第一部分第二章第1讲第1课时一元一次方程和二元一次方程组

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第一讲二元一次方程(组)

第一讲二元一次方程（组）1、【知识点梳理】1、二元一次方程【1】含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

【2】使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

2、二元一次方程组【1】由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

【2】同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

3、解二元一次方程组【1】消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。

消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：I、将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；II、用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；III、把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；IV、写出方程组的解。

【2】对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。

通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。

这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

用加减法消元法解二元一次方程组的一般步骤是：I、将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；II、通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； III、解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；IV、将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；V、写出方程组的解。

4、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：【1】理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）【2】制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）【3】执行计划（列出方程组并求解，得到答案）【4】回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）5、二元一次方程组应用题分类【1】工程问题：工作量=工作效率×工作时间一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位"1"的工程问题【2】行程问题：(1) 相遇问题：甲的路程+乙的路程=甲乙相距的距离（2）追赶问题：甲的路程-乙的路程=甲乙相距的距离（3）航速问题：顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速【3】和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量【4】产品配套问题：加工总量成比例【5】浓度问题：溶液×浓度=溶质【6】银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率【7】利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%【8】盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量【9】数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示【10】几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式【11】年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【12】增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量2、【例题解析】【例1】已知与是同类项，求和的值．【例2】已知满足方程组的，值的和等于2，求的值【例3】已知，求的值．【例4】现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？【例5】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？三、【课堂习题】1、下列属于二元一次方程组的是（）A、 B、C、 D、2、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）（A）15x-3y=6 （B）4x-y=7 （C）10x+2y=4 （D）20x-4y=3 4、李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（）A． B．　C． D．5、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）（A）a=-3,b=-14 （B）a=3,b=-7（C）a=-1,b=9 （D）a=-3,b=146、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）（A）无解（B）有唯一一个解（C）有无数多个解（D）不能确定7、已知，则x与 y 之比是（）A. 5 ：2B. 3 ：2C. 4 ：3D. 2 ：58、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）129、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）（A），b=-4 （B），b=4（C），b=4 （D），b=-410、在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（）A．6种 B．7种 C．8种 D．9种【填空题】1、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；2、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；3、若是方程组的解，则；4、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；5、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；6、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；7、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；8、某家电商场一次出两种不同品牌的电视机，其中一台赚了12%另一台赔了12%，且这次售出的两台电视机的售价都是3080元，那么，在这次买卖中商场的利润为____________元．【解答题】1、；2、；3、 4、；5、；6、；7、a为何值时，方程组的解x ,y的值互为相反数，并求它的值。

初中数学全册教材知识梳理(表格版)

初中数学全册教材知识梳理（详细版）第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分正有理数有理数 0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数 0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b)-a(a＜0).b-a(a＜b)（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）例：21000用科学记数法表示为2.1×104；19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．求代数式的值常运用整体代入法计算.例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.为7×10-4.7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.例：把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.知识点五：实数的运算9. 常见运算乘方几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;3-1=_1/3_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根是___2__.零次幂a0=_1_(a≠0)负指数幂a-p=1/a p（a≠0，p为整数）平方根、算术平方根若x2=a（a≥0）,则x=a.其中a是算术平方根.立方根若x3=a,则x=3a.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化2.整式（单项式、多项式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是__1 .知识点二：整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.幂运算法则(1)同底数幂的乘法：a m·a n＝a m＋n；(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn；(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n；(4)同底数幂的除法：a m÷a n＝a m－n(a≠0).其中m,n都在整数(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.5.整式的乘除运算(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．(2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式：a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /26.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念（1）分式：形如BA(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④2221xx+-，其中是分式是②③④；最简分式③.2.分式的意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式BA无意义；(2)有意义的条件：当B≠0时，分式BA有意义；(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式BA＝0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.例：当211xx--的值为0时，则x＝-1.3.基本性质( 1 ) 基本性质：A A CB B C⋅=⋅A CB C÷=÷(C≠0)．（2）由基本性质可推理出变号法则为：()AA AB B B---==-；A A AB B B--==-.由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：22121xx x-++=11xx-+.知识点三：分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即babmam=；(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即bcbdbcacdcba,,⇒分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式21x x+和()11x x-的最简公分母为()21x x-.5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即ac±bc＝a±bc；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即ab±cd＝ad±bcbd.例：111xx x+--＝－1.2112.111aa a a+=+--6.分式的乘除法(1)乘法：ab·cd＝acbd； (2)除法：a cb d÷＝adbc；(3)乘方：nab⎛⎫⎪⎝⎭＝nnab(n为正整数).例：2a bb a⋅＝12；21x xy÷＝2y；332x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3278x-.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式11x-有意义，则x的取值范围是x＞1.2.二次根式的性质（1）双重非负性：①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即a≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如1a++1b-=0，则a=-1，b=1.（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=1a-+1a-,则a=1,b=0.(2)两个重要性质：①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝()()a aa a⎧≥⎪⎨-<⎪⎩；(3)积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：ab=ab(a≥0，b＞0)．例：计算：23.14＝3.14；()22-＝2；24=；=2 ；442939==知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．例：计算：2832-+＝32.4.二次根式的乘除法（1）乘法：a·b=ab(a≥0，b≥0)；注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：3223⋅＝1；323222==4.（2）除法：ab=ab(a≥0，b＞0)．5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：(2+1)(2 -1)= 1 .知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，a bc c=(c≠0)．(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.(1)若a=b,则a/c=b/c.(×)(2)若a/c=b/c，则a=b.(√)2.关于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.例：若(a-2)|a1|0x a-+=是关于x的一元一次方程，则a的值为0.知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组3.解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例：已知2923x yx y-=⎧⎨-=⎩则x-y的值为x-y=4.方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三：一次方程(组)的实际应用5.列方程(组) 解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；(4)解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称．（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2-4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.*4.根与系数的关（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：系有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例：在下列方程中，①210x+=；②4x y+=-；③11xx=-，其中是分式方程的是③.2.解分式方程基本思路：分式方程整式方程例：将方程12211x x+=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).解法步骤：(1)去分母，将分式方程化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3) 检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例：若分式方程101x=-有增根，则增根为1.知识点二：分式方程的应用方程两边同乘以最简公分母约去分母4.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答．在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值. （3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围. 例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b ≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >bc ；性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <bc .牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230m mx ++>是关于x的一元一次不等式，则m 的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x ＜1-a 的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a ＜b 解集数轴表示口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩ x ≥b 大大取大 x a x b ≤⎧⎨≤⎩x ≤a 小小取小 x a x b ≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b大小，小大中间找 x ax b≤⎧⎨≥⎩ 无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y） M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123Oy 2)间的距离为|y 1－y 2|．知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35x x +-中自变量的取值范围是x ≥-3且x ≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k ＝1时，函数y＝kx ＋k －1是正比例函数,2.一次函数的性质 k ，b 符号 K ＞0， b ＞0 K ＞0， b ＜0 K ＞0，b=0 k <0， b >0 k <0， b <0 k <0， b ＝0 （1）一次函数y=kx+b 中，k 确定了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. 例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定y=k2x+by=k1x+b。

小学初中高中数学全册目录(完整版)

七年级上册第1章从自然数到有理数1.1 从自然数到分数1.2 《九章算术》中的正负数1.3 数轴1.4 绝对值1.5 有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 准确数和近似数2.8 计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 用计算器进行数的开方3.4 实数的运算第4章代数式4.1用字母表示数4.2代数式4.3代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 一元一次方程的解法和步骤5.3 一元一次方程的应用5.4 问题解决的基本步骤第6章数据与图表6.1 数据的收集与整理6.2 统计表6.3 条形统计图和统计图6.4 扇形统计图第7章图形的初步知识7.1 几何图形7.2 线段、射线和直线7.3 线段的长短比较7.4 角与角的度量7.5 角的大小比较7.6 余角和补角7.7 相交线7.8 平行线七年级下册第1章三角形的初步知识1.1 认识三角形1.2 三角形的角平分线和中线1.3 三角形的高1.4 全等三角形1.5 三角形全等的条件1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形2.2 轴对称变换2.3 平移变换2.4 旋转变换2.5 相似变换2.6图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性3.2 可能性的大小3.3 可能性和概率第4章二元一次方程组4.1 二元一次方程4.2 二元一次方程组4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法5.2 单项式的乘法5.3 多项式的乘法5.4乘法公式5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解6.2 提取公因式法6.3 用乘法公式分解因式6.4因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1 同位角、内错角、同旁内角1.2 平行线的判定1.3 平行线的性质1.4 平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1 等腰三角形2.2 等腰三角形的性质2.3 等腰三角形的判定2.4 等边三角形2.5 直角三角形2.6 探索勾股定理2.7 直角三角形全等的判定第3章直棱柱3.1 认识直棱柱3.2 直棱柱的表面展开图3.3 三视图3.4 由三视图描述几何体第4章样本与数据分析初步4.1 抽样4.2 平均数4.3 中位数和众数4.4 方差和标准差4.5 统计量的选择与应用第5章一元一次不等式5.1 认识不等式5.2 不等式的基本性质5.3 一元一次不等式5.4 一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1 探索确定位置的方法6.2 平面直角坐标系6.3 坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1 常量与变量7.2 认识函数7.3 一次函数7.4 一次函数的图象7.5 一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的求解2.3 一元一次方程的应用第3章频数分布及其图形3.1 频数与频率3.2 频数分布直方图3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题4.2 证明4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形5.2 平行四边形5.3 平行四边形的性质5.4中心对称5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形6.2 菱形6.3 正方形6.4梯形九年级上册第1章反比例函数1.1 反比例函数1.2 反比例函数的图像和性质1.3 反比例函数的应用第2章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图像2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用第3章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称性3.3 圆心角3.4 圆周角3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第4章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及其应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第1章解直角三角形1.1 锐角三角形1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第2章简单事件的概率2.1 简单事件的概率2.2 估计概率2.3 概率的简单应用第3章直线与圆、圆与圆的位置关系3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系第4章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一年级上册一、数一数二、比一比三、1～5的认识和加减法四、认识物体和图形五、分类六、6～10的认识和加减法七、11～20各数的认识八、认识钟表九、20以内的进位加法十、总复习一年级下册一、位置二、20以内的退位减法三、图形的拼组四、100以内数的认识五、认识人民币(出现简单的名数改写；关于人民币的简单运算)六、100以内的加法和减法（一）七、认识时间八、找规律九、统计十、总复习二年级上册一、长度单位二、100以内的加法和减法（二）三、角的初步知识四、表内乘法（一）五、观察物体六、表内乘法（二）七、统计八、数学广角九、总复习二年级下册一、解决问题二、表内除法（一）三、图形与变换四、表内除法（二）五、万以内数的认识六、克与千克七、万以内的加法和减法（一）八、统计九、找规律十、总复习三年级上册一、测量二、万以内的加法和减法（二）三、四边形四、有余数的除法五、时、分、秒六、多位数乘一位数七、分数的初步认识八、可能性九、数学广角十、总复习三年级下册一、位置与方向二、除数是一位数的除法三、统计四、年、月、日五、两位数乘两位数六、面积七、小数的初步认识八、解决问题九、数学广角十、总复习四年级上册一、大数的认识二、角的度量三、三位数乘两位数四、平行四边形和梯形五、除数是两位数的除法六、统计七、数学广角八、总复习四年级下册一、四则运算二、位置与方向三、运算定律与简便计算四、小数的意义和性质五、三角形六、小数的加法和减法七、统计八、数学广角九、总复习五年级上册一、小数乘法二、小数除法三、观察物体四、简易方程五、多边形的面积六、统计与可能性七、数学广角八、总复习五年级下册一、图形的变换二、因数与倍数三、长方体和正方体四、分数的意义和性质五、分数的加法和减法六、统计七、数学广角八、总复习六年级上册一、位置二、分数乘法三、分数除法四、圆五、百分数六、统计七、数学广角八、总复习六年级下册一、负数二、圆柱与圆锥三、比例四、统计五、数学广角六、整理与复习1、数与代数2、空间与图形3、统计与概率4、综合应用。

