线性代数3-4

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线性代数自考知识点汇总

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行列,行列式变号.推论1 如果行列式有两行列的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行列元素成比例,则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 若行列式的某一行列的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去,行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M ,i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ,元素23a 的余子式为1112233132aa M a a =,元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行列展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==4. 行列式的计算 1二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- 2三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 3对角行列式1212n nλλλλλλ=,n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-4三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nn nn a a a a a a a a a a a a a a a ==111,n 11n1n n(n 1)212,n 12,n 12n 21n 2,n 1n1n1n1n2nna a a a a a a a (1)a a a a a a a -----==-5消元法：利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.6降阶法：利用行列式的性质,化某行列只有一个非零元素,再按该行列展开,通过降低行列式的阶数求出行列式的值.7加边法：行列式每行列所有元素的和相等,将各行列元素加到第一列行,再提出公因式,进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵,称为对角矩阵.记作Λ. 2单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵,称为单位矩阵.记作E.3上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ 4下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =,即ij ji a a =,则称A 为对称矩阵. 6反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =-,即ij ji a a =- ,则称A 为反对称矩阵. 7正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵,如果T AA E =或T A A E =,则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 1矩阵的加法如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. 2数乘矩阵如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.3矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==,规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数,右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵即一个数,即()112111121s 111112211s s1s1b ba a a ab a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪⎝⎭列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵,即()1111111112111s 2121112112211s 11121s s1s111s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B,若AB=E 或BA=E,则A,B 都可逆,且11A B,B A --==.1二阶方阵求逆,设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭两调一除法. 2对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 4一般矩阵求逆,初等行变换的方法：()()ERT1A E EA -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式各元素的位置不变叫做方阵A 的行列式.记作A 或detA. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行列变换：1互换两行列；2数乘某行列；3某行列的倍数加到另一行列. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数,称为矩阵A 的秩.记作RA 或rA. 求矩阵的秩的方法：1定义法：找出A 中最高阶的非零子式, 它的阶数即为A 的秩.2初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵,RA=R 行阶梯形矩阵=非零行的行数. 8. 重要公式及结论 1矩阵运算的公式及结论()()12121212k k k k k k k k k k k k kk 10A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )A A A ,(A )A ,(A )A ,E EAB A BA B ,EA AE A,A Eλλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==⋅========()()()()()()T TTT T T T T T TTT nT n n A A,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律,即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律,即一般地若AB=AC,无B=C ；只有当A 可逆时,有B=C.一般地若AB=O,则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.2逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k1T11T 1A A ,A A ,,A A 1A A,A A,A A ,A A AB B A1A A A AAA A ,Aλλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E 即A 与单位矩阵E 等价 3矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R AB ≤R A , R AB ≤R B .特别地,当A 可逆时,RAB=RB ；当B 可逆时,RAB=RA.()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程1设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为n ×m 矩阵,则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -,再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .2设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为m ×n 矩阵,则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -,再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系1等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B,那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.2相似矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的行列式,相同的迹. 3合同矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得TP AP B =,那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合1若α＝k β,则称向量α与β成比例． 2零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．3向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关1 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．2 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．3 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.4 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.5 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．6 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.7n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.8 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.9 n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.10当m>n 时,m 个n 维向量一定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m m ≥2线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关,而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ,α线性相关,则α可由A线性表示,且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα,12r r 1m B :,,,,,,ααααα+若A 线性相关,则向量组B 也线性相关；反之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关.即部分相关,则整体相关；整体无关,则部分无关. 