暑期班第11讲.平面向量的概念、线性运算与基本定理.学生版

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学案平面向量的基本概念及线性运算PPT演示课件

D.
4 a+
5
3 5
b
【分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系，再利用向量的线性运算求解.
•12
【解析】如图所示,∠1=∠2,
∴
CB BD 1
CA DA 2
∴ BD 1 BA
3
1 (CACB) 1 (ba)
3
3
∴CD=CB+BD=a+ 1 (b-a)= 2 a+ 1 b.
3
3
3
故应选B.
④不正确，如b=0时，则a与c不一定共线.
故应选D.
•8
【评析】（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.
（2）由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.
)
A.1 B.2
C.3 D.0
•7
【分析】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键.注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；
②不正确，若a与b中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
向量a与b(b≠0)平行的充要条件是有且只有一个实
数λ, 使得a=λb
.
•6
考点1 向量的有关概念
下列命题中：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

教案平面向量的基本概念和运算

教案平面向量的基本概念和运算平面向量是数学中的重要概念之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

一般用大写字母表示平面向量，如A、B。

平面向量可以由一个有序的数对表示，也可以用坐标表示。

例如，平面向量A可以表示为(Ax, Ay)或者\[A =\begin{pmatrix} Ax \\ Ay \end{pmatrix}\] ，其中Ax和Ay分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，其坐标表示分别为\[A = \begin{pmatrix} Ax \\ Ay\end{pmatrix}\] 和\[B = \begin{pmatrix} Bx \\ By \end{pmatrix}\]，则它们的和向量C为\[C = \begin{pmatrix} Ax + Bx \\ Ay + By \end{pmatrix}\]。

2. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的差向量C可以表示为C = A - B。

具体计算方法是将B的坐标取反，然后进行加法运算，即\[C = \begin{pmatrix} Ax - Bx \\ Ay - By \end{pmatrix}\]。

3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。

设有一个向量A和实数k，它们的数乘结果为kA。

具体计算方法是将向量A的每个分量都乘以实数k，即\[kA = \begin{pmatrix} kAx \\ kAy\end{pmatrix}\]。

4. 平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B。

设有两个向量A和B，它们的数量积为A·B = Ax * Bx + Ay * By。

平面向量的基本概念和运算

平面向量的基本概念和运算平面向量是指具有大小和方向的矢量，它在平面内进行运算和表示。

平面向量的概念和运算是数学中的重要内容，在几何、物理等学科中都有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。

一、平面向量的表示方法平面向量可以用一个有序对表示，即(A, B)，其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

另一种表示方法是使用向量符号，如→AB，表示从点A指向点B的向量。

向量符号上方的箭头表示向量的方向，向量的长度表示向量的大小。

二、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的和为向量→AC，即：→AB + →CD = →AC向量的加法满足交换律和结合律，即不论加法的顺序如何，结果都是相同的。

三、平面向量的减法平面向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A减去向量B的差为向量→AD，即：→AB - →CD = →AD减法可以看作是加法的逆运算，即将被减去的向量取相反数后再进行加法运算。

四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积，表示两个向量之间的乘积。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的数量积为：→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ其中，|→AB|和|→CD|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有交换律和分配律，即对于两个向量A、B和一个实数k，有以下性质：1. →AB · →CD = →CD · →AB2. (k→AB) · →CD = k(→AB · →CD)3. (→AB + →CD) · →EF = →AB · →EF + →CD · →EF五、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积，表示两个向量之间的向量乘积。

