2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破难点5复杂数列的通项公式与求和问题学案

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2019-2020年高三数学第二轮复习教案数列问题的题型与方法二人教版

一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

二、考试要求1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

三、复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：①若 = +（n-1）d= +（n-k）d，则为等差数列；②若，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证都成立。

3. 在等差数列中,有关S n的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

高考数学总复习(第二轮)数列 (2).ppt

求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
数列{an}：a1 1, a2 3, a3 2, an+2 an+1 an ，求S2005
七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和
1．定义法：对于数列{an} {an}是等比数列。
，若
an+1 an
q(q
0)
，则数列
2．等比中项：对于数列{an}
，若an an+2
a
2 n+1
，则数列
{an}是等比数列
[等比中项]
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，
那也么就G是叫，做如a果与Gb是的a等,b比的中等项比。中项，那么G b ，
高考数学总复习（第二轮）第2讲数列
一、基本知识归纳
1、一般数列
[数列的通项公式]
an
a1 S n
S1(n Sn1 (n
1)
2)
[数列的前n项和] Sn a1 + a2 + a3 + … + an
2、等差数列
[等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个
1
n + n+1
n +1
n
an
( An +
1 B)( An + C)
C
1
(1 B An +
B
1) An + C

2020新高考数学二轮冲刺数列全归纳(基础—中档—拔高题全解析)

叠加得到 an

a1

2(1 2n1) 1 2

2n

2
，所以 an

2n
1 （ n

2）n
1 时也成立，
所以 an 2n 1 （ n N * ）
（3）由（2）可知 4b11 4b2 1 4b3 1 4bn 1 (an 1)bn ，
即 4(b1b2 bn n) 2nbn ，故 2(b1 b2 bn ) 2n nbn
由①-②得 an1 4an 4an1 ，所以 an1 2an 2an 4an1 2(an 2an1) .当 n 1 时，
S2 4a1 2 6 a1 a2 a2 5 ，所以 a2 2a1 5 2 3 0,
所以
an1 2an an 2an1
1 )n1 2

(1)n1
3 2n
例 2.在等差数列 an 中，公差 d 0 ，a2 是 a1 与 a4 的等比中项，已知数列 a1 ，a3 ， ak1 ， ak2 ， akn ，成等比数列，求数列 kn的通项 kn
解析依题意可得 a22 a1a4 ，所以 (a1 d )2 a1(a1 3d ) ，由 d 0 可得 a1 d ，则 an nd ，由已知得 d ,3d , k1d , k2d ,, knd , 是等比数列。
②若 an

a1q n1

a1 q
qn

c qn
，则数列an 为等比数列（用于判断）；
（3）中项公式法：
①若 2an an1 an1 （ n 2, n N * ），则数列 an 为等差数列（用于证明）； ②若 an2 an1an1 （ n 2, n N * ），则数列 an 为等比数列（用于证明）；

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分专题二数列必考点

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分专题二数列必考点[例1] (本题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ≠0，所以由a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，得a n b n －a n ＋1b n ＋1＋2＝0，(2分)即a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，(3分) 所以c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是以c 1＝a 1b 1＝1为首项，2为公差的等差数列，(5分) 所以c n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(6分) (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，(8分)3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝－2－(2n －2)3n，(10分)所以S n ＝(n －1)3n＋1.(12分) 评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，利用条件②合理转化得2分． (2)写成等差数列定义形式得1分． (3)得出其首项、公差进而写出通项得3分． (4)第(2)问，由b n ＝3n ＋1，c n ＝2n －1，得到{a n }的通项得2分．(5)在等式两端同乘以3给2分． (6)错位相减给1分．(7)错位相减后求和正确得2分． (8)最后结果整理得1分．(xx·高考全国甲卷)等差数列(a n )中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.[例2] (xx·高考全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.审题路线图[规范解答] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.(xx·高考全国乙卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1.类型三学会规范[例3] (本题满分12分)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [考生不规范示例] 解：(1)令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3，a 1(a 1＋d )＝3，① 令n ＝2得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15，(a 1＋d )(a 2＋d )＝15 ② 由①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ·22n －1所以T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ·4n③ 4T n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1④③－④得：－3Tn ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝41－4n ＋11－4－n ·4n ＋1所以T n ＝4－4n ＋29＋n ·4n ＋13＝3n －44n ＋1＋49.[规范解答] (1)设数列{a n }的公差为d . 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.①(2分) 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.②(4分) ∴由①②得a 3＝5a 1即a 1＋2d ＝5a 1，∴d ＝2a 1，∴a 2＝3a 1 ∴a 21＝1，(a 1＞0)，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1，经检验，符合题意．(6分) (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1(10分)＝41－4n1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋3n －14n ＋19.(12分)[终极提升]——登高博见限时规范训练三等差数列、等比数列及数列求和(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．(xx·高考全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.2．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n .3．S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)∵a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，∴a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )．由于a n ＞0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，所以通项公式a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n32n ＋3.4．(xx·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋1n ＋1b n ＋2n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝6n ＋6n ＋13n ＋3n＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.专题一、二规范滚动训练(二)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知首项为12，公比不等于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 2，S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n |a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)通解设数列{a n }的公比为q ，由题意得2S 2＝S 3＋S 4，q ≠1，∴2×a 11－q 21－q ＝a 11－q 31－q ＋a 11－q 41－q.化简得q 2＋q －2＝0，得q ＝－2，或q ＝1(舍) 又数列{a n }的首项为12，∴a n ＝12×(－2)n －1.优解设数列{a n }的公比为q ，由题意得2S 2＝S 3＋S 4，即(S 4－S 2)＋(S 3－S 2)＝0，即(a 4＋a 3)＋a 3＝0， ∴a 4a 3＝－2， ∴公比q ＝－2.又数列{a n }的首项为12，∴a n ＝12×(－2)n －1.(2)b n ＝n |a n |＝n ×12×2n －1＝14×n ×2n，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝14(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)，①2T n ＝14(1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，)②①－②得，－T n ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×1－2n1－2－n ×2n ＋1，∴T n ＝12＋12(n －1)×2n .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若b cos C ＋12c ＝a ，判断△ABC 的形状．解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得：2sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ， ∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.∴A ＝π3.(2)∵b cos C ＋12c ＝a ，∴b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝a ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝π3，从而A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．3．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 5＝30，又a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求S n ；(2)若对任意n ＞t ，n ∈N *，都有1S 1＋a 1＋2＋1S 2＋a 2＋2＋…＋1S n ＋a n ＋2＞1225，求t 的最小值．解：(1)设公差为d ，由条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝30，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋8d ，得a 1＝d ＝2.∴a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n .(2)∵1S n ＋a n ＋2＝1n 2＋n ＋2n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2. ∴1S 1＋a 1＋2＋1S 2＋a 2＋2＋…＋1S n ＋a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＞1225. ∴1n ＋2＜12－1225＝150，即n ＋2＞50，n ＞48. ∴t 的最小值为48.4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出f (x )的单调减区间；(2)已知△ABC 的内角分别是A ，B ，C ，角A 为锐角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π12＝12，cos B ＝45，求sin C的值．解：(1)由周期12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π6＋φ＝1.∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . (2)由(1)可知，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π12＋π6＝12，即sin A ＝12，又角A 为锐角，∴A ＝π6.∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35.∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝12×45＋32×35＝4＋3310.。

