一类亚纯函数的级

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某类亚纯函数的例外集

０引言及主要结果
本文使用Ｎｅａｌｎ值分布理论中的常用记号ｖｎｉａｎ及基本结果［引设厂开平面Ｃ上非常数亚纯函数，．为Ｔｒｆ（，）为亚纯函数厂的特征函数，Ｓｒ厂（，）为
定理１若Ｐｑ正整数且Ｐ＞ｑ≥１，为，ｆ为开平面内非常数亚纯函数，满足
数学的实践与认识，００４（：８．８．２１，Ｏ）１３１８６
【］郑建华．区域常数以及它们在亚纯函数动力系统中的应用（７英
文）Ｊ＿【江西师范大学学报：】自然科学版，００３（：４ —４．２１，４５４ｌ７）４
由（）８式，有Ｔｒ（
［１Ｙｎｈｎｃｕ，ｉｎｘｎＵｎｑｅｅｓｔｅｒｆｒｍｏ－３ａｇＣｕｇｈｎＹｇｕ．ｉｕｎｓｏｏｏｒＨｏｈｙｍｅ
’
ｐｉｕｃｉｎ【．Ｄｏｄｅｈ：ＫｌｗｅａｅｃＰｂｉｅｓｈｃｆｎｔｓＭ】ｏｒｒｃｔｕｒＡｃｄｍｉｕｌｈｒ，ｓ
由（）知，存在常数Ｃ以及ｒ，当，时，７式ｏ．＞
Ｍ）
（满足（式，ｒ）４则引理１）成立．
由（），对于任意实数，有３式
ｌ训，一ｒｏ（，）ｇｒ厂．㈣一
【６］徐洪焱，易才凤，崔永琴．纯函数结合其导数的值分布［．亚Ｊ】
ｌｉｍ
，’ ∞ — ｌｇ０ｇ，
（）３
那么（）成立至多除去集满足２式

第4节整函数与亚纯函数

e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函数按唯一奇点z 的不同类型而被分成三类.
z
注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
第四节整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一整函数的概念及其分类
1 整函数在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.

亚纯函数的正规族与正规函数

2.学位论文常建明亚纯函数正规族的若干结果 2005
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇｖａｌｕｅｓａｎｄｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄３８：１（２０００），１７１１８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，ＳｈａｒｉｎｇｖａｌｕｅｓａｎｄｎｏｒｍａｌｉｔｙＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４．７】ＹａｎｇＬｏ，Ｖａｌｕｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ｊＬａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓａｎｄｎｏｒｍａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．

特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性

特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性
现在，随着科学技术日新月异的发展，有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题成为学术界最具挑战性的研究方向之一。

鉴于在相关理论中普遍存在着复杂而又不稳定的存在性，该问题极其考验学者们对于动态数据变化及方程复杂性的理解能力。

首先，针对有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题，分析师们普遍采用的运筹学方法。

其基本思想是通过采用反规模矩乘法、遗传算法、偏微分方程数值方法、原子结构优化等多种先进分析手段，使有关的特定类型微分方程的计算结果更为准确和有效。

其中，最为重要的反规模矩乘法可以准确计算出某一种特定类型微分方程的亚纯解及其唯一性，以此为基础，其他多种分析方法更加方便和有效地探索亚纯函数的唯一性问题。

此外，近期多位学者利用深度学习等技术，提供了新的技术手段来解决复杂情况下的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题，这不仅带来了更多精准的计算结果，而且也使在实践应用中受益。

