高一下数学两条直线的位置关系戴南高级中学
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ )对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、 k2，则有 l1∥l2?k1＝k2.(ⅱ)当直线 l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ )如果两条直线 l1、 l2的斜率存在，设为k1、 k2，则有 l1⊥l2?k1·k2＝－ 1.(ⅱ )当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时， l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线 l1：A1x＋B1y＋ C1＝0，l2：A2x＋ B2 y＋ C2＝ 0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组的解．2．几种距离(1)两点 P1(x1， y1 )， P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ .(2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝.(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝ 0 与 Ax＋By＋C2＝ 0(其中 C1≠C2)间的距离 d＝ .选择题：设 a∈ R，则“ a＝ 1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝ 0 平行”的 () A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析充分性：当 a＝1 时，直线 l1：＋－＝与直线2：＋＋＝0平行；x2y 1 0l x2y 4必要性：当直线 l1： ax＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2：x＋ (a＋ 1)y＋ 4＝ 0 平行时有 a＝－ 2 或 1；所以“ a＝1”是“直线 l1： ax＋ 2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝0 平行”的充分不必要条件已知点 (a,2)(a>0)到直线 l ：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 ()A.B．2－C.－1D.＋1解析依题意得＝ 1，解得 a＝－ 1＋或 a＝－ 1－，∵a>0，∴ a＝－ 1＋.已知直线 l1： (3＋m)x＋ 4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝ 8 平行，则实数 m 的值为 ()A．－ 7B．－ 1C．－ 1 或－ 7D.解析l1的斜率为－，在 y 轴上的截距为， l2的斜率为－，在y 轴上的截距为 .又∵l1∥ l2，由－＝－得， m2＋8m＋7＝0，得 m＝－ 1 或－ 7.m ＝－ 1 时，＝＝ 2， l 1 与 l 2 重合，故不符合题意； m ＝－ 7 时，＝ ≠＝－ 4，符合题意已知两条直线 l 1：(a －1) ·x ＋ 2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋ 3＝0 平行，则 a 等于 ()A ．－ 1B ．2C ．0 或－ 2D ．－ 1 或 2解析若 a ＝0，两直线方程为－ x ＋2y ＋1＝ 0 和 x ＝－ 3，此时两直线相交，不平行，所以 a ≠0.当 a ≠0 时，若两直线平行，则有＝ ≠，解得 a ＝－ 1 或 a ＝2，选 D.已知点 O(0， 0)，A(0，b)， B(a ，a 3)．若 △OAB 为直角三角形，则必有 ()A ．b ＝ a 3B ． b ＝ a 3＋C ． (b －a 3)＝ 0D ． |b －a 3|＋＝ 0解析 若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0，此时 O ，B 重合，不符合题意；若 ∠A ＝，则 ＝ 3≠0，若∠ B ＝，根据垂直关系可知 a 2·＝－ ，所以3－b) ＝－，即－ 3－＝ ，以上两b a 1 a(a1b a种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点 A(m ＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点 C(－ 4，3)，D(0，5)的直线平行，则 m 的值为 ()A ．－ 1B ．－ 2C ． 2D ．1解析由题意得： k AB ＝＝， CD ＝＝ 由于 AB ∥ CD ，即 AB ＝ CD ，k . kk所以＝，所以 m ＝－ 2当 0＜ k ＜时，直线 l 1 ：kx －y ＝ k － 1 与直线 l 2：ky － x ＝ 2k 的交点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为 0＜ k ＜，所以＜ 0，＞ 0，故交点在第二象限．若直线 l 1： y ＝ k(x － 4)与直线 l 2 关于点 (2， 1)对称，则直线 l 2 经过定点 ()A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－ 2)解析直线 l 1： ＝ － 经过定点 ，其关于点 对称的点为 (0,2)，又直线 l 1： ＝ －y k(x 4) (4,0)(2,1) y k(x 4)与直线 l 2 关于点 (2,1)对称，故直线 l 2 经过定点 (0,2)．从点 (2，3)射出的光线沿与向量a ＝ (8，4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为()A ． x ＋2y － 4＝ 0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ． 6x ＋ y － 8＝0解析由直线与向量 a ＝ (8,4)平行知：过点 (2,3)的直线的斜率 k ＝，所以直线的方程为y －3＝(x －与 (0,2)，由两点式知 A 正确．填空题：已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3b 的最小值为 _____解析由于直线 ax＋by－ 6＝ 0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，所以 a(b－3)＝2b，即＋＝ 1(a，b均为正数 )，所以 2a＋ 3b＝ (2a＋ 3b)＝ 13＋6≥13＋6×2＝ 25(当且仅当＝，即 a＝b＝5 时取等号 ) 若直线 (3a＋2)x＋(1－ 4a)y＋8＝0 与(5a－ 2)x＋ (a＋4)y－7＝0 垂直，则 a＝ ________解析由两直线垂直的充要条件，得 (3a＋ 2)(5a－2)＋ (1－4a)(a＋4)＝ 0，解得 a＝0 或 a＝1.已知两直线方程分别为 l1： x＋ y＝1， l2： ax＋ 2y＝ 0，若 l1⊥ l2，则 a＝________.解析∵l1⊥l2，∴12＝－，即＝－，解得＝－2.k k11a已知直线 y＝ kx＋ 2k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ________解析由方程组解得 (若 2k＋ 1＝ 0，即 k＝－，则两直线平行 )，∴交点坐标为，又∵交点位于第一象限，∴解得－＜ k＜.直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－ 4， 5)的距离相等，则直线l 的方程为 ______解析当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y－ 2＝ k(x＋ 1)，即 kx－ y＋ k＋ 2＝0.由题意知＝，即 |3k－1|＝|－3k－ 3|，∴ k＝－ .∴直线 l 的方程为 y－ 2＝－ (x＋ 1)，即 x＋3y－5＝ 0.当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x＝－ 1，也符合题意．过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2： x－ 3y＋10＝ 0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 ________________解析设 l1与l 的交点为－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－－在 2 上，A(a,8a,2a 6)l代入 l2的方程得－ a－ 3(2a－ 6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为x＋4y－4＝0与直线 l1：3x＋2y－6＝0 和直线 l2： 6x＋4y－3＝0 等距离的直线方程是 ________解析l2：6x＋ 4y－ 3＝0 化为 3x＋ 2y－＝ 0，所以 l1与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为3x＋ 2y＋c＝0，则： |c＋ 6|＝|c＋|，解得 c＝－，所以 l 的方程为 12x＋ 8y－ 15＝ 0.已知两直线 l1：ax－by＋ 4＝ 0 和 l2：(a－ 1)x＋ y＋ b＝ 0，若 l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 a＋ b＝ ________解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，∴ a＋b的值为0或已知直线 l1：ax＋y－1＝0，直线 l2：x－y－3＝0，若直线 l1的倾斜角为，则 a＝ ______；若 l1⊥l2，则 a＝ ________；若 l1∥l2，则两平行直线间的距离为 _______解析若直线 l1的倾斜角为，则－＝＝°＝，故＝－；若1⊥l2，则a × ＋×(－1)＝，a k tan451a1l 1 10故＝；若1∥l2，则＝－，1：－＋＝，两平行直线间的距离＝＝2.a 1l a 1 l x y 1 0d已知直线 l： 2x－ 3y＋1＝0，点 A(－ 1，－ 2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为 ________解析设 A′(x， y)，由已知得解得故A′.