山东省临沂市2017届高三数学三模试题 文(含解析)

2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足（1﹣i）z=2+3i（i为虚数单位），则复数z对应点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合A={y|y=cosx，x∈R}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是（）
A．当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理
B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理
C．命题的否定是￢P：∀x∈R，e x＞x
D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小
4．过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A、B两点，则AB=（）
A．B． C．6 D．
5．已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．我国古代名著《考工记》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如图给出的是计算截取了6天所剩棰长的程序框图，其中判断框内应填入的是（）
A．i≤16？B．i≤32？C．i≤64？D．i≤128？
7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）
A． B．
C．D．
8．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范
围是（）
A． B． C． D．
9．已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到
D．函数f（x）在区间上是增函数
10．已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则
的最小值为（）
A．2 B．C．4 D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．
11．己知函数，则
= ．
12．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）∥，则m= ．
13．已知角α的终边过点A（3，4），则cos（π+2α）= ．
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
15．已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，若函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，则实数a的取值范围为．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求B；
（II）若a+c=5，△ABC的面积为，求b．
17．某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
已知满意度等级为基本满意的有136人．
（I）求表中a的值及不满意的人数；
（II）特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2
人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在C． D．
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：A={y|y=cosx}={y|﹣1≤y≤1}=，
B={y|y=2x，x∈A}=[，2]
则A∩B=[，1]
故选：A．
3．下列说法中正确的是（）
A．当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理
B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理
C．命题的否定是￢P：∀x∈R，e x＞x D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】A，当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是演绎推理；
B，在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是类比推理；
C，“＜“的否定是“≥“；
D，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小；【解答】解：对于A，当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是演绎推理，故错；
对于B，在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是类比推理，故错；
对于C，命题的否定是￢P：∀x∈R，e x ≥x，故错；
对于D，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，正确；
故选：D
4．过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A、B两点，则AB=（）
A．B．C．6 D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】求出过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线方程，双曲线的两条渐近线方程，联立求出A，B坐标，即可．
【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线方程为x=1，
双曲线的两条渐近线方程为y=±
由得A（1，），同理得B（1，﹣）
∴，
故选：B
5．已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】LW：直线与平面垂直的判定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据面面垂直的性质可知a⊥b，两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据“若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件”即可得到结论．
【解答】解：∵a⊥α，α⊥β
∴a∥β或a⊂β
又∵b⊥β，a⊄β
∴a⊥b
反之a⊥b则α⊥β也成立，
故选C．
6．我国古代名著《考工记》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如图给出的是计算截取了6天所剩棰长的程序框图，其中判断框内应填入的是（）
A．i≤16？B．i≤32？C．i≤64？D．i≤128？
【考点】EF：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，
可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：S=1﹣，i=4，
第2次循环：S=1﹣﹣，i=8，
第3次循环：S=1﹣﹣﹣，i=16，…
依此类推，第6次循环：S=1﹣﹣﹣﹣…﹣，i=128，
此时不满足条件，退出循环，
其中判断框内应填入的条件是：i≤64？，
故选：C．
7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）
A． B．
