2013版高中全程复习方略配套课件：9.11离散型随机变量的均值与方差(人教A版·数学理)浙江专用

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离散型随机变量的期望与方差第课时0000-PPT精选

• 点评：由随机变量的3分布列直接按9公式计算可求得方差.对相关的两个随机变量ξ 、η，若满足一定关系式：η=aξ+b，则 E(aξ+b)=aEξ+b，D(aξ+b)=a2Dξ(或 Dξ=Eξ 2-(Eξ)2).
• 设随机变量ξ具有分布 P( k) k1=，1，2 ，3，4，5，求E(ξ+2)2，D(2ξ-1)，σ5(ξ-1).
• (4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元).
• 综上分析，选择联合采用甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
第十一章概率与统计
第讲
（第二课时）
题型4 求随机变量的方差 • 1. 已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
P
1
1
1
2
3
6
• 设η=2ξ+3，求Eη，Dη.
• 解：因为
E(1)1111，
2 63
D• 所以1E 1 3 22 1 2 E 03 1 37 ， 2D 1 3 4 1D 1 3 22 0 1 6.9 5，
• 1. 对离散型随机变量的方差应注意：
• (1)Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度， Dξ越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之Dξ越小，ξ的取值越集中，在 Eξ附近.统计中常用Dξ来描述ξ的分散程度.
• (2)Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.
• 2.分布列、期望、方差常与应用问题结合，对此首先必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出分布列，然后按定义求期望、方差等.

高中数学离散型随机变量的期望及方差课件

高三总复习
人教A版 ·数学（理）
(2)∵该同学的得分 η， η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5， ∴得分 η 的期望为 Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5 ＝11×130－5＝935，方[思差维D拓η＝展D] (11(1ξ－)当5求)＝随11机2×变D量ξ＝ξ的12期1×望1与90＝方1差291时0.，可首先分析 ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方差．
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知nnpp＝1－1.6p，＝1.28，解得np＝＝80， .2. 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
离散型随机）
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.
又Eη＝aEξ＋b，
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴ab＝＝2－2 或ab＝＝－ 4 2 即为所求．

离散型随机变量的均值与方差-期望值人教课标版精品课件

大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式：（1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。

高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差

超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有

离散型随机变量的均值与方差-方差人教课标版精品课件

解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
D 1.2 1.095
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选
手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差
(1) 若 a b, 则 D ? ;
(2)若ξ~B(n，p)，则 Dξ= ?.
可以证明,对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则 D npq
(其中
1.已知随机变量的分布列为则E与D的值为( D)
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大
小，从而解决实际问题授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多
媒体、实物投影仪
离散型随机变量的方差
复习引入
问题提出
方差定义
方差的两个性质
本课小结
思考三
作业:课本 P79 A 组第 1，4 题

高考数学第十章第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件新A

它刻画了随机变量 X 与均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差．
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b 为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p，D(X)＝ p(1－p) ． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
P(ξ＝k)＝C3k(16)k(56)3－k，k＝0,1,2,3.…………………(8 分)
所以中奖人数 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P 125 216
25 5
1
72 72 216
………………………………………………………(10 分)
Eξ＝0×122156＋1×2752＋2×752＋3×2116＝12………(12 分)
P(a<X≤b)＝ a φμ，σ(x)dx ，则称X的分布为正态
分布，记作X～N(μ，σ2) ．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
0.；6826
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝
0.；9544
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝
0.9.974
考点一
离散型随机变量的数学期望

