2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数章末总结
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第10讲 Word版含解析
一、选择题1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B.4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选 A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析：选A.由三角形相似得24－y24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．6．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.二、填空题注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：设8级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则8＝lg A 1－lg A 0＝lgA 1A 0，则A 1A 0＝108， 5＝lg A 2－lg A 0＝lgA 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝103. 即8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的1 000 倍．答案：1 00010．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：43三、解答题11.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)，(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．解：(1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t ；令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨． (2)令400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．。
2019高考数学文一轮：第2章函数的概念与基本初等函数 第1讲
则 f(－a)＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．－1
解析：选 B.因为 f(x)＝3x3＋2x＋1，
所以 f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，所
以 f(－a)＝2－f(a)＝0，故选 B.
(必修 1 P18 例 2 改编)下列哪个函数与 y＝x 相等( )
A．y＝xx2
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：选 C.因为－2<1，
所 以 f( － 2) ＝ 1 ＋ log2(2 ＋ 2) ＝ 1 ＋ log24 ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3. 因 为 log212>1，所以 f(log212)＝2log212－1＝122＝6.
所以 f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选 C.
2．已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x) ＝________． 解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为 f(0)＝2，所以 c＝2. 又 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以ff（ （12） ）－ －ff（ （01） ）＝ ＝－ 0. 1，
(必修 1 P24 A 组 T3(4)改编)已知函数 y＝ax2－6x＋7a(a≠0) 的值域为[－2，＋∞)，则 a 的值为( )
A．－1
B．－97
C．1
D．2
解析：选 C.由 y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知 a
＞0，且4a×7a－4a（－6）2＝－2.
即 7a2＋2a－9＝0，
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪 一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正 整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值， 应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变 量的值是否属于相应段自变量的范围．
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第5讲
一、选择题1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a 3b B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab 解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13b －13－23 ＝－6ab －1＝－6a b，故选C. 3．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．设a ＝1.90.9，b ＝0.91.9，c ＝0.99.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A.因为函数y ＝0.9x 在R 上是减函数，所以0.91.9＞0.99.1，且0.91.9＜0.90＝1.即c ＜b ＜1.又函数y ＝1.9x 在R 上是增函数．所以1.90.9＞1.90＝1即a ＞1.所以a ＞b ＞c .故选A.6．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a， 整理得(a －1)(2x ＋1)＝0，所以a ＝1，所以f (x )>3即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0， 所以2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，所以2x ＋1<3·2x －3，无解．所以x 的取值范围为(0，1)．二、填空题7．函数y ＝16－4x 的值域是________．解析：因为4x >0，所以16－4x <16，所以0≤16－4x <16，即0≤y <4.答案：[0，4)8．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 39．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.答案：110.已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b (a －12＋b 2)＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋22b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b的最小值为92. 答案：92 73，23三、解答题11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数， 所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56. 所以只需m ≤56即可． 即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第8讲(含答案解析)
一、选择题1．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析：选A.容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，排除D.当0<x <π2时，y ＝x sin x >0，当x ＝π时，y ＝0，排除B 、C ，故选A.2．定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎪⎨⎪⎧g （g ≥h ），h （g ＜h ），已知函数f (x )＝2x ⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )解析：选B.由定义知，当x ≥0时，2x ≥1，所以f (x )＝2x ，当x ＜0时，2x＜1，所以f (x )＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，1，x ＜0，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：选C.法一：由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0，2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0，结合选项知，选C.法二：由函数f (x )的图象知，函数f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知，选C.4．图中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B.由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.5．(2018·河南焦作模拟)函数f (x )＝|x |＋ax2(其中a ∈R )的图象不可能是( )解析：选C.当a ＝0时，函数f (x )＝|x |＋a x 2＝|x |，函数的图象可以是B ；当a ＝1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2＝|x |＋1x 2，函数的图象可以类似A ；当a ＝－1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2 ＝|x |－1x 2，x >0时，|x |－1x 2＝0只有一个实数根x ＝1，函数的图象可以是D ；所以函数的图象不可能是C.故选C.6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析：选C.法一：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又f (12)＝ln 12＋ln(2－12)＝ln 34，f (32)＝ln 32＋ln(2－32)＝ln 34，所以f (12)＝f (32)＝ln 34，所以排除D ，故选C.法二：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f ′(x )＝1x ＋1x －2＝2（x －1）x （x －2），由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）>00<x <2，得0<x <1；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）<00<x <2，得1<x <2，所以函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又f (12)＝ln 12＋ln(2－12)＝ln 34，f (32)＝ln 32＋ln(2－32)＝ln 34，所以f (12)＝f (32)＝ln 34，所以排除D ，故选C.二、填空题7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈[－1，0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1； 当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1， 由图象得0＝a ·(4－2)2－1， 解得a ＝14，所以y ＝14(x －2)2－1.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14（x －2）2－1，x ∈（0，＋∞）. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14（x －2）2－1，x ∈（0，＋∞）8．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)．答案：(－1，0)9．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点， 故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)10．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的最小值为________．解析：设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，则h (x )＝f (－x )＝⎩⎨⎧ln （－x ），x <0，－x ，x ≥0，作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示．因为f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，所以y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，所以－a ≤－e ，即a ≥e.即a 的最小值为e 答案：e 三、解答题11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0， 所以4|m －4|＝0， 即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2，4]． (4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．。