解答题：已知两直线 l1： x＋ ysinα－ 1＝0 和 l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥ l2；(2)l1⊥l2.解 (1)当 sinα＝ 0 时，直线 l1的斜率不存在， l2的斜率为 0，显然 l1不平行于 l2. 当sinα≠ 0 时， k1＝－， k2＝－ 2sinα，要使 l1∥l2，需－＝－ 2sinα，即 sinα＝±.所以α＝π±，∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝π±，∈时， 1∥l2.kk kk Z l(2)因为 A1A2＋ B1B2＝0 是 l1⊥l2的充要条件，所以 2sinα＋ sinα＝ 0，即 sinα＝ 0，所以α＝ kπ，k∈ Z.故当α＝ kπ， k∈Z 时， l1⊥l2.如图，设一直线过点 (－ 1,1)，它被两平行直线l1：x＋ 2y－1＝ 0，l2：x＋2y－ 3＝ 0 所截的线段的中点在直线 l3：x－ y－ 1＝ 0 上，求其方程．解与 l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋ 2y－2＝0.设所求直线方程为 (x＋ 2y－2)＋λ(x－ y－ 1)＝0，即 (1＋λ)x＋ (2－λ)y－2－λ＝ 0.又直线过 (－ 1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－ 2－λ＝ 0，解得λ＝－ .∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－ 1,0)，一条边所在的直线方程是x＋ 3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点 C 到直线 x＋3y－ 5＝ 0 的距离 d＝＝ .设与 x＋3y－ 5＝ 0 平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝ 0(m≠－5)，则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝＝，解得 m＝－ 5(舍去 )或 m＝7，所以与 x＋ 3y－ 5＝ 0 平行的边所在直线的方程是x＋3y＋ 7＝ 0.设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是3x－ y＋ n＝ 0，则点 C 到直线 3x－ y＋n＝0 的距离 d＝＝，解得 n＝－ 3 或 n＝9，所以与 x＋3y－ 5＝ 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0.已知直线 l：2x－ 3y＋ 1＝ 0，求直线 m： 3x－ 2y－ 6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程解在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M ′必在直线 m′上．设对称点 M ′ (a，b)，则解得∴ M ′.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)．又∵m′经过点 N(4,3)．∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.求与直线 3x＋4y＋ 1＝ 0 平行且过点 (1， 2)的直线 l 的方程．解依题意，设所求直线方程为3x＋ 4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点 (1，2)，所以 3× 1＋ 4× 2＋ c＝0，解得 c＝－ 11.因此，所求直线方程为3x＋4y－ 11＝0.求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2： x＋ y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋ 5＝ 0 垂直的直线 l 的方程．解解方程组得 P(0，2)．因为 l3的斜率为，且 l⊥ l3，所以直线 l 的斜率为－，由斜截式可知 l 的方程为 y＝－ x＋ 2，即 4x＋3y－ 6＝ 0.已知△ ABC 的顶点 A(5， 1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x－y－5＝0，AC 边上的高BH所在直线方程为x－ 2y－5＝0，求直线 BC 的方程．解依题意知： k AC＝－ 2，A(5，1)，∴l AC为 2x＋ y－11＝ 0，联立 l AC、 l CM得∴C(4， 3)．设 B(x0，y0)， AB 的中点 M 为(， )，代入 2x－y－ 5＝ 0，得 2x0－ y0－ 1＝ 0，∴∴ B(－1，－ 3)，∴k BC＝，∴直线 BC 的方程为 y－3＝(x－4)，即 6x－5y－ 9＝ 0.已知直线 l 经过直线 l1：2x＋ y－5＝0 与 l2： x－ 2y＝ 0 的交点．(1)若点 A(5， 0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5， 0)到 l 的距离的最大值．解(1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋－＋λ －＝，即y5) (x 2y)0(2＋λ)x＋ (1－2λ)y－ 5＝ 0，∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3，∴＝3，2即 2λ－5λ＋2＝0，∴λ＝ 2，或λ＝，∴ l 的方程为 x＝2 或 4x－3y－ 5＝ 0.(2)由解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d≤PA(当 l⊥ PA 时等号成立 )．∴d max＝PA＝＝ .专项能力提升若点 (m，n)在直线 4x＋3y－10＝ 0 上，则 m2＋ n2的最小值是 ()A．2B．2C．4D．2解析因为点 (m， n)在直线 4x＋ 3y－10＝0 上，所以 4m＋ 3n－10＝0.欲求 m2＋ n2的最小值可先求的最小值，而表示 4m＋3n－ 10＝ 0 上的点 (m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝ 0 垂直时，原点到点 (m，n)的距离最小为 2.所以 m2＋ n2的最小值为 4.已知直线 l： y＝ x－ 1，(1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q；(2)求 l 关于点 (2,3)对称的直线方程．解 (1)设 Q(x0， y0)，由于 PQ⊥ l，且 PQ 中点在 l 上，有解得∴Q.(2)在 l 上任取一点，如 M (0，－ 1)，则 M 关于点 (2,3)对称的点为 N(4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与 l 平行，∴所求方程为 y－7＝(x－4)，即为 x－ 2y＋ 10＝ 0.。
两直线的位关系(2)
（二）两直线的位置关系一、知识归纳：12．点到直线的距离：（1）设点),(00y x P ，直线0:=++C By Ax l ，则P 到直线l 的距离为_________________ （2）两平行直线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 之间的距离：_________________ 3．几种常用的直线系方程：（1）过点),(00y x P 的直线系方程：________________________________________ （2）与直线b kx y +=平行的直线系方程：_____________________________________. （3）与0=++C By Ax 平行的直线系方程：________________________________________（4）与0=++C By Ax 垂直的直线系方程：______________________________________ （5）过两直线0:1111=++C y B x A l 与0:2222=++C y B x A l 交点的直线方程： ______________________________________________________ 4．对称问题：（1）点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称的点),(''y x Q 满足方程组： （2）直线0:=++C By Ax l 关于点),(00y x P 的对称直线的方程：（3）直线关于直线的对称直线的方程： 二、学习要点：1．熟练掌握两直线平行、垂直的条件和点到直线的距离公式；由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．2．掌握对称问题的基本类型的解法；解决轴对称问题关键要抓住两点：一是两对称点连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上。
高三数学两直线的位置关系
A B
P
O
x
θ A1
B1
〖思维点拨〗；要求直线方程只要有：点和斜
率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。
备用题：
例5、 已知A（0，3），B（-1，0），
C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD
是等腰梯形。
A
D2
A2 B2
平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的
距离为
d C1 C2
A2 B2
1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0
2、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0
3、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2： A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（ λ∈R）(除l2外)。
l1与l2的夹角θ，θ∈ k1·k2≠-1）。
[0, 有] tanθ=|
2
k2 1 k1
kk|1（2
若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则 有Ax0+By0+C=0；若点P（x0，y0）不在直线 Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C≠0，此时点 P（x0，y0）到直线的距离： d Ax0 By0 C
〖思维点拨〗 先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。
例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所
高三数学两条直线的位置关系2
课题：7.3两条直线的位置关系(二)夹角教学目的：1.明确理解直线l i到丨2的角及两直线夹角的定义•2.掌握直线h到12的角及两直线夹角的计算公式•3.能根据直线方程求直线11到12的角及两直线夹角.教学重点：两条直线的夹角.教学难点：夹角概念的理解.授课类型：新授课-课时安排：1课时-教具：多媒体、实物投影仪-内容分析：首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l i到12的角，直线11与12的夹角，并且在有关公式的推导过程中，弓I导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度-教学过程：一、复习引入：1.特殊情况下的两直线平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90 °，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直-2.斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即IM/J二k1=k2且d =b2已知直线I1、I2的方程为l1: A1X By C^0 ,12: A2X B2 y C2 = 0 (A)B1C^- 0, A2B2C2 = 0)11〃l2的充要条件是十詈C⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k -1 .已知直线11和12的一般式方程为11: A1x B1y C^0 ,l2: A2X B2y C2 = 0 ,则h _ l2A1A2 B1B2 = 0 -二、讲解新课：1.直线丨1到丨2的角的定义：两条直线丨1和J相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线丨1按逆时针方向旋转到与丨2重合时所转的角，叫做丨1到丨2的角• 在图中，直线丨1到*的角是円，丨2到丨1的角是I1到丨2的角 r ：0°< 0 < 1 8 0° .2 .直线丨1到*的夹角定义如图，丨1到丨2的角是片，丨2到丨1的角是n - ^1,当丨1与丨2相交但不垂直时-1和n -齐仅有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线丨1丄*时，直线丨1与丨2的夹角是一•2夹角：：0°< ：w 90° .说明:3 > 0，二2 > 0,且V广咕冗3.直线|1到|2的角的公式：ta- ' kr1 +k2k1推导：设直线|1到|2的角二，l1: ^ k1x b1，l 2: ^ k2x b2.2如果1 k1k^0,即k1k^-1,则如果1・k1k2=0,设丨1, l2的倾斜角分别是:1和〉2 ,2则 tan _：” = k 1, tan _：込 =k 2.由图（1）和图（2）分别可知V - ? ? 1 或亍-二 _• r _ ：• 2） _ 二.（〉2 _「•!）tan J - tan （： 2 -匚r ）或 tan 二-tan ［二 C 2 -二』二 tan （： 2 - ：r ）tan 一：込 一 tan 一山 k^k i疋 tan r1 +ta na 2ta n%1 +k 2k r根据两直线的夹角定义可知，夹角在（0° , 90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于 0•故可以由11到12的角取绝对值而得到11与12的夹 角公式•这一公式由夹角定义可得- 三、讲解范例：3例1求直线h : y 二-2x • 3」2 : y = x 的夹角（用角度制表示）2解：由两条直线的斜率- -2,k 2 =1,得利用计算器计算或查表可得：〉-71° 34'- 说明:应用了两直线夹角公式，要求学生熟练掌握解：设h , l 2 , l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3, l 1到l 2的角是3, 12到l 3的角是4•直线h ,丨2的夹角公式 tan ：=1 k 2k 1tan ：=1-（-2） 1 1 （-=3.例2等腰三角形一腰所在直线11的方程是x-2y-2=0,底边所在直线12的方程是x y -^0，点（-2,0）在另一腰上求这条腰所在直线 l 3的方程.(-1) -丄tan "丄 0231 +k 2k 11 + (_巧丄 2因为丨 1 ,丨 2 ,丨3所围成的三角形是等腰三角形 ，所以“ =二2, tan 二2 = tan “ = 一3. 即 -------- =一3.1 十 k 3k 2k 3 +1将k 2 = -1代入得一3,解得k 3 = 2.1 — k 3因为丨3经过点（-2,0）,斜率为2,写出其点斜式方程为得：2x - y • 4 =0 •即直线丨3的方程-四、课堂练习： 1 •求下列直线11到丨2的角与丨2到h 的角:1(1) 11 : y = X + 2；丨2: y = 3X +7；(2)丨 1 : X — y = 5 ；12: X + 2y — 3= 0k 2 = 3,「.设11到12的角为宀,贝H tan 3|1 = ―2 k-11 +k 1k 2二片=4 5°即11到J 的角为45 ° . ••• J 到11的角为135° .1⑵解：& = 1, k 2 =——-2•••设l 1到l 2的角为片，则丨2到l 1的角为?12 = n —二1y =2[X -(-2)].3-丄 亠=1 1卫2-1-1 23 ,- 二1 = n — arctan3. ^2= arctan31一12即l 1到12的角为n — arctan3 , l 2到l 1的角为arctan3 2.求下列两条直线的夹角:即两直线夹角为4 5°⑶ k1= 3, k2=-五、小结：通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与 到12的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题(1)(2) (3)5 x — y = 5; x — 3 y = 9,解：(1) k 1 = 3, k ?k? - & 1 k 1k 21y =— 一 x + 4；3y = 4 .6x + 10y + 7= 0.-1，则 3 -1 -3 3 1-3 -3 ⑵ k i = 1, k 2 = 0,tank 1 • k 2 1 k 1k 2=-1，此时，两直线夹角为 90° .分母为0,正切值不存在)=1,=4 5° ,六、课后作业：课本P 53习题7.3 8.三角形的三个顶点是 度数. 解：由斜率公式：3—3 kAB == 0, kBC9 一6A (6 , 3) ,B (9 , 3),C (3 , 6)，求它的三个内角的tan CA = kAC 一51+kAC ，kAB6 _3 二 3-9 一1 kkAC2CA = 135 °ta n“ =匹k11 k 1k 2k 1 • k 2 =— 1, .••两直线夹角为 90°王新敞1tan ABC=—kBC2— ,「./ CBA= arctan — = 26° 34' 1 k AB k Bc 102 2•••/ C = 180°— 135°— 26° 34'= 18° 26'9.已知直线I 经过点P(2,1 )，且和直线5x + 2y + 3 = 0的夹角等于45 求直线I 的方程•解：设直线I 的斜率为k 1，直线5x + 2y + 3= 0的斜率为k 2.-5-k 12_ 1 -5k 1237 解得k 1 =-—或k 1 =.733 7所以直线I 的方程为：y — 1 = 一一 ( x — 2)或y — 1 =( x — 2)73即: 3x + 7y — 13= 0 或 7x — 3y — 11 = 0 - 七、 板书设计(略)- 八、 课后记：-1 k 1 k 2=1，即。
高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点梳理-教学文档
高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点梳理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点，具体请看以下内容。
空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
高中必修高一数学PPT课件两条直线的位置关系
当 tan 0时,直线l1到直线l2的角
当 tan 0时,直线l1到直线l2的角
是锐角; 是钝角;
把其中的锐 角叫做两条 直线的夹角
k 2 k1 tan 1 k 2 k1
当直线l1⊥l2时,直线l1和l2的夹角是 2 .
