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二次函数常见易错题解析_二次函数易错题

二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。

在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。

下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。

解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。

但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。

为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。

易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。

解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。

在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。

因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。

易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。

解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见方法。

但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。

为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。

易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。

解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。

但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。

三角函数易错点总结

三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。

然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。

下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。

一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。

例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。

很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。

2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。

在进行换算时，要注意系数的转换。

有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。

3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。

在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。

有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。

二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。

在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。

很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。

2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。

例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。

有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。

3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。

初中数学正切函数常见的四类易错题

初中数学正切函数常见的四类易错题一、角度和弧度的关系易错题1：一个角的角度为120°，求这个角的弧度数。

易错解析：角度和弧度是角度的两种计量单位。

角度和弧度的关系是：360° = 2π弧度。

所以一个角的弧度数等于角度数乘以π/180。

在这道题中，角的角度为120°，所以角度的弧度数为120 ×π/180 = 2π/3。

二、正切函数的定义和性质易错题2：已知一个角的正切值为1/√3，求这个角的度数。

易错解析：正切函数的定义是tanθ = 对边/邻边。

对于一个角的正切值为1/√3，可以表示为tanθ = 1/√3。

要求这个角的度数，可以用反正切函数：θ = atan(1/√3)。

使用计算器计算得出θ的近似值为30°。

三、正切函数的图像和性质易错题3：如果点A(x, y)在单位圆上，并且A的纵坐标为0.5，那么角度θ的正切函数值tanθ等于多少？易错解析：在单位圆上，点的坐标可以表示为(x, y)，其中x和y分别代表点在坐标系中的横坐标和纵坐标。

根据正切函数的定义，tanθ = y/x。

在这道题中，点A的纵坐标为0.5，代入到正切函数中，可以得到tanθ = 0.5/x。

可以通过计算器得到x的近似值为0.87。

所以tanθ = 0.5/0.87。

四、三角函数的减法公式易错题3：已知tan(α-β) = 1，且tanα = 2，tanβ = 3，求tan(α+β)的值。

易错解析：根据三角函数的减法公式，tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα * tanβ)。

将已知的tanα、tanβ和tan(α-β)代入到公式中，得到1 = (2 - 3) / (1 + 2 * 3)。

计算得到分子为-1，分母为7。

所以tan(α+β) = -1/7。

易错点03 函数-中考数学考试易错题(解析版)

易错点03 函数1．平面直角坐标系与函数2．一次函数的图像与性质3．一次函数的应用4．反比例函数5．二次函数的图像性质与性质6．二次函数的应用01各个待定系数表示的意义。

1．一次函数y＝﹣3x﹣4的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解答：解：∵一次函数y＝﹣3x﹣4，k＝﹣3，b＝﹣4，∵该函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选：A．1．已知反比例函数y＝bx的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵反比例函数的图象在一、三象限，∵0b>，A．∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，a>，∵0b>不相符，故A错误；∵0b<，与0B. ∵二次函数的开口向下，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，∵0a<，b->，∵0与已知b>0矛盾故B错误；C.∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，∵0a<，b>，∵0∵二次函数图象与y轴交于负半轴，c<，∵0∵一次函数y＝cx+a的图象过二、三、四象限，故C错误；D. ∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，a>，c<0∵0b-<，则b>0,∵0所以一次函数图象经过第一、二、四象限故D 正确；故选D ．20(1)k -有意义，则一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵0(1)k -有意义，∵10,10k k -≥-≠，∵k -1>0，∵一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是A ，故选：A ．3．已知抛物线2(1)y m x x =++的开口向上，则m 的取值范围是（）．A ．1m >B ．1m <C ．1m >-D ．1m <-【答案】C【解析】解：根据题意，∵抛物线2(1)y m x x =++的开口向上，∵10m +>，∵1m >-；故选：C ．02 各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关系应用。

高二数学学习中常见的易错点分析

高二数学学习中常见的易错点分析数学作为一门理科学科，对于高中生来说，是一门既重要又难以掌握的学科。

在高二阶段，学生们将进一步深入学习数学，掌握更为复杂的概念和技巧。

然而，由于抽象性、逻辑性以及复杂性等特点，高二数学中常常出现一些难以理解和易错的知识点。

本文将对高二数学学习中常见的易错点进行分析，并提供相应的解决方法。

1. 函数的概念和性质函数作为高中数学的基础，是整个数学学习的重点之一。

其中，函数的定义、定义域、值域和图像是学生们容易混淆的概念。

常常出现的错误有：没有准确给出函数的定义，混淆定义域和值域，错误地绘制函数的图像等。

解决这些问题的方法是要求学生弄清楚函数的定义，理解定义域和值域的概念，并通过大量的练习加深对函数图像的认识。

2. 三角函数及其应用高二数学中的另一个重要内容是三角函数及其应用。

学生们常常在求解三角函数的正弦、余弦和正切值时出现错误，特别是在角度的弧度制和度数制之间转换时容易混淆。

此外，在解三角方程时，学生们也容易忽略基本解和一般解之间的联系，从而导致错误的答案。

为避免这些错误，学生们需要理解三角函数的定义和性质，熟练掌握角度的弧度制和度数制的转换规则，并通过反复练习提高解三角方程的能力。

3. 导数与极值问题微积分在高二数学中是一个重要的部分，涉及到导数与极值问题。

学生们常常在求导时出现规则运用错误、计算失误或符号混淆等问题。

同时，在极值问题中，学生们容易忽略关键条件或未进行全面的讨论。

为了避免这些错误，学生们需要熟练掌握导数的计算方法，清楚掌握求导规则，并通过多种题型的练习提高解极值问题的能力。

4. 组合与排列组合与排列是高二数学中的重要内容，也是学生们容易出错的地方。

常见的错误有：计算错位问题、计算排列组合数时顺序颠倒、未正确应用公式等。

为了解决这些问题，学生们需要深入理解组合与排列的概念和性质，掌握计算方法和公式，并通过大量的例题来提高应用能力。

5. 平面向量与立体几何平面向量和立体几何是高二数学中的重点难点内容，涉及到向量的基本运算、点与直线的位置关系、平面和空间几何等。

高等数学中易错知识点总结

高等数学中易错知识点总结1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。

若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。

2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。

但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。

3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。

若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。

5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。

但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。

6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。

函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。

在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。

一次函数的易错点和难点

一次函数的易错点和难点一次函数，听起来简单不？其实啊，这可是一道让不少人头痛的难题。

你可能会想，哎呀，这不就是那种y = mx + b的公式嘛！难道还能难得过脑袋一根筋？哎呀，那可不一定。

这个一次函数不仅是“纸上谈兵”，更是考试中经常“出征”的一位“大魔王”。

有些人学着学着，反倒晕了过去，搞不清楚它究竟在说什么。

真是让人捶胸顿足，恨不得找个大锤把它砸碎。

要不然，怎么说“凡事难易皆在心中”？这可是个能让“聪明人”出错的地方啊，真的是“难以言表”的麻烦。

咱们来聊聊一次函数的“易错点”吧。

嗯，别急！其实有个小地方，很多人都会掉进这个坑：就是公式中的“m”和“b”。

你是不是脑袋一热，就直接把这些符号都给记住了，觉得这不过是个“代号”嘛？可是别忘了，m代表的是“斜率”，而b代表的是“截距”。

很多时候，大家把它们搞错了位置，甚至根本没弄清楚它们具体代表什么！比如，你要看y轴上的交点，这个点可是b啊！有多少同学，写着写着就把“截距”写成了“斜率”，结果错得一塌糊涂。