使用深度学习模型，分析师可以更快地计算出某一特定类型微分方程的亚纯解和其唯一性，为后续基于该结果的亚纯函数的研究奠定良好的基础。

综上所述，有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题仍然被视为学术界极具挑战性的研究方向。

为了给该问题带来突出的新思路和获得更准确的算法结果，学者们应多花心思来完善理论方面的研究，并积极探索新的技术手段，以更好地解决该问题。

涉及分担函数的亚纯函数族的正规定则

０ａｄｆｒａｈ，，ｅｆｇ∈Ｆ， ”ａｄｓａｅ（）ｎｗｅｅｚ０ｉａｈｉｍｒｈｃｕｃｏ，ｈｓｕｉｌｉｎｏｅｎｇｈｒＯｚｉＤ，ｈｒ（）０ｏｉｆｎｔｎｗｏｅｍｈｐｃｓｏｐｉｉ・
ｔｓｏｅｏｎＤｒｔｍｏｔ，ｗｅｅｋｒｏｉｖｎｅｅ．ｉｆｚｒｓｉｅａｅａｓｌｈｒ，Ｚｅｐｓｔｅｉｔｇｒａｉｓ
≠０且其极点个数记为ｔ若满足条件（）ｚ的极点重数都至少为ｄｔ＜ｋ＋ｄ或条件，，１）且，
（）其极点重数都至少为ｄ＋１那么 ¨ 一ｐｚ２：，（）至少有两个不同的零点，且 ¨ 一Ｐ０（）．
证明由于）是一个非多项式有理函数，石且）≠ ０所以可设，
如果对每个，Ｅ，） ” ≠０且－（）零点重数至少为， ≠ｏ（），，＜ ¨一彳的
上正规．
，Ｆ则必在Ｄ
２１０２年丁杰，戚建明，朱泰英［］以下结果：３有
定理Ｃ设（）事０区域Ｄ内的全纯函数，是正整数，ｋＦ是区域Ｄ内的一族亚纯函数，
所以ｄｇｇ）＝ｋｔ一１ｅ（１（）．
（）Ｉ假设式可设
一Ｐ（）只有一个零点Ｚ．０注意到ｄｇｇ）＝ｋｔ）＜ｋ＋Ｎ，以由（．）ｅ（（一１ｔ所２２
ｆＰｋ（）㈤＿
这里Ｃ是一个非零常数．
警
３
（）２・４
由（）Ｉ）所以引理１得证．Ｉ（Ｉ，

亚纯函数第一基本定理

亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它是指在复平面上的亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。

这个定理在复分析中有着广泛的应用，特别是在解析数论和物理学中。

我们需要了解什么是亚纯函数。

亚纯函数是指在复平面上除了有限个孤立奇点外，都是解析的函数。

孤立奇点是指在某个点处函数不解析，但是在该点的邻域内函数是解析的。

亚纯函数可以看作是解析函数和多项式函数的组合。

亚纯函数第一基本定理告诉我们，亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。

极点是指在某个点处函数趋于无穷大，而零点是指在某个点处函数等于零。

这个定理的证明可以通过利用亚纯函数的Laurent 级数展开来完成。

这个定理的应用非常广泛。

在解析数论中，亚纯函数第一基本定理可以用来证明黎曼猜想的一些特殊情况。

在物理学中，亚纯函数第一基本定理可以用来计算量子场论中的费曼图。

亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它告诉我们亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。

这个定理在解析数论和物理学中有着广泛的应用。

关于亚纯函数及其导数的特征函数

关于亚纯函数及其导数的特征函数亚纯函数是复变函数中的一类特殊函数。

它们具有一些特殊的性质，特别是在复平面上的孤立奇点处。

亚纯函数在复平面上定义，并且不能在复数的一些点处取无限大值，例如极点或本质奇点。

它们的导数可以在它们定义的范围内计算，并且仍然是亚纯函数。

为了更好地理解亚纯函数及其导数的特征，我们首先来讨论亚纯函数的定义。

一个函数f(z)是亚纯函数，如果它在数学上满足以下两个条件：1.函数f(z)在复平面除有限个奇点外处处解析。

即它是除有限个孤立奇点外的解析函数。

2.函数f(z)在它的孤立奇点处都不取无穷大值。

也就是说，除非孤立奇点是可去奇点，否则它们是极点或本质奇点。

亚纯函数类似于整函数，但亚纯函数还可以具有极点或本质奇点。

亚纯函数的一个重要性质是它们的导数仍然是亚纯函数，除非导数恒等于零。

对于亚纯函数f(z)，它的导数f'(z)的特征函数可以用以下方式定义：1.亚纯函数的导数也是亚纯函数：如果f(z)是亚纯函数，则它的导数f'(z)也是亚纯函数。

2.亚纯函数的导数为零：如果亚纯函数的导数恒等于零，那么该亚纯函数是一个常数。

3.亚纯函数的导数的极点：亚纯函数的导数f'(z)在与f(z)具有相同奇点的点上可能具有极点，这些点称为f(z)的极点。

亚纯函数的导数的特征函数提供了研究亚纯函数性质的有效方法。

通过分析亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以了解亚纯函数的奇点分布情况，以及计算亚纯函数的导数在不同点的性质。