3 例:求直线l1: y=-2x+3 , l2: y=x- 的夾角 2
l1 : 2x 4 y 7 0, l2 : 2 x y 5 0.
求证: l1 l2 . 证明:
1 l1的斜率 k1 2,
l 2的斜率 k2 2,
1 k1 k2 (2) 1, 2
l1 l2 .
例 4 求过点A(2,1),且与直线 垂直的直线 解:直线
θ2 θ1
l2
l1
求斜率为k1、k2的两条直线l1到l2的角 . 设己知直线的方程分别是
l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
如果1+ k1k2=0 , 即 k1k2= -1 ,那么
, 2
所以,当直线l1⊥ l2时,直线l1和l2的夹角是
2
.
1 2 ,
l1 // l2 .
结论: 当直线l1 和 l 2 有斜截式方程
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2 .
时,直线 l1 // l2 的充要条件是:
k1 k 2 且 b1 b2 .
例一 已知直线方程 l1 : 2 x 4 y 7 0, l2 : x 2 y 5 0 求证 : l1 // l2 证明:把 l1, l 2的方程写成斜截式
设直线
高中 平面解析几何 两条直线的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。
高一数学高效课堂资料2.2.3两条直线的位置关系(一)
高一数学高效课堂资料教案：课题： 2.2.3两条直线的位置关系（一）教学目标：1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．重点难点：重点 ：两条直线相交、平行与重合的条件。
难点 ：斜率是否存在与直线重合的两种情况的讨论。
教学方法：问题引导法 教学过程： 一、导入新课问题1： 什么是直线方程的斜截式和一般式？ 问题2： 什么是直线的斜率和截距？二、形成概念1、两条直线有几种位置关系，如何来判断？【思考】已知直线,:,:222111b x k y l b x k y l +=+=如何用这两条直线的斜率,,21k k 以及,,21b b 判定这两条直线平行或者重合？三、概念深化2、已知两条直线方程的一般式()0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l，那么这两条直线相交（垂直）、平行、重合的条件分别是什么？结论：两条直线平行(1)两条不重合的直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2(b 1≠b 2)，若l 1∥l 2，则______；反之，若______，则l 1∥l 2.(2)若两条不重合的直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，若l 1∥l 2，则________，反之也成立．(3)设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，则与直线l 平行的直线可设为Ax ＋By ＋D ＝0.四、应用例1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行.(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5).【精彩点拨】 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.【自主解答】 (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝53－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝413－2＝1，故直线l 1与直线l 2重合. (3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合.(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.2.应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解. 例2 直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．[思路分析] 一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．解法1：(1)当l 1，l 2斜率都存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，4(m －3)≠0，所以m ≠0且m ≠3.由l 1∥l 2，得－m ＋2m 2－3m ＝－24(m －3)，解得m ＝－4.此时l 1：x －14y －2＝0，l 2：x －14y －12＝0，显然，l 1与l 2不重合，满足条件．(2)当l 1，l 2斜率不存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，4(m －3)＝0，解得m ＝3.此时l 1：x ＝－45，l 2：x ＝12，满足条件．综上所述：m ＝－4或m ＝3.五、随堂练习1. 已知直线－6x ＋2y ＋3＝0与直线3x －y －2＝0，则两直线的位置关系是( )A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交2. (1)求过点(1,2)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程；(2)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，求m 的值． 3. 两条直线032=-+k y x 和012=-+ky x 的交点在y 轴上，那么k 的值是（ ） A 、-24 B 、6 C 、6± D 、244. 直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相平行，求a 的值．六、课堂小结1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．七、作业1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A.－3B.3C.－13D.132．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝04．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．0或－15.已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2的斜率k 2＝m 2＋3－4，若l 1∥l 2，则m 的值为________.6．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程。
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.无论m为何值，直线：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为．【答案】【解析】化简直线为关于的方程,因为直线恒过定点,所以,解得,则点.【考点】转化方程的变量,求恒过定点.2.已知直线：，（不同时为0），：，（1）若且，求实数的值；（2）当且时，求直线与之间的距离.【答案】（1）2；（2）【解析】（1）因为若时.所以直线.又因为，所以可得（舍去）.所以.（2）因为当时，.又因为所以可得，解得.所以两条直线分别是；.所以两平行线间的距离.本题主要是考查两直线垂直于平行的位置关系.最好要记住通用的公式便于解题，否则要把直线化为斜截式可能会解题不完整.试题解析：（1）当时，：，由知， 4分解得； 6分（2）当时，：，当时，有 8分解得， 9分此时，的方程为：，的方程为：即， 11分则它们之间的距离为. 12分【考点】1.直线平行的公式.2.直线垂直的通用公式.3.已知的三个顶点(4,0），(8,10），(0,6）.(Ⅰ)求过A点且平行于的直线方程；(Ⅱ)求过点且与点距离相等的直线方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）因为所求直线平行于，所以由直线的斜率得所求直线的斜率，再由点斜式写出所求直线方程，两点斜率公式为（Ⅱ）先根据点到直线距离公式得到一个含绝对值的等式，再根据绝对值的定义去绝对值解出直线斜率. 利用点到直线距离公式时，需先将直线方程写出一般式. 点到直线距离公式为试题解析：（Ⅰ）过A点且平行于BC的直线为即 6分(Ⅱ)设过B点的直线方程为即 8分由即或 10分所求的直线方程为或即或 12分【考点】直线点斜式方程，点到直线距离，直线斜率公式4.已知三条直线a,b,c,若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面【答案】D【解析】画图分析可知空间直线的三种位置关系均有可能。
高考数学考点突破——解析几何：两条直线的位置关系
两条直线的位置关系【考点梳理】1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离考点一、两条直线的平行与垂直【例1】 (1)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0[答案] (1)A(2)A[解析] (1)当a＝1时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．(2)直线x－2y＋3＝0的斜率为12，从而所求直线的斜率为－2.又直线过点(－1,3)，所以所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.【类题通法】1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．【对点训练】1. 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x ＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8[答案] A[解析] ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.考点二、两直线的交点与距离问题【例2】 (1)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程.[答案] (1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 (2) 8x －y －24＝0[解析] (1) 法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)，∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－2＝0，6－x 0－y 0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝113，y 0＝163，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8， 直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.【类题通法】1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．【对点训练】2．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．[解析] ①过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)， 此时|AB |＝5，即直线l 的方程为x ＝1.②设过点A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得x ＝k ＋7k ＋2且y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则l 与l 1平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 又A (1，－1)，且|AB |＝5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34. 因此y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.考点三、对称问题【例3】 (1)平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．(2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________．[答案] (1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0[解析] (1)法一：在直线l 上任取一点P ′(x ，y )，其关于点(1,1)的对称点P (2－x,2－y )必在直线y ＝2x ＋1上，∴2－y ＝2(2－x )＋1，即2x －y －3＝0.因此，直线l 的方程为y ＝2x －3.法二：由题意，l 与直线y ＝2x ＋1平行，设l 的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等， ∴|2－1＋c |22＋1＝|2－1＋1|22＋1，解得c ＝－3. 因此所求直线l 的方程为y ＝2x －3. 法三：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1)，B 关于点(1,1)对称的点N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.(2)作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.【类题通法】1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【对点训练】3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0[答案] B [解析] 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1,1)． 在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1,0)，设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n －0m ＋1×(－1)＝－1，m －12＋n 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝3. 故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.。
第九章 92两条直线的位置关系