还有那斜率m，真不是想当然地直接按“1”或者“1”来代入的哦。

没有认真地分析，它怎么可能那么简单？这不，之前就有个小伙伴，非要把m当作斜率的“标准模板”，结果，题目给的点一点都不标准，结果就悲剧了。

所以说，背公式没错，但得弄清楚每个符号的真实含义才行。

想要搞清楚，不仅要背，还得在脑袋里画个图，想象一下。

说到这里，咱们再来说说“难点”。

一次函数最难的地方，嗯，我认为应该是“过两点求直线方程”这个环节。

天啊，这玩意简直让人眼花缭乱。

大家学过了，可能觉得挺简单，但实际一做起来，又是各种抓耳挠腮。

不少小伙伴看到两点，首先反应是“哦，直接代进公式就好”，结果，代完了发现，连个斜率都求不出来。

别说两点求直线方程了，连斜率都卡住了！哎呀，这个问题，尤其是在做实际题目时，真是把大家愁坏了。

有的同学好不容易算出了斜率，还不小心犯了加减号的错误。

你想想，这一错，整个直线方程就打水漂了。

高中数学易错题大汇总及其解析

【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。

而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。

本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。

解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。

然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。

最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。

（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。

解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。

2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。

解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。

（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。

解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。

3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。

解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。

（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。

解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。

第二章一元二次函数、方程和不等式【易错题型专项训练】(解析版)

第二章一元二次函数、方程和不等式【易错题型专项训练】易错点一：由已知条件判断所给不等式是否正确1．对于实数x ，y ，z ，下列结论中正确的是（）A ．若x y >，则22xz yz >B ．若0y z <<，则z y y z>C ．若0x y <<，则11x y<D ．若0x y <<，则22x xy y >>【答案】D 【分析】举反例判断选项A 、B 、C 不正确，由不等式的性质判断选项D ，即可得正确选项.【详解】对于A ：当0z =时，x y >可得22xz yz =不成立，故选项A 不正确；对于B ：取2y =-，1z =-，满足0y z <<，z yy z<，故选项B 不正确；对于C ：取2x =-，1y =-，满足0x y <<，但11x y>，故选项C 不正确；对于D ：因为x y <，0y <，所以2xy y >.又因为x y <，0x <，所以2x xy >，所以22x xy y >>，故选项D 正确，故选：D.2．如果0a <，0b >，那么下列不等式中正确的是（）A ．11a b<B <C ．22a b <D ．||||a b >【答案】A 【分析】根据0a <，0b >时110a b<<，判断A 正确，再分析其他选项错误即可．【详解】解：由0a <，0b >，可知110a b<<，所以选项A 正确；由0a <，得0a ->，无法比较a -与b 无法比较大小，选项B 错误；由0a <，0b >，无法比较||a 与||b 的大小，所以22a b <也不成立，选项C 、D 错误．故选：A ．3．已知三个不等式：①0ab >，②c da b>，③bc ad >.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_______个正确命题.【答案】3【分析】先将将②作等价变形，得0c d bc ad a b ab ->⇔>，再结合①③逐一判断即可.【详解】解析：将②作等价变形，得0c d bc ada b ab->⇔>.由0,ab bc ad >>，可得②成立，故①③⇒②；若0,0bc adab ab->>，则bc ad >，故①②⇒③.若,0bc adbc ad ab->>，则0ab >，故②③⇒①.所以可组成3个正确命题.【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了命题的真假，属基础题.易错点二：利用不等式求值或取值范围1．设实数x 、y 满足34x <<，12y <<，则2M x y =-的取值范围是（）A ．46M <<B ．47M <<C ．56M <<D ．57M <<【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】由已知得，628x <<，21y -<-<-，故427x y <-<，故选：B.2．设αβ、满足条件22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是（）A ．(),ππ-B ．(),0π-C ．()0,πD ．,22ππ⎛⎫- ⎝⎭【答案】B 【分析】利用不等式的性质，求得αβ-的取值范围.【详解】由于ππ22β-<<，则ππ22β-<-<①，由αβ<得0αβ-<②，而ππ22α-<<③，由①②③得π0αβ-<-<.故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查两角差的取值范围的求法，属于基础题.3．已知24a <<，35b <<，那么2M a b =+的取值范围是________.【答案】{}713M M <<【分析】利用不等式的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】由已知可得428a <<，又因为35b <<，所以，7213a b <+<.因此，2M a b =+的取值范围是{}713M M <<.故答案为：{}713M M <<.易错点三：由基本不等式比较大小1．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A ．2a b +B 2a b +C＜2a b +D 2a b +【答案】B 【分析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+，而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>【答案】B 【分析】由0a b >>，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果．【详解】因为0a b >>所以22a a a ba ++=>b =；由基本不等式可得2a b+>所以2a ba b +>>>.故选：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题.3．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-.【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小.【详解】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-.【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.易错点四：用基本不等式求最值1．若x >0，y >0，且x +y =S ，xy =P ，则下列说法中正确的是（）A ．当且仅当x =y 时S 有最小值B ．当且仅当x =y 时P 有最大值24S C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值D ．若S 为定值，当且仅当x =y 时P 有最大值24S 【答案】D 【分析】通过基本不等式的性质化简进一步得出结论.【详解】∵x ，y ∈R +，x +y =S ，xy =P ，∴S =x +y x =y 时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x =y 时S 的值最小，故A ､C 错误；由①得，P ≤2()2x y +=24S ，当且仅当x =y 时取等号；∴如果S 是定值，那么当且仅当x =y 时P 的值最大，故D 正确，B 错误.故选：D.2．若正数a ，b 满足6a b +=，则ab 的最大值为（）A ．5B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭求解.【详解】由题意得：226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为9.故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.3．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则ab 的最大值是________．【答案】14【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为a ，b 均为正数，且1a b +=，所以a b +≥2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.故答案为：14【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，属于基础题.易错点五：基本不等式的恒成立问题1．已知a >b >c ，若14ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（）A ．3B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +---，得14()(m a c a b b c-+-- ，结合基本不等式求出14()()a c a b b c-+--的最小值，得到m 的最大值．【详解】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +--- ，得14()()m a c a b b c-+-- ，又a c a b b c -=-+-，1414()([()()]()a c a b b c a b b c a b b c∴-+=-+-+----4()559a b b c b c a b --=+++-- ，当且仅当4()a b b c b c a b --=--，即2()b c a b -=-时，14()(a c ab b c-+--取得最小值9，9m ∴ ，m ∴的最大值为9．故选：D ．2．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．8m ≤B ．8m >C ．0m <D ．4m ≤【答案】A 【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，即可得解.【详解】解：0x >、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，∴8m ≤，故选：A .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.3．已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(],4-∞【分析】由参变量分离法可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出()11x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】因为x 、y 为两个正实数，由11m x y x y ≤++可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，因为()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立.所以，4m ≤，因此，实数m 的取值范围是(],4-∞.故答案为：(],4-∞.易错点六：二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用1．不等式20x px q --<的解集是{}|23x x <<，则不等式210qx px -->的解是（）A ．1{|2x x <-或1}3x >-B ．11{|}23x x -<<-C ．11{|}32x x <<D ．{2|x x <或3}x >【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到方程20x px q --＝的两个根是2，3，再根据根与系数的关系，求出,p q ，再解不等式210qx px -->，得到解集.【详解】易知方程20x px q --＝的两个根是2，3.由根与系数的关系得2323pq+=⎧⎨⨯=-⎩，解得56p q =⎧⎨=-⎩，不等式210qx px -->为26510x x --->，得26510x x +<+，得2131()()0x x ++<，解得1123x -<<-.故选：B.【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，根与系数的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|32}x x -<<,则不等式20cx bx a ++>的解集为A ．11|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{1|3x x <-或12x >}C ．{|32}x x -<<D ．{|3x x <-或 2x >}【答案】B 【分析】根据不等式的解集可知对应方程的两个根,由根与系数关系求得a 与b 、a 与c 的关系,进而得要解的一元二次不等式,解不等式即可求解.【详解】由不等式20ax bx c ++>的解集为{|32}x x -<<,得到0a <且方程20ax bx c ++=的两个根分别为3,2-由根与系数的关系得1b a =,6ca=-由20cx bx a ++>,同时除以a 可得210c bx x a a++<即不等式可化为2610x x -++<则2610x x -->因式分解可得(31)(21)0x x +->解得13x <-或12x >即不等式20cx bx a ++>的解集为{1|3x x <-或12x >}故选:B 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,一元二次方程的根与系数关系的应用,属于基础题.3．若关于x 的方程()()222210a x a x ---+=无实数解，则a 的取值范围是________．【答案】[)2,3【分析】本题可分为2a =、2a ≠两种情况进行讨论，然后借助判别式即可得出结果.【详解】当2a =时，方程()()222210a x a x ---+=即10=，无解，满足题意；当2a ≠时，20a -≠，()()222420a a 轾D =----<臌，解得23a <<，综上所述，a 的取值范围是[)2,3，故答案为：[)2,3.。

