高考数学理科二轮复习专题1不等式与线性规划含答案

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2020届高考数学(理)二轮专题复习：专题二函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc

限时规范训练五不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3，即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)．由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

高考数学二轮复习不等式

(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－－ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212，表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，

【走向高考】高考数学二轮复习微专题强化习题：不等式与线性规划含答案

第一部分一 16一、选择题1．(文)(2015·唐山市一模)已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪[3，＋∞) C ．(－∞，－1)∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．(理)(2014·唐山市一模)己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩(∁R B )＝RD ．A ⊆B[答案] A[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.[方法点拨] 解不等式或由不等式恒成立求参数的取值范围是高考常见题型．1．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．2．解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．3．解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解． 4．分段函数与解不等式结合命题，应注意分段求解．2．(文)(2014·天津理，7)设a 、b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] (1)若a >b ，则①a >b ≥0，此时a |a |>b |b |；②a >0>b ，显然有a |a |>b |b |；③0≥a >b ，此时0<|a |<|b |，∴a |a |>a |b |>b |b |，综上a >b 时，有a |a |>b |b |成立．(2)若a |a |>b |b |，①b ＝0时，有a >0，∴a >b ；②b >0时，显然有a >0，∴a 2>b 2，∴a >b ；③b <0时，若a ≥0时，a >b ；若a <0，则－a 2>－b 2，∴a 2b ，综上当a |a |>b |b |时有a >b 成立，故选C ．(理)(2014·四川文，5)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a d >b cB ．a d b dD ．a c －1c >0，又∵a >b >0，∴－a d >－b c >0，即a d <bc.选B ．[方法点拨] 不等式的性质经常与集合、充要条件、命题的真假判断、函数等知识结合在一起考查，解题时，关键是熟记不等式的各项性质，特别是各不等式成立的条件，然后结合函数的单调性求解．3．(文)若直线2ax ＋by －2＝0(a 、b ∈R )平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 [答案] D[解析] 直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴圆心C (1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1.∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，故选D ． (理)(2015·湖南文，7)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4 [答案] C[解析] 考查基本不等式．根据1a ＋2b ＝ab ，可得a >0，b >0，然后利用基本不等式1a ＋2b ≥21a ×2b求解ab 的最小值即可；∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0，∵ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab，∴ab ≥22，(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为22，故选C ．[方法点拨] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解． 4．(文)(2015·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[答案] C[解析] z ＝3x ＋y ＝52(x －2)＋12(x ＋2y －8)＋9≤9，当x ＝2，y ＝3时取得最大值9，故选C ．此题也可画出可行域如图，借助图象求解．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[答案] A[解析] 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，由图可知当直线z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.5．(2015·四川文，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查命题及其关系．a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确．选A ．6．(文)(2015·福建文，5)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] 考查基本不等式．由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当b a＝ab，即a ＝b ＝2时取等号． (理)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．2[答案] C[解析] ∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ， ∴ab ≤2，∴1ab ≥12，等号在a ＝1，b ＝2时成立．7．设z ＝2x ＋y ，其中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥m .若z 的最小值为3，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，表示的平面区域，由于z ＝2x ＋y 的最小值为3，作直线l 0：x ＝m 平移l 0可知m ＝1符合题意．[方法点拨] 1.线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．8．(文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52B ．72C ．154D ．152[答案] A[解析] ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为 (x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ， ∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52.