平面向量的基本概念与运算法则

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。

1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。

2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。

设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。

(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。

(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。

也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。

(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。

4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。

平面向量的概念与运算

平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。

在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。

平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。

设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。

其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。

其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。

设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。

六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。

平面向量的基本概念与运算法则

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。

在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。

一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。

例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。

平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。

向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。

向量的长度是一个非负数。

二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。

例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。

2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。

例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。

3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。

例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。

4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。

4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。

数量积的结果是一个标量。

对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。

4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。

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平面向量平面向量的相关概念B 向量加法与减法C 向量的数乘C 向量的线性运算两个向量共线B 平面向量的基本定理A 平面向量的正交分解及其坐标表示B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C 平面向量的基本定理及坐标表示用坐标表示的平面向量共线的条件C 数量积C 数量积的坐标表示C 用数量积表示两个向量的夹角B 平面向量的数量积用数量积判断两个平面向量的垂直关系C 平面向量向量的应用用向量方法解决简单的问题B1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件．3.了解向量的线形运算性质及其几何意义．4.了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件．5.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系；6.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系板块一：向量的线性运算（一）知识内容向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．1．向量的概念：⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：，注意起点在前，AB u u u r终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．⑷ 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或AB u u u r AB u u u r重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥．a r b r a r b r说明：共线向量的方向相同或相反，　注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．　⑸ 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与任意向0r量平行．⑹ 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位O a r O OA a =u u u r rA O 置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量．a r OA u u u rA O 2．向量的加法：⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的,a b r r A AB a =u u u r r BC b =u u u r r AC u u u r AC u u u r a r b r和（或和向量），记作，即．a b +r r a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以，为a rb r AB a =u u u r r AD b =u u u r r A B D AB u u u r AD u u u r邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法ABCD AC a b =+u u u r r r则．② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a+=+r r r r向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r关于：0r 00a a a+=+=r r r r r ⑶ 向量求和的多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点n n n 的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．n 3.向量的减法：⑴ 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．a r a r a -r零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量BA u u u rO OA u u u r O ，或简记“终点向量减始点向量”．OB u u u r⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量4.数乘向量：定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长λa r a λr a λr a a λλ=r r判断正误：已知．λμ∈R ，①；（√）②；（√）()a b a b λλλ+=+r r r r()a a a λμλμ+=+r r r③；（√） ④．（×）()()a a λμλμ=r r()()a b a b λμλμ+=++r r r r 5.向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一a b λ=r r a r b r a r b r 0b ≠r r个实数，使．λa b λ=r r⑵ 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如a r a r 1a r果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．a r 0a u u r 0a a a =r r u u r0a a a=ru u r r （二）典例分析【例1】⑴ 已知的两条对角线交于点，设，，用向量和表示向量，．ABCD □O AB a =u u u r r AD b =u u u r r a r b r BD u u u r AO u u ur ⑵ 已知的两条对角线交于点，设对角线=，=，用，表示，．ABCD □O AC u u u r a r BD u u u r b r a r b rBC u u u r AB u u u r 【例2】设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示、、　．P OABCDE OA a =u u u r r OE b =u u u r r a r b r OB u u u r OC u u u r OD u u u r【例3】如图，、分别是的边、的靠近的三等分点．M N ABC ∆AB AC A 求证：，且∥．13MN BC =MN BC 【例4】⑴已知，则3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=u r r u r r u r r r rm =u r ⑵已知，方向相同，且，，则a rb r 3a =r 7b =r 2a b -=r r【例5】已知矩形中，宽为，长为，，，，试作出向量，并求其ABCD 2AB u u u r a =rBC b =u u u r r AC c =u u u r r a b c ++r r r 长度．【例6】下列命题中正确的有：（）⑴四边形是平行四边形当且仅当；ABCD AB DC =u u u r u u u rCBNMA⑵向量与是两平行向量；AB u u u r BA u u u r⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；AB u u u rCD u u u r A B C D ⑷单位向量不一定都相等；⑸与共线，与共线，则与也共线；a r b r b r c r a r c r⑹平行向量的方向一定相同；【例7】如图所示，，，，…，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两1A 2A 3A 8A O e 81A 2A 8A O 9【例8】（第14届“希望杯”全国数学邀请赛）已知正六边形，在下列表达式：ABCDEF ①；②；③；④中，与等价的有（）BC CD EC ++u u u r u u u r u u u r 2BC DC +u u u r u u u r FE ED +u u u r u u u r 2ED FA -u u u r u u u rAC u u u r A ．