专题25二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-高考全攻略之备战高考数学(文)

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高三一轮复习教案24二元一次不等式组与简单的线性规划问题

二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、知识归纳:1．二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.对于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点),(y x ，实数C By Ax ++的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0，y 0)，从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 2．线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。

3．线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；二、基础例题：例1．①画出不等式062<-+y x 表示的平面区域.②点),2(t -在直线0632=+-y x 的上方,则t 的取值范围是________.③ 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

并求出平面区域的面积。

例2．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：（1）y x z 106+=；（2）y x z -=2；（3）ω=；（4）1+=x y ω例3．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

高考专题练习：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会用代点法判断平面区域； (2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取得最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究) 角度一平面区域的面积不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于()A ．32B ．23C ．43D ．34【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C ．【答案】 C角度二平面区域的形状若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．(2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．1．已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A ．作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k ＞0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，满足题意，故选A ．2．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)解析：选C ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．求目标函数的最值(多维探究) 角度一求线性目标函数的最值(2021·郑州第一次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则y －2x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－6 C ．－10D ．－15【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝y －2x ，作出直线y ＝2x ，并平移，当直线z ＝y －2x 过点B (2，－2)时，z 的值最小，最小值为－6，故选B ．【答案】 B(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)． ①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．角度二求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，则z 的取值范围为________；(2)若z ＝x 2＋y 2，则z 的最大值为________，最小值为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)5 1【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．角度三求参数值或取值范围(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以C (－1，1)．若(2，4)是最优解，则2＋4a ＝10，a ＝2，经检验符合题意；若(2，1)是最优解，则2＋a ＝10，a ＝8，经检验不符合题意；若(－1，1)是最优解，则－1＋a ＝10，a ＝11，经检验不符合题意．综上所述，a ＝2，故选B ．【答案】 B求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，解得a ＝1.答案：12．(2021·开封市第一次模拟考试)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．解析：依题意，画出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，|P A |的最小值等于点A (0，2)到直线x －y ＝0的距离，即|0－2|2＝ 2.答案： 23．(2021·湖北八校第一次联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋3≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝|x－y |的取值范围为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，z ＝|x －y |＝|x －y |2·2表示可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的2倍．作出直线x －y ＝0，由图可得可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的最小值为0，最大值为直线2x －y ＋3＝0与2x ＋y －5＝0的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4到直线x －y ＝0的距离，即724，所以z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72线性规划的实际应用(师生共研)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元 C ．18万元D ．19万元【解析】设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．【答案】 C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：36 800[A 级基础练]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C ．用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C ． 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D ．若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D ．3．(2020·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．4．若M 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2 连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．74解析：选D ．在平面直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－12×1×12＝74，故选D ．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ．作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 故选A ．6．(2021·广州市阶段训练)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，0≤x ＋y ≤2，则z ＝x －2y的最小值为________．解析：依题意，在平面直角坐标系内作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，并平移，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距最小，此时z ＝x －2y 取得最小值，最小值为－1.答案：－17．(2021·合肥第一次教学检测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0，则z ＝2x＋y 取得最大值时的最优解为________．解析：方法一：作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，根据z 的几何意义，很容易看出当直线平移到点B 处时z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，得B (4，2)．方法二：易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在交点处取得，只需求出两两相交的三个交点的坐标，代入z ＝2x ＋y ，即可求得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0为原点，代入可得z ＝0；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，将(3，3)代入可得z ＝9；联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，将(4，2)代入可得z ＝10.通过比较可知，z 的最大值为10，故最优解为(4，2)．答案：(4，2)8．(2021·四省八校第二次质量检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0，若－x ＋y ≥－m 2＋4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：设z ＝－x ＋y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点B (2，－3)时z 取得最小值，所以z min ＝－5，所以－m 2＋4m ≤－5，m 2－4m －5≥0⇒m ≤－1或m ≥5，所以m 的取值范围为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)9.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ＞0，x ＋y ＋1＜0，3x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A ，B ，C 三点坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点M (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝x ＋3（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[B 级综合练]11．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围为( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选B ．作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋y 可得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a ，因为k AC ＝2，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (1，0)处取得最小值，则有k AB <k <k AC ，即－1<－a <2，所以－2<a <1，即实数a 的取值范围是(－2，1)．故选B ．12．若点M (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A ．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A ．13．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA→，则z 的最大值是________．解析：方法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4.方法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z ＝2x ＋y ，对应z 的值为0，4，－6，故z 的最大值是4.答案：414．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[C 级提升练]15．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)．由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值，z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3，故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．答案：[－2，ln 6]16．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则n ＝________．解析：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3. 又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ，解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝10 3. 答案：10 3。