高等数学易错知识点

n→∞
1 ) n−2 n
=
+∞
．
即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．
有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上
去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有
较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大
例： f (x) = x −[x], g(x) = cos x. f (x)以1为周期，g(x)以2π为周期，而f (x) +
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
因为对任给 ε > 0, 存在δ = ε , 对 a = 0 的δ 邻域内的任何一点 x,
若 x 为无理数,则 ϕ(x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数 p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ(x) − 0 = 1 ≤ p = x − 0 < δ = ε , 所以 limϕ(x) = 0 .
= n −1 + 1 =1 . nn

第三章函数的概念与性质典型易错题集(解析版)

第三章函数的概念与性质典型易错题集易错点1．忽视定义域表示的是谁的范围【典型例题1】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）已知函数()y f x =的定义域为[)1,2-，则函数()2y f x =+的定义域为（）A ．[]3,0-B ．[)1,4C ．[)3,0-D ．(]1,4【错解D 】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-，即12x -≤<，对于()2y f x =+有124x ≤+<。

点评：本题错解在于将()y f x =中的“x ”与()2y f x =+中的“x ”当成同一个量，其次就是没有理解函数定义域的定义，表示的是“x ”的取值范围，本题错解反而求()2y f x =+中2x +的取值范围当做定义域。

【正解】C 【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-，所以122x -≤+<，解得30x -≤< 所以函数(2)y f x =+的定义域为[)3,0-. 故选：C.易错点2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0【典型例题2】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞+∞【错解A 】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R2416004m m m m >⎧⇒<<⎨⎩∆=-<点评：在解不等式问题时，本题错解漏了考虑最高项系数为0的情况，在解不等式问题时，需要特别注意最高项系数为0的情况。

【正解】B 【详解】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R（1）当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；（2）当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故解集为R 不可能．（3）当0m >时，二次函数224y mx max =++开口向上，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，即24160m m ∆=-<，即(4)0m m -<，解得04m <<；综上，a 的取值范围为[)0,4 故选：B易错点3．忽视函数的定义域【典型例题3】（2022·全国高一单元测试）若1)f x =+()f x 的解析式为（） A ．2()f x x x =-B ．2()(0)f x x x x =+≥C ．()2()1f x x x x =-≥D ．2()f x x x =+【错解A 】1)f x =+1t =，则2(1)x t =-， ∴22()(1)1f t t t t t =-+-=-，， ∴函数()f x 的解析式为2()f x x x =-．点评：本题错解在换元时没有考虑变量的取值范围，换元必换范围。

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。

为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。

《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

下面我们来逐个讲解常见易错点。

1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。

而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。

错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。

2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。

易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。

3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax² + bx + c。

抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。

4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。

对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。

对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。

5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。

相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。

6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。

高考数学知识点：函数与导数易错点

易错点求函数定义域忽视细节致误错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时要注意下面几点：(1)分母不为0;(2)偶次被开放式非负;(3)真数大于0;(4)0的0次幂没有意义。