亚纯函数和其导数的特征函数在复分析领域有广泛的应用。

通过研究亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以推导出很多有关复变函数的重要性质，例如Riemann映射定理、辐角原理等。

总而言之，亚纯函数是一类特殊的复变函数，它在复平面上除了有限个孤立奇点处解析，并且不在其孤立奇点处取无穷大值。

亚纯函数的导数具有一些重要的特征函数，通过分析亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以深入了解亚纯函数的性质及其在复变函数理论中的应用。

一线性算子定义下的亚纯多叶函数的子类

令Ｗ（ｏｚ）＝ｅ（０≤ ０≤ ２）丌．（２１）
（ｃ）＝～２ｌ１ａｃ）ａ，；Ｆ（，；；，
收稿日期：００２２２１－ —００
作者简介：周伟（９５）１７．，男，江苏淮安人，讲师，硕士，主要从事复变函数的教学与研究
２８８
淮阴师范学院学报（自然科学）
第９卷
证明设 ∈ （ｎ＋１ＣＡ，，，；Ｂ）令
一＿卜错＿网
其中（）Ｅ内解析或亚纯，ｚ在且满足ｗ（）＝０ｏ．对（）两边关于ｚ行对数求导，利用（）可得：９式进并７式
ｃ｛。（｛－＋＿
ｐＢ—Ａ）．（Ｗ（）
一
线性算子定义下的亚纯多叶函数的子类
周伟
（阴师范学院数学科学学院，江苏淮安淮２３０）２０１
摘要：利用一线性算子定义了亚纯多叶函数的子类，并研究了函数在积分算子作用下的函
数类的从属性质．
关键词：线性算子；－ｐ叶亚纯函数；属性质从
２主要结论
这里我们先介绍一个引理，然后将应用它来证明下面的定理１及定理２．
Ｊｃａｋ引
≤ ＩＩＩ０Ｉｚ
设非常数函数 ∞（在单位圆盘Ｅ＝｛：ＩＩ１中解析，ｃ（）＝０若存在。）ｚ＜｝且ｏｏ，
设∑ 表如示形厂ｚ＝ｚ＋∑ ａｋ（ ∈Ｎ：｛２，）（）一ｋ－ｐｚｐ１， …｝，３

一类特殊亚纯函数的Nevanlinna第二基本定理

证明：令ｇｚ（）＝ｚ’ ｚ－，（）有ｇｚ＋ｃ１＋ … （）＝ｚ则ｇＯ ≠ Ｏｏ，假设ｃ ≠ １ｇ（）一ｃ１０满足定理２的条件（）＝，ｏ并Ｊ，Ｏ升 ≠
・
有
Ｔ・（）Ｎ，）（）Ｎｒｓｇ（）ｒ＋（＋ｒ一＋（）ｒＮ・ｒＮ，ｇｇ吉（ｒ），
其中 “ Ｉ０则对于０＜ｒ＜。 ≠ ，ｏ有
＋
［稿日期］２０ …０１收０７３７
［作者简介］田保（９３）男，安徽安庆人，在读硬士研究生，从事复分析与复方程方向的研究。Ｉ８－，
维普资讯
第３期
Ｎ（＝２（ｇ一（ｇ＋（）ｌ）Ｎｒ）ＮｒＮｒｒ，，），
Ｓｇｍ，＋（）ｏ（（）ｒ＋ｇｒ＝ｒ。ｌ，各ｉ
由ｇｚ（）＝ｚｚ有，ｚ－，（）（）一ｚｚ＇）ｇ（
Ｔｒ，＝Ｔ（・（，）ｒｇ）Ｔｒ）Ｔｒｇ（，＋（。）
ｓｍ＇（）ｏ＝（）ｒ＋ｇｃｒｒ．，－｛
由此得到以下主要结果
定理设＿是在＝０具有１级极点的亚纯函数即厂）（１ｓ
，（）：ＣＺ，＋Ｃ１＋ …（５＜Ｏ）
Ｉ０＋ｇｌｚ
Ｖ０．６Ｎｏ３１２，．Ｓｐ２０ｅ．０７
２００７年９月
一
类特殊亚纯函数的Ｎｅａｌｎ第二基本定理ｖｎｉａｎ
田保，田宏根