(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2] [答案] C[解析] 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ．9．(文)(2014·新课标Ⅰ文，11)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3[答案] B[解析] 当a ＝－5时，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－5，x －y ＝－1，得交点A (－3，－2)，则目标函数z＝x －5y 过A 点时取最大值，z max ＝7，不合题意，排除A 、C ；当a ＝3时，同理可得目标函数z ＝x ＋3y 过B (1,2)时，z min ＝7符合题意，故选B ．(理)(2014·北京理，6)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[答案] D[解析] 本题考查了线性规划的应用．若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意．若k <0，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z ＝y －x 在点(－2k，0)处取最小值－4，故0－(－2k )＝－4，解得k ＝－12，即选项D 正确．10．(2015·江西质量监测)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于5，则a 的值为( )A ．－11B ．3C ．9D ．9或－11[答案] C[解析] 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，其中A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，因为S △ABC ＝5，所以12×(1＋a )×1＝5，解得a ＝9.11．(2015·南昌市一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－12[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ＝0y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝10－4m ＝2，解得m ＝2.12．(2015·洛阳市期末)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．对∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A ．6＋2B ．6－2C ．22＋2D ．22－2[答案] B[解析] 由已知得：f ′(x )＝2ax ＋b ，f (x )≥f ′(x )恒成立即ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，∴b 2≤－4a 2＋4ac ，∴b 2a 2＋2c 2≤－4a 2＋4ac a 2＋2c 2＝－4＋4c a 1＋2·⎝⎛⎭⎫c a 2，设c a ＝t ，令g (t )＝4(t －1)1＋2t 2，令t －1＝m ，则g (t )＝4m 1＋2(m ＋1)2＝4m2m 2＋4m ＋3＝42m ＋3m＋4≤426＋4＝6－2，当且仅当2m ＝3m，即m ＝32时等号成立，故选B ．二、填空题13．(文)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k＝________.[答案] ±1[解析] 本题可以通过画图解决，如图直线l ：x －ky ＋k ＝0过定点(0,1)．当k ＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 41[解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，画出可行域如图，易知x ＝4，y ＝5时，z 有最大值，z ＝42＋52＝41.14．(文)(2015·天津文，12)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[答案] 4[解析] log 2a ·log 2(2b )≤⎝⎛⎭⎫log 2a ＋log 2(2b )22＝14[log 2(2ab )]2＝14(log 216)2＝4，当a ＝2b 时取等号，结合a >0，b >0，ab ＝8，可得a ＝4，b ＝2.(理)(2015·重庆文，14)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． [答案] 3 2[解析] 考查基本不等式．由2ab ≤a 2＋b 2两边同时加上a 2＋b 2，得(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)两边同时开方即得：a ＋b ≤2(a 2＋b 2)(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取“＝”)；从而有a ＋1＋b ＋3≤2(a ＋1＋b ＋3)＝2×9＝32(当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时，“＝”成立)故填：3 2.15．(2014·邯郸市一模)已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] [－1,1][解析] ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴当x 1、x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时， f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0等价于f (x 1)－f (－x 2)x 1－(－x 2)>0，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1，1]恒成立，即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1. ∴实数m 的取值范围是[－1,1]．三、解答题16．(文)(2015·湖北文，21)设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )＋g (x )＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1)求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x >0时，f (x )>0，g (x )>1；(2)设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x )＋(1－a )＜f (x )x＜bg (x )＋(1－b )． [分析] 考查1.导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2.函数的基本性质． (1)将等式f (x )＋g (x )＝e x 中x 用－x 来替换，并结合已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，构造方程组即可求出f (x )，g (x )的表达式；当x >0时，由指数与指数函数的性质知e x >1,0<e －x <1，进而可得到f (x )>0.然后再由基本不等式即可得出g (x )>1.(2)要证明ag (x )＋(1－a )<f (x )x <bg (x )＋(1－b )，即证f (x )>axg (x )＋(1－a )x 和f (x )<bxg (x )＋(1－b )x .于是构造函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立．[解析] (1)由 f (x )，g (x )的奇偶性及f (x )＋g (x )＝e x ， ① 得：－f (x )＋g (x )＝e －x .