高一数学直线与圆之间的位置关系
高一数学下册《直线、圆的位置关系》知识点整理知识点总结
高一数学下册《直线、圆的位置关系》知识点整理知识点总
结
大学网为大家整理了直线、圆的位置关系知识点整理，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。
直线和圆的位置关系
1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①dR,直线和圆相离.
2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
切线的性质
⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.
切线的判定定理
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线长定理
从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
看了上文为大家整理的直线、圆的位置关系知识点整理是不是感觉轻松了许多你呢?一起与同学们分享吧.。
人教版数学高一-必修2学案 4.2.1直线与圆的位置关系
4．2.1直线与圆的位置关系基础梳理直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：练习1：直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．练习2：(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．►思考应用如何求直线被圆所截得的弦长？解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22. ②利用弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].自测自评1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是(B )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心(0，0)到直线的距离为|1|12＋12＝12<1，且(0，0)不在直线y ＝x ＋1上，故选B .2．下列说法中正确的是(D )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点解析：A 为相交，B 、C 中的直线有无数条．3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为(C )A ．2 2B .2－1C ．22－1D ．14．已知直线x ＝a(a>0)和圆(x －1)2＋y 2＝4相切，那么a 的值是(C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵|a －1|＝2，又a>0，∴a ＝3.5．经过点M(2，1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为(C )A .2x ＋y －5＝0B .2x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：设过点M 的圆的切线上任一点的坐标为(x ，y)，∵点M(2，1)在圆x 2＋y 2＝5上，∴y －1x －2·1－02－0＝－1，即2x ＋y －5＝0.题型一 判断直线与圆的位置关系题型二 圆的切线方程题型三 直线与圆相交的问题题型四 直线与圆有关最值问题基础达标1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是(B )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1，2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0. 2．已知点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是(D )A ．6B ．8C ．3－ 2D ．3＋ 2解析：直线AB 的方程是x －2 ＋y 2＝1，∣AB ∣＝22，则当△ABC 面积最大时，边AB 上的高即点C 到直线AB 的距离d 取最大值．又圆心M (1，0)，半径r ＝1，点M 到直线的距离为322，由圆的几何性质得d 的最大值是322＋1，所以△ABC 面积的最大值是12×22·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝3＋ 2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是(D)A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0 解析：圆心为C (2，0)，则直线CP 的斜率为3－01－2＝－3，又切线与直线CP 垂直，故切线斜率为33，由点斜式得切线方程：y －3＝33(x －1)即x －3y ＋2＝0.4．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为(A )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝05．已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1，2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)， 则由|2－k |k 2＋1＝2得k 1＝0，k 2＝－43， 故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. 巩固提升6. 圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝17．若实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值为(D) A.12 B.33 C.32D. 3 解析：方程(x －2)2＋y 2＝3的曲线是以A (2，0)为圆心，以3为半径的圆，实数x ，y 是圆上的点P (x ，y )的坐标，而y x是直线OP 的斜率，由下图可知当点P 在第一象限且OP 为圆的切线时，k 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝3，y x ＝k ，得(1＋k 2)x 2＋1－4x ＝0， Δ＝12－4k 2＝0，有k ＝±3.∴k 最大即y x最大为 3.故选D. 8．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b < 2.答案：1≤b < 29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1)求证：直线l 恒过定点；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；(3)当m ＝0时，求直线l 被圆C 截得的弦长．解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0.