精品 九年级数学 下册解直角三角形 综合题 同步讲义+练习8页
九年级数学下册《第二十八章 解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．图，在Rt△ABC中△ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin△CEF= 3，则△AEF的面积为（）5A．3B．4C．5D．62．小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50°B．北偏西50°C．南偏西40°D．北偏西40°3．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒，B处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB的长是（）米．A．B．C．D．4．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A ．北偏东20°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°5．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB =米，15AE =米，则宣传牌CD 的高度是（ ）米A ．20-B ．20+C ．15+D ．56．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ，随机地往O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A B C D ．以上答案都不对7．如图，小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，已知标杆BE 的长为1.2米，测得AB =85米，BC ＝425米，则楼高CD 是（ ）A ．6.3米B ．7.5米C ．8米D ．68．如图，点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，点P 为EF 上一点，连接PB 、PD ．下列说法不正确的是（ ）A ．若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B ．若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2，则S △BEP ：S △DFP ＝3：4C ．若S △BEP ＝S △DFP ，则点P 在AC 上D ．若点P 在BD 上，则S △BEP ＝S △DFP9．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米10．如图，等腰Rt △ABC 中⊥A =90°，AB =AC ，BD 为△ABC 的角平分线，若2CD =，则AB 的长为（ ）A．3 B ．2 C ．4 D 2+二、填空题11．在Rt ABC 中90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．12．如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．13．如图，在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．14．如图，在直角坐标系中点A 的坐标为（0，点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当⊥CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．16．在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=，则BC =______________．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．18．如图，等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．三、解答题19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？20．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7521．如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离． 1.41 1.73≈结果精确到0.1m ）参考答案与解析1．C【分析】连接BF ，由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠，再得出CEF ∠与CBF ∠的关系，由三角函数关系求得CF 、BF 的值，通过BF AF =，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =，设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=，即()()222435x x +=解得1x =（负值舍掉）3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线， ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选：C ．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．C【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．3．B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===，解得：)PB m =故AB =故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．4．C【分析】连接BC ，由锐角三角函数定义得AC A = km ，则AC =AB ，再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC由题意得：⊥ACP =⊥ACD =90°，⊥P AC =30°，P A =10km ，⊥BAE =40°，AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×（180°—⊥BAC ）=12×（180°—110°）=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键．5．A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长，从而可易得EF 及EG 、BF 的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度，在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度，从而可求得CD 的长度．【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米，cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ，BF ⊥ED ，AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米，15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜，BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜，AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．6．A【分析】连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．【详解】解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ，⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为：222rπ 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键．7．B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】⊥AB =85，BC ＝425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ，CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB ：AC =BE ：CD ⊥85：10=1.2：CD⊥CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．8．D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：A 、若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上，说法正确；B 、若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2则S △BEP ：S △DFP ＝3：4，说法正确；C 、过点P 作GH AB ∥，分别交AD ，BC 于G ，H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理：四边形CDGH 、四边形BHPE ，四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理：BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上，C 说法正确；D 、若点P 在BD 上，不能得出EP ＝PF ，所以S △BEP 不一定等于S △DFP ，说法错误；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．10．D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设AB =AC =x ，则AD =x -2，根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°，根据BD 为△ABC 的角平分线，⊥A =90°，DE ⊥BC ，推出DE =AD =x -2，运用⊥C 的正弦即可求得．【详解】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ，则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中，⊥A =90°，AB =AC ，⊥⊥C =（180°-⊥A ）=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ，即2AB =．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．11．92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当⊥ABC =60°时，则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时，如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°，即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒，⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9；当⊥ABC =30°时，则⊥BAC =60°，如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．12．3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2 AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π+【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．13．(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF m ，求出x =10，则BH =DF =，CF =，DH =BF ，再求出AH DH ，即可求解． 