2019版二轮复习数学(理)全国版第二板块热点锁定

题点技巧(一) 巧用性质·妙解函数[解题技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，c 2对称．[典例] (2018·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 [解析] 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52，故选B. [答案] B[经典好题——练一手]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x >0)，ax 2＋bx ＋c (x ≤0)的图象关于原点对称，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．－1，－2,0B ．1，－2,0C ．－1,2,0D ．1,2,0解析：选D 因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )，设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .因为f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x2－2x，即f(x)＝x2＋2x.故a＝1，b＝2，c＝0，选D.2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.[常用结论——记一番]1．有关函数单调性的常用结论(1)若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．(2)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．(3)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1f(x)单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝f(x)单调性相同．[提示]在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件．2．有关函数奇偶性的常用结论(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)±f(－x)＝0，f(x)f(－x)＝±1.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇→奇，奇×奇→偶，偶＋偶→偶，偶×偶＝偶，奇×偶→奇．(3)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．3．有关函数f(x)周期性的常用结论(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数f(x)的周期为2|a|；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |. 题点技巧(二) 最值函数·大显身手[解题技法——学一招]最值函数的定义：设a ，b 为实数，则min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ；max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，b >a .解有些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼.(1)min{a ，b }≤a ＋b2≤max{a ，b }；(2) min a >0，b >0{a ，b }≤ab ≤max a >0，b >0{a ，b }.[典例] 已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 过点(α，0)，(β，0)，若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14D ．不能确定[解析] 因为α，β为f (x )＝0的根，所以f (x )＝x 2＋px ＋q ＝(x －α)(x －β)，f (n )＝(n －α)(n －β)，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)，min{f (n )，f (n ＋1)}≤f (n )f (n ＋1)＝(α－n )(β－n )(n ＋1－α)(n ＋1－β)<⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫122＝14，故选B. [答案] B[经典好题——练一手]1．设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：选D max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a ＋b |2＋|a －b |22＝|a |2＋|b |2，故选D.2．(2018·兰州模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C ．1D.52解析：选A 如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，∴c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.∴max{c ·a ，c ·b }≥c ·a ＋c ·b 2＝4－3λ2＝45.即max {}c ·a ，c ·b 的最小值为45，此时λ＝45，μ＝15，∴c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25.∴|c |＝ ⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255.题点技巧(三) 成图在胸·巧比大小[解题技法——学一招]幂数、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”或“成图在胸”.解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小.[典例] 已知a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”表示排列)[解析] 法一(数形结合法)：变形a ＝ln 22＝ln 2－02－0，则a 表示函数y ＝ln x 图象上的点(2，ln 2)与点(0,0)连线的斜率．同理，b ＝ln 33＝ln 3－03－0，c ＝ln 55＝ln 5－05－0分别表示(3，ln 3)，(5，ln 5)与点(0,0)连线的斜率．作出函数y ＝ln x 的图象，标出相应点的位置，观察可知b >a >c .法二(构造函数法)：令y ＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，令y ′＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，所以函数在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，函数在x ＝e 处取得极大值，所以b >a ，b >c ，再作差比较a 与c 的大小，易知b >a >c .[答案] b >a >c[经典好题——练一手]1．已知实数a ，b 满足不等式log 2a <log 3b ，则不可能成立的是( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．0<a <1<bD ．1<b <a解析：选D 如图y ＝g (x )表示以2为底的对数函数图象，y ＝f (x )表示以3为底的对数函数图象，根据log 2a <log 3b ，得1<b <a 不可能成立，故选D.2．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A 法一：首先确定a 是函数y ＝2x 与y ＝log 12x 图象的交点的横坐标，b 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 12x 图象的交点的横坐标，c 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点的横坐标．分别画出函数y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x ，y ＝log 2x 的图象(图象略)，易知a <b <c . 法二：∵a ，b ，c 均为正数，∴2a >1，即log 12a >1，解得0<a <12.0<⎝⎛⎭⎫12b <1，即log 12b <1，解得12<b <1.0<⎝⎛⎭⎫12c <1即0<log 2c <1，解得1<c <2. ∴a <b <c .[常用结论——记一番]比较几个数的大小，关键是区分不同的函数，然后构造函数．(1)底数相同，指数不同时，如ax 1与ax 2，利用指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的单调性；(2)指数相同，底数不同，如x a 1与x a 2，利用幂函数y ＝x a 的单调性比较大小；(3)底数指数都不同，如ax 1与bx 2，寻找中间变量0,1或bx 1或ax 2.题点技巧(四) 特值探路·秒杀小题[解题技法——学一招]特值探路法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊角、特殊数列等对选择题各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判断选项正确与否的方法.有时，也会取特殊位置，特殊模型等特征入手，简化运算，速得结论.[典例] 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] 若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，知M (6,3)，N (4,4)，∴AM ―→＝(6,3)，NM ―→＝(2，－1)， AM ―→·NM ―→＝6×2＋3×(－1)＝9. [答案] C [技法领悟]取特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例解选择题时，要注意以下两点：第一，取的特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.[经典好题——练一手]1．存在函数f (x )满足对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：选D 在A 中，取x ＝0，可知f (sin 0)＝sin 0，即f (0)＝0，再取x ＝π2，可知f (sinπ)＝sin π2，即f (0)＝1，与f (0)＝0矛盾，故A 错误；同理可知B 错误；在C 中，取x ＝1，可知f (2)＝2，再取x ＝－1，可知f (2)＝0，与f (2)＝2矛盾，故C 错误．由排除法知选D.2．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于________．