2013-2014(1)微积分(上)期中试卷A)

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微积分试卷2014(1A)参考答案

2014微积分(上) A 卷参考答案一、填空题（每小题4分，20分）11;2;;1;25---dx二、计算下列各题（每小题5分，共20分）6. 求极限sin 230lim ()ln(1)→-++x xx e e x x xsin sin 230001sin lim lim lim (1)ln(1)-→→→--==++x x xx x x e e x xx x x x (2)201cos lim 3→-=x xx (4)16= (5)7. 求极限1402sin lim 1→⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭x x x e x x e1402sin 20lim 11101-→⎛⎫++ ⎪+=-= ⎪+ ⎪+⎝⎭x x x e x x e (2)1402sin lim 0111+→⎛⎫+ ⎪+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭x x x e x x e (4)1402sin lim 11→⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭x x x e x x e (5)8. 利用泰勒公式求极限30sin (1)lim →-+x x e x x x x2331sin ()3=+++x e x x x x o x (3)3333001()sin (1)3lim lim →→+-+=x x x x o x e x x x x x (4)13= (5)_____________ ________9.设1()1,1≠=⎪-=⎩x f x x 在1=x 处连续，求,a b 的值)1lim 20,4→=+=x a b (2)11,1,→→=-=-x x1,4,8=-=-=a b (5)三、计算下列各题（每小题5分，共15分）10.设1124=+y 'y3344(1)-'==+u u x x ……….2 21111121411⎛⎫'''=+- ⎪++-⎝⎭y u u u u u (4)411''==-y u u (5)11. 设()f x 连续，在0=x 的某邻域内有(1sin )3(1sin )8()+--=+f x f x x o x ，且()f x 在1=x 处可导，求曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程(10)3(10)0,(1)0+--==f f f ……….1 0(1sin )3(1sin )lim 8sin →+--=x f x f x x4(1)8,(1)2''==f f (4)22=-y x (5)12. 由参数方程23ln(1)=-+⎧⎨=+⎩x t t y t t确定()=y y x ，求22d y dx2(1)(23)352=++=++dy t t t t dx……….2 22(65)(1)++=d y t t dx t (5)四、计算下列积分（每小题5分，共15分）13. 求积分21arctan1+⎰x dx x21arctan1arctan arctan 1=+⎰⎰x dx d x x x ..........1 211arctan arctan arctan 1=++⎰x x dx x x ..........3 211arctan arctan (arctan )2=++x x c x . (5)14.求积分tan ,=x t (1)cos sin -=⎰t e tdt (3)cos cos -=-⎰t e d t (4)=e.515.求积分(211-⎰x dx121(2-=+⎰x dx1121--=+⎰⎰x dx ……….3 232π=+ (5)五、解答下列各题（每小题5分，共15分）16. 设()f y 是连续函数，且()()=-⎰b a F x f y x y dy ，<<a x b ，求()''F x ()()()()()=-+-⎰⎰⎰⎰x x b b a a x x F x x f y dy f y ydy f y ydy x f y dy (2)()()()'=-⎰⎰x b a x F x f y dy f y dy (4)()2()''=F x f x (5)17. 设1()S t 是曲线2=y x 与直线0=x 及=y t 所围图形的面积，2()S t 是曲线2=y x 与直线1=x 及=y t 所围图形的面积，其中01<<t 。