角域内亚纯函数及其导数的分担值

），ｚ和厂（）角域｛：ｒｚ，（）在ｚＩｇ一ｌ￡ａ＜｝内至
厶
关于亚纯函数的唯一性，自从１２年９９Ｎｅａｌｎ证明了其著名的五值定理以来，ｖｎｉａｎ国内外
学者在这方面做了许多完美的工作。近，建］最郑华ｌ首次研究了两个亚纯函数在角域内满足分担＿３
兰７）（，）（，＋Ｑｒ ≤ｓｒ厂＋ｃｒ，，
易ｒ，
Ｂ（，）Ｃ（，）Ｄ（，）Ｓｒｎ简计之。了证明ｒ口，ｒ口，ｒｎ，（，）为本文的主要结果，还要介绍如下几个引理。引理１设厂ｚ是区域Ｘ（，）的亚纯函 ’ （）ａｆ上ｉ数，则对任意复数口下列等式成立Ｓｒ。，（，）一Ｓｒ（，，＋ｅｒ口，中ｅｒｎ＝０（）ｒ ∞ ））（，）其（，）＝＝１（一。引理２’ 设厂是一个亚纯函数，ａｐ（［（）Ｘ（，）＝＝Ｃ，则
・３０・４
南昌大学学报（科版）理
２１正０１
从原点出发的射线ａｇｒｚ一０为ｆ（）的一条无限称级Ｂｒｌ向，ｏｅ方如果对任意的正数ｅ和任意复数ａ ∈
Ｃ，能有两个例外值，可成立不等式
第３５卷第４期
２１０１年８月
南昌大学学报（科版）理
Ｊｕｎｌｏｎｈｎｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｆＮａｃａｇＵｎｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ

亚纯函数论

亚纯函数论介绍如下:亚纯函数论是复变函数论的重要分支，主要研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数，又称为亚纯函数。

亚纯函数在数学、物理等领域中有广泛的应用，如控制论、量子场论等。

下面分别介绍亚纯函数的相关概念和基本性质。

一、亚纯函数的相关概念1.极点和本性奇点对于复变函数f(z)，若在z0处f(z)有有限的极限，则称z0为f(z)的极点。

若在z0处f(z)无极限，则将z0分为可去奇点、极点和本性奇点三种情况。

当z0为可去奇点时，f(z)在z0处可以连续地延拓；当z0为极点时，f(z)在z0处的振荡趋于无穷大；当z0为本性奇点时，f(z)在z0处的振荡不收敛或收敛缓慢，且对应的留数不为0。

2.费马引理和歧角定理费马引理指的是若f(z)在D中解析，并在D的边界上取相等实数值，则f(z)必在闭包中的D 内始终取该实数值。

歧角定理指的是若f是D中的亚纯函数，则在任意封闭曲线上，f的交角相同。

3.亚纯函数的级数展开式对于一般的复变函数f(z)，在一些不好进行解析运算的情况下，可以将它展开成亚纯函数的级数展开式，如洛朗级数展开、幂级数展开等。

二、亚纯函数的基本性质1.亚纯函数的导数仍为亚纯函数。

2.亚纯函数f(z)的留数定理：若f(z)在D内除极点外解析，C为D内一封闭曲线，n为C中面积不为0的简单闭曲线的环向数，则f(z)在D内所有极点的留数之和等于n次C沿着正方向的积分，即Res(f,z)= 1/2πi∫Cf(z)dz3.埃尔米特函数和齐次亚纯函数：埃尔米特函数是保持希尔伯特模长不变的线性算子，齐次亚纯函数定义为除了常数外，各项次数相等的亚纯函数。