∵m ∈R ，∴⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (3，1)．(2)圆心C (1，2)，|AC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5<5，∴点A 在圆C 内．从而直线l 与圆C 相交(无论m 为何实数)．(3)当m ＝0时，直线l 的方程为x ＋y －4＝0，圆心C (1，2)到它的距离为d ＝|1＋2－4|12＋12＝12. ∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝225－12＝7 2.1．判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法．(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离；(2)判断圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：当d <r 时，相交；当d ＝r 时，相切；当d >r 时，相离．2．设切线方程时，若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况．3．直线与特殊圆相切，切线的求法．(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，则切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；(3)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为：y＝kx±r1＋k2；斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y ＝kx＋m，然后变成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
高一数学必修一听课记录十篇
高一数学必修一听课记录十篇第一篇：直线与圆的位置关系在高一数学必修一课程中，我们学习了直线与圆的位置关系。
这一部分主要讲述了直线与圆的相交、相切和相离的情况。
当一条直线与一个圆相交时，可能有两个交点、一个交点或没有交点。
当直线与圆相切时，有且仅有一个切点。
当直线与圆相离时，没有交点。
通过学习这些情况，我们可以更好地理解直线和圆的几何关系。
第二篇：平面向量的概念与运算在高一数学必修一课程中，我们学习了平面向量的概念与运算。
平面向量是由大小和方向组成的，可以表示为有向线段。
我们可以通过平移、加减、数乘等运算来操作平面向量。
平面向量的运算可以帮助我们解决平面几何中的一些问题，如线段的中点、向量的共线与垂直等。
第三篇：平面向量的数量积在高一数学必修一课程中，我们学习了平面向量的数量积。
平面向量的数量积是两个向量的乘积，结果是一个数。
数量积有几何意义和代数意义。
几何意义上，数量积可以用来求两个向量的夹角。
代数意义上，数量积可以用来求向量的模长、向量的投影等。
掌握了平面向量的数量积，我们可以更深入地了解向量的性质和应用。
第四篇：一元二次方程的基本概念在高一数学必修一课程中，我们学习了一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值。
我们通过配方法、求根公式等方法来解一元二次方程。
一元二次方程在数学中应用广泛，如抛物线的研究、物体的抛体运动等。
第五篇：一元二次方程的图像与性质在高一数学必修一课程中，我们学习了一元二次方程的图像与性质。
一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过求顶点、轴线、判别式等来确定抛物线的特征。
一元二次方程的性质包括：对称性、凹凸性、最值等。
研究一元二次方程的图像与性质可以帮助我们更好地理解方程与图像之间的关系，以及解决实际问题。
第六篇：函数的概念与性质在高一数学必修一课程中，我们学习了函数的概念与性质。
高一数学直线与圆的位置关系1
讨论：能否根据两个圆的公共点的个数 判断两圆的位置关系？ 方法：联立两圆的方程构成方程组；再 根据方程组的解的个数判断两圆的位置 关系。
典例讲解
例1、 已知：
圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，
圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0， 判断圆C1与圆C2的位置关系.
知识探究（三）
若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0
和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相
交，则其公共弦所在直线的方程 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 是 ：
知识探究（四）
若圆O：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线
Ax+By+C=0有公共点，则经过它
们的交点的圆系方程是：
x y Dx Ey F ( Ax By c ) 0
与圆
x y 6 y 28 0
2 2
的交点的圆的方程。
作业： 教材：P130 练习
P133习题9、10、11
《学海》第四章第4课时
；
/macd/ macd指标详解 ； 2019.1
就照我说的办.娜塔莎,听从你政委姐姐的话,注意,要好好瞄准敌人的观察口！" 李小克还记得自己给妻子的承诺,作为副师长要给全师负责,不会愚蠢的像个下级连长帅兵猛攻.但是杀红了眼睛谁在乎,再者时间非常宝贵！它些承诺暂且放在一边战机稍纵即逝. 因为胳膊的伤刚好,还不能 疯狂的抱着冲锋枪一通扫射,卖力气的活儿由属下负责,此刻的他就是监军的存在. 此刻,一部分德军被叶甫根尼的营狠狠拖住,一部分依靠着装甲列车战斗.李小克率领二百多人从街道迂回,他们遭遇了轻微的抵
直线与圆的位置关系取值范围
直线与圆的位置关系取值范围
直线与圆的位置关系可以从以下几种情况进行描述：
1. 直线与圆相离：直线与圆无交点，直线在圆的外部。
此时直线与圆的位置关系可以通过计算直线到圆心的距离和圆的半径来确定。
如果直线到圆心的距离大于圆的半径，则直线与圆相离。
2. 直线与圆相切：直线与圆有且仅有一个交点，直线切到圆的边界上。
此时直线与圆的位置关系可以通过计算直线到圆心的距离和圆的半径来确定。
如果直线到圆心的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
3. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点，直线穿过圆的内部。
此时直线与圆的位置关系可以通过计算直线到圆心的距离和圆的半径来确定。
如果直线到圆心的距离小于圆的半径，则直线与圆相交。
对于直线与圆的位置关系取值范围来说，并没有明确的数学表达式或范围，因为这会受到直线方程和圆的方程具体形式的影响。
在具体问题中，可以根据直线和圆的方程，通过求解方程组或使用几何方法，来确定直线与圆的位置关系。
2022-2023学年高一数学：直线与圆的位置关系的实际应用
故所求圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x 2 ＋y 2 ＋3x－3y－8＝0.