人教版七年级数学下册说课稿8.1第1课时《二元一次方程组》

人教版七年级数学下册说课稿8.1 第1课时《二元一次方程组》一. 教材分析《二元一次方程组》是人教版七年级数学下册第八章的第一节内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程的基础上进行学习的，通过这部分的学习，让学生能够理解二元一次方程组的含义，学会解二元一次方程组，并能运用二元一次方程组解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二元一次方程已经有了一定的了解，但是对二元一次方程组的认识还不够深入，解方程组的能力还有待提高。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二元一次方程组的概念，并通过大量的练习让学生熟练掌握解二元一次方程组的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解二元一次方程组的含义，学会解二元一次方程组，并能运用二元一次方程组解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握解二元一次方程组的方法，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：二元一次方程组的概念，解二元一次方程组的方法。

2.教学难点：二元一次方程组的解法，解二元一次方程组在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方式进行教学。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具进行教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这个问题，从而引出二元一次方程组的概念。

2.自主学习：让学生自主学习教材，理解二元一次方程组的含义，并尝试解一个简单的二元一次方程组。

3.合作交流：学生分组讨论，分享解二元一次方程组的方法，互相学习，互相促进。

4.教师讲解：教师针对学生自主学习的情况，讲解二元一次方程组的解法，并通过例题讲解让学生加深理解。

5.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识，提高解二元一次方程组的能力。

2013年中考数学复习习题集答案

习题集部分第一部分数与代数第一章数与式第1讲实数1．B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.D 7.3 8.<9．C 解析：0.000 021＝2.1×10－5. 10．解：原式＝5－1＋(2－3)＋1＝4.11．C 解析：根据数轴表示数的方法得到a ＜0＜b ，数a 表示的点比数b 表示的点离原点远，则－a ＞－b ，b －a ＞0，|a |＞|b |.∴选项A 、B 、D 正确，选项C 不正确．故选C.12．1.6×10－6 13.2 314．解：原式＝3 3－2×32－14＋1＝2 3＋34.15．解：原式＝－4＋3－2×12＋3＝1.16．517．解：(1)19×11 12×11911⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)1(2n －1)×(2n ＋1) 12×112121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝12×113⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12×1135⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12×1157⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋12×11199201⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12×1111111133557199201⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭…+ ＝12×11201⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12×200201＝100201. 18.2(a ＋b )ab 解析：∵1⊕2＝2⊕1＝3＝2×1＋2×21×2，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－76＝2×(－3)＋2×(－4)(－3)×(－4)，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－415＝2×5＋2×()－35×(－3)，…∴a ⊕b ＝2(a ＋b )ab.第2讲代数式1．B 2.D 3.B 4.A5．A 解析：根据题意，x －2＋(y ＋1)2＝0，两个非负数的和为0，必须这两个数同时为0，所以得：x －2＝0，y ＋1＝0，解得x ＝2，y ＝－1，所以x －y ＝3.6．1 7.1.25b ＋a 8.5 9.n －m 10．解：由2x －1＝3得，x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝14.11．B 解析：a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )，得到14＝12·(a ＋b )，即可得到：(a ＋b )＝12，所以选择B答案．12.m ＋43 1 解：m 2－163m －12＝()m ＋4()m －43()m －4＝m ＋43；当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1.13．B 14.A15．解：A 2－B 2＝(2x ＋y )2－(2x －y )2 ＝4x ·2y ＝8xy .16．A 解析：∵3x ＝4,9y ＝7，∴3x －2y＝3x 32y ＝3x 9y ＝47.17．(－1)n a 3n －1n18．解：原式＝x －y x ÷x 2－2xy ＋y 2x ＝x －y x ·x (x －y )2＝1x －y .当x ＝2 009，y ＝2 010时，原式＝12 009－2 010＝－1.19．C 解析：根据题意得出矩形的面积是(a ＋1)2－(a －1)2，求出即可．矩形的面积是(a ＋1)2－(a －1)2＝a 2＋2a ＋1－(a 2－2a ＋1)＝4a (cm 2)．第3讲整式与分式第1课时整式1．A 2.B 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.C9．(1)2 (2)2a 3 (3)－12a 4＋2a10．解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋a 2－2ab ＝2a 2＋b 2. 11．A 12.D13．解：原式＝4a 2－4ab ＋b 2－b 2 ＝4a 2－4ab ，将a ＝－2，b ＝3代入上式得：上式＝4×(－2)2－4×(－2)×3＝16＋24＝40. 14．解：原式＝a 2－b 2＋2a 2＝3a 2－b 2. 代入a ＝1，b ＝2，原式得3－(2)2＝1.15．解：原式＝4x 2－9－4x 2＋4x ＋x 2－4x ＋4＝x 2－5. 当x ＝－3时，原式＝(－3)2－5＝3－5＝－2. 16．B17．解：由2x －y ＋|y ＋2|＝0，得2x －y ＝0，y ＋2＝0，∴x ＝－1，y ＝－2. 又[(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x＝(x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2)÷2x ＝x －y . ∴x －y ＝－1－(－2)＝1.18．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)答案不唯一．如n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1；(3)成立．因为n (n ＋2)－(n ＋1)2＝n 2＋2n －(n 2＋2n ＋1) ＝n 2＋2n －n 2－2n －1＝－1.19．2 解析：3·9m ·27m ＝3·32m ·33m ＝31＋2m ＋3m ＝311， ∴1＋2m ＋3m ＝11.解得m ＝2. 第2课时因式分解1．C 2.B 3.C 4.(a ＋b )(a －b )5．(m －3)2 6.2x (2x －1) 7.2(x ＋2)(x －2) 8．2(x ＋1)2 9.C 10.211．解：能，因为(n ＋11)2－n 2＝(n ＋11＋n )(n ＋11－n )＝11(2n ＋11)为11的倍数，所以可以被11整除．12．a (1－3b )2 13.ab (b ＋2)(b －2) 14.x (x ＋2)(x －6)15．D 解析：首先把x －1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．(x －1)2－2(x －1)＋1＝(x －1－1)2＝(x －2)2.16．解：原式＝()x －y 2()x ＋y ()x －y ＝x －yx ＋y.当x ＝3＋1，y ＝3－1时，原式＝()3＋1－()3－1()3＋1＋()3－1＝22 3＝33.17．6 解析：∵a ＝2，a ＋b ＝3，∴a 2＋ab ＝a (a ＋b )＝2×3＝6. 18．－3219．(x ＋y )(x －y －3)20．解：等腰或直角三角形 ∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，∴c 2(a ＋b )(a －b )＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)， ∴c 2(a ＋b )(a －b )＝(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )． ∵a ，b 为三角形边长，∴a ＋b ≠0. ∴c 2(a －b )＝(a 2＋b 2)(a －b )，∴a －b ＝0或c 2＝a 2＋b 2，即a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 是等腰或直角三角形． 21．x (x ＋2)(x －2) 第3课时分式1．B 2.C 3.(1)4xab (2)a ＋b 4.7z 36x 2y x ＋3x ＋1 5.326.－1 7．解：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x ＝(x ＋1)(x －1)x ＋1÷(x －1)2x (x －1)＝x .8．解：x 2x －1＋11－x ＝x 2－1x －1＝x ＋1，代入求值(除x ＝1外的任何实数都可以)．9．－1410．m －6 11.C12．解：234211x x x +⎛⎫- ⎪--⎝⎭÷x ＋2x 2－2x ＋1＝3x ＋4－2x －2(x ＋1)(x －1)·(x －1)2x ＋2 ＝x ＋2(x ＋1)(x －1)·(x －1)2x ＋2＝x －1x ＋1. 13．解：原式＝2111(11)x x x x ⎛⎫-+ ⎪++-⎝⎭（）)(·x ＋1x －1 ＝x x ＋1·x ＋1x －1＝xx －1. 当x ＝2时，原式＝2.14．解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－2a ＋1a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝a －2(a ＋1)(a －1)×a ＋1a (a －2) ＝1a 2－a. ∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6.∴原式＝16.15．解：原式＝a (b ＋1)(b ＋1)(b －1)＋b －1(b －1)2＝a b －1＋1b －1＝a ＋1b －1. 由b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0，得b －2＋(6a －b )2＝0，∴b ＝2,6a ＝b ，即a ＝13，b ＝2.∴a ＋1b －1＝13＋12－1＝43. 16．解：由x 2－3x －1＝0知x ≠0，则x 2－1＝3x ，两边同除以x 得x －1x＝3.原式＝21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝1117．－4 解析：由xy x ＋y＝－2，得x ＋y xy ＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12.同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－43.所以，1y ＋1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1y ＋1x ＝－14.于是xy ＋yz ＋zx xyz ＝1z ＋1y ＋1x ＝－14，所以xyzxy ＋yz ＋zx＝－4.第4讲二次根式1．C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.3 3 7.2 2 8.4949.710．解：原式＝3×33－1＋2 2－2＋1＝2＋1.11．C12.B13．C解析：由m＝1＋2，n＝1－2，得m＋n＝2，mn＝－1，则m2＋n2－3mn＝(m＋n)2－5mn＝22－5×(－1)＝9＝3.故选C.14．5解析：先将20n化为最简二次根式，即20n＝2 5n，因此要使5n是整数，正整数n的最小值为5.15．D 16．解：原式＝-212⎛⎫⎪⎝⎭＋1－(3 2－3)＋3188⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝4＋1－3 2＋3－1＝7－3 2.17．D解析：因为x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数，所以x－2y＋9＝0，|x－y－3|＝0.可得290,30x yx y-+=⎧⎨--=⎩⇒15,12xy=⎧⎨=⎩⇒x＋y＝27.18．－2解析：∵1＋x－(y－1)1－y＝0，∴1＋x＋(1－y)1－y＝0.又∵由被开方数为非负数的二次根式有意义的条件，得1－y≥0，∴根据算术平方根为非负数的性质，要使两个非负数之和等于0，必须这两个数同时为0，即1＋x＝0,1－y＝0，即x＝－1，y＝1.∴x2 011－y2 011＝(－1)2 011－12 011＝－2.19．A解析：首先根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y＝2x－5＋5－2x－3在实数范围内有意义，必须250,520xx-≥⎧⎨-≥⎩⇒x＝52.∴y＝－3.∴2xy＝2·52·(－3)＝－15.第二章方程与不等式第1讲方程与方程组第1课时一元一次方程与二元一次方程组1．A 2.D 3.B 4.A 5.4 6.1,1 xy=⎧⎨=-⎩7．20 000－3x＝5 0008．解：设中国人均淡水资源占有量为x m3，美国人均淡水资源占有量为y m3.根据题意，得5,13800.y xx y=⎧⎨+=⎩解得2300,11500.xy=⎧⎨=⎩答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2 300 m3，11 500 m3.9．1解析：由于－2x m－1y3与12xn y m＋n是同类项，所以有1,3,m nm n-=⎧⎨=+⎩由m－1＝n，得－1＝n－m.所以(n－m)2 012＝(－1)2 012＝1.10．C解析：把2,1xy=⎧⎨=⎩代入8,1,mx nynx my+=⎧⎨-=⎩得⎩⎪⎨⎪⎧2m＋n＝8，2n－m＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝3，n＝2.所以2m－n＝6－2＝4,4的算术平方根是2.故选C.11．1 10012．解：原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x－y＝5，①3x＋2y＝12，②①×2＋②，得11x＝22，∴x＝2.把x＝2代入①，得y＝3.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.13．解：(1)当x＝1时，y＝1＋1＝2，∴b＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝2.(3)∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，∴当x＝1时，y＝m＋n＝b＝2.∴当x＝1时，y＝n＋m＝2，∴直线l3：y＝nx＋m也经过点P.14．解：这天萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y＝45，31＋50%x＋21＋20%y＝36.