人教版初中数学七年级下册第八章：二元一次方程组(全章教案)

教材简析

本章的内容包括：(1)二元一次方程、二元一次方程组的相关概念；(2)解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法、加减消元法；(3)列二元一次方程组解决实际问题；(4)三元一次方程组的解法．方程是一种重要的描述现实世界的数学模型，而二(三)元一次方程组是刻画现实问题的重要数学模型．用它解决实际问题时，要注意分析题中的等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程．

方程与方程组是中考命题的重点和热点，主要考查用定义判断二元一次方程组，二元一次方程组的解法，用二元一次方程组解决实际问题，多以选择题、填空题和解答题的形式出现，难度中等．

教学指导

【本章重点】

二元一次方程组的有关概念、解法和应用．

【本章难点】

1．灵活选用适当的方法解二元一次方程组．

2．列二元一次方程(组)解决实际问题．

3．三元一次方程组的解法．

【本章思想方法】

1．体会和掌握化归思想，如通过消元，把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”，这一过程体现了化归思想．

2．体会分类讨论思想，如求二元一次方程的整数解和列方程组解应用题时，有些问题需要分类讨论，分类的关键是根据分类的目的找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．

3．掌握数学建模思想，如通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象出二元一次方程(组)模型，并运用二元一次方程(组)的知识解决实际问题．

课时计划

8．1二元一次方程组1课时

8．2消元——解二元一次方程组2课时

8．3实际问题与二元一次方程组1课时

*8.4三元一次方程组的解法1课时

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解二元一次方程(组)的概念和二元一次方程(组)解的含义．

2．会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单的二元一次方程组的解．

【过程与方法】

经历探索二元一次方程组的过程，培养学生观察、分析、概括的能力．

【情感态度与价值观】

通过对实际问题的分析及合作探究的过程，培养学生实事求是的态度．

二、重难点目标

【教学重点】

二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解的定义．

【教学难点】

利用列表尝试的方法求简单的二元一次方程组的解．

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P88～P89的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)二元一次方程

1．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

2．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3．教材P88问题答案：

解：方程x＋y＝10与2x＋y＝16都含有两个未知数x和y，且含有未知数的项的次数都是1，而一元一次方程只含有一个未知数．

4．下面哪些是二元一次方程？为什么？

(1)x2＋y＝20；

(2)2x＋5＝10；

(3)2a＋3b＝1；

(4)x2＋2x＋1＝0；

(5)2x ＋y ＋z ＝1.

解：(3)是二元一次方程．理由：因为二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1.

(二)二元一次方程组

5．含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

6．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 7．下面哪些是二元一次方程组？

(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝9，y ＋5x ＝0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧

x －3y ＋9z ＝8，y ＋3z ＝5； (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y ＝1； (4)⎩

⎪⎨⎪⎧

xy ＋y ＝5，x －y ＝4. 解：(1)(3)是二元一次方程组．

【教师点拨】只要两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们就组成一个二元一次方程组，所以方程组(3)也是二元一次方程组．

环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】已知|m －1|x |m |＋y 2n －

1＝3是二元一次方程，则m ＋n ＝________. 【互动探索】(引发学生思考)什么是二元一次方程？二元一次方程有什么特点？ 【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数均为1，得|m |＝1且|m －1|≠0,2n －1＝1，解得m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.

【答案】0

【互动总结】(学生总结，老师点评)二元一次方程必须满足以下三个条件：(1)方程中只含有两个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为1；(3)方程是整式方程．

【例2】有下列方程组：

①⎩⎪⎨⎪⎧

xy ＝1，x ＋y ＝2；②⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＝3，

1x

＋y ＝1；

③⎩

⎪⎨⎪

⎧

2x ＋z ＝0，3x －y ＝1

5； ④⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝5，x 2＋y 3＝7；

⑤⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋π＝3，x －y ＝1.

其中二元一次方程组有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

【互动探索】(引发学生思考)什么是二元一次方程组？二元一次方程组有什么特点？

【分析】①中，第一个方程含未知数的项xy 的次数不是1；②中，第二个方程不是整式方程；③中，共有3个未知数．只有④⑤满足二次一次方程组的定义，其中⑤中的π是常数．故选B.

【答案】B

【互动总结】(学生总结，老师点评)识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.

活动2 巩固练习(学生独学)

1．下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )

A.⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝4

x －y ＝4 B ．⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋2

b ＝8

3b －4c ＝6

C.⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2－16n ＝0m ＝2n D ．⎩⎪⎨⎪⎧

16x ＝3y －63x

＝2y ＋4

2．已知关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝1，y ＝1，则|m －n |的值是( D )

A ．5

B ．3

C ．2

D ．1

3．在方程3x －ay ＝8中，如果⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，

y ＝1是它的一个解，那么a 的值为1.

4．已知⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝－1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧

ax －3y ＝7，

x －by ＝5的解，求代数式3a ＋4b －5的值． 解：把⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝－1代入方程ax －3y ＝7中，得2a ＋3＝7，解得a ＝2.

把⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝－1

代入x －by ＝5中，得2＋b ＝5，解得b ＝3. 所以3a ＋4b －5＝3×2＋4×3－5＝13. 5．根据题意，列出方程组：

(1)某种植基地去年收入结余为500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15%，支出比去年低10%，设去年收入x 万元，支出y 万元；

(2)兄弟二人，弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等，3年后，兄弟二人的年龄和是他们年龄差的3倍，设哥哥今年x 岁，弟弟今年y 岁．

解：(1)⎩

⎪⎨⎪⎧

x －y ＝500，

(1＋15%)x －(1－10%)y ＝960.