高考高三数学总复习教案：离散型随机变量的均值与方差

第十一章计数原理、随机变量及分布列第6课时离散型随机变量的均值与方差（对应学生用书（理）１77～１78页）考情分析考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．１了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．２会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.１．（选修２３P67习题４改编）某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在１h内平均占线１0min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．答案：错误!解析：每个分机占线的概率为错误!，X～B错误!，即X服从二项分布，所以期望E（X）＝8×错误!＝错误!.２．（选修２３P66例２改编）有一批数量很大的商品的次品率为１%，从中任意地连续取出２00件商品，设其中次品数为X，则E（X）＝________，V（X）＝________.答案：２１．98解析：X～B（２00, 0．0１），所以期望E（X）＝２00×0．0１＝２，V（X）＝２00×0．0１×（１—0．0１）＝１．98．３．（选修２３P7１习题４改编）某人进行射击，每次中靶的概率均为0．8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有３发子弹，则射击数X的均值为________．（填数字）答案：１．２４解析：射击次数X的分布列为∴E（X）＝0．8×１＋0．１6×２＋0．0４×３＝１．２４．习题１改编）随机变量X的分布列如下：４．（选修２３P7１答案：错误!解析：a、b、c成等差数列，有２b＝a＋c，又a＋b＋c＝１，E（X）＝—１×a＋１×c＝c—a＝错误!.得a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，∴V（X）＝错误!２×错误!＋错误!２×错误!＋错误!２×错误!＝错误!.５．一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0．５，热线C占线的概率为0．４，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．答案：１．４解析：随机变量ξ可能取的值为0、１、２、３．依题意，得P（ξ＝0）＝0．１５, P（ξ＝１）＝0．４，P（ξ＝２）＝0．３５，P（ξ＝３）＝0．１∴ξ的分布列为ξ0１２３P0．１５0．４0．３５0．１∴它的期望为E（ξ）＝0×0．１５＋１×0．４＋２×0．３５＋３×0．１＝１．４．１．均值（１）若离散型随机变量ξ的分布列为：ξx１x２…x nP p１p２…p n则称E（ξ）＝x１p１＋x２p２＋…＋x n p n为ξ的均值或数学期望，简称期望．（２）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．（３）数学期望的性质．E（c）＝c，E（aξ＋b）＝aEξ＋b（a、b、c为常数）．２．方差（１）若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x１，x２，…，x n且这些值的概率分别是p１，p２，…，p n，则称：V（ξ）＝（x１—E（ξ））２p１＋（x２—E（ξ））２p２＋…＋（x n—E（ξ））２p n为ξ的方差．（２）σ＝错误!，叫标准差．（３）随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．（４）方差的性质a、b为常数，则V（aξ＋b）＝a２Vξ.３．若ξ～B（n，p），则E（ξ）＝np，V（ξ）＝np（１—p）．４．期望与方差的关系均值（期望）反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值（期望）的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V（ξ）＝E（ξ２）＋（E（ξ））２.[备课札记]题型１离散型随机变量的期望例１已知离散型随机变量ξ１的概率分布为ξ１１２３４５67P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!离散型随机变量ξ２的概率分布为ξ２３．7３．8３．9４４．１４．２４．３P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．解：E（ξ１）＝１×错误!＋２×错误!＋…＋7×错误!＝４；V（ξ１）＝（１—４）２×错误!＋（２—４）２×错误!＋…＋（7—４）２×错误!＝４，σ１＝错误!＝２．E（ξ２）＝３．7×错误!＋３．8×错误!＋…＋４．３×错误!＝４；V（ξ２）＝0．0４，σ２＝错误!）＝0．２．错误!甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，１0的概率分别为0．２，0．6，0．２；射手乙击中环数8，9，１0的概率分别为0．４，0．２，0．４．用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：Eξ１＝8×0．２＋9×0．6＋１0×0．２＝9，V（ξ１）＝（8—9）２×0．２＋（9—9）２×0．6＋（１0—9）２×0．２＝0．４；同理有E（ξ２）＝9，V（ξ２）＝0．8．由上可知，E（ξ１）＝E（ξ２），V（ξ１）<V（ξ２）．所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、１0环的次数多些．题型２离散型随机变量的方差与标准差例２某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作１0件，该厂质检部每天从每位师傅制作的１0件产品中随机抽取４件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有２件、１件次品．（１）求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；（２）若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过１天、２天分别得１分、２分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．解：（１）设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件Ｂ．则有P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，由事件A、B独立，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝错误!.答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为错误!.（２）记得分为ξ，则ξ的可能值为0，１，２．∵P（ξ＝0）＝错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝错误!×错误!＝错误!.∴E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＝错误!.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为错误!.错误!一盒中装有零件１２个，其中有9个正品，３个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，１，２，３当ξ＝0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ＝0）＝错误!＝错误!.当ξ＝１时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ＝１）＝错误!×错误!＝错误!.当ξ＝２时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（ξ＝２）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.当ξ＝３时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ＝３）＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.所以，E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.题型３期望、方差的性质及应用例３某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为P（ξ＝i）＝错误!（i＝１，２，…，１２）；设每售出一台电冰箱，电器商获利３00元．