文科导数学案
高二数学文科2第一章及导学案
《几个常用函数的导数》导学案【学习目标 】1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 【重点难点 】重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式【学法指导 】一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 【教学过程】1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆所以00limlim 00x x yy∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011limlim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆（2）推广：若*()()ny f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=【当堂检测 】 1．课本P 13探究1 2．课本P 13探究2 4．求函数y =【反思】《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案【学习目标 】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．【重点难点】重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【学法指导 】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y=的导数公式及应用【教学过程 】 （一）导入（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） （二）深入学习例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．【当堂检测】1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）【反思】 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 §1.2.2复合函数的求导法则【学习目标 】理解并掌握复合函数的求导法则． 【重点难点 】重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．【学法指导 】（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 【教学过程 】 （一）导入复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
高二文科期末复习学案导数专题
期末复习学案 导数专题类型一：有关导数的定义 1）导数的定义：2）例题1 利用导数的定义求函数1y x=在点0x 处的导数对应练习：设函数()f x 在0x 处可导，则000(3)()lim x f x x f x x∆→-∆-=∆A '0()f xB '0()f x -C '03()f x - D 0()f x类型二：有关导数的几何意义曲线y=f(x) 过点00(,())x f x 的切线的斜率等于 例题2 求抛物线y=x 2过点5(,6)2的切线方程对应练习：已知曲线32y x x =-和其上一点，这点的横坐标为2， 求曲线在这点的切线方程类型三：有关导数的运算熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算公式 1写出常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数：'(()())f x g x ±= '(()())u x v x ='()()()f xg x = 例题3 求下列函数的导数 1)若sin y x =则'/6y t π== 2 )曲线y=lnx 与x 轴交点处的切线方程是 3 ) y=(2+x 3)2 'y = 4) y=xsin x －cosx 'y = 5)y=sin2x 'y =类型四：有关导数的应用熟记求函数单调区间、求极值以及求最值的基本步骤 例题4 求下列函数的单调减区间 ⑴ 328136y x x x =-+- ⑵ y=xsin x + cosx例题5 若函数的单调增区间为(0,)+∞，则实数a 的取值范围是 A 0a ≥ B 0a > C 0a ≤ D 0a <对应练习; 设32()(0)f x ax bx cx d a =+++> 则()f x 为增函数的充要条件是（ ） A 230b ac -> B 0,0b c >> C 0,0b c => D 230b ac -< 例题6 已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±处取得极值，且(1)1f =- （1） 试求常数a ,b ,c 的值；（2） 试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
高三文科二轮复习专题一：导数及其应用学案(精品)
高三文科二轮复习专题一（学案）第5讲导数在研究函数中的应用【学习目标】1.掌握导数的几何意义，会利用导数的几何意义解决与切线有关的问题2.掌握函数的单调性与导数的关系，会求函数的单调区间3.能正确区分极值和最值，会利用导数的方法求函数的极值和最值【教学重难点】重点：导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，极值和最值难点：利用导数解决恒成立问题【教学过程】一、知考情：备考方向要明了介绍近2年宁夏高考卷中本部分内容主要的考点，题型及难易度，让学生做到心中有数。
二、研考情：命题角度要知道高考对导数的考查形式多样，难易均有，题型有选择题、填空题，也有解答题，分值为12～20分．另外还具有以下特点：1．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；2．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查分类讨论，转化化归等思想．三、抓考点：必考知识要牢记【考点一】导数的概念与几何意义1.联知识，串点成面复习导数的几何意义和物理意义(1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点M(x0，y0)处的____________，点M处的切线方程为______________________．(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的____________．(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的________．2.做考题，查漏补缺例1（2012·广东卷）曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为___________ 变式1（2012·宁夏卷）曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________变式2 过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为______变式3 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则a－b＝_____3.悟方法，触类旁通求曲线y＝f(x)的切线方程的方法【考点二】利用导数研究函数的单调性、极值和最值1. 联知识，串点成面（1）导数与函数单调性的关系①f′(x)>0是f(x)为增函数的_____________条件②f′(x)≥0是f(x)为增函数的______________条件，（2）函数的极值与最值①函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题；②函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有；③闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值.2. 做考题，查漏补缺(1)(2012·辽宁高考)函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)(2012·陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点(3)（2008.福建卷11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数y=f (x )的图象可能是( )3. 悟方法，触类旁通利用导数解决恒成立问题的方法四、战考场：临危不惧得高分作业1．(2012·新课标全国卷)设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值（选做）作业2.已知函数f (x )＝13x 3－m ＋12x 2(x ∈R)．(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝13－mx (m ≤1)有三个不同的根，求实数m 的取值范围．例2：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在 x ＝1和x ＝－23处都取得极值．(1)求a 与b 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间； (3)若对任意x ∈[－1,2]，f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围．。
