2014年高中数学基础知识梳理(含文理)

高中数学基础知识汇总——献给2011级高三考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的 ；{|lg }y y x =—函数的 ； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况 如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅ ,求a 的取值.(答： ) ④()U U U C A B C A C B = ,()U U U C A B C A C B = ；A B C A B C = （）（）； A B C A B C = （）（）. ⑤A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=∅ U C A B R ⇔= . ⑥含n 个元素的集合的子集个数为 ；真子集(非空子集)个数为 ；非空真子集个数为 . 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答： )4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝. 命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. 如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“ ” 否定是“ ”.7.常见结论的否定形式二.函数1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②反表示法；③换元法(特别．．注意．．新元的范围). ④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑦导数法.6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组.7.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于 对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过 ((0)0f =)； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()f x f x ±-= 或()()1(()0)f x f x f x -=±≠；⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如()0f x =定义域关于原点对称即可).⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同 异 ”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数122log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左 右 ”（注意是针对x 而言）； 上下平移----“上 下 ”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →( 翻 )；()(||)f x f x →( 翻 ).⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然. ③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数 ()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线 对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线 对称； ⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线 对称(由a x b x +=-确定)； ⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线 对称；9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为 ； ⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为 ； ⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为 ；*⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；*⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -； *⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；10.对数：⑴log log n n a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈；⑵对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>； ⑶log () ;log ;log n a aa M NM N M ⋅=== ；1log loga anM=；⑷对数换底公式logloglog bbaNaN=(0,1,0,1)a ab b>≠>≠；推论：121123log log log1log log log logna b c a a a n a nb c a a a a a-⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=.(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0nM N a a b b c c a a a>>>≠>≠>≠>且12,,na a a均不等于1)11.方程()k f x=有解k D⇔∈(D为()f x的值域)；()a f x≥恒成立[()]a f x⇔≥最值,()a f x≤恒成立[()]a f x⇔≤最值.12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：()f x=；②顶点式顶点（h,k）:()f x=；③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a=--≠.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0f ug x uh x=+≥(或0≤)()a u b≤≤()0()0f af b≥⎧⇔⎨≥⎩(或()0()0f af b≤⎧⎨≤⎩)；18.函数(0,)ax bcx dy c ad bc++=≠≠的图像是双曲线：①对称中心是点 ,然后两渐近线分别直线dcx=-(由分母为零确定)和直线acy=(由分子、分母中x的系数确定)；②19.函数(0,0)bxy ax a b=+>>：增区间为(,)-∞+∞,减区间为[-.如：已知函数12()axxf x++=在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a的取值范围是_____.三.数列1.由nS求na,1*1(1)(2,)nn nS naS S n n N-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩注意n的范围.如：数列{}na满足111534,n n na S S a++=+=，求na(答： ).2.等差数列1{}n n na a a d-⇔-=(d为常数)112(2,*)n n na a a n n N+-⇔=+≥∈21122(,)(,)n nd da anb a d b a d S An Bn A B a⇔=+==-⇔=+==-；3.等差数列的性质：①()n ma a n m d=+-,m na am nd--=；②m n l km n l k a a a a+=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p+=时,有2m n pa a a+=；③若{}na、{}nb是等差数列,则{}n nka tb+(k、t是非零常数)是数列；④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232,,,m m m m mS S S S S-- 是数列；*⑤等差数列{}na,当项数为2n时,S S nd-=偶奇,1nnS aS a+=奇偶；项数为21n-时,(*)nS S a a n N-==∈偶中奇,21(21)n nS n a-=-,且1S nS n=-奇偶；()(21)n nn nA aB bf n f n=⇒=-.4.等比数列121111{}(0)(2,*)nnnn n n n naaa q q a a a n n N a a q+--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.5.等比数列的性质①n mn ma a q-=,nq={}na、{}nb是等比数列，则{}nka、{}n na b等是数列；③111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnn nqq a aa aaq qq qna q na qSq qq------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩；④m n l km n l k a a a a+=+⇒=(反之不一定成立)；m nm n m n n mS S q S S q S+=+=+.⑤等比数列中232,,,m m m m mS S S S S-- (注：各项均不为0)是数列.6.①如果数列{}na是等差数列,则数列{}n a A(n a A总有意义)是等比数列；如果数列{}na是等比数列,则数列{log||}(0,1)a na a a>≠是等差数列；②若{}na既是等差数列又是等比数列,则{}na是非零常数数列；③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；④三个数成等差的设法：,,a d a a d-+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d--++；三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误．．设法：3,,,a aq qaq aq(为什么？)