(完整版)常微分方程的大致知识点
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结1.常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。
2.函数的导数和微分的概念导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。
3.一阶常微分方程一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。
常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。
4.可分离变量的方程可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。
通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。
5.线性方程线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。
线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。
6.齐次方程齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。
齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。
7.恰当方程恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。
通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。
8.一阶常系数线性齐次方程一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。
一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
9.二阶常微分方程二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。
常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。
10.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。
线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
11.线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。
通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点第一章 绪论1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要）例：03)(22=-+y dx dyx dx dy（1阶非线性）； x e dx yd y=+22sin 。
2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。
（以书后练习题为主） （习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________.第二章 一阶方程的初等解法1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）3.线性非齐次方程的常数变易法；4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程；(2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1)32(1'2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221'y x y -=为：线性方程。
5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；6.恰当方程的解法（分项组合方法）。
（重要）第三章 一阶方程的存在唯一性定理1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ；2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题3.1的1，2，3题）第四章 高阶微分方程1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系；3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（，特解的确定（比较系数法、复数法比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-¢¢，确定特解类型？（习题4.2相关题目）6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
常微分方程初步
常微分方程初步常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是单变量函数的导数与自变量的关系。
在实际生活和科学研究中，很多问题都可以用常微分方程来描述和解决。
本文将介绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程和二阶常微分方程的求解方法。
一、基本概念1.1 导数导数是函数在某个点处的变化率，它表示的是函数曲线在这个点的斜率。
如果在某点处的导数存在，则该点为函数的可导点。
设函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(△x→0) (f(x0+△x) - f(x0))/△x如果导数存在，则称函数在该点可导；反之，则称函数在该点不可导。
1.2 常微分方程常微分方程是一个未知函数在其自变量上的导数的关系式，其中该未知函数是自变量的函数。
通俗地讲，就是描述未知函数在自变量上的变化的一种数学方程。
常微分方程通常用y表示未知函数，x表示自变量。
一般形式为：F(x, y, y', y'', …, yⁿ）= 0其中，y'、y''、…、yⁿ分别表示y对于x的一阶、二阶、…、n 阶导数。
1.3 初值问题初值问题是求解常微分方程的一种方法，其本质是通过确定函数在某一个特定点的值，从而确定未知常数的值。
一个初值问题包括一阶常微分方程和一个初始点，形式为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，f(x, y)为已知函数，通常称为方程的右端，y0和x0分别是给定的初值。
二、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x, y)这是一个仅含未知函数y及其一阶导数y'的方程。
2.1 可分离变量方程如果该一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中，g(x)和h(y)都是已知函数，那么称其为可分离变量方程。
对上式两边同时积分，得到：∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx + C0其中C0为常数。
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。
常微分方程笔记
常微分方程笔记一、基本概念。
1. 常微分方程的定义。
- 含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：(dy)/(dx)+2y = 0，这里x是自变量，y = y(x)是未知函数。
2. 阶。
- 常微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y'+2y = sin x 是二阶常微分方程，因为方程中未知函数y的最高阶导数是二阶导数y''。
3. 解。
- 设函数y = φ(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，F(x,φ(x),φ'(x),·s,φ^(n)(x)) = 0，那么y=φ(x)就称为方程F(x,y,y',·s,y^(n)) = 0在区间I上的解。
例如，y = e^-2x是方程(dy)/(dx)+2y = 0的解，因为将y = e^-2x代入方程左边可得(d)/(dx)(e^-2x)+2e^-2x=- 2e^-2x+2e^-2x=0。