交通大学微积分第一学期期中考试试卷及答案

交通大学2010-2011学年第一学期《微积分》期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________一、填空题（每题2分，共20分）1、已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -是等价无穷小，则a =32-2、设()()1x e ef x x x -=-，则1x =是()f x 的第一类间断点.3、当1x →-时,2ax x b -+与1x +为等价无穷小，则a =1-，b = 0 . 4、设()()()()12,f x x x x x n =+++则()'0f =!n5、设232x y x e-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则'0x y ==136、设()()31tx f t y f e π=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，其中f 可导，且()'00f ≠，则0t dy dx == 3 . 7、设21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩，则22d y dx =3sin cos 4t t t t -8、设tan y x y =+，则dy =2cot ydx9、()2212x x de e --=)222x x e e -+10、极坐标系下对数螺线r e θ=在点()2,,2r e ππθ⎛⎫= ⎪⎝⎭处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=二、单项选择题（每题2分，共30分）1、设()()22,0,,0,2,0,,0,x x x x g x f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ D . (A) 22,0,2,0,x x x x ⎧+<⎨-≥⎩（B ）22,0,2,0,x x x x ⎧-<⎨+≥⎩（C ）22,0,2,0,x x x x ⎧-<⎨-≥⎩.（D ）22,0,2,0,x x x x ⎧+<⎨+≥⎩2、202sinlimtan x x x x→= C . (A) 1，（B ）2, (C) 0,（D ）不存在.3、当0x →时，tan sin x x -与kx 是同阶无穷小，则k = C . (A)1.（B ）2（C ）3.（D ）4. 4、设()sin 3sin 5x x xf x e eπ=-，则当x π→时， D . （A ）()f x 是x π-的等价无穷小，（B ）()f x 是x π-的低阶无穷小，（C ）()f x 是x π-的高阶无穷小，（D ）()f x 是x π-的同阶但非等价的无穷小。

2013-2014学年度上学期期中考试(高一数学)附答案

2013-2014学年度上学期期中考试高一数学试卷时间：120分钟分值：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 集合{}{}2,,(,)2,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==+∈⋂则A B=( )A ．{（-1,2），(2，4) } B. {( -1 , 1)} C. {( 2, 4)} D. φ2. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）3. 定义集合运算A ◇B =|,,c c a b a A b B =+∈∈，设0,1,2A =，3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（）A .32B .31C .30D .144. 已知函数1232(2)()log (1)(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则))2((f f 的值为 A. 2 B. 1 C. 0 D.35. 已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 6. 已知21)21(x x f =-，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．4 B ．41 C ．16 D ．1617. 已知函数()=f x 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是（）A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤48. 函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是A ． (,1)-∞B ． (2,)+∞C ． 3(,)2-∞ D ．3(,)2+∞　9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上单调递减，且有()3=0f ，则使得()0<f x 的x 的范围为（）A.(),3-∞B. ()3,+∞C.()(),33,-∞+∞D.()3,3-10.对实数a 和b 定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞二、填空题（每题5分，共25分） 11．函数)12(log 741)(2++-=x x x f 的定义域为 .12．幂函数()22211m m y m m x--=--在()0,x ∈+∞时为减函数，则m= ．13. 已知2510m n==，则11m n+= ． 14. 如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()11f =，则()()()()()()()()()()2342011201212320102011f f f f f f f f f f +++++= _________．15. 给出下列命题：①()f x 既是奇函数，又是偶函数；②()f x x =和2()x f x x=为同一函数；③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数y =[0,4) 其中正确命题的序号是 .三、解答题（共75分）16.（本小题满分12分）⑴计算：0.25-2-25.0log 10log 2)161(85575.032----⑵已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，)(x f =x(1+x).求函数)(x f 的解析式并画出函数)(x f 的图象.17.（本小题满分12分）已知集合{}|5239A x x =-≤+≤，{}|131B x m x m =+≤≤- （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？19．（本小题满分12分）定义运算：a bad bc c d=- （1）若已知1k =,求解关于x 的不等式101x x k< -（2）若已知1()1x f x k x=- -，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值。

郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案

dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成，求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3

微积分I(第一层次)期中试题参考答案

……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.