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝18.答：这天萝卜、排骨的单价是3元/斤、18元/斤．15．解：⎩⎪⎨⎪⎧x－y＝2，①x2－2xy－3y2＝0，②方程①变形为y＝x－2.③把③代入②，得x2－2x(x－2)－3(x－2)2＝0.整理，得x2－4x＋3＝0.解这个方程，得x1＝1，x2＝3.将x1＝1，x2＝3代入③，分别求得y1＝－1，y2＝1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，y1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝3，y2＝1.16．B解析：关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝5k，x－y＝9k，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝7k，y＝－2k.将之代人方程2x＋3y ＝6，得k＝34.第2课时分式方程1．D 2.D 3.B 4.C 5.C6．1解析：原方程求解，得x＝1或－1.经检验，x＝－1是原方程的增根，所以x＝1是原方程的根．7．2 200元解析：设条例实施前此款空调的售价为x元，由题意列方程，得10 000x(1＋10%)＝10 000x－200，解得x＝2 200元．8．解：方程两边同时乘以(x＋1)(x－1)，得2＋(x －1)＝(x ＋1)(x －1)．解得x ＝2或－1. 经检验：x ＝－1是方程的增根． ∴原方程的解为x ＝2.9．解：由题意列方程，得3－x 2－x －1x －2－＝3，解得x ＝1.经检验x ＝1是原方程的根．10．解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克，则一片银杏一年的平均滞尘量为(2x －4)毫克，根据题意，得1 0002x －4＝550x .解得x ＝22.经检验，x ＝22是方程的解．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．11．A 解析：∵a ⊕b ＝1b －1a ，∴2⊕(2x －1)＝12x －1－12＝1.∴12x －1＝32，解得x ＝56.检验，合适．故选A.12．0 解析：去分母，得2－x －m ＝2(2－x )，解得x ＝6－m 3.由原方程有增根，所以6－m3＝2，解得∴m ＝0.13．解：设文学书的单价是x 元/本，则科普书的单位为(x ＋4)元/本．依题意，得12 000x ＋4＝8 000x .解得x ＝8.经检验x ＝8是方程的解，并且符合题意． ∴科普书的单价为：x ＋4＝12(元)．∴去年购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元． 15．解：(1)设商铺标价为x 万元，则：按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)×x ＋x ×10%×5＝0.7x .投资收益率为0.7xx×100%＝70%.按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)×x ＋x ×10%×(1－10%)×3＝0.62x .投资收益率为0.62x0.85x×100%≈72.9%.∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高． (2)由题意，得0.7x －0.62x ＝5. 解得x ＝62.5(万元)．∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元． 14．解：设该校九年级学生有x 人．根据题意，得 1 936x ×0.8＝1 936x ＋88，整理，得0.8(x ＋88)＝x . 解得x ＝352.经检验x ＝352是原方程的解. 答：这个学校九年级学生有352人．16．解：设B 车间每天生产x 件，则A 车间每天生产1.2x .由题意，得4 400x ＋1.2x＋4 400x ＝20.解得x ＝320.经检验x ＝320 是原方程的根．A 车间每天生产的件数＝1.2x ＝320×1.2＝384(件)．答：A 车间每天生产384件，B 车间每天生产320件．第3课时一元二次方程1．C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B7．B 解析：∵关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22＋4a ＝0.解得a ＝－18．c ＞9 9.289(1－x )2＝256 10．解：(x －3)2＋4x (x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(x －3＋4x )＝0，整理，得(x －3)(5x －3)＝0. 于是得x －3＝0或5x －3＝0.解得x 1＝3，x 2＝35.11．D 解析：x 1＋x 2＝－2a ＝3，a ＝－32；x 1x 2＝b ＝1.12．B 13.314．－1 解析：将原代数式去括号，因式分解，整理，得(a －b )(a ＋b －2)＋ab . ①由一元二次方程根与系数关系，得a ＋b ＝2，ab ＝－1， ①式＝0－1＝－1.15．解：(1)设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得(60－x －40)⎝⎛⎭⎫100＋x2×20＝2 240. 化简，得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6. 答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知，每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60－6＝54(元)，5460×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售.16．解：设AB ＝x m ，则BC ＝(50－2x ) m. 根据题意可，得x (50－2x )＝300. 解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，BC ＝50－10－10＝30＞25，故x 1＝10(不合题意，舍去)．答：可以围成AB 的长为15米，BC 为20米的矩形．17．D 解析：由题意，得⎩⎨⎧(2k ＋1)2－4k >0，2k ＋1≥0，k ≠0.解得－12≤k ＜12且k ≠0.18．4 解析：∵α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，∴α＋β＝－3，α2＋3α＝7.∴α2＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝7－3＝4.故α2＋4α＋β的值为4.19．10 解析：解方程x 2－6x ＋8＝0，得x 1＝2，x 2＝4. ∴三角形的三条边的长只能是4,4,2 .∴该三角形的周长是10. 第2讲不等式与不等式组1．B 2.C 3.B 4.B 5.2<x <3 6.m ≤27．m >2 解析：由第一象限点的坐标的特点可得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －2>0.解得m ＞2.8．－1,0,1 解析：解原不等式组，得－32<x ≤1，所以x 取－1,0,1.9．解：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2<x ＋2， ①8－x ≥1－3(x －1). ②由不等式①，得x ＜2，由不等式②，得x ≥－2.∴不等式组的解集为－2≤x ＜2.10．解：(1)牛奶盒数为(5x ＋38)盒．(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋38－6(x －1)<5，5x ＋38－6(x －1)≥1.∴不等式组的解集为39＜x ≤43. ∵x 为整数，∴x 取40,41,42,43.答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人．11．A 解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m,1－m )．又∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，1－m >0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m <1. 在数轴上表示为.故选A.12．B 解析：设购进这种水果a 千克，进价为y 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x ，则售价为(1＋x )y 元/千克．由题意，得0.9a (1＋x )y －ayay ×100%≥20%.解得x ≥13.∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%.13．a <4 解析：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞3x －3， ①3x －a ＞5. ②由①得，x ＜3，由②得，x ＞5＋a3.∵此不等式组有实数解， ∴5＋a 3＜3，解得a ＜4.14．解：(1)设甲票价为4x 元，则乙为3x 元． ∴3x ＋4x ＝42，解得x ＝6.∴4x ＝24,3x ＝18.∴甲、乙两种票的单价分别是24元、18元． (2)设甲票有y 张，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧24y ＋18(36－y )≤750，y ＞15. 解得15＜y ≤17.∵x 为整数，∴y ＝16或17.∴有两种购买方案：甲种票16张，乙种票20张；甲种票17张，乙种票19张．15．解：⎩⎨⎧x 2＋x ＋13>0， ①x ＋5a ＋43>43(x ＋1)＋a . ②解不等式①，得x >－25.解不等式②，得x <2a .由该不等式有实数解，得该不等式组的解集为－25<x <2a .又由该不等式恰有两个整数解，得1<2a ≤2.解得12<a ≤1.∴实数a 的取值范围为12<a ≤1.16．解：(1)设有x 人生产A 种板材，则有(210－x )人生产B 种板材．根据题意列方程，得 48 00060x ＝24 00040(210－x ). 化简，得6x ＝8(210－x )．解得x ＝120.经检验x ＝120是原方程的解．生产B 种板材的人数为210－x ＝210－120＝90(人)．(2)设生产甲型板房m 间，则生产乙型板房为(400－m )间．根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧108m ＋156(400－m )≤48 000，61m ＋51(400－m )≤24 000.解得300≤m ≤360. 设400间板房能居住的人数为W .则有 W ＝12m ＋10(400－m )，W ＝2m ＋4 000.∵k ＝2>0，∴当m ＝360时，W 最大值＝2×360＋4 000＝4 720(人)．答：这400间板房最多能安置4 720人． 17．a <418．解：(1)(2 420＋1 980)×13%＝572(元)．(2)①设冰箱采购x 台，则彩电采购(40－x )台．根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2 320x ＋1 900(40－x )≤85 000，x ≥56(40－x ).解不等式组，得18211≤x ≤2137.因为x 为整数，所以x ＝19或20或21. 方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台；方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台． ②设商场获得总利润为y 元，则y ＝(2 420－2 320)x ＋(1 980－1 900)(40－x ) ＝20x ＋3 200.∵k ＝20＞0，∴y 随x 的增大而增大．∴当x ＝21时，y 最大＝20×21＋3 200＝3 620. 第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系 1．B 2.B 3.C 4.B 5.B6．B 解析：顶点A 的坐标是(－2,3)，△ABC 向右平移4个单位后得到△A 1B 1C 1的顶点A 1的坐标是(2,3)，△A 1B 1C 1关于x 轴对称图形△A 2B 2C 2的顶点A 2的坐标是(2，－3)．7．C 解析：根据以原点O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是(－2，－4)．8．C 9.C 10.(－1，－2) 11.(1,3)12.⎝⎛⎭⎫72，0 解析：如下图D37，取B (3，－1)关于x 轴的对称点为B ′，则B ′的坐标为(3,1)．作直线AB ，它与x 轴的交点即为所求的点M .使用待定系数法求得直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋7，令y ＝0，得－2x ＋7＝0，解得x ＝72，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫72，0.图D3713．210 解析：如图可知，每个拐角形阴影部分的面积等于两个正方形面积的差，其面积分别为：22－12,42－32,62－52，…，202－192，因此其面积和为：2＋1＋4＋3＋6＋5＋…＋20＋19＝20×(1＋20)2＝210. 14．(16,1＋3) 解析：可以求得点A (－2，－1－3)，则第一次变换后点A 的坐标为A 1(0,1＋3)，第二次变换后点A 的坐标为A 2(2，－1－3)，可以看出每经过两次变换后点A 的y 坐标就还原，每经过一次变换x 坐标增加2.因而第九次变换后得到点A 9的坐标为(16,1＋3)．15．(1)△ABC 如图D38 14(2)直角三角形解析：(1)因为点A 的坐标为(1,2)，所以点A 关于y 轴的对称点B 的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C 的坐标为(－1，－2)．连AB ，BC ，AC ，作△ABC.图D38设AB 交y 轴于D 点，如图D38， D 点坐标为(0,2)， ∵OD ∥BC ，∴△ADO ∽△ABC . ∴S △ADO S △ABC ＝AD 2AB 2＝14. (2)∵ab ≠0，∴a ≠0，且b ≠0， ∴点A 不在坐标轴上， ∴AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴． ∴∠ABC ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．16．解：(1)∵四边形ONEF 是矩形， ∴点M 是OE 的中点．∵O (0,0)，E (4,3)，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32. (2)设点D 的坐标为(x ，y )．若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边构成平行四边形，则AB ，CD 的中点重合∴⎩⎨⎧ 1＋x 2＝－1＋324＋y 2＝2＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1.若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边构成平行四边形，则AD ，BC 的中点重合∴⎩⎨⎧ －1＋x 2＝1＋322＋y 2＝4＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3.若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边构成平行四边形，则BD ，AC 的中点重合∴⎩⎨⎧3＋x 2＝－1＋121＋y 2＝2＋42，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．17．D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F . ∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°，∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12，∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13.则D 3C 3＝13.根据题意得出： ∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°，∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36.