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第6讲 Word版含解析
一、选择题 1．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2,＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选C.要使函数有意义,(log 2x )2－1>0,即log 2x >1或log 2x <－1,所以x >2或0<x <12,即函数f (x )的定义域为(0,12)∪(2,＋∞)．2．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞,0)上单调递增,则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 解析：选A.由已知得0<a <1,所以1<a ＋1<2,又易知函数f (x )为偶函数,故可以判断f (x )在(0,＋∞)上单调递减,所以f (a ＋1)>f (2)．3．设a ＝log 510,b ＝log 612,c ＝log 714,则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：选 D.因为a ＝log 510＝1＋log 52,b ＝log 612＝1＋log 62,c ＝log 714＝1＋log 72,又0<log 25<log 26<log 27,所以log 52>log 62>log 72>0,所以a >b >c ,故选D.4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0,a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A.由函数图象可知,f (x )为单调递增函数,故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由函数图象可知－1<log a b <0,解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.5．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为( )A ．24 B.22C ．14 D.12解析：选A.因为0<a <1,所以函数f (x )是定义域上的减函数,所以f (x )max ＝log a a ＝1,f (x )min＝log a 2a ,所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24.故选A. 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x＋2,则f (1e )＋f (－1e )的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选B.因为函数g (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x是奇函数,所以g (1e )＋g (－1e )＝0,则f (1e )＋f (－1e )＝g (1e )＋2＋g (－1e )＋2＝4.故选B.二、填空题7．lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝________．解析：lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝lg10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4,即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤49．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14,当且仅当log 2x ＝－12,即x ＝22时等号成立,所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0, 故1－a ＜1a －1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：23三、解答题11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0,a ≠1),且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2,所以log a 4＝2(a >0,a ≠1), 所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3), 所以函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4], 所以当x ∈(－1,1]时,f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x ),a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时,求使f (x )＞0成立的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为(－1,1), 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ), 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时,f (x )在定义域(－1,1)内是增函数, 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1,解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．。
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第2讲
一、选择题1．函数f(x)＝x1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析：选C.函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x 1－x ＝11－x －1，根据函数y ＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f(1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，0)∪(0，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.因为f(x)在R 上为减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|x|<f(1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1， 所以0<x<1或－1<x<0.3．若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞) C ．(－∞，8]∪[40，＋∞) D ．[8，40]解析：选C.法一：由题意知函数f(x)＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k 8，因为函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.法二：取k ＝0，则函数f(x)＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f(x)＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 解析：选C.由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2，当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2，因为f(x)＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f(x)≤f(1)＝－1，因为f(x)＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f(x)≤f(2)＝6， 所以f(x)max ＝f(2)＝6.5．已知函数f(x)＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f(x 1)<0，f(x 2)<0B ．f(x 1)<0，f(x 2)>0C ．f(x 1)>0，f(x 2)<0D ．f(x 1)>0，f(x 2)>0解析：选B.因为函数f(x)＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f(x 1)<f(2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f(x 2)>f(2)＝0， 即f(x 1)<0，f(x 2)>0.6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f(x)＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m2M＝( ) A ．2 B ．3C ．83D ．103解析：选C.易知f(x)＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f(3)＝2＋43－2＝6，m ＝f(4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.二、填空题7．函数f(x)＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f(x)＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，x ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，x ＜1，作出函数图象如图，由图象知f(x)＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f(x)＝x|2x －a|(a>0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f(x)＝x|2x －a|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （2x －a ），x>a2，－x （2x －a ），x ≤a2(a>0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 4，a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：810．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x>1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f(x 2)－f(x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由(x 1－x 2)[f(x 2)－f(x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]<0，所以函数f(x)为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a<3.答案：[1，3) 三、解答题11．已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a－2＝12，f(2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2)求函数y ＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝2x －1x ，任取1≥x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.所以f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．(2)当a≥0时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a<0时，f(x)＝2x ＋－ax ，当－a2≥1，即a∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2<1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x＝－a2时取得最小值2－2a.。
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第3讲
11 C．f 2 <f 3 <f(2)
11 D． f(2)< f 2 <f 3
解析： 选 C.由 f(2－ x)＝ f (x)可知函数
f(x)的图象关于
x＝ 1 对称 ，所以
f
1 2
＝f
3 2
，f
1 3
＝
f
5 3
，又当
x≥ 1 时 ， f(x)＝ ln x 单调递增
， 所以
f
3 2
<f
5 3
<f(2) ， 即 f
f(x)＝ asin x＋ b 3 x＋ 4，若
f(lg 3) ＝ 3，则
f
1 lg 3
＝________.
解析： 由
f(lg 3) ＝asin(lg 3) ＋ b 3
lg 3＋ 4＝ 3 得
asin(lg
3)
＋
3 b
lg 3＝－ 1，而
f
1 lg 3
＝ f(－
3
3
lg 3) ＝－ asin(lg 3) － b lg 3 ＋ 4＝－ [ asin(lg 3) ＋ b lg 3] ＋ 4＝ 1＋ 4＝5.