如销售不出，则每台每月需花保管费１00元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑１≤x≤１２的情况．设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ξ的函数，且y＝300(),300100()()x xx x于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望Ey＝３00x（P x＋P x＋１＋…＋P１２）＋[３00—１00（x—１）]P１＋[２×３00—１00（x—２）]P２＋…＋[（x—１）×３00—１00]P x—１＝３00x（１２—x＋１）·错误!＋错误!错误!＝错误!（—２x２＋３8x）．因为x∈N*，所以当x＝9或x＝１0时，数学期望最大．故电器商每月初购进9或１0台电冰箱时，月收益最大，最大收益为１５00元．错误!甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为（１）求a、b的值；（２）计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解：（１）由离散型随机变量的分布列性质可知a＋0．１＋0．6＝１，即a＝0．３，同理0．３＋b＋0．３＝１，b＝0．４．（２）E（ξ）＝１×0．３＋２×0．１＋３×0．6＝２．３，E（η）＝１×0．３＋２×0．４＋３×0．３＝２．V（ξ）＝0．8１，V（η）＝0．6．由计算结果E（ξ）>E（η），说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V（ξ）>V（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．１．（２0１３·广东）已知离散型随机变量X的分布列为X１２３P错误!错误!错误!则X的数学期望E（X）＝________．答案：错误!解析：E（X）＝１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!＝错误!.２．（２0１３·湖北理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成１２５个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E（X）＝________．答案：错误!解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，１，２，３．列表如下：X0１２３ξ错误!错误!错误!错误!所以E（X）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!＝错误!.３．（２0１３·上海理）设非零常数d是等差数列x１，x２，x３，…，x１9的公差，随机变量ξ等可能地取值x１，x２，x３，…，x１9，则方差V（ξ）＝________．答案：错误!|d|解析：Eξ＝x１0，V（ξ）＝错误!＝错误!|d|.４．（２0１３·浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得１分，取出一个黄球得２分，取出一个蓝球得３分．（１）当a＝３，b＝２，c＝１时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）２个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；（２）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）１个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E （η）＝错误!，V（η）＝错误!，求a∶b∶Ｃ．解：（１）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝２，此时P（ξ＝２）＝错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝４时，P（ξ＝４）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝３时，P（ξ＝３）＝错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝５时，P（ξ＝５）＝错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P（ξ＝6）＝错误!＝错误!.所以ξ的分布列为（２）由已知得到：η有三种取值即１，２，３，所以η的分布列为所以，2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩所以b ＝２c ，a ＝３c ，所以a∶b∶c＝３∶２∶１．１．袋中有５只红球，３只黑球，现从袋中随机取出４只球，设取到一只红球得２分，取到一只黑球得１分，则得分ξ的数学期望Eξ＝________．答案：错误!解析：ξ可取５、6、7、8，P （ξ＝５）＝错误! （３黑１红）; P （ξ＝6）＝错误! （２黑２红）； P （ξ＝7）＝错误! （３红１黑）；P （ξ＝8）＝错误! （４红）．∴Eξ＝错误!＝6．５．２．为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n 株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E （ξ）＝３，标准差σ（ξ）为错误!.（１）求n 、p 的值并写出ξ的分布列；（２）若有３株或３株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．解：（１）由E （ξ）＝np ＝３，（σ（ξ））２＝np （１—p ）＝错误!，得１—p ＝错误!，从而n ＝6，p ＝错误!，ξ的分布列为ξ 0 １２３４５ 6 P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（２）记“需要补种柳树”为事件A,则P （A ）＝P （ξ≤３），得P （A ）＝错误!＝错误!.３．将一枚硬币抛掷6次，求正面次数与反面次数之差ξ的概率分布列，并求出ξ的期望Eξ.解：设正面的次数是η，则η服从二项分布B（6，0．５），概率分布为P（η＝k）＝C错误!0．５6，k＝0，１，…，6，且Eη＝３．而反面次数为6—η，ξ＝η—（6—η）＝２η—6．于是ξ的概率分布为P（ξ＝２k—6）＝P（η＝k）＝C错误!0．５6，k＝0，１， (6)故E（ξ）＝E（２η—6）＝２E（η）—6＝２×３—6＝0．４．（２0１３新课标Ⅰ理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取４件作检验，这４件产品中优质品的件数记为n.如果n＝３，再从这批产品中任取４件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝４，再从这批产品中任取１件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为５0%，即取出的产品是优质品的概率都为错误!，且各件产品是否为优质品相互独立．（１）求这批产品通过检验的概率；（２）已知每件产品检验费用为１00元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．解：（１）设第一次取出的４件产品中恰有３件优质品为事件A，第一次取出的４件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的４件产品都是优质品为事件C，第二次取出的１件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，∴P（E）＝P（A）P（B|A）＋P（C）P（D|C）＝C错误!错误!错误!×错误!×错误!错误!＋错误!错误!×错误!＝错误!.（２）X的可能取值为４00，５00，800，并且P（X＝４00）＝１—C错误!错误!错误!×错误!—错误!错误!＝错误!，P（X＝５00）＝错误!，P（X ＝800）＝C错误!错误!错误!×错误!＝错误!，∴X的分布列为X４00５00800P错误!错误!错误!EX＝４00×错误!＋５00×错误!＋800×错误!＝５06．２５．数学期望中的注意问题：（１）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（２）E（X）是一个常数，由随机变量X的概率分布唯一确定，即随机变量X是可变的，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态．（３）随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．（４）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．错误![备课札记]。