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新精品高考数学专题复习课件

结
束
突破点(一)
基础联通
二元一次不等式(组)表示的平面区域
抓主干知识“ 的源” 与“ 流”
1．二元一次不等 (组式 )表示的平面区域
不等式表示区域不包括边界直线包括边界直线
Ax＋By＋C＞0 直线 Ax＋By＋C＝ Ax＋By＋C≥0 不等式组 0某一侧的所有点组成的平面区域
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
结
束
第二节
本节主要包3 括个知识点： 2简 . 单的线性规划问题； 3线 . 性规划的实际应 . 用
二元一次不等式 1二 . 元一次不等组式表示的平面区域； (组)与简单的线性规划问题
突
破
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的
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三
课时达标检测
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
结
束
根据平面区域满足的条件求参数
不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等
中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是
动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线
趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
结
束
考点贯通
抓高考命题“ 的形 ”与 “神 ”
求平面区域的面积
1．求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的区域，然后根据区域的形状求面积．

高考数学考点突破——不等式：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【考点梳理】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )A ．B ．C ．D ．(2) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．[答案] (1) C (2) 4[解析] (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0，2)，B (2，0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4，0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.【类题通法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和. 【对点训练】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )A ．B ．C ．D ． [答案] B[解析] x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．12C ．13D ．14[答案] D[解析] 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.考点二、求目标函数的最值问题【例2】(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为_____．(2)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是______．(4)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 [答案] (1) －5 (2) C (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 (4) B[解析] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(3)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1，1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2，0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.(4)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.【类题通法】1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. 3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件. 【对点训练】1．若设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选D.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13[解析] 根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2，3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.[答案] 3[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )A ．－209 B ．1 C ．2 D ．5[答案] B[解析] 作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.考点三、线性规划的实际应用【例3】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.[答案] 216 000[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).【类题通法】解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答. 【对点训练】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元C ．17万元D ．18万元[答案] D[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2，3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.。

高考数学考点25二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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考点25 二元一次不等式（组）与简单的线性规