解析：取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34. 答案：－34题点技巧(五) 应用导数·开阔思路[解题技法——学一招]1．函数的单调性与导数的关系 (1)f ′(x )>0⇒f (x )为增函数； (2)f ′(x )<0⇒f (x )为减函数； (3)f ′(x )＝0⇒f (x )为常数函数． 2．求函数f (x )极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．[典例] 设函数f (x )＝e x －1＋m x (m ∈R )．(1)若f (x )在[1,2]上为单调递减函数，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处有极值，且函数g (x )＝f (x )－n 在(0，＋∞)上有零点，求n 的最小值． [解] (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝e x －1－m x2.当f (x )在[1,2]上单调递减时，e x －1－mx 2≤0在[1,2]上恒成立，所以m ≥x 2e x －1在[1,2]上恒成立．令h (x )＝x 2e x －1，则h ′(x )＝e x －1(x 2＋2x )>0在[1,2]上恒成立，即h (x )在[1,2]上单调递增，所以h (x )＝x 2e x －1在[1,2]上的最大值为h (2)＝4e ，即m ≥4e.所以实数m 的取值范围为[4e ，＋∞)．(2)因为f ′(x )＝e x －1－mx 2，又f (x )在x ＝1处有极值，所以f ′(1)＝e 0－m ＝0，解得m ＝1，经检验符合题意．所以f (x )＝e x －1＋1x ，g (x )＝f (x )－n ＝e x －1＋1x －n . 对g (x )求导，得g ′(x )＝e x －1－1x2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．所以g (x )在x ＝1处取得极小值g (1)＝e 0＋1－n ＝2－n .依题意，g (x )在(0，＋∞)上有零点，所以g (1)≤0，即2－n ≤0，所以n ≥2. 所以n 的最小值为2. [技法领悟]本题的求解涉及两类题型的求解方法：(1)求参数的取值范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题．(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f (t )，而函数又在此区间有零点，则结合图形解析，可得f (t )≥0(或f (t )≤0)．[经典好题——练一手]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln 2，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0)D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2 解析：选D 设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)，则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)，所以－2≤x <－1时，y ′>0，－1<x <0时，y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值在x ＝－1时取得，为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln 2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ln x .(1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在(e ，f (e))处的切线方程． (2)若a ＝－e ，证明：方程2|f (x )|－3x ＝2ln x 无解．解：(1)当a ＝1时，f (e)＝e 2＋e ，f ′(x )＝2x ＋ln x ＋1，故f ′(e)＝2e ＋2，故所求切线方程为y －e 2－e ＝(2e ＋2)·(x －e)，即(2e ＋2)x －y －e 2－e ＝0.(2)证明：依题意，有2|ax 2＋x ln x |－3x ＝2ln x ，即2|ax 2＋x ln x |＝2ln x ＋3x ，亦即|ax ＋ln x |＝ln x x ＋32.令g (x )＝ax ＋ln x ，当a ＝－e 时，g (x )＝－e x ＋ln x ，则g ′(x )＝－e x ＋1x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1e，令g ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，令g ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e·1e ＋ln 1e ＝－2，所以|g (x )|≥2，令h (x )＝ln x x ＋32，则x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝1－ln x x 2.令h ′(x )>0，得x ∈(0，e)，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，令h ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)，所以函数h (x )在(e ，＋∞)上单调增减，所以h (x )max ＝h (e)＝ln e e ＋32＝1e ＋32<12＋32＝2，即h (x )<2，所以|g (x )|>h (x )，即2|f (x )|－3x >2ln x ，所以方程2|f (x )|－3x ＝2ln x 无解．题点技巧(六) 三角问题·重在三变[解题技法——学一招]“三变”是指变角、变数与变式.(1)变角如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β.(2)变数特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等.(3)变式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)，sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1.[典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B ．9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] A[经典好题——练一手]1．已知α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，因为α为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35<32，所以π6<α＋π6<π3，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2×35×45＝2425. 答案：24252．若0<α<π2，0<β<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝35，cos ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝255，则cos ⎝⎛⎭⎫β2－α的值为________．解析：由题易知－π6<π3－α<π3，－π3<β2－π3<－π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝－1－⎝⎛⎭⎫2552＝－55，所以cos ⎝⎛⎭⎫β2－α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫β2－π3＝45×255＋35×55＝11525. 答案：11525题点技巧(七) 三角换元·妙解最值[解题技法——学一招]解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法.换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化隐含关系为显性关系等，在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用.[典例] (2018·湖北荆州质检)设P 为曲线C 1：x 28＋y 24＝1上一点，Q 为直线C 2：x －2y－5＝0上一点，则|PQ |的最小值为________．[解析] 设P (22cos α，2sin α)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|22cos α－22sin α－5|1＋2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4－53＝5－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π43.当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时，d 取得最小值33，所以|PQ |的最小值为33. [答案]33[技法领悟]椭圆和圆上的两个动点或椭圆和直线上两个动点之间距离的最值问题，可转化为椭圆上的点到圆心的距离或椭圆上的点到直线的距离的最值问题，利用点到直线的距离公式，结合正、余弦函数的有界性或二次函数求解即可．[经典好题——练一手]1．(2019届高三·海南八校联考)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的最小值是________．解析：f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )2＋sin x ＋cos x －1，令sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤t ≤2，∴原函数可化为g (t )＝t 2＋t －1(0≤t ≤2)．∵函数g (t )＝t 2＋t －1的图象开口向上，其对称轴的方程为t ＝－12，∴当0≤t ≤2时，g (t )单调递增．当t ＝0时，g (t )取得最小值－1.答案：－12．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|的最大值为________．解析：由椭圆定义知|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝210，则|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|＝210＋|QP |.又圆心C (0,6)，半径r ＝2，设椭圆上一点Q 的坐标为(10cos α，sin α)(α为参数)，则|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝－9sin 2α－12sin α＋46＝－9⎝⎛⎭⎫sin α＋232＋50.