【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ，BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ，CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ，CF =⊥DH =BF =（m ）⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ） ⊥AB =AH +BH =20103（m ）故答案为：(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ，于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．【详解】解：⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB ＝⊥AOB ＝90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE ＝BE =EA⊥⊥EAC ＝⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF ＝90°，⊥ECF +⊥CFE ＝90°⊥⊥CFE ＝⊥BAC而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE ＝⊥CBO ＝2⊥CBA ＝2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB ＝⊥CAB ＝2⊥ABO⊥⊥ABO ＝30°而点A 的坐标为（0，即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为（3，0）于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．15．3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，先证四边形CDEB 为矩形，得出CD =BE ，再证Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ），根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ）⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ，CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．16．3或3【分析】画出图形，分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当⊥ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知：2236273CH AC AH⊥333BC BH CH．情况二：当⊥ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17．【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值，求出BC ，再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长．【详解】解：⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为：【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC 是解题关键． 18．55°，60°，65°．【分析】通过旋转AOB 至CDB △，可得BOD 是等边三角形，将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
九年级数学 复习解直角三角形同步练习 鲁教版
九年级数学某某教育版复习解直角三角形同步练习（答题时间：45分钟）一、填空题1. 已知角α为锐角，且53sin =α，则αcos ＝. 2. 在△ABC 中，若AC =2，BC =7，AB =3，则cos A =.3. 已知A 是锐角，且sin A =13，则cos （90°－A ）＝___________.4. 已知36α∠=︒，若β∠是α∠的余角，则β∠=度，sin β=____（结果保留四个有效数字）.*5. 如图，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔走s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是__________米.*6. 在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝________（用b 和θ的三角比表示）.7. 某山路坡面坡度399i =200米，升高了_______米. 8. 如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为m （精确到m ）.二、选择题9. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则cos B 等于（）33 C.23 D.21 10. 已知α为锐角，tan （90°－α）3 ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°*11. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）A. 1B.2 C.22D.22 *12. 如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）.a BA CA. a ·sinαB. a ·cosαC. a ·tanαD. a ·cotα*13. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α，AB = 4， 则AD 的长为（ ）ABC DEA.3B.316C.320D.516 14. 某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）︒15020米30米A. 450a 元B. 225a 元C. 150a 元D. 300a 元三、解答题15. 计算：︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2.16. 在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sin A =12，tan B =3，AB =10，求△ABC 的面积.**17. 如图，将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的正切值.18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 的正切值.ABCD*19. 为申办2010年冬奥会，须改变某某市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？【试题答案】一、1. 54；2. 23；3. 31；4. 54、0.8090；5. βαcot cot -s ；6. b ·cot θ；7. 10；.二、9.D ；10. A ；11. B ；12. C ；13. B ；14. C . 三、15.4621-； 16. 3225；17. 提示：过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E . 18. 过D 点作，交AB 于E 点，所以tan ∠BAD ＝6515427DE AE =⨯=； 19. 可求出AB = 43米，因为8＞43，所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内。
《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练
专题1.17《解直角三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（）A ．12B ．3C ．2D 2．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB=B ．cos BC A AC=C ．tan AB C BC=D ．cos AC C BC=3．如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB 为（）A ．6cos αB ．6cos αC ．6sin αD ．6sin α4．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，ABC α∠=，那么A 、B 两地的距离等于（）A ．tan a αB ．tan a α⋅C ．sin a α⋅D ．cos a α⋅5．点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣1，2)，以点O 为圆心，将线段OA 逆时针旋转，使点A 落在x 轴的负半轴上点B 处，则点B 的横坐标为（）AB C D7．已知，斜坡的坡度i =1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A ．B ．20米C ．D ．1003米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE 的顶部测得信号发射塔AB 顶端的仰角∠FEA ＝56°，建筑物DE 的底部D 到山脚底部C 的距离DC ＝16米，小山坡面BC 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，坡长BC ＝40米（建筑物DE 、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直），则信号发射塔AB 的高约为（）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A ．71.4米B ．59.2米C ．48.2米D ．39.2米9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,210．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝1.18米，AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin2A＝_____．12．若关于x 的方程x 2+sin α=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan C =3AB =，则AC 的长为_____．17．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1sin 602︒；（2）26tan 30cos30tan 602sin 45cos 60︒-︒︒-︒+︒ ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设∠CAD =α．(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长．21．如图，为了测得旗杆AB 的高度，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得旗杆顶点A 的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m ，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，≈1.41）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝故选：D ．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，则sin ,cos ,tan ,cos BC AB AB BCA A C C AC AC BC AC====．故选：C ．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt △ABC 中，6BC =米，ABC α∠=，∵cos BCABC AB∠=，∴6cos BC AB ABC coa α==∠，故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵tanα=ACAB，∴AB =tan tan AC aαα=，故选A ．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∵sin60°cos30°，）关于y 轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA ，可得结论．解：∵A （﹣1，2），∴OA由旋转的性质可知，OB ＝OA∴B 0）．故选：C ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA 即可．7．A【分析】根据坡度意思可知1tan 2A ∠=，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，求出h 即可．