又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、（8 分）（1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理，得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、（8 分）设 f ( x )

1
x

1
I lim

广东省执信中学1314学年高二上学期期中数学理试题(附答案)

2013-2014学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =>，}02|{2<-=x x x B ，则A B ⋂=（） A.{|2}x x > B.{|02}x x << C.{|12}x x << D.{|01}x x << 2．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（） A.1y x =B.1||+=x yC.ln ()x f x x= D.21y x =-+ 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（） A ．31cmB ．32cm C ．33cmD ．36cm4．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-45．在等差数列}{n a 中，若前5项和205=S ，则3a 等于（） A ．4 B ．-4 C ．2D ．-26．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且 C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且7.在区域000x y x y y ⎧+≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为（） A ．2πB ．3π C ．6π D ．4π 8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}x M x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x == 其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．5cos4π的值为； 10．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数3z x y =+的最大值是； 11．执行如右图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为；12．若22x y +=，则39xy+的最小值是； 13．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E,F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF的体积为____________；14．在正项等比数列{n a }中，,3,21765=+=a a a 则满足n n a a a a a a 2121⋅>++的最大正整数n 的值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，圆锥SO 中，SO 垂直⊙O 所在的平面．AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点．（I ）求证：//SA 平面PCD ；（Ⅱ）求圆锥SO 的表面积；（Ⅲ）求异面直线SA 与PD 所成角的正切值．17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足条件：对于n ∈N *，a n >0，且a 1=1并有关系式：121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =)1(log 2+n a ，记nn n b b c 21+=，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分14分）已知圆4:22=+y x O 和点()()0,,1>a a M（Ⅰ）若点M 在圆上，求正实数a 的值，并求出切线方程；（Ⅱ）若2=a ，过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直，设21,d d 分别为圆心到弦BD AC ,的距离．①求2221d d +的值； ②求两弦长之积||||BD AC ⋅的最大值．19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）111C B A ABC -中，a AA AC AB 31===，a BC 2=，D 是BC 的中点，F是1CC 上一点，且a CF 2=．（Ⅰ）求证：ADF F B 平面⊥1；（Ⅱ）求二面角F —AD —C 的正切值；（Ⅲ）试在1AA 上找一点E ，使得ADF BE 平面//,并说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. （Ⅰ）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（Ⅱ）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围．2013-2014学年度第一学期高二级数学科期中试题答案一、选择：CBAD ADDB 二、填空：9. 10. 4； 11. 15； 12. 6； 13. 16； 14. 1215.解：（I）因为cos 2A =，,5312cos 2cos 2=-=∴A A ………… 2分π<<A 0 ………… 3分,54cos 1sin 2=-=∴A A ………… 4分又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A = ………… 5分5bc ∴=， ………… 6分1sin 22ABC S bc A ∆∴== ………… 7分（II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==， ………… 9分由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=， ………… 10分a ∴=12分16. 解：（I ）连结PO ， …………1分P 、O 分别为SB 、AB 的中点，SA PO //∴， …………2分 PCD SA PCD PO 平面平面⊄⊂,，//SA ∴平面PCD .…………4分（Ⅱ）22,2===SB l r 母线， …………5分ππ42==∴r S 底，ππ24==rl S 侧， …………6分π)12(4+=+=∴侧底表S S S . …………7分（Ⅲ）SA PO // ，DPO ∠∴为异面直线SA 与PD 所成角.…………9分O SO AB SO CD AB CD =⊥⊥ ,,,SOB CD 平面⊥∴,……11分 PO OD ⊥∴.在DOP Rt ∆中，2=OD ，221==SB OP ，……12分 222tan ===∠∴OP OD DPO ， ∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2. …………14分17. 证明：（I ）因为121+=+n n a a ，即得)1(211+=++n n a a ……2分且211=+a ， ……3分故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得n n n a 22211=⨯=+-，…4分因此数列{a n }的通项为：12-=n n a ，……5分（Ⅱ）由n a b n n =+=)1(log 2，所以22+=+n b n ， ……6分故 )211(21212+-=+=n n nn C n ……8分所以n n n C C C C C C T ++⋅⋅⋅++++=-14321 =)211(21)1111(21)5131(21)4121(21)311(21+-++--+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n …10分 =)2111211(21+-+-+n n =812449322++++n n n n ……12分18.解：（Ⅰ）由题意点Ｍ在圆上，0,412>=+∴a a 且得3=a …… 1分33,3-=∴=k k OM ，…… 2分∴切线方程为)1(333--=-x y 即043=-+y x …… 4分（Ⅱ）①当BD AC ,都不过圆心时，设BD OF AC OE ⊥⊥,于F E ,， …… 6分则OEMF 为矩形，322221==+∴OMd d ，…… 9分当BD AC ,中有一条过圆心时，上式也成立 …… 10分②222142,42d BD d AC -=-=…… 11分∴ )4()4(42221d d BD AC -⋅-=⋅102)4()4(42221=-+-⋅≤d d …… 13分（当且仅当21d d =时等号成立） …… 14分19.（I ）证明：由111C B A ABC -为直三棱柱和a CF 2=，a AA AC AB 31===，a BC 2=，得1B F ==，AF ==，1AB ==，得22211AB AF B F =+所以AF F B ⊥1,…… 2分由1CC ABC ⊥面，AD ABC ⊂面，得1CC AD ⊥, 由AB AC =及D 是BC 的中点得：AD BC ⊥, 而1CC AD ⊥,1BCCC C =,∴11AD BCC B ⊥面,又111BF BCC B ⊂面,∴1AD B F ⊥ …… 2分又AF F B ⊥1, AF AD A =,∴ADF F B 平面⊥1；…… 5分（Ⅱ）由(1)11AD BCC B ⊥面，而1111CD BCC B DF BCC B ⊂⊂面、面,∴AD CD ⊥、AD DF ⊥所以CDF ∠为二面角F —AD —C 的平面角 …… 8分由直三棱柱可知：DCF ∠为直角，所以tan CDF ∠=22FC aCD a== …… 10分（Ⅲ）当a AE 2=时， ADF BE 平面//，证明如下： …… 11分连结EF 、EC 交AF 于点M ，由2AE a CF ==，及//AE CF 可得：四边形ACFE 为平行四边形。