g(0) ， g(－1) 之间的大小关系是 ________．
解析： 在 f(x)－ g(x)＝
1x 2 中， 用－ x 替换
x， 得 f(－ x)－ g(－ x)＝ 2x， 由于
f(x)， g(x)分别
是定义在 R 上的奇函数和偶函数 ，
所以 f(－ x)＝－ f(x) ，g(－ x)＝ g(x)，
C．f ( 2)< f(3)< f( π）
D． f( 2)< f( π )f<(3)
高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数章末总结(1)
章末总结知识点考纲展示函数及其表示?了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．?在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．?了解简单的分段函数，并能简单应用.单调性?理解函数的单调性及其几何意义．?理解函数最大值、最小值及其几何意义.奇偶性结合具体函数了解函数奇偶性的含义.指数函数?了解指数函数模型的实际背景．?理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．?理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．?知道指数函数是一类重要的函数模型.对数函数?理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．?理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．?知道对数函数是一类重要的函数模型．?了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.幂函数?了解幂函数的概念．?结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况.函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.函数与方程?结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．?根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.函数模型及其应用?了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．?了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.一、点在纲上，源在本里考点考题考源函数单调性与奇偶性(2017·高考全国卷Ⅰ，T5，5分)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A.[－2，2]B．[－1，1] C．[0，4]D．[1，3]必修1 P45 B组T6函数奇偶性(2017·高考全国卷Ⅱ，T14，5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.必修1 P19练习T2函数的概念(2016·高考全国卷Ⅱ，T10，5分)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是()A.y＝x B．y＝lg x必修1 P18例2C．y＝2x D．y＝1 x指数函数(2016·高考全国卷Ⅲ，T6，5分)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A.b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b必修1 P57例7函数的奇偶性与函数图象(2016·高考全国卷Ⅰ，T7，5分)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()必修1 P36练习T1(1)、T2二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修 1 P58练习T2(1)改编)函数f(x)＝32－x的定义域为A，值域为B，则A∩B＝() A．(0，2] B．[1，2]C．[0，1] D．(1，2)解析：选B.因为A＝{x|x≤2}，B＝{y|y≥1}，所以A∩B＝[1，2]，故选B.2．(必修 1 P74A组T2(2)(3)(4)改编)设a＝log87，b＝log43，c＝log73，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a解析：选A.由a＝log87得8a＝7，即23a＝7，2a＝713，即a＝log2713.由b＝log43得4b＝3，即22b＝3，2b＝312，即b＝log2312.又()7136＝49，()3126＝27.所以713>312，则a>b.由于1<4<7，所以log43>log73，即b>c，所以a>b>c.3．(必修 1 P44A组T7改编)已知f(x)＝a－x1＋x，且f1b＝－f(b)对于b≠－1时恒成立，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．－1解析：选B.因为f(x)＝a－x1＋x，由f1b＝－f(b)，得a－1b1＋1b＝－a＋b1＋b，化简得(a－1)(b＋1)＝。
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第5讲 Word版含解析
一、选择题1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( ) 解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a 3b B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab 解析：选C.原式＝⎣⎡⎦⎤4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23 ＝－6ab －1＝－6a b，故选C. 3．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．设a ＝1.90.9，b ＝0.91.9，c ＝0.99.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A.因为函数y ＝0.9x 在R 上是减函数，所以0.91.9＞0.99.1，且0.91.9＜0.90＝1.即c ＜b ＜1.又函数y ＝1.9x 在R 上是增函数．所以1.90.9＞1.90＝1即a ＞1.所以a ＞b ＞c .故选A.6．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a， 整理得(a －1)(2x ＋1)＝0，所以a ＝1，所以f (x )>3即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0， 所以2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，所以2x ＋1<3·2x －3，无解．所以x 的取值范围为(0，1)．二、填空题7．函数y ＝16－4x 的值域是________．解析：因为4x >0，所以16－4x <16，所以0≤16－4x <16，即0≤y <4.答案：[0，4)8．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________． 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 39．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.答案：110.已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x ＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a －1＋1b (a －12＋b 2)＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：92 73，23三、解答题11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝⎛⎫12x ＋⎝⎛⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56. 所以只需m ≤56即可． 即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第2讲
一、选择题1．函数f (x )＝x1－x在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C.函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞) C ．(－∞，8]∪[40，＋∞) D ．[8，40] 解析：选C.法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f (x )≤f (2)＝6， 所以f (x )max ＝f (2)＝6.5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A ．2B ．3C ．83D ．103解析：选C.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.二、填空题7．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，x ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，x ＜1， 作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （2x －a ），x >a2，－x （2x －a ），x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 4，a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：810．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a <3.答案：[1，3) 三、解答题11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a－2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a <0时，f (x )＝2x ＋－ax，当 －a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第6讲(含答案解析)
一、选择题 1．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选C.要使函数有意义，(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，所以x >2或0<x <12，即函数f (x )的定义域为(0，12)∪(2，＋∞)．2．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定解析：选A.由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．3．设a ＝log 510，b ＝log 612，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c 解析：选D.因为a ＝log 510＝1＋log 52，b ＝log 612＝1＋log 62，c ＝log 714＝1＋log 72，又0<log 25<log 26<log 27，所以log 52>log 62>log 72>0，所以a >b >c ，故选D.4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A.由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.5．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．24 B.22C ．14 D.12解析：选A.因为0<a <1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24.故选A.6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x＋2，则f (1e )＋f (－1e )的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选B.因为函数g (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x是奇函数，所以g (1e )＋g (－1e )＝0，则f (1e )＋f (－1e )＝g (1e )＋2＋g (－1e)＋2＝4.故选B. 二、填空题7．lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝________．解析：lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x ，x ≤1，1－log 14x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4，即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤4. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤49．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0， 故1－a ＜1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：23三、解答题11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)， 所以a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1，3)， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0成立的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数f (x )的定义域为(－1，1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1，1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0，1)．。
高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数章末总结