解：如图：由题意可知：1tan 2A ∠=，100AB =米，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，解得：h =米，h =-．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC ，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43BGCG=，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43 BGCG=，设BG＝4x，CG＝3x，则BC x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴==90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA 、FE ，交于点D ，根据AB ⊥BC ，EF ∥BC 知∠ADE =90°，由∠AEF =143°知∠AED =37°，根据sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米求出AD 的长，继而可得BD 的值，从而得出答案．解：如图，延长BA 、FE ，交于点D ．∵AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∴BD ⊥DF ，即∠ADE =90°．∵∠AEF =143°，∴∠AED =37°．在Rt △ADE 中，∵sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米，∴AD =AE •sin ∠AED =1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD =AB +AD =1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．12【分析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵sin BC A AB ==∴∠A ＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0 ，α=-⨯⨯=解得：1sin 2α=∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．512解：∵P （12，a ）在反比例函数60y x =图象上，∴a=6012=5，∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512，故答案为512．14．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==4AD = 165AE ∴=125DE ∴===DE AC⊥ 90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠==534CD DE ∴=⋅=在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠==∴∠1=∠3，tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =，∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD ，根据勾股定理得：AC =．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质可知，AF =FM ,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG ，即可求解.解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3，在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB，∴EF当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1（2）1【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝11232-＝16（2）原式21316221222=⨯-⨯=--=-【定睛】此题主要考查实数的运算。
人教版九年级数学下册28.2： 解直角三角形及其应 用同步练习(附答案)
人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．27．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（≈1.73，结果精确到0.1米）15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）参考答案一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选：B．11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为4﹣4米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为54.6米．（≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥P A于点D，∵∠PBC＝75°，∠P AB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40+40，∵a∥b，∴∠EP A＝∠P AB＝30°，∴AE＝AP＝20+20≈54.6，故答案为：54.615．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）【解答】解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，则CD＝＝100≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，则AE＝≈＝200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈566（米）故答案是：566．三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m。
【新】人教版九年级数学下册： 解直角三角形及其应用 同步练习 (含答案)
解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，cosC=，则△BCD与△ABD的面积比是（）A．1：3B．2：7C．2：9D．2：112．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（）A．1B．C．0.5D．3．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到点D，使AD=AB，连接BD．根据此图形可求得tan15°的值是（）A．B．C．D．5．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为（）A．600•tan31°B．C．600•sin31°D．6．小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°，则灯顶端O 到地面的距离约为（）A．3.2米B．4.1米C．4.7米D．5.4米7．如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3：1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡项E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（）A．151.1米B．168.7米C．171.6米D．181.9米8．如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C．测得PC=80米，∠PCA=32°，则PA的长为（）A．80sin32°米B．80tan32°米C．D．9．如图，某“拓展训练营”的一个自行车爬坡项目有两条不同路线，路线一：从C到B，路线二：从D到A，AB为垂直升降梯．其中BC的坡度为i=1：2，BC=12米，CD=8米，∠D=36°（其中A，B，C，D均在同一平面内），则垂直升降梯AB的高度约为（精确到0.1米）（）（参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A．8.6B．11.4C．13.9D．23.410．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个测点，AB=4km，从A处测得船C在北偏东45°的方向，从B 处得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离CD的长为（）A．4kmB．(4+2)kmC．(4+)kmD．(4-)km11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i=1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米12．诗人卞之琳的代表作《断章》：“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你，明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦”．2019年国庆，重庆来福士广场开业，吸引了全国各地游客前来，重庆又有了一张新的名片．10月2日，游客小王从南滨路的A处，沿坡度i=1：0.75的斜坡上行20米到达B处，再往正前方水平走8米到达C处，对来福士广场拍照．同时，小王身后的一栋居民楼里面的重庆市民小张在D处测得C处的俯角为42°，若居民楼底端E处与A处的距离是45米，A、B、C、D、E在同一平面内，DE⊥AE于点E．则DE的长约为（）米．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）A．74.5B．74.1C．61.2D．58.5二．填空题（共6小题）13．已知一段公路的坡度为1：20，沿着这条公路前进，若上升的高度为2m，则前进了．14．如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B 在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB=50米．则BC的长为米．（结果保留根号）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，tanB=0.75，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE=．16．如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是．17．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，AC=6，则BC的长为18．如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．三．解答题（共5小题）19．如图，正在海岛C西南方向20海里作业的海监船A，收到位于其正东方向渔船B发出的遇险求救信号，已知渔船B位于海岛C的南偏东30°方向，海岛C周围13海里内都有暗礁．（参考数据）（1）如果海监船A沿正东方向前去救援是否有触礁的危险？（2）求海监船A与渔船B的距离．（结果精确到0.1海里）20．某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°．（1）求∠CAE的度数；（2）求AE的长（结果保留根号）；（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据：．21．如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．求台灯的高（即台灯最高点E到底盘AB 的距离）．（结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，22．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD=BD=DE=30cm，CE=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°）23．如图①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图，已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．上的O点处装有一盏灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长1.2米，（1）求点M到地面的距离，（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能否从该入口安全通过？如果能安全通过，请直接写出货车离门卫室外墙AB的最小距离（精确到0.01米）；如果不能安全通过，请说明理由．（参考数据：参考答案1-5：BDBAC 6-10:BDBBB 11-12:BA13、214、）15、16、17、18、19、20、21、22、在Rt△CEN中，∵CE=40cm，∴由勾股定理可得CN=32cm，则BC=18+30+32=80（cm），答：BC的长度发生了改变，增加了4cm23、（1）过点M作MN⊥OA于点N，∵OM长1.2米，∠AOM=60°．∴ON=0.6米，∴BN=OB+ON=3.3+0.6=3.9米．答：点M到地面的距离为3.9米．（2）一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能从该入口安全通过，理由如下：过点A作AE⊥BA，垂足为A，∵设货车高AB=3.5米，则OA=3.5-3.3=0.2∴AE=OAtan60°=≈0.35答：货车离门卫室外墙AB的最小距离为0.35米。