划问题
一、选择题
1.（2015·安徽高考文科·T5）已知x ，y 满足约束条件
040
1x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值
是( )
A.-1
B.-2
C.-5
D.1 【解题指南】正确画出平面区域的可行域是一个三角形,再数形结合计算求值。

【解析】选A 。

根据题意做出约束条件确定的可行域，如图所示：
令z=-2x+y,则y=2x+z,可知上图中A(1，1)处z=-2x+y 取得最大值-1，故选A 。

2. (2015·广东高考理科·T6)若变量x,y
满足约束条件则z=3x+2y 的最小值为 ( )
A ．531 B. 6C. 5
23 D. 4 【解题指南】先根据不等式组画出可行域,再将直线化成斜截式方程,平移目标函数,找到z 取最小值时与可行域的交点,进而求出z 的最小值.
【解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示
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高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-知识点解析

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-知识点解析一、二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.若有Ax0+By0+C=0，则点P在直线l上；若有Ax0+By0+C>0或者Ax0+By0+C<0，则点P在直线l的某一侧，即二元一次不等式Ax+By+C>0和Ax+By+C<0分别表示直线l两侧的平面区域.通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.二、简单的线性规划问题和求解步骤求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，生活实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题.解线性规划问题的步骤如下：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：求出目标函数的最大值或最小值.三、利用线性规划解决实际问题的问题类型及步骤利用线性规划来进行优化设计，解决生活中的实际问题通常有以下几种类型：第一类：给定一定数量的人力、物力资源，分析怎样合理利用这些资源，才能使收到的效益最大；第二类：给定一项任务，分析怎样安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小，还要根据条件求最优解，有时候还要分析整数解.解线性规划应用题的步骤如下：第一步：列表，转化为线性规划问题；第二步：设出相关变元，列出线性约束条件对应的不等式（组），写出目标函数；第三步：正确画出可行域，根据条件求出目标函数的最大值或最小值及对应的变元；第四步：写出实际问题的答案.知识探究问题1：对于简单的线性规划问题，正确判断并画出不等式（组）表示的平面区域是解决问题的关键，那么判断一个不等式（组）对应的平面区域主要有哪些方法?探究：1.在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0），（1）若Ax0+By0+C>0，则点P（x0，y0）在直线的上方；（2）若Ax0+By0+C<0，则点P（x0，y0）在直线的下方.2.对于方程中的系数B（B≠0，若B=0，则方程简单化），不外乎两种情况：B>0和B<0，则根据图形的特点可以得出以下结论：（1）当B>0时，Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.（2）当B<0时，Ax+By+C>0⇔-Ax-By-C<0表示直线下方的区域；Ax+By+C<0⇔-Ax-By-C>0，表示直线上方的区域.3.在实际给出直线的条件下，由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（x，y）代入Ax+By+C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），以Ax0+By0+C的正负情况便可判断Ax+By+C>0或者Ax+By+C<0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为此特殊点.问题2：在利用线性规划求解有关应用问题时，有时候需要根据实际情况，最优解要求是整数，那么，怎样才能正确地得出整数解?探究：在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等），而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，通常处理的方法有两种：（1）利用约束条件画出图形，如果得出的是非整数解，进行适当地调整，可以找与所求出的最优解（非整数解）接近的整数解进行验证；（2）在直线的附近找出与此直线距离最近的整点，根据求出的结果给出最优解的整数解.知识拓展【拓展点1】 △ABC 中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组.解:如图所示,AB 、BC 、CA 三边所在直线方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+.052,02,012y x y x y x【拓展点2】利用平面区域求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--.01553,0632,032y x y x y x 的整数解.解:设l 1:2x-y-3=0,l 2:2x+3y-6=0,l 3:3x-5y-15=0,l 1∩l 2=A,l 1∩l 3=B,l 2∩l 3=C,则A(815,43)、B(0,-3)、C(1975,-1912).作出不等式组表示的平面区域,如图所示.可以看出区域内点的横坐标在区间(0,1975)内,取x=1,2,3.当x=1时,代入原不等式组,有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><-<,512,34,1y y y 得-512<y<-1.∴y=-2,区域内有整点(1,-2).同理,可求得另外三个整点(2,0)、(2,-1),(3,-1).练习请和你的同学共同阅读下面资料，根据资料回答问题：某教育集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20到30个班为宜.（1）根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，并计算最大利润.（2）三年之后，如果把这三年利润的80%再投资兴建一个幼儿园，请根据资金进行一次调查（以你所在城市为例），根据调查数据帮助设计一定规模的班级使幼儿园的利润最大。