导数的概念及其意义——高三一轮复习导学案
导数的概念及其意义2023.10.26课前一题记函数)(x f 的导函数是)(x f '，若)(x f ＝xx f 1)1(2-'，则)1(f '的值为 . 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 理解导数的几何意义；3. 学会应用导数的几何意义；4. 学会利用导数求曲线的切线方程。
温故知新：1．导数的概念对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到 ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到 ．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(1) 如果当Δx →0时， x y ΔΔ无限趋近于一个确定的值，即x y ΔΔ有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记作 或y ′|x ＝x 0，即xx f x x f x y x f x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim )(00000-+=='→→ (2)当0x x =时，)(0x f '是一个唯一确定的数，当x 变化时，)(x f y '=就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)，记为)(x f '(或y ′)，即x x f x x f y x f x ΔΔΔ)()(lim )(0-+='='→. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ．一、导数与图象问题例1. 函数f (x )的图象与其在点P 处的切线如图所示，则)1()1(f f '-等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．4变式. 已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是( )A ．)()()(321x f x f x f '>'>'B ．)()()(123x f x f x f '>'>'C ．)()()(213x f x f x f '>'>'D ．)()()(231x f x f x f '>'>'例2. 函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0)3()2()1(>'>'>'f f fB ．0)3()2()1(<'<'<'f f fC ．)3()2()1(0f f f '<'<'<D ．)3(0)2()1(f f f '>>'>'变式1. 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的图象是( )变式2. 已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、求切线方程 例3. 函数f (x )＝x ln(－2x )，则曲线y ＝f (x )在x ＝2e -处的切线方程为变式. 曲线y ＝xx ln ＋x 在点(1,1)处的切线方程为例4. 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 ， .变式1. 若过点P (1,0)作曲线y ＝x 3的切线，则这样的切线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条变式2. 过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为 .本堂小结：作业布置：1. 完成学案2. 课时作业163. 订正纠错。
高中数学导数文科教案设计
高中数学导数文科教案设计教学目标：1. 理解导数的概念和意义，掌握导数的计算方法；2. 掌握导数的基本性质，能够运用导数解决实际问题；3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 导数的概念和意义；2. 导数的计算方法：基本导数公式、复合函数导数、反函数求导等；3. 导数的性质：导数的加法法则、乘法法则、链式法则等；4. 导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的意义和计算方法；2. 导数的基本性质。
教学难点：1. 复合函数导数和反函数求导；2. 导数在实际问题中的应用。
教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入导数的概念和意义。
2. 讲解导数的定义和计算方法，包括基本导数公式、复合函数导数和反函数求导。
3. 练习导数的计算，包括简单函数和复杂函数的导数计算。
4. 讲解导数的性质，包括加法法则、乘法法则、链式法则等。
5. 练习导数的性质，进行相关练习题。
6. 讲解导数在实际问题中的应用，如最值、变化率等问题。
7. 进行实际问题的应用练习，培养学生的解决问题的能力。
8. 总结导数的概念、计算方法和应用，强化学生对导数的理解。
教学评估：1. 定期进行小测验，检测学生对导数的掌握程度；2. 布置导数相关作业，包括计算题和应用题，检验学生的解题能力；3. 开展导数实践活动，让学生在实际问题中应用导数的方法解决问题。
教学拓展：1. 通过实例分析、案例研究等方法，拓展学生对导数的应用领域和深度理解；2. 引导学生参加数学建模、数学竞赛等活动，提升学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学资源：1. 教材、课件、教学视频等传统教学资源；2. 数学建模、数学竞赛题库等拓展资源；3. 导数相关实践活动材料。
教学反思：1. 需要根据学生的实际情况，调整教学内容和教学方法，使教学更加贴近学生的学习需求；2. 定期进行教学评估和反馈，及时调整教学计划，提高教学效果。
以上是一份高中数学导数文科教案设计的范本，希望对您有所帮助。
导数教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能：理解导数的概念，掌握导数的几何意义，能运用导数解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、实验、类比等方法，探究导数的概念，培养学生的数学思维能力和创新精神。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：导数的概念，导数的几何意义。
2. 教学难点：导数的概念的理解与应用。
三、教学过程（一）导入1. 提问：同学们，在几何中，我们学习了曲线的切线，那么在数学中，切线有什么作用呢？2. 回答：切线可以表示曲线在某一点处的斜率。
3. 引入：今天，我们将学习导数的概念，导数是切线斜率的极限。
（二）探究导数的概念1. 提出问题：如何用极限的思想来表示切线斜率？2. 学生分组讨论，教师巡视指导。
3. 学生汇报交流，教师总结归纳。
4. 展示导数的定义：导数是函数在某一点处的极限。
（三）导数的几何意义1. 提问：导数在几何上有什么意义？2. 回答：导数表示函数在某一点处的切线斜率。
3. 展示导数的几何意义：导数是切线斜率的极限。
（四）导数的应用1. 提出问题：如何用导数解决实际问题？2. 学生分组讨论，教师巡视指导。
3. 学生汇报交流，教师总结归纳。
4. 举例说明导数的应用。
（五）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的概念和几何意义。
2. 提出课后作业，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂提问：检查学生对导数概念的理解程度。
2. 课后作业：检验学生对导数应用能力的掌握情况。
3. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作意识等。
五、教学反思1. 教师在教学过程中要注重启发式教学，引导学生主动探究。
2. 加强与学生的互动，关注学生的个体差异，因材施教。
3. 注重教学评价，及时调整教学策略，提高教学质量。
高考文科数学导数复习教案