二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )＝32－x的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．[1，2] C ．[0，1] D ．(1，2)解析：选B.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ∩B ＝[1，2]，故选B.2．(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a ＝log 87，b ＝log 43，c ＝log 73，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：选A.由a ＝log 87得8a ＝7，即23a ＝7，2a＝713，即a ＝log 2713.由b ＝log 43得4b＝3，即22b＝3，2b＝312，即b ＝log 2312.又()7136＝49，()3126＝27.所以713>312，则a >b .由于1<4<7，所以log 43>log 73，即b >c ，所以a >b >c .3．(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )＝a －x 1＋x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝－f (b )对于b ≠－1时恒成立，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：选B.因为f (x )＝a －x 1＋x ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝－f (b )，得a －1b 1＋1b＝－a ＋b 1＋b ，化简得(a －1)(b＋1)＝0.要使上式对于b ≠－1恒成立，则a －1＝0，所以a ＝1.4．(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4，－2)∪(2，4)C ．(－∞，－4)∪(－2，0)D ．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4) 解析：选D.因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)＝f (2)＝f (－2)＝0，又f (x )在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.5．(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析：选B.易判断函数为奇函数．由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B.6．(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析：选A.由题意，知f ′(x )＝e x＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x＋1>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)．综上，可得0<a <1<b <2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )<f (1)<f (b )．故选A.7．(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )＝3xx －4的图象与直线x ＋my －3m －4＝0有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2x 1＋x 2等于( )A ．43B ．34C ．－43D ．－34解析：选B.因为f (x )＝3x x －4＝3（x －4）＋12x －4＝3＋12x －4，其图象是由y ＝12x向右平移4个单位后，再向上平移3个单位得到，所以函数f (x )＝3xx －4的图象关于点(4，3)对称，又直线x ＋my －3m －4＝0，即为(x －4)＋m (y －3)＝0，从而恒过定点(4，3)．所以A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)关于点(4，3)对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝6，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝68＝34.8．(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c<2解析：选 D.作出函数f (x )＝|2x－1|的图象如图中实线所示，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，所以f (c )<1，所以0<c <1，所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c－1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，所以2a ＋2c<2，故选D.二、填空题9．(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1)，则a 的范围为________． 解析：当0<a <1时，log a 2<0，所以log a 2<1成立．当a >1时，log a 2<1即为log a 2<log a a .所以a >2，综上所述a 的范围为(0，1)∪(2，＋∞)．答案：(0，1)∪(2，＋∞) 10．(必修1 P 23练习T 3改编)函数y ＝|x ＋a |的图象与直线y ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：作出其图象如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋a |，y ＝1，得A (－1－a ，1)，B (1－a ，1)，所以|AB |＝2，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.答案：111．(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v ＝a log 3Q100，其中v 的单位为m/s ，Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，a 为正常数．已知一条鲑鱼游速为32m/s 时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的游速为2 m/s 时，它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍．解析：当Q ＝2 700时，v ＝32 m/s.所以32＝a log 32 700100，所以a ＝12.即v ＝12log 3Q100.所以当v ＝2时，2＝12log 3Q 100，此时Q ＝8 100，当v ＝0时，0＝12log 3Q100，此时Q ＝100.所以游速2 m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的8 100100＝81倍．答案：8112．(必修1 P 83B 组T 4改编)已知函数f (x )＝e x ＋k e －x为奇函数，函数g (x )是f (x )的导函数，有下列4个结论：①[f (x )]2－[g (x )]2为定值；②曲线f (x )在任何一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角； ③函数f (x )与g (x )的图象有且只有1个交点； ④f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立．则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)．解析：因为f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋k e x ＝－e x－k e －x ，(k ＋1)(e －x ＋e x )＝0.所以k ＝－1.即f (x )＝e x －e －x .则g (x )＝f ′(x )＝e x ＋e －x，所以[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝－4为定值，故①正确．又f ′(x )＝e x ＋e－x≥2e x ·e －x＝2.所以f ′(x 0)≥2> 3.即曲线f (x )在任意一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角，故②正确．③由f (x )＝g (x )，即e x －e －x ＝e x ＋e －x 得e －x＝0，无解．即函数f (x )与g (x )的图象无交点，故③错误．④f (2x )＝e 2x －e －2x ，f (x )g (x )＝(e x－e －x )(e x ＋e －x )＝e 2x －e －2x，所以f (2x )＝f (x )g (x )，所以f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立错误，故④错误．答案：①②。
2019高考数学文一轮分层演练第2章函数的概念与基本初等函数 第9讲 Word版含解析
一、选择题．已知函数()＝－，则()的零点所在的区间是( )．(，) ．(，)．(，) ．(，＋∞)解析：选.易知()是单调函数，()＝－>，()＝－＝－＝－<，故()的零点所在的区间是(，)．．已知函数()＝－，则()在[，π]上的零点个数为( )．．．．解析：选.作出()＝与()＝的图象如图所示，可以看到其在[，π]上的交点个数为，所以函数()在[，π]上的零点个数为，故选.．已知实数>，<<，则函数()＝＋－的零点所在的区间是( )．(－，－) ．(－，)．(，) ．(，)解析：选.因为>，<<，()＝＋－，所以()为增函数，(－)＝－－<，()＝－>，则由零点存在性定理可知()在区间(－，)上存在零点．．函数()＝－－的一个零点在区间(，)内，则实数的取值范围是( )．(，) ．(，)．(，) ．(，)解析：选.因为函数()＝－－在区间(，)上单调递增，又函数()＝－－的一个零点在区间(，)内，则有()·()<，所以(－)(－－)<，即(－)<.所以<<.．已知函数()＝(∈)，若函数()在上有两个零点，则的取值范围是( )．(－∞，－) ．(－∞，)．(－，) ．[－，)解析：选.当>时，()＝－有一个零点＝，所以只需要当≤时，＋＝有一个根即可，即＝－.当≤时，∈(，]，所以－∈(，]，即∈[－，)，故选.．已知函数()＝＋，()＝＋，()＝＋的零点依次为，，，则，，的大小关系为( ) ．＜＜．＜＜．＞＞．＞＞解析：选()＝＋的零点为函数＝与＝－图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知＜，()＝＋的零点为函数＝与＝－图象的交点的横坐标，由图象(图略)知＞，令()＝，得＝.故选.二、填空题．已知函数()＝若()＝－，(－)＝，则函数()＝()＋的零点个数为．解析：依题意得解得令()＝，得()＋＝，该方程等价于①或②解①得＝，解②得＝－或＝－，因此，函数()＝()＋的零点个数为.答案：．方程＋＝的解在[，)内，则的取值范围为．解析：令函数()＝＋－，则()在上是增函数．当方程＋＝的解在(，)内时，()·()<，即(－)(－)<，解得<<.当()＝时，＝.答案：[，)．已知函数()＝若函数()＝()－有个零点，则实数的取值范围是．解析：函数()＝()－有个零点，转化为()－＝的根有个，进而转化为＝()，＝的交点有个．画出函数＝()的图象，则直线＝与其有个公共点．又抛物线顶点为(－，)，由图可知实数的取值范围是(，)．答案：(，)．定义在上的奇函数()，当≥时，()＝，则函数()＝()－的所有零点之和为．解析：由题意知，当＜时，()＝，作出函数()的图象如图所示，设函数＝()的图象与＝交点的横坐标从左到右依次为，，，，，由图象的对称性可知，＋＝－，＋＝，＋＋＋＝，令＝，解得＝，所以函数()＝()－的所有零点之和为.答案：三、解答题．已知是正实数，函数()＝＋－－.如果函数＝()在区间[－，]上有零点，求的取值范围。
(江苏专版)2019版高考数学文一轮复习学案：第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ+Word版含答案【KS5U+高考】
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ突破点(一) 函数的定义域2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z. [例1] (1)(2018·苏北四市联考)y ＝ x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是________________．(2)(2018·连云港检测)函数y ＝sin x ＋tan x ＋π4的定义域是____________________．对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[例2] (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域为____________．(2)(2018·苏州中学月考)函数f (2x －1)的定义域为(－1,5]，则函数y ＝f (|x －1|)的定义域是____________．[例3] (2018·苏州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．练习：1.设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.2.函数f (x )＝log 12x －的定义域是________．3.函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．4.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是________．5.[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为列表法、解析法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连结(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为_________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝____________________.(3)(2018·南通模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1，则函数f (x )的解析式为____________________．练习二、1．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，则f (x )＝____________________.2．(2018·南通中学月考)函数f (x )满足2f (x )＋f (2－x )＝2x ，则f (x )＝____________________.3．(2018·如皋中学月考)已知f (sin x ＋cos x )＝cos 2x －π4，则f (x )的解析式为____________________．4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．突破点(三) 分段函数1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.[例1] (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.(2)(2018·启东中学检测)设函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )＋x ，且当0≤x ＜2时，f (x )＝[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (5.5)＝________.(3)(2018·南通高三月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为________．[例2] (1)(2018·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(3)(2018·阜宁中学高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈－∞，a，x 2，x ∈[a ，＋若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．课后练习1.[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 2，x ＞0，则f (f (－1))＝________.2.[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f x －＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值为________． 3.[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2，则a 的取值范围是________．5已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2－x ，x ＜2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.6.