考点25二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 一、二元一次不等式（组）与平面区域 1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论： 3．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax By C ++的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足0Ax By C ++>，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足0Ax By C ++<.（2）可在直线0Ax By C ++=的同一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从00Ax By C ++的符号就可以判断0Ax By C ++> (或0Ax By C ++<)所表示的区域．（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. （4）点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线0Ax By C ++=的两侧的充要条件是1122()(Ax By C Ax By +++)0C +<；位于直线0Ax By C ++=同侧的充要条件是1122()()0Ax By C Ax By C ++++>.二、简单的线性规划问题 1．简单线性规划问题的有关概念（1）约束条件：由变量x ，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x ，y 的约束条件．关于变量x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x ，y 的线性约束条件．（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数．目标函数是关于变量x ，y 的一次解析式的称为线性目标函数.（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ,y )叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解． 2．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案． 3．线性规划的实际问题的类型（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题. 4．非线性目标函数类型（1）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．（2）对形如(0)ay b z ac cx d +=≠+型的目标函数，可先变形为()()by a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．（3）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为2222z A B A B=++的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++22A B +倍的最值．考向一二元一次不等式（组）表示的平面区域1．确定平面区域的方法如下：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式. （2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.典例1 不等式组1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域与22104x y x y ++-+≤表示的平面区域的公共部分面积为__________．【答案】π16【解析】画出不等式组1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，如图，典例2 已知0,a >不等式组()002x y y a x ⎧>⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积为2，则 a 的值为A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】作出可行域，因为不等式组()002x y y a x ⎧>⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为直角三角形，所以122=2,2a ⨯⨯所以1a =.故选C.1．已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦考向二线性目标函数的最值问题1．平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 2．顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.典例3 已知点x ,y 满足约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值与最小值之差为A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】作出约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，2．若,x y 满足条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =-的最大值是A ．12 B ．14C ．12-D ．14-考向三含参线性规划问题1．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.2．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状.典例4 若变量x ,y 满足约束条件42y x y x y k ≤⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩,且u =2x +y +2的最小值为-4,则k 的值为A ．7B ．1-C ．3-D ．2 【答案】B典例5 设变量x ,y 满足10220270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,z =a 2x +y (0<a <)的最大值为5,则a =A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】A【解析】如图，画出不等式组10220270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示.3．已知实数x ，y 满足约束条件1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为 A ．4 B ．3 C ．2D ．12-考向四利用线性规划解决实际问题用线性规划求解实际问题的一般步骤为：（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略.（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解.典例6 下表所示为,,X Y Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素A 及48000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物,,X Y Z 的质量分别为,,x y z （千克），则混合物的成本最少为__________元．维生素A （单位：千克） 400 600 400 维生素B （单位：千克）800 200 400 成本（元/千克）12108【答案】960当直线24002Py x =--+过可行域内的点()3020A ，，即30x =千克，20y =千克，50z =千克时，成本最少，为960P =元．典例7 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木料30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？由图可知：当直线23120z y x =-+经过可行域上的点M 时，截距120z 最大，即z 最大，解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为(100,400).则max 801208010012040056000z x y =+=⨯+⨯=(元).因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.4．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元.考向五非线性目标函数的最值问题1．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式.2．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值.典例8 已知实数x、y满足不等式组10302x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若x2+y2的最大值为m,最小值为n,则m-n=A．252B．172C．8 D．9 【答案】B【解析】作出不等式组10302x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域,如图中阴影部分所示,x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,观察图形可知,原点到直线x+y-3=0的距离|OD|的平方等于n,|OA|2=m,经过计算可得m=13,n=92,则m-n=172,故选B.典例9 已知x,y满足10240220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,如果目标函数z=1yx m+-的取值范围为[0,2),则实数m的取值范围为A．[0,12] B．(-∞,12]C．(-∞,12) D．(-∞,0]【答案】C【解析】作出10240220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示.5．设,x y 满足约束条件2222x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩，则z x y =+的最大值是__________．1．不等式组11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积是A ．14 B ．94 C ．92D ．322．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x+2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6,+∞)D ．[4,+∞)3．已知实数x ,y 满足()101210y y x x y m -≥⎧⎪-≤-⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z =x -y 的最小值为-1,则实数m 的值为A ．6B ．5C ．4D ．34．已知点()1,2A ，若动点(),P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为A 2B ．1C 2D 55．设实数x ,y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z =ax+by (a >0,b >0)的最大值为10,则a 2+b 2+2a 的最小值为A ．2113 B ．2213 C ．3613 D ．24136．设不等式组31036x y x y +≥⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数()log 1a y x a =>图象上的点，则实数a 的取值范围是 A ．()3,+∞ B ．()1,3 C ．[)3,+∞D ．(]1,37．若不等式组1010210x y y x y -+≥⎧⎪⎪+≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的区域为Ω，不等式221124x y ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为 A ．114 B ．10 C ．150D ．508．若x ，y 满足条件4050550x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，当且仅当5x =，0y =时，目标函数z ax y =+取得最小值或最大值，则实数a 的取值范围是 A ．()1,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭9．在平面直角坐标系中，已知点，点为△ABC 边界及内部的任意一点，则的最大值为______________.10．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________.11．已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若可行域内存在(),x y 使不等式20x y k ++≥有解，则实数k的取值范围为_______．12．已知x ,y 满足约束条件(x -2)(x +2y -4)≤0,则x 2+y 2的最小值为______________.13．已知实数x ,y 满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则S =的取值范围是______________.14．已知点1(1)A -，，()3,0B ，()2,1C ．若平面区域D 由所有满足12,0=(＋AB AC AP λμλμ≤≤≤)1≤的点P 组成，则D 的面积为______________.15．设变量x ,y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,目标函数z =x+6y 的最大值为m ,则当2a+b =(a >0,b >0)时,+的最小值为______________.16．某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知编制一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有原料编制x 个花篮,y 个花盆.（1）列出,x y 满足的关系式，并画出相应的平面区域；（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元,那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,可使得所得利润最大,最大利润是多少?1．（2018天津文科）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．452．（2017新课标全国Ⅰ文科）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．33．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞4．（2017新课标全国Ⅱ文科）设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．95．（2016浙江文科）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A 35B 2C ．322D 56．（2016新课标全国Ⅰ文科）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