总之，亚纯函数论是复变函数论的重要分支，研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数。

亚纯函数的级数展开和留数定理是亚纯函数论的重要基本性质。

通过亚纯函数论的研究，可以深入了解复变函数的性质，为实际问题的求解提供数学工具。

亚纯函数定义

亚纯函数定义亚纯函数的概念亚纯函数（Meromorphic Function）是在复平面上定义并且满足某些性质的函数。

它既具有全纯函数的部分性质，又允许在有限个点上有极点。

亚纯函数是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域有广泛的应用。

全纯函数回顾在介绍亚纯函数之前，我们先回顾一下全纯函数的概念。

全纯函数，又称为解析函数或可微函数，是复变函数论中的一个基本概念。

一个函数在复平面上是全纯的，如果它在其定义域的每一点都有导数。

全纯函数具有多种重要性质，包括解析性、调和性和无穷次可微性等。

亚纯函数的定义一个函数f(z)在复平面上是亚纯的，如果它满足以下两个条件：1.f(z)在其定义域上是全纯的，即在定义域的每一点都有导数；2.f(z)在有限个点上有极点，即在这些点上的值无穷大。

亚纯函数是全纯函数的一种推广，它在全纯性的基础上允许函数在有限个点上有极点，这使得亚纯函数的定义更加宽松。

亚纯函数的性质亚纯函数具有许多重要的性质，下面我们将逐一介绍。

极点和奇点亚纯函数在有限多个点上有极点，这些点被称为函数的极点。

极点是函数在某个点处取无穷大值的位置。

极点可以分为可去极点、一阶（或更高阶）极点和本性极点三种类型。

函数在某个点处的极点的阶数表示了函数在该点附近的振荡情况。

阶数越高，振荡越强烈。

阶数为1的极点也被称为简单极点。

亚纯函数的级数展开亚纯函数可以在其定义域的某个闭区域上展开为Laurent级数。

Laurent级数包含正幂次和负幂次的项，因此可以在函数的极点处展开。

Laurent级数的一般形式为：f(z) = ∑ (a_n * (z - z0)^n) + ∑ (b_n * (z - z0)^n)其中a_n和b_n是亚纯函数f(z)的系数，z0是展开点。

第一项中的a_n表示函数的正幂次项，第二项中的b_n表示函数的负幂次项。

通过展开亚纯函数的Laurent级数，我们可以研究函数在极点附近的性质和行为。

亚纯函数的留数亚纯函数在其极点处具有留数。

5.4整函数与亚纯函数

(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.
(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多
项式 c0 c1z cm z m (cm 0).
(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有
无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).
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下页Biblioteka 结束铃聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设0矛盾. 今命f(z)在z平面上的极点为
z1、z2、鬃?、zn
其级数分别为l 1、l 2、鬃?、l n则函数
g(z) (z z1)1 (z z2 )2 (z zn )n f (z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.
由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.
定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数
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5.4 整函数与亚纯函数
1、整函数 2、亚纯函数
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1、整函数
在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.
设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且
可设

f (z) cn zn (0 | z | ). (5.14)
于是显然有
n0
定理5.10 若f(z)为一整函数,则
其中P(z)与Q(z)分别为z的m次多项式,且彼此互质. 则
(1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点;
(2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只