个 B ．个 C ．个 D ．个1234【例9】设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，12,e e u r u u r 1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u rA B D 、、求的值．kA 35A【例10】设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则a rb rc r a b +r r c r b c +r r a r．b ac ++=r r r【例11】证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数,,OA OB OC u u u r u u u r u u u rA B C 、、,λμ满足等式，使得．1λμ+=OC OB OA λμ=+u u u r u u u r u u u r【例12】（2007年江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，ABC △O BC O AB AC M N 、若，，则的值为．AB mAM =u u u r u u u u r AC nAN =u u u r u u u rm n +【例13】（2008年全国Ⅰ）在中，，．若点满足，则（）ABC △AB c =u u u r r AC b =u u u r r D 2BD DC =u u u r u u u r AD =u u u rONMCBAA ．B ．C ．D ．2133b c +r r 5233c b-r r 2133b c-r r 1233b c+r r⑵（2009安徽高考卷）在平行四边形中，和分别是边和的中点．若，其中，，ABCD E F CD BC AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R 则．λμ+=【例14】在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，ABCD E F CD BC 1BF a FC a =-1DE bEC b=-若，其中，，则．AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R λμ+=【例15】（2008湖南）设，，，分别是的三边、、上的点，且D E F ABC ∆BC CA AB 2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则与（）AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r BC u u u rA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直板块二：向量的分解与基本定理（一）知识内容1．平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，1e u r 2e u u ra r 存在唯一的一对实数，，使．1a 2a a =r 1122a e a e +u r u u r2．基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作1e u r 2e u u r．叫做向量关于基底的分解式．{}12,e e u r u u r 1122a e a e +u r u u r a r {}12,e e u r u u r说明：⑴ 定理中，是两个不共线向量；1e u r 2e u u r⑵ 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；a r1a 2a ⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．<教师备案>⑴ 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点，作，，．O 11OE e =u u u u r u r22OE e =u u u u r u u r OA a =u u u r r 由于与不平行，可以进行如下作图：1e u r 2e u u r过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 2OE 1OE M 过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 1OE 2OE N 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和1a 2a 分别有，，所以11OM a e =u u u u r u r 22ON a e =u u u r u u r 1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，x y 12OA xe ye =+u u u r u r u u r 112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r 1e u r 2e u u r1x a -2y a -0不妨设，则，20y a -≠1212x a e e y a -=--u u r ur 由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛1e u r 2e u u r盾，因此，，即，．10x a -=20y a -=1x a =2y a =⑵ 证明，，三点共线或点在线上的方法：A B P 已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，A B l O l l P t 使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一OP u u u r {},OA OB u u u r u u u r (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rP 定在上．l 证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数P l ，使，t AP t AB =u u u r u u u r ()t OB OA =-u u u r u u u r ∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 设点满足等式，则，即在P (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rAP t AB =u u u r u u u r P 上．l 其中①式可称为直线的向量参数方程式，当时，l 12t =点是的中点，则，这是向量的中点的向量表达式．可推广到M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r AB u u u r中，若为边中点，则有存在．OAB ∆M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r（二）典例分析【例16】已知的两条对角线与交，是任意一点．ABCD □AC BD E O 求证：+++=OA u u u r OB u u u r OC u u u r OD u u u r 4OEu u u r【例17】如图，已知的面积为，、分别为边、上的点，且ABC ∆214cm D E AB BC ，、交于点，求的面积．::2:1AD DB DE CE ==AE CD P APC ∆【例18】如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若=，ABCD E F 、BC DC 、G DE BF 、AB u u u r a r ADu u u r=，试以，为基底表示、、．b r a r b r DE u u u r BF u u u r CG u u u r 【例19】证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．PE CBA【例20】已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是ABCDE M N P Q AB CD BC DE K H 和的中点，求证：平行且等于．MN PQ KH 14AE 【例21】四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用ABCD E F M N BC AD BD AC O MN 向量的方法证明：也是的中点．O EF 【例22】⑴（2008年广东高考）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点ABCD AC BD O E ，OD AE CD ．若，，则（）F AC a =u u u r r BD b =u u u r r AF =u u u rED CBA MNP Q K H60︒45︒EDCAA ．B ．1142a b +r r 2133a b+r r C ．D ．1124a b +r r 1233a b+r r ⑵（2009年湖南高考）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则， = ．AD xAB y AC =+u u u r u u u r u u u rx =y 【例23】（2009年天津高考改编）若等边的边长为，平面内一点满足，则，ABC ∆M 1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r MA =u u u r．（用，向量表示）MB =u u u rCB u u u r CA u u u r 家庭作业习题1.根据图示填空：⑴ ；⑵．a b +=r r e b d ++=r r u r 习题2.化简下列各式：⑴ ；⑵ 7()8()a b a b +--r r r r 12(2)(432)6a b c a b c +---+r r r r r r习题3.⑴ 设向量，且点的坐标为，则点的坐标为．(2,3)AB =u u u rA (1,2)B ⑵ 已知，若，则，．(2,3),(1,2)a x b y =-=+r ra b =r r x =y =习题4.⑴ 已知，则与垂直的单位向量的坐标为；(4,2)a =ra r ⑵ 若，则的坐标为_________．(2,1)a =r (3,4)b =-r34a b +r r 月测备选习题1.⑴（2003年河南）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点，），则等于（）ABCD P AC A C AP u u u rA ．，()AB AD λ+u u u r u u u r(01)λ∈，B ．， ()AB BC λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝C ．， ()AB AD λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝D ．，()AB BC λ-u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝⑵已知向量，满足，，，则等于（）a rb r 1a =r 2b =r 2a b -=r r a b +r rA ．BCD 1习题2.已知：四点，，，．求证：四边形是梯形．(5,1)A (3,4)B (1,3)C (5,3)D -ABCD习题3.如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点E F ABCD AD CD BE BF AC 和点．求证．（向量法）R T AR RT TC ==TRF E D CB A。