则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16.第2讲一次函数1．D 2.D 3.D 4.A 5.D 6.C 7．B 8.减小 9.210．解：(1)120×150＝18 000(元)． (2)由图象知，y 与x 之间的函数是一次函数．设函数关系式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)．将(205,1 000)，(275,1 280)两点坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧ 205k ＋b ＝1 000，275k ＋b ＝1 280，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝180.则y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋180.11．B 解析：∵函数图象经过二、四象限，∴m －1＜0，解得m ＜1.故选B.12．B 解析：∵一次函数y ＝mx ＋|m －1|的图象过点(0,2)，∴|m －1|＝2，∴m －1＝2或m －1＝－2，解得m ＝3或m ＝－1，∵y 随x 的增大而增大，∴m ＞0，∴m ＝3.13．B 解析：由函数图象可知，当x <2时y 1<y 2.14．－8 解析：∵y ＝kx ＋b 的图象与正比例函数y ＝2x 的图象平行，∴k ＝2.∵y ＝kx ＋b 的图象经过点A (1，－2)，∴2＋b ＝－2，解得b ＝－4，∴kb ＝2×(－4)＝－8. 15．解：(1)y ＝(1－0.5)x －(0.5－0.2)(200－x ) ＝0.8x －60(0≤x ≤200)；(2)根据题意得：30×(0.8x －60)≥2 000，解得x ≥15813.故小丁每天至少要卖159份报纸才能保证每月收入不低于2 000元．16.⎝⎛⎭⎫75，－65 解析：如图D39，当AB 最短时AB ⊥直线y ＝2x －4，设直线与x 轴、y 轴的交点分别为点C ，D ，过点B ，作BE ⊥AC 于E ，易知△ABC ∽△DOC ，对应线段成比例，即CA CD ＝BCOC，AC ＝3，易求OC ＝2，CD ＝2 5，可以求出BC ＝35 5，又有△ABC ∽△BEC ，根据EC BC ＝BCAC，可求出CE ＝35，所以点B 的横坐标为2－35＝75，代入表达式中就可以求出点B 的纵坐标为－65.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫75，－65. 图D3917．解：(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利： (30－20)×[105－5(30－25)]＝800(元)．(2)设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元由题意得：y ＝(x －20)[105－5(x －25)] ＝－5x 2＋330x －4 600 ＝－5(x －33)2＋845当x ＝33时，y 的最大值是845.故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元． 18．解：(1)设商家购买彩电x 台，则购买洗衣机(100－x )台．由题意，得2 000x ＋1 000(100－x )＝160 000，解得x ＝60.则100－x ＝40(台)，所以，商家可以购买彩电60台，洗衣机40台． (2)设购买彩电a 台，则购买洗衣机为(100－2a )台．根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2 000a ＋1 600a ＋1 000(100－2a )≤160 000，100－2a ≤a ，解得3313≤a ≤37.5，因为a 是整数，所以a ＝34,35,36,37. 因此，共有四种进货方案．设商店销售完毕后获得利润为w 元．则w ＝(2 200－2 000)a ＋(1 800－1 600)a ＋(1 100－1 000)(100－2a )＝200a ＋10 000. ∴w 随a 的增大而增大． ∴当a ＝37时，w 最大值＝200×37＋10 000＝17 400(元)，所以商店获得的利润最大为17 400元．19．解：将(－1,1)代入y ＝kx ＋3，得1＝－k ＋3，所以k ＝2.所以2x ＋3＜0.解得x ＜－32.20．解：(1)(2 420＋1 980)×13%＝572(元)．(2)设冰箱采购x 台，则彩电采购(40－x )台，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2 320x ＋1 900(40－x )≤85 000，x ≥56(40－x )，解不等式组得18211≤x ≤2137，因为x 为整数，所以x ＝19,20,21，方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台，设商场获得总利润为y 元，则y ＝(2 420－2 320)x ＋(1 980－1 900)(40－x ) ＝20x ＋3 200∴当x ＝21时，y 最大值＝20×21＋3 200＝3 620(元)．∴商场购买冰箱21台，彩电19台时获利最大，最大利润是3 620元．第3讲反比例函数 1．B 2.D3．A 解析：将y ＝k x 代入y ＝x ＋2中，得k x ＝x ＋2，由于函数y ＝kx与y ＝x ＋2的图象没有交点，则kx＝x ＋2无解，得出k 的值． 4．C 解析：∵直线y ＝ax (a ≠0)与双曲线y ＝kx(k ≠0)的图象均关于原点对称，∴它们的另一个交点坐标与(2,6)关于原点对称．∴它们的另一个交点坐标为：(－2，－6)．5．A 解析：先根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．∵双曲线y ＝m －1x的图象经过第一、三象限，∴m －1>0.∴m >1.6．B 解析：双曲线与直线的交点坐标适合两者的解析式，利用y ＝2x ＋1可以求出交点坐标为(－1，－1)，进而求出k ＝1.7．C 解析：由矩形的面积知xy ＝9，可知它的长x 与宽y 之间的函数关系式为y ＝9x(x ＞0)，是反比例函数图象，且其图象在第一象限．故选C.8．A 解析：由图象观察可知，一次函数与反比例函数相交于点(－2，－2)、(1,4)两点，进一步观察当－2<x <0时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值即y 1>y 2；当x >1时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值即y 1>y 1，因此A 满足条件．9．－2 解析：根据图象上的点满足函数解析式，即－2＝k1，所以k ＝－2.10．－311．解：(1)∵点A (m,6)、B (n,3)在函数y ＝6x的图象上，∴m ＝1，n ＝2.∴A (1,6)，B (2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝9.∴一次函数的解析式为y ＝－3x ＋9. (2)由图象知：1<x <2.12．A 解析：由反比例函数的增减性可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，所以当x 1<x 2<0时，0<y 1<y 2.又C (x 3，y 3)在第四象限，则y 3<0，所以y 3<y 1<y 2.故选A.13．C 14.－5＜x ＜－1或x ＞0 15.－416．解：(1)在y 1＝k 1x ＋1中，当x ＝0时，y ＝1， ∴点A 的坐标为(0,1)．设B 点的坐标为(b,0) 由△AOB 的面积为1，得 12b ×1＝1，∴b ＝2.∴点B 的坐标为(2,0) 又∵点B 在一次函数y 1＝k 1x ＋1的图象上，有0＝2k 1＋1，∴k 1＝－12.∴一次函数的解析式为y 1＝－12x ＋1.由点M 在一次函数y 1＝k 1x ＋1的图象上，点M 纵坐标为2，得2＝－12x ＋1，解得x ＝－2，点M 坐标为(－2,2)．代入y 2＝k 2x 中，得2＝k 1－2.∴k 1＝－4.∴反比例函数的解析式的解析式为y 2＝－4x.由图象可知，点N 坐标为(4，－1)y 1>y 2时x 的取值范围为x <－2或0<x <4.17．三 k >0 解：(1)根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y ＝kx的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；(2)∵梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，BC ⊥OB ，而点C 的坐标标为(2,2)，∴A 点的纵坐标为2，E 点的横坐标为2，B 点坐标为(2,0)，把y ＝2代入y ＝k x 得x ＝k2；把x ＝2代入y ＝k x 得y ＝k2，∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 2，2，E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，k 2. ∴S 阴影＝S △ACE ＋S △OBE ＝12×⎝⎛⎭⎫2－k 2×⎝⎛⎭⎫2－k 2＋12×2×k 2＝18k 2－12k ＋2＝18(k －2)2＋32. 当k －2＝0，即k ＝2时，S 阴影部分最小，最小值为32；∴E 点的坐标为(2,1)，即E 点为BC 的中点．∴当点E 在BC 的中点时，阴影部分的面积S 最小．(3)设D 点坐标为⎝⎛⎭⎫a ，k a ，∵OD OC ＝12，∴OD ＝DC ，即D 点为OC 的中点．∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫2a ，2k a ，把y ＝2k a 代入y ＝k x 得x ＝a2，确定A 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，2k a ，∵S △OAC ＝2，∴12×⎝⎛⎭⎫2a －a 2×2k a ＝2，解得k ＝43.双曲线的解析式为y ＝43x . 18．解：(1)510－200＝310(元)．(2)p ＝200x，∴p 随x 的增大而减小．(3)购x 元(200≤x ＜400)，在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x －0.6x ＝0.4x . 当0.4x ＜100，即200≤x ＜250时，选甲商场优惠；当0.4x ＝100，即x ＝250时，选甲乙商场一样优惠；当0.4x ＞100，即250＜x ＜400时，选乙商场优惠；19．解：(1)把A (2,3)代入y 2＝mx，得m ＝6.把A (2,3)，C (8,0)代入y 1＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋b ，0＝8k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝4.∴这两个函数的解析式为：y 1＝－12x ＋4，y 2＝6x.(2)由题意得⎩⎨⎧y ＝－12x ＋4，y ＝6x，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝3.∴当x ＜0或2＜x ＜6时，y 1>y 1.20．解：(1)设反比例函数解析式为y ＝kx，将(25,6)代入解析式得，k ＝150.所以y ＝150x(x ≥15)．将y ＝10代入解析式得，10＝150x.x ＝15.故A (15,10)，则正比例函数解析式为y ＝150x(x ≥15)．设正比例函数解析式为y ＝nx ，将A (15,10)代入上式即可求出n 的值，n ＝23.则正比例函数解析式为y ＝23x (0≤x ≤15)．(2)150x＝2，解之得x ＝75(分钟)．答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．第4讲二次函数1．D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9．(1，－4) 10.－1＜x ＜3 11．解：(1)画图(如图D40)．图D40(2)当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜－3或x ＞1. (3)平移后的图象所对应的函数关系式为y ＝－12(x －2)2＋2⎝⎛⎭⎫或写成y ＝－12x 2＋2x . 12．C 13.D 14.D 15.D 16．解：(1)10＋x 500－10x(2)设月销售利润为y 元．根据题意，得y ＝(10＋x )(500－10x )，整理得y ＝－10(x －20)2＋9 000当x ＝20时，y 有最大值9 000(元)，此时篮球的售价为：20＋50＝70(元)．答：8 000元不是最大利润，最大利润是9 000元，此时篮球售价应为70元． 17．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴相交于点A (－3,0)，B (－1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋3＝0，a －b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2＋4x ＋3.(2)由(1)知，抛物线解析式为：y ＝x 2＋4x ＋3， ∵令x ＝0，得y ＝3，∴C (0,3)．∴OC ＝OA ＝3，则△AOC 为等腰直角三角形．∴∠CAB ＝45°.∴cos ∠CAB ＝22.在Rt △BOC 中，由勾股定理得：BC ＝12＋32＝10. 如图D41所示，连接O 1B ，O 1C ，由圆周角定理得：∠BO 1C ＝2∠BAC ＝90°. ∴△BO 1C 为等腰直角三角形．∴⊙O 1的半径O 1B ＝22BC ＝22×10＝ 5.图D41图D42(3)抛物线y ＝x 2＋4x ＋3＝(x ＋2)2－1，∴顶点P 坐标为(－2，－1)，对称轴为x ＝－2.又∵A (－3,0)，B (－1,0)，可知点A ，B 关于对称轴x ＝2对称．如图D42所示：由圆及抛物线的对称性可知：点D ，点C (0,3)关于对称轴对称， ∴D (－4,3)．又∵点M 为BD 中点，B (－1,0)，∴M ⎝⎛⎭⎫－52，32. ∴BM ＝⎣⎡⎦⎤－52－(－1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝322. 在△BPC 中，B (－1,0)，P (－2，－1)，C (0,3)，由两点间的距离公式得：BP ＝2，BC ＝10，PC ＝2 5. ∵△BMN ∽△BPC ，∴BM BP ＝BN BC ＝MN PC ，即3 222＝BN 10＝MN2 5. 解得：BN ＝3210，MN ＝3 5.设N (x ，y )，由两点间的距离公式可得：⎩⎨⎧(x ＋1)2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫32102，⎝⎛⎭⎫x ＋522＋⎝⎛⎭⎫y －322＝(35)2，解之得，⎩⎨⎧ x 1＝72，y 1＝32，⎩⎨⎧x 2＝12，y 2＝－92.∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫72，－32或⎝⎛⎭⎫12，－92. 18．(1)证明：∵二次函数y ＝mx 2＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，∴抛物线的对称轴为x ＝2，即－n2m＝2，化简得：n ＋4m ＝0.(2)解：∵二次函数y ＝mx 2＋nx ＋p 与x 轴交于A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1＜0＜x 2，∴OA ＝－x 1，OB ＝x 2；x 1＋x 2＝－n m ，x 1·x 2＝pm.令x ＝0，得y ＝p ，∴C (0，p )．∴OC ＝|p |.由三角函数定义得：tan ∠CAO ＝OC OA ＝|p |－x 1＝－|p |x 1，tan ∠CBO ＝OC OB ＝|p |x 2.∵tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1，即－|p |x 1－|p |x 2＝1，化简得：x 1＋x 2x 1·x 2＝－1|p |.将x 1＋x 2＝－n m ，x 1·x 2＝pm 代入得：－n m p m＝－1|p |，化简得：n ＝p|p |＝±1.由(1)知n ＋4m ＝0，∴当n ＝1时，m ＝－14；当n ＝－1时，m ＝14.∴m ，n 的值为：m ＝14，n ＝－1(此时抛物线开口向上)或m ＝－14，n ＝1(此时抛物线开口向下)．(3)解：由(2)知，当p ＞0时，n ＝1，m ＝－14，∴抛物线解析式为：y ＝－14x 2＋x ＋p .