数列的极限1

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1数列的极限

重要的是 N 的存在性，而不在于它的值的大小.
思考：定义1中的 n > N 可以换成 n N 吗？
例2
证明
lim
n
1 n
0
，这里
为正数.
例3 证明
3n2
lim
n
n2
3
3.
例4 证明 lim qn 0 ，这里 | q | 1 . n
例5 证明 lim n a 1 ，其中 a 0. n
3. 数列极限定义的几何解释
lim
n
2
5 n3
回到我们的数列 {an} an1(1 n )n1
当 n无限增大时 ,a n 1 ( 1 n )n 1无限接近于 1 .
问题: “无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划
它.
因为
un
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
证明
lim
n
zn
a.
例8 设{ a n } 为给定的数列，{ b n } 为对{ a n } 增加、减少和改变有限项之后得到的数列. 证明：数列 { a n } 与 { b n } 同
时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.
定义2
若
lim
n
a
n
0
，则称{ a n } 为无穷小数列.
定理2.1 数列 { a n } 收敛于 a 的充要条件是： {an a } 为无穷小数列.
存在正整数 N ，使得当 n > N 时有
| an a|,
则称数列 {
记作 ln i m a n a ,或 a n a (n ).

第1节数列的极限

因交替取1和-1，而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内，故数列发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界证有设
取
，存在 N ， n N 时当
取
则有证毕.
第2章
极限与连续
说明例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。如数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近，但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定【定义 2.2】已知数列 yn ，的正数，总存在一个正整数 N ， n N 时，当有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时，数列 yn 以常数 A 为极限。记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近

a b 无限小

a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM

数列的极限1

数列的极限
————数列的极（1）
一、知识小结：
1.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列的极限，或叫做数列收收敛于A，记作。

注意点：1）只有无穷数列，当趋近于无穷大时，无限趋近于某一常数；
2）对于数列，当无穷增大时，无限趋近于某一定值时，是通过无限趋近于零来描述的。

3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。

2.极限的运算性质性质：
2）几个重要极限：
3.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把的无穷等比数列前项和，当无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即
注意点：1）只有当且时，才能代入上述公式；
2）实际上可推出：；
3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如；；。

数列的极限(1)

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材《版走
向高考》高考总复习
数学配统编教
第十三章极限
四、性质应用错误
材《
·( )
版走
4．已知等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，且有 linm∞
向高
考
(1＋a1q－qn)＝12，则首项 a1 的取值范围是
》
(
)
高考
总
复
习
A．0<a1<1 且 a1≠12
A．等于0 C．等于0或等于1
B．等于1 D．不存在
·( )
材《
版走
向
高
考
》
则数列{an}
高考
总
复
习
数
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第十三章极限
·( )
材《
解析：当 1≤n≤1000 时，101002＜an≤1，
版走向高
考
当 n≥1001 时，an＝n2－n22n＝1－1 2n.
》高考总复习
习
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上页下页末页 Nhomakorabea第十三章极限
5．(2011·安阳模拟)已知 a、b、c 是实常数，且lim n→∞
an＋c 材《
bn－c
版
走向
·( )
高
考
＝2，lim n→∞
bcnn22－－bc＝3，则lni→m∞
acnn22＋＋ac的值为
》
(
)
高考
总
复
1
1
习