微积分试卷及答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b= 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案

＝1
得分评卷人
【解】
lim
x

2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x

lim
x

1
1 x
2

1 x2

lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x

0
f
sin
xdx .
【证明】

（1）
设
2 2
g u du

I .令 u t
则
I

2

g tdt

2

2

2
g

t
dt

2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）

2

2
g u du

I
，

即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx

ex 1 ex
dx

1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx

1
ex 1
ex
e
x
dx

dx
1
1 e
x
d
1

e
x
x ln 1 e x
C；

上海大学2013-2014学年冬季学期《微积分A2》试卷(A卷)答案

上海大学2013 ~ 2014学年冬季学期《微积分A2》(A 卷)答案一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)1. 设sin x x 为()f x 的一个原函数, 且常数0a ≠, 则()d f ax x a =⎰( A ). A ．3sin ax C a x + B ．2sin ax C a x + C ．sin ax C ax + D ．sin axC x+2. 设直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=, 则直线L ( C ).A ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交 3. 设()f x 是区间[0,1]上连续函数, 且10()d 2f x x =⎰, 则π220(cos )sin 2d f x x x =⎰( B ). A ．1B ．2C ．3D ．44. 曲线211ln 42y x x =-自1x =至e x =之间的一段弧的弧长s =( C ). A ．21(e 2)4+ B ．21(1e )4- C ．21(e 1)4+ D ．21(e 1)4- 5. 设向量,a b 满足a b a b -=+, 则必有( D ). A ．0a b -=B ．0a b +=C ．0a b ⨯=D ．0a b ⋅=二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)6.20d sin()d d x x t t x -=⎰2sin x .7. 由不等式23x y x ≤≤及2x ≤所确定的平面图形的面积为1712.8. 设()1a b c ⋅⨯=, 则()[()()]b c c a a b +⋅+⨯+=2.9.=1arcsin Cx-+.10. 曲线2224,x y z y z ⎧++=⎨=⎩在yOz 平面上的投影曲线是,(0,y z y x =⎧≤⎨=⎩.三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)11. (6分)计算.x解:2d 2tx t t t = ---------------------(3分) .C C =-=- ---------------------(2+1分)12. (6分) 计算22ln(4)d .x x x+⎰ 解: 222ln(4)d ln(4)1d x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝++⎭⎰⎰ ---------------------(2分) 22ln(4)12d 4x x x x x x ⎡⎤+=--⋅⎢⎥+⎣⎦⎰ ---------------------(2分)22ln(4)1d 212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ---------------------(1分) 2ln(4)arctan .2x x C x +=-++ ---------------------(1分)13. (6分)计算20x ⎰.解:220x x =⎰⎰---------------------(2分)111(1x tt t -=-====-⎰---------------------(2分)111t t --=-⎰⎰π02=- ---------------------(1+1分)π2=.。