联立抛物线y ＝－14x 2＋x ＋p 与直线y ＝x ＋3解析式得到：－14x 2＋x ＋p ＝x ＋3，化简得：x 2－4(p －3)＝0.∵二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0，即△＝02＋16(p －3)＝0，解得p ＝3.∴抛物线解析式为：y ＝－14x 2＋x ＋3＝－14(x －2)2＋4.当x ＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.∴当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4. 19．解：(1)当m ＝3时，y ＝－x 2＋6x .令y ＝0得－x 2＋6x ＝0，解得，x 1＝0，x 2＝6. ∴A (6,0)．当x ＝1时，y ＝5.∴B (1,5)．∵抛物线y ＝－x 2＋6x 的对称轴为直线x ＝3，且B ，C 关于对称轴对称，∴BC ＝4. (2)过点C 作CH ⊥x 轴于点H (如图D43) 由已知得，∠ACP ＝∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠PCB .又∵∠AHC ＝∠PBC ＝90°，∴△ACH ∽△PCB . ∴AH CH ＝PB BC. ∵抛物线y ＝－x 2＋2mx 的对称轴为直线x ＝m ，其中m ＞1，且B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝2(m －1)．∵B (1,2m －1)，P (1，m )，∴BP ＝m －1.又∵A (2m,0)，C (2m －1,2m －1)，∴H (2m －1,0)． ∴AH ＝1，CH ＝2m －1，∴12m －1＝m －12()m －1，解得m ＝32.图D43图D44(3)存在．∵B ，C 不重合，∴m ≠1.当m ＞1时，BC ＝2(m －1)，PM ＝m ，BP ＝m －1， ①若点E 在x 轴上如图D43， ∵∠CPE ＝90°，∴∠MPE ＋∠BPC ＝∠MPE ＋∠MEP ＝90°，PC ＝EP . ∴△BPC ≌△MEP ，∴BC ＝PM ，即2(m －1)＝m ，解得m ＝2. 此时点E 的坐标是(2,0)．②若点E 在y 轴上如图D44，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，易证△BPC ≌△NPE ，∴BP ＝NP ＝OM ＝1，即m －1＝1，解得，m ＝2. 此时点E 的坐标是(0,4)．当0＜m ＜1时，BC ＝2(1－m )，PM ＝m ，BP ＝1－m ， ①若点E 在x 轴上如图D45，易证△BPC ≌△MEP ，∴BC ＝PM ，即2(1－m )＝m ，解得，m ＝23.此时点E 的坐标是(43，0)．图D45图D46②若点E 在y 轴上如图D46，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP ＝NP ＝OM ＝1，即1－m ＝1，∴m ＝0(舍去)．综上所述，当m ＝2时，点E 的坐标是(0,2)或(0,4)，当m ＝23时，点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫43，0. 20．解：(1)在y ＝－38x 2－34x ＋3中，令y ＝0，即－38x 2－34x ＋3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2.∵点A 在点B 的左侧，∴A ，B 点的坐标为A (－4,0)，B (2,0)．(2)由y ＝－38x 2－34x ＋3得，对称轴为x ＝－1.在y ＝－38x 2－34x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3.∴OC ＝3，AB ＝6，S ΔACB ＝12AB ·OC ＝12×6×3＝9.在Rt △AOC 中，AC ＝OA 2＋OC 2＝42＋32＝5，∴sin ∠OCA ＝45.设△ACD 中AC 边上的高为h ，则有12AC ·h ＝9，解得h ＝185.如图D47，在坐标平面内作直线平行于AC ，且到AC 的距离h ＝185，这样的直线有2条，分别是L 1和L 2，则直线与对称轴x ＝－1的两个交点即为所求的点D.图D47设L 1交y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥L 1于点F ，则CF ＝h ＝185，∴CE ＝CF sin ∠CEF ＝CFsin ∠OCA ＝18545＝92.设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点A (－4,0)，点C (0,3)坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3.∴直线AC 解析式为y ＝34x ＋3.直线L 1可以看做直线AC 向下平移CE 长度单位⎝⎛⎭⎫92个长度单位而形成的， ∴直线L 1的解析式为y ＝34x ＋3－92＝34x －32.则D 1的纵坐标为34×()－1－32＝－94.∴D 1⎝⎛⎭⎫－1，－94. 同理，直线AC 向上平移92个长度单位得到L 2，可求得D 2⎝⎛⎭⎫－1，274. (3)如图D48，以AB 为直径作⊙F ，圆心为F .过E 点作⊙F 的切线，这样的切线有2条．图D48连接FM ，过M 作MN ⊥x 轴于点N .∵A (－4,0)，B (2,0)，∴F (－1,0)，⊙F 半径FM ＝FB ＝3. 又FE ＝5，则在Rt △MEF 中，ME ＝52－32＝4，sin ∠MFE ＝45，cos ∠MFE ＝35.在Rt △FMN 中，MN ＝FN ·sin ∠MFE ＝3×45＝125，FN ＝FM ·cos ∠MFE ＝3×35＝95，则ON ＝45，∴M 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，125.直线l 过M ⎝⎛⎭⎫45，125，E (4,0)，设直线l 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，则有⎩⎪⎨⎪⎧45k ＋b ＝125，4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.∴直线l 的解析式为y ＝－34x ＋3.同理，可以求得另一条切线的解析式为y ＝34x －3.综上所述，直线l 的解析式为y ＝－34x ＋3或y ＝34x －3.第二部分空间与图形第四章三角形与四边形第1讲相交线和平行线1．B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8．121° 9.98 10.35 11.360 12．解：∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)． ∴∠3＝∠4＝75°(两直线平行，内错角相等)． 13．A 14.B15．解：(1)2 (2)6 (3)12 (4)(n －1)n (5)4 030 05616．解：(1)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12×120°－12×30°＝45°.(2)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(α＋30°)－12×30°＝12α.(3)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(90°＋β)－12β＝45°.(4)∠MON 的大小等于∠AOB 的一半，与∠BOC 的大小无关． 17．解：(1)∵m ∥n ，∴点C ，P 到直线n 间的距离与点A ，B 到直线m 间的距离相等．又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图D49(1)中符合条件的三角形有：△CAB 与△P AB 、△BCP 与△APC ，△ACO 与△BOP . (2)∵m ∥n ，∴点C ，P 到直线n 间的距离是相等的．∴△ABC 与△P AB 的公共边AB 上的高相等． ∴总有△P AB 与△ABC 的面积相等．(1)(2)图D49(3)如图D49(2)连接EC ，过点D 作直线DM ∥EC 交BC 的延长线于点M ，连接EM ，线段EM 所在的直线即为所求的直线．第2讲三角形第1课时三角形1．C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A 9.3 10．证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°. 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠A ，∠ADB ＝∠AEC ，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE (AAS)．∴BD ＝CE .11．证明：∵AD ＝EB ，∴AD －BD ＝EB －BD ，即AB ＝ED . 又∵BC ∥DF ，∴∠CBD ＝∠FDB . ∴∠ABC ＝∠EDF .又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△EDF .∴AC ＝EF .12．解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②； (2)若选择如果①②，那么③. 证明：∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D .∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ，即AC ＝DB . 在△ACE 和△DBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ，∴△ACE ≌△DBF (AAS)．∴CE ＝BF . 若选择如果①③，那么②.证明：∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D . 在△ACE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，∠A ＝∠D ，EC ＝FB ，∴△ACE ≌△DBF (AAS)．∴AC ＝DB .∴AC －BC ＝DB －BC ，即AB ＝CD . 13．解：∵∠CMD ＝90°，∴∠CMA ＋∠DMB ＝90°. 又∵∠CAM ＝90°，∴∠CMA ＋∠ACM ＝90°. ∴∠ACM ＝∠DMB . 又∵CM ＝MD ，∴Rt △ACM ≌Rt △BMD ，∴AC ＝BM ＝3. ∴他到达点M 时，运动时间为3÷1＝3(s)．答：这个人运动了3 s. 14．13 15.D16．7 解析：因为△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，所以EC ＝AE ，故△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.17．解：(1)①结论：BD ＝CE ，BD ⊥CE . ②结论：BD ＝CE ，BD ⊥CE .理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE . 在△ABD 与△ACE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE .∴BD ＝CE .延长BD 交AC 于点F ，交CE 于点H . 在△ABF 与△HCF 中，∵∠ABF ＝∠HCF ，∠AFB ＝∠HFC ， ∴∠CHF ＝∠BAF ＝90°.∴BD ⊥CE .(2)结论：乙．AB ∶AC ＝AD ∶AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°. 18．(1)证明：在Rt △AFD 和Rt △CEB 中， ∵AD ＝BC ，AF ＝CE ，∴Rt △AFD ≌Rt △CEB . (2)解：∵∠ABH ＋∠CBE ＝90°，∠ABH ＋∠BAH ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAH . 又∵AB ＝BC ，∠AHB ＝∠CEB ＝90°， ∴△ABH ≌△BCE .同理，得△ABH ≌△BCE ≌△CDG ≌△DAF . ∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF＝4×12×2×1＋1×1＝5.(3)解：由(1)，知△AFD ≌△CEB ，故h 1＝h 3，由(2)，知△ABH ≌△BCE ≌△CDG ≌△DAF ， ∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF＝4×12(h 1＋h 2)·h 1＋h 22 ＝2h 21＋2h 1h 2＋h 22.第2课时等腰三角形与直角三角形 1．C 解析：分顶角为40°或底角为40°两种情况． 2．B 3.C 4.A5．D 解析：∠B ＝∠EFC ＝90°－∠CEF ＝40°. 6．B 7.2 8.59．如果三角形三条边的边长a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形 10．解：∵在Rt △BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2， ∴BC ＝CD ＝10. ∵∠C ＝90°，AB ＝20，∴∠A ＝30°.11．(1)解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵∠C ＋∠BAC ＋∠B ＝180°， ∴∠BAC ＝180°－30°－30°＝120°. ∵∠DAB ＝45°，∴∠DAC ＝∠BAC －∠DAB ＝120°－45°＝75°. (2)证明：∵∠DAB ＝45°， ∴∠ADC ＝∠B ＋∠DAB ＝75°.∴∠DAC ＝∠ADC . ∴DC ＝AC .∴DC ＝AB . 12．解：(1)AC ⊥BD .∵△DCE 由△ABC 平移而成，∴BE ＝2BC ＝6，DE ＝AC ＝3，∠E ＝∠ACB ＝60°.∴DE ＝12BE .∴BD ⊥DE .∵∠E ＝∠ACB ＝60°，∴AC ∥DE .∴BD ⊥AC . (2)在Rt △BED 中，∵BE ＝6，DE ＝3，∴BD 2＝BE 2－DE 2＝62－32，解得BD ＝3 3. 13．C 14.10＋2 13 15．解：(1)如图D50：图D50(2)2 55 5 (3)直角 10 (4)1216.49217．解：(1)(x ＋0.7)2＋22＝2.52， 0．8，－2.2(舍去)，0.8. (2)①不会是0.9米，若AA 1＝BB 1＝0.9，则A 1C ＝2.4－0.9＝1.5， B 1C ＝0.7＋0.9＝1.6,1.52＋1.62＝4.81,2.52＝6.25， ∵A 1C 2＋B 1C 2≠A 1B 1 2 ， ∴该题的答案不会是0.9米． ②有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x )2＝2.52，解得：x ＝1.7或x ＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．第3讲四边形与多边形第1课时多边形与平行四边形 1．B 2.A 3.C 4.C 5.300° 6.3 7.4 8.6 9.5 10．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .∴∠P AE ＝∠PCF .∵点P 是□ABCD 的对角线AC 的中点， ∴P A ＝PC .在△P AE 和△PCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P AE ＝∠PCF ，P A ＝PC ，∠APE ＝∠CPF ，∴△P AE ≌△PCE (ASA)．∴AE ＝CF .11．解：添加的条件是BE ＝DF .证明如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC . ∵BE ＝DF ，∴AF ＝CE ，即AF ＝CE ，AF ∥CE .∴四边形AECF 是平行四边形． 12．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠FBC ，在Rt △AED 和Rt △CFB 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FCB ，∠ADE ＝∠FBC ，AE ＝CF ，∴Rt △AED ≌Rt △CFB .∴AD ＝BC .又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 13．B14．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＝∠BCD .∴∠EAM ＝∠FCN . 又∵AD ∥BC ，∴∠E ＝∠F . 在△AEM 与△CFN 中，。