函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。

对于复合函数，要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。

易错点带有绝对值的函数单调性判断错误错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。

研究函数问题离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。

对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

易错点8求函数奇偶性的常见错误错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。

判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。

在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。

易错点抽象函数中推理不严密致误错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。

解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。

中考数学常考易错点：3-2《一次函数》

一次函数易错清单1.一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.【例1】(2014·湖南娄底)一次函数y=kx-k(k<0)的图象大致是().【解析】首先根据k的取值范围,进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可.【答案】∵k<0,∴-k>0.∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.故选A.【误区纠错】此题主要考查了一次函数图象,直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.2.讨论一次函数性质时漏解.【例2】(2014·四川自贡)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则的值是.【解析】由于k的符号不能确定,故应分k>0和k<0两种进行解答.【误区纠错】本题考查的是一次函数的性质,在解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.3.一次函数与不等式的关系.【例3】(2014·湖北孝感)如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为().A. -1B. -5C. -4D. -3【解析】满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.【答案】∵直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,∴关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4<x<-2.∴关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.【误区纠错】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,错解误认为是关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为x>-2.4.一次函数的实际应用.【例4】(2014·山东德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:(1)如何进货,进货款恰好为46000元?(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元? 【解析】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.【答案】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意,得25x+45(1200-x)=46000,解得x=400.∴购进乙型节能灯1200-400=800只.故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意,得y=(30-25)a+(60-45)(1200-a),y=-10a+18000.∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,∴-10a+18000≤[25a+45(1200-a)]×30%.∴a≥450.∵y=-10a+18000,∴k=-10<0.∴y随a的增大而减小.∴a=450时,y最大=13500元.∴商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.【误区纠错】本题考查了单价×数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.名师点拨1.掌握一次函数的定义,能利用定义进行判断.2.正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解.3.会求一次函数解析式.4.会用函数思想解决实际问题.提分策略1.一次函数图象的平移.直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左(或向右)平移m个单位,则直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x+m)+b(或k(x-m)+b),其口诀是上加下减,左加右减.【例1】如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb= .【解析】∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行,∴k=2.∵y=kx+b的图象经过点A(1,-2),∴2+b=-2,解得b=-4.∴kb=2×(-4)=-8.【答案】-82.一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)相结合问题.【例2】一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为.【解析】∵一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),∴一次函数的解析式为y=x+1.当y=0时,x+1=0,x=-1.∴一次函数y=x+1的图象与x轴交于点(-1,0).∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.【答案】x=-13.一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题.这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问题中,如果三角形的一边与一坐标轴重合,那么可直接应用三角形及坐标求面积,如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合,那么一般来说,我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形,从而求得三角形的面积.【例3】在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.【答案】(1)∵直线与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴交点坐标为(0,3),4.用一次函数解决相关问题.(1)利用一次函数进行方案选择.一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.【例4】某医药公司把一批药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每公里再加收4元;方式二:使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每公里再加收2元;(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式;(2)你认为选用哪种运输方式较好,为什么?【答案】(1)由题意,得y1=4x+400, y2=2x+820.(2)令4x+400=2x+820,解得x=210,所以当运输路程小于210 km时,y1<y2,选择邮车运输较好;当运输路程等于210 km时,y1=y2,选择两种方式一样;当运输路程大于210 km时,y1>y2,选择火车运输较好.(2)利用一次函数解决资源收费问题.此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分段函数是解决问题的关键,一般应从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;(3)利用条件求未知问题.【例5】为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(千瓦时)间的函数关系式.(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:(2)小明家某月用电120千瓦时,需要交电费元;(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式;(4)在每月用电量超过230千瓦时时,每多用1千瓦时电要比第二档多付电费m元,小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,求m的值.【答案】(1)第二档140<x≤230,第三档x>230.(2)54(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为y=ax+c.将(140,63),(230,108)代入,得则第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为(4)根据图象,得用电230千瓦时,需要付费108元,用电140千瓦时,需要付费63元,故108-63=45(元),230-140=90(千瓦时),45÷90=0.5(元),则第二档电费为0.5元/千瓦时.∵小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,290-230=60(千瓦时),153-108=45(元),45÷60=0.9(元),m=0.9-0.5=0.4,故m的值为0.4.(3)利用一次函数解决其他生活实际问题.结合函数图象及性质,弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题的突破口,这是解决一次函数应用题常见的思路.“图形信息”题是近几年的中考热点考题,解此类问题应做到三个方面:(1)看图找点,(2)见形想式,(3)建模求解.【例6】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.【答案】(1)小明骑车速度为,在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5(h).(2)妈妈驾车速度为20×3=60(km/h),设直线BC解析式为y=20x+b1.专项训练一、选择题1. (2014·安徽安庆外国语学校模拟)已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k的值为().A. 1或-2B. 2或-1C. 3D. 42.(2014·安徽淮北五校联考)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是().A. m>1B. m<-5C. -5<m<1D. m<13. (2014·安徽铜陵模拟)能表示图中一次函数图象的一组函数对应值列表的是().(第3题)ABCD4. (2013·上海静安二模)函数y=kx-k-1(常数k>0)的图象不经过的象限是().A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2013·重庆一中一模)如图反映的过程是:妈妈带小米从家去附近的动物园玩,他们先去鳄鱼馆看鳄鱼,又去熊猫馆看熊猫,然后回家.如果鳄鱼馆和熊猫馆的距离为m千米,小米在熊猫馆比在鳄鱼馆多用了n分钟,则m,n的值分别为().(第5题)A. 1,8B. 0.5,12C. 1,12D. 0.5,8二、填空题6. (2014·江苏苏州高新区一模)已知函数y1=x,y2=2x+3,y3=-x+4,若无论x取何值,y总取y1,y2,y3中的最小值,则y的最大值为.7.(2014·湖北宜昌一模)已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值,则m= .8. (2014·湖南吉首三模)如图,已知直线与x轴,y轴分别交于点A和点B,M 是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B'处,则直线AM的函数解析式是.(第8题)9.(2013·上海静安二模)如果点A(-1,2)在一个正比例函数y=f(x)的图象上,那么y随着x 的增大而(填“增大”或“减小”).10. (2013·江西饶鹰中考模拟)一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第象限.11. (2013·湖北武汉中考全真模拟)有一项工作,由甲、乙合作完成,合作一段时间后,乙改进了技术,提高了工作效率.图(1)表示甲、乙合作完成的工作量y(件)与工作时间t(时)的函数图象.图(2)分别表示甲完成的工作量y甲(件)、乙完成的工作量y乙(件)与工作时间t(时)的函数图象,则甲每小时完成件,乙提高工作效率后,再工作个小时与甲完成的工作量相等.(第11题)三、解答题12.(2014·湖北襄阳模拟)某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,于2014年4月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费,新按月分段收费标准如下:标准一:每月用水不超过20吨(包括20吨)的水量,每吨收费2.45元;标准二:每月用水超过20吨但不超过30吨的水量,按每吨a元收费;标准三:超过30吨的部分,按每吨(a+1.62)元收费.(说明:a>2.45)(1)居民甲4月份用水25吨,交水费65.4元,求a的值;(2)若居民甲2014年4月以后,每月用水x(吨),应交水费y(元),求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(3)随着夏天的到来,各家的用水量在不但增加.为了节省开支,居民甲计划自家6月份的水费不能超过家庭月收入的2%(居民甲家的月收入为6540元),则居民甲家六月份最多能用水多少吨?13.(2014·广西南宁五模)黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式;(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离;(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?(第13题)14. (2014·广东模拟)甲和乙进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶,再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线表示甲在整个训练中y与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0).(2)求出AB所在直线的函数关系式;(3)如果乙上坡平均速度是甲上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?(第14题)15. (2013·河北三模)两辆校车分别从甲、乙两站出发,匀速相向而行,相遇后继续前行,已知两车相遇时中巴比大巴多行驶40千米,设行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至中巴到达乙站这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)请你说明点B,C的实际意义;(2)求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两站的距离;(3)求两车速度及中巴从甲站到乙站所需的时间t;(4)若中巴到达乙站后立刻返回甲站,大巴到达甲站后停止行驶,请你在图中补全这一过程中y关于x的函数的大致图象.参考答案与解析1.A[解析]先求出直线y=kx-3与y=-1以及y=3的交点坐标,要注意这两个交点可能在一、四象限(k>0),也可能在二、三象限(k<0).再根据所围成的四边形是梯形,根据梯形的面积公式进行计算.根据第二象限内点具有x<0,y>0,确定m的取值范围是-5<m<1.3. D[解析]直接根据图象经过的点进行判断.显然该图象经过(-3,2),(0,-1)二点.4.B[解析]∵k>0,∴-k<0.∴-k-1<0.∴y=kx-k-1(常数k>0)的图象经过一、三、四象限.5. D[解析]根据图象,此函数大致可分以下几个阶段:①0~12分钟,从家走到鳄鱼馆;②12~27分钟,在鳄鱼馆看鳄鱼;③27~33分钟,从鳄鱼馆走到熊猫馆;④33~56分钟,在熊猫馆看熊猫;⑤56~74分钟,从熊猫馆回家;综合上面的分析,由③的过程知,m=1.5-1=0.5(千米);由②④的过程知n=(56-33)-(27-12)=8(分钟).6. 2[解析]-x+4=x,解得x=2,∴y=x=2.7. 1[解析]设一次函数的解析式是y=kx+b,将(1,3),(2,5)代入求出解析式即可.8[解析]由题,知点A和点B的坐标分别是A(6,0),B(0,8),所以AB=10,由题意,得点B'的坐标是(-4,0),再利用相似可求得OM=3,所以过A(6,0),M(0,3)的直线的解析式是.9.减小[解析]设正比例函数解析式为y=kx(k≠0),∵过点(-1,2),∴2=k×(-1),解得k=-2.故正比例函数解析式为y=-2x.∵k=-2<0,∴y随着x的增大而减小.10.一、四[解析]∵kb<0,∴k,b异号.①当k>0时,b<0,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、三、四象限;②当k<0,b>0时,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、二、四象限;综上所述,一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第一、四象限.则甲每小时完成30件.设乙提高工作效率后再工作m小时与甲完成的工作量相等,由题意,得2×20+(20+40)m=2×30+30m,12. (1)由题意,得20×2.45+5a=65.4,解得a=3.28.(2)由题意,得当0≤x≤20时,y=2.45x;当20<x≤30时,y=20×2.45+3.28(x-20)=3.28x-16.6;当x>30时,y=20×2.45+10×3.28+(x-30)×(3.28+1.62)=4.9x-65.2.(3)6540×2%=130.8.∵20×2.45=49,49+10×3.28=81.8,而49<81.8<130.8,∴居民甲家6月份用水超过30吨.设他家6月用水x吨,故4.9x-65.2≤130.8,解得x≤40.故居民甲家计划6月份最多用水40吨.13. (1)当0≤t≤5时,s=30t;当5<t≤8时,s=150;当8<t≤13时,s=-30t+390.(2)渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b,解得k=45,b=-360.∴s=45t-360.解得t=10,s=90.渔船离黄岩岛距离为 150-90=60 (海里).(3)s渔=-30t+390,s渔政=45t-360.(2)甲上坡的平均速度为480÷2=240(m/min),则其下坡的平均速度为240×1.5=360(m/min),所以y=-360x+1200.(3)乙上坡的平均速度为240×0.5=120(m/min),甲的下坡平均速度为240×1.5=360(m/min),由图象得甲到坡顶时间为2分钟,此时乙还有480-2×120=240(m),没有跑完,两人第一次相遇时间为2+240÷(120+360)=2.5(min).15.(1)点B的实际意义是两车2小时相遇;点C的纵坐标的实际意义是中巴到达乙站时两车的距离.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意,知直线AB过(1.5,70)和(2,0),∴直线AB的解析式为y=-140x+280.当x=0时,y=280.∴甲、乙两站的距离为280千米.(3)设中巴和大巴的速度分别为V1千米/小时,V2千米/小时,∴中巴和大巴速度分别为80千米/小时,60千米/小时.t=280÷80=3.5(小时).(4)当小时时,大巴到达甲站,当t=7小时时,大巴回到甲站,故图象如下:(第15题)。