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－x －2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．练习三、1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋14．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．函数f (x )＝10＋9x －x2x －的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x ＞1，x ≠2，解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．答案：(1,2)∪(2,10]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f x ＋＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3.答案：33．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2. 答案：24．(2018·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4＜a ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.答案：16 605．(2018·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2－x ，x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．解析：f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．答案：5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－348．若函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为________．解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1＋3＝－2b a ，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2)．由3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)9．(2018·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是____________．解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ∈[－2，－，－x ＋2，x ∈[－1，，x 2，x ∈[0，1]，－12x －2，x ∈，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．1．单调函数的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减；(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f x单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝fx 单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的序号是________． ①f (x )＝3－x ；②f (x )＝x 2－3x ； ③f (x )＝－1x ＋1；④f (x )＝－|x |. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． [解析] (1)当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． (2)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)③ (2)[3，＋∞) [易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连结，也不能用“或”连结．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(一) [例2] (1)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． (2)(2017·天津高考改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．[解析] (1)由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . (2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x ＞0时，f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＞0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 3＝log 28＞log 25.1＞log 24＝2＞20.8， 所以c ＞a ＞b .[答案] (1)b ＞a ＞c (2)c ＞a ＞b 应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．[解析] 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －，解得8＜x ≤9.[答案] (8,9] [方法技巧]含“f ”号不等式的解法原不等式――→函数的性质fg x ＞f h x――→函数的单调性去“f ”号，转化为“g (x )＞h (x )”型具体的不等式――→解不等式求得原不等式的解集[提醒] 上述g (x )与h (x )的值域应在外层函数f (x )的定义域内．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述得－14≤a ≤0.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.[答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(－∞，1]∪[4，＋∞) [易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”3． 解析：由3－4x ＋x 2＞0得x ＜1或x ＞3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1) 2.[考点二·应用一已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________________．解析：由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b ) 3.[考点二·应用二已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＜f (1)的实数x的取值范围是________．解析：由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.答案：(－1,0)∪(0,1) 4.[考点二·应用三设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1.答案：[1，＋∞)5.[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)的单调性．解：函数的定义域为{x |x ≠0}．任取x 1，x 2∈{x |x ≠0}，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2－a x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2.令x 1＝x 2＝x 0,1－a x 20＝0可得到x 0＝±a ，这样就把f (x )的定义域分为(－∞，－a ]，[－a ，0)，(0，a ]，[a ，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．若0＜x 1＜x 2≤a ，则x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜a ， 所以x 1x 2－a ＜0.所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1·x 2＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，a ]上单调递减．同理可得，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a ]上单调递增，在[－a ，0)上单调递减．故函数f (x )在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．突破点(二) 函数的最值(1)设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．(2)设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．1(1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值． 2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝x 2－x ＋＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， ∴2＜2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤2，103.(3)当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象．①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞(x 3－3x )max ， 所以a ＜－1.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎥⎤2，103 (3)①2 ②(－∞，－1) [方法技巧] 求函数最值的五种常用方法1．已知a ＞0，设函数f (x )＝ 2 018x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________.解析：由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a＋1＝4 034. 答案：4 0342．(2018·宜兴月考)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：63．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：34．(2018·常州模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x≤12.令t ＝1－2f x ，则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，785．(2017·浙江高考改编)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则关于M －m 的结果中，叙述正确的序号是________．①与a 有关，且与b 有关；②与a 有关，但与b 无关； ③与a 无关，且与b 无关；④与a 无关，但与b 有关．解析：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；当－a2＜0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； 当－a2＞1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 答案：②1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的序号是________． ①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1； ③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；④y ＝x ＋1x .解析：函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数；y ＝－x ＋1与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数；y ＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．答案：①2．(2017·浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x－a ＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a ＞92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，解得a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，923．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间为________．⎩⎪⎨⎪⎧x－x ，x ≥0，－x －x ，x ＜0解析：y ＝|x |(1－x )＝＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ＜0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 4．(2018·扬州中学单元检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，且log 22＝1＝－2＋3，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．解析：依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．答案：f (－1)＜f (3)3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________．解析：令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 4．(2018·宜兴第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )为R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1385．(2018·淮安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.答案：(－2,1)6．(2018·连云港海州中学模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数，∴a ＞0，∴0＜a ≤1.答案：(0,1]7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x ＞2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a ＞1，∴a ∈(1,2]． 答案：(1,2]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2018·苏州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.答案：(－∞，－2) 二、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a ＞1时，a －1a＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0＜a ＜1时，a －1a＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1， ∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.1．