7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知nS(即12()na a a f n+++=)求na用作差法：11,(1),(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩.*⑶已知12()na a a f n⋅⋅⋅=求na用作商法：()(1)(1),(1),(2)nf nf nf na n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.*⑷若1()n na a f n+-=求na用迭加法. *⑸已知1()nnaaf n+=,求na用迭乘法.* ⑹已知数列递推式求na,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n na ka b-=+,1nn na ka b-=+,1n na ka a n b-=+⋅+(,k b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求na.②形如11nnnaka ba--+=的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：12123(1)n n n++++=+；2135n n++++=；常见裂项公式1(1)n n+= - ；1111()()n n k k n n k++=-；1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n-++++=-；11(1)!!(1)!nn n n++=-*常见放缩公式：=<=.1sin cos αα--sin cos αα+四.三角函数1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边 与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称2()k k Z απθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ⇔=++∈； α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ⇔=-+∈.2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：21122||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3︒.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一 二 ,三 四 ”.4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的关系. 如2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；22αβαβ++=⋅；222()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=⋅=︒=︒； 7.重要结论：sin cos )a x b x x ϕ++其中tan b aϕ=）；降幂公式22cos 1sin 2αα-=；2cos α= .8.正弦型曲线sin()y A x ωϕ=+的对称轴2()k x k Z ππϕω+-=∈；对称中心(,0)()k k Z πϕω-∈.9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于180︒,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sin sin sin 2a b c ABCR ===；余弦定理：2a = cos A = ；*正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；*三角形的内切圆半径2ABC S a b cr ∆++=；面积公式：124sin abc RS ab C ∆==.10.ABC ∆中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②22sincos A B C +=,22cos sinA B C +=,22tancotA B C +=. ③sin sin a b A B A B >⇔>⇔>④锐角ABC ∆中,2A B π+>,sin cos ,cos cos A B A B ><,222a b c +>,类比得钝角ABC ∆结论.⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.11.角的范围：异面直线所成角2(0,]π；直线与平面所成角2[0,]π；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线的倾斜角[0,)π；注意术语:仰角、俯角、方位角等.五.平面向量1.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = . (1)//a b ⇔ ；(2)0a b a b ⊥⇔⋅=⇔ //a b ⇔.2.平面向量基本定理：如果1e 和2e是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1λ、2λ,使a e e λλ=+ //ab ⇔ . 3.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+ ；其几何意义是a b ⋅ 等于a的长度与b 在．a 的方向上的投影．．．．．．．的乘积；a 在b 的方向上的投影||cos ||a b a b θ⋅==4.三点A 、B 、C 共线AB ⇔ 与AC 共线；与AB 共线的单位向量||ABAB ±.5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y = ,22(,)b x y =,则cos θ= = ；注意: ,a b 〈〉 为锐角0a b ⇔⋅> ,且,a b 不同向； ,a b 〈〉 为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉 为钝角0a b ⇔⋅<,且,a b 不反向.6.a b ⋅ 同向或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+≥-=- ；a b ⋅ 反向或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+≥-=+ ；a b ⋅不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<±<+ .7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则a b ⋅=；||AB = ； ⑵若(,)a x y =,则222a a a x y =⋅=+ .8.1P ,P ,2P 三点共线⇔存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+且λμ+= .9.三角形中向量性质：①AB AC + 过BC 边的中点：||||||||()(AB AC AB ACAB AC AB AC +⊥- ；②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的内心；||||()(0)AB ACAB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆内心.六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： ①若0ab >,b a >,则11ab>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法. 3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,2211a b a b++≥(当且仅当b a =时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈， 222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：22222()a b a b ++≥,22()a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b b m aa m++<(真分数的性质)；4. 求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标 函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角α的范围是 ；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 ,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为 ,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过 111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标轴的直线. ⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过 原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔ 直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：⑴平行⇔ 且 (查课本，写一个就可以)； ⑵相交⇔ ；垂直⇔ ； (3)重合⇔ 且 .5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设 为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为 0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.6. 点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =7. 两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d .8.设三角形ABC ∆三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123(,)33x x x y y y G ++++；9.