南京大学2013-2014学年第二学期《微积分II(第一层次)》期中考试参考答案

所以， f ( x, y ) 在 x 0 处也是可微的，故 f ( x, y ) 在平面上所有点处都是可微的. 四、设有等腰梯形 ABCD, AB // CD ，已知 BC CD AD 8 p ，其中 p 为常数，该梯
3/4
形绕边 AB 旋转一周所得旋转体体积取最大值，求 AB, BC, CD 的长度 .（10 分）解：过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E ，设 x AD, y CD / 2, z AE ，则由题意，旋转体的体积为：V 2[ 1 3 ( x z ) z ( x z ) y]
令 Fx 0, Fy 0, Fz 0, F 0 ，可得唯一驻点：x 3 p, y z p . 由于问题是几何问题，旋转体的最大体积一定存在，故此唯一驻点就是该问题的最大值点. 所以
AB 4 p, BC AD x 3 p, CD 2 y 2 p.
P( x, y, z ) ，据题意有： | P0 P s | 2 | s | ，整理得所求方程为： ( y z 1) 2 (2 z x 2) 2 ( x 2 y 4) 2 24.
3. 若曲面 z x y 在 P 点的切平面与平面 x y 2 z 2 和 2 x y 3 0 都垂直，求
① 当 cos 0 时， (0,0) lim
f l
f l
(t cos ) 4 / 3 sin(cos / cos ) 0, t 0 t
00 0. t
2 1
② 当 cos 0 时， (0,0) lim
1
t 0
⑵ ① x 0 时，
1
f y (0, y ) lim

微积分期中考试试题答案

一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。

（10分）四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3）计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。

210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

微积分上2014秋季期中测验 - 答案

2014－2015学年度第1学期《微积分（上）》期中测验试卷答案系别班级学号姓名一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 极限 01lim sin x x x→= ( A )A. 0B.-1C.1D.不存在2.设函数()f x x =，则下列结论正确的是（ D ） A.在0=x 处，()x f 不连续 B. ()x f 是奇函数C.在0=x 处，()x f 连续可导D.在0=x 处，()x f 连续但不可导 3. “()f x 在0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有极限的（ D ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 4.设函数()x x x f -=331，则1=x 是()x f 在[]2,2-上的（ D ） A.极大值点，但不是最大值点 B.极大值点，也是最大值点 C.极小值点，但不是最小值点 D.极小值点，也是最小值点 5. 1=x 是函数2cos )(2-+=x x xx f 的（ C ） A. 第一类间断点且为可去间断点 B.第一类间断点且为可跳跃断点 C. 第二类无穷间断点 D.第二类非无穷间断点6.设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b f a f =，则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线（ C ） A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上7.不定积分cos xdx =⎰（ A ） A.sin x C + B.sin x C -+ C.cos x C + D.cos x C -+8. 函数133()2f x x x =-在下列区间上不满足拉格朗日定理条件的是（ B ）A ：[0,1]B ：[-1,1]C ：27[0,]8D ：[-1,0] 9．函数()x x f x e e -=+ 在区间（-1，1）内（ D ）A ：单调增加；B ：单调减少；C ：不增不减；D ：有增有减。

