2
T 2 T 2 T 2 T 2
an - jbn 1 cn [ fT (t ) cos nwtdt - j fT (t ) sin nwtdt] 2 T T 1 T 1 2T fT (t )[cosnwtdt - j sin nwt ]dt 2T fT (t )e - jnwt dt T -2 T -2
积分变换 课件-课件
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sin n td(tn1,2,3, )
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnjewnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
sin x d x sinc( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2 s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F 2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t 0 的 傅 氏 变 换 及 其 t 0
积 分 表 达 式 ,其 中 0 .
ejn t co n stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn itn ( 1 .3 .9 )
co nts1(ej nt ej nt) (1 .3 .1)0 2
sin nt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
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同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即
F -1[aF1(w)+F2(w)]=af1(t)+f2(t) (1.14)
2. 位移性质
F [ f (t t0 )] e F jwt0 [ f (t)]
证 由傅氏变换的定义, 可知
(1.15)
F
[ f (t t0 )]
-
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
(t) d t
f
(t0 )
d-函数的傅氏变换为:
F (w) F [d (t)]
d
(t) e-
jwt d
t
e-
jwt
1
-
t0
d(t)
1
F(w)
1
O
t
O
w
可见, 单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏
变换对. 同理, d(t-t0)和e- jwt0 亦构成了一个
傅氏变换对.
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT
(t)
a0 2
Hale Waihona Puke n1(ancos mwt
bn
sin
nwt)
(1.1)
其中
a0
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
an
2 T
T 2 -T 2
fT (t) cos nwt d t (n 1,2,)
积分变换
第1讲
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
1
cn T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
(n 0,1,2,)
fT (t) cne jwnt n-
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
nt
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个 数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)
进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的
电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
0, t 0;
q(t) 1, t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
d q(t)
q(t t) - q(t)
i(t)
,其中 0.这个f (t)叫做指数
衰减函数, 是工程技术中常碰到的一个函数.
f(t)
t
根据(1.8)式, 有
F (w ) F [ f (t)] f (t) e-jwtd t - e-te- jwtd t 0 e-( jw )td t 0 1 - jw jw 2 w 2
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
t f (t) d t的意思其实是 t f (u) d u,
-
-
即我们看到 t f (t) d t时必须将它理解为 -
t
f (u) d u -
例如 t etd t t eud u eu t et - e- et
f
(t
t0
)
e-
jwt
d
t
(令t t0 u)
f (u) e- jw (ut0 )d u
-
e jwt0 f (u) e- jwud u e jwt0 F [ f (t)] -
同理有
F -1[F (w w0 )] f (t) e jw0t
微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函
数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线
段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的
强度.
d(t)
1
O
t
d-函数有性质
d (t) d t 1 -
d (t) f (t) d t f (0) -
及
d (t
-
- t0) f
lim
d t t0
t
所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从 而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求 导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) - q(0) lim - 1
t 0
t
t0 t
f (t) 1
2p
-
-
f
( )e- jw
d
e
jwt
dw
(1.4)
成立,而左端的f (t)在它的间断点t处,应以
f (t 0) f (t - 0) 来代替. 2
在(-,)绝对可积是指的
|
f (t) | d t收敛
-
傅氏变换
1.傅氏变换的概念
-
-
-
且有 d t f (t) d t d t f (u) d u f (t)
d t -
d t -
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t) d t 0 -
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t)] f (t) e-jwtd t -
f (t) e-jwt jw f (t) e-jwtd t
足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足
条件
| f (t) | d t -
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余
弦函数等。
傅氏变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙 述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求 傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条 件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
lim
T
fT (t)
f (t)
f(t)
O
t
fT1(t)
O
t
fT2(t)
由公式
fT
(t)
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jwnt
可知
f
(t) lim 1 T T
n-
T 2 -T 2
2
bn T
T 2 -T 2
fT (t) sin nwt d t
(n 1,2,)
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由cosj
e jj
e- jj
, sin
j
-
e jj j
- e- jj
得:
2
2
fT
(t)
a0 2
an
n1
e jnwt
e- jnwt 2
2
- j 1 T
T
2 -T
fT (t) sin
nwt d t
2
1 T
T
2 -T
fT (t)[cos nwt -
j sin
nwt]d t
2
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jnwt d t
2
而
c-n
an
jbn 2
cn
1 T
T
2 -T
fT (t)e jnwt dt
F -1[aF1(w)+F2(w)]=af1(t)+f2(t) (1.14)
2. 位移性质
F [ f (t t0 )] e F jwt0 [ f (t)]
证 由傅氏变换的定义, 可知
(1.15)
F
[ f (t t0 )]
-
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
(t) d t
f
(t0 )
d-函数的傅氏变换为:
F (w) F [d (t)]
d
(t) e-
jwt d
t
e-
jwt
1
-
t0
d(t)
1
F(w)
1
O
t
O
w
可见, 单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏
变换对. 同理, d(t-t0)和e- jwt0 亦构成了一个
傅氏变换对.