②联立①②解得f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝12(e x ＋e －x )．当x >0时，e x >1,0<e －x <1，故 f (x )>0.③ 又由基本不等式，有g (x )＝12(e x ＋e －x )>e x e －x ＝1，即g (x )>1.④ (2)由(1)得f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫e x －1e x ′＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋e x e 2x ＝12(e x ＋e －x)＝g (x ),⑤ g ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ′＝12⎝⎛⎭⎫e x －e x e 2x ＝12(e x －e －x)＝f (x )，⑥ 当x >0时，f (x )x >ag (x )＋(1－a )等价于f (x )>axg (x )＋(1－a )x ，⑦ f (x )x<bg (x )＋(1－b )等价于f (x )<bxg (x )＋(1－b )x . ⑧设函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，由⑤⑥，有h ′(x )＝g (x )－cg (x )－cxf (x )－(1－c )＝(1－c )[g (x )－1] －cxf (x ). 当x >0时，1°若c ≤0，由③④，得h ′(x )>0，故h (x )在[0，＋∞) 上为增函数，从而h (x )>h (0)＝0，即f (x )>cxg (x )＋(1－c )x ，故⑦成立．2°若c ≥1，由③④，得h ′(x )<0，故h (x )在[0，＋∞)上为减函数，从而h (x )<h (0)＝0，即f (x )<cxg (x )＋(1－c )x ，故⑧成立．综合⑦⑧，得ag (x )＋(1－a )<f (x )x <bg (x )＋(1－b )．(理)(2015·福建文，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [分析] 考查导数的综合应用．(1)求导函数f ′(x )，解不等式f ′(x )>0并与定义域求交集，得函数f (x )的单调递增区间；(2)构造函数F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)．欲证明f (x )<x －1，只需证明F (x )的最大值小于0即可；(3)当k ≥1时，易知不存在x 0>1满足题意；当k <1时，构造函数G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，利用导数研究函数G (x )的单调性，讨论得出结论．[解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0. 解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x. 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0， x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．17．(文)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝－a x(a >0)． (1)当a ＝1时，若曲线y ＝f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与曲线y ＝g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，求实数x 0的值；(2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝1x 2. 因为函数f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与函数g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，所以1x 0＝1x 20，解得x 0＝1. (2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32. 记F (x )＝f (x )－g (x )－32＝ln x ＋a x －32，只要F (x )在(0，e]上的最小值大于等于0，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，则F ′(x )、F (x )随x 的变化情况如下表：当a ≥e 所以F (e)＝1＋a e －32≥0，得a ≥e 2，所以a ≥e. 当a <e 时，函数F (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，F (a )为最小值，所以F (a )＝ln a ＋a a －32≥0，得a ≥e ，所以e ≤a <e ，综上a ≥ e.(理)设函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1. (1)当a ＝1时，求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ＝13时，设函数g (x )＝x 2－2bx －512，若对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x －a －1－a x2， (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x －1，∴f (1)＝－2，f ′(x )＝1x－1，∴f ′(1)＝0 ∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2(2)f ′(x )＝1x －a －1－a x 2＝－ax 2＋x －(1－a )x 2＝－(x －1)[ax －(1－a )]x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1) 当a ≠0时，1－a a >1，即0<a <12时，f (x )的增区间为(1，1－a a )，减区间为(0,1)，(1－a a，＋∞)1－a a ＝1，即a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减 1－a a <1，即a >12或a <0，当a >12时，f (x )的增区间为(1－a a ，1)，减区间为(0，1－a a )，(1，＋∞)当a <0时，f (x )的增区间为(0，1－a a )，(1＋∞)；减区间为(1－a a，1)． (3)当a ＝13时，由(Ⅱ)知函数f (x )在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝－23对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立⇔g (x )在[0,1]上的最小值不大于f (x )在[1,2]上的最小值－23(*) 又g (x )＝x 2－2bx －512＝(x －b )2－b 2－512，x ∈[0,1] ①当b <0时，g (x )在[0,1]上为增函数，g (x )min ＝g (0)＝－512>－23与(*)矛盾 ②当0≤b ≤1时，g (x )min ＝g (b )＝－b 2－512，由－b 2－512≤－23及0≤b ≤1得，12≤b ≤1 ③当b >1时，g (x )在[0,1]上为减函数，g (x )min ＝g (1)＝712－2b ≤－23，此时b >1 综上所述，b 的取值范围是[12，＋∞)． [方法点拨] 注意区分几类问题的解法．①对任意x ∈A ，f (x )>M (或f (x )<M )恒成立．②存在x ∈A ，使f (x )>M (或f (x )<M )成立．。

高考一轮复习不等式与线性规划(含答案)

教师一对一个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容不等式与简单线性规划复习个性化学习问题解决掌握基本不等式的常用变形；会利用基本不等式求最值；求目标函数的最优解问题教学重点、难点及考点分析1.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题；2.利用图解法求得线性规划问题的最优解。