§9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.概念方法微思考1.若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12·l l k k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l2.( × )(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ ) 题组二 教材改编2.已知点(a ，2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2. ∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 题组三 易错自纠5.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行， 则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.6.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______. 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.两条直线的平行与垂直例1 (2019·包头模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A.－1 B.2 C.0或－2 D.－1或2答案 D解析 方法一 ∵直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0的斜率存在. 又∵l 1∥l 2， ∴a －1－2＝－1a ，∴a ＝－1或a ＝2，又两条直线在y 轴上的截距不相等. ∴a ＝－1或a ＝2时满足两条直线平行.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0得，(a －1)a －1×2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得(a －1)×3－1×1≠0. 所以a ＝－1或a ＝2.本例中，若l 1⊥l 2，则a ＝________.答案 13解析 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－2×⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a ＝13.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得(a －1)×1＋2a ＝0. 解得a ＝13.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A.－32B.0C.－32或0D.2答案 C解析 若a ≠0，则由l 1∥l 2⇒a ＋11＝－a 2a ，故2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，l 1∥l 2，故选C.(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则a ＝________. 答案 23解析 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0， 解得a ＝23.两直线的交点与距离问题1.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.2.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.对称问题命题点1 点关于点中心对称例2 过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________. 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例3 如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A.3 3B.6C.210D.2 5答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例4 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________. 答案 x －2y ＋3＝0解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，∵点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2 (1)坐标原点(0，0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B.⎝⎛⎭⎫－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D.⎝⎛⎭⎫45，85 答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85. (2)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( ) A.a ＝13，b ＝6B.a ＝－3，b ＝16C.a ＝3，b ＝－16D.a ＝－13，b ＝－6答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上， 所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13.(3)直线l ：x －y －2＝0关于直线3x －y ＋3＝0对称的直线方程是________. 答案 7x ＋y ＋22＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－52，y ＝－92，∴两直线的交点为M ⎝⎛⎭⎫－52，－92，该点也在所求直线上， 在l 上任取一点P (0，－2)，设它关于直线3x －y ＋3＝0的对称点为Q (x 0，y 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0－0×3＝－1，3×x 02－y 0－22＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－1，∴Q (－3，－1)且在所求直线上.∴k MQ ＝－1＋92－3＋52＝－7，∴所求直线方程为y ＋1＝－7(x ＋3)，即7x ＋y ＋22＝0.在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系. 一、平行直线系例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程.解题方法 因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1). 解 由题意，可设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线l 过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解. 例2 求经过点A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程. 解题方法 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3 经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于3x ＋4y －7＝0的直线方程为________.解题方法 可分别求出直线l 1与l 2的交点及所求直线的斜率k ，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；还可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解. 答案 4x －3y ＋9＝0解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0. 方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得两直线交点坐标为⎝⎛⎭⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.方法三 由题意可设所求直线方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件.3.已知直线l 过点(0，7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( ) A.y ＝－4x －7 B.y ＝4x －7 C.y ＝4x ＋7 D.y ＝－4x ＋7答案 D解析 过点(0，7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4.若m ∈R ，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由log 6m ＝－1得m ＝16，若l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m ＝0或m ＝16，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的充分不必要条件.故选A.5.若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A.－12 B.－2 C.0 D.10 答案 A解析 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得p ＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2).又垂足在直线2x －5y ＋n ＝0上，得n ＝－12.6.若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B.42 C.823 D.2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， ∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.7.点M (－1，0)关于直线x ＋2y －1＝0的对称点M ′的坐标是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－15，85 解析 过点M (－1，0)与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线方程为2x －y ＝－2，可解得两垂直直线的交点坐标为N ⎝⎛⎭⎫－35，45，则点M (－1，0)关于点N ⎝⎛⎭⎫－35，45的对称点坐标为M ′⎝⎛⎭⎫－15，85. 8.直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是______________.答案 3x ＋4y ＋5＝0解析 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.9.(2020·唐山模拟)已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________.答案 －13或－79解析 由点到直线的距离公式 得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－13或－79. 10.已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为______________.答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11.设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程.解 方法一 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C (1，0). ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎨⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝⎛⎭⎫53，23. 则C ，D 的中点M 为⎝⎛⎭⎫43，13.又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为y －131－13＝x －43－1－43， 即2x ＋7y －5＝0为所求方程.方法二 ∵与l 1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0，得M ⎝⎛⎭⎫43，13.(以下同方法一) 方法三 过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x ＋7y －5＝0.方法四 设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0⇒(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0. 又A ，B 的中点在直线x －y －1＝0上，∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0. 解得⎩⎨⎧ x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同方法一)12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.13.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( ) A. 5 B. 6 C.2 3 D.2 5答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2. 把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0.∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号.∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.14.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7，3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A.4x ＋2y ＋3＝0B.2x －4y ＋3＝0C.x －2y ＋3＝0D.2x －y ＋3＝0答案 B解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为⎝⎛⎭⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x －4y ＋3＝0.16.已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，求|P A |＋|PB |的最小值.解 设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴|P 0A 1|＝|P 0A |，|P A 1|＝|P A |.在△A 1PB 中，|P A 1|＋|PB |＞|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |，∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3， ∴A 1(0，3).∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝82＋(－1)2＝65.。