2021届高考文科数学导数复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2021届高考文科数学导数复习教案，希望能给大家带来帮助!导数1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.典例:一物体的运动方程是 ,其中的单位是米, 的单位是秒,那么物体在时的瞬时速度为 5米/秒 .2.导函数的概念:假如函数在开区间内可导,对于开区间内的每一个 ,都对应着一个导数 ,这样在开区间内构成一个新的函数,这一新的函数叫做在开区间内的导函数,记作 ,简称导数.3.求在处的导数的步骤:(1)求函数的改变量 ;(2)求平均变化率 ;(3)取极限,得导数 .4.导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是 ,相应地切线的方程是 .特别提醒?:(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是 .典例:(1) 在曲线上挪动,在点处的切线的倾斜角为 ,那么 ;(2)直线是曲线的一条切线,那么实数的值为 -3或1 ;(3)假设函数 ( 为常数)图象上处的切线与的夹角为 ,那么点的横坐标为 ;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为0或900(舍去))(4)曲线在点处的切线方程是 ;(5)函数 ,又的图象与轴交于 .①求的值;②求过点的曲线的切线方程(答:①1;②或 ).5.导数的公式、法那么:(1)常数函数的导数为0,即 ( 为常数);(2) ,与此有关的常用结论: ;(3)(4) ; ;典例:(1)函数的导数为 ,那么 ;(2)函数的导数为 ;(3)假设对任意 , ,那么是 .6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性:①假设 ,那么为增函数;假设 ,那么为减函数;假设恒成立,那么为常数函数;假设的符号不确定,那么不是单调函数.②假设函数在区间上单调递增,那么 ,反之等号不成立;假设函数在区间上单调递减,那么 ,反之等号不成立.典例:(1)函数 ,当时, 的单调性是增函数 ;(2)设函数在上单调函数,那么实数的取值范围 ;(3)函数为常数)在区间上单调递增,且方程的根都在区间内,那么的取值范围是 ;(4) , ,设 ,试问是否存在实数 ,使在上是减函数,并且在上是增函数?(答: )(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求 ;(2)求方程的根,设根为 ;(3) 将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断的符号,由此确定每一子区间的单调性.典例:设函数在处有极值,且 ,求的单调区间.(答:递增区间(-1,1),递减区间 )7、函数的极值:(1)定义:设函数在点附近有定义,假如对附近所有的点,都有 ,就说是函数的一个极大值.记作 = ,假如对附近所有的点,都有 ,就说是函数的一个极小值.记作 = .极大值和极小值统称为极值.(2)求函数在某个区间上的极值的步骤:(i)求导数 ;(ii)求方程的根 ;(iii)检查在方程的根的左右的符号:“左正右负〞在处取极大值;“左负右正〞在处取极小值.特别提醒?:(1) 是极值点的充要条件是点两侧导数异号,而不仅是 =0, =0是为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 ,又要考虑检验“左正右负〞(“左负右正〞)的转化,否那么条件没有用完,这一点一定要切记!典例:(1)函数的极值点是( C )A、极大值点B、极大值点C、极小值点D、极小值点 ;(2)函数处有极小值10,那么a+b的值为 -7 ;(3) 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么b+c有最大值 .特别小结?:三次函数的极值情况.记其导函数的判别式为 ,其图象对称轴为 .那么(1)假设时,三次函数无极值,①当时, , 在定义域上递增;②当时, , 在定义域上递减.(2) 假设时,记的两根为 ,那么三次函数有极值,且①当时, (简称为左大右小);②当时, (简称为左小右大);综上,三次函数有极值的充要条件为 .(3)三次函数都有对称中心,其坐标为 .典例:函数有极值,那么实数的取值范围是 ;8.函数的最大值和最小值:(1)定义:函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值〞;函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值〞.(2)求函数在[ ]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值(极大值或极小值);(2)将的各极值与 , 比拟,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.典例:(1)函数在[0,3]上的最大值、最小值分别是 ;(2)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,假如所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.(答:高为1.2米时,容积最大为 )特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时,要注意列表!(2)要擅长应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题.典例:(1) 是的导函数, 的图象如下列图所示,那么的图象只可能是( D )(2)图形M(如下图)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S=S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一局部面积，那么函数S(a)的图象大致是 ( C )(3)方程的实根的个数为 1 ;(4)函数 ,抛物线 ,当时,函数的图象在抛物线的上方,求的取值范围(答: ).(5)求证: (构造函数法)。
高三第一轮文科数学复习导数的应用复习学案及达标练习审批稿
高三第一轮文科数学复习导数的应用复习学案及达标练习YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】复习学案：导数的应用 一 函数的单调性函数()f x 在某个区间(,)a b 内，若()0f x '>，则()f x 为 ；若()0f x '<，则()f x 为 ；若()0f x '=，则()f x 为 。
常见考察题型：（1）求函数的单调区间，即解不等式或0)(>'x f 0)(<'x f 。
（2）函数在区间],[b a 上单调递增（递减），即0)(≥'x f ()()0≤'x f 在区间],[b a 上恒成立，利用分离参数或函数性质求解恒成立问题，对等号单独验证。
【例1】已知函数y=f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )(A)(-∞，12)∪(12,2) (B)(-∞，0)∪(12，2) (C)(-∞，12) ∪(12，+∞) (D)(-∞，12)∪(2，+∞)【例2】1 已知函数f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是_______.2 已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
【例3】已知函数a ax x a x x f ---+=232131)(，x ∈R 其中a>0. （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；二（1）函数极值的概念求函数极值的步骤：① ；② ；③ 。
【例3】设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
高考数学一轮复习 导数的应用学案(文科)苏教版
高考数学一轮复习 导数的应用学案（文科）苏教版一、教学目标：1．理解导数与函数单调性的关系，体会导数研究函数问题中单调性的的核心地位；会利用导数判断函数的单调性；2．理解函数极值的概念，区别极值点与0)(='x f 的根之间的区别与联系，会判断函数的极值点，能利用导数求函数的极值和最值； 3．能利用导数通过研究函数的性质作出函数的大致图象，解决较简单的函数与方程、不等式的综合问题。
二、高考要求：B 级 三、教材分析：本节内容是导数这一章的核心，是函数的延伸与提高，是解决函数、方程、不等式问题的重要工具，在高中数学内容中占有重要的地位，同时由于导数所解决的问题一般都具有一定的综合性故本节也是一个难点。