因为－1≤sin α≤1，所以当sin α＝－23时，|CQ |max ＝50＝52，此时|QP |max ＝|CQ |max ＋r ＝52＋2＝62，即|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|的最大值为210＋6 2.答案：210＋6 2[常用结论——记一番] 三角公式中常用的换元变形(1)对于含有sin α±cos α，sin αcos α的问题，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，建立sin α±cos α与sin αcos α的关系．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式⎝⎛ 如sin α＋cos αsin α－cos α，)sin αcos α，利用tan α＝sin αcos α转化为含tan α的式子．(3)对于形如cos 2α＋sin α与cos 2α＋sin αcos α的变形，前者用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．(4)含tan α＋tan β与tan αtan β时考虑tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.题点技巧(八) 四心定位·向量有法[解题技法——学一招]平面向量与三角形“四心”(内心、外心、重心、垂心)相结合的试题在历年高考试题和模拟题中频繁出现，且往往以向量作为载体对三角形的“四心”进行考查，要求考生掌握三角形“四心”的性质以及在向量运算的基础上读懂向量的几何意义，可快速求解.[典例] 已知△ABC 中，G 是△ABC 的重心，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且56a GA ―→＋40b GB ―→＋35c GC ―→＝0，则B 的度数为________．[解析] 因为G 是△ABC 的重心，根据重心的性质可知GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，所以56a ∶40b ∶35c ＝1∶1∶1，即有7a ＝5b,7c ＝8b ，令a ＝5k (k >0)，则b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可得cos B ＝25k 2＋64k 2－49k 22×5k ×8k＝12，所以B ＝60°.[答案] 60° [技法领悟]本题是一道关于解三角形的题目，熟练掌握三角形重心性质的向量表达式以及余弦定理是解答此题的关键．[经典好题——练一手]1．在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设G 是△ABC 的内心，若AG ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则mn的值为________．解析：∵AG ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，∴AG ―→＝m (GB ―→－GA ―→)＋n (GC ―→－GA ―→)，∴(1－m －n )GA ―→＋m GB ―→＋n GC ―→＝0，∵G 是△ABC 的内心，∴由三角形内心的性质，得2GA ―→＋3GB ―→＋2GC ―→＝0，∴m n ＝32.答案：322．已知△ABC 的外心、垂心分别为O ，H .若OH ―→＝m (OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)，则m ＝________.解析：如图，连接BO 并延长交△ABC 的外接圆于点E ，连接EA ，EC ，HA ，HC ，因为H 是△ABC 的垂心，所以AH ⊥BC ，又BE 为⊙O 的直径，所以EC ⊥BC ，所以AH ∥EC ，同理可证CH ∥EA ，所以四边形AHCE 为平行四边形，故OH ―→＝OA ―→＋AH ―→＝OA ―→＋EC ―→＝OA ―→＋OC ―→－OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→，又OH ―→＝m (OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)，所以m ＝1.答案：1[常用结论——记一番]1．三角形三边中线的交点叫三角形的重心，它到三角形顶点的距离等于到对边中点距离的2倍．三角形重心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.2．三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等．三角形外心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2.3．三角形的三个内角平分线的交点叫三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．三角形内心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0(a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边)．4．三角形三边上的高的交点，叫三角形的垂心，它与顶点的连线垂直于对边．三角形垂心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→.题点技巧(九) 巧妙建系·妙解向量[解题技法——学一招]平面向量作为高考必考内容，常以选择题或填空题的形式出现，而且具有一定难度，若采取建立坐标系的方法，则可在很大程度上降低解题难度.坐标法是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点的坐标表示出来，向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题(平行、垂直、夹角、模)都可以套用相应的公式解决.如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，均可尝试用坐标法解决问题.[典例] 在平面上，已知AB 1―→⊥AB 2―→，|OB 1―→|＝|OB 2―→|＝1，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，若|OP ―→|<12，则|OA ―→|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎭⎫52，2D.⎝⎛⎭⎫72，2 [解析] 连接PB 1，PB 2，由AB 1―→⊥AB ―→2，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，得四边形AB 1PB 2为矩形，故以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，且PB 1∥x 轴，PB 2∥y 轴，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1，A (x 1，y 2)，P (x 2，y 1)，又|OP ―→|＝x 22＋y 21<12，则|OA ―→|＝x 21＋y 22＝2－(x 22＋y 21)∈⎝⎛⎭⎫72，2，故选D.[答案] D [技法领悟]在有关平面向量的模和两向量的夹角的问题中，可建立平面直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标法来求解，更简便、快捷．[经典好题——练一手]1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，则点C 到直线BD 的距离为25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为点P 在圆C 上，所以可设P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ，又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，所以AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ(θ为参数)，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，其中tan φ＝2，故选A. 2.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分(包括边界)运动，若AP ―→＝αAB ―→＋βBC ―→，其中α，β∈R ，则4α－β的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，3＋324 B ．⎣⎡⎦⎤2，3＋52 C.⎣⎡⎦⎤3－24，3＋32 D.⎣⎡⎦⎤3－172，3＋172 解析：选B 如图，以A 为坐标原点，AB ―→，AD ―→的方向分别为x轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，AB ―→＝(2,0)，BC ―→＝(－1,1)，设点P 的坐标为(x ，y )，由题意，知AP ―→＝α(2,0)＋β(－1,1)，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2α－β，y ＝β，则⎩⎨⎧α＝x ＋y2，β＝y ，令z ＝4α－β，则z ＝2x ＋y ，其中z 为直线系y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，结合图形易知当直线y ＝－2x ＋z 与圆相切时，z 取得最大值，此时|－2－1＋z |5＝12，解得z ＝3＋52或z ＝3－52(舍去)，故z 的最大值为3＋52，当直线y ＝－2x ＋z 过点⎝⎛⎭⎫12，1时z 有最小值2.故选B. 题点技巧(十) 正弦余弦·相得益彰[解题技法——学一招] 解三角形问题的求解策略在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．一般来说，当条件中同时出现ab 及b 2，a 2时，往往用余弦定理；当条件中边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的公式进行解答．[典例] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．[解] (1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sinC ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C－8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B ，结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.[经典好题——练一手]1．非直角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A.1534B.154 C.2134或36D.3328解析：选D 因为sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝6sin B cos B ，因为△ABC 非直角三角形，所以cos B ≠0，所以sin A ＝3sin B ，即a ＝3b . 