高中数学考点25 二元一次不等式(组)与简单的线性规划

考点25 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2017·北京高考文科·T4)同(2017·北京高考理科·T4)若x,y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.9【命题意图】本题主要考查线性规划求线性目标函数的最值.意在培养学生数形结合能力.【解析】选D.线性约束条件32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图阴影部分所示,将z=x+2y转化为y=-12x+2z,由直线l:y=-12x平移可知,当直线y=-12x+2z过点A时,z=x+2y的值最大,由3xy x=⎧⎨=⎩解得A(3,3),所以z max=3+2×3=9.【方法技巧】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.2.(2017·山东高考理科·T4)已知x,y满足3035030x yx yx-+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y的最大值是A.0B.2C.5D.6【命题意图】本题考查应用线性规划求目标函数的最值,意在考查考生的数形结合的数学思想和运算求解能力.【解析】选C.由3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,当其经过直线3x+y+5=0与x=-3的交点(-3,4)时,z=x+2y 取最大值,最大值为z=-3+2×4=5.3.(2017·全国丙卷·文科·T5)设x,y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z=x-y 的取值范围是 ( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]【命题意图】本题考查线性规划问题,考查学生的运算能力和数形结合能力.【解析】选B.绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3.在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.【反思总结】目标函数一般在端点处取最值,可通过端点值得代入进行求解排除,以提高解题速度.4.(2017·全国甲卷理科·T5)设x,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z=2x+y 的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.9【命题意图】考查线性规划问题,通过画可行域以及求最值过程意在考查学生数形结合思想的运用以及化归思想的运用. 【解析】选A.绘制不等式组表示的可行域如图阴影(含边界)所示,结合目标函数的几何意义可得函数在点B(-6,-3)处取得最小值z=-12-3=-15.【光速解题】直接解出三条直线的三个交点坐标,将三点的坐标代入z=2x+y,比较三个值的大小即可判断.5.(2017·天津高考理科·T2)设变量x,y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z=x+y的最大值为 ( ) A.23B.1C.32D.3【命题意图】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题【解析】选D.可行域为四边形ABCD 及其内部,如图,其中A(0,1),B(0,3),C 3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭,D 24,33⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以直线z=x+y 过点B 时取最大值3.6.(2017·山东高考文科·T3)已知x,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z=x+2y 的最大值是( )A.-3B.-1C.1D.3【命题意图】本题考查应用线性规划求目标函数的最大值,意在考查考生的数形结合的数学思想和运算求解能力.【解析】选D.由250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,当其经过直线x-2y+5=0与y=2的交点P(-1,2)时,z=x+2y 取最大值,最大值为z=-1+2×2=3.7.(2017·全国乙卷文科·T7)设x,y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y 的最大值为 ( )A.0B.1C.2D.3【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识,考查利用平面区域求目标函数的最值.【解析】选D.如图,目标函数z=x+y 经过A(3,0)时最大,故z max =3+0=3,故选D.8.(2017·浙江高考·T4)若x,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则z=x+2y 的取值范围是 ( )A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)【命题意图】本题主要考查线性规划问题,意在考查学生根据线性约束条件画出可行域的能力.【解析】选D.根据约束条件,在平面直角坐标系中画出可行域如图所示,其向右向上为无穷延伸的,z 相当于直线x+2y-z=0的纵截距的两倍,由图可知,当直线x+2y-z=0经过点A(2,1)时,z min =4且z 无最大值,所以z ∈[)4.+∞.二、填空题9.(2017·全国丙卷·理科·T13)若x,y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z=3x-4y 的最小值为 .【命题意图】本题考查线性规划问题,考查学生画图、用图的能力.【解析】绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得,目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3x-4y=-1.答案:-1【反思总结】目标函数的最值点就是在对应直线的交点处取得,可通过代入交点求解.10.(2017·全国乙卷理科·T14)设x,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则z=3x-2y 的最小值为 .【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识,主要考查利用平面区域求目标函数的最优解.【解析】如图所示,不等式组表示的可行域为△ABC,易求得A(-1,1),B 11,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭,C 11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线z=3x-2y 在x 轴上的截距越小,z 就越小, 所以,当直线z=3x-2y 过点A 时,z 取得最小值, 所以z 取得最小值为3×(-1)-2×1=-5. 答案:-5 三、简答题16.(2017·天津高考文科·T16)某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?【命题意图】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题【解析】(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为7060600553020,0,x y x y x y x x N y y N +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥∈⎪≥∈⎪⎩即7x 6y 60x+y 6x-2y 0x 0x N,y 0N,+≤⎧⎪≥⎪⎪≤⎨⎪≥∈⎪≥∈⎪⎩，，，，，y 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+25z ,这是斜率为-125,随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距,当25z取得最大值时,z 的值最大.又因为x,y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距25z最大,即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩得点M 的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【反思总结】解决线性规划实际应用问题,关键是读懂题意,把题目中信息翻译成数学关系式,画出可行域,进而求解实际问题.。

高考数学一轮复习二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真](教师用书独具)1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第80页)[基础知识填充]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.[确定二元一次不等式表示的平面区域的位置把二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(＜0)表示为y ＞kx ＋b 或y ＜kx ＋b 的形式．若y ＞kx ＋b ，则平面区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方，若y ＜kx ＋b ，则平面区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C ．]3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值．由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.故选D ．]4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________. 【导学号：79170190】 6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________．1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)，∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](对应学生用书第81页)(1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A ．355 B ．2 C ．322D ． 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B ．(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C ．][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1](1)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________. 【导学号：79170191】(2)(2018·潍坊模拟)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．(1)4 (2)12 [(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知 12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.]角度1 求线性目标函数的最值(1)(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件⎩⎨⎧2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9(2)(2017·福州质检)已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，x≥12，y≥x，且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________. 【导学号：79170192】(1)A(2)3[(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，当直线y ＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z取最小值，且z min＝2×(－6)－3＝－15. 故选A．(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝⎛⎭⎪⎫12，12，⎝⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( ) 【导学号：79170193】A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________． (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A ．－209 B ．1 C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B ．][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－ab x＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－b x－a.易错警示：注意转化的等价性及几何意义．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． 5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M时，截距z 3最大，即z 最大． 7分解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．900×100＝216 000(元)．]。