突破方法：在理解概念的基础上，先从简单问题入手，提炼解决问题的一般方法，理解原理，再利用“变式题”让学生在低起点的基础上思维得以再次提升，以期能达到理解深刻、灵活运用与解决综合问题的目的四、概念回顾：1．函数的单调性：函数)(x f y =在某个区间),(b a 内 （1）若0)(>'x f 恒有⇒)(x f 在),(b a 上单调递增 若0)(<'x f 恒有⇒)(x f 在),(b a 上单调递减（2）若)(x f 在),(b a 上单调递增⇒0)(≥'x f 恒有（且等号不恒成立）若)(x f 在),(b a 上单调递减⇒0)(≤'x f 恒有（且等号不恒成立） 2．函数极值的概念：函数)(x f y =在0x 处连续（1）若0)(0='x f 且在0x 左侧附近0)(<'x f ，右侧附近0)(>'x f 则称0x 为)(x f y =在极小值点，)(0x f 为极小值；（2）若0)(0='x f 且在0x 左侧附近0)(>'x f ，右侧附近0)(<'x f 则称0x 为)(x f y =在极大值点，)(0x f 为极大值；注：a x =是)(x f 的极值点⇒0)(='a f （反之不一定成立）五、例题讲解：例1：已知函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f （1）若3=a ，求函数)(x f 的递增区间； （2）若)(x f 为增函数，求a 的值；（3）若)(x f 在区间)4,1(上递减，),6(+∞上递增，求a 的取值范围； （4）若R a ∈，求)(x f 的单调区间例2：（1）函数]2,2[,313-∈-+=x x x y 的最大值、最小值分别为_______________ 变式1：方程0313=-+x x 的实根个数为___________变式2：方程0313=--+a x x 有两解，则=a ________小结：（2）223)(a bx ax x x f +++=在1=x 时有极值10，则b a ,值分别为________（3）13)(23++-=ax ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是_______变式：若)(x f 存在极值，则a 的取值范围是_______（4）函数2)ln()(x a x x f ++=，若)(x f 存在极值，则a 的取值范围是_______六、课堂练习：1．已知函数x x x f -=ln )(，则)(x f 的减区间为_________ 2．若函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________3．当]2,2[-∈x 时，若m x x x +<-22123恒成立，则实数m 的取值范围是________4．若2>a ，则方程013123=+-ax x 在区间)2,0(上恰有________个实根七、课堂小结：。
高二文科数学4.1.1导数与函数的单调性导学案设计
§ 4.1.1导数与函数的单调性学习目标1•正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2•掌握利用导数判断函数单调性的方法学习过程一、课前准备(预习教材，找出疑惑之处) 复习1:以前，我们用定义来判断函数的单调性。
对于任意的两个自变量 X 1, X 2^ I ,当X !< X 2时，都有f(Xj ：:： f(X 2)，那么函数f(X )在区间I 上单调递增。
当X 1 < X 2时，都有f(Xj ・f(X 2)，那么函数f(X )在区间I 上单调递减。
复习 2： C ，=0 ; (x n )' = nx n ，； (sinx)'=cosx ； (cosx)'=_sinx ； (in x)' = 1 ;X 1X X X X(log a X)' ； (e )' =e ； (a )' =a in a ； xln a复习3:[f(x)_ g(x)]'二 f(x)_g(x)[ f (x)Lg (x)]' = f (x)_g( x)g (x) _f (x)[f (x)^ f (x) Lg(x) - g (x)_f (X)g(x)g (x)探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线y = f (x)在点x o 的切线的斜率就是函数 y = f (x)在该点的导数f (x o )。
从函数y =x 2「4x - 3的图像来观察其关系： 在区间(2,•::)内，切线的斜率为 k>0( y 大而 增大 ，即, 0时，函数y =f(x)在区间(2,•)内为 ___________ 函数;在区间(-：：，2)内，切线的斜率为 ________________ (y 、0)，函数y 二f(x)的值随着x 的增 大而 ________ ，即y ，：：0时，函数y =f(x)在区间(-：：，2)内为 _______________ 。
人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案
导数的概念及运算【考点指津】1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数．【知识在线】1．函数y =14223++x x 的导数是 ．2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ．3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0lim →∆x f(x+Δx)-f(x)Δx= ．4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ．【讲练平台】例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ）A ． (6x+1)(2x+3)B ． 2(6x+1)C ． 2(3x 2+x+1)D ． 18x+22x+5分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数．解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3∴y'=18x 2+22x+5，故应选D点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式．例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ．分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0解得x 0=1或13∴应填写答案为1或13点评导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n)'=n．x n-1，其中n∈N*)是求某些简单函数的导数的常用工具．例3已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1，求a，b，c的值．分析题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a，b，c．解∵y=ax2+bx+c分别过（1，1）点和（2，1）点∴a+b+c=1 (1)4a+2b+c=-1 (2)又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1(3)由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9．点评函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求．【知能集成】1．两种常见函数的导数：c'=0 （C是常数）；(x n)'= nx n-1(n ∈N*)．导数和运算法则：若f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C是常数）2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n(n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．【训练反馈】1．函数y=(2x2-1)2的导数是（）A． 16x3-4x2 B． 4x3-8x C． 16x3-8x D． 16x3-4x 2．曲线y=4x-x2上两点A(4，0)、B(2，4)，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标是（）A． (3，3) B． (1，3) C． (6，-12) D． (2，4)3．已知f(x)=ax3+3x+2，若f (-1)=4，则a的值是（）A ．193B ． 163C ． 133D ． 31 4．设f(x)= (x 2-1)2x+1(x ≠-1)，则)(x f '等于 （ ） A ． 3x 2-2x+1 B ． 3x 2+2x+1C ． 3x 2-2x-1D ． x 2-2x-15．若抛物线y=x 2-x+c 上一点P 的横坐标是-2，抛物线过点P 的切线恰好过原点，则c= ．6．与直线y=4x-1平行，且与曲线f(x)=x 3+x-2相切的直线方程为 ．7．设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，（a 、b 、c 是两两不等的常数）， 则='+'+')()()(c f c b f b a f a ． 8．设f(x)为可导函数，C 为常数，证明[cf(x)]'=cf'(x) ．9．已知两曲线y=x 3+ax 和y=x 2+bx+c 都经过P(1，2)，且在P 点处有公切线，试求a 、b 、c 的值．10．在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程．11．在曲线y=x 3-x 上有两点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA 上点P 的坐标，使ΔAOP 的面积最大．12．一列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后，t 秒间列车的前进距离为S=27t-0．45t 2米，问这列车在刹车后的时间中前进了多少米才停车？13．在曲线y=x 3-6x 2-x+6上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线关于该点对称．。
