第五讲 无穷大与无穷小

是的无穷小量。

为，则称函数时的极限为当如果函数：
、定义一、无穷小与无穷大
教学过程
课型：新授课总：
、函数间段点的求法。

判断。

、函数连续性的定义及教学重点及难点：
、求函数的间段点。

念判断函数的连续性。

、理解、应用连续性概。

、掌握函数连续性概念比较。

的概念。

掌握无穷小的、理解无穷小、无穷大教学目的：无穷大与无穷小
第五讲
a x x f x a x x f →∞→→)(0)()(11214321 例1
当x →0时，函数x 2、tanx 、sinx 是无穷小。

当x →1时，x-1、x 2-1是无穷小。

当x →∞时，x 1、q x 、2π-arctanx
注：（1）无穷小是极限的，是变量。

（2）同一函数可能是无穷小，也可能是无穷大。

定理1
极限limf(x)=A ⇔f(x)=A+α,其中α是x →a 时无穷小。

证明：由limf(x)=A
∴ lim[f(x)-A]=0，则α是x →a 时无穷小量。

反之，若f(x)=A+α，其中α是x →a 时无穷小。

于是lim[f(x)-A]= lim α=0
∴limf(x)=A
2无穷大
定义2、如果对任意给定的正数M （不论它如何大），总存在正数δ，使对满足不等式的x:0<a x -<δ时，均有：)(x f >M 当x →a 时无穷大。

例2
x →1时，1
1-x x →0时，x 1、1/x 2等
3、无穷小的比较：
定义3：
设f(x),g(x) (x →a)时的无穷小，且g(x)≠0
（1） 若lim )
()(x g x f =0则称当x →a 时，f(x)是g(x)高阶无穷小。

特：lim )
()(x g x f =1则称当x →a 时，f(x)是g(x)等阶无穷小 f(x)~ g(x)（x →a ）
定理3
设当x →a 时，f(x)~ f(x),g(x)~g(x),
内的一点，是定义区间上，定义在某个区间设函数、改变量：
二，函数的连续性。

时：常见的几种等价关系：
I I x f y e x x x x x x x x x x
x x x x x x 000)(11~arctan ~tan ~sin ~03
2
3~3sin 2~2sin 32lim 3sin 2sin lim χ=-→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→ ()()()()()()()
()()()()()()19
.019.021.011.14
51231.01.02
11,,2220002
000000000-=-=∆=-=∆=-=-∆+=∆-=∆===-=-∆+=∆-∆+-=∆∆≠y y x f x x f y x x x f y x f x f x f x x f y x f x x f y x x x x x 时，，则当例，设记为相应的改变量是时，函数变到当自变量从的改变量。

即到表示自变量从用再取一点χχχχχχχ 的函数。

是关于）（可正可负，但能为）（可正可负，但不能为）注：（x y y x ∆∆∆∆30
201 ()()()()
()()()()上连续。

在证明处连续。

在证明函数例题：
处连续。

在则函数若改变量：
时，则函数值有相应的处有一改变量在内有定义。

当在若函数：
定义，连续性概念：
R x y x x f y x x f y x f x x f y x x x u x f x x sin 211,0lim 120000000
====∆-∆+=∆∆→χδ
()()()处连续性。

在，讨论：处是否连续。

在，判断例题：
处连续。

在点则称存在。

的定义域在）点（处满足：
在：若函数定义处连续。

在则称：
定义010100
01120120101)(1)()()(lim 3)(lim 2)(1)(3)(),()(lim 2020000000
00=⎪⎩
⎪⎨⎧≤<-=<≤-+=⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<+======→→→x x x x x x x f x x x x x x x f x x f x f A x f x f x f x x x x f x x x f x f x f x x x
x x x 3．函数的间断点。

()()()()()()()()处简断。

在任意一点都称函数存在，但不等于）（不存在，处无定义在点）（显然：
为间断点。

称点不连续（或间断），并在点处不满足连续条件，称在点定义：若函数0000000.lim 3lim 210
χχχχχχχχx f x f x f x f f f f x x x x →→求间断点：
()()()()()4332221211
2100,2231
159222，，，作业；
三。

小结。

，P x x x x x x x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤+<<+--=。