平面向量概念及基本定理 - 解析版

平面向量概念及基本定理（讲案）一、向量的有关概念【知识点】 1. 向量的定义①向量：既有长度又有方向的量，表示为a AB 或。

②平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任一向量平行。

③相等向量：长度相等且方向相同的向量。

④相反向量：长度相等且方向相反的向量。

⑤向量的模：向量的长度叫做向量的模，是实数，表示为||a 。

⑥单位向量：模长等于1个单位长度的向量。

⑦零向量：模长等于零的向量，它的方向是任意的。

注意：两个向量只能比较是否相等，不能比较大小；向量的模可以比较大小。

2. 向量的线性运算向量的加法：求两个向量和的运算，如果两个向量首尾相连，遵循三角形法则；如果两个向量共起点，遵循平行四边形法则。

满足交换律和结合律。

向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，满足三角形法则。

例如()a b a b −=+−向量的数乘：求实数λ与a 的积的运算。

当0λ>时，a λ与a 的方向相同；当0λ<时，a λ与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=。

a λ的模等于||||||a a λλ=。

3. 共线向量定理向量(0)a a ≠与向量b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ使得b a λ=。

【例题讲解】★☆☆例题1．判断下列命题是否正确。

（1）向量就是有向线段；（2）零向量没有方向（3）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小（4）若||||a b =，则a b = （5）单位向量都相等（6）方向相同或相反的向量是平行向量（7）若a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反（8）两相等向量若起点相同，则终点也相同（9）若,a b b c ==，则a c = （10）若//,//a b b c ，则//a c（11）a b =的充要条件是||||a b =，且//a b （12）,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 平行（13）若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件（14）若四边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC BC AD ==.答案：（1）错误（2）错误（3）正确（4）错误（5）错误（6）错误（7）错误（8）正确（9）正确（10）错误（11）错误（12）错误（13）正确（14）正确解析：向量指既有长度又有方向的量，只有长度相等，方向相同时，两个向量才是相等向量；注意零向量的存在★☆☆练习1．下列说法中正确的个数是（）。

平面向量的概念和运算

平面向量的概念和运算平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上表示了方向和大小。

在数学和物理学中，平面向量是非常重要的概念，它们在几何、力学、电磁学等领域都有广泛应用。

本文将详细介绍平面向量的概念和运算，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、平面向量的概念平面向量可以定义为有大小和方向的量。

通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

假设有两个点A和点B，在空间中，从点A指向点B的箭头就是一个平面向量。

平面向量常用小写字母加上一个有方向的箭头来表示，如a→、b→等。

二、平面向量的表示在平面几何中，平面向量可以通过坐标来表示。

平面上的一个点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

如果有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从点A到点B的平面向量可以表示为：AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)三、平面向量的运算1. 加法平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的和可以表示为：a→ + b→ = (a1 + b1, a2 + b2)加法运算满足交换律和结合律，即对于任意的两个向量a→和b→，有a→ + b→ = b→ + a→和(a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→)。