微积分试卷及规范标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

多元微积分期中考试试题A卷参考解答

2011年多元微积分期中考题A 卷一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1．将定义在区间),0(π上的函数xe 展成周期为π2的正弦级数，记)(x S 为级数的和函数，则=)0(S 02．=⎪⎭⎫⎝⎛-+→+∞→yx x y x x x 21lim 0 e /13．设),(y x y x f z -+=，其中)1(C f ∈，则=dz dy f f dx f f v u v u )()(-++注：这里 ),(),(),(y x y x v u u uv u f f -+=∂∂=，),(),(),(y x y x v u v vv u f f -+=∂∂=4．设yx z =，则=∂∂∂yx z2 )ln 1(1x y x y +- 5．方程e ey z xy yz=++ln 在)1,1,0(点附近确定隐函数),(y x z z =，则=∂∂xz注：如只计算偏导数xz∂∂在点)1,1,0(的值（e /1-），仍算正确解答，得3分。

6．设)(),(x z z x y y ==为由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++10222222c zb y ax z y x 确定的隐函数，z b y c 22≠，则 =dxdy注：所求导数也可写作=dxdy7．函数32z y x ++在点)1,1,1(处沿方向⎪⎭⎫⎝⎛0,53,54的方向导数为2 8．函数22y x +在点)2,1(处函数值增大最快的方向为 )4,2(9．设⎩⎨⎧==θϕθϕsin cos cos cos y x ，则它的Jacobi 矩阵的行列式 =∂∂),(),(detθϕy x ϕϕcos sin - 10．参数曲面v u z uv y v u x sin ,,==+=在)0,1(),(=v u 处的切平面方程为 0=-z y11．曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++222226yx z z y x 在点)2,1,1(-处的切线方程为⎩⎨⎧=--=+-22262z y x z y x 12．曲面 2132222=++z y x 在点)2,2,1(-13．曲面xyz arctan =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的单位法向量为14．M 是曲线32,,t z t y t x ===上的一点，此点处切线平行于平面42=++z y x ，则M 点的坐标为15．函数)cos (sin ),(y y e y x f x+=在)0,0(点的带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为二．计算题（每题10分，共40分）1．求函数⎩⎨⎧≤≤+≤≤--=ππππx x x x x f 0,0,)(的Fourier 级数，并求数项级数∑+∞=-12)12(1n n 的和。

2013-2014学年秋季学期《微积分A1》试卷(A卷)答案

1 2 1 sin x sin x x
.
8. 当 x 0 时, f ( x) 1 x 1 与 g ( x) 9. 曲线 y ( x 1) 的拐点是
3

kx 是等价无穷小, 则常数 k x5
.
. .
10. 函数 f ( x)
1 3 x x 2 1 在闭区间 [2, 2] 上的最小值为 3
x x0 x x0 x x0
则(
). A． " a " , " b " 都正确 C． " a " 不正确, " b " 正确 B． " a " 正确, " b " 不正确 D． " a " , " b " 都不正确
x2 1 , 3. 设 f ( x) x 1 2,
的单调区间和极值.
六、证明题 (1 小题, 共 6 分)
2/3
21. (6 分) 设 x 0 , 求证 ln(1 x) x x ln(1 x) .
3/3
三、计算题 (4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分)
1 x . 11. (6 分) 计算 lim x 0 (1 cos x ) ln(1 x) 3sin x x 2 cos
12. (6 分) 计算 lim x x 2 ln 1
x

1 . x
13. (6 分) 设 y 2 x
1
2x ln 2 , 求 y . 1 x2
x f ( x)
14. (6 分) 设 f (u ) 为可导函数, 且 y f (e ) 2

