3.8弧长及扇形面积(1)2

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扇形面积公式和弧长公式

扇形面积公式和弧长公式扇形是圆周上两条半径之间的一段弧与半径所围成的区域。

计算扇形的面积和弧长是在几何学和物理学中常见的计算问题。

本文将介绍扇形面积公式和弧长公式，并提供计算示例。

扇形面积公式扇形的面积可以使用以下公式进行计算：$A = \\frac{1}{2}r^2\\theta$其中，A表示扇形的面积，r表示扇形的半径，$\\theta$表示扇形对应的圆心角（以弧度为单位）。

要计算扇形的面积，首先需要确定扇形的半径和圆心角。

将这些值代入公式，即可得出扇形的面积。

以下是一个计算扇形面积的示例：假设扇形的半径为5cm，圆心角为45°（将角度转换为弧度）。

代入公式可得：$A = \\frac{1}{2} \\cdot 5^2 \\cdot \\frac{45}{180} \\pi = \\frac{25}{4} \\pi\\approx 19.63 cm^2$因此，扇形的面积约为19.63平方厘米。

弧长公式扇形的弧长可以使用以下公式进行计算：$L = r\\theta$其中，L表示扇形的弧长，r表示扇形的半径，$\\theta$表示扇形对应的圆心角（以弧度为单位）。

要计算扇形的弧长，同样需要知道扇形的半径和圆心角。

将这些值代入公式，即可得出扇形的弧长。

以下是一个计算扇形弧长的示例：假设扇形的半径为8cm，圆心角为60°（将角度转换为弧度）。

代入公式可得：$L = 8 \\cdot \\frac{60}{180} \\pi = \\frac{4}{3} \\pi \\approx 4.19 cm$因此，扇形的弧长约为4.19厘米。

总结扇形的面积和弧长可以通过相应的公式进行计算。

在计算前，需要确定扇形的半径和圆心角，并将角度转换为弧度。

扇形是几何学和物理学中常见的形状，计算其面积和弧长有助于解决相关问题。

在实际应用中，扇形的面积和弧长公式可以用于计算圆盘的扇形部分面积和弧长，可以用于设计扇形的织物、纸板或金属板的尺寸，也可以用于计算扇形的力学特性和运动学问题。

浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1

浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1一. 教材分析《3.8 弧长及扇形的面积》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法。

通过本节课的学习，学生能够理解弧长和扇形面积的概念，掌握计算弧长和扇形面积的方法，并能够应用于实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。

但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。

三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。

2.掌握计算弧长和扇形面积的方法。

3.能够应用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。

四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的概念。

2.计算弧长和扇形面积的方法。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例和练习来引导学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。

同时，运用合作学习的方式，让学生在小组讨论和实践中共同解决问题，提高学生的参与度和积极性。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

3.几何画板或者实物模型。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：一个自行车轮子一周的行驶距离是多少？引导学生思考和讨论，引出弧长的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT课件或者几何画板展示扇形的模型，引导学生观察和理解扇形的特征，讲解扇形的面积计算公式，并通过实例来演示计算过程。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选择一道练习题进行计算，其他组进行评价和讨论。

教师巡回指导，解答学生的疑问，并强调计算过程中的注意事项。

4.巩固（10分钟）通过PPT课件或者几何画板展示一些典型的练习题，让学生独立进行计算，教师选取部分学生的答案进行讲解和分析，巩固学生对弧长和扇形面积计算方法的掌握。

5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论一些拓展问题，例如：如何计算一个圆的周长和面积？如何计算一个扇形的弧长和面积？引导学生运用所学的知识解决实际问题。

六年级扇形面积和弧长公式

六年级扇形面积和弧长公式
扇形的面积公式
（1）扇形面积S=l×r/2,其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径。

（2）扇形面积S=圆心角的角度×π×r²/360°。

（3）扇形面积S=圆心弧度绝对值|a|×r²/2。

扇形的弧长公式
（1）弧长l=(n÷180)×π×r,其中l是弧长,n是扇形圆心角,π是圆周率,r是扇形半径。

（2）弧长l=|α|×r,l是弧长,其中|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值,r是半径。