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线与直线平行，，直线整理得：，则它们之间的距离是.【考点】两条平行直线间的距离．2.在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，设有下列四个说法：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交上述说法中，所有正确说法的序号是【答案】②③④【解析】若点在直线上，即满足所以不存在这样的实数所以①不正确；若，即，所以即所以即过、两点的直线与直线平行成立所以②正确；若即把线段的中点代入直线即可得，所以③正确；若即，所以与的值同正或同负，即点、在直线的同侧，又因为>所以点N离直线更近，所以直线与线段的延长线相交所以④正确综上填②③④【考点】1 点与直线的位置关系 2 平行直线的关系式 3 分式不等式的解法3.已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以与线段的垂直平分线的斜率为。
点、中点为，即，所以线段的垂直平分线的点斜式方程为，即。
故B正确。
【考点】两直线垂直的关系及直线方程。
4.若直线与平行，则的值为（）A．－3B．1C．0或－D．1或－3【答案】B【解析】因为，直线与平行，所以，a(a+2)-1×3=0,解得，a=1或a=－3，但a=－3时，两直线重合，故选B。
【考点】本题主要考查两直线平行的条件。
点评：简单题，在直线方程的一般式下，两直线平行的条件是：.5.已知直线3x＋4y－3 =" 0" 与 6x＋my＋1 =" 0" 互相平行, 则它们之间的距离是【答案】【解析】因为直线3x＋4y－3 =" 0" 与 6x＋my＋1 =" 0" 互相平行,所以m=8，由6x＋8y＋1 = 0，得，3x+4y+=0,由平行直线之间的距离公式，得，它们之间的距离是=。
第25讲两直线的位置关系
22，
2
2
C．
23，
3
2
D．
25，
5
2
[解析] 因为定点 A(1，0)，点 B 在直线 x－y＝0 上运动，所以
当线段 AB 最短时，直线 AB 和直线 x－y＝0 垂直，AB 的方程
为 y＋x－1＝0，它与 x－y＝0 联立解得 x＝12，y＝12，所以 B
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第八章 平面解析几何
[题点通关]
角度一 求距离
1．在直角坐标平面内，过定点 P 的直线 l：ax＋y－1＝0 与过
定点 Q 的直线 m：x－ay＋3＝0 相交于点 M，则|MP|2＋|MQ|2
的值为( D )
A．
10 2
B． 10
C．5
D．10
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第八章 平面解析几何
[解析] 由题意知 P(0，1)，Q(－3，0)， 因为过定点 P 的直线 ax＋y－1＝0 与过定点 Q 的直线 x－ay＋ 3＝0 垂直，所以 M 位于以 PQ 为直径的圆上， 因为|PQ|＝ 9＋1＝ 10， 所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选 D.
12|－＋1（－－m2|）2＝ 5，即|m＋1|＝5， 所以 m＝4 或 m＝－6.
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第八章 平面解析几何
5.教材习题改编 已知三点 O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则△OAB 的面积为____4____． [解析] 因为|AB|＝ （1－3）2＋（3－1）2＝2 2. AB 所在的直线方程为 1y－－33＝x3－－11，即 x＋y－4＝0. 所以 O 到 AB 的距离 d＝|－24|＝2 2. 所以 S△OAB＝12|AB|·d＝12×2 2×2 2＝4.
2019年高中数学 1.2.2空间两条直线的位置关系(1)教案 苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系（1）教学目标：1．了解空间两条直线的位置关系；2．理解并掌握公理4及等角定理；3．初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略.教材分析及教材内容的定位：本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.教学重点：异面直线的定义，公理4及等角定理．教学难点：异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透.教学方法：变式：如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四边A B CDB A 1C 1B 1D 1A B C D E F形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形EFGH 的形状还是平行四边形吗？例2 如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E 1，E 分别为A 1D 1，AD 的中点，求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB ．2．练习.（1）若两直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系________________． （2）直线a 和b 分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a 和b 的位置关系是_________．（3）如果OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1，∠AOB ＝40o，则∠A 1O 1B 1＝ ．（4）如图已知AA 1，BB 1，CC 1不共面，AA 1 BB 1，BB 1 CC 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1．A B CD E F GHA B CDE F G H折叠E 1E A 1C 1B 1D 1 ABCD∥ ∥。
高三第一轮复习数学---两直线的位置关系
高三第一轮复习数学---两直线的位置关系一、 教学目标：1、掌握两条直线平行与垂直的判断条件，能根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2、掌握两条直线所成角和点到直线的距离公式；掌握对称和三角形的高、中线、角平分线等知识的处理方法。
3、两条直线位置关系的讨论，常常转化为对表示它们的两个二元一次方程的讨论。
注意数形结合思想的应用。
二、教学重点：1、两直线平行和垂直的充要条件，根据直线方程判断两直线的位置关系。
2、到角与夹角的计算。
3、两直线的交点及过交点的直线系方程。
4、点到直线与两平行直线间的距离。
三、教学过程：（一）主要知识：1、直线与直线的位置关系：（1） 有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2；有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1；③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。
（2） 一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。
2、到角与夹角：3、l 1到l 2的角：直线l 1绕交点依逆时针旋转到l 2所转的角θ∈),[π0有tan θ=21121k k k k ⋅+-（k 1·k 2≠-1）。
l 1与l 2的夹角θ，θ∈],[20π有tan θ=|21121k k k k ⋅+-|（k 1·k 2≠-1）。
4、 点与直线的位置关系： 若点P （x 0，y 0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax 0+By 0+C=0；若点P （x 0，y 0）不在直线Ax+By+C=0上，则有Ax 0+By 0+C ≠0，此时到直线的距离：2200BA CBy Ax d +++=。
两条直线的位置关系 高考考点精讲
1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.【知识拓展】 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析 直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)， 又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直， 所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.4．(2017· 朝阳调研)已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0 D ．8 答案 A解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴(－1n )×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.5．(教材改编)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求， 故必要性成立，故选C.(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 ①方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在， l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z .又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二 两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________．(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.(2)(2016·济南模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( ) A.52 2 B ．5 2 C.152 2 D ．15 2 答案 B解析 设P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20，即x －y ＝10. ∴y ＝x －10，∴P (x ，x －10)， ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋(x －10)2 ＝2(x －5)2＋50≥50＝5 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5 答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)．则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·泰安模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x ×3＝－1. ①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)． l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3， ∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.20．妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．思想方法指导 因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)． 规范解答解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解． 典例2 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解． 规范解答解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解． 规范解答解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (1)充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1. 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州月考)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)， 则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2. 故选B.5．(2016·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910，故选C.6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323 答案 A解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线， 即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345，故选A.7．(2016·忻州训练)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________. 答案 0或83解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83.8．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.9.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a.Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6. 10．(2016·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________． 答案 (2,4)解析 如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|PB |＋|PD |＋|P A |＋|PC |≥|BD |＋|AC |＝|QA |＋|QB |＋|QC |＋|QD |，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2(x －1)，y －5＝－(x －1)，得Q (2,4)． 11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.证明 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)． (2)过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.*13.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1， l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1．(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案 B解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43.3．(2016·西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝52－4.5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内．直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________． 