高中数学选修2.3.1-离散型随机变量的均值人教版ppt课件

aE(X)＋b
想一想
均值E(X)是一个常数还是一个变量？
提示:常数．
做一做
1.已知X的分布列为
X －1
0
1
2
P
1 4
则X的均值为__________．
3
1
1
8
4
8
解析:E(X)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14. 答案:14
2．两点分布与二项分布的均值
做一做
X E(X)
X～B(n,p) np
题型四均值问题的实际应用
例4 某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励 40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中3发或3发以下,应付款2元．现有一游客,其命中率为0.5. (1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率; (2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值．
【解】 (1)设 5 发子弹命中 ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发,ξ～B(5,0.5), 则由题意有 P(ξ＝5)＝C550.55＝312.
跟踪训练 3．某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择题,每个选择题有4 个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分, 满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖, 有一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到几等奖？解:选对题的个数X～B(30,0.8), 故E(X)＝30×0.8＝24, 由于24×5＝120(分), 所以该选手有望能拿到二等奖．
X －2 －1
0
1
2
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
(1)求E(X);
(2)若Y＝2X－3,求E(Y)．

人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》(共13张PPT)教育课件

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• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎不去做或者做了坚持不了多久。其实成功的关键是做很坚持。上帝没有在我们出生的时候给我们什么额外的装备，也许你对未来充满迷惑，也许你觉得是在雾里看花，但是只要我们不停的去做，去实践，总是可以走到一个鲜花盛开的地方，也许在那个时候，你就能感受到什么叫柳暗花明。走向成功的过程就好像你的起点是南极，而成功路径的重点在北极。那么无论你往哪个方向走，只要中途的方向不变，最终都会到达北极，那就在于坚持。
复习巩固
21布..3离列.1散及离型其散随性型的机质随均变机值量变X量的概率分 2.两点分布 3.二项分布
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的含义，能计算简单离散型随机变量的均值．
2.理解离散型随机变量均值的性质．
3.掌握两点分布、二项分布的均值．
问题引入
某商场要将单价分别为18元/kg，24元 /kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电

人教版高中数学2.3离散型随机变量的均值与方差讲义

2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值教学目标：理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分别列求出均值。