2. 数量乘法平面向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘。

假设有一个向量a→ = (a1, a2)和一个实数k，它们的数量乘积可以表示为：ka→ = (ka1, ka2)数量乘法满足结合律和分配律，即对于任意的向量a→和b→，以及任意的实数k和l，有k(la→) = (kl)a→和(k + l)a→ = ka→ + la→。

3. 减法平面向量的减法是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的差可以表示为：a→ - b→ = (a1 - b1, a2 - b2)减法可以转化为加法的形式，即a→ - b→ = a→ + (-b→)，其中-b→表示b→的相反向量。

平面向量的定义与运算详解

平面向量的定义与运算详解平面向量是解决平面几何问题的重要工具，它是一个有大小和方向的量。

平面向量常以箭头表示，箭头的长度代表该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。

平面向量的定义和运算规则是理解和应用平面向量的关键。

1. 平面向量的定义平面向量可以看作是有两个坐标的点在平面上的移动，起点和终点分别为两个坐标。

平面向量通常用大写的字母表示，如A、B、C等。

平面向量AB通常用→AB表示，向量的大小用|→AB|或AB表示。

若两个向量的大小相等且方向相同，我们称它们为相等向量；若大小相等但方向相反，我们称它们为相反向量。

2. 平面向量的运算平面向量有两种基本运算：加法和数乘。

(1) 加法：设有向量→AB和→CD，要求其和向量→AD，可以通过平移CD使得起点与B重合，然后连接A和D，得到向量→AD。

→AD=→AB+→CD(2) 数乘：向量的数乘是指一个向量与一个数相乘。

若k为实数，向量→AB乘以k得到向量→AC，令→AC=k→AB.3. 平面向量的运算规则平面向量的运算满足以下规则：(1) 交换律: →AB+→CD = →CD+→AB(2) 结合律: (→AB+→CD)+→EF = →AB+(→CD+→EF)(3) 加法的可逆性: 当→AB+→AC=→AD时，我们可以得到→CD=→AD-→AC(4) 数乘结合律: k(→AB+→CD) = k→AB + k→CD(5) 数乘分配律: k(→AB + →CD) = k→AB +k→CD4. 平面向量的模和方向平面向量的模表示向量的大小，用数表示。

若向量→AB=(x, y)，则向量的模是√(x^2+y^2)，记作|→AB|。

平面向量的方向可以用与x轴的夹角α来表示，记作α = tan^(-1)(y/x)。

5. 平面向量的应用举例平面向量的应用非常广泛，在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。

以下是一些例子：(1) 位移和速度：在物理学中，平面向量可以用来表示物体的位移和速度，帮助我们分析物体的运动规律。

平面向量的基本概念与运算

平面向量的基本概念与运算教案：平面向量的基本概念与运算引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一。