答案 相切解析 由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |(a ＋b )2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝⎛⎭⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切．题型二圆与圆的位置关系例2(1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．答案(1)B(2)(－22，0)∪(0,22)解析(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<a2＋a2<2＋2，∴0<|a|<2 2.∴a∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m，解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为 2(11)2－(|4×1＋3×3－23|42＋32)2＝27.题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)， 则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)C (2)A1．(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案 C解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9.3．(2016·南昌二模)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )． 化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1， ∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.4．(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l与圆D 相交．6．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( ) A ．3－ 2 B ．4 C ．3＋ 2 D ．6答案 C解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.7．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________. 答案22解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22.9．(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}， 表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)． N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}， 表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆． 再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点， 故半圆和圆相交或相切．当半圆和圆相外切时，由|OO ′|＝2＝2a ＋a ， 求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由|OO ′|＝2＝2a －a ， 求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]， a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
高中数学考点-两条直线的位置关系
9．2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________． 2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________． 3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离 d ＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行 3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1－C 2A 2＋B 2过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解：由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2，3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.故选A.对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( ) A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(－2，3)D ．(3，－2)解：直线y ＝ax －3a ＋2变为a (x －3)＋(2－y )＝0.又a ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，2－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2得定点为(3，2)．故选B.已知直线l 1：mx ＋y －2＝0，l 2：6x ＋(2m －1)y －6＝0，若l 1∥l 2，则实数m 的值是( ) A ．－32B ．2C ．－32或2D.32或－2 解：当m ＝0时，直线l 1：y －2＝0，l 2：6x －y －6＝0，则l 1与l 2不平行，同理m ＝12时不平行；当m ≠0且≠12时，由l 1∥l 2，得m 6＝12m －1≠－2－6，解得m ＝－32，故选A.已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．解：依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧x －2y2＝0，2x ＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4，8)，B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.故填10.已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解：由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点(1，3)在直线ax ＋y ＋1＝0 上，k AB ＝－12，所以a ＝12或－4.故填12或－4.类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线l 1：ax －y ＋a ＋2＝0，l 2：ax ＋(a 2－2)y ＋1＝0，当a 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：首先由a ·(a 2－2)＝(－1)a ， 得：a ＝0或a ＝－1或a ＝1.所以当a ≠0且a ≠－1且a ≠1时两直线相交． 当a ＝0时，代入计算知l 1∥l 2， 当a ＝－1时，代入计算知l 1与l 2重合， 当a ＝1时，代入计算知l 1∥l 2.因此，(1)当a ≠－1且a ≠0且a ≠1时，l 1与l 2相交； (2)当a ＝0或a ＝1时，l 1与l 2平行； (3)当a ＝－1时，l 1与l 2重合．【点拨】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用结论：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0. 记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝－3m ，k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.所以当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值． 解：(1)解法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)．所以此种情况不存在，所以k 2≠0， 所以k 1，k 2都存在．因为k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.解法二：因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即b ＝a 2－a .①又因为l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z . 所以当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.【点拨】判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A 、B 为直径的端点作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C ，则AC ⊥C B.据题设条件可知AC ，BC 的斜率均存在．设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，去分母解得x ＝1或2.故C (1，0)或C (2，0)．类型三 对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解：(1)设A ′(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)． 则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，因为Q ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.【点拨】(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在． (2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．如图，已知A (4，0)、B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．解：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线所经过的路程的长为|CD |＝210.故填210.类型四 距离问题(1)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710B.175C ．8D ．2 解：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.故选D.(2)过点P (1，2)引直线，使A (2，3)、B (4，－5)到它的距离相等，求这条直线的方程． 解法一：因为k AB ＝－4，线段AB 中点C (3，－1)，所以过P (1，2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0.此直线符合题意．过P (1，2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.此直线也是所求．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0. 解法二：显然这条直线斜率存在． 设直线方程为y ＝kx ＋b ， 据条件有⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，|2k －3＋b |k 2＋1＝|4k ＋5＋b |k 2＋1.化简得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，k ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，3k ＋b ＋1＝0. 所以k ＝－4，b ＝6或k ＝－32，b ＝72.所以直线方程为y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72.即4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0. 【点拨】距离的求法： (1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．解：依题意知AB 的中点M 所在直线方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.故填3 2.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标． 证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，① 再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中， (m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1 ＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A. 证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点(－1，2)．【点拨】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3，4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 所以直线l 恒过定点(－2，3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2，3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝⎛⎭⎫－A 1B 1·⎝⎛⎭⎫－A 2B 2＝－1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 4．运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22 D.322 解：d ＝|1＋1＋1|2＝322.故选D.2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝－1.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A. 3．已知直线l 1：x ＋ay －2＝0，l 2：x －ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1⊥l 2，得1×1＋a ×(－a )＝0，解得a ＝－1或a ＝1，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件， 故选A.4．