[原创]《南方中考》数学第一部分第二章第1讲第1课时一元一次方程和二元一次方程组[配套课]

3．一元一次方程．只含有__一__个__未知数，并且未知数的次数是___1___，系数不为___0___，这样的方程叫做一元一次方程． 4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且含有未知数的项的次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
x－y＝2， ① (2) 3x＋5y＝14. ②
解：(1)方程两边同时乘 12，得 4(1－x)＝3×12－3(x＋2)．去括号，得 4－4x＝36－3x－6. 移项、合并同类项，得－x＝26. 系数化 1，得 x＝－26.
(2)①×5，得 5x－5y＝10.③ ②＋③，得 8x＝24.解得 x＝3.④
【试题精选】
5．(2014 年广东深圳宝安模拟)仙湖有两种游船，已知1艘
大船、3 艘小船限载人数共计为 10 人，2 艘大船、1 艘小船限
载人数共计也为 10 人，那么 4 艘大船、6 艘小船限载人数共计
为( D )
A．22 人
B．24 人
C．26 人
D．28 人
6．(2014 年海南)海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为 26 元/千克和 22 元/千克，李
(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．
注：三元一次方程(组)的概念类似于二元一次方程(组)，只是含有的未知数是三个．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)去分母；(2)去括号；(3)___移__项_____；(4)__合__并__同__类__项___； (5)系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法．解二元一次方程组的关键是消元，有代入消元法和__加__减__ 消元法两种．

浙教版七年级下册第2章二元一次方程第1讲二元一次方程组培优讲义(含解析)

第2章二元一次方程第1讲二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是－3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支．根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零．例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值．解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ，即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2，则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ，得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。

第1.2课时一元一次方程及二元一次方程

第1课时一元一次方程及二元一次方程（组）【知识梳理】1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件．3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．【例题精讲】例1．（1）解方程.x x +--=21152156 （2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．方法1例3．在中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．．例4．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交10 元用电费外，超过部分还要按每度0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为．【当堂检测】 1．由132x y -=，可以得到用x 表示y 的式子是（） A ．223x y -= B ．2133x y =- C ．223x y =- D ．223x y =-32=-+y x2．若方程m x + n y = 6的两个解是11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=-⎩，则m = ，n = 。

3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 4．如图1－7－5所示，两条直线l 1，l 2的交点坐标可以看作方程组__________的解．5、对方程组4x+7y=-19 4x-5y=17 ⎧⎨⎩①②，用加减法消去x ，得到的方程为（）A 、2y=－2 B.2y=－36C. 12y=－2D.12y=－366．解下列方程（组）：（1）()x x -=--3252；（2）x x -+=-2114135（3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-+65231252y y x y x y x26363127343411x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩7．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．8．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？↑↓60cm第2课时一元二次方程【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式：当b 2-4ac ＞0时，方程有实数根．当b 2-4ac=0时，方程有实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程实数根．5根与系数关系：x 1+x 2= x 1.x 2=例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）；（4）x 2+22x=0【当堂检测】一、选择题1.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对2．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（）A ．若x 2=4，则x=2B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数根3．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝04．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（）A.16B.18C.16或18D.21二填空题5．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是．6．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．aacb b x 242-±-=7．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．8．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是．9.22____)(_____3-=+-x x x10.一元二次方程3x 2=2x 的解是．11.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.12.已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0近五年中考题24题出现的解方程1）52t 2-8t+40=245 2） 53t 2-1039t+6=301×183）－34t 2＋65t ＋48＝1740×96， 4） 636559t t t t -=-5)423t 2+423t=21×3×22。

