2017-2018学年上海市交大附中高一上学期期中数学试卷和解析

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）=．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为．4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是（假设出生当年的年龄为1岁）8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=．12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为．二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．914．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．316．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．【解答】解：由x∈M不能推出x∈N，如x=3时，故充分性不成立．根据N⊆M 可得，由x∈N成立，一定能推出x∈M，故必要性成立．故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故答案为必要不充分．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴∁U B={1，4}，∁U A={3，4}，∴A∩∁U B={1}，∁U A∩B={3}，∴（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3}．故答案为：{1，3}．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}={x|a﹣1＜x＜a+1}，={x|＜0}，当a+1＞﹣1时，即a＞﹣2时，B={x|﹣1＜x＜a+1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，不满足A∩B=∅；当a+1=﹣1，即a=﹣2时，B=∅，满足A∩B=∅；当a+1＜﹣1时，即a＜﹣2，B={x|a+1＜x＜﹣1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，满足A ∩B=∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．【解答】解：由题意可知，f（1）=f（3）=﹣3，g（1）=g（3）=0，可知二次函数f（x）与g（x）的对称轴为x=2，又f（2）=﹣4，g（2）=1，∴设f（x）=a（x﹣2）2﹣4，g（x）=m（x﹣2）2+1，把f（4）=0，g（4）=﹣3分别代入两个函数解析式，可得：a（4﹣2）2﹣4=0，m（4﹣2）2+1=﹣3，解得a=1，m=﹣1．∴f（x）=（x﹣2）2﹣4=x2﹣4x，g（x）=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．由f（g（x））≥0，得g（x）≤0或g（x）≥4．即﹣x2+4x﹣3≤0①，或﹣x2+4x﹣3≥4②，解①得x≤1或x≥3；解②得x∈∅．∴不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1]∪[3，+∞）．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为k＞3或k＜0．【解答】解：k＜0时，f（x）=2kx2+kx+开口向下，符合题意，k=0时，f（x）=，不合题意，k＞0时，只需△=k2﹣4•2k•＞0，解得：k＞3，故答案为：k＞3或k＜0．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是1989年（假设出生当年的年龄为1岁）【解答】解：设出卷人的出生年份是n，则由题意可得：x2﹣n+1=x﹣8，即n=x2﹣x﹣9．结合实际意义不妨取：取x=44时，x2=1936，n=1883，x2﹣n+1≠x﹣8；取x=45时，x2=2025，n=1989，x2﹣n+1=37=44﹣8=x﹣8，符合题意；取x=46时，x2=2116，n=2061，不合题意．∴出卷人的出生年份是1989年．故答案为：1989年．8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1，当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R，当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min ≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，即f（a）=0或f（a）=﹣2，若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为：．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=153．【解答】解：二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，可得x2﹣2x+4=2x2﹣4x+5，解得x=1，f（1）=3，函数的对称轴为x=1，设函数f（x）=a（x2﹣2x）+b，由f（1）=3，f（5）=27，可得﹣a+b=3，15a+b=27，解得a=，b=．f（x）=（x2﹣2x）+，f（11）=（112﹣2×11）+=153．故答案为：153；12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为a≥或a≤﹣．