(2015·武汉调研)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解：设直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为－12，且过直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故选D.5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π3 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2 D.⎝⎛⎦⎤π6，π2解：如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3，0)，所以k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.故选B.6．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D. 7．点P 为x 轴上的一点，A (1，1)，B (3，4)，则|P A |＋|PB |的最小值是________．解：点A (1，1)关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，则|P A |＋|PB |的最小值是线段A ′B 的长为29.故填29.8．若O (0，0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________．解：由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a 4，即4a －a 2＋6＝±6，解得a ＝0或－2或4 或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.故填－2或4或6.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠－11，得sin θ＝±22.由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． 所以当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2.(2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )， 所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3.解得λ＝2或λ＝12.所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． 所以d max ＝|P A |＝10.11．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线l 2的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 、C 的坐标． 解：如图，设C (x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.即A (－1，0)． 又因为l 1⊥BC ， 所以k BC ·k l 1＝－1. 所以k BC ＝－1k l 1＝－112＝－2.所以由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又因为l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线， 所以B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得B ′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C (x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C (5，－6)． 已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，且a 2＋1≠3. 则b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 又若a ＝0，不满足l 1⊥l 2，则a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。
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南通市崇海高中高一下数学练习――两条直线的位置关系班级________学号__________姓名__________一 填空题1．直线02=+y ax 与直线043=--y x 平行，则a 的值为 _________ ．2.经过点(4,1)M -,且与直线3450x y -+=垂直的直线方程是 ____________ ．3．在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是 ____________________ ．4.过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有 ____条.5.过点(2,3)-，且与x 轴，y 轴的截距相等的直线方程是 _____________________ ．6.已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 ．7．斜率存在的直线l 经过2(2,1),(1,)()A B m m R ∈两点,那么l 的倾斜角的取值范围是_______________ ．8.直线01c o s =++⋅y x α的倾斜角的范围是__________ ．9.已知直线 1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则实数m 的值是 ．10．已知直线012)4()4(2=++++--m y m x m m 的倾斜角为43π，则m 的值是 ___ ．11．若0,0AC BC <<,则直线 0Ax By C ++=不经过第 象限．12.直线:40(0)l ax my a m ++=≠经过点(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．13.已知(2,3),(3,2)A B ---，直线:10l ax y a +--=与线段AB 相交，则a 的取值范围为 ．14．直线410ax y ++=与直线(1)1a x y -+=- 互相垂直，则a = .15．已知点(1,0)A -， 34(,)55B ,(1,0)C ，若直线AB 与BC 的倾斜角分别为βα,，则 βα,之间的关系是 ．16．有下列命题：（1）若两直线平行，则它们斜率必相等；（2）若两直线斜率乘积为1-, 则它们必互相垂直； （3）过点(1,1)-，且斜率为2的直线方程是121y x -=+；(4) 若直线的倾斜角为α，则πα≤≤0 （5）同垂直于x 轴的两条直线一定都和y 轴平行.其中为真命题的有________(填写序号). 二 解答题1．已知点(2,3),(1,1)A B 和直线1:3480l x y -+=，求 （1）经过点B ，且与直线1l 平行的直线的方程； （2）线段AB 的垂直平分线的方程； （3）经过点A 与直线013=+-y x 的夹角为3π的直线方程；(4) 与直线1l 平行，且与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线的方程。
2．已知两条直线12:(3)253,:4(5)16l m x y m l x m y ++=-++=，求分别满足下列条件时m 的值：（1）1l 与2l 相交； （2）1l 与2l 平行； （3）1l 与2l 重合； （4）1l 与2l 垂直.3．已知平行四边形两条边的方程是:10,:340AB AD l x y l x y +-=-+=，它的两条对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形其它两边所在直线的方程。
4．已知点(2,0)P 和函数42-=x y 图象上两点,A B ．（1）若直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值； （2）若AB PA ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．5．在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1，,AB AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 点与直角坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在的直线方程,并指出k 的范围。
6．（1）已知定点(8,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程。
（2）将点(8,4)P 改为“(,)(40)P m n m n >>”，解答上面的问题。
xB参考答案一 填空题1．直线02=+y ax 与直线043=--y x 平行，则a 的值为 ．－62.经过点(4,1)M -,且与直线3450x y -+=垂直的直线方程是 ．43130x y +-= 3．在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是 ．3260x y -+=4.过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有 ____条.35.过点(2,3)-，且与x 轴，y 轴的截距相等的直线方程是 _________ ．10x y ++=或 320x y +=．6.已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 ． 8-7．斜率存在的直线l 经过2(2,1),(1,)()A B m m R ∈两点,那么l 的倾斜角的取值范围是___[0,](,)42πππ⋃_______.8.直线01cos =++⋅y x α的倾斜角的范围是 ．3[0,][,)44πππ⋃9.已知直线 1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则实数m 只能是 ． 1-10．已知直线012)4()4(2=++++--m y m x m m 的倾斜角为43π，则m 的值是 ．2-或411．若0,0AC BC <<,则直线 0Ax By C ++=不经过第 象限．312.直线:40(0l a xm y a m ++=≠经过点(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．135︒13.已知(2,3),(3,2)A B ---，直线:10l ax y a +--=与线段AB 相交，则a 的取值范围为 ．34a ≤-或4a ≥ 14．直线410ax y ++=与直线(1)1a x y -+=- 互相垂直，则a = . 221± 15．已知点(1,0)A -， 34(,)55B ,(1,0)C ，若直线AB 与BC 的倾斜角分别为βα,，则 βα,之间的关系是 ．2παβ=-16．有下列命题：（1）若两直线平行，则它们斜率必相等；（2）若两直线斜率乘积为1-, 则它们必互相垂直； （3）过点(1,1)-，且斜率为2的直线方程是211=+-x y ；(4) 若直线的倾斜角为α，则πα≤≤0（5）同垂直于x 轴的两条直线一定都和y 轴平行;.其中为真命题的有________(填写序号). （2） 二 解答题1．已知点(2,3),(1,1)A B 和直线1:3480l x y -+=，求（1）经过点B ，且与直线1l 平行的直线的方程；（2）线段AB 的垂直平分线的方程； （3）经过点A 与直线013=+-y x 的夹角为3π的直线方程； (4) 与直线1l 平行，且与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线的方程。
（1）3410x y -+= （2）01142=-+y x （3）2=x或2)3y x =-+ （4）34120x y -±= 2．已知两条直线12:(3)253,:4(5)16l m x y m l x m y ++=-++=，求分别满足下列条件时m 的值：（1）1l 与2l 相交； 2(3)(5)24870m m m m ++-⨯=++=，1,7m m ≠-≠- （2）1l 与2l 平行； 7m =- （3）1l 与2l 重合； 1m =-（4）1l 与2l 垂直； 4(3)2(5)6220m m m +++=+=，113m =-3．已知平行四边形两条边的方程是:10,:340AB AD l x y l x y +-=-+=，它的两条对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形其它两边所在直线的方程。
解：AB l 与AD l 交点37(,)44A -，两条对角线的交点(3,3)M 是AC 中点，则2717(,)44C ， :110,:3160CD BC l x y l x y +-=--=4．已知点(2,0)P 和函数42-=x y 图象上两点,A B ．（1）若直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值； （2）若AB PA ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．解：设211(,4)A x x -， 222(,4)B x x -(1);PA PB k k =- 2212112212442,(2)22x x k x k x x x --==+=-=-+--∴124x x +=-又∵22211221AB x x k x x x x -==+-，∴4AB k =-(定值) )2(∵AB PA ⊥，则1-=⋅PA AB k k 又2221211121214(2)()2ABPA x x x kk x x x x x x --⋅=⋅=++-- ∴112(2)()1x x x +⋅+=-∴2)2(212111112++-+-=-+-=x x x x x ∵111|(2)|22x x ++≥+ ∴),4[]0,(2+∞⋃-∞∈x 。
法2：由112(2)()1x x x +⋅+=-，即12212(2)210x x x x ++++=∵1x 有解∴222222(2)4(21)40x x x x ∆=+-+=-≥2204x x ≤≥或∴),4[]0,(2+∞⋃-∞∈x 。
5．在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1，,AB AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 点与直角坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC上，设折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在的直线方程,并指出k 的范围。
解：①当0=k 时,此时 A 点与D 点重合,折痕所在直线的方程12y =， ②当0≠k 时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率001x A k ='，∵折痕所在的直线垂直平分'OA ,∴1-=⋅'k k A O ，∴110-=⋅k x ，∴k x -=0又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）为)21,2(k M -，∴折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2122k y kx =++，∵00,02k x x =-≤≤ ∴20k -≤≤由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++)02(≤≤-k6．（1）已知定点(8,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程。