最长弦、最短弦问题
(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
|AB| 2r .
(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
|PQ| 2 r 2 d 2 .
围．
y
练一练
D
.C(0,1)B
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(1)
x－22＋y2的最值；
分析： x－22＋y2表是点 P(x,y)与定点(2,0)的距离．
解： x－22＋y2表示圆上的动点 P(x, y)与定点(2,0)的距离．
∵圆心 C(0,1)与定点(2,0)的距离是 2－02＋0－12＝ 5，
x－a
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题．
2.过直线与圆的交点
的圆系方程
典例3
已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4的交点，且圆C的圆心在
直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．
圆的半径是 1，
∴ x－22＋y2的最小值是 5－1，最大值是 5＋1.
O
.
A(2,0) x
y
练一练
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(2)
y＋2
的最小值；
x＋1
y＋2
分析：
表示点 P(x, y)与定点(－1,－2)连线的斜率.
高一数学直线和圆的位置关系2
d
A B
2
2
d>r
d=r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d<r
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
Ax By C 0 设方程组 2 2 2 ( x a) ( y b) r 的解的个数为 n
△<0
△=0 △>0
n=0Leabharlann 直线与圆相离n=1
n=2
直线与圆相切
y 1 1 x2 3.若方程组 y k x 2
A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
有唯一解，求K的
取值情况。
; ; ; orz25msr ;
再做几个菜，把米饭也热一热。对啦，再做一大锅西红柿鸡蛋挂面汤吧，他们三个辛苦赶路，一定饥渴了。”说着话，就要起 身。小青赶快强打精神站起来，对乔氏说：“姆妈，你歇着吧，我知道弟弟妹妹们喜欢吃什么！”耿直把软皮箱靠墙边上放了， 拉过小东伢来，从上到下看了两遍后，惊喜地说：“小东伢，你几岁了？”小东伢没有说话，只是举起一个巴掌轮流动动手指 头。耿直说：“五岁啦？好伢子，你活脱脱就是一个小块头的东伢子啊！”小家伙却瞪着一双黑眼珠说：“你们大人都光顾自 己的事情，一会儿哭一会儿笑的，我还不知道应该怎么叫你们呢！”东伢子和耿正这个时候正好进来了。东伢子说：“爹这就 告诉你，这个是大舅爷，这个是二舅爷，这个是姨姨！”小家伙忽闪着一对大眼睛看过每一个人后，问乔氏：“婆婆，是真的 吗？”乔氏点点头说：“是真的！”小东伢立马就高兴地笑了，大声嚷着：“噢，我终于有舅爷和姨姨嘞！以前都是别人有， 就我没有。现在我也有啦！”随后就扑上来挨着个儿叫，大家的脸上终于露出了笑容。想着耿大哥的事情还没有问清楚，乔氏 含着笑的眼里又流下了心酸的泪水。耿正赶快过来拉起乔氏的手，东伢子递来一块干毛巾，耿正接过来替乔氏擦去满脸的泪水， 轻轻地说：“娘娘，你莫要伤心着急，先知道我爹早已经不在人世就行了。等一会儿咱们吃完了饭，我慢慢说给您听好吗？” 乔氏听话地点点头，轻轻地说：“好的，吃了饭再告诉我吧。”午饭都做好和重新热好了，大家围坐在圆桌边上吃饭。虽然刚 刚经历了久别重逢的大喜和大悲，但耿正兄妹三人对这顿味道熟悉的饭菜还是吃得非常香甜。45第九十七回 祭“灵车”激走 抢劫贼|（上善若水扬美德，厚德载物展胸襟；民间多少感人事，何惧恶人起祸端。）大家坐在一起高高兴兴地吃完午饭，耿 大业招呼两个伙计过来把面盆儿碗碟什么的都拾掇到大厨房里去洗刷，自己和妻儿依然随意坐了和耿正兄妹三个继续聊天儿。 聊了一会儿以后，耿正看看天色尚早，就对耿大业夫妇说：“大白骡好脚力，今儿个再走三十里路没有问题的。我们着急回老 家去呢，咱们就此告辞吧！”耿大嫂不依，说：“知道你们急着回老家去。但说什么也得住一晚上啊，我们还有很多话没有说 呢！”耿大业也说：“你们看，这大厅的两边各有一大间卧房呢，大床小床的宽敞得很。我和两位兄弟睡一边，妹子你和嫂子 带小铁蛋儿睡一边。这有多么方便啊！”耿正看耿大业夫妇实在不想让走，就对弟弟和妹妹说：“那咱们今儿个就别走了，住 一晚上吧。唉，也是，这一走了，以后再想见面可就难了啊！”耿英说：“只是，又要给大哥大嫂添麻烦了！”耿大业夫妇高 兴地说：“太好了！要说麻烦，大哥大嫂巴不得能多麻烦几天