关于亚纯函数分担值及一些微分差分方程的值分布

关于亚纯函数分担值及一些微分差分方程的值分布上世纪二十年代,芬兰数学家R. Ncvanlinna引入了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,从而创立了Nevanlinna值分布理论.他所创立的这一理论被认为是二十世纪最重大的数学成就之一,不仅奠定了亚纯函数理论研究的基础,而且对数学其它分支的发展产生了重大而深远的影响.尽管现在亚纯函数值分布理论已经趋于完善,但是对于其中一些经典问题的研究仍在继续,并且随着Ncvanlinna理论自身的不断发展,这一理论也广泛地应用到了其它数学领域,如位势理论,正规族,多复变量理论,复微分方程以及复差分方程等.我们知道,多项式除了一个常数因子外,由其零点而定.但对于超越整函数及亚纯函数来说,仅仅考虑零点是不够的,因此如何确定一个亚纯函数的讨论就显得复杂而有趣了.亚纯函数唯一性理论就是探讨在什么情况下只存在一个函数满足给定的条件,以及满足给定条件的函数之间有什么样的关系R. Ncvanlinna给出了唯一性理论上的经典的结果,即五值定理和四值定理.许多国内外著名的学者在这一方面做了大量的工作,取得了一系列引人注目的成果.这一理论也出现了越来越多的分支,比如亚纯函数与其导数的唯一性问题,这方面的研究成果可见[1].对应于亚纯函数与其导数的唯一性问题,Hcittokangas [2]等人最近开始考虑亚纯函数与其平移的分担值问题,这方面的研究基于复差分的Ncvanlinna理论,其中最关键的结果就是差分上的对数导数引理Halburd和Korhoncn [3,4], Chiang和Feng [5]分别独立给出了这个引理的两种表达形式.本文主要讨论了亚纯函数分担两个值的唯一性问题,以及一些微分差分方程的值分布问题.论文的结构安排如下.第一章,作为背景知识,我们首先简单介绍了Ncvanlinna理论的一些经典结果,其次介绍了差分中的对数导数引理,该引理是差分中Nevanlinna理论的奠基石,最后介绍了本文中用到的一个重要定理:Wiman-Valiron定理.第二章,我们研究了关于两个亚纯函数的非线性微分多项式分担值的唯一性问题,得到了几个唯一性的定理.它们改进了Fang和Hua[6],Yang和Hua[7]以及Fang和Qiu[8]的结果.实际上,我们证明了以下定理.定理0.1.设f和g是两个超越亚纯函数,它们零点的重级至少是k,其中k是正整数.令n>max{2k-1,k+4/k+4}是一个正整数.如果fnf(k)和gng(k)分担z CM,f和g分担∞IM,那么f和9满足下列情形之一?(i)fnf(k)=gng(k).(ii)f(z)=c1ecz2,g(z)=c2e-cz2,其中c1,c2和c是常数,且满足4(c1c2)n+1c2=-1.定理0.2.设f和g是两个非常数亚纯函数,它们零点的重级至少是k,其中k是正整数.令n>max{2k一1,k+4/k+4}是一个正整数.如果fnf(k)和gng(k)分担1CM,f和g分担∞IM那么f和9满足下列情形之一.(i)fnf(k)=gng(k).(ii)f(z)=c3edz,g(z)=c4e-dz,其中c3,c4和d是常数,且满足(-1)k(c3c4)n+1d2k=1.第三章,我们首先讨论了一类非线性差分方程和多项式的解的存在和增长性问题,得到以下一些结果.同时我们给出几个例子,证明我们结果中的有些条件是必须的.定理0.3.设p(z), r(z)和s(z)是非零多项式,c是非零复数.如果n>m+1(或m>n+1)是两个正整数,那么非线性差分方程f(z)n+p(z)f(z+c)m=r(z)es(z),没有有穷级超越整函数解.定理0.4.考虑差分方程f(z)n+p(z)f(z+c)m=g(z),其中p和q是非零有穷级整函数,m和n是正整数,c是非零复数.如果整函数f满足A(f)<(σ(f)=∞且σ2(f)<∞,那么f 不是该方程的解.定理0.5.假定方程f(z)n+p(z)f(z+c)m=q(z)具有有穷级整函数解f,其中q是有穷级非零整函数,p是f的小函数,m≠n是正整数,c是非零复数.那么σ(f)=σ(q).对应于fnf’值分布问题的研究,我们也探讨了整函数差分乘积f(z)n(f(z)-1)f(z+c)的值分布情况,解决了Zhang[9]和Qi[10]没有解决的n=1时的情形,得到以下主要结果.定理0.6.设f是有穷级超越整函数,且有Borel例外值a.c是一个非零复数.则有λ(f(f-1)f(z+c)-b)=σ(f),其中b≠a3-a.定理0.7.设f是有穷级超越整函数,c是一个非零复数.如果f(z)或f(z)-1有无穷多个重级零点,那么f(z)(f(z)-1)f(z+c)取每一个a∈C无穷多次.第四章,我们研究了与Bruck猜想有关的一些微分差分方程的值分布问题,改进了Chen,Shon[11],Wang[12]和Liu,Chen[13]的结果,得到以下主要定理.定理0.8.设f是非常数整函数,σ2(f)<∞且不是正整数.令L1(f)=ak(z)f(k)+ak-1(z)f(k-1)+…+a2(z)f(k+1)+f,(k≥2)其中aj(z)(2≤j≤k)是级小于1的整函数,且ak(z)≠0.如果f和L1(f)分担z IM,并且那么L1(f)-z=h(z)(f-z),其中b是级不大于s的亚纯函数.定理0.9.设f是非常数整函数,级σ(f)<1/2,a是f的一个非零小函数.令A(f)=ak(z)△kf+…+a1(z)△f+a0(z)f,其中aj(z)(j=0,1,…,k)是多项式且ak(z)≠0.如果f-a(z)=0→A(f)-a(z)=0,那么其中B(z)是一个非零多项式.。