文科一轮学案3.1导数的概念及运算
第三章 导数及其运算学案3.1 导数的概念及运算自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】 1．平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx ，称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点 处的切线的斜率．相应地，切线方程为 ． 3．函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间 ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为 或y ′ 4．基本初等函数的导数公式5.导数的四则运算法则 设f (x )，g (x )是可导的，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ；第三章 导数及其运算(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 导数的运算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1.变式训练：(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2C ．2D ．0考点二 导数的几何意义【例2】命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是______________．第二章 函数与基本初等函数命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0 命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为图中的( )变式训练：(1)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．【当堂达标】1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )第三章 导数及其运算A ．0B ．3C ．4D ．－732．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．巩固提高案 日积月累 提高自我1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．e2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D.944．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]第二章 函数与基本初等函数6．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，则f ′(0)＝6，则k ＝________.7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．8．(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．10．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．第三章 导数及其运算学案3.1 导数的概念及运算自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】 1．平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx ，称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )． 4．基本初等函数的导数公式5.导数的四则运算法则 设f (x )，g (x )是可导的，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；第二章 函数与基本初等函数(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 导数的运算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1.解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.变式训练：(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )第三章 导数及其运算A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.考点二 导数的几何意义【例2】命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是______________．答案 (1)C (2)x －y －2＝0 解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.(2)根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0. 命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0第二章 函数与基本初等函数C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 答案 (1)D (2)B解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D. 命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为图中的( )第三章 导数及其运算答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．变式训练：(1)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)9 (2)－e解析 (1)先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.(2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.【当堂达标】1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73答案 B解析 ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2.∵e x >0，∴e x ＋1e x ≥2，当且仅当e x ＝1e x ＝1，即x ＝0时，“＝”成立．∴y ′∈[－1,0)， ∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).巩固提高案 日积月累 提高自我1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案 B解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D.94答案 C解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， 所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1] 答案 A解析 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12.6．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，则f ′(0)＝6，则k ＝________. 答案 －1解析 ∵f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＝x 4－7k 2x 2－6k 3x ，∴f ′(x )＝4x 3－14k 2x －6k 3，∴f ′(0)＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －bx 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.8．(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