- 通解：如果n阶方程的解y=φ(x,C_1,C_2,·s,C_n)含有n个独立的任意常数C_1,C_2,·s,C_n，则称它为该方程的通解。
例如，y = C_1cos x + C_2sin x是方程y''+y = 0的通解。
- 特解：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。
比如在y =C_1cos x+C_2sin x中，令C_1 = 1，C_2 = 0，得到y=cos x，这就是方程y'' + y=0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)。
- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y))=f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C。
例如，对于方程(dy)/(dx)=y^2sin x，可变形为(dy)/(y^2)=sin xdx，积分得-(1)/(y)=-cos x + C，即y=(1)/(cos x - C)。
常微分方程的大致知识点
欢迎阅读
常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有x
y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程
5令 6781方法：特征方程
单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=
重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y ？
当
f 当f 当f 1当0,021><λλ，鞍点，图像
当0,021<<λλ，稳定结点，图像
当0,021>>λλ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i
当0=α，中心，图像
当0<α，稳定焦点，图像
当0>α，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，λλλ==21
当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像
当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像
23。
常微分方程主要内容
常微分方程主要内容
摘要：
1.常微分方程的概述
2.常微分方程的主要内容
3.常微分方程的应用
4.学习常微分方程的方法和技巧
正文：
一、常微分方程的概述
常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究变量随时间变化的规律。
它在数学、物理、化学、生物学等领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的关键工具。
二、常微分方程的主要内容
1.基本概念：常微分方程涉及的基本概念包括导数、微分、积分等，这些概念是理解常微分方程的基础。
2.基本定理：常微分方程的基本定理包括解的存在唯一性定理、解的延展定理等，这些定理是研究常微分方程的关键。
3.解法：常微分方程的解法包括初等基分法、线性微分方程组解法、n 阶线性微分方程解法等，这些解法是求解常微分方程的具体方法。
4.特殊类型：常微分方程中的特殊类型包括线性微分方程、非线性微分方程、隐式微分方程、显式微分方程等，这些特殊类型需要特殊的处理方法。
三、常微分方程的应用
常微分方程在实际应用中具有广泛的应用，包括数值计算、微分方程建模等。
例如，在物理学中，常微分方程可以用来描述物体的运动规律；在生物学中，常微分方程可以用来描述生物种群的演化规律等。
四、学习常微分方程的方法和技巧
学习常微分方程需要掌握一定的数学基础，包括微积分、线性代数等。
此外，学习常微分方程还需要掌握一些基本的数学分析方法，如极限、连续、导数、微分等。
在解决常微分方程问题时，需要灵活运用这些方法和技巧，以求得问题的解决。
总之，常微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的应用。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。
常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。
1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。
它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。
常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。
2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。
一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。
3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。
它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。
求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。
4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。
这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。
5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。
6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。
例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。
7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。
这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。
总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
专升本第九讲 常微分方程知识点
第九讲 常微分方程一、基本概念（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。
其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。
（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。
（3）微分方程的解：满足微分方程)(x f y =或0),(=y x f 。
前者为显示解，后者称为隐式解（4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。
（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。
二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程（1）形如)()(y g x f dxdy =的微分方程。
解法：变形为dx x f dy y g )()(1=，两边作不定积分求出通解。
（2）形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程。
解法：令u xy =，则ux y =，两边对x 求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程 形如0)(=+y x P dxdy 。
解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程 形如)()(x Q y x P dxdy =+ 解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰-C dx e x Q ey dx x P dx x P )()()( 在通常使用中建议选择常数变易法三、可降阶微分方程形如())(x f y n =的微分方程 解法：作n 次不等式形如),(y x f y '=''的微分方程 解法：令u y =' 四、二阶常系数线性微分方程形如0=+'+''qy y p y 的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。