高考数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高考数学二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题组一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为() A．－5 B．1C．2 D．3解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0所围成的区域如图所示．则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，∵S△ABC＝2，∴12(1＋a)×1＝2，解得a＝3.答案：D2．已知D是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≥0，x＋3y≥0所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为() A.π4 B.π2 C.3π4 D.3π2解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝12，k2＝－13，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan∠AOB＝12＋131－12×13＝1，∴∠AOB＝π4，∴弧长＝π4·2＝π2.答案：B3．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a )(－12－12＋a )＜0，解之得－7＜a ＜24. 答案：(－7,24)题组二求目标函数的最值4.(2009·天津高考)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．23 解析：约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3表示的平面区域如图易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值． ∴z min ＝2×2＋3×1＝7. 答案：B5．(2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－4,2) C ．(－4,0] D ．(－2,4) 解析：可行域为△ABC ，如图当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.答案：B6．已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12 z －1最大，即z 最大，∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.题组三线性规划的实际应用7.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 800元解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值．解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z min ＝2 200.答案：B8．(2009·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元解析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3,4)，∴z 的最大值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：D9．某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p ＝100＋3(5－y )＋2(8－x )元，那么v 、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧4≤50x≤2030≤300y ≤1009≤x ＋y ≤14x >0，y >0，考查z ＝2x ＋3y 的最大值，作出可行域，平移直线2x ＋3y ＝0，当直线经过点(4,10)时，z 取得最大值38.故当v ＝12.5、w ＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元．10.(2010·诸城模拟) ( ) A ．直线x ＋y ＝1的左下方 B ．直线x ＋y ＝1的右上方 C ．直线x ＋2y ＝1的左下方 D ．直线x ＋2y ＝1的右上方解析：∵2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ＋2n∴22m ＋2n <22，即m ＋2n <1，∴点(m ，n )必在直线x ＋2y ＝1的左下方．答案：C 11. 设m 为实数，若⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是____________．解析：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果－m >0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内；故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝43.∴0≤m ≤43.答案：0≤m ≤4312．已知O 为坐标原点，A (2,1)，P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，则|OP u u u r |·cos ∠AOP 的最大值等于________．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP u u u r |·cos ∠AOP＝cos OP OA AOPOA∠u u u r u u u rg u u u r＝OP OAOAu u u r u u u rg u u u r ，而OA u u u r ＝(2,1)，OP u u u r ＝(x ，y )，所以|OP u u u r |·cos ∠AOP ＝2x ＋y 5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25，得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP u u u r |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP u u u r |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.125答案：5。

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题项目一知识概要1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l 上的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；②直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c >0；③直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0)，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．2．线性规划相关概念3．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.项目二例题精讲任务一二元一次不等式(组)表示的平面区域问题【例1】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是 ( )A.73B.37C.43D.34分析画出平面区域，显然点⎝⎛⎭⎫0，43在已知的平面区域内，直线系过定点⎝⎛⎭⎫0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．答案 A解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 评注二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．任务二求线性目标函数的最值问题【例2】设x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z ＝x ＋y 的最大值与最小值．分析作可行域后，通过平移直线l 0：x ＋y ＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解析先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A (5,2)、B (1,1)、C (1，225)，作出直线l 0：x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过点B 时，可使z ＝x ＋y 达到最小值；当l 0的平行线l 2过点A 时，可使z ＝x ＋y 达到最大值．故z min ＝2，z max ＝7.分析 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．任务三实际生活中的线性规划问题【例3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( ) A ．50,0 B ．30,20 C ．20,30 D ．0,50分析根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．答案 B解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ∈N ＋，求目标函数z ＝x ＋0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．。

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题Word版含答案

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题【课前回顾】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界，特殊点定域”. 3．简单的线性规划中的基本概念1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4可得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.5．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．解析：∵点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，∴2m ＋3－5>0，即m >1.答案：(1，＋∞)4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －6≤0，则x －2y 的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点A (1,1)处取得最大值－1.答案：－1考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域(一)直接考——求平面区域的面积解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥2，0≤x ≤2所表示的平面区域的面积为________．解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A (0,2)，B (2,2)，C (2,7)，D (0，5)，所以AD ＝3，AB ＝2，BC ＝5.故所求区域的面积为S ＝12×(3＋5)×2＝8.答案：8(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k >0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，故选A. 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.考点二求目标函数的最值角度(一) 求线性目标函数的最值及范围求目标函数最值的一般步骤1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x－z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5. 答案：－5角度(二) 求非线性目标函数的最值常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.角度(三) 线性规划中的参数问题求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．4．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，32. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32 【针对训练】1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A ⎝⎛⎭⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝k PA ＝－12－11－0＝－32. 答案：－323．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 答案：5考点三线性规划的实际应用1．解线性规划应用题3步骤(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【典型例题】(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000【针对训练】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．【课后演练】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.4．(2018·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.5．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.6．(2018·郑州第二次质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点M (－1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32.7．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 8．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3.答案：310．(2018·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点A (1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点B (－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]11．(2018·安庆二模)若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1 解析：选B 作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为点(－1,0)到直线y ＝－x 的距离的平方，即为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.12．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D.2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.13．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．14．(2018·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，且b ＝－2x －y ，当b 取得最大值时，直线2x ＋y ＋b ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线y ＝－2x －b 经过点A (－2，－2)时，b 取得最大值，即b max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x ＋y ＋6＝0.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋6＝0的距离d ＝|2＋2＋6|22＋12＝25，所以直线被圆截得的弦长L ＝252－(25)2＝2 5.答案：2 515．(2018·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .若目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.答案：516.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求实数a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14.故实数a 的取值范围是(－18,14)．17．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得C (5,2)，(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移直线y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝yx 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2<OA 2<OC 2＝29，故z 3∈[2,29]．。