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
直线与圆的位置关系说课稿市公开课一等奖公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
求出鉴别式Δ旳值，
…………
若Δ＞0， 则直线与圆相交； 若Δ＝0， 则直线与圆相切； …… 若Δ＜0， 则直线与圆相离． ……
问题1 问题2 问题 3 练习1
联立方程组 消元得方程 计算鉴别式
比较大小值
分析得结论
练习2 小结作业
过程分析 探索研究、处理问题
⑷形成通法
直线与圆旳位置关系旳鉴定
几何法：利用点到直线旳距离
问题1 问题2 问题 3 练习1 练习2 小结作业
过程分析 切入主题、提出课题
设计意图
设问1：你能用初中所学旳平面
几何知识来处理这一问题吗？ 直线与圆有三种位置关系： ⑴直线与圆相交， 有两个公共点； ⑵直线与圆相切， 只有一种公共点； ⑶直线与圆相离， 没有公共点．
这么设计，让学生 充分参加，自己动手 画图，建立数学模型， 引导学生主动回忆初 中所学直线与圆旳三 种位置关系及判断措 施．
这是对教科 书引例旳改
旳距离为
OM
1 0 2 0 80
16
5,
12 22
在Rt△COM中，CM OC 2 OM 2 4,
y
B D MC
则 CD 2 CM 8， 轮船不变化航线，受
编．利用直线 与圆旳方程， 计算出了直线 与圆旳相交弦 长．教学中， 一直围绕实际
O
x
A
到暗礁影响 问题旳处理， 旳距离为8千米 探究直线与圆
旳位置关系旳
有关问题．
问题1 问题2 问题 3 练习1 练习2 小结作业
过程分析 新知应用、深化了解
设计意图
练习2：
已知过点 M(－3, －3) 旳 直线 l 被圆 x2＋y2＋4y－21＝0 所截得旳弦长为4，求直线 l 旳 方程．
高一数学 直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)
专题二 直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：直线和圆的位置关系的应用 教学过程：第一部分 知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。
高一数学圆与圆的位置关系
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系.
而5 10 3 5 5 10 即 | r1 r2 | 3 5 | r1 r2 |
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A，B.
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系.
C2 : ( x 2) 2 ( y 2) 2 ( 10) 2
C1的圆心(1,4),半径为r1 5 C2的圆心(2,2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2) (4 2) 3 5
2 2
| r1 r2 | 5 10
| r1 r2 | 5 10
( x a) 2 ( y b) 2 r12 设方程组 2 2 2 ( x c) ( y d ) r2 的解的个数为 n
△<0
△=0 △>0
n=0
两个圆相离
n=1
n=2两个圆相切两个相交例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系. 把圆C1和圆C2的方程化为标准方程： 解法一： 2 2 2 C1 : ( x 1) ( y 4) 5
x 2x 3 0
2
(4)
则 (2) 4 1 (3) 16 0
2
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2， 把x1,x2分别代入方程(3)，得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2).
高一数学直线与圆的位置关系1
第二课时 直线与圆的位置关系
学习目标
理解直线与圆以及圆与圆的位置关 系，直线和圆的方程的简单应用. 理解坐标法，知道空间直角坐标系 的概念，用空间直角坐标系刻画点的位 置，空间两点间的距离公式.
【问题４】直线与圆的位置关系分析
例1经过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝4 的切线，求切线的方程和切线长.
线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P、
Q分别在正方体的对角线AB和棱CD上运动，
设正方体的棱长为1，求|PQ|的最小值.
z
B
D
OP
Q Cy
M
A x
作业： P91阶梯练习：B级，C级.