教学重点：掌握两点分布，二项分布的均值。

教学难点：会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题教学过程：一、复习提问：必修3中，给出样本，频率分布直方图？如何计算平均数，众数，中位数？如何利用平均数，众数，中位数反应总体的情况?二、讲授新课：1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X 的分布列为X 1x 2x ···i x ···n x P1p 2p ···ip ···np 则称n n i i p x p x p x p x X E +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=2211)(为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值性质如果X 为(离散型)随机变量，则b aX Y +=(其中b a ,为常数)也是(离散型)随机变量，且n i b ax Y P x X P i i ⋅⋅⋅=+===3,2,1),()(，b X aE b aX E Y E +=+=)()()(。

3．两点分布与二项分布的均值（1）如果随机变量X 服从两点分布，那么p X E =)((p 为成功概率)．（2）如果随机变量X 服从二项分布，即),(~p n B X ，则np X E =)(.说明：1．求离散型随机变量均值的步骤：（1）确定离散型随机变量X 的取值；（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否；（3）根据公式求出均值．2．若Y X ,是两个随机变量，且b aX Y +=，则b X aE Y E +=)()(；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.三、典例分析考点1二项分布的均值典例分析：1.某运动员投篮命中率为6.0=p .（1）求投篮1次时命中次数X 的数学期望；（2）求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．【归纳小结】将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键．二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．课堂反馈1.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求2=ξ时的概率；(2)求ξ的数学期望．考点2利用定义求离散型随机变量的均值典例分析2.在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望．【归纳小结】求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．课堂反馈1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望．考点3离散型随机变量均值的应用典例分析3.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元(100 a )．问a 如何确定，可使保险公司期望获利？【归纳小结】解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．课堂反馈3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望E(η)．四、小结五、课外作业2.3.2离散型随机变量的方差教学目标：理解有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。

2013版高中全程复习方略配套课件：11.9离散型随机变量的均值与方差(北师大版·数学理)

【解析】X的取值为0,1,2,3，则
P(X＝0)＝C132 ＝11；
C136 28
P(X＝1)＝C122C14 ＝33；
C136 70
P(X＝2)＝C112C42 ＝ 9 ；
C136 70
P(X＝3)＝ C34 ＝ 1 ，
C136 140
∴EX＝0 11＋1 33＋2 9 ＋3 1 ＝3 .
28 70 70 140 4
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得
等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
所以
EX2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8, 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量X的分布列
X
a1
a2 …
ai
… an
P
p1
p2 … pi
… pn
(2)离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望)
方差
计算 EX ___a_1p_1___a_2_p_2 ______a_ip_i 公式 ____a_n_p_n__
DX
n
ai EX2 pi
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为 45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－ 0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元). 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.

2013年数学高考总复习重点精品课件： (新课标人教A版)选修2-3《2.3.2离散型随机变量的方差》

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2．数学期望与方差的关系 (1)数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征．数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度． (2)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X) 是不变的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示随机变量 X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中． (3)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定 (当然方差是建立在数学期望这一概念上的)．
2.3.2 离散型随机变量的方差
【课标要求】
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和计算．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
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【核心扫描】
提示由已知得，3p(1－p)＝23，解得 p＝13或23.
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名师点睛
1．对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时， f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))

人教版高中数学选修二教学课件-离散型随机变量的均值

∵Y=aX+3,∴E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=53a+3=-2, ∴53a=-5,解得 a=-3.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究三两点分布、二项分布的均值【例3】某运动员的投篮命中率为p=0.6. (1)求投篮一次时命中次数X的均值; (2)求重复投篮5次时,命中次数Y的均值. 分析：第(1)问中X只有0,1两个结果,服从两点分布; 第(2)问中Y服从二项分布.
(2)E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×210=-1370.
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思维辨析
(3)(方法一)由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,
得
E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×
-
17 30
-3=-6125.
(方法二)由于 Y=2X-3,
所以 Y 的分布列如下:
取得红球,∴P(X=4)=C21AC3254A33 = 130.
当 X=5 时,表示前 4 次中取得 1 个红球,3 个不是红球,第 5 次
取得红球,∴P(X=5)=C21AC3355A44 = 25. ∴X 的分布列为
X
2
3
4
1
1
3
P
10
5
10
∴E(X)=2×110+3×15+4×130+5×25=4.
解：由题意知X的可能取值为2,3,4,5. 当X=2时,表示前2次取的都是红球,
∴P(X=2)=AA2252 = 110.
探究一
探究二
探究三