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题24

第三节《二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题考纲要求：1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组;2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划的问题，并能加以解决. 问1：如何表示一元二次不等式（组）所成平面区域?问2：什么是线性规划问题？问3：如何解决简单的线性规划问题？角度一：简单线性规划问题.2,0440402,1的最值则满足已知实数例y x y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-.32.21的最值若约束条件不变，求变式的最值若约束条件不变，求变式y x z y x z -=+=.)0(4.)0(3的最值若约束条件不变，求变式的最值若约束条件不变，求变式>-=<-=a y ax z a y ax z.23044002,5的值为，则实数为最小值，目标函数满足已知实数变式m y x z y x m y x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-小结（学生归纳）角度二：求非线性目标函数的最值P84.考点二.2T.,033022042,222的取值范围则满足已知实数例y x y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-P84.演练冲关.3T .11,01201022,3的最小值是则满足设实数例--⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤-+x y y x y x y x y x小结（学生归纳）角度三线性规划的实际应用P85[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．[即时应用]某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为() A．31 200元B．36 000元C．36 800元D．38 400元小结。

高考知识点二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

⾼考知识点⼆元⼀次不等式（组）与简单的线性规划问题第2节⼆元⼀次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；2.了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；3.会从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)⼀般地，⼆元⼀次不等式Ax＋By＋C>0在平⾯直⾓坐标系中表⽰直线Ax＋By ＋C＝0某⼀侧的所有点组成的平⾯区域不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表⽰的平⾯区域包括边界直线，把边界直线画成实线.(2)对直线Ax＋By＋C＝0同⼀侧的所有点(x，y)，代⼊Ax＋By＋C所得值的符号都相同，所以只需取⼀个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可判断Ax＋By＋C>0表⽰的是直线Ax＋By＋C＝0哪⼀侧的平⾯区域.(3)不等式组所表⽰的平⾯区域，是各个不等式所表⽰的平⾯区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[常⽤结论与微点提醒]1.画⼆元⼀次不等式表⽰的平⾯区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中⽆等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最⼤值时，z 也取最⼤值；截距zb 取最⼩值时，z 也取最⼩值；当b <0时，截距z b 取最⼤值时，z 取最⼩值；截距z b 取最⼩值时，z 取最⼤值.诊断⾃测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表⽰的平⾯区域⼀定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上⽅.( )(2)线性⽬标函数的最优解可能是不唯⼀的.( )(3)线性⽬标函数取得最值的点⼀定在可⾏域的顶点或边界上.( )(4)在⽬标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的⼏何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表⽰的平⾯区域在直线x －y ＋1＝0的下⽅. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表⽰的平⾯区域内的是( ) A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)解析把各点的坐标代⼊可得(－1，3)不适合. 答案 C3.(必修5P86T3)不等式组x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表⽰的平⾯区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表⽰直线x －3y ＋6＝0及其右下⽅部分，x －y ＋2＜0表⽰直线x －y ＋2＝0左上⽅部分，故不等式表⽰的平⾯区域为选项B. 答案 B 4.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满⾜约束条件x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最⼩值为________.解析不等式组x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表⽰的平⾯区域如图所⽰.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最⼤，此时z 取最⼩值.由2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A (－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案－55.(2018·⽯家庄质检)若x ，y 满⾜约束条件x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx 的最⼤值为________.解析作出不等式组表⽰的平⾯区域，如图所⽰阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表⽰区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA .由x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ? ????12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案3考点⼀⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平⾯内表⽰的区域(⽤阴影部分表⽰)，应是下列图形中的()(2)若不等式组x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表⽰的平⾯区域为三⾓形，且其⾯积等于43，则m的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平⾯区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表⽰的平⾯区域为三⾓形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ? ??23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1. 答案 (1)C (2)B规律⽅法 1.⼆元⼀次不等式(组)表⽰平⾯区域的判断⽅法：直线定界，测试点定域.2.