又c ＝1，C ＝π3，由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝1，结合a ＝3b ，可得b 2＝17，所以S ＝12ab sin C ＝32b 2sin π3＝3328.故选D.2.如图所示，圆内接四边形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝4，AD ＝2CD ＝4.(1)求圆的半径R ；(2)若点P 在圆周上运动，求四边形APCD 面积的最大值．解：(1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.连接AC (图略)，因为BC ＝6，AB ＝4，AD ＝4，CD ＝2，由余弦定理可得AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×4×2cos(180°－∠ABC )，解得cos ∠ABC ＝12，因为0°<∠ABC <180°，故∠ABC ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝42＋62－2×4×6cos 60°＝28，故AC ＝27. 由正弦定理得2R ＝AC sin ∠ABC ＝4213，故R ＝2213.(2)易知S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，由(1)可得S △ADC ＝12AD ×CD sin ∠ADC ＝12×4×2×sin 120°＝2 3.易知∠APC ＝∠ABC ＝60°，设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy sin 60°＝34xy .由余弦定理知AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos 60°＝x 2＋y 2－xy ＝28，又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，所以xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，所以四边形APCD 面积的最大值为9 3.题点技巧(十一) 玩转通项·搞定数列[解题技法——学一招]几种常见的数列类型及通项的求法[典例] 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n＝________.[解析] 由a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)得，a n ＋t ＝2(a n －1＋t )(n ≥2)，所以2t －t ＝1，解得t ＝1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＋1＝2，所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.[答案] 2n －1 [技法领悟]形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)的递推公式，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，其中t ＝qp －1，再转化为等比数列求解．[经典好题——练一手]1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝2n (n －1)2D ．a n ＝2n 22解析：选C 因为a n ＋1＝2na n ，所以a n ＋1a n ＝2n ，所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝21×22×23× (2)－1(n ≥2)，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2，所以a n ＝2n (n －1)2a 1＝2n (n －1)2，故选C. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析：由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝⎛⎭⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝⎛⎭⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n (n ＋1). 答案：74－2n ＋12n (n ＋1)[常用结论——记一番] 等差(比)数列的重要结论(1)数列{a n }是等差数列⇔数列{c a n }是等比数列；数列{a n }是等比数列，则数列{log a |a n |}是等差数列．(2){a n }，{b n }是等差数列，S n ，T n 分别为它们的前n 项和，若b m ≠0，则a mb m ＝S 2m －1T 2m －1. (3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，也可化为二次型函数S n＝An 2＋Bn 来分析，注意n ∈N *.(4)等差(比)数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．题点技巧(十二) 掌握规律·巧妙求和[解题技法——学一招]求数列的前n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．(3)错位相减法：若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则对于数列{a n b n }的前n 项和可用错位相减法．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列．[典例] (2018·东北三省三校第二次联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n ，n ∈N *.(1)证明：{a n －n }为等比数列； (2)数列{c n }满足c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)证明：因为a n ＋1＝2a n －n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )．又a 1＝3，所以a 1－1＝2，所以数列{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n －n ＝2·2n －1＝2n .所以b n ＋1＝b n ＋a n －n ＝b n ＋2n ，即b n ＋1－b n ＝2n .b 2－b 1＝21，b 3－b 2＝22，b 4－b 3＝23，…，b n －b n －1＝2n －1.以上式子相加，得b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n(n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝2，满足b n ＝2n ，所以b n ＝2n .所以c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. 所以T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.[技法领悟]求解此类题需掌握三个技巧：一是巧拆分，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的和，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．[经典好题——练一手]1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＋a 5＝8，在数列{b n }中，b 1＝2，其前n 项和S n 满足b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 2＝2，a 3＋a 5＝8， ∴a 1＋d ＝2,2a 1＋6d ＝8，解得a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n . ∵b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)，① ∴b n ＝S n －1＋2(n ∈N *，n ≥2)．②①－②得，b n ＋1－b n ＝S n －S n －1＝b n (n ∈N *，n ≥2)， ∴b n ＋1＝2b n (n ∈N *，n ≥2)． ∵b 1＝2，b 2＝2＋2＝2b 1，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝2n .(2)c n ＝a n b n ＝n 2n ，则T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①则12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－2＋n 2n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题知⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得{a 1＝3，d ＝2，则a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)，∴T n ＝2(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9＋…＋(－1)n (2n ＋1)]．设G n ＝－3＋5－7＋9＋…＋(－1)n(2n ＋1)，则T n ＝8(4n －1)3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8(4n －1)3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8(4n －1)3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8(4n －1)3＋n (n ＝2k ，k ∈N *)，8(4n －1)3－n －2(n ＝2k －1，k ∈N *). [常用结论——记一番]常用裂项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1n ＋1＋n＝n ＋1－n ；(3)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1；(4)n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]；(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；(6)(2n )2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.题点技巧(十三) 求得通项·何愁放缩[解题技法——学一招]数列与不等式的综合是高考的难点，其难点往往在于递推式的合理变形与放缩，举例说明数列的放缩.