初中数学解直角三角形综合讲义
1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。
解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。
九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题
九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。
专题28.2 解直角三角形及其应用讲练-2021年初中数学九年级下册同步讲练(学生版)
专题28.2解直角三角形及其应用典例体系(本专题共50题34页)一、知识点1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝=cosB=a c ，cos A ＝sinB=b c ，tan A ＝ab .3.解直角三角形的应用4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i 表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i ＝tan α.(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．5.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：二、考点点拨与训练考点1：由已知函数值求未知函数值典例：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12sin 13B =，则tan A 的值为()．A ．513B ．1312C ．125D ．512方法或规律点拨本题考查互余两角三角函数的关系，其中涉及正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．巩固练习1．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是()A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB2．若锐角A 满足tan a ＝13，则sin a 的值是()A ．5B ．10C ．10D ．53．如果α是锐角，3sin 2α=，那么cosα的值是()A ．12B ．2C ．2D ．34．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为()A ．45B ．35C ．34D ．435．已知α是锐角，cosα＝13，则tanα的值是()A ．10B ．C ．3D ．6．已知：1sinα3=则cosα=()A ．13B ．23C ．89D ．7．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是()A ．35B ．45C ．53D ．548．已知sinαcosα=18，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为()A ．32B ．－32C ．34D ．±329．在Rt ABC △中，90C =∠，如果1cos 2B =，那么sin A 的值是()A ．1B ．12C ．32D ．3210．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4sin 5A =，则cosB 的值为()A ．43B ．34C ．35D ．4511．如图，3sin 5α=，则cos β等于()A ．35B ．45C ．925D ．162512．如果α是锐角，且3sin 5α=，那么cos α的值为_____．13．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，tan A =3，tanB=________14．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.【答案】3515．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosB 的值为_____.考点2：几何图形中应用锐角三角函数典例：在△ABC 中，AB ，tanB ＝45，AC ＝BC 的长为_____．方法或规律点拨本题主要考查了三角函数的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．巩固练习1．如图，已知Rt ABC ∆，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠，则点B 到射线AD 的距离是()A ．2BCD ．32．在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=23，那么AC 边的长是()A ．6B ．C ．D ．3．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，2AC =，下列结论中，正确的是()A ．2sin AB A =B ．2cos AB A =C ．2tan BC A=D ．2cot BC A=4．如图，Rt ABC 中，C 90∠=︒，4sin 5=B ，AB 10=．则tan =A ________．5．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC cm ，则AB 的长为_____．6．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，则边AC 的长是．7．在ABC ∆中，5AB =，25AC =，1tan 2B =，则BC 的长为______.8．(2020·河南期末)如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，过点A 作AE CD ⊥，垂足为M ，交BC 于点E ，2AM CM =．(1)求sin B 的值：(2)若5CD =，求BC 的长．9．(2020·吉林长春·初三一模)(教材呈现)数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：(问题1)赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．(问题2)小明发现只利用直角三角板也可以作∠AOB 的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ＝ON ．②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为∠AOB 的平分线．(1)请写出小明作法的完整证明过程．(2)当tan ∠AOB ＝43时，量得MN ＝4cm ，直接写出MON △的面积．考点3：解直角三角形典例：如图，在Rt ABC 中，90,30,C A AC ∠=︒∠=︒=()1求AB 的长；()2求RtABC 的面积．方法或规律点拨本题考查了解直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键．巩固练习1．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，若6AD =．3tan 2C =，12BC =，求cos B 的值．2．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．3．如图,在锐角三角形ABC 中,AB=4,BC=∠B=60°,求△ABC 的面积4．若A 为锐角，且tan 2A =，求3sin cos 4cos 5sin A AA A+-．5．(2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试)如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，14BC =，12AD =，4sin 5B =．(1)求线段CD 的长度：(2)求cos C ∠的值．6．(2020·华南师大(广东)教育文化传播有限公司月考)在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝6，∠B 为锐角且cosB ＝12．(1)求△ABC 的面积．(2)求tanC ．7．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=34，求sinC 的值．本考点4：解直角三角形的实际应用典例：如图，某海监船以60海里/时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30︒方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60 方同．(以下结果保留根号)(1)求B，C两处之问的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．方法或规律点拨本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．巩固练习1．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度(或坡比)i＝1：0.75，坡长BC＝40米(建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直)，则信号发射塔AB的高约为()(参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48)A．71.4米B．59.2米C．48.2米D．39.2米2．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的()A ．南偏西40°B ．南偏西30°C ．南偏西20°D ．南偏西10°3．一座建于若干年前的水库大坝的横截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB 的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了_____平方米．4．汾河是山西最大的河流，被山西人称为母亲河，对我省的历史文化有深远的影响．在“我爱汾河，保护汾河”实践活动中，小李所在学习小组要测量汾河河岸某段的宽度，如图，河岸//EF GH ，小李在河岸GH 上点B 处用测角仪观察河岸EF 上的小树A ，测得45ABH ∠=︒，然后沿河岸走了50米到达C 处，再一次观察小树A ，测得65ACH ∠=︒，则可求出河的宽度为________________米．(参考计算：650.9sin ︒≈，650.42cos ︒≈，65 2.14tan ︒≈，结果精确到0.1米)．5．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，(图中i =DE 与水平宽度CE 的比)，60B ∠=，6AB =，4=AD ，拦水坝的横断面ABCD 的面积是________(结果保留三位有效数字，参考1.732= 1.414=)6．如图，在大楼AC 的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE ＝4米，坡角∠DEB ＝41°，小红在斜坡下的点E 处测得楼顶A 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶A 的仰角为45°，其中点B ，C ，E 在同一直线上求大楼AC 的高度．(，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87)7．如图是一矩形广告牌ACGE ，2AE =米，为测量其高度，某同学在B 处测得A 点仰角为45︒，该同学沿GB 方向后退6米到F 处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P 点仰角为37︒．