函数的奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数，且在x ＝0上有意义，则f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”函数奇偶性的判断[例1] (1)f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.[解] (1)∵x 2＋1＞|x |≥0，∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋－x2＋1)＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，∴－1≤x ＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数的定义域关于原点对称， ∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x .又f (－x )＝4－－x2－x＝－4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． [方法技巧]判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．函数奇偶性的应用[例2] (1)2，则f (－a )的值为________．(2)(2018·姜堰中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m log 2 017x ＋3sin x ，x ＞0log 2 017－x ＋n sin x ，x ＜0为偶函数，则m －n ＝________.(3)(2018·盐城高三第一次检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋3x ＋b ，则f (－1)＝________.[解析] (1)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－F (a )＝－1，从而f (－a )＝0.(2)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m log 2 017－x －3sin x ，x ＜0log 2 017x －n sin x ，x ＞0＝f (x )，所以m ＝1，n ＝－3，∴m －n ＝4.(3)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，而f (0)＝1＋b ＝0，解得b ＝－1.所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋3－1)＝－4.[答案] (1)0 (2)4 (3)－4 [方法技巧]利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”①f (x )＝x －1；②f (x )＝x 2＋|x |； ③f (x )＝2x－2－x；④f (x )＝x 2＋cos x .答案：②④2.[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的序号是________． ①f (x )＝1＋x 2；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝2x ＋12x ；④f (x )＝x ＋e x.解析：①的定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．②的定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．③的定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12＝12＋2x＝f (x )，所以是偶函数．④的定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．答案：④3.[考点二]设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝________.解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.答案：124.[考点二]设函数f (x )＝x ＋x ＋ax 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0， 即＋＋a1＋－1＋－1＋a－1＝0，∴a ＝－1.答案：－15.[考点二]已知f (x )是R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝x 2＋x －1.答案：x 2＋x －16.[考点二](2018·徐州期初测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－4x ，x ＜0为偶函数，则不等式f (x )＜5的解集为________．解析：因为f (x )为偶函数，x ≥0时f (x )＝x 2＋ax ，所以x ＜0 时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＝x 2－ax ，所以x 2－ax ＝bx 2－4x 对于x ＜0恒成立，所以b ＝1，a ＝4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，x 2－4x ，x ＜0，即f (x )＝x 2＋4|x |.由f (x )＜5得x 2＋4|x |＜5，解得|x |＜1，所以原不等式的解集为(－1,1)．答案：(－1,1)突破点(二) 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期.f (x ＋a )＝－1f xf (x ＋a )＝1f x[典例] (1)(2017·扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …f n 个(x )]}，那么f 2 019(2)的值为________． (2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2. 又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， 所以f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 017)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝1 009. [答案] (1)2 (2)1 009 [方法技巧]函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈(－2,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (4)＝________.解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (4)＝0.答案：02．(2018·丹阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为________． 解析：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.答案：123．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－254．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017.答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x ＜3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝1＋2－1＝2. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝336＋2＝338.突破点(三) 函数性质的综合问题1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，常将它们综合在一起考查，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即先实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．[例1] (1)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围为________．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． [解析] (1)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， 即1－m ＞m 2－1，解得－2＜m ＜1.② 综合①②可知，－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)．(2)∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，。
【精编】2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第9讲
一、选择题1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞) 解析：选C.易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝32－log 24＝32－2＝－12<0，故f (x )的零点所在的区间是(3，4)．2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.3．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)解析：选B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x＋x －b ，所以f (x )为增函数，f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C.因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0<a <3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B.f (x )＝2x ＋x 的零点a 为函数y ＝2x与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b ＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0， 解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：38．方程2x＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m 的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)10．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈（－1，0）|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.答案：11－2π三、解答题11．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.。
苏教版2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第7讲(含答案解析)
一、选择题1．若幂函数f (x )＝kx α过点⎝⎛⎭⎫2，12，则k ＋α的值为( ) A ．－1B ．0C ．12D ．32 解析：选B.由幂函数的定义知k ＝1，且12＝2α，所以α＝－1，所以k ＋α＝0. 2．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C.设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12. 所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，故选C.3．幂函数f (x )＝xm 2－2m (m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.由题意得m 2－2m ＜0，所以0＜m ＜2，又m ∈Z ，所以m ＝1.故选C.4．设x －1＋x ＝3，则x －3＋x 3的值为( )A ．27B ．18C ．15D ．9解析：选B.因为x －3＋x 3＝(x －1＋x )(x －2－x －1·x ＋x 2)＝3(x －2＋x 2－1)．由x －1＋x ＝3得x －2＋x 2＋2x －1·x ＝9.所以x －2＋x 2＝7.所以x －3＋x 3＝3(7－1)＝18.选B.5．函数f (x )＝x ＋1x 的大致图象是( )解析：选B.f (x )＝x ＋1x是奇函数，排除C. f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2. 可知当x ∈(－∞，－1)和(1，＋∞)时，f (x )单调递增；当x ∈(－1，0)和(0，1)时，f (x )单调递减，结合图象知选B.6．关于函数f (x )＝(x ＋2)－1的下列说法中，错误的是( )A ．其图象关于点(－2，0)对称B ．在(0，＋∞)上是减函数C ．其图象与x 轴不相交D ．其图象关于直线x ＝－2对称解析：选D.因为f (x )＝1x ＋2的图象可由y ＝1x 向左平移2个单位得到，结合y ＝1x 的性质知A 、B 、C 均正确，D 错误．故选D.二、填空题7．已知幂函数f (x )满足f (8)＝4，则f ⎝⎛⎭⎫22________f ⎝⎛⎭⎫－33(填＞、＝或＜)． 解析：设f (x )＝x α(α为常数)，又f (8)＝4，所以4＝8α，所以α＝23.于是f (x )＝x 23，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－33＝f ⎝⎛⎭⎫33＜f ⎝⎛⎭⎫22. 答案：＞8．函数f (x )＝x 2－2x ＋2x －1(x ＞1)的最小值为________． 解析：f (x )＝x 2－2x ＋2x －1＝（x －1）2＋1x －1＝x －1＋1x －1≥2（x －1）·1x －1＝2(x ＞1)，所以f (x )min ＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________．解析：由已知有－3－m ＋m 2－m ＝0，即m 2－2m －3＝0，所以m ＝3或m ＝－1；当m ＝3时，函数为f (x )＝x －1，x ∈[－6，6]，而f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，函数为f (x )＝x 3，此时x ∈[－2，2]，所以f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.综上可得，f (m )＝－1.答案：－110．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]． 答案：(－∞，8]三、解答题11．若(a ＋1)12<(3－2a )12，求实数a 的取值范围．解：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23. 12．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.。
2019高考数学文一轮：第2章函数的概念与基本初等函数 第3讲
线 x＝1 对称．不妨设 x1＜x2＜…＜xm，则x1＋2 xm＝1，即 x1＋
m
xm＝2，同理有 x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又xi＝xm＋
i＝1
m
xm－1＋…＋x1，所以 2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)
i＝1
m
＝2m，所以 xi＝m.
