平面向量方法总结(带例题)【大全】(最新整理)

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平面向量的应用(教师版)

平面向量的应用

1 平面几何中的向量方法

① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.

② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”

(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.

Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上

(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB

⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB

⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB

⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用

① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；

② 力的合成与分解符合平行四边形法则.

【题型一】平面向量在几何中的应用

【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【证明】设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD

∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC

⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形

平面向量知识点总结归纳

1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

）

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

}

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++；

】

③00a a a +=+=．

—

C B

a b C C -=A -AB =B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． \

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+．

6.4.1平面几何中的向量方法(奔驰定理、三角形四心)(教学课件)--高中数学人教A版

AC 2 + DB2 = 2(AB 2 + AD2 ).

任务一：平面几何中的向量方法
【例3】正方形ABCD的边长为6, E是AB的中点，F是BC边上靠近
点B的三等分点，AF与DE交于点M,求∠EMF的余弦值．
解：建系如图
则D 0,6 ，E 3,0 ，F 6,2 ，DE = 3, −6 ，AF = 6,2
长度
角
Ԧ = Ԧ ⋅ ；
Ԧ
՜
՜
⊥ ⇔ 1 2 + 1 2 = 0.
Ԧ =
|| =
cosθ =
a∙b
a b
cosθ =
2 + 2 ；
(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2
x1 x2 +y1 y2
x1 2 +y1 2 x2 2 +y2 2
任务一：平面几何中的向量方法
由于∠EMF就是DE, AF的夹角．
∴ cos∠EMF =
∴
DE⋅AF
DE AF
=
2
∠EMF的余弦值为．来自百度文库
10
18−12
9+36⋅ 36+4
=
2
10
任务二：奔驰定理
奔驰定理：已知P为三角形ABC内一点，
则有S∆PBC PA + S∆PAC PB + S∆PAB PC = 0.

(整理版)第七讲平面向量的概念与几何意义

第七讲平面向量的概念与几何意义

一、知识回忆

知识点1：向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量

知识点2：向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a ，b ； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；

知识点3：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 知识点4： ①长度为0的向量叫零向量，记作0 ，0 的方向是任意的.

②长度为1个长度的向量，叫向量.

知识点5：平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.

知识点6：相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；〔2〕零向量与零向量相等；

〔3〕两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．

. 知识点7：共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，任一组平行向量都可移到同一直线上

〔与有向线段的起点无．．．．．．．．．关〕．．

.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

二、典型例题

例 1、

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c 也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量

例 2、判断：〔1〕平行向量是否一定方向相同？

〔2〕不相等的向量是否一定不平行？

〔3〕与零向量相等的向量必定是什么向量？

〔4〕与任意向量都平行的向量是什么向量？

〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？

平面向量知识点及习题分章节(最新整理)

，| a - b |=
．
9．设 a =（ 2， 9）， b =（ λ ,6）， c =(-1,μ ),若 a + b = c ,则 λ =
,μ
=
.
10． △ ABC 的顶点 A(2， 3)， B(－ 4，－ 2)和重心 G(2，－ 1)，则 C 点坐标
为
.
11．已知向量 e1、e2 不共线，
3．已知向量 a (3,4),b (sin , cos ), 且 a ∥ b ，则 tan = （）
3 A． 4
3 B． 4
4 C． 3
4 D． 3
4．已知 ABCD 的两条对角线交于点 E，设 AB e1 ， AD e2 ，用 e1, e2 来表示 ED
的表达式（）
A．
1 2
e1
1 2
C. | AB | =| BA |
D. | AB | 与线段 BA 的长度不相等
5.若四边形 ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是
()
A. AB 与 CD 共线
B. AC 与 BD 相等
C. AD 与 CB 是相反向量 D. AB 与 CD 模相等
6．已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，在以 O，A，B，C，D 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，
必修 4

平面向量专题复习练习(含解析)【最新】

A．1B． C．2D．
【答案】B
15．已知平面向量，满足，，且，则（）
A．3B． C． D．5
【答案】B
16．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
27、在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于（）
A． B． C． D．
平面向量专题复习练习
1．下列说法正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则不是共线向量
【答案】C
2．下列命题正确的是（）
1、加法：
①三角形法则：②平行四边形法则：
2、减法：三角形法则：
3、数乘：λ ：当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝
4、数量积：a·b＝|a||b|cosθ.
5、坐标表示与坐标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算：
①向量坐标=终点坐标－起点坐标
②坐标运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
A． B． C． D．
23．已知向量，满足| |＝1，| |＝2，且与的夹角为120°，则＝（）
A． B． C． D．
24．向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是（）
A． B． C．且 D．

