第2届全国大学生数学竞赛题及答案
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕2021年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满意22()3()d 2f x x f x x =--⎰，那么()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么=22d d xy.二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并探讨)(x g '在0=x 处的连续性.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、〔15分〕)(x u n 满意1()()1,2,n xnnu x u x xe n -'=+=，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、〔10分〕求-→1x 时，及∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2021年 第二届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔25分，每题5分〕〔1〕设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞〔2〕求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 〔3〕设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.〔4〕设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. 〔5〕求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩及直线2213:421x y z l ---==--的间隔 .二、〔15分〕设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、〔15分〕设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=及22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、〔15分〕设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：〔1〕当1α>时，级数1n n na S α+∞=∑收敛；〔2〕当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n na S α+∞=∑发散.五、〔15分〕设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，〔其中2221)αβγ++=的直线，匀称椭球2222221x y z a b c++≤〔其中0c b a <<<，密度为1〕绕l 旋转.〔1〕求其转动惯量；〔2〕求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的随意光滑的简洁闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx yϕ+=+⎰的值为常数. 〔1〕设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；〔2〕求函数()x ϕ；〔3〕设C 是围绕原点的光滑简洁正向闭曲线，求422d ()d Cxy x x yx y ϕ++⎰.2021年 第三届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、计算以下各题〔此题共3小题，每题各5分，共15分〕〔1〕求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕.求111lim (12)n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 〔3〕()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、〔此题10分〕求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解. 三、〔此题15分〕设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 四、〔此题17分〕设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑及2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点间隔的最大值和最小值. 五、〔此题16分〕S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分〔0z ≥〕〔取上侧〕，∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的间隔 ，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： 〔1〕()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；〔2〕()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、〔此题12分〕设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑肯定收敛.七、〔此题15分〕是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满意(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰请说明理由.2021年 第四届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔本大题共5小题，每题6分，共30分〕解答以下各题〔要求写出重要步骤〕. 〔1〕求极限21lim(!)n n n →∞. 〔2〕求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. 〔3〕函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满意方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 〔4〕设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面及途径无关，求(,)u x y .〔5〕求极限1limx x x t +. 二、〔此题10分〕计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、〔此题10分〕求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、〔此题12分〕设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、〔此题12分〕求最小实数C ，使得满意10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10f dx C ≤⎰.六、〔此题12分〕设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、〔此题14分〕设1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑为正项级数，证明：〔1〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，那么级数1n n a ∞=∑收敛； 〔2〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，那么级数1n n a ∞=∑发散. 2021年 第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、解答以下各题〔每题6分，共24分，要求写出重要步骤〕sin d xx x+∞⎰不是肯定收敛的. ()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线及曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、〔总分值12分〕计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰. 三、〔总分值12分〕设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、〔总分值12分〕设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、〔总分值14分〕设∑()()()333d d 2d d 3d d I xx y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、〔总分值14分〕设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=lim ()a r I r →+∞. 七、〔总分值14分〕推断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性，假设收敛，求其和.一、填空题〔共有5小题，每题6分，共30分〕1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是 .22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 那么及L 平行的S 的切平面方程是 .()y y x =由方程21sin d 4y x t x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0d d x y x== .1(1)!nn k kx k ==+∑，那么=∞→n n x lim . 130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，那么=→20)(lim x x f x . 二、〔此题12分〕设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、〔此题14分〕设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对随意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、〔此题14分〕〔1〕设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；〔2〕设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分 五、〔此题15分〕设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、〔此题15分〕设2222212n n n n A n n n n =++++++，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.一、填空题〔每题6分，共5小题，总分值30分〕〔1〕极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 〔2〕设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y yx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠那么z z x y xy∂∂+=∂∂ .〔3〕曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面及曲面所围区域的体积是 . 〔4〕函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .〔5〕设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，那么()u x 的初等函数表达式是 .二、〔12分〕设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、〔12分〕设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，那么()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、〔14分〕求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、〔16分〕设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰.试证：〔1〕[]00,1x ∃∈使()04f x >； 〔2〕[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、〔16分〕设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 假设()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2021年 第八届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，总分值30分〕 1、假设()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，那么()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、假设()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，假设z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、〔14分〕设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()2300d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、〔14分〕某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M xy z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2n n k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、〔14分〕设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用级数理论证明()f x 为常数.2021年 第九届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、1. 可导函数f (x )满意⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，那么()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c为非零常数. 那么21xx yy w w c -. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，那么240(sin )lim x f x x→. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ，那么三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、〔此题总分值14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数假设对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的微小值.三、(此题总分值14分) 设曲线Γ为在上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(此题总分值15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，假设对随意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，那么,()a b a b ∀<，2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(此题总分值15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
22,x y +x x 2t te2111))[n n s s s s s14解：（简要过程）（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
的值。
将f(x)二阶泰勒展开二阶泰勒展开'''2()()(0)(0)2f f x f f x x x =++因为二阶倒数大于0，所以，所以lim ()x f x ®+¥=+¥，lim ()x f x ®-¥=-¥证明完成。
证明完成。
三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t y ì=+>-í=î所确定，其中()t y 具有二阶导数，曲线()y t y =与22132t u y e du e -=+ò在1t =出相切，求函数()t y 。
解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t y =与22132t u y e du e-=+ò在1t =出相切得出相切得3(1)2ey =，'2(1)e y ='//()22dy dy dt dx dx dt t ty ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t y y ==++-=。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=å证明：证明：（1）当1a >时，级数1nn na S a +¥=å收敛；收敛； （2）当1a £且()ns n ®¥®¥时，级数1nn na S a +¥=å发散。
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
原式=
(ln(1t)t)1/(1t)111
2
2(1t)
t2t2
limelimelimee
t0t0t0
（3）
11
sxnnsxnsxsxn
Iexdx()xde()[xe|edx]
n0
000
ss
nnn(n1)n!n!
sxn1
exdxIII
n12n2n0n1
sssss
0
二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且
''()(2'
t2t)2(t)''()(2'
3
dxdx/dt(22t)
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
一、（25分，每小题5分）
（1）设
n
22
x(1a)(1a)(1a),其中|a|1,求limxn.
n
n
（2）求
x
lim e1
x
1
x
2
x
。
（3）设s0，求
sxn
Iexdxn。
(1,2,)
0
（4）设函数f(t)有二阶连续导数，
历届全国大学生数学竞赛真题
高数竞赛预赛试题（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim 0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+⎪⎝⎭。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所2．设)(x f 是连续函数，且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰，那么()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么=22d d xy.二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、〔15分〕)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之与.八、〔10分〕求-→1x 时，及∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2021年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔25分，每题5分〕〔1〕设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞〔2〕求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 〔3〕设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.〔4〕设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. 〔5〕求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩及直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、〔15分〕设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、〔15分〕设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=及22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、〔15分〕设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：〔1〕当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛； 〔2〕当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、〔15分〕设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，〔其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤〔其中0c b a <<<，密度为1〕绕l 旋转. 〔1〕求其转动惯量；〔2〕求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值与最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx yϕ+=+⎰的值为常数. 〔1〕设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；〔2〕求函数()x ϕ；〔3〕设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d Cxy x x yx yϕ++⎰. 2021年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、计算以下各题〔此题共3小题，每题各5分，共15分〕〔1〕求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕.求111lim (12)n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 〔3〕()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、〔此题10分〕求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、〔此题15分〕设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 四、〔此题17分〕设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑及2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值与最小值. 五、〔此题16分〕S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半局部〔0z ≥〕〔取上侧〕，∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： 〔1〕()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；〔2〕()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、〔此题12分〕设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、〔此题15分〕是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2021年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔本大题共5小题，每题6分，共30分〕解答以下各题〔要求写出重要步骤〕. 〔1〕求极限21lim(!)n n n →∞.〔2〕求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π与2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. 〔3〕函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 与b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 〔4〕设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面及路径无关，求(,)u x y .〔5〕求极限1limx x x t +. 二、〔此题10分〕计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、〔此题10分〕求方程21sin 2501x x x=-的近似解，准确到0.001.四、〔此题12分〕设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、〔此题12分〕求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有1f dx C ≤⎰.六、〔此题12分〕设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+与球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的局部. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、〔此题14分〕设1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑为正项级数，证明：〔1〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，那么级数1n n a ∞=∑收敛； 〔2〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，那么级数1n n a ∞=∑发散. 2021年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、解答以下各题〔每题6分，共24分，要求写出重要步骤〕sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. ()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线及曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、〔总分值12分〕计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、〔总分值12分〕设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、〔总分值12分〕设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、〔总分值14分〕设∑()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、〔总分值14分〕设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=lim ()a r I r →+∞.七、〔总分值14分〕判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性，假设收敛，求其与.2021年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔共有5小题，每题6分，共30分〕1xy e =与1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是 .22:2S z x y =+与平面022:=++z y x L . 那么及L 平行的S 的切平面方程是 .()y y x =由方程21sin d 4y x t x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0d d x y x== .1(1)!nn k kx k ==+∑，那么=∞→n n x lim . 130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，那么=→20)(lim x x f x . 二、〔此题12分〕设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、〔此题14分〕设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、〔此题14分〕〔1〕设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；〔2〕设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分五、〔此题15分〕设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、〔此题15分〕设2222212n n nn A n n n n =++++++，求⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2021 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题6分，共5小题，总分值30分〕〔1〕极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 〔2〕设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠那么z z x y xy∂∂+=∂∂ .〔3〕曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面及曲面所围区域的体积是 . 〔4〕函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .〔5〕设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，那么()u x 的初等函数表达式是 .二、〔12分〕设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、〔12分〕设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，那么()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、〔14分〕求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其与函数.五、〔16分〕设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：〔1〕[]00,1x ∃∈使()04f x >； 〔2〕[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、〔16分〕设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 假设()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2021年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、填空题〔每题5分，总分值30分〕 1、假设()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，那么()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、假设()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，假设z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、〔14分〕设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aa f x xf x x >⎰⎰.三、〔14分〕某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、〔14分〕设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()()23f x f x f x =+=+.用级数理论证明()f x 为常数.2021年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、1. 可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，那么()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数. 那么21xx yy w w c -. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，那么240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+与224z x y --围成空间区域为V ，那么三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、〔此题总分值14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数假设对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(此题总分值14分) 设曲线Γ为在上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(此题总分值15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，假设对任意第 11 页 实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，那么,()a b a b ∀<，2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(此题总分值15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案
第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。
）（1）解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：11cos 0002sin sin ln 1sin lim exp lim exp lim 11cos 2xx x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥==⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20003221sin cos 12limlimlim 11333222x x x x x x x x x x eee e→→→----====（2）.解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 12n n +++-由欧拉公式得（），11111ln 2=C+o 1212n n n n++++++-+则（），其中，()1o表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴= 方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()()222222412121224ttt tt tte e d y d dy e e dx dx dt dx e e edt+--+⎛⎫∴=∙==⎪⎝⎭二．（本题10分）解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0P d x Q d y +=1,P Qy x∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+方法一：由24zP x y x∂==+-∂得 ()()2244z x y dx x xy x C y =+-=+-+⎰由()'1zx C y Q x y y∂=+==+-∂得()()'211,2C y y C y y y c =-∴=-+22142z x xy x y y c ∴=+-+-+方法二：()()()(),0,024x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy==+=+-++-⎰⎰⎰,P Qy x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 ()()2200124142xyz x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-⎰⎰三．（本题15分）证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①由洛比达法则得()()()()()()()1232'''1230230lim2233lim 02h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++==由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得()()()()()()()()()'''1230"""1230""1232233lim24293lim02490000h h k f h k f h k f h hk f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则Ax b =， 增广矩阵*11111031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()(),3R A b R A ==所以，方程Axb =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，且1233,3,1k k k ==-=。
第一届和第二届大学生全国数学竞赛试题
证法二： （1）根据 Green 公式，将曲线积分化为区域 D 上的二重积分
∫ xe
L
sin y
dy − ye − sin x dx = ∫∫ (esin y + e − sin x )d δ
D
∫ xe
L
− sin y
dy − ye
sin x
dx = ∫∫ (e − sin y + esin x )d δ
e x + e2 x + 二、求极限 lim( x →0 n
+ e nx
)
e x
，其中 n 是给定的正整数.
e e x + e2 x + 解：原式 = lim exp{ ln( x →0 x n = exp{lim
x →0
+ e nx
)}
e(ln(e x + e 2 x + x
+ e nx ) − ln n)
t 2n ≥ 2 + t2 n = 0 (2n)!