高考数学函数极限1

当自变量x 当自变量取负值且绝对值
O
x
1 y = 的值无限增大时，无限增大时，函数 x
无限趋近于0，无限趋近于，即|y-0|可以变得可以变得任意小．任意小．
1 趋向于负无穷大时，的极限是0，当x 趋向于负无穷大时，函数 y = 的极限是，记作 x 1 lim = 0 x→∞ x
2 并判断 f ( x) = 2 + , 试求 lim f ( x) 与 lim f ( x)，时, n→+∞ n→∞ x
lim f ( x) 是否存在. n→∞
2 2 + x , x > 0 2 ∴ f ( x) = f (x) = 2 + ,则 f ( x) = Q f (x)为奇函数，为奇函数， x 2 + 2 , x < 0 x
(4)常用的函数的极限
作业：作业：
1 1. lim = 0 x →∞ x
2. lim C = C
x →∞
习题2.3 #2 (1)(2)(3)(4)
自变量x的变化趋势
x取正值并且无限增大 x 取负值并且绝对值无限增
大
f (x) 值的变化趋势 f (x) 无限趋
近于常数a 近于常数 f (x) 无限趋近于常数a 近于常数
极限表示
x→+∞
lim f ( x) = a lim f ( x) = a
x→∞
x取正值并且无限增大， x取取正值并且无限增大，
如果 lim f ( x) = a且 lim f ( x) = a 那就是说当趋向于那就是说当x x→+∞ x→∞ 无穷大时，函数 f (x)的极限是a ，记作无穷大时，的极限是 lim f ( x) = a 也可记作: 当 x →∞时， ( x) →a 也可记作 f

第二节数列的极限1

注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给不同的确定的N也不同,另外, 对同一个来说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.)
注3.
定义中“ 当n>N时, 有| xna |<‖的意思是
说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |<,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
3.保号性
定理3
设 lim un a 0( 0), 则存在N 0, 使得
n
当n N时，恒有 un 0( 0). a 证设a 0, 取 ,由 limun a , 必存在某一 2 n a 正数N , 使得当 n N时，恒有un a , 2 a a a 3a 即0 a un a (n N ) 2 2 2 2 定理结论成立。对于 a 0, 也可同样证明。
[ M , M ]上.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
n
{2 }
1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;

§1.1数列的极限讲解

数列的变化趋势.
1 2 3 n ，，，，， 2 3 4 n1
1 1 1 ( 1)n1 1，，，，，， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，， 1 0，， 1 ，， 2
什么叫数列的极限？
lim xn a 0， N Z ，当 n N 时，
n
有 xn a .
关键:正整数N的存在性证明. 其基本思路：从
不等式 xn a 反解 n，再确定 N .
注：证明极限常用的方法是放缩法.
n a 思考题 (1)证明 lim n n 1; (2) lim 0( a 0). n n n !
此时也称数列{ xn }是收敛的，否则称其发散.
注：
(1)定义中的正整数 N 是与任意给定的有关的，它随着的给定而选定，是不唯一的. (2)定义的等价形式：
定义设 { xn }为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数 (无论它多么小)，总存在正整数 N ，使当 n N时，不等式 | xn a | k
1 2 3 n ，，，，， 2 3 4 n1
1 1 1 n 1 1 1，，，，， ( 1) ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，，，， 1 0 1 ，， 2
数列的几何表示(一)
n1
( n 1, 2,
) 是发散的.
1 取，则存在 N ，使当n N 时，有 2
1 1 a xn a 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1，而此二数不可能同时落在长度

2.1数列的极限ppt(1)

1 n
0
不存在
存在
0
1 3n
有穷数列没有极限
0
1 an n (n 100)
an 0.99
n
不存在
存在
0
0.99
n
0
1.求下列数列的极限：
1 2 3 4 (1). , , , ,... 2 3 4 5
3 11 19 27 (2). , , , ,... 2 4 6 8
5 9 13 17 (3) , , , ,... 2 4 6 8
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 a n 的项 a n 无限地趋近于某个常数 a ，(即 a n a 无限地接近0), 那么就说数列 a 以 a 为极限，或者说 a 是数列

an 的极限
n
lim an a
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， a n的极限等于a ” 或 “limit n 当n 趋向于 a 无穷大时等于a ”
2.2 数列的极限(1)
一复习回顾: 数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n } .
【例如】 2,4,8, ,2 n , ;
n 趋向于无穷大（1）
a n 是无穷数列
n 无限增大时，a n 不是一般地趋近于 a ，而是
a “无限”地趋近于
（2）
（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的
三、例题讲解：
例1、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 0 1，，，， 3 ，；（1） 8 27 n 5 6. 6. 7 n ，； 7 （2） 6.5， 95， 995，， 10 1 1 1 1 , （3） , , , n , ； 0 2 4 8 ( 2 )