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE 的高为2.25米，求广告牌的高度(AC 或EG 的长)．(精确到1米，参考数据：sin 370.6︒≈，tan 370.75︒≈)7．兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．问题提出：如何测量白塔的高MN ．方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A 处测得塔尖M 的仰角是30°，向前走了50米到达点B 处，又测得塔尖M 的仰角是60°．问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN(结果精确到1m ．9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60︒，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m 1.73≈)10．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与底面CD 垂直的OM 位置时的示意图，已知AC 0.66=米，BD 0.26=米，α30=︒(参考数据：1.414==)(1)求AB 的长(2)若ON 0.6=米，求M N 、两点的距离(精确0.01)11．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD 是高为1米的测角仪，在D 处测得塔顶端A 的仰角为40︒，向塔方向前进38米在E 处测得塔顶端A 的仰角为60︒，求二七纪念塔AB 的高度(精确到1米，参考数据400.64,400.77,403 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈)．12．如图，小明的家在某住宅楼AB 的最顶层，他家对面有一建筑物CD ，他很想知道建筑物的高度，他首先量出A 到地面的距离()AB 为16m ，又测得从A 处看建筑物底部C 的俯角α为30°，看建筑物顶部D 的仰角β为53︒且AB ，CD 都与地面垂直，点A ，B ，C ，D 在同一平面内．(1)求AB 与CD 之间的距离(结果保留根号)；(2)求建筑物CD 的高度(结果精确到1m )．参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 53 1.3︒≈3 1.7≈．13．图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B 处测得圣像顶A 的仰角为52.8，在点E 处测得圣像顶A 的仰角为63.4︒．已知AC BC ⊥于点,C EG BC ⊥于点,//,30G EF BC BG =米，19FC =米，求圣像的高度AF ．(结果保留整数．参考数据：52.80.80,52.80.60sin cos ≈︒≈，52.8 1.32,63.40.89tan sin ︒≈︒≈，63.40.45,63.4 2.00cos tan ≈︒≈)。
人教版九年级下册数学第二十八章 解直角三角形习题课件
15．(梧州中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，
AB＝5，BD＝1，tan B＝34 . (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值．
解：(1)由 tan B＝34 可设 AC＝3x，得 BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得 x＝－1(舍去)或 x＝1， ∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD ＝ CD2＋AC2 ＝3 2
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第二十八章 锐角三角函数
28．2.1 解直角三角形
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
((11))∠ ∠AA＝＝解6600：°°探，，bb＝＝究44；；：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c·sin
(1)∠A＝60°，b＝4；
9(91．．)∠((练练A习 习＝α变 变60，式 式°))，在 在∴bRR＝ttS△ △4△；AAABBCCB中 中C＝， ，∠ ∠12CC＝ ＝A9900C° °·， ，Baa， ，Dbb＝， ，cc分 分12别 别b为 为c∠ ∠AAs， ，in∠ ∠BBα， ，∠ ∠CC的 的应对 对用边 边， ，：由 由下 下过列 列点条 条件 件解 解C直 直作角 角三 三C角 角E形 形： ：⊥DO 于点
苏科版九年级下册数学 7.5解直角三角形 同步练习
7.5解直角三角形同步练习一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，，则a：b：c为（）A．1：2：3B．2：：3C．2：3：D．2：：2．如图，设∠AOC＝α，∠BOC＝β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则等于（）A．B．C．D．3．菱形的边长为4，有一个内角40°，则较短的对角线是（）A．4sin40°B．4sin20°C．8sin20°D．8cos20°4．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC⋅AC，tanα＝2，则点C的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（﹣3，6）C．（﹣，）D．（﹣，）5．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan∠C＝，则线段AC的长为（）A．10B．8C．D．6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BD的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2C．D．8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（）A．2B．C．D．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝，CD为AB边上的中线，CE平分∠ACB，则的值（）A．B．C．D．10．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的最小值是（）A．1B．C．D．二．填空题11．如图，BD是△ABC的高，AB＝，BC＝2，tan A＝1，则CD＝．12．如图，等腰Rt△ABP的斜边AB＝2，点M、N在斜边AB上．若△PMN是等腰三角形且底角正切值为2，则MN＝．13．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝．14．如图．在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则tan∠1是．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝2DE，则cos∠BAD的值为．三．解答题16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．17．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．（1）求∠D的正切值；（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．18．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．参考答案一．选择题1．解：设BC＝2x，则AB＝3x，AC＝；∴a：b：c＝BC：AC：AB＝2：：3．故选：B．2．解：由正弦的概念知，＝＝．故选A．3．解：由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，设较短的对角线的一半为X，则sin20°＝∴X＝4sin20°∴较短的对角线长是8sin20°．故选：C．4．解：∵∠C＝∠C，∵OC2＝BC•AC，即，∴△OBC∽△OAC，∴∠A＝∠COB，∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α，∵tanα＝2，∴tan∠ABO＝，∴OA＝2OB，∵AB＝3，由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，即，解得：OB＝3，∴OA＝6．∴tan∠A＝＝．如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵tanα＝2，∴设C（﹣m，2m），m＞0，∴AD＝6+m，∵tan∠A＝，∴＝，∴＝，解得：m＝2，经检验，m＝2是原方程的解．∴点C坐标为：（﹣2，4）．故选：A．5．解：∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝2，∵tan∠BAD＝＝，∴AD＝2BD＝4，∴AB＝＝2．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，∵tan∠C＝＝，∴AC＝2AB＝4．故选：D．6．解：∵cos∠BDC＝＝，可设DC＝3x，BD＝5x，又∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝DB＝5x，又∵AC＝16cm，∴3x+5x＝16，解得，x＝2cm，∴BD＝5x＝10cm，故选：D．7．解：在Rt△AED中，∵sin A＝＝，∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，∵AD：DB＝3：2，∴DB＝10k，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝15k，AC＝20k，∴EC＝AC﹣AE＝8k，∴tan∠CEB＝＝，故选：D．8．解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠A＝45°，在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，∴BE＝5x，∴x+5x＝6，解得x＝，∴AD＝×＝2．故选：A．9．解：如图，过点E和点D作EF⊥AC，DG⊥AC于点F和G，∴EF∥DG，∴＝，∵CE平分∠ACB，∴∠ECF＝ACB＝45°，∵∠EFC＝90°，∴∠FEC＝45°，∴EF＝FC，∴AF＝AC﹣FC＝AC﹣EF，∵CD为AB边上的中线，∴DG∥BC，DG＝BC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴tan∠AEF＝tan∠B＝，∴＝，即＝，解得EF＝AC，∵＝，∴BC＝AC，∴＝＝＝．∴＝＝．故选：D．10．解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC＝2，OA＝3，由勾股定理得：OC＝，∵∠BOA＝∠ACO＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠CAO+∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠OAC，tan∠BOC＝tan∠OAC＝＝，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴上，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，∴m的最小值是，故选：B．二．填空题11．解：∵tan A＝1，∴∠A＝45°，∵BD⊥AD，∴∠D＝90°，∴AD＝BD，∵AB＝，∴AD＝BD＝，∴CD＝＝＝1，故答案为1．12．解：如图1中，当PM＝PN时，过点P作PH⊥AB于H．∵P A＝PB，∠APB＝90°，PH⊥AB，∴AH＝BH＝1，∴PH＝HA＝HB＝1，∵tan∠PMN＝2＝，∴MH＝NH＝，∴MN＝1．如图2中，当MP＝MN时，设MP＝MN＝x．∵tan∠MNP＝＝2，∴NH＝，在Rt△PHM中，则有x2＝（x﹣）2+12，解得x＝，∴MN＝，当NP＝NM时，同法可得MN＝，综上所述，满足条件的MN的值为1或．13．