C．D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．
【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，
当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，
故选：D．
8．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范
围是（）
A． B． C． D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：
∴x≥0，y≤2，∴z=3|x|+|y﹣2|=3x﹣y+2，
由z=3x﹣y+2得y=3x﹣z+2，
平移直线y=3x﹣z+2，由图象可知当直线y=3x﹣z+3经过点A时，直线y=3x﹣z+3的截距最大，
此时z最小，
由，解得A（0，1），
此时z min=3×0﹣1+2=1，
当直线y=3x﹣z+2经过点B（2，0）时，直线y=3x﹣z+2的截距最小，此时z最大，
此时z max=3×2﹣0+2=8，
故1≤z≤8，
故选：A．
9．已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到
D．函数f（x）在区间上是增函数
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．
【解答】解：函数
，
化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin
（2x+）
最小正周期T=．∴A对．
令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．
函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），∴C不对．
令2x+≤上单调递增，可得：，
∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．
故选：C．
10．已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则
的最小值为（）
A．2 B．C．4 D．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；%H：三角形的面积公式．
【分析】先根据三角形的面积和内切圆半径也为l，得到a+b+c=2，则根据导数的和函数的最值的关系即可求出最值．
【解答】解：∵△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴（a+b+c）×1=1，
即a+b+c=2，
即a+b=2﹣c，
∴0＜c＜2
∴=+=+﹣1，
设f（x）=+﹣1，0＜x＜2，
∴f′（x）=﹣=，
令f′（x）=0，解得x=﹣2+2，
当x∈（0，﹣2+2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（﹣2+2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（﹣2+2）=2+2，
故的最小值为2+2，
故选：D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．
11．己知函数，则=
．
【考点】3T：函数的值．
【分析】先求出f（）==﹣2，从而=f（﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=﹣=．
故答案为：．
12．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）∥，则m= ﹣．
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】根据题意，由向量加法的坐标计算公式可得（+）的坐标，结合向量平行的坐标计算公式可得（﹣2）×4=3×（m﹣2），解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量=（1，m），=（3，﹣2），
则（+）=（4，m﹣2），
若（+）∥，则有（﹣2）×4=3×（m﹣2），
解可得m=﹣；
故答案为：﹣
13．已知角α的终边过点A（3，4），则cos（π+2α）= ．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】根据任意三角函数的定义求出cosα的值，化简cos（π+2α），根据二倍角公式即可得解．
【解答】解：角α的终边过点A（3，4），即x=3，y=4．
∴r==5．
那么cosα=．
则cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣=．
故答案为：．
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．然后由正方体体积减去三棱锥体积得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．
∴该几何体的体积为
V=．
故答案为：．
15．已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，若函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】利用导数判断x≥0时，f（x）=x3﹣4x的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点转化为即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．求出过（2，0）与曲线f（x）=﹣x3+4x （x＜0）相切的直线的斜率，则答案可求．
【解答】解：f（x）=x3﹣4x（x≥0），
f′（x）=3x2﹣4=，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
∴当x=时，f（x）有极小值为．
函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．
也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．
如图：
∵函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，
∴当x＜0时，f（x）=﹣x3+4x．
设过（2，0）的直线与曲线f（x）=﹣x3+4x相切于点（），
则，∴切线方程为
．
代入（2，0），得，
即（x+1）（x﹣2）2=0，得x=﹣1．
∴切线的斜率为a=﹣3×（﹣1）2+4=1．
则实数a的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求B；
（II）若a+c=5，△ABC的面积为，求b．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得，
（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得==，∴b2﹣c2=a2﹣ac，
∴a2+c2﹣b2=ac，
由余弦定理，得cosB==，
∵B∈（0，π），
∴B=，
（Ⅱ）∵△ABC的面积为，
∴S△ABC=acsinB=ac=，
∴ac=6，
由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）=25﹣2×6×=7，
∴b=．
17．某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
已知满意度等级为基本满意的有136人．
（I）求表中a的值及不满意的人数；