高一数学知识点大全易错题

高一数学知识点大全易错题数学是一门需要掌握基础知识并运用逻辑思维的学科，而在高一阶段，学生们会接触到更多的数学知识点。

然而，由于新知识的涌入以及知识点的复杂性，易错题也相应增多。

以下是一些高一数学知识点大全易错题的总结，希望能帮助同学们更好地理解和记忆这些知识。

1. 二次函数易错点：判断开口方向和对称轴位置例题：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 5)，并且在x轴上的截距为4。

求函数的解析式。

解析：由于已知函数的图像经过点(1, 5)，代入得到一个方程：a + b + c = 5。

又因为函数在x轴上的截距为4，所以另一个方程为c = 4。

将c代入前一个方程得到 a + b = 1。

因此，我们可以得到方程组：a + b = 1，a + b + c = 5，c = 4。

解该方程组，得到a = -2，b = 3，c = 4。

所以，函数的解析式为y = -2x^2 + 3x + 4。

2. 概率易错点：计算概率时的漏算或重算例题：一个袋子里有8个红球和4个蓝球。

从袋子中先后取两个球，不放回，求取出的两球颜色相同的概率。

解析：首先计算取出两个红球的概率。

第一次取到红球的概率为8/12，第二次取到红球的概率为7/11。

因为两个事件是独立的，所以将两个概率相乘，得到取出两个红球的概率为(8/12) * (7/11) = 14/33。

同理，计算取出两个蓝球的概率为(4/12) * (3/11) = 1/11。

所以，取出的两球颜色相同的概率为14/33 + 1/11 = 17/33。

3. 平面向量易错点：向量的方向和数量运算的错误例题：已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 4)，求向量a和向量b 的数量积和向量积。