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴＝＝，∴EC2＝EG•EB＝5×（5+4）＝45，∵EC＞0，∴EC＝3，在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，∴BT＝，∴ET＝＝＝，∴CT＝ET+CE＝，∴BC＝＝＝6，∴CG＝＝10，∵∠ECG＝∠FBG，∴E，F，B，C四点共圆，∴∠EFG＝∠CBG，∵∠FGE＝∠BGC，∴△EGF∽△CGB，∴＝，∴＝，∴EF＝3，∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，∴△EAF∽△BAC，∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴＝，∴＝，∴BF＝，∵AE•AC＝AF•AB，∴x（x+3）＝（2x﹣）•2x，解得x＝，∴AE＝ET＝，∴点A与点T重合，∴AB＝2AE＝，∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．故答案为．14．解：如图，取格点E，连接DE、BE，则DE∥AC，∴∠1＝∠BDE，∵BE2＝DE2＝12+22＝5，BD2＝12+32＝10，∴BE2+DE2＝BD2，∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝∠DBE＝45°，则tan∠1＝tan∠BDE＝1，故答案为：1．15．解：取AD的中点G，连接BG，如图所示：则AG＝DG，AD＝2AG，∵AD＝2DE，∴DE＝AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴BG＝AD＝2DE＝2DG，∴BD＝＝＝DG，∴AB＝＝＝DG，∴cos∠BAD＝＝＝；故答案为：．三．解答题16．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，∴，∵D是斜边AB上的中点，∴，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴；（2）∵点E是BC边上的中点，∴，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cos B＝，BF＝BE•cos B＝，∴，∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE＝．17．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠B，在△ABC中，sin B＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，∴sin∠ACG＝＝＝sin B，∴AG＝x，CG＝x，∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，∴HC＝AB＝5x，由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．18．解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD＝．。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图某河堤迎水坡AB坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB长是（）A．5 m B．10m C．5m D．8 m2．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．4sinα米C．米D．4cosα米4．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（）A．B．C．m•cos∠1D．m•sin∠15．如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（）A．l•sinθB．C．l•cosθD．6．如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（）A．米B．米C．sinα米D．cosα米7．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．24海里/时B．8海里/时C．24海里/时D．8海里/时二．填空题9．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．10．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．11．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）12．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为m．13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）14．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．15．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81】16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．三．解答题17．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．18．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD ＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠P AD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．19．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）20．如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB＝．（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？21．某综合实验小组利用大厦AC测量楼前一棵树EF的高，小明在大厦的B点能透过树梢F看到小强同学在G点，小明上升到达C点透过F点看到小文同学在D点，已知G，D，E，A在同一直线上，AC⊥AG，EF⊥AG测得GD＝6米，∠C＝27°，∠G＝38.5°，则树的高度约为多少米？（参考数据：tan27°＝0.50，tan38.5°＝0.80）．22．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）参考答案一．选择题1．解：∵tan∠CAB＝＝＝，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．2．解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．3．解：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，故选：B．4．解：在Rt△ABC中，sin∠1＝，∴AB＝，故选：A．5．解：∵sinθ＝，∴h＝l•sinθ，故选：A．6．解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AB＝2.8m，∠ACD＝α，∴AD＝AC•sin∠ACD＝2.8sinα＝sinα米，故选：C．7．解：如图所示，在Rt△ABD中，tan B＝＝．故选：A．8．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AB＝48海里，∴AC＝AB＝24海里，则这艘船航行的速度为24÷3＝8（海里/小时），故选：D．二．填空题9．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．10．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．11．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），故答案为：7.5m．12．解：∵tan∠ADB＝，∴BD＝＝AB（m），∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝AB（m），∵CD＝BD﹣BC，∴6＝AB﹣AB（m），∴AB＝9（m），故答案为9．13．解：在直角三角形中，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701（m），∴CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m），故答案为：1.1．14．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．15．解：过点A作AM⊥CD于点M，则∠DAM＝∠ADE＝39°，如图所示．在Rt△ADM中，AM＝16，∠DAM＝39°，∴DM＝AM•tan∠DAM＝16×0.81＝12.96，∴AB＝CM＝CD﹣DM＝31﹣12.96＝18.04≈18.0．故答案为：18.0．16．解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝4（千米），∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．答：A、B两点间的距离约为11千米．18．解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，∴PC2+CD2＝PD2，∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，∴∠PCB＝90°，在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD＝，∴PB＝＝＝16≈27.7（米），∵∠P AD＝30°，∴∠APB＝∠PBD﹣∠P AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠APB＝∠P AD，∴AB＝PB≈27.7米，∵27.7＞25，∴此车超过了每秒25米的限制速度．19．解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．20．解：（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB＝，∴∴设BC＝3x，DC＝5x，∴BD＝，∵BD＝4m，∴4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5米；（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．∴灯的顶端E距离地面6.8米．21．解：∵AC⊥AG，EF⊥AG，∴∠A＝∠FED＝90°，∴AC∥EF，∴∠DFE＝∠C＝27°，在Rt△GEF和Rt△DEF中，tan∠G＝＝，即＝0.80，tan∠DFE＝＝0.5，即DE＝0.5EF，∴＝0.8，解得EF＝8（米）．答：树的高度约为8米．22．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。
精品 九年级数学 下册解直角三角形定义 同步讲义+练习8页
）
7.在△ABC 中,∠A=30º,tan B=
1 ，BC= 10 ,则 AB 的长为 3
； 9.锐角 A 满足 2 sin( A 15 0 ) 3 ,则∠A=
8.计算： 8 4sin 45 (3 )0 4 = 10.已知 tanB= 3 ，则 sin 12.已知 cos 14.计算： （1) sin 30 0 sin 60 0 2 cos 45 0 2
例 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=900, sin B
5 ,D 在 BC 边上,且∠ADC=450,AC=5.求∠BAD 的正切值. 13
例 5.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=135°求 tanB 的值.
课堂练习： 1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
1 ，AC=6，则 BC 的长为（ ） 3 A.6 B.5 C.4 D.2 0 3.在 Rt△ABC 中，∠C=90 ，AC=4，BC=3，cosB 的值为 （ ） 1 3 4 3 A. B. C. D. 5 5 5 4 0 4.在△ABC 中，∠C=90 ，tanA=1，则 sinB 的值是 （ ）
0Leabharlann 10 3 cm,求∠B，AB 及 BC. 3
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九年级数学下册 同步讲义
16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8，则 BC=
． .