扇形的周长公式
周长C=2r+（n÷360）πd，其中n为扇形所对的圆心角的度数，d为扇形的直径。

周长C=2r+（n÷180）πr，其中n为扇形所对的圆心角的度数，r为扇形的半径。

扇形简介
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。

显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。

圆上A、B两点之间的的部分叫做“圆弧”简称“弧”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

以圆心为中心点的角叫做“圆心角”。

弧长和扇形面积课件

VS
详细描述
通过观察扇形的形状，我们可以将其分解为三角形和其他基本图形，然后通过测量各部分的长度来计算面积。这种方法需要一定的几何知识，但对于一些简单的情况非常有效。
04
弧长和扇形面积的应用
在几何图形中的应用
弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，广泛应用于各种几何图形的研究和计算。
在圆形、椭圆、抛物线等图形中，弧长和扇形面积的计算对于确定图形的形状、大小以及解决相关问题具有重要意义。
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扇形面积的单位
扇形面积的单位是面积单位，常用的单位有平方米、平方厘米、平方千米等。
弧长和扇形面积的关联知识
弧长和扇形面积的关系
在同一个圆或等半径的圆中，如果圆心角增大，则对应的弧长和扇形面积都会增大。这是因为弧长和扇形面积都与圆心角的大小有关。
弧长和扇形面积的应用
在实际生活中，弧长和扇形面积的应用非常广泛，例如在几何学、工程学、天文学等领域都有应用。
利用微积分计算弧长
总结词
通过微积分的方法，我们可以对弧长进行精确的计算，适用于复杂曲线的弧长计算。
详细描述
微积分提供了一种积分的方法来计算曲线的长度。对于弧长，可以通过对曲线函数进行积分来得到。具体来说，弧长 = ∫(sqrt(1 + (y')^2)) dx，其中 y' 是曲线在 x 处的导数。
弧长和扇形面积课件
目录
• 弧长和扇形面积的基本概念 • 弧长的计算方法 • 扇形面积的计算方法 • 弧长和扇形面积的应用 • 弧长和扇形面积的扩展知识
01
弧长和扇形面积的基本概念
弧长的定义
弧长是圆弧上任意两点间的长度，它是圆的一部分。

弧长及扇形面积计算公式

弧长及扇形面积计算公式弧长计算公式：弧长是圆的一部分的弧所占据的长度。

弧长的计算公式如下：1.当弧是圆的整个周长的一部分时：弧长=圆的周长×(弧所占的角度÷360°)2.当弧的角度已知时：弧长=(圆的周长×弧的角度)÷360°3.当弧的度数已知时：弧长=(2π×弧的度数)÷360°注意：在计算弧长时，角度的度数要用度制，不要用弧度制。

扇形面积计算公式：扇形是由圆心和弧所围成的部分，计算扇形的面积需要知道扇形的半径和对应的弧度。

1.当扇形的角度已知时：扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°2.当扇形的弧度已知时：扇形面积=(半径²×扇形的弧度)÷2注意：在计算扇形面积时，角度的度数要用度制，不要用弧度制。

示例问题：1. 如果一个圆的半径为10 cm，计算它的弧长和扇形面积，其中扇形的角度为60°。

解：对于弧长，使用公式弧长=(圆的周长×弧所占的角度)÷360°，得到弧长= (2π × 10 cm × 60°) ÷ 360° = 20π cm ≈ 62.83 cm 对于扇形面积，使用公式扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°，得到扇形面积= (π × 10 cm² × 60°) ÷ 360° ≈ 5.24π cm² ≈ 16.42 cm²所以，该圆的弧长为约62.83 cm，扇形面积为约16.42 cm²。

2. 如果一个扇形的半径为8 m，计算它的弧长和扇形面积，其中扇形的弧度为2.5 rad。

3.8 弧长及扇形的面积.pptx

S扇形
npR 2 = 360
S 扇形
1 = lR 2
圆锥的侧面积全面积
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆，侧面是一个曲面.
问题：圆锥的母线有几条？
准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察
圆锥的侧面展开图．
圆锥的侧面积和全面积
问题:
1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个
第3章圆的基本性质
3.8 弧长及扇形的面积
பைடு நூலகம்
3.8 弧长及扇形的面积
弧长公式若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 l ，则
l =
npR 180
A
B n°
O
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
50 np R 60p 50 p (cm) = = 解： l = 3 180 180
少平方米的铁皮？
思考：如何计算展开图中圆心角的大小？
no
h a r
lc
学.科.网
50 p cm 答：此圆弧的长度为 3
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角
zxxk
所对的弧围成的图形是扇形。
B 弧圆心角圆心角 O A A B
扇形
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
S扇形
npR = 36 0
2
S
A
R
B
O
npR l = 180
则用弧长表示扇形面积为:
扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥
中的哪一条线段相等？
lc h a r
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.8 弧长及扇形的面积(1)-每日好题挑选