定理4：无关组的截短组无关,相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关, ⑵ T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数,称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩; 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身;结论2 如果向量组的秩是r ,那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组; 定理1 设向量组A:a 1,a 2, …,a r ；及向量组B:b 1,b 2, …, b s ,如果组A 能由组B 线性表示,且组A 线性无关,则r ≦s.推论1 等价的向量组有相同的秩.定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间定义1 设V 为n 维向量的集合,如果集合V 非空,且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合V 为向量空间.5. 基与向量在基下的坐标定义2 设V 是向量空间,如果向量组a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： 1向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关； 2T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量组a 1 , a 2 ,……, a r 是向量空间V 的一个基, 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数,记作dimV ,并称V 为r 维向量空间．定义3 设向量组 a 1 , a 2 , … , a r 是向量空间V 的一个基,则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个线性组合,即 1122r r x a a a λλλ=+++,称有序数组12r ,,,λλλ为向量x 在基 a 1 , a 2 , … , a r 下的坐标.线性方程组1. 线性方程组解的判定1 线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵A,b 的秩相同,即RA=RA,b . 当RA=RA,b=r① 方程组AX=b 有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b 有无穷多解的充分必要条件是r < n. 2 方程组AX= b 无解的充分必要条件是R A ≠RA,b. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定1 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 RA < 未知量的个数n .2 含有n 个方程,n 个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.即|A |=03 齐次线性方程组AX=0中,若方程的个数m<未知量的个数n,则方程组有非零解 3. 齐次线性方程组解的性质（1）若12,ξξ是Ax=0的解,则12ξξ+也是Ax=0的解；（2）若ξ是Ax=0的解,则k ξ也是Ax=0的解.4. 齐次线性方程组的基础解系与通解（1）解空间齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合,是一个向量空间,称为方程组 Ax=0的解空间．记作V,即V={ x | Ax=0,x ∈R }. 2 基础解系齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基,称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-rA.方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系. 3齐次线性方程组的通解为1122n r n r k k k ξξξ--+++,其中12n r ,,,ξξξ-是Ax=0的一个基础解系.5. 非齐次线性方程组解的性质1若12,ηη是Ax=b 的解,则12ηη-是Ax=0的解；即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解. 2若η是Ax=b 的解,ξ是Ax=0的解,则ηξ+是Ax=b 的解.即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组AX=b 的通解为*1122n r n r k k k ξξξη--++++其中12n r ,,,ξξξ-为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, *η为非齐次线性方程组AX=b 的任意一个解,称为特解.方阵的特征值1. 向量的内积设1122n n x y x y x ,y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则x,y 的内积为[]1122n n x,y x y x y x y =+++.1向量x 的长度：2n x x ==++2非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 1x .x则是单位向量 3当[]x,y 0,x y =时称向量与正交.4若非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交组． 5若正交组中每个向量都是单位向量,则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列行向量都是单位向量且两两正交． 6施密特正交化过程设123,,ααα是一个线性无关的向量组,① 正交化：令11,βα=[][]1222111,a ,,ββββββ=-[][][][]132333121122,a ,a a ,,βββββββββ=--；② 单位化：取312123123e ,e ,e ββββββ===. 则123e ,e ,e 是与123,,ααα等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量1方阵A 的特征值λ是特征方程A E 0λ-=的根. 2三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．3方阵和它的转置方阵有相同的特征值. 4设12n ,,,λλλ是n 阶方阵A 的全部特征值,则()12n tr A λλλ=+++,12n A λλλ=⋅⋅.即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和,方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. 5若λ是方阵A 的特征值,则()fλ是方阵()f A 的特征值. 特别地,当()f A 0=时,方阵A 的特征值是()f 0λ=的根.说明：m m 1m m 110f (x )a x a xa x a --=++++,m m 1m m 110f (A )a A a A a A a E --=++++.例如λ是方阵A 的特征值,则方阵()f A A 2E =+的特征值是()f2λλ=+.方阵()2f A A 3A 4E =--的特征值是()2f34λλλ=--.例如若2A 3A 4E 0--=,则方阵A 的特征值是2340λλ--=的根,即121,4λλ=-=.6设12P ,P 都是方阵A 的属于同一特征值0λ的特征向量,则()112212k P k P k ,k +不全为零也是0λ的特征向量.7属于不同特征值的特征向量线性无关.8属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化1若方阵A 与对角矩阵Λ相似,则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P,使得1P AP Λ-=. Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 2n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是①A 有n 个线性无关的特征向量；②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． 3n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． 4若A 与B 相似,则()f A 与()f B 相似.4. 实对称矩阵的对角化1实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.2实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P,使得1P AP Λ-=.Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.3利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：1求特征值；2求特征向量；3将特征向量正交化,单位化；4最后将这些特征向量做成矩阵．二次型1. 二次型的标准化（1）用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:① 写出二次型T f x Ax =的对称矩阵A ；② 求A 的全部特征值12n ,,,λλλ；③ 求每个特征值的线性无关的特征向量12n ,,,ξξξ； ④ 将特征向量正交化,单位化,得12n ,,,ηηη；⑤ 将这些特征向量做成矩阵,记()12n C ,,,ηηη=,最后做正交变换x=Cy ,得到f 的标准形为 2221122n n f y y y λλλ=+++.其中12n ,,,λλλ是T f x Ax =的矩阵A 的特征值.（2）用配方法化二次型为标准形的具体步骤:① 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过可逆的线性变换,就得到标准形;② 若二次型中不含有平方项,则先作可逆线性变换,令i i j j i j kk x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,k=1,2,…,n,i≠j化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.2. 规范二次型设二次型T f x Ax =的标准形为222211p p p 1p 1r r f d y d y d y d y ++=++---,i d 0>,r 是f 的秩令11p p p 1p 1r r y z y z y z y z ++⎧=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩,得22221p p 1r f z z z z +=++---,称为二次型T f x Ax =的规范形.注：规范形是唯一的.其中正平方项的个数p 称为Tf x Ax =正惯性指数,负平方项的个数r-p 称为T f x Ax =负惯性指数,它们的差p-r-p=2p-r 称为T f x Ax =符号差.3. 正定二次型二次型T f x Ax =正定⇔矩阵A 正定⇔A 的特征值全为正⇔A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型T f x Ax =负定⇔矩阵A 负定⇔A 的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正.。