高中数学文科导数教案
高中数学文科导数教案一、教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义和性质；2. 学会计算导数，并应用导数求函数的极值和拐点；3. 掌握导数在文科领域的应用，如最优化问题等。
二、教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在文科领域的应用。
三、教学内容：1. 导数的定义：函数的导数在某点的定义；2. 导数的性质：可导和连续的关系，导数的四则运算等；3. 导数的计算方法：利用导数的定义和性质计算导数；4. 导数在文科领域的应用：最优化问题、曲线的切线和拐点等。
四、教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，帮助学生理解导数的概念；2. 演示导数的计算方法，让学生掌握计算技巧；3. 练习导数的应用题目，提高学生的应用能力；4. 引导学生思考导数在文科领域的实际应用。
五、教学步骤：1. 导入：简要介绍导数的概念，引发学生对导数的兴趣；2. 讲解：讲解导数的定义和性质，帮助学生理解导数的基本概念；3. 演示：演示导数的计算方法，引导学生掌握计算技巧；4. 练习：布置练习题目，让学生巩固所学知识；5. 应用：讨论导数在文科领域的应用，引导学生思考实际问题；6. 总结：总结导数的重点内容，并展望下节课内容。
六、教学资源：1. 课件：导数的相关知识点和例题；2. 练习题：相关导数练习题目；3. 参考书籍：相关数学文科导数教材。
七、教学评价：1. 学生日常表现：学生对导数的理解和应用能力；2. 课堂练习：学生对练习题的掌握程度和解题方法；3. 课后作业：学生对导数的应用题目的解答质量。
八、教学反思：1. 教学方法：是否适合学生的学习需求；2. 教学内容：是否涵盖了导数的基本知识点和应用；3. 教学效果：学生对导数的理解和应用能力是否有明显提高。
以上是一份高中数学文科导数教案范本，可根据实际教学情况进行调整和修改。
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高二文科导数的复习学案
导数及其应用复习学案类型一：利用导数研究函数的图像例2、若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ）(A) (B) (C) (D)练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ）A ．B ．．类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程。
（2）求抛物线y=2x 过点5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性例4、已知a ，b 为常数，且a≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；例5、已知函数f(x)=ax 1x 2++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围.练习：若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围类型四：导数与极值()ln 6xf x x=例、求函数的极值。
()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。
例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )ab a b a练习1、已知f(x)=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞62、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。
高中数学导数文科教案模板
高中数学导数文科教案模板教学目标：1. 掌握导数的定义和基本概念；2. 能够求导数并应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义及其意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的概念理解；2. 导数计算方法的应用。
教学准备：1. PowerPoint课件；2. 教科书相关内容；3. 白板、彩色笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，让学生思考为什么要引入导数以及导数的意义是什么。
二、导数的定义（15分钟）1. 通过示意图和例题，引入导数的定义与意义；2. 讲解导数的定义并进行示范计算。
三、导数的计算方法（20分钟）1. 介绍常见函数的导数计算方法，如多项式函数、三角函数等；2. 指导学生进行相关计算练习。
四、导数的应用（15分钟）1. 讲解导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等；2. 指导学生通过案例分析，应用导数解决实际问题。
五、课堂练习（10分钟）1. 放置几个练习题，让学生在课堂上进行解答；2. 检查学生答题情况，并对错误答案进行讲解。
六、课堂总结（5分钟）1. 总结本节课的重点内容和学习收获；2. 鼓励学生多加练习，巩固所学知识。
教学反思：1. 学生是否理解了导数的定义及其应用；2. 学生是否能够熟练计算导数并应用到实际问题中；3. 教学方法是否有效，是否需要调整。
备注：本节课以导数的引入与基本概念为主题进行讲解，重点介绍导数的定义、计算方法和应用。
希望通过本节课的教学，学生能够初步掌握导数的概念和计算技巧，并能够灵活运用导数解决实际问题。
学案16 导数的应用(文理)
学案 导数的应用（文理）一、目标要求1、理解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性。
2、理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极小值、极大值和最小值、最大值；3、会用导数解决某些实际问题二、知识梳理本专题包括四部分内容：（1）判断函数的单调性，求函数的单调区间；（2）求函数的极值；（3）求函数的最值； （4）用导数解决某些实际问题 1、函数的单调性和导数的关系设函数()f x 在某区间内可导，则 ⇒()f x 在该区间内单调增加;⇒()f x 在该区间内单调减少；由()'0f x >解得的区间为单调增区间，由()'0f x <解得的区间为单调减区间。
函数()f x 在区间[a,b]上为增（减）函数，则()()'00f x ≥≤在[a,b]上恒成立2、函数的极小值与极大值设函数()y f x =在点0x 及其附近可导，且()'0fx = （1）如果()'f x 的符号在点0x 的左右 ，则()0f x 为函数()f x 的极大值；（2）如果()'f x 的符号在点0x 的左右 ，则()0f x 为函数()f x 的极小值；（3）如果()'f x 的符号在点0x 的左右则()0f x 不是函数()f x 的极值；3、函数的最小值和最大值：计算函数()f x 在区间内使()'0f x =的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
三、基础训练1、三次函数y=3ax x +在(,)-∞+∞内是增函数，则（ ） (A)a>0 (B)a<0 (C)a=1 (D)a=132、函数ln x y x=的最大值是（ ） A.1e - B.e C.2e D.10 3、函数()2cosf x x x =-在(),-∞+∞上（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 4、函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是四、典例精析例1、 已知函数f(x)=135+++bx ax x ,当且仅当x=-1,x=1时分别取得极大、极小值，且极大值比极小值大4，（1） 求a,b 的值（2） 求f(x)的极大值和极小值例2、设函数f(x)=x x x -+-221ln 2（1）讨论函数()f x 的单调性 （2）求函数()f x 在区间[1，3]上的最小值和最大值。
高中数学导数文科教案
高中数学导数文科教案
课时安排：2课时
教学目标：
1.了解导数的概念和基本性质；
2.掌握导数的求法及其应用；
3.能够进行导数的计算和应用。
教学重点：
1.导数的定义和导数的求法；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.导数的应用题目的解题方法；