平面向量方法总结(带例题)【大全】

平面向量

应试技巧总结

一。向量有关概念:

1。向量得概念：既有大小又有方向得量，注意向量与数量得区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段，为什么?(向量可以平移)。如:

已知A（１,2),B(4,2)，则把向量按向量＝（－1,3)平移后得到得向量就是＿___＿（答:(３，0））

2.零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得;

3。单位向量：长度为一个单位长度得向量叫做单位向量(与共线得单位向量就是）；

4.相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;

５.平行向量(也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量与任何向量平行.

提醒：

①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;

③平行向量无传递性!（因为有);

④三点共线共线;

6。相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量。得相反向量就是-.如

下列命题:（１)若,则．(２）两个向量相等得充要条件就是它们得起点相同，终点相同。（３）若,则就是平行四边形。(４)若就是平行四边形,则。(５)若,则。(6)若，则。其中正确得就是＿____＿_

(答：(4）(5)) 二。向量得表示方法:

1.几何表示法：用带箭头得有向线段表示,如，注意起点在前，终点在后；

2。符号表示法:用一个小写得英文字母来表示，如,，等;

3。坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同得两个单位向量,为基底,则平面内得任一向量可表示为，称为向量得坐标，=叫做向量得坐标表示.如果向量得起点在原点,

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）

第一篇：高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

平面向量练习题(最新整理)

P | OP OA OB, 1, , R 所表示的区域的面积是（）
A． 2 2
B． 2 3
C． 4 2
D． 4 3
18.在平面上, AB1
AB2 ,
OB1
OB2
1, AP
AB1 AB2 .若
OP
1
,则
2
OA
的取值范围
是（）
A． 0,
5
2
B．
5, 2
23. 已知△ ABC 中，过重心 G 的直线交边 AB 于 P ，交边 AC 于 Q ，设△
APQ 的面积为 S1 ，△
ABC 的面积为 S2 ， AP
pPB ， AQ qQC ，则（ ⅰ ）
pq pq
第2页
高三理 1010，双，20-11-14
第2页
（ⅱ） S1 的取值范围是
CD 上的点，且满足 | BM | | CN | ，则 AM AN 的取值范围是 | BC | | CD |
26.在平面直角坐标系中，双曲线
的中心在原点，它的一个焦点坐标为
(
5, 0)
，
e1
(2,1)
、
e2 (2, 1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点 P ，若 OP ae1 be2 （ a 、
能取值中的最小值。则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）。

高二平面向量典型例题(老师)

【典型例题】

类型一、平面向量的相关概念

例1. 下列说法中正确的是

①非零向量a与非零向量b共线，向量b与非零向量c共线，则向量a与向量c共线；

②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；

③向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角；

④零向量模为0，没有方向；

⑤始点相同的两个非零向量不平行；

⑥两个向量相等，它们的长度就相等；

⑦若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。

【答案】①⑥

【解析】

①向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的；

②相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上；

③向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角；

④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的；

⑤向量是否共线与始点位置无关；

⑥两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；

⑦共线向量即平行向量，非零向量AB与CD是共线向量，可能A、B、C、D四点共线，也可能AB、CD 平行。

【总结升华】

从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同。

举一反三：

【变式1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:

(1) 若|a|=|b|,则a=b；

(2) 单位向量都相等；

(3) 两相等向量若起点相同,则终点也相同；

高中数学必修二第六章平面向量章末总结练习(含答案)

第六章平面向量

一、单选题

1．已知向量()1,2a =，向量()3,4b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（） A ．2- B ．1-

C ．0

D ．2

【答案】B

【解析】由题意可得：()()2

213245,345a b b ⋅=⨯+⨯-=-=+-= ，

则：向量a 在向量b 方向上的投影为

cos ,15a b a a b b

⋅-〈〉===- . 本题选择B 选项.

2．已知向量a ⃗=(1 ， 2)，b ⃗⃗=(x ， 4)，若向量，则x =（）

A ．2

B ．−2

C ．8

D ．−8 【答案】D

【解析】.，故选D.