有关对称的一些结论⑴点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a . *⑵曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=； ②x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =： (,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=.10.⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程 220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)D E --,(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且220,40B D E AF =+->).* ⑶圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==.* ⑷以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=； 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程 222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->⇔点P 在圆 ；②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆 ；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆 . 12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为：200x x y y r +=； 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.①d r >⇔ ②d r =⇔ ③d r <⇔15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d , 两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆 ；d R r =+⇔两圆相 ； ||R r d R r -<<+⇔两圆 ；||d R r =-⇔两圆相 ； ||d R r <-⇔两圆 ；0d =⇔两圆同心.16.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程 为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 八.圆锥曲线方程2. 抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线上任意一点,F 为焦点,则02||p PF x =+.3. 抛物线焦点弦长公式：抛物线22(0)y px p =>上F 为焦点，过F 的弦长|AB|=4.共渐近线ba y x =±的双曲线标准方程可设为2222x ya b λ-=(λ为参数,0λ≠). 5.直线与圆锥曲线相交的弦长公式12|AB x x -]== 6. 直线与圆锥曲线相交(弦端点1122(,),(,)A x y B x y ),得分步骤：由方程(,)0y kx mF x y =+⎧⎨=⎩消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,k 为斜率).判断△的符号，解不等式写出韦达定理12x x += ，12x x = 这里体现了解几中“设而不求”的思想.7. 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为221Ax By +=(对于椭圆0,0A B >>)； 8. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ,11(,)A x y 、22(,)B x y ,则有如下结论： ⑴12||AB x x p =++；⑵2124px x =,212y y p =-； ⑶112||||pAF BF +=.9. 对于22(0)y px p =≠抛物线上的点的坐标可设为200(,)2y y p,以简化计算.10.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b+=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =-；在双曲线22221x ya b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =；在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0py k =.11. 求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. 12. 解析几何与向量综合的有关结论：⑴给出直线的方向向量(1,)u k = 或(,)u m n = .等于已知直线的斜率k 或nm；⑵给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点；⑶给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;⑷给出()AP AQ BP BQ λ+=+,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;⑸给出以下情形之一： ①//； ②存在实数λ,使AB AC λ=； ③若存在实数,αβ,且1αβ+=；使OC OA OB αβ=+,等于已知C B A ,,三点共线.⑹在ABC ∆中,给出12()AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.⑺给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角或反向共线,给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角或同向共线.⑻给出||||()MA MBMA MB MP λ+=,等于已知MP 是AMB ∠的平分线. ⑼在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ,等于已知ABCD 是菱形.⑽在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形.⑾在ABC ∆中,给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).⑿在ABC ∆中,给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点).⒀在ABC ∆中,给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点).⒁在ABC ∆中,给出+=||||()AB AC AB AC λ+ )(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心.⒂在ABC ∆中,给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). 九.立体几何1. 默写出右图中的12个结论 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）2. 多面体的面积和体积公式全面积(S 全) 体 积(V)表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径.4. 斜二测画法是一种较为简单的画直观图的方法.其规则可以简要说成：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成°或°角，长度画成原长度的 .”5. 选取三个两两垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做，投射到这个平面内的图形叫做；一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做，投射到这个平面内的图形叫做；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做，通常把这个平面内的图形叫做 .6.正四面体(设棱长为a)的性质：①全面积2S=②体积312V=③对棱间的距离2d=；④正四面体内任一点到各面距离之和为定值3h=⑤外接球半径4R=⑥内切球半径12r a=⑦理）相邻面所成二面角13arccosα=7.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体O ABC-中,,,OA OB OC两两垂直,令,,OA a OB b OC c===,则⑴底面三角形ABC为锐角三角形；⑵直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心；⑶2BOC BHC ABCS S S∆∆∆= ；⑷2222AOB BOC COA ABCS S S S∆∆∆∆++=；⑸22221111OH a b c=++；⑹外接球半径R=R8．正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；9．（理）.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角θcos,cos||||a ba ba bθ<>=⋅=⋅；⑵求线面角：设l是斜线l的方向向量,n是平面α的法向量,则斜线l与平面α所成的角θ.cos,sin||||l nl nl nθ<>=⋅=⋅；⑶求二面角(法一)在α内a l⊥,在β内b l⊥, ,则二面角lαβ--的平面角||||arccos a ba bθ⋅⋅=±（符号由二面角的锐钝来确定）.(法二)设1n,2n是二面角lαβ--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角lαβ--的平面角1212||||arccosn nn nθ⋅⋅=（计算出的余弦值就是二面角大小的余弦值）.10（理）.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则cosS Sθ=侧底.十（理）.排列组合和概率1.