2.理解导数的概念和性质。
教学准备：
1.教师准备好相关示例题和应用题；
2.黑板、粉笔、教材等教学用具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入导数的概念，让学生了解导数的定义。
二、导数的定义和求法（15分钟）
1.导数的定义：引导学生理解导数的定义，并通过实例让学生认识导数的意义。
2.导数的求法：教师通过示例引导学生理解导数的求法，包括几何意义和分析意义。
三、导数的性质（10分钟）
1.导数的性质：介绍导数的基本性质，包括可加性、求导法则等。
2.练习：让学生做一些简单的导数计算练习。
四、导数的应用（15分钟）
1.导数在实际问题中的应用：引导学生思考导数在实际问题中的应用，如最值问题、切线问题等。
2.练习：让学生进行导数应用题目的练习，巩固所学知识。
五、总结与作业布置（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调导数的重要性和应用，并布置相关作业。
教学反馈：
对学生进行导数知识点的小测验，检验学生对导数的掌握情况，及时纠正错误，加深学生对导数知识的理解。
高三数学文科教案模板范文
教学目标：1. 知识目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法，理解导数的几何意义。
2. 能力目标：培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的逻辑推理和运算能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度。
教学重点：1. 导数的概念及计算方法。
2. 导数的几何意义。
3. 导数在函数研究中的应用。
教学难点：1. 导数的概念的理解。
2. 导数的计算方法。
3. 导数在函数研究中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入1. 复习函数的概念和性质，引导学生回顾函数在研究过程中的一些问题。
2. 提出导数的概念，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 导数的概念：（1）展示导数的定义，让学生理解导数的概念。
（2）通过实例，让学生体会导数的几何意义。
（3）讲解导数的计算方法，包括导数的定义法和导数的四则运算法则。
2. 导数的几何意义：（1）展示导数的几何意义，让学生理解导数在函数图像上的几何意义。
（2）通过实例，让学生体会导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的作用。
3. 导数在函数研究中的应用：（1）讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
（2）通过实例，让学生掌握运用导数解决实际问题的方法。
三、课堂练习1. 让学生独立完成导数的计算题，巩固所学知识。
2. 布置与导数相关的实际问题，让学生运用所学知识解决。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的概念、计算方法和应用。
2. 鼓励学生在日常生活中发现数学问题，运用导数解决。
五、布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅相关资料，了解导数在各个领域的应用。
教学反思：本节课通过导入、新课讲授、课堂练习和课堂小结等环节，帮助学生理解导数的概念、计算方法和应用。
在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重导数概念的理解，让学生明白导数是函数在某一点处的变化率。
2. 强调导数的计算方法，让学生掌握导数的计算技巧。
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数学学案选修1-1第三章导数及其应用莒县四中2015级数学组3.1.1--3.1.2平均变化率、瞬时速度与导数【学习目标】1.了解函数的平均变化率的概念,会求函数的平均变化率,知道函数的瞬时速度的概念2.理解导数的概念，能利用导数的定义求导数.3.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程【重点】导数的概念【难点】导数概念【预习新知，自主学习】1.平均变化率已知函数)(x f y =，10,x x 是定义域内不同的两点，令=∆x _______,01y y y -=∆= =，则当0≠∆x 时，比值=xy ∆∆称作函数)(x f y =在区间 的平均变化率．．．．．. 作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.( ) 2.瞬时变化率与导数（1）瞬时速度的定义：一般地，我们计算运动物体位移()S t 的平均变化率00()()S t t S t t +∆-∆，如果当t ∆无限趋近于0时，00()()S t t S t t+∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度。
（2）设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数)(x f y =相应地有增量y ∆=________.如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比无限趋近于某个常数，我们就把这个常数叫做函数)(x f y =在0x x =处的_________ 通常记作______________ 函数)(x f y =在0x 的瞬时变化率通常称为_____________，记做__________________， 于是可写作或=)(0x f '.（3）如果函数)(x f y =在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的，从而构成了一个新的函数)(x f '，称为)(x f y =的，记作： 或. 导函数通常简称为.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.1.一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2.设函数y ＝f (x )可导，则limΔx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx等于( ) A.f ′(1)B.3f ′(1) C.13f ′(1) D.以上都不对 【合作探究】例1.(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44 (2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【规律方法】1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1).第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1. 2.求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的形式.[再练一题]函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( )A.2B.2xC.2＋ΔxD. 2＋(Δx )2例2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图211所示，试比较两人的速度哪个快？[再练一题]某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图212所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )图212A.甲的日生产量大于乙的日生产量B.甲的日生产量小于乙的日生产量C.甲的日生产量等于乙的日生产量D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小例3.一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度.(时间单位：s ；位移单位：m)【规律方法】求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)计算Δy Δx，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止； (3)将Δx ＝0代入化简后的Δy Δx即得瞬时变化率.[再练一题]求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率.例4. (1)0lim→∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝k ， 则0lim →∆x f （x 0＋2·Δx ）－f （x 0）Δx 等于( ) A.2k B.k C.12k D.