线性代数第三章习题及答案

习题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ．解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α；（3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ．解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解，即β不能由21,αα线性表示。

线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构

c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解都可以表示为 0 其中是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6

线性代数3-4分块矩阵

B21
E
B22

B11

A1 B11

B21
E
A1

B22

.
又A1B11

B21

1

1
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
2 4

1
1 ,
1 2 4 1 3 3
A1

B22

1
1 2 0 3 1 ,

1
1 0 1
1 1 2 0
则
E
AB

A1
O B11
E

B21
E
B22

B11 A1B11
B21
E
A1

B22

.
4、转置
设分块矩阵
A

A11 A21
A12 A22

Ap1
Ap2
A1t
A2t

,
则

Apt
22 , 31,52 22 ,43,52 20 1,3 ,2 20 1,2 ,3
20 A 100.
解法二：
1 3 0 1 3 0
B 1,2 ,3 2 0 5 A2 0 5
0 4 0 0 4 0
说明: 1.当左边分块矩阵的列的分块方法和右边分块矩阵的分块方法相同时, 两个分块矩阵才可以相乘.
2.两个分块矩阵的乘积仍是分块矩阵,并且乘积分块矩阵的行数等于左边分块矩阵的行数, 乘积分块矩阵的列数等于右边分块矩阵的列数.

线性代数第三四章答案

解：由3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α) 可得6α = −5α3 + 2α2 + 3α1, 即α = (−5α3 + 2α2 + 3α1)/6 = (1, 2, 3, 4).
3-4. 设β1 = α1 + α2, β2 = α2 + α3, β3 = α3 + α4, β4 = α4 + α1, 证明向量组β1, β2, β3, β4线性相关.
3v1 + 2v2 − v3 = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) = (3, 3, 0) + (0, 2, 2) − (3, 4, 0) = (0, 1, 2).
3-2. 设3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α), 其中，α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1)，求α.
证明：因为β1−β2 = α1−α3, β4−β3 = α1−α3. 所以β1−β2 = β4−β3, 即β1−β2+β3−β4 = 0，向量组β1, β2, β3, β4线性相关。
3-5. 设β1 = α1, β2 = α1 + α2, · · · , βr = α1 + α2 + · · · αr, 且向量组α1, α2, · · · , αr线性无
4-11.
若方程组
x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + λx3 = 0
存在基础解系，则λ等于【5】
4-12. 设A为m × n矩阵，则齐次线性方程组AX = 0有结论【若A有n阶子式不为0，则