（其中，p,q 均为常数）。
有关解的结构定理(1) 定理 1 若21,y y 是二阶线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的解，则其任意一个线性组合2211y c y c +也是该方程的解函数21,y y 若满足k k y y ,21=为常数，称21,y y 线性相关，若k k y y ,21≠为常数，称21,y y 线性无关 (2) 定理2 若21,y y 是二阶线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的两个线性无关的解，则2211y c y c +就是该方程的通解。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程相关知识点大一
常微分方程相关知识点大一常微分方程是数学中的一个重要分支，是描述自然界中各种现象的数学模型。
在大一的学习中，常微分方程也是数学课程中的重点内容之一。
本文将介绍常微分方程的相关知识点，帮助大一学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知的函数。
常微分方程的解是满足方程的函数，可以通过积分等数学方法求解。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为几个主要的类型，常见的有一阶线性方程、一阶可分离变量方程、二阶线性齐次方程等。
1. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解一阶线性方程可以通过积分因子法、变量代换法等方法。
2. 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程的一般形式为dy/dx=g(x)/h(y)，其中g(x)和h(y)都是已知的函数。
求解可分离变量方程可以通过分离变量、分别积分等方法。
3. 二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解二阶线性齐次方程可以通过特征方程、常数变易法等方法。
三、常微分方程的初值问题初值问题是指在方程中给出了未知函数在某一点的值和导数的值，求解该点附近的解。
对于一阶常微分方程，初值问题可以通过直接代入初值，得到特定的解。
对于高阶方程，可以通过降阶等方法求解出整个解。
四、常微分方程的应用领域常微分方程是数学中的一种工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
常微分方程可以描述弹簧振子、电路等自然界中的现象，通过求解方程可以得到系统的运动规律，为科学研究和工程设计提供理论支持。
五、常微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法求得解析解。
这时可以利用数值解法来求得近似解。
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。
3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。
6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。
常微分方程总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
= +
⎰x = + ⎰x = + ⎰x 常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项）
y x
4、一阶线性非齐次方程
常数变易法，或 y = e ⎰
a ( x )dx [⎰
b (x )e -⎰ a ( x )dx dx + C ]
5、伯努力方程
令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n
dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次
dx 6、全微分方程
若∂M ∂y
若
∂M ∂y dx = ∂N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ∂x ≠ ∂N ，则找积分因子，（留意书上公式） ∂x
f (x
f ( y ,
（二）毕卡序列
x y 1 y 0 0
x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推
（三）常系数方程
1、常系数齐次L (D ) y = 0
方法：特征方程
7、可降阶的二阶微分方程
d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy
dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp
dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
⎪ ⎪ dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x
1 2 1 2
单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x )
重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2
重的复根1, 2 = ± i ，3, 4
= ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ]
2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。
f (x )
第一步求L (D ) y = 0 的通解Y
第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y *
第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y *
如何求 y *
当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x
当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x )
cos vx + S m (x ) sin vx )
当 f (x ) 是一般形式时， y * = ⎰
x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W ()
（四）常系数方程组
方法：三部曲。
第一步求 dX dt
= A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。
利用特征方程 A - I
= 0 ，并分情况讨论。
第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )⎰Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )⎰Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环
⎧ dx = ax + b y dt ⎨ ⎪ = cx + dy 1、分析方程组⎩ dt
的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0
特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。
第一种情况：相异实根，1 ≠ 2
1 1 m m m
⎨ ⎪⎪ = ⎨ ⎪⎪ = ⎨ y = 讨论r s i n 当1 < 0,2 > 0 ，鞍点，图像 当1 < 0,2 < 0 ，稳定结点，图像 当1 > 0,2 > 0 ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，1 = + i ，2 = - i 当= 0 ，中心，图像
当< 0 ，稳定焦点，图像
当> 0 ，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，1 = 2 =
当b , c 同时为 0 时，如果> 0 ，不稳定临界结点，图像
如果< 0 ，稳定临界结点，图像
当b , c 不同时为 0 时，如果> 0 ，不稳定退化结点，图像
如果< 0 ，稳定退化结点，图像
⎧ dx = X (x , y ) 2、方程组⎪ dt dy Y (x , y ) ⎩
dt ⎧ dx = X (x , y ) 3、方程组⎪ dt dy Y (x , y ) ⎩ dt
的奇点的性质，Perron 定理
的极限环的性质，引入极坐标⎧x = r cos ⎩。