《高数教学课件》第二节之一1.数列的极限

05
习题与解答
习题部分
02
01
03
判断下列数列哪些是收敛的，哪些是发散的数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 数列1, -1, 1, -1, 2, 3, 4, ...
02
数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
求下列数列的极限
03
习题部分
数列n的平方加3，n从1到无穷大
《高数教学课件》第二节之一 1.数列的极限
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的求解方法 • 极限的应用 • 数列极限的性质 • 习题与解答
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于无穷大时，数列的项x_n趋于某一固定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性、局部可加性和局部可乘性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛，其极限值称为该数列的极限。
发散
如果数列的极限不存在，则称该数列发散。
极限的四则运算
01
02
极限的四则运算法则是：加减乘除，先算括号内的，再从高阶到低阶依次计算。
加法法则：lim(x>a)[f(x)±g(x)]=lim(x>a)f(x)±lim(x->a)g(x)
数列n的平方减5，n从1到无穷大
数列n的平方，n从1到无穷大
01
03 02
答案及解析
对于第一个数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，这是一个收敛的数列，因为它的通项公式为1/n，当n 趋向于无穷大时，通项公式趋向于0。
对于第二个数列1, -1, 1, -1, ...，这是一个发散的数列，因为它的通项公式没有趋向于一个确定的数值。

高考数学函数的极限1

2.3 函数的极限
课堂小结
本节学习了当 x 分别趋向于 + ∞, - ∞,∞时，函数
f ( x )中 f(x)的极限，以及常数函数的极限，并且注意 lim x
的∞和数列极限 lim a中的∞不同意义，以概念为依据， n
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
常用的函数的极限
1 1. lim 0 x x 2. lim C C
； .au/ 悉尼驾照翻译
也有
lim f ( x) C
x
2.3 函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大 x 取正值并且无限增大， x 取负值并且绝对值无限增大
f ( x ) 值的变化趋势 f ( x ) 无限趋
近于常数a f ( x ) 无限趋近于常数a
极限表示
x
lim a n 0
n
lim an a
n
3、数列与函数的关系：数列可以看作是定义在正整数集上的一种特殊函数。
1 观察函数y 的图象, 当x 时的变化趋势。 x
无论x+ 或x-
1 函数y 的值无限趋近于0. x
1 即当x 时， 0. x
2.3 函数的极限
2.3 函数的极限
如果 lim f ( x ) a且 lim f ( x ) a 那就是说当x 趋向于 x x 无穷大时，函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a 也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
x
对于常数函数
f ( x) C ( x R)
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x

大学数学21_数列极限

lim xn a , 或 xn a ( n )
n
如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注： 1. 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2. N与任意给定的正数有关. 一般地，越小，N越大.
2016/3/2 8
N定义：
lim x n a
第二章
第一节数列的极限
一数列极限的定义二收敛数列的性质三小节
2016/3/2 1
一、数列极限的定义
1.数列定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
， 2， 3 如自然数列 { xn } {n},即 1
而 { xnk } {2k }就是{n}的子数列.
2016/3/2 16
3.收敛数列与其子列的关系
如果数列{xn }收敛于 a, 那么它的任意子列也收敛于 a.
证设数列{ x nk }是数列{ x n }的任一子数列.
lim x n a ,由定义， 0, N , 使得
给定 0, 只要 n N ( [ ])时,有 xn 1 成立.
1

2016/3/2
7
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)总存在正数 N ，使得对于 n N 时的一切 xn 不等式 | xn a | 都成立, 那末就称常数 a 为数列 x n的极限，或者称数列收敛于 a ,记为
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.