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT
(t)
a0 2
Hale Waihona Puke n1(ancos mwt
bn
sin
nwt)
(1.1)
其中
a0
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
an
2 T
T 2 -T 2
fT (t) cos nwt d t (n 1,2,)
积分变换
第1讲
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
1
cn T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
(n 0,1,2,)
fT (t) cne jwnt n-
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
nt
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个 数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)
进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的
电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
0, t 0;
q(t) 1, t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
d q(t)
q(t t) - q(t)
i(t)
,其中 0.这个f (t)叫做指数
衰减函数, 是工程技术中常碰到的一个函数.
f(t)
t
根据(1.8)式, 有
F (w ) F [ f (t)] f (t) e-jwtd t - e-te- jwtd t 0 e-( jw )td t 0 1 - jw jw 2 w 2
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
t f (t) d t的意思其实是 t f (u) d u,
-
-
即我们看到 t f (t) d t时必须将它理解为 -
t
f (u) d u -
例如 t etd t t eud u eu t et - e- et
f
(t
t0
)
e-
jwt
d
t
(令t t0 u)
f (u) e- jw (ut0 )d u
-
e jwt0 f (u) e- jwud u e jwt0 F [ f (t)] -
同理有
F -1[F (w w0 )] f (t) e jw0t
微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函
数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线
段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的
强度.
d(t)
1
O
t
d-函数有性质
d (t) d t 1 -
d (t) f (t) d t f (0) -
及
d (t
-
- t0) f
lim
d t t0
t
所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从 而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求 导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) - q(0) lim - 1
t 0
t
t0 t
f (t) 1
2p
-
-
f
( )e- jw
d
e
jwt
dw
(1.4)
成立,而左端的f (t)在它的间断点t处,应以
f (t 0) f (t - 0) 来代替. 2
在(-,)绝对可积是指的
|
f (t) | d t收敛
-
傅氏变换
1.傅氏变换的概念
-
-
-
且有 d t f (t) d t d t f (u) d u f (t)
d t -
d t -
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t) d t 0 -
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t)] f (t) e-jwtd t -
f (t) e-jwt jw f (t) e-jwtd t
足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足
条件
| f (t) | d t -
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余
弦函数等。
傅氏变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙 述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求 傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条 件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
lim
T
fT (t)
f (t)
f(t)
O
t
fT1(t)
O
t
fT2(t)
由公式
fT
(t)
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jwnt
可知
f
(t) lim 1 T T
n-
T 2 -T 2
2
bn T
T 2 -T 2
fT (t) sin nwt d t
(n 1,2,)
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由cosj
e jj
e- jj
, sin
j
-
e jj j
- e- jj
得:
2
2
fT
(t)
a0 2
an
n1
e jnwt
e- jnwt 2
2
- j 1 T
T
2 -T
fT (t) sin
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