【解答】解：根据题意，f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，则不等式f（x）＞x即（a2﹣5）x2+2x+2＞x变形可得（a2﹣5）x2+x+2＞0，若其解集为A，且（0，1）⊆A，设g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，则分3种情况讨论：①、a2﹣5=0，即a=±时，f（x）=2x+2，f（x）＞x即x+2＞0，其解集为（﹣2，+∞），符合题意；②、a2﹣5＜0，即﹣＜a＜时，f（x）＞x即（a2﹣5）x2+x+2＞0，若（0，1）⊆A，必有，解可得a≥或a≤﹣，则此时有：﹣＜a＜﹣或＜x＜，③、当a2﹣5＞0，a＜﹣或a＞，g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，g（x）为二次函数，开口向上且其对称轴为x=＜0，又由g（0）=2＞0，此时有a＜﹣或a＞，综合可得：a的取值范围为：a≥或a≤﹣，故答案为：a≥或a≤﹣，二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵P={0，2，5}，Q={1，2，6}，P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}∴当a=0时，b∈Q，P+Q={1，2，6}当a=2时，b∈Q，P+Q={3，4，8}当a=5时，b∈Q，P+Q={6，7，11}∴P+Q={1，2，3，4，6，7，8，11}故选：C．14．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}【解答】解：求不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集则分两种情况讨论：情况1：即：则：﹣1＜x＜1．情况2：即：则：x＜﹣1两种情况取并集得{x|x＜1且x≠﹣1}．故选：D．15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由ab＞0，bc﹣ad＞0可得出﹣＞0．bc﹣ad＞0，两端同除以ab，得﹣＞0．同样由﹣＞0，ab＞0可得bc﹣ad＞0.ab＞0．故选：D．16．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2﹣2b=2（﹣）≥0，∴≥故选：B．三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．【解答】解：设三角形ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，可得a2+b2=c2，S=ab，C=a+b+c，可得C=a+b+≥2+=2+2，当且仅当a=b=时，C取得最小值，且为2+2．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．【解答】解：由x2+x+|a﹣|+|a|=0得﹣x2﹣x=|a﹣|+|a|，设f（x）=﹣x2﹣x，则f（x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，所以要使关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则|a﹣|+|a|≤，因为|a﹣|+|a|，所以|a﹣|+|a|=，此时0故a的取值范围为：[0，]．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）【解答】证明：（1）由，由，可得（x 1+x2）（y1+y2）=[（）2+（）2][（）2+（）2]≥（+）2，即有；（2）先证（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，设A=，B=，C=，则=+=••+••≤（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=×（1+1+1）=1，则（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，由，（x 1+x2）（y1+y2）（z1+z2）=[（）3+（）3][（）3+（）3][（）3+（）3]≥（+）3，则．20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【解答】解：（1）设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行+1000x次检测可以找到所有的被感染者，由y=+1000x≥2=4×104，由=1000x，即x≈44.72，由于x为正整数，由x=44，可得y=+44000≈89854.54，由x=45，可得y=+45000≈89444.44，可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；（2）设第一次每个组x1人，第二次每个组x2人，可得检测的总次数为++1000x2≥3=3×104，当且仅当==1000x2，即x22=x1，x1=100≈158.74，由x1为正整数，可得x1=159离100，较158离100近，即x1为159；=≈12.6，则13较12与12.6距离近，由x则x2为13，则第一次每个组159人，第二次每个组13人；（3）当进行n次这样的检验，可以达到最优，由+++…+1000x n≥（n+1），由===…=1000x n，可得x n=，由n=18，x18=≈1.49，可取x18=1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由f（1）=0，得a+c=，因为f（x）≥0在R上恒成立，所以a＞0且△=﹣4ac≤0，ac≥，即a（﹣a）≥，即（a﹣）2≤0，所以a=c=．（2）由（1）得f（x）=x2﹣x+，由f（x）+h（x）＜0，得x2﹣（b+）x+＜0，即（x﹣b）（x﹣）＜0，所以，当b＜时，原不等式解集为（b，）；当b＞时，原不等式解集为（，b）；当b=时，原不等式解集为空集．（3）g（x）=x2﹣（+m）x+，g（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1．假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当2m+1＜m，即m＜﹣1时，函数g（x）在区间[m，m+2]上是增函数，所以g（m）=﹣5，即m2﹣（+m）m+=﹣5，解得m=﹣3或m=，因为m＜﹣1，所以m=﹣3；②当m≤2m+1≤m+2，即﹣1≤m≤1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=﹣5，即（2m+1）2﹣（+m）（2m+1）+=﹣5，解得m=﹣﹣或m=﹣+，均舍去；③当2m+1＞m+2，即m＞1时，g（x）在区间[m，m+2]上是减函数，所以g（m+2）=﹣5，即（m+2）2﹣（+m）（m+2）+=﹣5，解得m=﹣1﹣2或m=﹣1+2，因m＞1，所以m=﹣1+2．综上，存在实数m，m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（18分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。