A
C2
B C1
(x－3)2＋(y－1)2＝5
【问题6】空间点的坐标与距离
例5 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知 AB＝a，C1C＝2a，点E、F分别为AB、B1C1 的中点，按如图所示建立空间直角坐标
系，写出点E、F的坐标，并求点E与F之
间的距离.
z A1 C1
B1 F
AE xC
By
例6 如图，以正方体的三条棱所在直
神途发布网 神途发布网
【问题5】圆与圆的位置关系分析
例3 已知两圆O1：x2＋y2＋2x－4y－11 ＝0和O2：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，试判 定两圆的位置关系，若相交，求公共弦 的长.
O1
O2
例4 已知圆C1经过点A(4，－1），且 与圆C2：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点 B(1，2），求圆C1的方程.
y
3x＋4y－10＝0和x＝2
Ｐ
切线长为１
O
x
第一部分 第二章 §2 2.3 第一课时 直线和圆的位置关系
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0，
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
(1＋m2)x2－2(m＋2)x＋1＝0. Δ＝4(4m＋3)． 3 ∴当Δ>0即m>－4时，直线与圆相交； 3 当Δ＝0即m＝－4时，直线与圆相切； 3 当Δ<0即m<－4时，直线与圆相离．
法二：将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝4. 得圆心C(2,0)，半径r＝2， |2m－1| 圆心C到直线mx－y－1＝0的距离d＝ 2. 1＋m 2m－12 3 当d<2，即 <4，m>－4时，直线与圆相交； 1＋m2 3 当d＝2，即m＝－4时，直线与圆相切； 3 当d>2，即m<－4时，直线与圆相离．
＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？ 提示：相交．
1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与
圆 相交、相切 、 相离 ． 2．直线与圆位置关系的判定 方法 条件 位置关系 相交 0≤d< r 几何法 代数法： 联立直线与圆的方程得 一元二次方程，判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
高一数学直线与圆的位置关系
典型例题
3x y 6 0 和圆心为C的 例1 如图，已知直线l： 2 2 x y 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆
果相交，求它们交点的坐标． 解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0, 2 2 x y 2 y 4 0.
例2 已知过点 M (3,3) 的直线被圆 x 2 y 2 4 y 21 0 所截得的弦长为 4 5 ，求直线的方程．
解：即： | 3k 1 |
5 5k 2
2
两边平方，并整理得到： 2k 3k 2 0
1 解得： k ，或k 2 2
所以，所求直线l有两条，它们的方程 分别为： 1 y 3 ( x 3) 或 y 3 2( x 3) 2
果相交，求它们交点的坐标． 解法二：圆 x y 2 y 4 0可化为 x ( y 1) 5.
2 2
2
2
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 直线 l 的距离
5，点C （0，1）到
d
| 3 0 1 6 | 32 12
5 5 10
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
方法二：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半 径r的关系．如果d< r ，直线l与圆C相交；如果d= r ， 直线l与圆C相切；如果d> r ，直线l与圆C相离．
知识小结
有无交点，有几个．
判断直线与圆 的位置关系
直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解，有几个解．
判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系（大 于、小于、等于）．
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
高一数学直线与圆的位置关系
所以直线l与圆相切 有一个公共点
例1.已知直线 l : 3x y 6 0与圆 x y 2 y 4 0 判断l与圆的位置关系 解：代数法 y B 联立圆和直线的方程得 ① 3x y 6 0 2 2 x y 2y 4 0 ② 由①得 C y 3x 6 ③ 把上式代入② A O 2 x 3x 2 0 ④
a
A
α 符号: a a 面 简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直
线面垂直的性质
• 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的 两条直线平行。
a a // b b
a
b
a a b a // b a // b b
D1 A1 B1 C1
D A B
C
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直
D1 C1
A1
D A
B1
C B