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.8弧长及扇形的面积（1）--每日好题挑选【例1】如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了。

【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵的圆心)，其中CD＝600米，E 为CD ︵上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF＝3003米，则这段弯路的长度为。

【例3】如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为。

【例4】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)至点B 重新落在直线l 上，点B 从开始运动到结束，所经过路径的长度为。

【例5】如图为一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是m。

【例6】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120°，AB 的长为30厘米，则弧BC 的长为厘米(结果保留π)。

【例7】如图，△ABC 和△A′B′C 是两个完全重合的三角尺，∠B＝30°，斜边长为10cm.三角尺A′B′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A′落在AB 边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm。

【例8】如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF 的长是。

【例9】如图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.则图②中图形的周长为cm(结果保留π)。

3.8-弧长及扇形的面积(2)

＝
n 360
πR2
1 nR R 1 lR
2 180
2
B
n圆0 心角 A
选一选
1.如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么
n等于（ B ）
(A)
360S πr
(B)
360S πr2
(C)
180S πr
(D)
180S πr2
2. 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
扇形的圆心角是（ C ）
πR2
1 lR 2
3.扇形的面积大小与哪些因素有关？（1）与圆心角的大小有关（2）与半径的长短有关
4.扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝
n 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
5.扇形面积单位与弧长单位的区别：
（1）扇形面积单位有平方的
（2）弧长单位没有平方的
1 8
，则此
(A)300
(B)360
(C)450 (D)600
例3：如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇
的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度
是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
a
a
例4：我国著名的引水工程的主干线输水管的直
径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.
当弓形所对的是优弧时
S弓形=S扇形+S三角形
当弓形所对的是半圆弧时
S弓形=S半圆
C
O
A
B
课堂小结
本节课我们学习了什么内容？谈谈你的收获？
1．探索扇形的面积公式公式进行计算．

弧长及扇形面积计算公式

弧长及扇形面积计算公式弧长和扇形面积是与圆相关的重要概念之一、在数学和几何学中，弧长是圆的一部分，扇形面积是由圆心和弧所围成的。

1.弧长：在圆的外周上，如果我们将一个角度的度数分为360等份，每一等份就是一个角度的1/360。

如果我们从圆心引出一条线段，使其与圆周相交于两个点，并且这两个点与圆心之间的角度正好为1度（或1/360），那么这两个点之间的弧长就是圆周的1/360。

同样地，如果我们将这个角度分为n等份，那么每一等份所对应的弧长就是圆周的1/360（或2πr）乘以n。

我们可以使用以下公式计算弧长：弧长=弧度×半径s=rθ其中，s是弧长，r是半径，θ是弧度。

例如，如果半径为10的圆上的弧度为2π/3，我们可以计算出弧长为：s=10×(2π/3)≈20.942.扇形面积：扇形面积是由圆心和弧所围成的部分的面积。

要计算扇形面积，我们可以使用以下公式：扇形面积=1/2×弧长×半径A=1/2×s×r其中，A是扇形的面积，s是弧长，r是半径。

例如，如果半径为5的圆上的弧长为4.5，我们可以计算出扇形的面积为：A=1/2×4.5×5=11.25对于给定的圆的半径和弧度，我们可以使用以上公式来计算弧长和扇形面积。