新版北师大初中数学教材目录

新版北师大初中数学教材目录七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形 2．展开与折叠3．截一个几何体 4．从三个不同方向看物体的形状第二章有理数及其运算1．有理数 2．数轴 3．绝对值4．有理数的加法 5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算 7．有理数的乘法8．有理数的除法 9．有理数的乘方 10．科学计数法11．有理数的混合运算 12．用计算器进行运算第三章整式及其加减1．字母表示数 2．代数式 3．整式4．整式的加减 5．探索与表达规律第四章基本平面图形1．线段、射线、直线 2．比较线段的长短3．角 4．角的比较 5．多边形和圆的初步认识第五章一元一次方程1．认识一元一次方程 2．求解一元一次方程3．应用一元一次方程——水箱变高了4．应用一元一次方程——打折销售5．应用一元一次方程——“希望工程”义演6．应用一元一次方程——追赶小明第六章数据的收集与整理1．数据的收集 2．普查和抽样调查3．数据的表示 4．统计图的选择七年级下册第一章整式的乘除1．同底数幂的乘法 2．幂的乘方与积的乘方3．同底数幂的除法 4．整式的乘法5．平方差公式 6．完全平方公式 7．整式的除法第二章相交线与平行线1．两条直线的位置关系 2．探索直线平行的条件3．平行线的性质 4．用尺规作角第三章三角形1．认识三角形 2．图形的全等 3．探索三角形全等的条件4．用尺规作三角形 5．利用三角形全等测距离第四章变量之间的关系1．用表格表示的变量间关系 2．用关系式表示的变量间关系3．用图像表示的变量间关系第五章生活中的轴对称1．轴对称现象 2．探索轴对称的性质3．简单轴对称图形 4．利用轴对称进行设计第六章频率与概率1．感受可能性 2．频率的稳定性 3．等可能事件的概率八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理 2．一定是直角三角形吗 3．勾股定理的应用第二章实数1．认识无理数 2．平方根 3．立方根 4．估算5．用计算器开方 6．实数 7．二次根式第三章位置与坐标1．确定位置 2．平面直角坐标系 3．轴对称与坐标变化第四章一次函数1．函数 2．一次函数与正比例函数 3．一次函数的图象4．一次函数的应用第五章二元一次方程组1．认识二元一次方程组 2．求解二元一次方程组3．应用二元一次方程组——鸡兔同笼4．应用二元一次方程组——增收节支5．应用二元一次方程组——里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数7．用二元一次方程组确定一次函数表达式8．三元一次方程组第六章数据的分析1．平均数 2．中位数与众数3．从统计图分析数据的集中趋势 4．数据的离散程度第七章平行线的证明1．为什么要证明 2．定义与命题 3．平行线的判定4．平行线的性质 5．三角形内角和定理八年级下册第一章证明（二）1．等腰三角形 2．直角三角形 3．线段的垂直平分线 4．角平分线第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系 2．不等式的基本性质3．不等式的解集 4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数 6．一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转1．图形的平移 2．图形的旋转 3．中心对称 4．简单的图案设计第四章因式分解1．因式分解 2．提公因式法 3．运用公式法第五章分式1．认识分式 2．分式的乘除法 3．分式的加减法 4．分式方程第六章平行四边形1．平行四边形的性质 2．平行四边形的判别3．三角形的中位线 4．多边形的内角和与外角和九年级上册第一章特殊的平行四边形1．菱形的性质与判定 2．矩形的性质与判定 3．正方形的的性质与判定第二章一元二次方程1．认识一元二次方程 2．配方法 3．公式法4．因式分解法 5．一元二次方程的应用第三章相似图形1．成比例线段 2．平行线分线段成比例 3．相似多边形4．相似三角形的判定 5．黄金分割 6．测量旗杆的高度7．相似三角形的性质 8．图形的放大与缩小第四章视图与投影1．投影 2．视图第五章反比例函数1．反比例函数 2．反比例函数的图象与性质 3．反比例函数的应用第六章对概率的进一步研究1．游戏公平吗 2．投针试验 3．生日相同的概率九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起 2．特殊角的三角函数值3．三角函数的有关计算 4．船有触礁的危险吗 5．测量物体的高度第二章二次函数1．二次函数所描述的关系 2．二次函数的图像与性质 3．确定二次函数的表达式4．最大面积是多少 5．何时获得最大利润 6．二次函数与一元二次方程第三章圆1．圆 2．圆的对称性 3．垂径定理 4．圆周角与圆心角的关系5．确定圆的条件 6．直线和圆的位置关系 7．切线长定理8．圆内接正多边形 9．弧长及扇形的面积第四章统计与概率1．视力的变化 2．生活中的概率 3．统计与概率的应用。

初三数学专题复习教案

初三数学专题复习教案【篇一：2016年数学中考第一轮复习整套教案(完整版)】中考数学一轮复习资料第一轮复习的目的1、第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过记忆关。

必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。

要求学生记牢认准所有的公式、定理，特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆。

我要求学生用课前5 ---15分钟的时间来完成这个要求，有些内容我还重点串讲。

（2）过基本方法关。

如，待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简，要求人人能熟练的准确的进行运算，这部分是决不能丢。

（3）过基本技能关。

如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。

做到对每道题要知道它的考点。

基本宗旨：知识系统化，练习专题化。

2、一轮复习的步骤、方法（1）全面复习,把书读薄:全面复习不是生记硬背所有的知识,相反,是要抓住问题的实质和各内容各方法的本质联系,把要记的东西缩小到最小程度,(要努力使自已理解所学知识,多抓住问题的联系,少记一些死知识),而且,不记则已,记住了就要牢靠,事实证明,有些记忆是终生不忘的,而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上,运用它们的联系而得到.这就是全面复习的含义（2）突出重点，精益求精:在考试大纲的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌，会（能）两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点．在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多．”猜题”的人，往往要在这方面下功夫．一般说来，也确能猜出几分来．但遇到综合题，这些题在主要内容中含有次要内容．这时，”猜题”便行不通了．我们讲的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容担挈整个内容．主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解．即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容．（3）基本训练反复进行:学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张”题海”战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变．要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要作到不用书写，就象棋手下”盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案．这就是我们在常言中提到的，在20分钟内完成10道客观题．其中有些是不用动笔，一眼就能作出答案的题，这样才叫训练有素，”熟能生巧”，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒．相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，归为粗心大意，确实，人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会”粗心”地出错3、数学：过来人谈中考复习数学巧用“两段”法中考数学复习大致分为两个阶段。

新版北师大版初中数学目录

七年级上第1章第一章丰富的图形世界第1讲生活中的立体图形第2讲展开与折叠第3讲截一个几何体第4讲从三个方向看物体的形状第2章第二章有理数及其运算第1讲有理数第2讲数轴第3讲绝对值第4讲有理数的加减法第5讲有理数的加减混合运算第6讲有理数的乘除法第7讲有理数的乘方与科学记数法第8讲有理数的混合运算第9讲用计算器进行运算第3章第三章整式及其加减第1讲代数式第2讲整式第3讲整式的加减第4讲探索与表达规律第4章第四章基本平面图形第1讲线段、射线、直线第2讲比较线段的长短第3讲角第4讲角的比较第5讲多边形和圆的初步认识第5章第五章一元一次方程第1讲认识一元一次方程第2讲求解一元一次方程第3讲应用一元一次方程第6章第六章数据的收集与整理第1讲数据的收集第2讲普查和抽样调查第3讲数据的表示和统计图的选择七年级下第1章第一章整式的乘除第1讲同底数幂乘法第2讲幂的乘方与积的乘方第3讲同底数幂除法第4讲整式的乘法第5讲平方差公式第6讲完全平方公式第7讲整式的除法第2章第二章相交线与平行线第1讲两条直线的位置关系第2讲探索直线平行的条件第3讲平行线的性质第4讲尺规作角第3章第三章变量之间的关系第1讲用表格表示变量之间的关系第2讲用关系式表示变量之间的关系第3讲用图象表示变量之间的关系第4章第四章三角形第1讲认识三角形第2讲图形的全等第3讲探索三角形全等的条件第4讲用尺规作三角形第5章第五章生活中的轴对称第1讲轴对称现象第2讲探索轴对称的性质第3讲简单的轴对称图形第4讲利用轴对称进行设计第6章第六章概率初步第1讲感受可能性第2讲频率的稳定性第3讲等可能事件的概率八年级上第1章第一章勾股定理第1讲探索勾股定理第2讲一定是直角三角形吗第3讲勾股定理的应用第2章第二章实数第1讲认识无理数第2讲平方根第3讲立方根第4讲估算第5讲用计算器开方第6讲实数第7讲二次根式第3章第三章位置与坐标第1讲确定位置第2讲平面直角坐标系第3讲轴对称与坐标变化第4章第四章一次函数第1讲函数第2讲一次函数与正比例函数第3讲一次函数的图象第4讲一次函数的应用第5章第五章二元一次方程组第1讲认识二元一次方程组第2讲求解二元一次方程组第3讲应用二元一次方程组第4讲二元一次方程与一次函数第5讲三元一次方程组第6章第六章数据分析第1讲平均数第2讲中位数与众数第3讲极差、方差和标准差第7章第七章平行线的证明第1讲为什么要证明第2讲定义与命题第3讲平行线的判定第4讲平行线的性质第5讲三角形内角和定理八年级下第1章第一章三角形的证明第1讲等腰三角形第2讲直角三角形第3讲线段的垂直平分线第4讲角平分线第2章第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第1讲不等关系第2讲不等式的基本性质及其解集第3讲一元一次不等式第4讲一元一次不等式与一次函数第5讲一元一次不等式组第3章第三章图形的平移与旋转第1讲图形的平移第2讲图形的旋转第3讲中心对称第4讲简单的图案设计第4章第四章因式分解第1讲因式分解第2讲提公因式法第3讲公式法第5章第五章分式与分式方程第1讲认识分式第2讲分式的乘除法第3讲分式的加减法第4讲分式方程第6章第六章平行四边形第1讲平行四边形的性质第2讲平行四边形的判定第3讲三角形的中位线第4讲多边形的内角和与外角和九年级上第1章第一章特殊平行四边形第1讲菱形的性质与判定第2讲矩形的性质与判定第3讲正方形的性质与判定第2章第二章一元二次方程第1讲认识一元二次方程第2讲用配方法求解一元二次方程第3讲用公式法求解一元二次方程第4讲用因式分解法求解一元二次方程第5讲一元二次方程的根与系数的关系第6讲实际问题与一元二次方程第3章第三章概率的进一步认识第1讲概率初步第4章第四章图形的相似第1讲成比例线段第2讲平行线分线段成比例第3讲相似多边形第4讲相似三角形判定第5讲相似三角形的性质第6讲图形的位似第5章第五章投影与视图第1讲投影第2讲视图第6章第六章反比例函数第1讲反比例函数第2讲反比例函数的图象与性质第3讲反比例函数的应用九年级下第1章第一章直角三角形的边角关系第1讲锐角三角函数第2讲三角函数的应用第3讲利用三角函数测高第2章第二章二次函数第1讲二次函数第2讲二次函数的图象与性质第3讲确定二次函数的表达式第4讲二次函数的应用第5讲二次函数与一元二次方程第3章第三章圆第1讲圆第2讲垂径定理第3讲圆周角与圆心角的关系第4讲直线与圆的位置关系第5讲切线长定理第6讲圆内接正多边形第7讲弧长及扇形的面积。

数学七年级下册二元一次方程组性质

数学七年级下册二元一次方程组性质数学七年级下册二元一次方程组性质导语：书是人类进步的阶梯，这句话说得真不错，我总是爱看书。

因为我从书本里明白了很多很多的道理。

下面是小编为大家整理的，数学知识，想要知更多的资讯，请多多留意CNFLA学习网!第一章二元一次方程组一、二元一次方程组 1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数(即次数)都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程(或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程;或两个都是一元一次方程;但未知数个数仍为两个)合在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等(即等式成立)的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组(对)数，用大括号联立;②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组;③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解(即无公共解)。

二元一次方程组的解的讨论：a1x + b1y = c1 已知二元一次方程组a2x + b2y = c2①、②、③、当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解; 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解; 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。

x + y = 4 2x + 2y = 8x + y = 4 x + y = 3 例如：对应方程组：①、②、③、 3x - 5y = 9 2x + 2y = 5例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：a +b = 2 ②、x = 4 ③、3t + 2s = 5 ④、x = 11 ①、b +c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数;用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。

《一元一次方程与二元一次方程(组)》课件

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。--克莱因.
y＝80. 答：黑色文化衫 60 件，白色文化衫 80 件．
方法总结： 1．列方程(组)解应用题的关键是准确地找出题中的相等关系，正确列出方程(组)． 2．设未知数可以采用直接设法也可以采用间接设法． 3．一般地，设几个未知数，就应列出几个方程． 4．要根据应用题的实际意义检验求得的解是否合理，不符合题意的解应该舍去．
副乒乓球拍的费用＝①__5_0___；购买5副羽毛
球拍的费用＋购买10副乒乓球拍的费用＝②
_____3_2_0_．
解：设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，
由题意得，5xxy10
50 y
， 320
解得
x 36

y

14
,
答：每副羽毛球拍36元，每副乒乓球拍14元．
重难点精讲优练练习2 某小区为响应市政府提出的“建绿透绿”
考点三一次方程(组)的应用
例 3 (2017·张家界)某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活
动，购买了黑、白两种颜色的文化衫共 140 件，进行手绘设计后
出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和
零售价如下表：
批发价/元零售价/元
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利 1 860 元，则黑、白两种文化衫
2
3
解：3（1-x）=2（4x-1）-6
3-3x=8x-2-6
x=1.
提分必练
3.
解二元一次方程组：
4x 5 y 11