[典例] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1(n ∈N *)，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解] (1)由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得2S n ＋1＝a n ＋2－2n ＋2＋1，两式相减得a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1，2S 1＝a 2－3⇔a 2＝2a 1＋3，a 3＝3a 2＋4＝6a 1＋13，a 1，a 2＋5，a 3成等差数列⇔a 1＋a 3＝2(a 2＋5)⇔a 1＝1.a n ＋1＝3a n ＋2n ⇔a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n＋2n )，∴数列{a n ＋2n }为首项是3，公比是3的等比数列．则a n ＋2n ＝3n ， ∴a n ＝3n －2n .(2)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<32，当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n ≥⎝⎛⎭⎫322>2⇔3n >2×2n ⇔a n>2n⇔1a n <12n . ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋123＋…＋12n ＝1＋12－12n <32. 由上式得：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[经典好题——练一手]1．已知函数f (x )＝2cos π2x ，x >0，将函数f (x )的零点按从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝1a 2n ＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.解：(1)因为f (x )＝2cos π2x ，x >0，令f (x )＝0，得π2x ＝π2＋k π(k ∈N)，解得x ＝1＋2k (k ∈N)，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)证明：由(1)可知b n ＝1a 2n ＋1＝1(2n ＋1)2<14n 2＋4n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n<14×⎝⎛⎭⎫1－12＋14×⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<14. 2．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1(n ∈N *)．(1)如果a 1a 2，a k ＋1a k ＋2，a 6k ＋1a 6k ＋2成等比数列，求正整数k 的值； (2)求证：∑k ＝1n 1a k≥2(n ＋1－1)．解：(1)(a k ＋1a k ＋2)2＝(a 1a 2)(a 6k ＋1a 6k ＋2)，将已知代入得(k ＋2)2＝2(6k ＋2)，解得k ＝8.(2)证明：由题意知a 2＝2，a n >0，n ∈N *. 当n ＝1时，1a 1＝1>2(2－1)，命题成立．当n ≥2时，由a n ＋1a n ＝n ＋1得a n a n －1＝n ，所以a n (a n ＋1－a n －1)＝1，1a n＝a n ＋1－a n －1.从而有∑k ＝1n 1a k＝1a 1＋∑k ＝2n (a k ＋1－a k －1)＝a n ＋1＋a n －2≥2a n ＋1a n －2＝2(n ＋1－1)．[常用结论——记一番]几种常见放缩形式： (1)1n 2<1n 2－n ＝1n －1－1n ； (2)1n 2<1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1； (3)1n 2<44n 2－1＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)12n (2n ＋1)<1⎝⎛⎭⎫2n －12⎝⎛⎭⎫2n ＋32＝14n －1－14n ＋3；(5)1(n ＋2)3<1(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) ＝12⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)(n ＋2)－1(n ＋2)(n ＋3)； (6)1n n －1＝1n ·n ·n －1 ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ·1n －n －1 ＝n ＋n －1n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n <2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n . 题点技巧(十四) 巧变多联·目标转换[解题技法——学一招]解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； (3)求出目标函数的最大值或最小值．解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，常见几何意义有直线、斜率、距离、面积等，整点问题要验证解决．[典例] 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．[解析] 因为目标函数z ＝|x ＋2y －4|＝5×|x ＋2y －4|5，所以目标函数的几何意义为点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)及直线x ＋2y －4＝0，可知点A (7,9)到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，所以最优解为(7,9)，将最优解(7,9)代入目标函数z ＝|x ＋2y －4|可得目标函数的最大值为21.[答案] 21 [技法领悟]形如z ＝|Ax ＋By ＋C |的目标函数，可变换为A 2＋B 2·z A 2＋B2＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2，联想点到直线的距离公式即可发现z A 2＋B2的几何意义为可行域内的点N (x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离，从而确定目标函数z ＝|Ax ＋By ＋C |取得最值的最优解，将最优解代入目标函数即可求得目标函数的最值．[经典好题——练一手]1．若x ，y 满足约束条件{ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：设点A (x ，y )，点O (0,0)，则目标函数yx 的几何意义是点(x ，y )和点O (0,0)连线的斜率k ，作出约束条件{x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当点(x ，y )为点A (1,3)时，点(x ，y )和点O (0,0)连线的斜率最大，所以目标函数yx 取得最大值的最优解为(1,3)，将最优解(1,3)代入目标函数y x ，可得目标函数yx的最大值为3.答案：32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围是________．解析：目标函数z ＝(x －0)2＋(y －0)2的几何意义为两点(0,0)，(x ，y )间距离的平方，作出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知点(0,0)到直线AB 的距离为两点间距离的最小值，为25，点(0,0)到点C (2,3)的距离为两点间距离的最大值，为13，所以z ＝x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.答案：⎣⎡⎦⎤45，13 题点技巧(十五) 合理配凑·妙解最值[解题技法——学一招]对于基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，当和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；当积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值.然而在实际解题中，这个定值通常不会直接给出，往往需要通过变形和配凑才能得到.[典例] 设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________． [解析] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝ab ＋a (a －b )＋1ab ＋1a (a －b )＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (a －b )＋1a (a －b )≥2ab ×1ab＋2a (a －b )×1a (a －b )＝4，当且仅当ab ＝a (a －b )＝1，即a ＝2，b ＝22时等号成立．[答案] 4 [技法领悟]根据所求式子的特征，拼凑出可利用基本不等式求解的形式．[经典好题——练一手]1．设x >－1，则f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：∵x >－1，∴x ＋1>0，∴f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝－3(舍去)或x ＝1时取等号，故当x ＝1时，f (x )取得最小值9.答案：92．正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：由1a ＋1b ＝1可得a －1＝a b ，b －1＝b a ，则4a －1＋16b －1＝4b a ＋16ab ≥16，当且仅当4b a ＝16a b ，即a ＝32，b ＝3时等号成立．故4a －1＋16b －1的最小值为16. 答案：16题点技巧(十六) 绝对值题·四法破解[解题技法——学一招] 含绝对值问题的解法(1)定义讨论法由于利用定义可以把绝对值去掉，因此往往需要分类讨论．其方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可．(2)性质平方法因为绝对值的性质有|a |2＝a 2，利用此性质可把绝对值去掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较复杂，另外要注意何时才能平方，防止出现增根．(3)等价转化法(合二为一)利用绝对值的性质等价转化，去绝对值，如：|ax ＋b |<c ⇔－c <ax ＋b <c ，|ax ＋b |>c ⇔ax ＋b >c 或ax ＋b <－c . (4)数形结合法利用函数的图象解含有绝对值的不等式． [典例] 设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；。