i＝1
2．(必修 1 P83B 组 T4 改编)设 f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，
g(x)的定义域均为 R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数
B．f(x)g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数
解析：选 D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．
m
(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )
i＝1
A．0 C．2m
B．m D．4m
【解析】 法一：(通性通法)由 f(x)＝f(2－x)知 f(x)的图象关于 直线 x＝1 对称，又函数 y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也 关于直线 x＝1 对称，所以这两个函数的图象的交点也关于直
(必修 1 P35 例 5(4)改编)函数 f(x)＝x12的大致图象为(
)
解析：选 D.因为 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0， ＋∞)上为减函数， 又因为 f(－x)＝（－1x）2＝x12＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，故选 D.
(必修 1 P39 B 组 T3 改编)已知函数 f(x)是奇函数，在(0，
＋∞)上单调递增．若实数 a 满足 f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则
2019年高考数学文科一轮分层演练卷第2章【函数的概念与基本初等函数】第1讲含解析
1
2x＋1，x≤0
，则 f(f(3))＝( 1－log2x，x＞0 2 B. 3 D．－3
)
2019 年高考数学文科一轮分层演练卷第 2 章【函数的概念与基本初等函数】第 1 讲含解析
1 x－1 4．已知 f 2 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a 等于( 7 A．－ 4 4 C． 3 1 解析：选 B.令 t＝ x－1，则 x＝2t＋2， 2 所以 f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1 7 所以 f(a)＝4a－1＝6，即 a＝ . 4 5．已知函数 f(x)＝ A．－3 C．1 解析：选 A.因为 f(1)＝2， 所以 f(a)＝－f(1)＝－2， 当 a＞0 时，f(a)＝2a＝－2，无解； 当 a≤0 时，f(a)＝a＋1＝－2， 所以 a＝－3. 综上，a＝－3，选 A. 6．(2018·云南第一次统考)已知函数 f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的 x1∈[－1，2]都存 在 x0∈[－1，2]，使得 g(x1)＝f(x0)，则实数 a 的取值范围是( 1 0， A． 2 C． 1 0， 2 ) 2x，x＞0， 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( x＋1，x≤0. B．－1 D．3 ) ) 7 B. 4 4 D．－ 3
2019 年高考数学文科一轮分层演练卷第 2 章【函数的概念与基本初等函数】第 1 讲含解析 2019 年高考数学文科一轮分层演练卷
第 2 章【函数的概念与基本初等函数】第 1 讲
一、选择题 1．函数 f(x)＝ A．(2，＋∞) C．(2，3) 解析：选 C.由 x－2＞0， 1 ＋ln(3x－x2)的定义域是( x－2 ) B．(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞) 解得 2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选 C. 3x－x2＞0， ( )
【精品】2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第5讲
一、选择题1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a 3b B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab 解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13b －13－23 ＝－6ab －1＝－6a b，故选C. 3．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．设a ＝1.90.9，b ＝0.91.9，c ＝0.99.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A.因为函数y ＝0.9x 在R 上是减函数，所以0.91.9＞0.99.1，且0.91.9＜0.90＝1.即c ＜b ＜1.又函数y ＝1.9x 在R 上是增函数．所以1.90.9＞1.90＝1即a ＞1.所以a ＞b ＞c .故选A.6．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－a ＝－2x ＋12－a， 整理得(a －1)(2x ＋1)＝0，所以a ＝1，所以f (x )>3即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0， 所以2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，所以2x ＋1<3·2x －3，无解．所以x 的取值范围为(0，1)．二、填空题7．函数y ＝16－4x 的值域是________．解析：因为4x >0，所以16－4x <16，所以0≤16－4x <16，即0≤y <4.答案：[0，4)8．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 39．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.答案：110.已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b (a －12＋b 2)＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b的最小值为92. 答案：92 73，23三、解答题11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数， 所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56. 所以只需m ≤56即可． 即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。
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3)，[ － 3，0]上分别单调递增与单调递减 ，所以 xf(x)>0 的解集为 (－ ∞， － 4)∪ (－ 2，0)∪ (2，
4)， 故选 D.