教学过程不等式与简单线性规划一、不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇒a＋c>b＋c ⇒可乘性⎭⎬⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎬⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎬⎫a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)（1）使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．（2）作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．例1已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()．A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b例2若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4例3若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．教学过程训练1已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．求f(－2)的取值范围．小结：一般在求有两个未知数范围的时候,要注意不能单独求出一个未知数的范围,否则会引起所求范围扩大或缩小，而是要通过已知不等式相加减,直接算出所求不等式范围.通常可使用待定系数法.二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c＞0(a＞0){x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠x1} Rax2＋bx＋c＜0(a＞0){x|x1＜x＜x2}∅∅若a＜0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：（1）在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；（2）二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况；（3）解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；（4）一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．例1解下列不等式：（1）0＜x2－x－2≤4；（2）x2－4ax－5a2＞0 (a≠0)；总结：解形如20＞ax bx c++且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：（1）讨论a与0的大小；（2）讨论∆与0的大小；（3）讨论两根的大小．2．一元二次不等式恒成立问题（1）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．（2）一元二次不等式恒成立的条件：①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＞0且b 2－4ac ＜0． ②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＜0且b 2－4ac ＜0．例1若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．3．整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n解法：①将不等式化为a 0(x －x 1)(x －x 2)…(x －x m )＞0(＜0)形式，并将各因式x 的系数化“＋”； ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点；④若不等式（x 的系数化“＋”后）是“＞0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“＜0”，则找“线”在x 轴下方的区间．（自右向左正负相间）例题不等式223680x x x --+>的解集．+—++—xx 1x 2x 3x n-2x n-1x n+4．分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f ＞0(或)()(x g x f ＜0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式；（2）转化为整式不等式（组）00000f x g x f x f x f x g x g x g x g x ⇔⇔()()≥()()＞()()＞；≥()()()≠ìïïíïïî．例1求不等式21xx -≥1的解集．5．含绝对值不等式的解法基本形式：①型如：|x |＜a (a ＞0)的不等式的解集为：{}|＜＜x a x a -； ②型如：|x |＞a (a ＞0)的不等式的解集为：{|＜x x a -，或}＞x a ；变型：||(0)＜＞ax b c c +型的不等式的解集可以由{}|＜＜x c ax b c -+解得．其中－c ＜ax +b ＜c 等价于不等式组＜＞ax b cax b c+⎧⎨+-⎩，在解－c ＜ax +b ＜c 时注意a 的符号；||(0)＞＞ax b c c +型的不等式的解法可以由{|x ax b c +>，或}ax b c +<-来解．③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解； ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题．例题求解不等式：|2||3|10≤x x -++．三、线性规划问题1．二元一次不等式所表示的平面区域的判断取点定域法由于直线0Ax By C ++＝的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同．所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域．即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点． 2．二元一次不等式组所表示的平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．3．利用线性规划求目标函数z Ax By +＝（A B ，为常数）的最值法一：角点法如果目标函数z Ax By +＝（x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值．法二：画——移——定——求第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By +＝，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解()，x y ；第四步，将最优解()，x y 代入目标函数z Ax By +＝即可求出最大值或最小值．第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B -+＝，zB为直线的纵截距． ①若0＞B ，则使目标函数z Ax By +＝所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0＜B ，则使目标函数z Ax By +＝所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值．4．常见的目标函数的类型： ①“截距”型：z Ax By +＝； ②“斜率”型：y z x ＝或y b z x a--＝； ③“距离”型：22z x y +＝或22z x y +＝，22()()z x a y b -+-＝或22()()z x a y b -+-＝．