通过学习平面向量，学生可以了解向量的基本概念和运算法则，具备解决实际问题的能力。

本节课将介绍平面向量的基本概念和运算，并通过例题让学生熟练掌握基本技巧。

一、平面向量的基本概念（引导学生探索）1. 向量的定义及表示方法通过引导学生思考，让他们发现向量是由方向和大小两个要素组成，并引导学生用符号表示向量。

2. 向量的模指导学生如何计算向量的模，并通过简单的例题加深学生对向量模的理解。

3. 向量的方向角介绍向量的方向角的概念，并引导学生用三角函数来表示向量的方向角。

二、平面向量的运算1. 向量的加法通过具体的几何图形和向量的坐标表示，引导学生理解向量的加法法则，并教授向量加法的运算法则。

2. 向量的减法类似向量的加法，通过具体图形和向量坐标表示，介绍向量的减法，引导学生掌握向量的减法运算法则。

3. 向量的数量积引导学生认识向量的数量积的概念和性质，通过具体的例题加深学生对数量积的理解。

4. 向量的数量积的性质介绍向量数量积的交换律、结合律和分配律，引导学生通过例题应用这些性质。

5. 向量的数量积与夹角引导学生认识数量积与向量夹角的关系，通过具体的例题加深理解。

6. 向量的夹角运算指导学生如何通过向量的坐标表示和向量的数量积求解向量夹角。

三、平面向量的应用1. 直角三角形的证明引导学生利用向量的方法证明直角三角形的定理，并通过具体的例题进行讲解。

2. 平行四边形的性质通过向量的知识，引导学生理解平行四边形的性质，教授平行四边形的相关定理。

3. 图形平移指导学生如何利用向量的平移概念描述图形的平移，并通过例题加深学生对平移的理解。

小结：通过本节课的学习，学生掌握了平面向量的基本概念和运算法则，熟练应用向量的加法、减法和数量积的运算规则，具备解决相关问题的能力。

在接下来的学习中，学生将进一步应用平面向量解决实际问题，提高数学求解能力。

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影：︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ）叫做向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【变式】设 x, y R, 向量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

平面向量的定义和运算法则

平面向量的定义和运算法则平面向量是二维空间中的一个有方向和大小的量，它可以表示为一个有序对。

在数学中，平面向量是研究平面几何的重要工具，具有诸多应用，例如物理学、工程学和计算机图形学等领域。

本文将介绍平面向量的定义以及一些常用的运算法则。

一、平面向量的定义平面向量通常用字母加箭头的形式表示，例如a⃗a⃗。

平面向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。

1. 大小（模）：平面向量的大小可以通过计算向量的长度得到，长度也称作向量的模。

向量a⃗a⃗的模记为||a⃗a⃗ ||。

2. 方向：平面向量的方向可以通过向量与坐标轴之间的夹角来表示。

二、平面向量的运算法则在平面向量的运算中，我们可以进行向量的加法、减法、数乘和点积等运算。

下面将详细介绍这些运算法则。

1. 向量的加法设有两个向量a⃗a⃗和a⃗a⃗，它们的和记为a⃗a⃗ +a⃗a⃗，可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

具体计算公式如下：a⃗a⃗ +a⃗a⃗ = <a⃗1+a⃗1, a⃗2+a⃗2>2. 向量的减法与向量的加法类似，向量的减法也是将对应分量相减得到。

设有两个向量a⃗a⃗和a⃗a⃗，它们的差记为a⃗a⃗ -a⃗a⃗，具体计算公式如下：a⃗a⃗ -a⃗a⃗ = <a⃗1-a⃗1, a⃗2-a⃗2>3. 数乘数乘是指一个向量与一个实数的乘法运算。

设有一个向量a⃗a⃗和一个实数a⃗，它们的数乘记为a⃗a⃗a⃗，具体计算公式如下：a⃗a⃗a⃗ = <a⃗a⃗1, a⃗a⃗2>4. 点积点积是一种特殊的运算，它将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个数。

设有两个向量a⃗a⃗和a⃗a⃗，它们的点积记为a⃗a⃗·a⃗a⃗，具体计算公式如下：a⃗a⃗ ·a⃗a⃗ = a⃗1a⃗1+a⃗2a⃗2通过上述运算法则，我们可以对平面向量进行各种数学运算和推导，从而应用于实际问题的解决中。

结论平面向量的定义和运算法则是研究平面几何的重要基础知识。

平面向量的基本概念和基本定理

【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理：考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算）考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算：减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算：交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向量的减法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向量的乘法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向量的数量积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围；（Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（）Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。

它通常用有序数对表示，即(x,y)。

其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。

平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。

1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。

数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。

3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。

减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。

用符号表示为A·B。

数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。

除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。

平面向量的概念和运算法则

平面向量的概念和运算法则平面向量是二维空间中的一个有向线段，具有大小和方向。

在数学和物理学中，平面向量被广泛应用于解决各种几何和力学问题。

本文将介绍平面向量的概念以及其相关的运算法则。

概念平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，如 $\vec{a}$，其中箭头表示向量的方向。

平面向量可以用两个定点来确定，即起点和终点。

起点和终点之间的线段表示向量的大小和方向。

平面向量可以写成分量的形式，如 $\vec{a} = a_{x}\vec{i} +a_{y}\vec{j}$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 是向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的分量，$\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 是单位向量，分别指向 $x$ 和 $y$ 轴正方向。