求平⾯区域的⾯积：(1)⾸先画出不等式组表⽰的平⾯区域，若不能直接画出，应利⽤题⽬的已知条件转化为不等式组问题，从⽽再作出平⾯区域；(2)对平⾯区域进⾏分析，若为三⾓形应确定底与⾼，若为规则的四边形(如平⾏四边形或梯形)，可利⽤⾯积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成⼏个三⾓形分别求解再求和.【训练1】 (2018·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表⽰的平⾯区域为M ，不等式组x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表⽰的平⾯区域为N ，现随机向区域N 内抛⼀粒⾖⼦，则⾖⼦落在区域M 内的概率为________.解析作出不等式组与不等式表⽰的可⾏域如图阴影部分所⽰，平⾯区域N 的⾯积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的⾯积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案π24考点⼆求⽬标函数的最值问题(多维探究) 命题⾓度1 求线性⽬标函数的最值【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满⾜约束条件x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最⼤值为( ) A.0B.1C.2D.3解析根据约束条件画出可⾏域，如图中阴影部分(含边界)，则当⽬标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最⼤值，故z max ＝3＋0＝3.答案 D命题⾓度2 求⾮线性⽬标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满⾜x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最⼤值是()A.4B.9C.10D.12(2)(2018·湘中⾼三联考)已知实数x ，y 满⾜y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy 的最⼩值是________.解析 (1)作出不等式组所表⽰的平⾯区域，如图中阴影部分所⽰(包括边界)，x 2＋y 2表⽰平⾯区域内的点与原点的距离的平⽅.由图易知平⾯区域内的点A (3，－1)与原点的距离最⼤，所以x 2＋y 2的最⼤值是10.(2)作出不等式组表⽰的平⾯区域，如图所⽰，⼜xy 表⽰平⾯区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最⼤，此时x y 取得最⼩值，所以? ????x y min ＝1k OA＝32.答案 (1)C (2)32命题⾓度3 求参数的值或范围【例2－3】 (2018·惠州三调)已知实数x ，y 满⾜：x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y的最⼩值为－4，则实数a ＝( ) A.1B.2C.4D.8解析作出不等式组表⽰的平⾯区域，如图中阴影部分所⽰，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ?－a ，a －53时，z 取得最⼩值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.答案 B规律⽅法 1.先准确作出可⾏域，再借助⽬标函数的⼏何意义求⽬标函数的最值. 2.当⽬标函数是⾮线性的函数时，常利⽤⽬标函数的⼏何意义来解题，常见代数式的⼏何意义： (1)x 2＋y 2表⽰点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表⽰点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表⽰点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表⽰点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当⽬标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满⾜的条件.【训练2】 (1)(2017·⼭东卷)已知x ，y 满⾜约束条件x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y的最⼤值是( )A.0B.2C.5D.6(2)(2018·新乡模拟)若实数x ，y 满⾜2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最⼩值为－52，则m 等于( ) A.54 B.－56C.1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可⾏域如图中阴影部分所⽰，故⽬标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最⼤值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表⽰的可⾏域如图中阴影部分所⽰，z ＝mx －y (m <2)的最⼩值为－52，可知⽬标函数的最优解过点A ，由y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ? ????12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)C (2)C考点三实际⽣活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某⾼科技企业⽣产产品A 和产品B 需要甲、⼄两种新型材料.⽣产⼀件产品A 需要甲材料1.5 kg ，⼄材料1 kg ，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B 需要甲材料0.5 kg ，⼄材料0.3 kg ，⽤3个⼯时，⽣产⼀件产品A 的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，⼄材料90 kg ，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A 、产品B 的利润之和的最⼤值为________元.解析设⽣产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、⼯时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，⽬标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可⾏域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最⼤值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律⽅法解线性规划应⽤问题的⼀般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和⽬标函数； (3)作出可⾏域并利⽤数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2018·黄冈联考)⼀个⼩型加⼯⼚⽤⼀台机器⽣产甲、⼄两种桶装饮料，⽣产⼀桶甲饮料需要⽩糖4千克，果汁18千克，⽤时3⼩时；⽣产⼀桶⼄饮料需要⽩糖1千克，果汁15千克，⽤时1⼩时.现库存⽩糖10千克，果汁66千克，⽣产⼀桶甲饮料利润为200元，⽣产⼀桶⼄饮料利润为100元，在使⽤该机器⽤时不超过9⼩时的条件下，⽣产甲、⼄两种饮料利润之和的最⼤值为________.解析设⽣产甲、⼄两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，。

高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

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[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先点到直线变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将距离型问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三线性规划中的参数问题