中考数学第一轮复习资料(超全)

中考一轮复习第一部分数与代数第一章数与式第1讲实数第2讲代数式第3讲整式与分式第1课时整式第2课时因式分解第3课时分式第4讲二次根式第二章方程与不等式第1讲方程与方程组第1课时一元一次方程与二元一次方程组第2课时分式方程第3课时一元二次方程第2讲不等式与不等式组第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系第2讲一次函数第3讲反比例函数第4讲二次函数第二部分空间与图形第四章三角形与四边形第1讲相交线和平行线第2讲三角形第1课时三角形第2课时等腰三角形与直角三角形第3讲四边形与多边形第1课时多边形与平行四边形第2课时特殊的平行四边形第3课时梯形第五章圆第1讲圆的基本性质第2讲与圆有关的位置关系第3讲与圆有关的计算第六章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转第2讲视图与投影第3讲尺规作图第4讲图形的相似第5讲解直角三角形第三部分统计与概率第七章统计与概率第1讲统计第2讲概率第一部分数与代数第一章数与式第1讲实数考点一、实数的概念及分类（3分） 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= -b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

《二元一次方程组的解法》课件—第一课时

3．把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
4．写出方程组的解．
x+y=20 ①
1．解方程组
2x+4y=50 ②
解：由①得：y＝20－ x ③ 将③代入②得： 2ｘ＋4（20－ｘ）＝50 解得：ｘ＝15. 把ｘ＝15.代入③得：ｙ＝５所以原方程组的解为： x=15 y=5
2．解方程组
将y=2代入③，得x=5 所以原方程组的解是 x=5
y=2
将下列方程变形，用含一个未知数的代数式表
示另一个未知数．
(1) 3x - 4y = 1
(2) 6x - 2y + 7 = 0
y 1 (3x 1) 4
或 x 1 (1 4 y) 3
y 1 (6x 7) 2
或 x 1 (2 y 7) 6
把③代入②得：
5·1 2y -4y = 31
代
3
解这个方程，得
y= – ４
将y= – x=３
４代入③，得
求
所以
x =３
y = -４写
1．将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
2．用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
将方程组中的一个方程的某一个未知数，用关于另一未知数的代数式表示出来，然后将它代入到另一个方程中，从而转化为解一元一次方程，方程组的这种解法叫做代入消元法．简称代入法。
3x=1-2y 例1 解方程组 5x-4y=31
① ②
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
解：由①得：x = 1 2y ③ 变 3
x = y -1
2y – 3y + 3 = 1

苏教版数学课本目录(小五到高中)

小学五年级数学五年级上册（约66课时）第一章小数乘除法（以计算题、填空题为主）1、小数乘除法重点考点：连乘、连加、连除、连减，混合运算和简便运算9课时2、整数乘法运算乘法运算的换算、估算，小数点的移位、列式计算6课时3、循环小数循环节的概念、循环小数的简便写法6课时4、积和商的凑整四舍五入法的凑整3课时第二章统计（以简答题为主）1、平均数平均数的计算和应用9课时第三章简易方程（以简答题为主）1、应用题、方程、化简与求值15课时此部分要讲重点题型、一般会涉及到相遇与追及问题，比例问题，初步二元一次方程（拓展）第四章几何小实践（以简答题为主，必考）9课时1、平行四边形、梯形、三角形（学校好的话会涉及到圆、正方形、长方形）周长面积的计算第五章整理与提高（好的学校的拓展部分）9课时一般会涉及到：数学广场（竞赛）中包括、时间的计算、编码五年级下册（约63课时）第一章正数和负数初步认识1、正数与负数、数轴3课时第二章简易方程（重难点，以简答题为主）30课时1、列方程解应用题图形应用题：面积、周长、边长（下学期重视几何，考的较多）6课时经济型应用题：买东西3课时统计型应用题：平均数3课时和倍差应用题：几倍多少（考的最多）9课时路程型应用题：相遇、追及6课时第三章几何小实践（以简答题为主）1、长方形、正方形、组合图形的体积与表面积（难）18课时第四章问题解决（若好学校试题会很难，依据学生情况和选择学校定难易程度12课时）1、可能性问题（类似于概率，不会考很难很深入的）3课时选择题4-5题3分12-15分填空题10-12题3分30-36分简答题5-6题8-12分49-58分(期中有1-2道必定是图形题)小学六年级数学六年级上册（约42—66课时）1、方程（以计算题为主）3—6课时2、长方体和正方体（以应用题为主）3—6课时2.1 表面积的变化3、分数（以计算题为主）3.1 分数乘法3.2 分数除法理解分数乘除法的意义和分数乘除法之间的关系。

第1讲-二元一次方程组

第1讲-二元一次方程组1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．例如，下列方程中：①1x ＋2y ＝3，②xy ＝4，③x －3y 2＝1，④2x ＋3y ＝z ，⑤4x ＋2＝y ，属于二元一次方程的是：．（填序号）2．二元一次方程组：有两个未知数，含有每个每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程的叫做二元一次方程组．3．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．例如，二元一次方程x －2y ＝8的解有组；二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0．的解是（）．A ．⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2．B ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0．C ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1．D ．⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1．4．代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．5．加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．【消元法】6．用代入消元法解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5． ②使得代入后化简比较容易的变形是（）．A ．由①得x ＝2－4y3B ．由①得y ＝2－3x4C ．由②得x ＝y ＋52D ．由②得y ＝2x －57．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝x －7， ①2x －3y ＝1．②时，用①代入②得（）．A ．2－x （x －7）＝1B ．2x －1－7＝1C ．2x －3（x －7）＝1D ．2x －3x －7＝18．用加减法将方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝－1，5x －3y ＝－5．中的未知数x 消去后得到的方程是（）．A ．y ＝4B ．7y ＝4C ．－7y ＝4D ．－7y ＝149．用适当的方法解下列方程组：（1）⎩⎨⎧y ＝x ＋3，7x ＋5y ＝9；（2）⎩⎨⎧x －y ＝8，3x ＋y ＝12；（3）x ＋2y ＝4y ＝4；（4）⎩⎨⎧3s ＋2t ＝4，2s －3t ＝7；（5）⎩⎨⎧x ＋y ＝3，5x －3(x ＋y )＝1；（6）⎩⎪⎨⎪⎧4(x －y －1)＝3(1－y )－2，x 2＋y 3＝2．【综合运用】10．若|x ＋y ＋1|＋(x －y －2)2＝0，求3x －y 的值．11．已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧2x －y ＝3，3x ＋y ＝7．求x ＋2y 的值为．12．已知⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2．和⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0．都是方程ax －by ＝1的解，则a ＝，b ＝．13．已知y ＝x 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝2，当x ＝－1时，y ＝8，（1）求b ，c 的值；（2）当x ＝3时，y 的值是多少？14．若方程x m －1＋2y 3n ＋1＝1是二元一次方程，则m ＝，n ＝．15．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是（）． A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12．B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1．C ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0．D ．⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1．16．解方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝6，①2x －3y ＝4．②由②×3－①×2，得（）．A ．7y ＝－8B ．－y ＝1C ．y ＝0D ．4y ＝－117．以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1．为解的二元一次方程组是（）．A ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝1．B ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝－1．C ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝2．D ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝－2．18．已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．是二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1．的解，则a －b 的值为．【同解方程，含参方程】19．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝4，mx ＋ny ＝7．与⎩⎨⎧2mx －3ny ＝19，5y －x ＝3．有相同的解，求m ，n 的值．20．若二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，3x －y ＝2．和2x －my ＝－1有公共解，则m 的值为（）．A ．3B ．4C ．－1D ．－2 21．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ．的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k的值为．22．由关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋m ＝3，y －m ＝6．可得出x 与y 的关系式是（）．A ．x ＋y ＝9B ．x ＋y ＝3C ．x ＋y ＝－3D ．x ＋y ＝－923．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z ＝．【一题多解】24．与方程组⎩⎨⎧x ＋2y －3＝0，2x ＋y ＝0．有完全相同的解的是（）．A ．x ＋2y －3＝0B ．2x ＋y ＝0C ．(x ＋2y －3)(2x ＋y )＝0D ．|x ＋2y －3|＋(2x ＋y )2＝025．解下列方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＋z ＝3，x ＋z ＝－1；（2）x －y 3＝2y －z 4＝2z ＋x5＝1．26．解方程组⎩⎨⎧19x ＋18y ＝17 ①17x ＋16y ＝15 ②时，如果直接消元，那将是很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．解：①－②，得：2x ＋2y ＝2，x ＋y ＝1③．③×16，得：16x ＋16y ＝16④．②－④，得：x ＝－1，将x ＝－1代入③，得：y ＝2．∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2．（1）请你采用上述方法解方程组：⎩⎨⎧2014x －2013y ＝2012，2012x －2011y ＝2010；（2）请你采用上述方法解关于x ，y 的方程组：⎩⎨⎧(a ＋2)x ＋(a ＋1)y ＝a ，(b ＋2)x ＋(b ＋1)y ＝b ．，其中a ≠b ．第1讲-参考答案1．⑤ 3．无数，C6．D7．C8．B9．（1）⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝52．（2）⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－3．（3）⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．（4）⎩⎨⎧s ＝2，t ＝－1．（5）⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．（6）⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3．10．解：依题意得：⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －y －2＝0．解得：⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32．∴3x －y ＝3．11．412．12，1413．解：（1）依题意得：⎩⎨⎧2＝1＋b ＋c ，8＝1－b ＋c ．解得：⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝4．；（2）y ＝x 2－3x ＋4，当x ＝3时，y ＝4．14．2，015．B16．C17．C18．－119．解：依题意得：⎩⎨⎧3x －2y ＝4，5y －x ＝3．解得：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．把⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．代入⎩⎨⎧2mx －3ny ＝19，mx ＋ny ＝7．得：⎩⎨⎧4m －3n ＝19，2m ＋n ＝7．解得：⎩⎨⎧m ＝4，n ＝－1．20．A21．3422．A23．解法1：分离变量法，把z 看作已知数，解关于x ，y 的方程组得x ＝z ，y ＝5－2z ，所以x ＋y ＋z ＝5．解法2：整体法，两个方程相加得5(x ＋y ＋z )＝25，所以x ＋y ＋z ＝5．解法3：特殊值法，令z ＝0，则x ＋2y ＝10，4x ＋3y ＝15，解得：x ＝0，y ＝5．所以x ＋y ＋z ＝5．24．D25．（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，z ＝－2；（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，z ＝0．26．（1）⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2．；（2）⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2．。