一类亚纯函数的分解

ｊＥ
２任的整ｎｍ一有（在常使对切，ｌＩ，））意正数，￣－致界即正数，一有 ≤ ；对辱ｌ：存得都辱 ∈
３ｌ）ｍｉ
１．０
，
其中表示的长度，＝，，ｎ２ …，‘
一一ｅ（ｓ））ｚＲ（．荆）ｆ－
砉（
２应用堂仍ＩＩ
例：求一的分解式．
一（石）譬篷出））』ｓ＋＋）一
其中。为）的一个非零解析点， ’ Ｃ分别为）ｂ和＿Ｃ和 ’ 在ｋ６处的洛朗展开式的负二次项的系数．
口Ｌ．ｕ
米塔一夫勒给出了下面的定理Ａ．列
定理Ａｔ设）－是亚纯函数，＝，，，ｚＯ彳 … 为互异的极点，Ｇ（：）ｏ。２若 —Ｌ是）在极点邻域内洛
— Ｚｎ
朗展开式的主要部分，则
彳＝（）Ｇ（一＋ｌＧ（Ｌ）Ｐ（｝）Ｇ＋ｏ）２｛一 — 一ｎ）
一
类亚纯函数的分解
熊维玲．涛邓
（西工学院信息与计算科学系，西柳州５５０）广广４０６摘要：论非零极点均为二阶的亚纯函数展开成有理函数项级数的方法，给出一个应用例子．讨并
一ｓｎ￣ｚ＝＂ｉ２ＩＴ
例子给出了展开函数为偶函数时，辅助函数的—种构造方法，而展开函数是奇函数时，则可直接应用推论１注意到，由于任一函数均可分解为一奇函数与偶函数之和，所以最终可以得到所想要的函数的分解式．

亚纯函数的一类值分布问题

对于该函数而言，Ｑ（一ｅ，Ｏ外，取定充分小（Ｅ＜１）同时考虑角域ｃＱ上函数ｆｚ的模．在．ｏＥ）若０＜Ｏ，／（）其Ｑ＝Ｑ（一Ｅ，ｏｏＥ）．
此时对于ＶｚＣｆ和一切的ｋｅｅ／２Ｎ有
Ｐ＝ｂｌｉｏＩｓｎｅｚ—ｂｔＩ
）（＝三
一
）＜。
也就是说砌八（）＝ｚ０的点只可能位于实轴上・八（）＝Ｏ，即ｚ￣ｌ－３＝＝Ｚ ∞ 的根只可能位于实轴・利
用他在文献中介绍的结果知道该函数的级不超过１２该函数表明：／，存在一下级有穷的亚纯函数，ｚ，（）且存在无界数列｛｝：，，Ｚ＝的根只位于两条射线上，。使（）但该函数不退化为有理函数．
２．红河学院数学学院，南蒙自６１０）云６１０
摘要：本文利用笔者在文献［］３中构造的亚纯函数否定了一类特殊的亚纯函数退化为有理函数，同时用ＡｂｒＥｒ在文ｌｅｔｄｅｉ
献［］４中所构造的亚纯函数的性质否定了一个整函数的值分布问题推广到亚纯函数的可能．
对于判定整函数ｆｚ何时退化为多项式方面，（）文献［］１中介绍：如果存在一无界数列｛｝且ｕ｛Ｉ：，ｚｆ
．
（）｝Ｚ＝位于一条从原点出发的射线上，此时ｆｚ为次数不超过２的多项式．１９年，（）在９３乔建永在文献［］２中得到：若对某自然数小有＝，０且存在一无界数列｛｝：使得｛Ｉｚ＝｝ｚ（）位于ｍ｜（ｆ－－Ｑ