5． (必修 1 P36 练习 T1(2)改编 )函数 y＝ (x3－ x)2|x|的图象大致是 (
必修 1 P57 例 7
函数的 奇偶性 与函数
图象
必修 1 P36 练习 T1(1) 、 T 2
二、根置教材 ，考在变中
一、选择题
1．(必修 1 P58 练习 T2(1)改编 ) 函数 f (x)＝ 3 2－x的定义域为 A，值域为 B，则 A∩B＝ (
)
A ． (0， 2]
B ．[1， 2]
C．[0， 1]
1
? 结合函数 y＝ x，y＝ x2， y＝ x3， y＝ 1， y＝ x2的图象，了解它们的变化情况 . x
函数的图 会运用函数图象理解和研究函数的性质 .
象
函数与方 程
? 结合二次函数的图象， 了解函数的零点与方程根的联系， 根的存在性及根的个数． ? 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解
数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
? 理解对数函数的概念， 理解对数函数的单调性， 掌握对数函数图象通过的特
对数函数 殊点．
? 知道对数函数是一类重要的函数模型． ? 了解指数函数 y＝ ax(a＞ 0，且 a≠ 1)与对数函数 反函数 .
y＝ logax(a＞0，且 a≠ 1)互为
幂函数
? 了解幂函数的概念．
判断一元二次方程 .
函数模型
? 了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征， 知道直线上升、 指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义．
及其应用 ? 了解函数模型 ( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中
普遍使用的函数模型 )的广泛应用 .
一、点在纲上 ，源在本里
考点
考题
考源
函数单 调性与 奇偶性
章末总结
知识点
考纲展示
? 了解构成函数的要素， 会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念．
函数及其 表示
? 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 析法 )表示函数．
(如图象法、列表法、解
? 了解简单的分段函数，并能简单应用 .
单调性
? 理解函数的单调性及其几何意义． ? 理解函数最大值、最小值及其几何意义 .
B ．a>c>b
C． b > a> c
D． b>c>a
1
1
解析： 选 A. 由 a＝ log87 得 8a ＝7，即 23a＝ 7，2a＝ 73，即 a＝ log 273.由 b＝ log 43 得 4b＝ 3，
( ) ( ) 1
1
即 22b＝ 3，2b＝32， 即 b＝log 232.又
1
73
6
＝ 49，
D． (1， 2)
解析： 选 B. 因为 A＝{ x|x≤ 2} ， B＝{ y|y≥ 1} ， 所以 A∩ B＝[1 ，2]， 故选 B.
2．(必修 1 P74A 组 T2(2)(3)(4) 改编 )设 a＝ log87，b＝log 43，c＝log 73，则 a，b，c 的大小关
系为 ( )
A ． a>b>c
奇偶性
结合具体函数了解函数奇偶性的含义 .
? 了解指数函数模型的实际背景．
? 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
指数函数 ? 理解指数函数的概念， 理解指数函数的单调性， 掌握指数函数图象通过的特
殊点．
? 知道指数函数是一类重要的函数模型 .
? 理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对
(2017 ·高考全国卷 Ⅰ， T 5， 5 分 )函数 f(x)在 (－∞，＋∞ )单调递 减，且为奇函数．若 f(1) ＝－ 1，则满足－ 1≤ f(x－ 2)≤ 1 的 x 的 取值范围是 ( ) A.[ －2， 2]B ． [－1， 1] C． [0， 4]D ．[1， 3]
必修 1 P45 B 组 T6
16
11
32 ＝ 27.所以 73>32， 则 a>b.由于 1<4<7 ，
所以 log43>log73， 即 b>c， 所以 a>b>c.
3．(修
1 P44A
组 T7 改编 )已知
f(x)＝ a－ x，且 1＋ x
f
1 b
＝－ f( b)对于
b≠－ 1 时恒成立，
则a
的值为 ( )
A．0
B．1
C．2
)
必修 1 P19 练习 T2
必修 1 P18 例 2
指数函 数
A. y＝ x B ．y＝ lg x C．y＝ 2x D． y＝ 1
x
4
2
1
(2016 ·高考全国卷 Ⅲ，T6，5 分) 已知 a＝23，b＝ 45，c＝ 253，则 (
)
A. b<a<c B．a
<b<c C．b<c<a
D．c <a<b (2016 ·高考全国卷 Ⅰ， T 7， 5 分 )函数 y＝ 2x2－ e|x|在 [－ 2， 2] 的图 象大致为 ( )
D．－ 1
1
解析： 选
B.因为
f (x)＝ a－ x， 由 1＋ x
f
1 b
a－ b － a＋ b
＝－ f(b)， 得 1＝ 1＋ b
1＋ b
， 化简得 (a－ 1)( b＋ 1)＝
0.要使上式对于 b≠－ 1 恒成立 ， 则 a－1＝ 0， 所以 a＝ 1. 4． (必修 1 P45B 组 T6 改编 )定义在 R 上的偶函数 f(x)满足： f (4)＝ f(－ 2)＝ 0，在区间 (－
∞，－ 3)与 [－ 3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式 xf(x)>0 的解集为 ( )
A ． (－∞，－ 4)∪(4 ，＋∞ )
B．( －4，－ 2)∪ (2， 4)
C．( －∞，－ 4)∪ (－ 2， 0)
D． (－∞，－ 4)∪(－ 2， 0)∪ (2， 4) 解析： 选 D.因为 f (x)是偶函数 ， 所以 f (4)＝ f(－ 4)＝ f(2) ＝f(－ 2)＝ 0，又 f( x)在 (－∞， －
函数奇 偶性
函数的 概念
(2017 ·高考全国卷 Ⅱ， T 14， 5 分 )已知函数 f (x)是定义在 R 上的 奇函数，当 x∈ (－∞， 0)时， f(x)＝ 2x3＋ x2，则 f(2)＝ ________.
(2016 ·高考全国卷 Ⅱ， T 10， 5 分 )下列函数中，其定义域和值域
分别与函数 y＝ 10lg x 的定义域和值域相同的是 (