解析：首先计算向量的数量积。

数量积计算公式为a·b = |a| * |b| * cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示两个向量的夹角。

易错点5误认为函数的极值点就是导数的零点

易错点5 误认为函数的极值点就是导数的零点1.“极值”:若在点x a =附近的左侧()0f x ¢<，右侧()0 f x ¢>，则a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；若在点x b =附近的左侧()0f x ¢>，右侧()0f x ¢<，则b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2.“导数为0”：若()f x 可导，且()00x y f x x =是的极值，则是()0f x ¢=的解；若0x 是()0f x ¢=的解，()0x y f x =不一定是的极值点；两侧一定要异号.3.易错点：解题时求得导数为0，就认为是极值点，从而造成错误.典例1 已知函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，则()1f ¢=（）A ．6B ．12C ．24D ．12或24审题：根据函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，结合极值的定义可得两个关系，解出方程组即可求出a 、b ，但一定要检验，这是易错点.解析：由()3223f x x ax bx a =+++，得()236f x x ax b ¢=++．因为()f x 在=1x -处有极值0，所以()()10,10,f f ì-=-=¢ïíïî即2130,360,a b a a b ì-+-+=í-+=î解得1,3a b =ìí=î或2,9.a b =ìí=î【避陷阱】导数值为零的点不一定是极值点，例如，函数()()3,00f x x f ¢==，但是0不是函数()f x 的极值点，对于可导函数来说，()00f x ¢=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，因此要进行检验当1,3a b =ìí=î时，()223633(1)0f x x x x ¢=++=+³，则()f x 在R 上单调递增，函数无极值，舍去．当2,9a b =ìí=î时，()23129f x x x ¢=++，令()0f x ¢=，得=1x -或3x =-，经检验=1x -和3x =-都为函数的极值点．综上，2,9,a b =ìí=î所以()13624f a b =++=¢．故选C ．典例2 （2024江苏镇江9月诊断性考试）若函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,3C ．()()0,19,È+¥D ．()()0,39,+¥U 审题：函数问题首先要考虑定义域，这是前提，题中要求函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，说明其导数要经历由正到负、由负到正的过程，讲问题转化为二次函数根的分布形式.解析由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()22332121-+¢=-+=a ax x f x x x x x 【补漏洞】解函数问题要有定义域优先意识，尤其是解析式含分式、根号、对数等形式时由题意知函数()f x ¢有2个大于0的变号零点，即关于x 的二次方程2210ax x -+=有两个不相等的正根，设为12,x x ，【补盲点】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题则1212Δ440,20,10,a x x a x x a ìï=->ïï+=>íïï×=>ïî解得01a <<，即a 的取值范围为()0,1．故选A ．典例3 （2024安徽滁州10月检测）已知()e ln xa f x x x x=+-有2个极小值点，则（）A ．1e a ³ B ．10e a << C ．e a £ D ．ea ³审题：别忘了函数首先要考虑定义域，根据题中()e ln xa f x x x x =+-有2个极小值点，转化为导数有三个零点，对a 的讨论是本题的重点和难点.解析：由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()()()()2222e 1e 1e e 1e 11e e x x x x x x x a x x x x x f x a x a x x x x x ---æö=×+-=-=--çè¢÷ø．由连续函数()f x 有2个极小值点知()f x ¢有3个大于0的变号零点，从而e xxy a =-有2个大于0的变号零点，且零点不为1，从而0a >且1ea ¹．【避陷阱】切勿将函数存在2个极小值点简单转化为导函数有2个零点，结合函数图象的变化趋势，将函数的极值点转化为导函数的变号零点，进而转化为函数e xxy a =-在()0,¥+上的变号零点，注意其零点不能为1x =当0a >且1e a ¹时，令()(),0,e x x g x x =Î+¥，则()()2e e 1e e x x x x x x g x --==¢，令()0g x ¢=，得1x =，所以当()0,1x Î时，()()0,g x g x ¢>单调递增，当()1,x Î+¥时，()()0,g x g x ¢<单调递减，则()max 1()1eg x g ==，易知()0g x >，且当x ®+¥时，()0g x ®．作出函数()g x 的大致图象，如图所示，结合图象可知，当10e a <<时，函数()g x 的图象与直线y a =有2个交点，满足函数ex x y a =-有2个大于0的零点，且零点不为1．若10ea <<，则存在()()0,1,1,m n ÎÎ+¥，使得()()g m g n a ==，即()()0f m f n ¢¢==，所以当()0,x m Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x -<-><¢单调递减，当(),1x m Î时，10x -<，()()0,0,e xxa f x f x ¢-<>单调递增，当()1,x n Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x ->-<<¢单调递减，当(),x n Î+¥时，()()10,0,0,ex xx a f x f x ->->>¢单调递增，所以当10ea <<时，()f x 有2个极小值点，符合题意．【补盲点】由函数e xxy a =-有2个大于0的零点，且零点不为1只能得到函数()f x 存在3个极值点，但并不能保证其存在2个极小值点，故需检验综上所述，当10ea <<时，()f x 有2个极小值点．故选B ．（23-24高三上·天津滨海新·期中）1．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极小值3-，则b a -的值等于（）A ．0B ．2-C ．4-D ．6（2024·辽宁葫芦岛·一模）2．已知函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，则a 的取值范围是（）A ．e ,2æù-¥çúèûB ．e ,2æö-¥ç÷èøC ．[0,e)D ．e 0,2éùêúëû（2024·河北承德·二模）3．设a 为实数，若函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，则=a （）A ．1B ．12C ．0D ．1-（23-24高三下·江苏连云港·期中）4．若函数()e x f x ax =-有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．ea <B ．1ea <<C ．1a >D ．01a <<（23-24高三下·广东潮州·期中）5．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x ¢，如图是函数()y xf x =¢的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的增区间是()()2,0,2,¥-+B ．函数()f x 的减区间是()(),2,2,¥¥--+C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点（23-24高三下·安徽芜湖·期中）6．如图所示为函数()f x 的图象，()f x ¢是()f x 的导函数，12x =和2x =分别为极大值点和极小值点，则不等式()023f x x <-¢的解集为．（2024·陕西铜川·三模）7．若函数()2ln xf x ax x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围为 .（2024高三·全国·专题练习）8．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x ¢为()f x 的导数.(1)讨论()f x ¢的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】对函数求导，利用()13f =-以及()10f ¢=解出,a b ，进而得出答案．【详解】由题意得()21222f x x ax b ¢=--，因为在1x =处有极小值3-，所以()()11222014223f a b f a b ì=--=ïí=--+=-¢ïî，解得3,3a b ==，所以()()()212666211f x x x x x ¢=--=+-，令()()()02110f x x x ¢>Þ+->，解得1x >或12x <-，故函数()f x 在()1,+¥和1,2æö-¥-ç÷èø上为增函数，令()()()02110f x x x ¢<Þ+-<，解得112x -<<，故函数()f x 在1,12æö-ç÷èø上为减函数，所以()f x 在1x =处有极小值，符合题意，所以0b a -=，故选：A.2．D【分析】求导数确定单调性，讨论x 的取值范围可得结果.【详解】由题意得，()e 2x f x ax ¢=-，故()010f ¢=＞，因为函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，所以()0f x ¢³在R 上恒成立，当x ＞0时，e 2xa x£，设()e 2x g x x =，则()()221e2e 2e 42xx x x x g x x x --=¢=，当01x ＜＜时，得()0g x ¢＜，当1x ＞时，得()0g x ¢＞，则()g x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增，从而()()e12g x g ¢=¢³，故2e a £，当0x ＜时，e 02xx＜，则0a ³.综上，e 02a ££.故选：D.3．B【分析】求出函数的导数，根据极值点求出a 的值，然后根据极值的概念检验即得．【详解】由题可得2()2(2)f x x ax x x a ¢=-=-，令()0f x ¢=，解得；0x =或2x a =，因为函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，所以21a =，即12a =，当12a =时，()()1f x x x ¢=-，()00¢>Þ<f x x 或1x >，()001f x x <Þ<<¢所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在(,0),(1,)-¥+¥上单调递增，满足题意.故选：B.4．C【分析】求导0a £和0a >讨论，当0a >时求出极值点，根据极值点大于零求解可得.【详解】()e ¢=-x f x a（1）0a £时，()e 0x f x a ¢=->，()f x 在定义域上单调递增，不满足题意；（2）0a >时，令()e 0x f x a ¢=-=得ln x a =，当ln x a <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以，当ln x a =时，()f x 取得极小值，由题知ln 0a >，解得1a >.综上，实数a 的取值范围为1a >.故选：C 5．D【分析】由已知易得()f x 的单调区间，进而可判断()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值，可得结论.【详解】由图及题设，当02x <<时，()0f x ¢<；当()2,0x f x ¢>>；当20x -<<时，()0f x ¢<；当<2x -时，()0f x ¢>；即函数()f x 在(),2¥--和()2,¥+上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A ，B ，C 错，D 正确.故选：D.6．13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU 【分析】根据函数的图象和题设条件，得到()0f x ¢<和()0f x ¢>的解，结合所求不等式，分类求解即得.【详解】由题意，结合函数()f x 的图象，可知由()0f x ¢>可得12x <或2x >，由()0f x ¢<可得122x <<.而()023f x x ¢<-(23)()0x f x ¢Û-<，由230()0x f x -><¢ìíî可得230122x x ->ìïí<<ïî，解得322x <<；由230()0x f x -<>¢ìíî可得230122x x x -<ìïíïî或，解得12x <.综上可得，不等式()023f x x ¢<-的解集为13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .故答案为：13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .7．410,6e æöç÷èø【分析】将导数方程参变分离，转化为()3ln 12x g x x -=与y a=由两个交点的问题，利用导数讨论()g x 的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.【详解】()f x 的定义域为()0,¥+，()21ln 2xf x ax x -=+¢，令()0f x ¢=，得3ln 12x a x -=.令()3ln 12x g x x -=，则()443ln 2x g x x -¢=.令()00g x ¢=，则03ln 4x =，即04ln 3x =，即340e x =.当00x x <<时，()()0,g x g x ¢>单调递增；当0x x >时，()()0,g x g x ¢<单调递减.()0max0344041ln 113()22e 6e x g x g x x --\====，又当x 趋近于0时，()g x 趋近于-¥；当x 趋近于+¥时，()g x 趋近于0，作出()g x 的草图如图，由图可知，当4106e a <<时，方程3ln 12x a x -=有两个正根，从而函数()f x 有两个极值点.【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.8．(1)答案见解析(2)12a >【分析】（1）令()()g x f x ¢=，求出导函数，再分0a £和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a £、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--¢，令()()21x g x f x ax =-¢=-e ，则()e 2xg x a ¢=-，答案第5页，共5页当0a £时，()0,()g x f x ¢¢>在区间(),-¥+¥单调递增，当0a >时，令()0g x ¢=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ¥Î-时，()0g x ¢<，当()ln2,x a Î+¥时，()0g x ¢>，∴()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增，综上所述，当0a £时，()f x ¢在区间(),-¥+¥上单调递增；当0a >时，()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增．（2）当0a £时，()00f ¢=，由（1）知，当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢<在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f ¢=，由（1）知，当()ln2,0x a Î时，()()0,f x f x ¢<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x Î-¥+¥时，()()0,f x f x ¢³在(),-¥+¥上单调递增，∴()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f ¢=；当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢>在(),0¥-上单调递增；当()0,ln2Îx a 时，()()0,f x f x ¢<在()0,ln2a 上单调递减；∴0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >．。