1(2)数列的极限

2 , 4 , 8 , , 2 , ;
n
,;
n 1
{(1) }
n ( 1) n1 { } n
1 4 n ( 1) 2, , ,, 2 3 n
,;
数列的极限
( 1)n1 研究数列{1 } 当 n 时的变化趋势 . n
x n无限接近于1. 当n无限增大时,
1 1 , 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
数列的极限
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正整数N, 使得当 n N 时，不等式
0, 要 x n 1 , 只要 1 , 即 n 1 n
1 所以, 取N , 则当n N时,

n ( 1)n1 有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n
证明例已知
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 取则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
第二节数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
三、极限存在准则
数列的极限
一、数列极限的定义
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限,
即从初等数学过渡到高等数学的关键.
（一）引例
庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭 ”. 意思是: 一尺长的棍子, 第一天取其一半, 第二天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.

数列函数的极限1

经济应用数学数学
（二）、函数极限的定义
如果当 x T 时，对应的函数值 f ( x) 无限接近一个确定的常数 A，则称此常数 A 为函数 y f ( x) 当 x T 时的极限，记为： lim f x A
xT
或
f ( x) A （ x T ）
注意:
1.函数的极限是指当自变量向着某方向变化时，对
经济应用数学数学
1 0 0 1 lim n n
重要结论
q 2 lim n
n
0 q 1 3 lim C C C为常数
n
运算法则设 lim xn A, lim yn B
1 . 2. 3 .
n
x x
lim f ( x ) A
x
经济应用数学数学
y

2
y arctan x
0

2
x

由于 lim arctanx
x
x

2
lim arctanx ，
x

2
.
所以 l数学数学
例1、观察下列函数的极限
x
lim e x 0
经济应用数学数学
(1) x x0时函数f ( x )的极限
x x00的左右两侧的左侧有定义，如果函数f ( x)在点 x 0的右侧 x x 的左侧的右侧的左右两侧无限接近于x0时，如果 0 0 当自变量x从 x0
对应的函数值无限接近于唯一确定的常数 A，则称
经济应用数学数学
（一）、自变量的无限变化过程
设函数 y f ( x ) 在 ( , ) 上有定义，

数列的极限(1)

典型例题讲解例1．求323232lim 4321n n n nn n n →∞-+--+-.分析：当n →∞时，－3n 3+2n 2－n →∞，4n 3－3n 2+2n －1→∞，是一个∞∞型的问题，可以设法变形，使之出现1a n 的形式。

因为当a >0时，1an→0，为此只需将分子分母同除以n 3即可。

解：323232lim 4321n n n n n n n →∞-+--+-=2232133lim 32144n n n n n n→∞-+-=--+-. 例2．设a ∈R ，求112lim 2n n n n n a a -+→∞-+的值。

分析：求极限时，涉及到q n 型的极限，当|q |<1时，q n →0；q =1时，q n →1；q =－1时，q n 的极限不存在；|q |>1时，q n 的极限也不存在。

因此，在变形时，设法出现|q |<1时q n 的形式，为此必须对|a |与2的大小分类讨论。

解：（1）当|a |>2时，21a <，则原式=1121()1lim 2()n n n a a a aa -→∞-=+；（2）当|a |<2时，12a <，则原式=121()112lim 22()2n n n a a a a -→∞-⋅-==-+；（3）当a =2时，原式=1112221lim lim 22326n n n nn n n n --+→∞→∞-==+⋅；（4）当a =－2时，原式=1111(2)2(2)21lim lim 2(2)(2)[(2)2]2n n n n n n n n n n --+-→∞→∞----==-+----.例3．求n →∞分析：当n →∞时，所求的极限相当于0·∞型，需要设法化为我们相对熟悉的∞∞型。