排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mnnm n mA n n n m m n m n N-=--+=≤∈当m n=时为全排列!nnA n=.2.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm nnA n n n mC m nm m m m⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn nC C==.3.组合数性质：m n mn nC C-=；11r r rn n nC C C-++=.4.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)；③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以!n.5.常用性质：!(1)!!n n n n⋅=+-；即11n n nn n nnA A A++=-；111(1)r r r rr r n nC C C C r n+++++⋅⋅⋅+=≤≤；6.二项式定理：（a+b n=⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n-+==；⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若n为偶数,中间一项(第21n+项)的二项式系数最大；若n为奇数,中间两项(第121n-+和121n++项)的二项式系数最大.⑶0122n nn n n nC C C C+++⋅⋅⋅+=；021312nn n n nC C C C-++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=.8.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如()()nf x ax b=+展开式的各项系数和为(1)f,奇数项系数和为12[(1)(1)]f f--,偶数项的系数和为12[(1)(1)]f f+-.9.等可能事件的概率公式：⑴()P A=；⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B+=()()P A P B+；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B=；⑷独立重复试验概率公式()(1)k k n kn nP k C p p-=-；⑸如果事件A与B互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；⑹如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1()1()()P AB P A P B-=-；（6）如果事件A与B相互独立，那么事件A与B至少有一个发生的概率是1()1()()P A B P A P B-⋅=-.10.几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A十一.概率与统计1（理）.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴0,1,2,iP i≥= ；⑵121P P++=.2（理）.二项分布记作~(,)B n p ξ(,n p 为参数),()k k n kn P k C p q ξ-==,记),;(p n k b qp C kn k k n =-.3（理）.记住以下重要公式和结论：⑴期望值1122n n E x p x p x p ξ=++++ .⑵方差2221122()()()n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅.⑶标准差δξ2();()E a b aE b D a b a D ξξξξ+=++=. ⑷若~(,)B n p ξ(二项分布),则E np ξ=, (1)D npq q p ξ==-. ⑸若~(,)g k p ξ(几何分布),则1pE ξ=,q pD ξ=.4.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；⑵系统抽样,也叫等距抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点 都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从 含有N 个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为1N,第二次被抽到的概率为1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数 12111()n ni i x n n x x x x =∑=++⋅⋅⋅+=去估计总体平均数；⑵会用样本方差222121[()()nSx x x x =-+-+22221111()]()()nnn i i i i n n x x x x x nx ==∑∑⋅⋅⋅+-=-=-去估计总体方差2σ及总体标准差；⑶学会用修正的样本方差*22221211[()()()]n n S x x x x x x -=-+-+⋅⋅⋅+-去估计总体方差2σ,会用*S 去估计σ.6.正态总体的概率密度函数：22()21(),x f x x R μσ--=∈,式中,μσ是参数,分别表示总体的平均数与标准差；7.正态曲线的性质：⑴曲线在x μ=时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降 低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,σ越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦. ⑶曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布2(,)N μσ的概率12()P x x ξ<<,可由变 换x t μσ-=而得()()x F x μσ-=Φ,于是有2112()()()x x P x x μμσσξ--<<=Φ-Φ.9.假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布2(,)N μσ；⑵确定一次试验中的取值a 是否落入范围(3,3)μσμσ-+；⑶作出推断：如果(3,3)a μσμσ∈-+,接受统 计假设；如果(3,3)a μσμσ∉-+,由于这是小概率事件,就拒绝假设. 十二.导数1.导数的定义：()f x 在点0x 处的导数记作00000()()()limx x x f x x f x xy f x =∆→+∆-∆''==.2. 函数()f x 在点0x 处有导数,则()f x 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数 ()f x 的曲线在点0x 处有切线,则()f x 在该点处不一定可导.如()f x =0x =有切线,但不可导. 3. 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是指：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率. 4.曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是0()f x ',切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.5.常见函数的导数公式:0C '=(C 为常数)；1()()n n x nx n Q -'=∈.(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-； ()ln x x a a a '=；()x x e e '=；1(log )log a a xx e '=.1(ln )xx '=6.导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；()uv u v uv '''=+；2()u u v uv vv''-'=.7（理）.复合函数的导数：x u x y y u '''=⋅.8.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导,如果()0f x '>,那么()f x 为增 函数；如果()0f x '<,那么()f x 为减函数；如果在某个区间内恒有()0f x '=,那么()f x 为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程 0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数()y f x =在这个根处取得最大值；如果左负 右正,那么函数()y f x =在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求()y f x =在(,)a b 内的极值；②将()y f x =在各极值点 点的极值与()f a 、()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 十三.复数1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是 实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4.⑴复数的代数形式：z a bi =+；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设1z a bi =+, 2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则12z z +=,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++, 1222222(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 5.几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 6.运算律仍然成立：(1) ⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =；⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈. 7.注意以下结论：⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=.。