（II）特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在[40，50）的概率；
（III）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断是否能获奖，并说明理由．（注：满意指数
=）
【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（I）由频率和为1列方程求出a的值，根据比例关系求出不满意的人数；
（II）按分层抽样原理抽取6人，利用列举法求出所有的基本事件数，计算对应的概率值；（III）计算师生的满意指数，即可得出结论．
【解答】解：（I）由频率和为1，得
（0.002+0.004+0.014+0.020+a+0.025）×10=1，
解得a=0.035，
设不满意的人数为x，则
（0.002+0.004）：（0.014+0.020）=x：136，
解得x=24；
（II）按评分分层抽取6人，应在评分在[40，50）的师生中抽取2人，分别记作A、B，
在评分在[50，60）的师生中抽取4人，分别记为c、d、e、f，
从这6人中选2人的所有基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，
其中恰有1人评分在[40，50）包含的基本事件为
Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共8种，
记“2人中恰有1人的评分在[40，50）”为事件A，则P（A）=；
（III）师生的满意指数为
×（45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25）=0.807；
师生的满意指数不低于0.8，可获评“教学管理先进单位”．
18．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．
（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；
（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出SO⊥平面OBC，从而SO⊥BC，再求出OD⊥BC，从而BC⊥平面SOD，由此能证明平面SBC⊥平面SOD．
（Ⅱ）求出∠COD=60°，OD=1，OC=2，SO=，SA=，由此能求出该圆锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知SO⊥平面OBC，
又BC⊂平面OBC，∴SO⊥BC，
在△OBC中，OB=OC，CD=BD，
∴OD⊥BC，
又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，
又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．
解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，
∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，
∵CD=，∴OD=1，OC=2，
在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=，
在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=，
∴该圆锥的侧面积为．
19．己知数列{a n}中，a1=2，对任意正整数n，都有a n+1﹣a n=2n．
（I）求数列{a n}的通项公式：
（II）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（I）a1=2，对任意正整数n，都有a n+1﹣a n=2n．可得n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．
（II）设
b n===1+
，利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（I）a1=2，对任意正整数n，都有a n+1﹣a n=2n．∴n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n．
n=1时上式也成立．
∴a n=2n．
（II）设
b n===1+
，
∴数列{b n}的前n项和
T n=n+++…+
=n+
=n+．
20．已知函数f（x）=lnx﹣+1．
（I）证明：曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（II）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x恒成立，求整数a的最小值．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；
（II）构造函数g（x）=lnx﹣+1﹣（a﹣1）x，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx﹣+1．
∴f'（x）=﹣ax，
∴f'（1）=1﹣a，f（1）=﹣a+1，
∴在x=1处的切线为y﹣（﹣a+1）=（1﹣a）（x﹣1），
∴y=﹣a（x﹣）+x，恒过（，）；
（II）令g（x）=lnx﹣+1﹣（a﹣1）x≤0恒成立，
∵g'（x）=，
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）递增，
g（1）=﹣a+2＞0，不成立；
（2）当a＞0时，
当x在（0，）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x在（，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减，
∴函数最大值g（）=﹣lna，
令h（a）=﹣lna，可知为减函数，
∵h（1）＞0，h（2）＜0，
∴整数a的最小值为2．
21．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点
为F1，F2，点M为椭圆C上的任意一点，的最小值为2．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F2作以BD为直
径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（I）根据向量的坐标求得•=x02﹣c2+y02，由y02=b2﹣x02，代
入，由x0=0，则•取最小值，最小值为b2﹣c2，根据椭圆的离心率公式，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）设圆心坐标，求得圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得k，列方程组，求得P点坐标，即可代入椭圆方程成立，则点P在椭圆C上．
【解答】解：（I）设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），
则=（﹣c﹣x0，y0），=（c﹣x0，y0），
•=（﹣c﹣x0，y0）（c﹣x0，y0）=x02﹣c2+y02，
由∵，y02=b2﹣x02，
•=（1﹣）x02+b2﹣c2，
由﹣a≤x0≤a，则x0=0，则•取最小值，最小值为b2﹣c2，
∴b2﹣c2=2，
由=，则=，
∴a2=4，b2=3，
则椭圆的标准方程：；
（II）证明：由（I）可知F2（1，0），设以BD为直径的圆E，其圆心E（2，），D（2，t），B（2，0），
则圆E（x﹣2）2+（y﹣）2=，
直线AD的方程为y=（x+2），
设过点F2与圆E相切的直线方程设为x=ky+1，
则=丨丨，则k=，
解方程组，解得：，
将（，）代入椭圆方程成立，即
+=1，
∴点P在椭圆C上．。