高中数学易错点对数函数的陷阱与解析

高中数学易错点对数函数的陷阱与解析在高中数学的学习中，对数函数是一个重要的知识点，但同时也是同学们容易出错的地方。

本文将深入探讨对数函数中常见的陷阱，并进行详细的解析，帮助大家更准确地理解和运用对数函数。

一、对数的定义理解不清对数的定义是：如果 a^x ＝ N（a＞0 且a≠1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。

在这个定义中，同学们容易忽略底数 a的取值范围，以及真数 N 的取值范围。

例如，logₐ0 是没有意义的，因为任何数的 0 次幂都不等于 0。

同样，logₐ(－1) 也是没有意义的，因为正数的任何次幂都是正数。

另外，对数中的底数 a 必须大于 0 且不等于 1。

如果忽略了这些限制条件，在解题时就容易陷入错误。

二、对数的运算性质使用不当对数的运算性质有：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN；logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN；logₐMⁿ ＝nlogₐM。

在使用这些运算性质时，同学们经常会出现以下错误：1、忽略底数相同的条件例如，log₂3 ＋log₃4 不能直接运用加法运算性质，因为底数不同。

2、忽略真数大于 0 的条件在计算 log₂(x 1) ＋ log₂(x ＋ 1) 时，如果不考虑 x 1＞0 且 x ＋ 1＞0 这个条件，就可能得出错误的结果。

3、对运算性质的逆用不熟练例如，已知logₐM ＋logₐN ＝logₐ(MN)，那么当遇到logₐM ＋logₐN 的形式时，要能够想到将其转化为logₐ(MN)。