平面向量的表示还可以用坐标形式，如 $\vec{a} = (a_{x},a_{y})$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 分别表示向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的坐标。

运算法则1. 向量的加法平面向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点相连，以第一个向量的终点为起点，第二个向量的终点为终点，所得的向量即为两个向量之和。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小进行相乘或相除的操作。

若向量$\vec{a}$ 的大小为 $k$，则数乘后的向量为 $k\vec{a}$。

当 $k$ 为正数时，数乘后的向量与原向量的方向相同；当 $k$ 为负数时，数乘后的向量与原向量的方向相反。

3. 平移法则若有向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$，则向量 $\vec{a}$ 加上向量$\vec{b}$ 的终点得到的向量为向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

换句话说，将向量 $\vec{b}$ 平移至向量 $\vec{a}$ 的终点所在位置，所得的向量为向量 $\vec{a}$ 的平移向量。

4. 多个向量的运算对于给定的多个向量 $\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{n}$，可以进行向量的加法和数乘运算。

平面向量的概念和运算

平面向量的概念和运算平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量的定义、表示、基本运算以及一些常见的性质和应用。

一、平面向量的定义和表示平面向量是有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，以有向线段表示平面向量。

设点A和点B为平面上的两个点，线段AB的起点为A，终点为B，则线段AB代表的向量记作AB。

平面向量表示为：AB = (x,y)，其中x和y分别代表向量在x轴和y 轴上的投影长度。

例如，向量AB = (3,2)表示该向量在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为2。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的和记作AB + CD = (x1+x2, y1+y2)。

例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的和为AB + CD = (3+(-1), 2+4) = (2, 6)。

2. 平面向量的数乘设有一个向量AB = (x, y)和一个实数k，则k乘以向量AB记作kAB = (kx, ky)。

例如，向量AB = (3, 2)的2倍为2AB = (2*3, 2*2) = (6, 4)。

3. 平面向量的减法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的差记作AB - CD = AB + (-CD)，其中-CD = (-x2, -y2)。

例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的差为AB - CD = AB + (-CD) = (3,2) + (-1,-4) = (2,-2)。

三、平面向量的性质和应用1. 平面向量的共线性与共面性如果两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线；如果三个向量在同一个平面内，则它们共面。

2. 平面向量的数量积设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，它们的数量积记作AB·CD = x1x2 + y1y2。

初中数学教案平面向量的基本概念和运算

初中数学教案平面向量的基本概念和运算初中数学教案：平面向量的基本概念和运算引言：平面向量是初中数学中的重要概念，它在几何和代数两个方面都有广泛的应用。

本教案将介绍平面向量的基本概念和运算，并通过丰富的例题让学生更深入地理解和掌握这一知识点。

一、平面向量的定义在平面上，我们可以用一个有大小和方向的直线段来表示一个向量。

其中，大小表示为向量的长度，方向表示为向量所在直线段的朝向。

二、平面向量的表示为了方便起见，我们通常用一个字母加上一个向右的箭头来表示一个向量。

例如，向量A用记作→A。

如果需要表示向量的大小，我们可以在向量字母的上方加上两条平行线。

例如，向量A的大小可以记作|→A|。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

即，将两个向量的起点放在一起，然后将向量依次地按次序相连，连接起两个向量的终点，所形成的向量就是它们的和向量。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加上一个相反向量。

即，向量A减去向量B可以看作是向量A加上向量B的相反向量。

五、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积。

两个向量的数量积等于它们的模长的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

即，对于向量→A和→B，它们的数量积可以表示为：|→A|·|→B|·cosθ，其中θ为→A与→B的夹角。

六、平面向量的夹角两个非零向量的夹角等于它们的数量积除以它们的模长的乘积的反余弦值。

七、平面向量的正交与共线如果两个向量的数量积为0，则它们为正交向量；如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们为共线向量。

八、平面向量的数乘向量乘以一个实数的操作称为数乘。

数乘的结果是一个新的向量，它的大小是原向量大小的绝对值与实数的乘积，而方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。

实例演练：1. 已知向量→A=(2, 3)，向量→B=(−1, 4)，求→A+→B的结果。

2. 已知向量→A=(3, 5)，向量→B=(2, −3)，求→A−→B的结果。