在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化．例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________．例2设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件4335251≤≤≥x y x y x ìï--ïïï+íïïïïî，求z 的最大值和最小值．例3已知x 、y 满足204250≥≥0≤x y x y x y ìï-+ïïï+-íïïï--ïî，求：（1）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；（2）z ＝y ＋1x ＋1的取值范围．例4若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件3230≤0≤≥x y x y x mìï+-ïïï--íïïïïî，则实数m 的最大值为．例5实数x y ，满足不等式组20206318≥≥≤x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，且(0)z ax y a +>＝取最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是．例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．甲乙原料限额A (吨) 3 2 12B (吨) 128三、基本不等式1．重要不等式：如果R b a ∈,，那么222+≥a b ab （当且仅当a b =时取等号）．2．基本不等式：如果，a b 是正数，那么2+≥a bab （当且仅当a b =时取等号）．基本不等式的几个重要变形：①22≤a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②2221()22≥≥a b a b ab ++．要点诠释：222+≥a b ab 和2+≥a bab 两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求，a b 都是实数，而后者要求，a b 都是正数．（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”．（3）222+≥a b ab 可以变形为：222+≤a b ab ；2+≥a bab 可以变形为：22+≤()a b ab ．（4）在数学中，我们称2ba +为，ab 的算术平均数，称ab 为，a b 的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（5）如果把2ba +看作是正数，ab 的等差中项，ab 看作是正数，a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 3．用基本不等式2+≤a bab 求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件（一正二定三取等）： ①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．例2若0＜x ,求9()4f x x x=+的最大值．变式训练已知3＞a ，求证：473≥a a +-．例5已知000＞，＞，＞a b c ，且1a b c ++=．（1）若a b c ==则111111()()()a b c---的值为．（2）求证：111111()()()a b c---8≥．本章整合课后作业可附页班主任收回审批签字教学主任课前审批签字（或盖章）简单线性规划练习1．(2016·贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－535．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－17．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元9．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－1213．若实数x ，y 满足|xy |＝1，则x 2＋4y 2的最小值为________．14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥12x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．例1已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 答案：A解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ．将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2．∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a ．∴b ＝1＋a 2＞a ．∴c ≥b ＞a ．例2若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确，故选C ．例3若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7． ∴α＋3β的取值范围为[1，7]．训练1已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5，10]．例1解下列不等式：（1）0＜x 2－x －2≤4；（2）x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)；解：（1）原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.．借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3．（2）由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0．由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a ．综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a ．例1若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 答案：C解析：①m ＝－1时，不等式为2x －6＜0，即x ＜3，不合题意． ②m ≠－1时，10Δ0＜＜m ìï+ïíïïî解得m ＜－1311．例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．解：（1）由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10•100⎝⎛⎭⎫1＋850x ．因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0．所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．（2）由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10260，化简得8x 2－30x ＋13≤0．解得12≤x ≤134．所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2．例题不等式223680x x x --+>的解集．解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->，由方程：(2)(1)(4)0x x x +--＝解得123214x x x -＝，＝，＝，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图，由图可看出不等式223680＞x x x --+的解集为：{}|214＜＜，或＞x x x -．例1求不等式21xx -≥1的解集．