三、对数函数的定义域和值域对数函数 y ＝logₐx（a＞0 且a≠1）的定义域是 x＞0，值域是 R。

在求对数函数的定义域时，同学们容易忽略真数大于 0 这个条件。

例如，函数 y ＝ log₂(x² 1) 的定义域，需要满足 x² 1＞0，解得 x＞1 或 x＜－1。

在求对数函数的值域时，要根据对数函数的单调性来确定。

高一函数及其概念易错点总结

高一函数及其概念易错点总结
1.
函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

易错点在于理解“唯一性”和“对应关系”。

2.
函数的表示方法：函数可以用表达式、表格、图像等多种方式表示。

易错点在于混淆不同的表示方法，如将函数的表达式与函数的值混淆。

3.
函数的性质：函数具有单值性、连续性、可导性等性质。

易错点在于理解这些性质的具体含义和应用。

4.
函数的运算：函数可以进行四则运算、复合运算、反函数运算等。

易错点在于理解运算规则和运算结果。

5.
函数的图像：函数的图像可以直观地展示函数的性质和特点。

易错点在于理解图像的意义和如何从图像中获取信息。

6.
函数的应用：函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。

易错点在于理解函数的应用背景和方法。

7.
函数的分类：函数可以分为实数函数、复数函数、有理函数、无理函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

易错点在于理解各种函数的特点和应用。

8.
函数的极限：函数的极限是研究函数变化趋势的重要工具。

易错点在于理解极限的概念和计算方法。

9.
函数的连续性：函数的连续性是研究函数性质的重要工具。

易错点在于理解连续性的概念和判别方法。

10.
函数的导数和微分：函数的导数和微分是研究函数变化率的重要工具。

易错点在于理解导数和微分的概念和计算方法。

函数的概念与性质(5知识点+4重难点+5方法技巧+5易错易混)(解析版)2025高考数学一轮知识清单

专题03函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设,A B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.2、函数的三要素：（1）在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的对应关系：(),y f x x A =∈.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：（1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性.（2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时，)(x af 与)(x f 单调性相同；当0<a 时，)(x af 与)(x f 单调性相反.（4）若)(x f ≥0，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值，则当0>a 时，)(x f 与)(x f a具有相反的单调性；当0<a 时，)(x f 与)(x f a具有相同的单调性.（6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．知识点3函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）()f x 为奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()f x 为偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称．（2）如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4函数的周期性1、周期函数的定义对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．知识点5函数的对称性1、关于线对称若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线2a b x +=对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数()y f x =关于y 轴对称，此时函数()y f x =是偶函数．2、关于点对称若函数()y f x =满足()()22-=-f a x b f x ，则函数()y f x =关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，()()f x f x =--，则函数()y f x =关于原点对称，此时函数()f x 是奇函数．重难点01求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．（2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．（3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．235【答案】B【解析】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故选：B 【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则值域为（）A ．9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．99,10⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]9,11-【答案】A【解析】因为函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且lg ,y x y x ==在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为191010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为()1011f =，所以值域为9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，若函数()(){}2max 3,1M x x x =-+-，则()M x 的最小值为.【答案】1【解析】当()231x x -+≥-，即220x x --≤，即12x -≤≤时，()3M x x =-+，当()231x x -+<-，220x x -->，即2x >或1x <-时，()()21M x x =-，所以()[]()()()23,1,21,,12,x x M x x x ∞∞⎧-+∈-⎪=⎨-∈--⋃+⎪⎩，函数图象如图所示：由图可得，函数()M x 在(),1-∞-，()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以()()min 2231M x M ==-+=.【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为.【答案】[0,1)【解析】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数()f x ）A ．[]0,2B ．[)0,∞+C ．[)2,+∞D ．()()0,22,+∞U 【答案】A【解析】令2230x x --+≥得，31x -≤≤，故定义域为[]3,1-，()[]0,2f x ==.故选：A【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数212y x x =-++的值域为.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞ 【解析】由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤,且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞ .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数()2f x x =的最大值为.【答案】178()0t t =≥，则21x t =-，所以()22117222048y t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，对称轴为14t =，开口向下，所以函数2117248y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,4⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当14t ==，即1516x =时，()f x 取得最大值为max 151517()()1688f x f ===.【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数1y x =-的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[)0+，∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】Ct =，()0t ≥，则212t x -=，所以函数()22211112222t t t y t t +-=++=++=，函数在[)0,+∞上单调递增，0=t 时，y 有最小值12，所以函数1y x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax by cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

易错点03 函数概念与基本初等函数-备战2023年高考数学考试易错题(解析版)(全国通用)

易错点03 函数概念与基本初等函数易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；易错点3：根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 )；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.易错点4：指对型函数比较大小要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）. 易错点5：用函数图象解题时作图不准“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。

但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。

解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等；1．已知 1.5log 0.5a =，0.51.5b =， 1.50.15c =⨯，则（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<2．已知函数()2,232,2x f x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则()()9f f =（）A ．1B ．2C ．4D ．83．已知函数233?,?0()3?,?0x x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，则不等式()()34f a f a >-的解集为（）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．(),2-∞D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，所以34a a <-，解得2a >．故选：B 4．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数lg,010()16,102x xf xx x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a，b，c均不相等，且()f a= ()f b=()f c，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)1．已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>2．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．53-B ．13-C ．13D ．533．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.64．设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃5．已知函数3,0,(),0.x xf xx x⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k=--∈R恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(,0)(0,22)-∞D．(,0)(22,)-∞+∞2y x相切时，联立方程得（负值舍去）,0)(22,)+∞.1．已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（） A ．3log y x =B ．32y x x =+C ．x y e =D ．3y x -=3．设函数()33f x ax x a -=-+，若函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【详解】因为函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，故函数()f x 的图象关于点()0,0对称，即()f x 为奇函数，故()()()()333320f x f x a x x a ax x a a ---+=---++-+==，所以0a =. 故选：B.4．设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.5．已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（） A ．(,4)-∞ B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C6．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】解：58log a b log =5458<，5548log <，45138<，13458log <综上，c a >．故选：A 7．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（） A ．－1.519 B ．－1.726 C ．－1.609 D ．－1.3168．已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)xx xf x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=,0)(0,)+∞，()0x <，不符合图象，故排除9．函数定义在R 上的奇函数()f x 满足在(1)()0f x f x ，则()f x 在[3,3]x ∈-上的零点至少有（）个 A ．6B ．7C ．12D ．13 1)()0x f x 得周期为(3)(2)(1)(1)(2)(3)0f f f f f ，又11()()22f f =-，f 11)()022f ，再由周期为1，总之，有()0,0,1,2,3,4,5,62k f k ，共13故选:D ．10．已知函数()()2212,13,x a x x a f x ax x a ⎧-+-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(]()(),21,00,-∞-⋃-⋃+∞B ．()[)(),21,00,-∞-⋃-⋃+∞C ．()1,-+∞D ．[)()1,00,-+∞。