线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件

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目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值法、逼近法等基本方法，培养学生运用计算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通过实例展示数学建模在解决实际问题中的应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性等基本性质，这些性质在行列式的计算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数，对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

《线性代数》课后习题答案

第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数(含全部课后题详细答案)4-3

r1 ~ r3
0 2
2 6 4 3 5 4
3 1 9 5
r3 2r1
r4 ~3r1
1 0 0 0
1 2 5 2
5 6 15 6
3 4 10 4
r1 r3
r3 ~2r1
r4 3r1
1 1 5 3 0 2 6 4 0 5 15 10 0 2 6 4
k11 k1r
(b1 , ,br ) (a1 , ,as )
ks1 ksr
如果r
s，则方程组
K sr
x1
0
(简记为Kx
0)
xr
有非零解（因 R(K ) s r），从而方程组
(a1 , ,as )Kx 0 有非零解，即(b, ,br )x 0有非零解，这与B0组线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
三、向量组秩的重要结论
定理２设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩. 证设向量组B的一个最大无关组为B0 : b1, , br，向量组A的一个最大无关组为 A0 : a1, , as ,要证 r s.
因B组能由A组线性表示，A组能由A0组线性表示.
故B0组能由A0组线性表示. 即存在系数矩阵K sr (kij ),使得
~
r4 2r2
1 1 5 3 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1r1~r21
1 0 2 1
0 1 3 0 0 0
2 0
.
0 0 0 0
1 0 2 1
~ 初等行变换 0 1 3 2
(a1 ,a2 ,b1 ,b2 )
0 0 0 0
0 0 0 0
即得

线性代数4.4节(3学分)

线性变换性质
T(0)=0，T(-α)=-T(α)；
若k1，k2为数，α1， α2为线性空间V中向量，则 T(k1α1+k2α2)=k1T( α1)+k2T(α2)；
线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组。
线性变换矩阵表示方法
01
02
线性变换矩阵表示：设T 是数域F上线性空间V的一个线性变换，在V中取定一个基α1，α2，…， αn，如果这个基在T下的像是T(α1)， T(α2)，…，T(αn)，那么T就可以用一个矩阵A 来表示，这个矩阵A称为 T在基α1，α2，…，αn 下的矩阵。
误区澄清
特征值与特征向量的求解过程中，容易忽略特征多项式根的重数对特征向量个数的影响。实际上，每个特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。
拓展延伸：相关领域前沿动态
张量分析与高维数据处理
随着大数据时代的到来，高维数据处理成为了一个热门的研究领域。张量作为高维数据的数学表示工具，在图像处理、机器学习等领域有着广泛的应用前景。目前，张量分解、张量网络等技术在高维数据处理中取得了显著的成果。
ABCD
熟练掌握线性变换的定义、性质和矩阵表示，理解线性变换与矩阵之间的内在联系。
具备运用所学知识解决实际问题的能力，如数据分析、图像处理等领域的实际问题。
课程安排与时间
课程安排
上课时间
本课程共分为6个模块，每个模块包含若干个子主题，通过讲解、讨论、案例分析等多种教学方式进行授课。
每周一次，每次2小时，共12周。
03
在信号处理中，正交变换被用来进行信号分析和处理。例如，傅里叶变换就是一种正交变换，它可以将一个信号分解成一系列正弦波和余弦波的叠加。这样，我们就可以通过傅里叶变换来分析信号的频率成分和进行信号滤波等操作。

《线性代数》教学大纲

《线性代数》教学大纲课程编号：010课程名称：线性代数英文名称：Linear algebra学时：48+4 学分：3课程类型：必修课程性质：学科基础课适用专业：工科各专业先修课程：无开课学期：第2学期开课院系：数学与统计学院一、课程的教学目标与任务线性代数是高等学校理工科和经管金融等学科大学生的一门重要基础课程，是学习后继课程的工具。