4 0 17.在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,tanA= ,BC=8,则△ABC 的面积为 3
0
18.如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30 ，则该山坡的高 BC 的长为______米．
4 ，AB=15，求 tanA 和△ABC 的周长． 5
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（）A．B．C．D．3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．2D．34．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+200sinα）米B．（1.5+200cosα）米C．（1.5+200tanα）米D．（1.5+）米5．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i＝1：2（坡度i＝坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A 的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是（）（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）A．27.1米B．30.8米C．32.8米D．49.2米6．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 7．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（）A．200米B．米C．米D．米8．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．24二．填空题9．在△ABC中，sin B＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为．10．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则（1）AD＝；（2）sin∠BAD＝．11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为米．12．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF＝m（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，）13．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）14．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为km．15．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C 的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为千米．（≈1.732，结果保留一位小数）16．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，BC可分别绕点A，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，点C到AD的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）三．解答题17．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）18．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上运动，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．①若tan∠ABC＝2，AB＝3，AE＝2，求BD长？②若直线DE与直线BC所夹锐角的正切值是，cos∠BAC＝，BC＝4，求BD的长．22．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？23．如图，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器，先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，要求AD与水平线的夹角α为48°，且两支架之间的水平距离为150cm．现测量出屋顶斜面BC与水平面的夹角β为30°，支架AB的高度为20cm，求支架CD的高度．（结果精确到1cm．参考数值：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）24．西山公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米．（1）为保证斜坡的坡度为1：3，斜面AD的长度应为多少米？（2）如果给该地下停车场送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：）参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．2．解：如图，过B、D分别作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，则∠BEO＝∠DFO＝90°．在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOD＝60°，∴BE＝OB•sin∠BOE＝OB•sin60°＝OB，在Rt△DOF中，∠AOD＝60°，∴DF＝OD•sin∠BOE＝OD•sin60°＝OD．∵AC＝BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AC•BE+AC•DF＝×2×OB+×2×OD＝OB+OD＝（OB+OD）＝BD＝×2＝．故选：C．3．解：由网格以及勾股定理可得，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝8+2＝10＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴tan∠BAC＝＝，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则CE＝AD＝1.5米，AE＝CD＝200米，在Rt△ABE中，∠BAE＝α，∴BE＝AE•tanα＝200tanα（米），∴BC＝BE+EC＝（1.5+200tanα）米，∴铁塔的高BC为（1.5+200tanα）米，故选：C．5．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝8米，DE＝40米，BF＝CG＝2米，在Rt△CDG中，i＝1：2，∴DG＝4米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝52米，∠E＝43°，∴AF＝FE•tan34°≈52×0.67＝34.84（米），∴AB＝AF﹣BF＝34.84﹣2≈32.8（米）；即建筑物AB的高度约为32.8米．故选：C．6．解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．7．解：作BE⊥MD于点E，如图所示，由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，AM＝BE，∴＝2，解得AM＝200米，∴BE＝200米，∵tan∠BDE＝，∴tan30°＝，解得DE＝200米，∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）米，故选：C．8．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．二．填空题9．解：当点D在线段BC的延长线上时，∵AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sin B＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若点D在线段BC上时，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案为：2或6．10．解：如图，连接AC，根据题意得：，而，∵AD⊥BC，∴，解得：，∴，设AD＝4x，则AB＝5x，∴，∴．故答案为：，．11．解：设他下降的高度AC为x米，∵斜坡的坡度为i＝1：2，∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：x＝±6（负值舍去），∴他下降的高度为6米，故答案为：6．12．解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°，设CH＝xm，在Rt△CGH中，∠CGH＝∠EGD＝45°，∴GH＝CH＝xm，在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝0.53，解得：x≈45.1，∴灯塔的高CF＝45.1+10＝55.1≈55（m）．答：灯塔的高为55米．13．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EP A＝60°，∠CAB＝30°，P A＝30海里，∴∠P AB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△P AB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此时与灯塔P的距离约为50海里．故答案为：50．14．解：∵太阳射来的光线可以看作平行线，∴∠AOB＝∠1≈7.2°．设地球的半径为R千米，由题意得＝800，解得R＝，∴地球的周长约为2π×＝40000（千米）．故答案为：40000．15．解：如图，过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，∴∠ADB＝45°，∵AB＝12×＝8（千米），∴AE＝4（千米）．BE＝4（千米），∴DE＝BE＝4（千米），∴AD＝（4+4）（千米），∵∠C＝90，∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝2+2≈5.5（千米）．故答案为：5.5．16．解：当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，如图：在Rt△ABC中，BC＝AB＝×18＝9（cm），当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，如图：过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，则FG＝CE，∠BGC＝90°，在Rt△ABF中，AB＝18cm，∠BAD＝60°，∴BF＝AB•sin60°＝18×＝9（cm），∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，在Rt△BCG中，BC＝9cm，∴BG＝BC•sin70°≈9×0.94＝8.46（cm），∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.1（cm），∴点C到AD的距离为7.1cm，故答案为：7.1．三．解答题17．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．18．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．21．解：①如图1中，作DF⊥AB于F．∵tan∠B＝2＝，设BF＝k，DF＝2k，则AF＝3﹣k，在Rt△ADF中，AD＝AE＝2，∴（2）2＝（2k）2+（3﹣k）2，∴k＝或，∵BD＝k，∴BD＝1或5．②如图②中，作DF⊥AB于F，BH⊥AC于H，∵∠AED＝∠ACD，∴∠EDC＝∠CAE＝∠BAD，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH＝＝，设AH＝m，AB＝3m，则CH＝2m，BH＝2m，在Rt△BCH中，（2m）2+（2m）2＝16，解得m＝，∴AB＝2，∵tan∠BAD＝＝，设DF＝n，AF＝3n，易知tan B＝＝，∴BF＝n，∵AF+BF＝AB＝2，∴4n＝2，∴n＝，∴BD＝n＝．22．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．23．解：过点A作AF⊥DC于点F，过点B作BE⊥DC于点E，∵矩形ABEF中，AF＝BE＝150cm，AB＝EF＝20cm．Rt△DAF中，∠DAF＝48°，DF＝AF•tan48°≈150×1.11≈166.5（cm），Rt△CBE中，∠CBE＝30°，CE＝BE°tan30°＝150×≈86.5（cm），∴DE＝DF+EF＝166.5+20＝186.5（cm），DC＝DE﹣CE＝186.5﹣86.5＝100（cm），答：支架CD的高约为100cm．24．解：（1）∵斜坡的坡度为1：3，∴＝，∵BD＝CD﹣CB＝2.2（米），在Rt△ABD中，AB＝3BD＝6.6（米），故AD＝＝≈7.04（米），答：斜面AD的长度应约为7.04米．（2）过C作CE⊥AD，垂足为E，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∴tan∠BAD＝tan∠DCE＝＝，设DE＝x米，则EC＝3x米，在Rt△CDE中，3.22＝x2+（3x）2，解得：x≈1.012，则3x＝3.036，∵3.036＞2.8，∴货车能进入地下停车场．。