解：移项通分得11x x +-≥0⇔(1)(1)010≥≠x x x +-⎧⎨-⎩，解得11≤＜x -，∴不等式的解集为[－1，1)．例题求解不等式：|2||3|10≤x x -++ 解：零点分类讨论法：分别令20x -＝和30x +＝，-+-+-214x-2x解得：3x -＝和2x ＝，在数轴上，－3和2就把数轴分成了三部分，如右上图； ①当3≤x -时，（去绝对值符号）原不等式化为：(2)(3)103≤≤x x x ---+⎧⎨-⎩⇒1123≥≤x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩⇒1132≤≤x --； ②当32＜≤x -时，（去绝对值符号）原不等式化为：32(2)(3)10＜≤≤x x x -⎧⎨--++⎩⇒32＜≤x x -⎧⎨∈⎩R ⇒32＜≤x -； ③当2x >时，（去绝对值符号）原不等式化为：2(2)(3)10＞≤x x x ⎧⎨-++⎩⇒292＞≤x x ⎧⎪⎨⎪⎩⇒922＜≤x ；由①②③得原不等式的解集为：119|22≤≤x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－12)∪(1，＋∞)解析：(2a ＋1)(3a －3)＞0，∴a ＜－12或a ＞1．例2设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件4335251≤≤≥x y x y x ìï--ïïï+íïïïïî，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0得A 点坐标为(5，2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1，1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3．例3已知x 、y 满足204250≥≥0≤x y x y x y ìï-+ïïï+-íïïï--ïî，求：（1）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；（2）z ＝y ＋1x ＋1的取值范围．解：作出可行域，如图．并求出点A 、B 的坐标分别为(1，3)、(3，1)．（1）z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线MN ，垂足为N ，则：z min ＝|MN |2＝(|0－5＋2|2)2＝92．（2）z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，可知，k AQ 最大，k QB 最小．而k QA＝3＋11＋1＝2，k QB ＝1＋13＋1＝12．∴z 的取值范围为[12，2]．例4若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件3230≤0≤≥x y x y x mìï+-ïïï--íïïïïî，则实数m的最大值为．答案：1解析：由约束条件作出其可行域，如图．由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， ∴P (1，2)，此时x ＝m ＝1．例5实数x y ，满足不等式组20206318≥≥≤x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，且(0)z a x y a +>＝取最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是．答案：1解析：如图所示，要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax +y =0，并平移过点C 24()33，（可行域最左侧的点）的边界重合即可，注意到a ＞0，只能与AC 重合，所以a ＝1．例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128解：设该企业每天生产x吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为R 万元，则由题意有R ＝3x ＋4y ，同时满足32122800≤≤≥，≥x y x y x y ìï+ïïï+íïïïïî，由此可得可行区域如图中阴影部分所示．由y ＝－34x ＋14R 可得，当过点(2，3)时，利润可取得最大值，R max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．例2若0＜x ,求9()4f x x x=+的最大值．解：因为0＜x ，所以0＞x -，由基本不等式得：999442423612f x x x x x x x()＝()＝()()≥()()＝＝--+-+--?，当且仅当94x x -=-即32x =-时取等号，故当32x =-时，9()4f x x x=+取得最大值12-．变式训练已知3＞a ，求证：473≥a a +-．证明：444332332437333a a a a a a ＝()≥()＝＝++-+?++---，当且仅当433a a ＝--即5a ＝时，等号成立．例5已知000＞，＞，＞a b c ，且1a b c ++=．（1）若a b c ==则111111()()()a b c---的值为．（2）求证：111111()()()a b c---8≥．解：（1）由题意可得13a b c ===带入计算可得1111118a b c()()()＝---．（2）证明：由题意和基本不等式可得20≥＞a b ab +，20≥＞a c ac +，20≥＞b c bc +；∵1a b c ＝++ ∴111111111a b c a b c a b ca b c a b c()()()＝()()()++++++------ 2228b c a c a b bc ac aba b c a b c＝()()()≥＝+++．∴1111118()()()≥a b c ---．练习答案2016届高考数学二轮复习限时训练3 不等式、线性规划文1．(2016·贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A 、B 不符合不等式乘法性质，缺少“>0”，而C 中，显然c 2>0.符合性质．2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]解析：选C.作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.5．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B.作出满足条件的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x ＋y 经过点(2，a )时取得最大值5，即2×2＋a ＝5，解得a ＝1，故选B.7．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元解析：选C.设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值．由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号，故选C.9．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13D ．－12解析：选C.画出图形，数形结合得出答案．如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)．13．若实数x ，y 满足|xy |＝1，则x 2＋4y 2的最小值为________．解析：x 2＋4y 2≥24x 2y 2＝4|xy |＝4. 答案：414．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：215．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥12x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．解析：如图，画出可行域，易得A (2,4)，B (1,6)，∴它们与原点连线的斜率分别为k 1＝2，k 2＝6，又y x ＝y －0x －0，∴k 1≤yx≤k 2，即2≤yx≤6.答案：[2,6]。