随着计算机技术的飞速发展与广泛应用，大量工程与科研中的问题通过离散化的数值计算得到定量的解决，这就使得以处理离散量为主的线性代数课程占有越来越重要的地位。

通过本课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论与方法；理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；培养创新意识及能力，培养解决实际问题的能力和科学计算能力，并为学习后继相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、本课程与其它课程的联系和分工该课程是中学代数的继续与提高，是学习概率论与数理统计、复变函数、大学物理等课程的基本必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。

三、课程内容及基本要求(一) 矩阵( 10学时)内容：矩阵的概念；矩阵的运算；可逆矩阵及性质；矩阵的分块；高斯消元法；初等变换概念及性质；初等矩阵。

1.基本要求（1）了解矩阵概念产生的背景。

（2）熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方幂、多项式等运算及其运算规律。

（3）正确理解和掌握逆矩阵的概念与性质。

（4）了解分块矩阵的意义，会分块矩阵的加法、乘法的运算。

（5）理解一般线性方程组的解，系数矩阵，增广矩阵，同解方程组等概念。

（6）正确理解初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系。

（7）掌握用初等变换方法求方阵的逆矩阵。

2. 重点、难点重点：矩阵的运算；逆矩阵及其性质；初等变换、初等矩阵的概念与性质；用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形；用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。

难点：矩阵的乘积；逆矩阵及其性质；分块矩阵的意义及运算。

（二）行列式（8学时）内容：二、三阶行列式；排列；n阶行列式的概念；n阶行列式的性质；行列式的计算；行列式按一行（列）展开；矩阵可逆的充要条件；克兰姆法则。

《线性代数》课件第4章

此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理：定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组，若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有

线性代数教学课件3

阶梯形线性方程组(B)与原线性方程组(A)同解.
在线性方程组(B)中, 将第三式的x3= -2代入第二个方程,得x2= 2; 再将x2= 2, x3= -2代入第一个方程,得x1= 1.
所以原方程组的解为: x1=1, x2=2, x3= -2.
■
由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程,称为回代
过程, 线性方程组的这种解法称为高斯消元法.
a1r a1r 1 a2r a2r 1
a1n d1 a2n d2
于是结得论同:解2方. d程r+组1=0: , 则x1 同aˆ1,解r 1x方r 1 程组有aˆ1n x解n , dˆ1
A 00
arr arr 1
arn dr
从x2 而aˆ2原r 1x方r 1程组Aaˆ2Xn x=n b dˆ2
00
00
x1
1
x2
2
x3
2
■
100 1 010 2 001 2
13
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例2. 解线性方程组
x1 3x2 x3 2x4 x5 4 3x1 x2 2x3 5x4 4x5 1 2x1 4x2 x3 3x4 5x5 5 5x1 5x2 3x3 8x4 9x5 6
解: 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 化成阶梯形矩阵, 再化成行最简阶梯形矩阵.
为求解线性方程组(1), 必须解决以下一些问题:
(i) 线性方程组(1)是否有解? (ii) 如果线性方程组(1)有解, 那么它有多少个解? (iii) 当线性方程组有解(1)时, 如何求出它的全部解?
4
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定义 m个方程、 n个未知量的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

大学线性代数课件矩阵第三章矩阵4

设A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，对A,B作分块，使得A的列分法与B的行分法一致，即
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.

线性代数课件3-4矩阵秩与向量组秩的关系

1
其中 i a i 1 , a i 2 , a in 是 A的第 i 行构成的向量
i= 1 ,2 , m
将该矩阵按列分块得到
A 1
a1 j a2 j 其中 j a 是 A 的第 j列构成的 mj
3 2 0 0
10 3 0 0
2 3 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 3 B 0 0
所以
r ( A ) r (B ) 2
故列向量组的秩为2，即列向量组的极大无关组含有2个向量，显然，
1 0 0 0
4 7 22 15
5 14 44 30
10 21 66 45
1 0 0 0
4 7 22 15
5 14 44 30
10 1 r2 21 7 1 1 r3 , r 66 22 15 45
2

n

向量
j= 1 ,2 , n
1 , m 称为A的行向量组 1， n 称为A的列向量组
定义9 矩阵A的行向量组的秩成为A 的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？
先看一个例子
课后作业： P147 ：8（4）
并试用数学软件 MATLAB来解次题
1 0 B 0 0 0 0 1 0 0 0 a1 a2 0 0 0 0 0 1 0 0 b1 b2 b3 0 0 0 0 0 1 0
此矩阵为具有4个非零行的 B-型矩阵
RB 4