这些公式在各种实际应用中都有重要的作用。

例如，在建筑和设计中，我们可能需要计算扇形的面积来确定房间的大小。

在物理学中，我们可能需要计算物体围绕圆周运动的路径长度。

在工程学中，我们可能需要计算扇形的面积来确定液体或气体的容积。

总结起来，弧长和扇形面积是与圆相关的重要概念。

通过使用弧长和扇形面积的计算公式，我们可以在几何学和数学中解决各种问题，并在实际应用中应用这些概念。

3.8弧长和扇形的面积(1)

l nR
180
l nR
180
1、在半径为2的圆中，分别求下列n°的圆心角所对的弧长
30° 60°
90°
270°
2、整理：要求 l，必知 n, R
知二求一
3、已知一弧长为20π cm，其所对圆心角为150°，则此弧所在圆的半径为___2_4___cm.
4、已知半径为5 cm的圆弧长为3π cm ，则此弧所在圆的半径为___1_0_8_0_cm.
注意：
5、下列各命题是真命题还是假命题.
（1）度数相等的弧是等弧; ×
等弧与弧长相等两不同
（2）长度相等的弧是等弧; × 但在同圆或等圆中却等价
（3）在同圆或等圆中,度数相等的弧是等弧; √
（4）在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧; √ 练习：P104作业题1、2、
例1 如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形,D是⊙O上一点,DC⊥AN,与AN交于点C,已知⊙O的半径R=30,ABCD=15，求的长
圆中关注：特殊三角形 B E O
M
C
N
A
构造三角形是关键
D
例2 一段圆弧的公路弯道,圆弧的半径是2km, 一辆汽车以每小时60km的速度通过弯道,需 20s.求弯道所对的圆心角的度数(精确到0.10)
练习：P1045，6
如图，Rt△ABC的斜边AB在直线l上，AC＝1，AB＝2。将 Rt△ABC绕点B在平面内按顺时针方向旋转，使边BC落在直线l上，得使到边△AA1C1B1落C1在，直再线将l△上A，1B⌒得C到1绕⌒A点A1C,A1在1A平2的面长内度按16和顺3 为π时_针__方__向__旋转，
1 2
滚动注意：三确定圆心、半径、旋转角度

3.8弧长及扇形面积(1)

C O
A
B
D
综合应用： 2、弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，弯道的半径为 90cm. 试计算图所示管道的展直
长度L(单位：cm，精确到1cm) 解：由弧长公式，得
L
100 90 50 157 （cm） 180
所要求的展直长度 L 2 70 157 297 （ c m）答：管道的展直长度为297cm．
× 2、长度相等的弧是等弧; ×
3、在同圆或等圆中,度数相等的弧是等弧 ;
√
√
4、在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧;
练习：
书本102页，做一做1
弧长公式的变式：
nr l 180
180l n r 180l r n
课内练习3、4
综合应用：
1、如图，AB是⊙O的直径，作AO的垂直平分线交圆于点D，垂足为C，已知⊙O的半径R=30， ⌒ 求AD的长。
转动轮转1°,传送带上的物品A被传送
. . .
.
.
.
转动轮转n°,传送带上的物品A被传送 n× 2π r 厘米。
360
弧长公式
在半径为r的圆中,
n°的圆心角
所对的弧长的计算公式为
n× 2π r nπ r = l= 180 360
.
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
n nr l 2r 360 180 注意：
nR l 180
1、在公式中变量有哪些？常量是哪些？
2、那么在3个变量l、R、n中，只要已知其
中两个量就可以求第三个量，那么请将公
式变形求出R和n。
180l R n
180l n R
拓展：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l 上，

已知扇形面积为圆心角为120

扇形的定义
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧围成的图形是扇形。
B
B
弧圆圆心心角角
A
扇形的弧长、周长扇形的面积
扇形
O A
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m 的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过270° 的角,那么它的最大活动区域有多大？
试一试
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则
这个扇形的面积，S扇= 4π . 3
2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4π ，则这
个扇形的面积，S扇= 4π
3
3
理一理要选择，圆心角为120°，则
3
这个扇形的半径R=__2__．
4、已知扇形面积为 4 ，这个扇形的半径
3.8 弧长及扇形的面积（2）
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m 的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（1）这只狗的最大活动区域是什么图形？
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？
问题（3）如果这只狗只能绕柱子转180°的角呢，又如何呢？若只能转120°的角呢？36°的角呢？它们又是些什么图形？
1800 圆心角18占0整个周角的所1对80扇形r面2 积是
360
360
900
450
n0
90 360
45 360
n 360
90 r 2
360
45 r 2
360
n r 2
360
理一理算出扇形占圆面积的比例
扇形的面积计算
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的