∫ xe
L
sin y
5 dy − ye− sin x dx = ∫∫ (esin y + e− sin x )dδ = ∫∫ (esin x + e− sin x )dδ ≥ π 2 . 2 D D
x 2x
x −x x 2x 五、已知 y1 = xe + e ， y2 = xe + e ， y3 = xe + e
（4）设函数 y = y ( x) 由方程 xe
f ( y)
= e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，
d2y 且 f ′ ≠ 1 ，则 =____________________. dx 2
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算yx y xx yy xDd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v xu yx,，则v uyv x,，v u vu yx d d d d 1110detd d ，102d 1u uu（*）令ut1，则21t u dt 2d t u，42221ttu，)1)(1()1(2t t t u u ，2．设)(x f 是连续函数，且满足2022d )(3)(xx f xx f ,则)(x f ____________.解:令20d )(x x f A，则23)(2Axx f ，A Ax A xA24)2(28d )23(202,解得34A。
因此3103)(2xx f 。
3．曲面2222yxz 平行平面022z y x 的切平面方程是__________.解:因平面022z y x 的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000y x z y x z y x 与)1,2,2(平行，因此，由xz x，yz y 2知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ，即1,200y x ，又5)1,2(),(00z y x z ，于是曲面022zyx在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zy x ，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0122z yx。
4．设函数)(x y y由方程29ln )(yy f e xe 确定，其中f 具有二阶导数，且1f ，则22d d xy ________________.解:方程29ln )(yy f e xe 的两边对x 求导，得因)(29ln y f yxee ，故yyy f x)(1，即))(1(1y f x y，因此二、（5分）求极限xenxxxx neee)(lim 20，其中n 是给定的正整数.解:因故因此三、（15分）设函数)(x f 连续，10d )()(t xt f x g ，且A xx f x )(lim，A 为常数，求)(x g 并讨论)(x g 在0x 处的连续性.解:由A x x f x)(lim和函数)(x f 连续知，)(lim lim )(lim )0(000xx f x x f f x x x 因10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10f t fg ，因此，当0x 时，x u u f xx g 0d )(1)(，故当0x时，xx f uu f xx g x )(d )(1)(02，这表明)(x g 在0x 处连续.四、（15分）已知平面区域},0|),{(yxy x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）LxyLxyx yey xexyeyxe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d Lyy xyeyxe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）yx yeyxexxyey xe DxyLxyd d )()(d d sin sin sin sin 而D 关于x 和y 是对称的，即知因此（2）因故由知即2sin sin 25d d Lyyxyey xe五、（10分）已知xxexey 21，xxexey 2，xxxeexey 23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设xxexey 21，xxexey 2，xxxeexey 23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则xxeey y 212和xey y 13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0cyyb y的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyb y的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111x f y y y 和xxxexeey 212，xxxe xe e y 2142知，1112)(y y y x f )(2)2(42222xxxxxxx x e xee exeeexe二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线c bxaxyln 22过原点.当10x 时,0y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bxaxyln 22过原点，故1c，于是即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令0)1(278)21(3152)(a a aa V ，得即因此45a,23b,1c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1ne xx u x u xn n n ,且ne u n )1(,求函数项级数1)(n n x u 之和.解xn n n exx u x u 1)()(，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由)1()1(nCe u nen 知，0C ，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0x，得CS )0(0，因此级数1)(n n x u 的和八、（10分）求1x时,与2n nx等价的无穷大量.解令2)(tx t f ，则因当10x，(0,)t时，2()2ln 0tf t tx x，故xt text f 1ln22)(在(0,)上严格单调减。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛初赛2010年第二届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
的 对 称 式 方 程 为 l1 :
1
1
0
，记两直线的方向向量分别为
l1 1, 1, 0 ,l2 4, 2, 1 ，两直线上两定点分别为P1(0, 0, 0), P2(2, 1, 3)，并记
a
P1P2
2, 1, 3 ，l1
l2
1, 1,6；
a
l1
l2
| 2 1 18 |
19
其中 x, y, z | x2 y2 z2 1 而
a2 b2 c2
x2dV a x2 dx
a
y2 z2
dy dz
x2
a x2
a
ab 1
x2 a2
dx
4a 3bc 15
.
1
b2 c2
a2
4
或者使用换元法，有
x2dV
2
d
d
1
a
2r
2
0
0
0
sin2
cos2
abcr2
x2
dy
D
4xd x
dy
0.
6
C
x4 y2
的值为常数.
(1) 设 L 为正向闭曲线(x 2)2 y2 1 . 证明:
2xy d x (x)d y 0；
L
x4 y2
2xy d x (x)d y
(2) 求函数(x) ； (3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
C
x4 y2
.
2xy d x (x)d y
【参考答案】设
L
x4 y2
I ，将曲线L 分割成两段L L1 L2 。设L0 不经过原点的
光滑曲线，使得 L0 L1 和 L0 L2 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线. 由已知条件可知 L0 L1 和