线性代数 3-4向量的正交

(α m , β 1 ) (α m , β 2 ) (α m , β m −1 ) βm = αm − β1− β2 −⋯ − β m −1 (β 2 , β 2 ) ( β m −1 , β m −1 ) (β1 , β1 ) k −1 α β 即 β1 = α1 , β = α − ∑ ( k , i ) β i k k (β i , β i ) i =1
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结束
n ∀ α β ∈ R (3) , ,α+β ≤ α+ β
(三角不等式)
证：
α + β = (α + β , α + β )
= (α , α ) + 2(α , β ) + ( β , β )
2
≤ α +2α ⋅ β + β
2
2
2 α β =( + )
∴ α+β ≤ α + β
且
α + β = α + β ⇔ α 与β 互相正交
Ο
α 1 ⋅ α = 1) (α = = α α
Ο
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(柯西－许瓦兹不等式)
(3) (α , β ) ≤ α ⋅ β
2 即: ∑ ai bi ≤ ∑ a ⋅ ∑ bi
n
n
i =1
i =1
2 i
n
i =1
且 (α , β ) = α ⋅ β ⇔ α 与β 线性相关
证: 1) α 与 β 线性相关 ⇔ β = kα , k ∈ R
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四、标准正交基
定义 1. 1.定义两两正交的向量组称为正交向量组 ; Rn中不含零向量不含零向量两两正交的向量组称为两两正交的向量组称为正交向量组正交向量组; 标准正交向量组 ; 单位向量组成的正交向量组称为单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组标准正交向量组; ,称为正交基 ; 一组基中的向量两两正交一组基中的向量两两正交, 称为正交基正交基; ,称为标准正交基 . 正交基中每个向量都是单位向量正交基中每个向量都是单位向量, 称为标准正交基标准正交基. 标准正交基满足

线性代数-第4章

第4章《线性代数》习题解读1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。

2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。

要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。

4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。

5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。

7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。

所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。

8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。

9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。

10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。

矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。

线性代数总复习

§2 线性代数的“解析理论” §3 线性代数的“几何理论” 线性代数总复习§4 线性代数典型证明题§1 线性代数概况1. 线性代数的解析理论——矩阵理论行列式的定义、性质、计算、证明；1/3/4.1行列式、矩阵、线性方程组、二次型矩阵的定义、性质、运算、初等变换、秩、特征值、特征向量、相似对角化、正交对角化；方程组的Gauss 消元法、初等变换、基础解系、通解、特解；二次型的标准化、规范化、惯性指数、正定负定；§1 线性代数概况向量、向量的线性运算；向量间的线性关系；向量组间的关系；向量与向量组的关系；向量空间；2/3/4.1向量欧氏空间、线性方程组解空间、二次型主轴定理空间与空间的转换关系：过渡矩阵2. 线性代数的几何理论——空间理论内积运算、欧氏空间；向量的长度、夹角、正交、规范正交向量组；规范正交基、Schmidt 正交化；线性方程组解空间的结构、二次型的主轴定理；空间为体，矩阵为用几何是脑力劳动，代数是体力劳动.3/3/4.13. 线性代数主线 ——教学名师中国科技大学李尚志1/12/4.2解析理论第一大块：行列式11121 21222 12 n n n n nna a a a a a a a a L L MMOML D =n nnj j j j j nj j j j a a a 12 12 12 ()12 (1)t L L L =- å §2 线性代数的解析理论——矩阵理论11 1122 1122 ,1 ,1,1 i i i i in in j j j j nj nj a n D a A a A a A n a A a A a A n ì = ï =+++> í ï ++> îL L 行列式的性质：（辅导P2） 1.行列式等于0；（4点） 2.行列式的值不变；（4点）3.行列式的值改变；（2点）4.特殊行列式的值。