大一上学期微积分试卷Calculus(I)期中考试卷及答案

------------------------- 赠予 ------------------------【名师心得】1. 因材施教，注重创新。

所讲授的每门课程应结合不同专业、不同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。

不仅重视知识的传授，更要重视学生学习能力、分析和解决问题能力的培养，因为这些才是学生终生学习的根本。

注重教学创新，不仅体现在教学模式、教学方法方面，更主要的是体现在内容的创新与扩充、实践环节的同步改革上。

2. 学高为师，身正为范。

不但要有崇高的师德，还要有深厚而扎实的专业知识。

要做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识结构，拓宽知识视野，自己不断的钻研学习，加强对教材的驾御能力才能提高自己的教学方法，才能在学生心目中树立起较高的威信。

因此，必须树立起终身学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他人之长来补己之短，才1江西财经大学2013级期中（上）试卷(参考答案) 课程代码：12003（A ）授课课时：48 考试时间：110分钟课程名称：Calculus (I) 适用对象：13级AR1、AR6等班级的学生试卷命题人： . 试卷审核人： .1. Full in the blank of each statement in the following five statements such that the statement is right. Then write the corresponding answer on the answer book by the title number. You can be gained 3 points for the right thing on per blank.(1) 2(2)x x '+=________.(2) 22121lim 1x x x x →++=+_________. (3) 2d (log )d e x x=________. (4) 226lim 345x x x x →±∞=++________.------------------------- 赠予 ------------------------【名师心得】1. 因材施教，注重创新。

2014-2015第一学期微积分I期末试卷(A卷)参考答案

一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p n n p pp p n 。

答案：11p +。

2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。

答案：2cos ()2sin x x f x xe e x '=+⋅。

3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。

答案：图形面积154。

4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。

答案：2。

5．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢+ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。

答案：12π+。

6．求方程2x y dy dx +=的通解。

答案：220y x C -++=，其中1,C C 为任意常数。

7．求不定积分2(1)(1)x dx x x ++⎰。

答案：2111ln(1)arctan ln 1422x x x C ++-++。

8．求方程1y y x x'-=的通解。

答案：2y x Cx =+。

9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。

答案：2112123112()()1y y C y y C y y C x C x =+-+-=++，其中12,C C 为任意常数。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1．求极限20)(02sin lim x dt e x x t x x ⎰-→⋅。

答案：1。

2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。

答案：43。

3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。

答案：4263cos()2y dy x x dx ye=。

4. 求微分方程3''2y y =满足初始条件00|1,'|1x x y y ====的特解。

2013—2014学年第一学期高三理科数学期中考试试卷

精心整理2013—2014学年第一学期高三理科数学期中考试试卷以下是为大家整理的关于《2013—2014学年第一学期高三理科数学期分，1A ．B 2A C ．奇函数且在（－∞，0）上是增函数D ．偶函数且在（－∞，0）上是减函数3．设函数和的定义域都为R ，且为奇函数，为偶函数；当0；（2）;（3）应用微积分基本定理，有,则F(x)=lnx；（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的序号。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说17．（1（218．AB中19．离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.20．（本小题满分12分）已知双曲线过点P，它的渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.21．（1（222．(1)（2一、选择题1~12BBDCBCADBCAB二填空题13、14、15、-416、（2）、（4）三、解答题17．（1）由图象可知，在上，>0,在上，〈0，在上，>0，------------------------------------------------2分故f(x)在上递增，在上递减，----------------------------------4分因所以（，由分解得解法又=，-----------------------------------------------------9分由可得.----------------------------------10分18．解：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，…………2分∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离∴此抛物线的方程为…………5分（2）由消去………………7分∵直线与抛物线相交于不同两点A、B，则有…………9分解得19、分，解得b2=3∴c2=a2－b2=4－3=1，…………………………………………………………3分故椭圆方程为，……………………………………………………4分焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，………………………………………………………………6分∴PQ所在直线方程为，由得设，20又②由①②得，∴所求的双曲线方程为…………6分（2）证|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=32又由双曲线的几何性质知|d1－d2|=2a=6…………8分即有………………10分又|F1F2|=2c=10△PF1F2是直角三角形，………………………………12分21．（1）由已知可得，由-------------------------------------------------2分可；3分x+0—所为。