以上都不是 (2)函数y ＝x 在x ＝1处的导数是________.(3)求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.【规律方法】1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到1＋Δx －1Δx 时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定.2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤：(1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算0lim →∆x Δy Δx. [再练一练]1.)(x f 在0x x =处可导，则hh x f h x f h 2)()(lim 000--+→( ) A.与h x ,0有关B.仅与0x 有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与0x 无关D.与h x ,0均无关2.若2)(0='x f ,则hh x f h x f h 2)()(lim 000--+→=____________3.1.3 导数的几何意义【学习目标】1.理解导数的几何意义，会用导数的定义求曲线的切线方程。
2.能用导数的方法解决有关函数的一些问题。
3.理解导数的几何意义，体会导数的思想及丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的应用。
【重点】导数的几何意义【难点】利用导数解决实际问题【预习新知，自主学习】1.割线的斜率：已知)(x f y =图像上两点))(,(00x f x A ，))(,(00x x f x x B ∆+∆+,过B A ,两点割线的斜率是_________，即曲线割线的斜率就是___________.2.函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义是___________________，相应地，曲线()x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为 .3.如果把)(x f y =看作是物体的运动方程，那么导数)(0x f '表示这就是导数的物理意义.抛物线y ＝x 2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________.【合作探究】例1. 已知曲线C ：f (x )＝13x 3＋43. (1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【规律方法】1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0).特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴， 所以直线的切线方程为x ＝x 0.2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.[再练一题]求双曲线xy 1=在点（2，21）的切线方程。
例2.已知曲线f (x )＝1x. (1)求曲线过点A (1，0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程.【规律方法】1.求曲线过已知点的切线方程的步骤2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.[再练一题]求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1，0)的切线方程.例3.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.【规律方法】求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.3.2.1-3.1.2导数公式.【学习目标】能根据导数的定义，求函数c y =，x y =，2x y =，xy 1=，x y =的导数; 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。
【重点】常数函数、幂函数的导数【难点】利用公式求导【预习新知，自主学习】1.设函数________)(,)(='=x f C x f 则；2.)'(μx =（μ为有理数，且0>x ）；)'1(x = )'(x =.3.=)'(x a 0(>a 且)1≠a ；=)'(xe .4.=)'(log x a 0(>a 且)0,1>≠x a ；=)'(ln x )0(>x5.=)'(sin x ；=)'(cos x①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【合作探究】例1.求下列函数的导数（1）3x y =；（2）x x y =；（3）2cos 2sin2x x y =；（4）21x y =.(5)y ＝3x ；(6)y ＝log 5x .（7）设函数342x x x x y ⋅⋅=，则='y __________【规律方法】1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.3.要特别注意“1x与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别. 例2.质点的运动方程是s ＝sin t ，(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度.【规律方法】1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数.2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.[再练一练]1.求函数f (x )＝x 31在(1，1)处的导数；2.求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数.3.2.3 导数的四则运算【学习目标】1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求导.【重点】理解导数的四则运算法则， 利用导数的四则运算法则求导 【难点】能利用导数的四则运算法则求导 【预习新知，自主学习】[f (x )＋g (x )]′＝，[f (x )－g (x )]′＝即： 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) 推广：±±21f f (…)'n f ±__________=一若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝( ) 特别地，当g (x )＝c 时，有[cf (x )]′＝1.若f (x )＝ln x x，则f ′(x )＝________. 2.y ＝6x 3－4x 2＋9x －6，求y ′【合作探究】例1： (1)函数y ＝(2x 2＋3)(3x －2)的导数是________；(2)函数y ＝2xcos x －3x ln x 的导数是________；(3)函数y ＝x －1x ＋1的导数是________.【规律方法】1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数.2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.[再练一题]1.求下列各函数的导数. (1)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －1；(2)y ＝x －sin x2cos x2；例2.求曲线y ＝2xx ＋1在点(1，1)处的切线方程.【规律方法】1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P 处的切线方程，还是求过点P 与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.[再练一题]求下列各函数的导数.(1)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；例2：求曲线y ＝2xx 2＋1在点(1，1)处的切线方程.[再练一题]求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程.【规律方法】1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P 处的切线方程，还是求过点P 与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.※【新知探究】※在例题1中，我们求x y 2sin =的导数，将函数分成2个基本函数的乘积进行运算。