3．已知向量()()1,2,2,t ==-a b ，且a b ∥，则a b +=

A B

C D ．5

【答案】B

【解析】根据题意可得()122t ⨯=⨯-，可得4t =-，

所以()1,2a b +=--，从而可求得a b +== B.

4．在四边形ABCD 中，2AB a b =+，43BC a b =--，55CD a b =--，那么四边形ABCD 的形状是（） A ．矩形 B ．平行四边形

C ．梯形

D ．以上都不对

【答案】C

【解析】∵86AD AB BC CD a b =++=--，∴2AD BC =，∴AD BC ∥，由题知AB CD ≠，四边形ABCD 是梯形. 故选：C .

5．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b c

A B C

==，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形

平面向量常见题型汇编(含答案)

变式11：如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为
解析：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，
所以在上的投影为，而恰好为中点，
故考虑，
所以
2.范围问题
例题8：若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______
解析：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，
分析：为两个圆的公共弦，从而圆心到弦的投影为的中点，进而在上的投影能够确定，所以考虑计算和时可利用向量的投影定义。
解析：取中点，连结，由圆的性质可得：
例题7：如图，在中，，是边上的高，则的值等于
解析：由图中垂直可得：在上的投影为，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以
分析：菱形方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要寻找在上的投影的最大值即可，而点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在投影距离最远的，结合图像可发现的投影距离最远，所以，再由表示后进行数量积运算；
解析：
变式13：如图，在等腰直角中，，点分别是的中点，点是内（包括边界）任一点，则的取值范围是____________
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题

平面向量专题(优秀经典专题及答案详解)

（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量
ar
(x1,
y1),
r b
(x2, y2)
r ，则 a
r ·b
= x1x2
y1 y2
。
rr
rr
rr
（6）垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与b 垂直，记作 a ⊥b 。
两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ b a ·b ＝O x1x2 y1 y2 0 ，平面向量数量积的
性质。（7）平面内两点间的距离公式
设 a (x, y) ，则| a |2 x2 y2 或| a | x2 y 2 。
如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，那么 | a | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式) .
二、练习
1（．1）判断0下ar 列 0各；命题正确与否：
（2）
r 0
ar
0
；
（3）若 ar
0, ar
r b
ar
cr
r ，则 b
r c
；
（4）若 ar
r b
ar cr
r ，则 b
cr
当且仅当 ar
r 0
时成立；

人教A版数学必修第二册第六章【平面向量及其应用(向量篇)典型例题实战(练透核心考点)】

平面向量及其应用（向量篇）典型例题实战（练透核心考点）

练透核心考点一：平面向量的概念

1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③（为实数），则必为零；

④为实数，若，则与共线；

⑤向量的大小与方向有关．

其中正确的命题的个数为（）

A．B．C．D．

2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（）

A．若，则四边形为平行四边形

B．若，则四边形为梯形

C．若，且，则四边形为菱形

D．若，且，则四边形为正方形

3．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A ．且B．C．D．

4．（2023·全国·高三专题练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）

A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

5．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．模相等的两个平行向量是相等向量

C．若和都是单位向量，则

D．零向量与其它向量都共线

练透核心考点二：平面向量的线性运算

角度1：向量的加法与减法运算

1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（）．

A．B．C．D．

2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，

，若，则直线经过的（）.

A．内心B．外心C．重心D．垂心

3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（）

高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习题及答案

平行向量基本定理如果 →a = λ→b ，则 →a ∥ →b ；反之，如果 →a ∥ →b ，且 →b ≠ →0 ，则一定存在唯一一个实数 λ，使 →a = λ→b ．
例题：化简下列各式：
（1） 2 3
[(4→a − 3→b ) +
1 3
→b −
1 4
(6→a − 7→b )]；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）(λ − μ) (→a + →b ) − (λ + μ) (→a − →b )．
向量加法的平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量 →a 、→b 为邻边作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 →a 与 →b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
对于零向量和任一向量 →a ，我们规定 →a + →0 = →0 + →a = →a ．向量加法的运算律交换律：→a + →b = →b + →a ．结合律：(→a + →b ) + →c = →a + (→b + →c )．向量减法运算
=
→ 0
给出下列运算：
① ④
−A(−−A→−B→B−−A−−−C→−C→D+) −B−−→C(A−−=→C →−0
；② B−−→C )