解：n →∞12n n n ===. 说明：对于这种含有根号的0·∞型的极限，可以采用分子有理化或分母有理∞∞型。

数列的极限和无穷级数

数列的极限和无穷级数数学中有一个重要的概念是数列的极限和无穷级数。

数列是一系列按照一定规律排列的数字，而数列的极限表示当数列中的数字趋向于某个值时，该值就是数列的极限。

而无穷级数则是将数列中的所有数字相加得到的结果。

1. 数列的极限数列的极限是指当数列中的数字逐渐增大或逐渐减小并且无限接近于某个值时，该值就是数列的极限。

数列的极限可以分为两种情况：有界数列和无界数列。

1.1 有界数列有界数列是指数列中的数字在一定范围内变动，不会无限增大或无限减小。

对于有界数列来说，它的极限存在且唯一。

我们可以通过观察数列中的数字是否逐渐趋于某个固定值，或者通过数学推导来判断数列的极限。

1.2 无界数列无界数列是指数列中的数字逐渐无限增大或无限减小。

对于无界数列来说，它的极限可能不存在，或者说极限可以是正无穷大（+∞）或负无穷大（-∞）。

我们可以通过观察数列中的数字是否无限增大或无限减小来判断数列的极限。

2. 无穷级数无穷级数是指将数列中的所有数字进行加法运算得到的结果。

无穷级数可以表示为S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...，其中a₁, a₂, a₃, ...为数列中的数字。

无穷级数可以分为两种情况：收敛和发散。

2.1 收敛级数当无穷级数的部分和Sₙ在n趋于无穷大时趋于一个有限的值，即极限存在且有限时，我们称该无穷级数为收敛级数。

我们可以通过数学方法，如比值判别法、根值判别法等来判断一个无穷级数是否收敛。

2.2 发散级数当无穷级数的部分和Sₙ在n趋于无穷大时趋于无限大，即极限不存在或为无穷大时，我们称该无穷级数为发散级数。

对于发散级数，它没有一个确定的和。

3. 数列的极限与无穷级数之间的关系数列的极限与无穷级数有着密切的关系。

事实上，无穷级数的和就是数列的极限。

如果一个数列的极限存在且有限，则这个数列可以看作是一个无穷级数，并且这个无穷级数收敛于该极限值。

而对于一个无穷级数，要判断它是否收敛，实际上就是在判断其部分和序列是否收敛。

数列的极限(一个引例)

n。
几何级数求和
总结词
几何级数的求和公式是 S = a_1 / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比。
详细描述
对于一个几何级数，例如数列 {1, 2, 4, 8, ...}，其首项 a_1 = 1，公比 q = 2。根据几何级数的求和公式，该数列的和 S = a_1 / (1 - q) = 1 / (1 - 2) = -1。
这些定理在数学分析中起着重要的作用，它们共同保证了实数域的完备性，即实数域上的任何性质都可以通过有限步骤的推理得到证明。
实数完备性定理是数学分析的基础，它们为数学分析中的许多概念和定理提供了坚实的基础。
THANKS
感谢观看
01 无穷级数是无穷多个数的和，可以表示为无穷多个项的累加。
02 无穷级数可以分为收敛和发散两类，收敛级数的和是有限的，而发散级数的和是无穷的。
03 无穷级数具有一些重要的性质，如交换律、结合律和分配律等。
实数完备性定理
实数完备性定理是一组关于实数的定理集合，包括区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、闭区间连续函数的性质等。
统计物理
在统计物理中，通过对大量微观粒子状态的统计平均，可以得到一些宏观物理量的性质，这一过程也涉及到数列极限的应用。
在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，数列极限被广泛应用于风险评估、资产定价等领域，例如在计算股票价格的期望收益和方差时，需要用到数列极限的知识。
微观经济学
在研究微观经济学中的问题时，例如在研究消费者行为、生产者行为等问题时，需要对离散的经济变量进行连续化处理，这时也需要用到数列极限的知识。
无穷递增等差数列的极限
总结词
无穷递增等差数列的极限值是存在的，且等于首项加上末项的一半。

高等数学1.2_1数列的极限1

第一章
第一节（一）数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
三、极限存在准则
一、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .

如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
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2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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内容小结
1. 数列极限的定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 3. 极限存在准则:
夹逼准则 ; 单调有界准则
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思考与练习
1.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,),
求
lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对!
此处
lim
n
xn

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(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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1

高三数学数列极限1

那么
4。特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１）参与运算的各个数列均有极限; (２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
例1：求下列极限(优化Ｐ204例1)
2n 2 n 7 (1)lim 2 5n 7 n
(2)lim( n n n)
2.几个重要极限：
lim C C
n
1 0 （C为常数） lim n n
n
当
q 0 q 1 时 lim n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一法则 lim bn=B 如果 liman=A， n n lim (an±bn)=A±B (1) n lim (a · B n bn)=A· (２) n a lim n = A (B≠0) (３) b n n B
第二节数列的极限
高三备课组
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: n a =a. 也可记为：当n lim n 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的； 2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小； 3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。时，an a。
【作业】教材闯关训练。
；重庆形象墙重庆形象墙；
印,对方就越难醒过来,得让他感觉到真の死神来了,让他拼了命の自咱封印,让他对外界の感知能力

1、数列的极限

有些同学可能对于极限这个概念还非常模糊，那么极限究竟是个什么玩意呢? 下文将跟大家谈谈极限吧！极限通常被分为数列的极限和函数的极限两类。

今天，我们只谈什么是数列的极限。

课本上对数列的极限的定义如下：{}{}{} ,lim .n n n n n x x a N n N x a a x x a x a εε→∞>-<=设为一数列，如果存在常数,对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数,使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于记为Of course ，课本里的定义很苦逼，或许苦逼到我们感到有点懵逼。

那么该怎样来理解这个关于数列极限的定义呢？数列的极限是什么，就是对于一个数列{}n x 来说，当n 越来越大，越来越大，n x 的值究竟会是多少? 是否会有那么一个神奇的数，它正好是当n 大到比你想象中的任何一个数都要大时，n x 的值会和那个神奇的数非常接近呢？不错，对于极限存在的数列来说，那个神奇的数是绝对存在的，它就是数列的极限的定义里的那个a 。

注意，这里一定要是极限存在的数列，假如你非得要找一个极限不存在的数列的话，我们通常不考虑。

两个数的接近程度又应该怎样来表达呢？或许，你马上就会想到直接将两个数作差，然后取绝对值。

绝对值越接近于0，那么这两个数就越接近。

Great ！这就是定义里的n x a ε-<这个式子想要表达的。

当这个绝对值小于一个任意小的正数时，它是不是就和0非常接近了? 这就是数列的极限里想要表达的！至于定义为什么表达得这么复杂，或许是因为可以少打几个字！总而言之，数列的极限就是表达式{}n x 可望不可及的一个数。

下面来几道例题给大家尝尝鲜！究竟该怎样利用定义来证明一个数列的极限存在呢？我在群里曾经说过，大学数学里有很多很多的套路，证明数列极限的存在也是套路哦!例1:1143(1) 2,2341.n n n-+-证明数列，，，，，的极限是这就是高数课本里的例题哦!我们要证明一个数列的极限存在，我们必须要考虑是否会存在一个数和n x 非常接近，接近到我们都以为它们之间存在奸情了！！！想到非常接近，咱二话不说，直接作差取绝对值。

数列的极限1

1数列的极限

第1节 数列的极限

数列的极限1

数列的极限(1)

高考数学函数极限1

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§1.1数列的极限讲解

2.1数列的极限ppt(1)

《高数教学课件》第二节之一1.数列的极限

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大学数学21_数列极限

1(2)数列的极限

数列函数的极限1

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数列的极限和无穷级数

数列的极限(一个引例)

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第1节数列的极限