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解直角三角形第02课 三角函数综合应用锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。
例1.求下列各函数值,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接：(1)0041sin 37sin 与 (2)0041cos 37cos 与 (3)0041tan 37tan 与 (4)0041cos 37sin 与例2.如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E,使CE=AC,AE 与CD 相交于点F .求∠E 的正切值.例3.一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600，且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.例4.如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1m，2=≈，)41.173.13例5.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是30º和60º 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?例6.△ABC中,∠A、∠B均为锐角,且0)3-AB,试确定△ABC的形状.-+tan2=2(sin3例7.如图,城市规划期间,要拆除一电线杆AB,已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2:1,坝高CF为2米,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由.(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)例8.如图,MN 表示某引水工程的一段设计路线,从M 到N 的走向为南偏东300，在M 的南偏东600方向上有一点A ，以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区。
取MN 上的另一点B ，测得BA 的方向为南偏东750.已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区.同步练习：1.在△ABC 中,∠C=900,AB=15,sinA=13，则BC 等于（ ）A.45 B.5 C.15D.1452.李红同学遇到了这样一道题:1)20tan(30=+α,你猜想锐角α的度数应是（ ）A.40°B.30°C.20°D.10° 3.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形4.在Rt △ABC 中,∠C=900，a 、b 、c 分别是三角形的三边，则下列正确的是（ ） A.a=csinB B.a=bcosBC.b=csinBD.c=atanB5.如图,在平地上种植树木时,要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m,如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A.5mB.6mC.7mD.8m第5题图 第6题图6.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD 分别表示一楼,二楼地面的水平线,∠ABC=1500，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A.338B.4mC.43mD.8m 7.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高 8.如图,四边形ABCD 中,∠A=1350，∠B=∠D=900，32=BC ,AD=2,则四边形ABCD 的面积是（ ）A.24B.34C.4D.6第8题图 第9题图9.如图,两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起,且它们的夹角为α,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ） A.αsin 1 B.αcos 1 C.αsin D.1 10.若∠A 为锐角，且3tan >A ，则∠A （ ）A.小于300B.大于300C.大于450且小于600D.大于60011.在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形 12.关于锐角α、β，下列说法正确的是（ ）A.若α＋β=90°则βαsin sin =B.βαβαsin sin sin+=+）（ C.若βα>,则0tan tan >-αβD.1sin sin >+βα13.已知sinx =31，则锐角x 满足（ ） A.0°＜x ＜30°B.30°＜x ＜45°C.45°＜x ＜60°D.60°＜x ＜90°14.在△ABC 中，∠C=90°，若tanA=21，则sinA= 15.求值：12sin 60cos 4522︒⨯︒+2sin30°－tan60°＋cot45=________16.△ABC 中,∠C=900，斜边上的中线CD=6，sinA=31，则S △ABC =______ 17.如图，菱形的两条对角线长分别为32和6，则菱形较小的内角为______度。
第17题图 第18题图18.如图，在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。
19.等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是第19题图 第20题图 第21题图20.如图是固定电线杆的示意图.已知:CD ⊥AB,33=CD m,∠CAD=∠CBD=600，则拉线AC 的长是__________m.21.如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,设∠ADE=α，且53cos =α，AB=4, 则AD 的长为______ 22.锐角A 满足3)15sin(20=-A ,则∠A= 23.若∠A 为锐角，且03tan 2tan 2=-+A A ,则∠A=24.如图，要求相邻两棵树间的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为_________m.第24题图 第25题图 第26题图25.升国旗时,某同学站在离旗杆底部24米（BD ）处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为300，若双眼离地面1.5米（CD ），则旗杆AB 的高度为______米. 26.如图,已知等腰三角形的周长为20,某一内角的余弦值为32,那么该等腰三角形的腰长等于 27.如图,我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯.如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为300，∠BCA=900，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．第27题图第28题图28.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为600，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为450，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为米．29.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB,D为垂足,CD=5,BD=2，求：(1) tanA;(2)cos∠ACD;(3)AC的长.30.海面上,一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B处训练.突然接到基地命令,要该舰前往C岛,接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C岛在A的北偏东方向600，且在B的北偏西450方向，军舰从B处出发,平均每小时行驶20海里,需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?31.数学实验课上,同学们调查知道:位于距离学校不远处最高的山顶上的电信发射台铁塔高30米,为了测量此小山相对学校的高度，在学校里操场上用自制的测仰角的仪器做测试实验,如图：在一个地方测的仰角为α=450，仰角β=600，求此山的高.32.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=80米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为370，大厦底部B 的俯角为480．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据:o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）第02课 位似图形测试题日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分：1.在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5，那么下列结论成立的是（ ） A.sinA=45 B.cosA=53 C.tanA=43 D.cosA=542.如图,在△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，则6cosB 等于（ ）A.3B.2C.33D.32第2题图 第3题图 第4题图3.如图,为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（ ）A.30tan α米B.30tan α米 C.30sin α米 D.30sin α米4.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43,则sin α的值是( ) A.45 B.54 C.35 D.535.令a=sin600，b=cos450，c=tan300，则它们的大小关系是（ ）A.c ＜b ＜aB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.b ＜c ＜a6.如果角α为锐角,且31cos =α,那么α在（ ） A.0与30°之间 B.30°与45°之间 C.45°与60°之间 D.60°与90°之间 7.在Rt △ABC 中,∠C=900，AB=,3,5cm BC cm =则sinA= cosA= 8.已知∠B 为锐角,且2cosB-1=0则∠B=9.在Rt ABC ∆中，若∠C=900，a=15,b=8，则sin sin ______A B +=. 10.比较：sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是 < < 11.在Rt △ABC 中,∠C=900.若22sin =A ，则sinB= 12.如图,已知,在△ABC 中,∠A=600，∠B=450，AC=2,则AB 的长为第12题图 第13题图 13.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,则tanB=_____ 14.如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。