2020高考数学知识难点复习梳理

2020 高考数学知识难点复习梳理失败是什么?没有什么，只是更走近成功一步;成功是什么?就是走过了所有通向失败的路，只剩下一条路，那就是成功的路。

接下来是小编为大家整理的2020 高考数学知识难点复习，希望大家喜欢!第一、基本公式用错等差数列的首项为a1、公差为 d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前 n 项和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2= (a1+an)d/2 ;等比数列的首项为 a1、公比为 q，则其通项公式 an=a1pn-1，当公比 q≠1时，前 n 项和公式 Sn=a1(1-pn)/(1-q)= (a1-anq)/(1-q)，当公比 q=1 时，前 n 项和公式 Sn=na1。

在数列的基础题中，等差、等比数列公式是解题的根本，一旦用错了公式，解题也失去了方向。

第二、an，Sn 关系不清致误在数列题中，数列的通项 an 与其前 n 项和Sn 之间存在着关系。

这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是关系式分段。

在 n=1 和 n≥2 时，关系式具有完全不同的表现形式，这也是考生答题过程中经常出错的点，在使用关系式时，要牢牢记住其“分段”的特点。

当题目中给出了数列{an}的an 与Sn 之间的关系时，这两者之间可以进行相互转换，知道了an 的具体表达式，就可以通过数列求和的方法求出Sn;知道了 Sn，也可以求出an。

在答题时，一定要体会这种转换的相互性。

第三、等差、等比数列性质理解错误等差数列的前 n 项和在公差不为 0 时是关于n 的常数项为 0 的二次函数。

一般来说，有结论“若数列{an}的前 N 项和 Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是 c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N_是等差数列。

解答此类题时，要求考生全面考虑问题，考虑各种可能性，认为正确的就给予证明，不正确就举出反例驳斥。

等比数列中，公比等于-1 是特殊情况，在解决相关题型问题时值得注意。

【备考2020】高考二轮复习数列知识点总结以及解题技巧学案

数列问题知识点总结以及解题技巧等差数列1．等差数列、公差的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．根据公差的范围可把等差数列分为以下三种类型：2．等差数列的性质：①定义公式：a n － a n-1（n ≥2）= a n+1－ a n = d ． ②通项公式：a n =a 1+（n －1）d=a k +（n －k ）d ．注：a n 是关于n 的一次型代数式，即可写成a n = kn+b ，其中k 的系数为公差． ③公差公式：p q a a d p q-=-．公差是等差数列的图象的斜率．④中项公式：2a n =a n-1+a n+1（n ≥2）．（存在性与唯一性）⑤换和公式：m 、n 、p 、q ∈N +， m+n=p+q ⇒a m +a n =a p +a q （可推广）． ⑥求和公式：()()d n n n n a a a S n n 21211-+=+=．注：S n 是关于n 的二次型代数式，且无常数项，即可写成S n = an 2+bn ，其中n 2的系数为公差的一半．3．子数列：若{a n },{b n }是等差数列，公差分别为d 1、d 2，则以下数列为{a n }的子数列：等比数列1．等比数列，公比的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（在等比数列中，各项与公比都不为0）．根据公比和首项的范围可把等比数列分为以下四种类型：2．等比数列的性质：①定义公式：1n n a a -（n ≥2）=1n naa += q ．②通项公式：a n =a 1 q n-1 = a k q n-k ．注：a n 是关于n 的指数式与非零常数的乘积，即可写成a n =a ·b n （ab ≠0），其中指数式的底数为数列的公比．③中项公式：a 、b 、c 成等比数列⇔b 是a 与c 的等比中项，b 2=acb ⇔=；（存在性与唯一性）{a n }为等比数列⇔2n a =a n+1a n-1．④换积公式：m 、n 、p 、q ∈N +，m+n=p+q ⇒a m a n =a p a q （可推广）． ⑤求和公式：当1q =，时1n S na =；当1q ≠时11(1)11n n n a a q a q S q q--==--．注：公比不为1时，S n 是关于n 的指数式与与非零常数的乘积，再减去该常数，即可写成S n = a ·b n -a （ab ≠0），指数的底数为数列的公比．3．子数列：若{a n },{b n }是等比数列，公比分别为q 1、q 2，则以下数列为{a n }的子数列：子数列 {}kn b a + {a n k } {|a n |}{pa n b n } 公比q 1kq 1k||q q 1q 2首项a kb +a 1k1||apa 1b 1（k 、b 、p 为常数，p 0≠，k 、b ∈Z ，k 2+b 20≠，S 0=0，有时要规定q 1≠或q 1≠-）常见题型及处理方法1．判断和证明数列是等差（等比）数列常用四种方法：（1）定义法：对于2≥n 的任意自然数，验证)(11---n nn n a a a a 或为同一常数；（2）通项公式法：验证(,0)n n n a an b S kq kq =+=≠对*N n ∈都成立；（3）中项公式法：验证)(222121++++=+=n n n n n n a a a a a a 对*N n ∈都成立；（4）求和公式法：验证2(,0)n n n S an bn S kq k kq =+=-≠对*N n ∈都成立．例：已知数列{a n }的首项 a 1＝5，前n 项和为S n, 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．求证：数列{a n ＋1}是等比数列．[答案]数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.2．求数列通项公式的常用方法（1）观察归纳法：由特殊到一般．例：数列14，12，34，1，54，32，…的一个通项公式为________．[答案] a n ＝n4（2）公式法：等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.例：在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求数列的通项公式．[答案]a n ＝2n －7，或a n ＝－2n ＋13.（3）累和法：若a n -a n-1=f （n ）（n ≥2），a 1=a ，求a n ．（其中f （n ）可以为等差、等比）例：已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1nn －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．[答案]a n ＝2n －1n(n ∈N *)．（4）叠乘法：若1nn a a -=f （n ）（n ≥2），a 1=a ，求a n ．例：已知数列{a n }，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，求通项公式a n .[答案]a n ＝1n(n ∈N *)．3. 数列求和的常用方法：（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（2）裂项相消法：适用于数列}{1+n n a a c（其中}{n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数）及部分无理数列(如数列等；例：求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++3)1)(2n (2n 1的前n 项和．[答案]S n ＝n6n ＋9. （3）错位相减法：适用于}{n n b a ，其中}{n a 是等差数列，}{n b 是各项不为0的等比数列；例：求数列12，34，58，716，…，2n －12n 的前n 项和． [答案]S n ＝3－2n ＋32n. （4）倒序相加法：①类似于等差数列前n 项和公式的推导方法；②适用于求12012nn n n n a a C a C a C ++++L （其中a 0,a 1，…，a n 成等差数列）的和．（5）{|a n |}的前n 项的和：若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，用T n 表示{|a n |}的前n 项和，则：①当a k ≥0＞a k+1时，()2()n n k n S n k T S S n k ≤⎧=⎨->⎩；当a n ≥0时，T n = S n ．②当a k ≤0＜a k+1时，()2()n n nk S n k T S S n k -≤⎧=⎨->⎩；当a n ≤0时，T n =－S n ．例：在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和．[答案]数列{|a n|}的前n 项和S ′n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n n ≤2032n 2－1232n ＋1 260n>20数列求通项解题技巧1，遇到形如“k pa a n n +=+1”（其中p 、k 为常数）的数列，可将其转化为“)(1c a p c a n n +=++”（其中c 为常数，待求）的形式，证明{c a n +}为等比数列 Eg.41211+=+n n a a ，求{n a }的通项2，递推公式中含有n S 或常数时，再列一个关于（n-1）的递推公式，然后两式相减消去n S 或常数。