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直作业讲评 P134 A2 （2）
解：设所求圆的方程为：
2 2
x
(3)2 4 1 (2) 1 0
所以方程④有两个不相等的实根x1，x2 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 所以直线l与圆有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2)
练习
解：代数法 联立圆和直线的方程得 ① y x 6 2 2 ② x y 2 y 4 0 把①代入②
x2 y 2 2 y 4 0 2 2 x ( y 1) 5
圆心（0，1） r 5 设C到直线l的距离为d
d C
直线与圆的位置关系
问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气 问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 台风中心位于轮船正西70KM处, 象台的台风预报 台风中心位于轮船正西 处 受影响的范围是半径为30KM的圆形区域 已知港 的圆形区域.已知港 受影响的范围是半径为 的圆形区域 口位于台风中心正北40KM处,如果轮船不改变航 口位于台风中心正北 处 如果轮船不改变航 那么这艘轮船是否会受到台风的影响? 线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响 那么这艘轮船是否会受到台风的影响
2 2
㈢发散创新
2 2 的最大与最小值. 3．已知实数x, y满足 x + y = 4 ，求y-x的最大与最小值. 已知实数 满足 的最大与最小值
解法一： 解法一：
设y-x=b则y=x+b,代入已知，得 x=b则y=x+b,代入已知， 代入已知
2 x 2 + 2 bx + b 2 4 = 0 ∴ = 4 b 2 8( b 2 4) = 4( b 2 8) ≥ 0 ∴ 2 2 ≤ b ≤ 2 2
2 2 2 2
y
O
x
直线与圆相切； 当b=2 2 或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切； 直线与圆相离。 当b>2 2 或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
解法二(利用d 的关系) =4的圆心为 的圆心为（ 半径为r=2 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2 圆心到直线的距离为 d
长春八中
高一数学组
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？ 、点和圆的位置关系有几种？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
解由①②组成的方程组 得：b 3 ，r 5
圆O 的方程为x2 ( y 3)2 25 .
变式演练
求经过A(2, 1), 和直线x y 1相切，且圆心 在直线y 2 x上的圆的方程。
y
解：设圆的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r 2
圆心在直线 y 2 x上
2
当m 2 5时，直线被截得弦长为2.
变式演练
已知过点M (3, 3)的直线l被圆x y 4 y 21 0所截得的弦长
2 2
为4 5，求直线l的方程
解：将圆的方程写成标准形式，得
y
o
x ( y 2) 25,
2 2
如图2-3-9，因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5, 所以
P
x
已知圆方程为x y r (r 0) (1)若点P( x0 , y0 )在圆上
2 2 2
O
直线x0 x y0 y r 2 表示以( x0 , y0 )为切点的切线方程
(2)若点P( x0 , y0 )在圆外
直线x0 x y0 y r 2表示什么呢？
(2) 已知圆的方程为x 2
复习回顾
1.点与圆的位置关系 :
2 2 2 点 p( x0 , y0 )，圆方程( x a) ( y b) r (r 0)
P( x , y )
0 0
P( x , y )
0 0
P( x , y )
0 0
(a,b)
d为点P到圆心(a,b)的距离.
(1)点P( x y )在圆上 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
A. 1或-1 B. 2,或-2 C. 1 D. -1
2.若过两点A(1,0), B(0,2)的直线与圆( x 1)2 ( y a)2 1相切，则a ？
4a x y 直线方程为 1即2 x y 2 0 圆心到直线的距离 1 1 2 5
a 4
5
y
b 2a (1)
O
C
A
x
又经过点A(2,1) (2 a)2 (1 b)2 r 2 (2)
因为圆与直线 x y 1相切 | a b 1 | r (3) 2
由(1)(2)(3)得：a 1, b 2, r 2
k AC
b 1 1 a2
4 5 弦心距为 5 ( ) 5 2 即圆心到所求直线 l 的距离为 5 。
2 2
M （-3，-3）
l
x
因为直线l过点M （-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3)
即kx-y+3k-3=0
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的距离 d
2 3k 3 k 1
2 设两交点A x1, y1 , B x2 , y2
4 m2 5 由 知x1 x2 m, x1 x2 5 5 2 则弦长 AB 1 22 x1 x2 4 x1 x2 2