亚纯函数的正规性

２定理的证明
证明：假设Ｆ单位圆盘 △上不正规，不妨在设Ｆ＝不正规。则由引理知，存在：在Ｄ
＜（）点￣ｚ＜ｒｌ１Ｊｌ．
．
ｆｃｏ）ｕｔｎ。蔼（（）＝｝不计算重数）ｎｉ＝ｌ一Ｏ（Ｚａ。
若ｇ为常数，显然矛盾。若ｇ不为常
数，则由第二基本定理可得
）亩亩矛。以１盾所旺
＋（言）， Ⅳ：＋：， ≤
规。
（３）函数列．Ｆ ∈ 满足＝ｒ＋ｏ复平面上按球面距离内。ｚｌ０在
２００１
设想应用在《基于ｗｂ的通讯录管理系统》的项ｅ
目中，经过测试，该方案完善的解决了可快速的
通过拼音首字母查询中文，为用户提供了更加友ａｄＩｌｎａｏｆｕｃｕｒＢｓｄｏｈＦｒｎｍｐｅｔｔｎｏＱｉｋＱｅｙａｅｎｔｅｉｔｍｅｉｓ
可以证明
≠口６Ｃ，，。
定理设Ｆ为定义在单位圆盘△上的一亚纯函数族，ａ，ａ，ａ分别为三个互异且不为零的。３
有限复数，若对任意的厂 ∈Ｆ，ｆ的零点级数 ≥ ｋｌ且有蚰口，ａ，ａ｝｛ｊ２３，在＋，｛Ｊ２３ｃ，０，ａ）则Ｆ
－÷ ∞
１主要引理
下面给出ｚ／ｍｎ］。ａａ［ｃｚ引理
而ｇＣ（Ｐ＝
理可证
＝∞ ，这与
≠６。，Ｃ
： ≠ｏ－。同口ｇ盾

整函数与亚纯函数的级与型

整函数与亚纯函数的级与型黄跃华;涂金【摘要】In this paper,the order and type of f1+f2 ,f1 f2 ,f2/f1 were investigated.f1 (z)and f 2 (z)were entire functions or meromorphic functions showing the same order but different types.Some results might improve some previous results were obtained in this study.%研究了当整函数或亚纯函数f1（z）与f2（z）具有相同增长级和不同型时，f1＋f2，f1 f2，f2/f1的增长级与型，得到了一些结果，完善了原有的一些结果。

【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P209-213)【关键词】整函数;亚纯函数;级;型【作者】黄跃华;涂金【作者单位】南昌师范高等专科学校自然科学系，江西南昌 330103;江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌 330022【正文语种】中文【中图分类】O174.51 引言和结果在本文中，我们使用了大家熟悉的Nevanlinna值分布理论的标准记号[1-2],整函数f(z)的增长级定义为(1.1)如果0<σ(f)=σ<∞，则整函数f(z)的型定义为[3](1.2)如果τ(f)=0,称f(z)为σ级最小型整函数;如果τ(f)=∞,称f(z)为σ级最大型整函数;如果0<τ(f)<∞,称f(z)为σ级标准型整函数。

如果f(z)为亚纯函数且0<σ(f)<∞,则f(z)的增长型定义为[2](1.3)众所周知对于整函数f(z),当0<r<R<∞时,我们有(1.4)由(1.2)-(1.4),我们易知若f(z)为整函数时有ψ(f)≤τ(f)≤K(σ)ψ(f),其中K(σ)是一个与σ(f)有关的正常数,我们在后面的引理2.5给出K(σ)的详细说明。