高考数学二轮复习重要知识点总结

2019高考数学二轮复习重要知识点总结作者：佚名第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2019年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破难点6数列中的证明探索性和存在性不定方程的解等综合问题

[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，由题意得，11＋＋d5＝d＝q2q4，解得 d＝0 或 3，因数列{an}，{bn}单调递增，所以 d＞0，q＞1，所以 d＝3，q＝2，所以 an＝3n－2，bn＝2n－1. 因为 a1＝b1＝1，a2＝b3，a6＝b5，b7＞a20. ∴c20＝a17＝49.
由 3n＝2m－1，得 m＝3n＋2 1，3n是奇数，3n＋1 是正偶数，m 有正整数解，所以等比数列{bn}的项都是等差数列{an}中的项，所以 Sn＝n2. 综上所述，数列{cn}的前 n 项和 Sn＝nn＋2 1或 Sn＝n2.
(3)存在等差数列{an}，只需首项 a1∈(1，q)，公差 d＝q－1. 下证 bn 与 bn ＋ 1 之间数列 {an} 的项数为 bn ，即证对任意正整数 n ，都有
bn＜ab1＋b2＋…＋bn－1＋1， bn＋1＞ab1＋b2＋…＋bn，
即 b bn n＜＋1＞ a1＋ aq 1＋＋q …＋＋… qn ＋－ qn 2＋－1 1
成立．
由 bn－a1＋q＋…＋qn－2＋1＝qn－1－a1－(1＋q＋…＋qn－2)(q－1)＝1－a1＜0，
2019/6/9Biblioteka 最新中小学教学课件20
谢谢欣赏！
2019/6/9
最新中小学教学课件
21
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很

2019版二轮复习数学(理高考5个大题题题研诀窍数列问题重在“归”——化归

理由如下：由条件可得na＋n＋11＝2nan，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[题后悟道] 等差、等比数列基本量的计算模型
(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝
2(n＋1)an.设bn＝ann.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．[ Nhomakorabea审题]求什么判断数列{bn}是等比数列，想到判断等比数列的方法．
想什么求{an}的通项公式，想到求 bn 的通项公式．
(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若bn＋1>bn对任意n∈N *恒成立，
求实数a的取值范围．解：(1)因为 an2＝Sn＋Sn－1(n≥2)，所以 an2＋1＝Sn＋1＋Sn. 两式相减，得 an2＋1－an2＝an＋1＋an. 因为 an>0，所以 an＋1－an＝1. 又 a1＝1，所以{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列．所以 an＝n.
“专题过关检测”见“专题检测(十)” (单击进入电子文档)
(2)因为 bn＝(1－an)2－a(1－an)，且由(1)得 an＝n，所以 bn＝(1－n)2－a(1－n)＝n2＋(a－2)n＋1－a，所以 bn＋1＝(n＋1)2＋(a－2)(n＋1)＋1－a＝n2＋an. 因为 bn＋1>bn 恒成立，所以 n2＋an>n2＋(a－2)n＋1－a，解得 a>1－2n，所以 a>－1. 则实数 a 的取值范围为(－1，＋∞)．

2019-2020学年高考数学专题复习通项公式教案新人教A版.doc

2019-2020学年高考数学专题复习通项公式教案新人教A 版采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。

当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360ix +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。