m2 5 4 得m 2 5 即 5 m 45 2， 5 5
2 1
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的 切线，切点为A、B。 求切线直线PA、PB的方程；
2 1 -1 O -1
y
C
A
x
B 1 2
P
解：由题知切线斜率存在则设方程为：y 1 k ( x 2)
即 kx y 2k 1 0. 由已知圆C的圆心为（1，2），半径为 2
值情况
1、直线和圆相离
有一个交点时
C2
d r
0
2、直线和圆相切
有两个交点时
C2
d r
d r
0 0
3、直线和圆相交
C2
几何方法 代数方法
反馈练习
（x 1 ） y 已知直线方程为 x y m 0 ，圆方程为
2
2
1
则当m为何值时，直线与圆（1）相切 ； (2)相离 ；（3）相交
y r , P( x . y )是圆外一点，经过P
2 2 0 0
点作圆的两切线，切点分别为A、B，求直线AB方程。
解：设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 )
则l AP : x1 x y1 y r , lBP : x2 x y2 y r
2 2
y
A
P
2 x x y y r (1) 1 0 1 0 2 x x y y r (2) 2 0 2 0
3x 4 y 28 0
3.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线， 切点为A、B，则直线AB为
(2 1)(x 1) (1 2)( y 2) 2 因为P(2, 1) 所以直线AB方程为：
即x 3 y 3 0
4. 直线被圆截得的弦长的求法:
解：由圆方程知圆心为（1，0），半径为1
由已知圆心到直线距离 d
1 m 2
（1）直线与圆相切时，d=1 则 1 m 2 得m 2 1 （2）直线与圆相离时，d>1 则 1 m 2 得m> 2 1, 或m 2 1 （3）直线与圆相l交时，d<1 则 1 m 2 得- 2 -1<m
所求圆的方程是 ( x 1)2 ( y 2)2 2
即x 2 y 9 0, 或2 x y 3 0.
1 2
例题分析
已知圆 O′的圆心在 y轴上，截直线 l1： 3x+4y+3=0 所得弦长为 8， 且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O′的方程。 l1 A 解： C
由于圆O的圆心在y轴上，
2 2
B
2
设圆的方程为 x ( y b ) r ， 其中O（ 0 ，b），半径为 r，
x x 及x x ，则
A B A B
AB 1 k x x （1+k ） ( x x ) 4 x x
2 2 2 A B A B A
B
例题分析 已知圆C : x 2 ( y 1) 2 5, 直线l : mx y 1 m 0
B
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
（2）设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )则由方程* 知
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1x2
2 2 2 m m 5 2 1 m2 ( ) 4 17 2 2 1 m 1 m
得m 2 3则m m的值为 3
3
2m 2 m2 5 x1 x2 , x1x2 2 1 m 1 m2
2
.
2 3k 3 因此， 5,即 3k 1 5 5k , k 1
2 2
2
1 两边平方并整理得2k 3k 2 0.解得k , 或k 2. 2
所以，所求直线 l 有两条，方程分别为 y 3 ( x 3), 或y 3 2( x 3)
得m 2 3则m m 的值为 3
3
变式演练
m为何值时，直线2 x y m 0与圆x y 5
2 2
（1）无公共点；（2）截得弦长为2；
解： (1)由已知，圆心为O(0,0), 半径r
5,
2
圆心到直线2 x y m 0的距离d
因为直线与圆无公共点， d r ,即 m
O
B
x
由(1)说明点( x1, y1 )在直线x0 x y0 y r 2上 由(2)说明点 ( x2 , y2 )在直线x0 x y0 y r 2上
l AB : x0 x y0 y r
2
3. 圆x 2 y 2 r 2与直线x0 x y0 y r 2之间的关系
y
(1)若点P( x0 , y0 )在圆上
直线x0 x y0 y r 2 表示以( x0 , y0 )为切点的切线方程
O
P
x
(2)若点P( x0 , y0 )在圆外
直线x0 x y0 y r 2 表示切点弦所在直线方 程
y
A
2
P
若圆方程为( x a) ( y b) r 则相应的直线
A
x ( y 1) 5 得 解法1（ ： 1）由 mx y 1 m 0
2 2
l
又直线的斜率k=m
代 (1+m2 ) x2 2m2 x m2 5 0* 数 则 4m4 4(m2 1)(m2 5) 16m2 20 方 m R, 总有 0 法 因此所证命题成立
2 2 2
方程为 ( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r
O
B
x
反馈练习
1.写出过圆x2 y2 10上一点M(2, 6 )的切线方程.
2 x 6 y 10
2 2.已知圆方程（x-1） y 2 25, 过点（4，4）作圆的切线，
切线方程为
0 0
即d r 即d r 即d r
(2)点P( x y )在圆内 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
0 0
(3)点P( x y )在圆外 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2