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=rp(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

高考数学二轮：1.2《不等式与线性规划》试题(含答案)

第 2 讲不等式与线性规划x x＋，)1． (2014 大·纲全国 )不等式组的解集为 (|x|<1A ． { x|－ 2< x<－ 1}B． { x|－ 1<x<0}C．{ x|0<x<1}D． { x|x>1}4x＋ 5y≥8，2． (2015 广·东 )若变量 x，y 满足约束条件 1≤x≤3，则 z＝3x＋ 2y 的最小值为 ()0≤y≤2，2331A．4 B. 5C．6 D. 53．(2015 浙·江 )有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位： m2)分别为 x， y， z，且 x＜ y＜ z，三种颜色涂料的粉刷费用 (单位：元 /m2) 分别为 a， b， c，且 a＜ b＜ c.在不同的方案中，最低的总费用( 单位：元 )是 ()A ． ax＋ by＋cz B． az＋by＋ cxC．ay＋ bz＋ cx D． ay＋ bx＋ cz4． (2015 重·庆 )设 a， b＞0， a＋ b＝ 5，则 a＋ 1＋ b＋ 3的最大值为 ________．1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋ c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法fx(1)g x >0(<0) ? f(x)g( x)>0(<0) ；f x≥ 0( ≤?0)f( x)g(x) ≥ 0( ≤且0)g(x) ≠ 0.(2)g x3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例 1(1) 已知一元二次不等式f(x)<0 的解集为 x|x<－ 1或 x>1，则 f(10x )>0 的解集为 ()2A ． { x|x<－ 1 或 x>－ lg 2}B ．{ x|－ 1< x<－ lg 2}C ．{ x|x>－ lg 2}D ． { x|x<－ lg 2}(2)已知函数 f(x)＝ (x － 2)(ax ＋ b)为偶函数，且在 (0，＋ ∞)单调递增，则 f(2－ x)>0 的解集为 ()A ． { x|x>2 或 x<－ 2}B ．{ x|－ 2<x<2}C ．{ x|x<0 或 x>4}D ． { x|0<x<4}思维升华(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2) 求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间 ”得不等式的解集； (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练 1(1) 关于 x 的不等式 x 2－ 2ax － 8a 2 <0(a>0) 的解集为 (x 1， x 2)，且 x 2－ x 1＝ 15，则 a＝ ________.(2)已知 f(x) 是 R 上的减函数， A(3，－ 1)，B(0,1) 是其图象上两点，则不等式 |f(1 ＋ ln x)|<1 的解集是 ________________ ．热点二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是： (1) 如果 x>0，y>0，xy ＝ p(定值 ) ，当 x ＝y 时， x ＋ y 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值)；(2) 如果 x>0， y>0， x ＋ y ＝ s(定值 )，当 x ＝y 时， xy 有最大值 1 24s (简记为：和定，积有最大值 )．例 2(1) 已知向量 a ＝(3，－ 2)， b ＝ (x ，y － 1)，且 a ∥ b ，若 x ， y 均为正数，则 3＋ 2的最小x y 值是 ()5 8 A. 3 B. 3 C ．8D ． 24(2)已知关于2≥7在 x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数 a 的最小值为 () x 的不等式 2x＋x－a3A ． 1 B. 25C．2 D. 2思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练 2(1)(2015 ·津天) 已知 a＞ 0，b＞ 0，ab＝8，则当 a 的值为 ________时，log 2a·log 2(2b)取得最大值．(2)若直线 2ax－ by＋ 2＝0(a>0 ，b>0) 被圆 x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 1＝ 0 截得的弦长为 4，则1＋1的最a b小值是 ________．热点三简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点 ) ，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．x－ y≤0，例 3(1)(2015 ·北京 )若 x， y 满足 x＋ y≤1，则 z＝x＋ 2y 的最大值为 ()x≥0，3A．0 B． 1 C.2 D．2x＋ y－ 2≤0，(2)(2014 安·徽 )x， y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，2x－ y＋ 2≥ 0.则实数 a 的值为 ()A.1或－ 1B．2或1 22C．2或1D．2 或－ 1思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2) 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．y ≥x ，跟踪演练3已知x ， y 满足y ≤－ x ＋2，且目标函数z ＝ 2x ＋ y 的最小值为 9，则实数 a 的x ≥a ，值是 ()A ． 1C ．3B ． 2D ． 71．若点 A(a ， b)在第一象限，且在直线x ＋ 2y ＝ 1 上，则 ab 的最大值为 ()11 1A ．1 B.2C.4D.82x － y ＋ 2≥0，2．已知 A(1，－ 1)， B( x ， y)，且实数 x ， y 满足不等式组 x ＋ y ≥2，→ →则 z ＝OA ·OB 的最x ≤2，小值为 ()A ．2B ．－ 2C ．－ 4D ．－ 6x ＋ 3 x，3．已知函数 f(x)＝ x － 2则不等式 f(x) ≤4的解集为 ____________ ．log 2 － xx，212 －a|对于 x ∈ [2,6] 恒成立，则 a 的取值范围是 ________．4．已知不等式≥ |ax － 1 5提醒：完成作业专题一第 2讲二轮专题强化练专题一第 2 讲不等式与线性规划A 组专题通关1．下列选项中正确的是()A ．若 a>b，则 ac2>bc21 1B ．若 ab>0， a>b，则a<bC．若 a>b，c<d，则ac<bdD．若 a>b， c>d，则 a－ c>b－d2．不等式 x2＋ x<a＋b对任意 a， b∈ (0，＋∞)恒成立，则实数 x 的取值范围是 ()b aA ． (－ 2,0)B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(－2,1)D． (－∞，－ 4)∪ (2，＋∞)x－ y≥0，3．(2015 山·东 )已知 x，y 满足约束条件x＋ y≤2，若 z＝ ax＋y 的最大值为4，则 a 等于 ()y≥0，A．3 B．2 C．－ 2 D．－34． (2014 重·庆 )若 log4 (3a＋ 4b)＝ log 2ab，则 a＋ b 的最小值是 ()A．6＋2 3B． 7＋2 3C．6＋ 4 3D．7＋4 35．已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导函数为 f′(x)，f′(0)>0，且 f(x)的值域为 [0，＋∞)，则ff的最小值为 ()53A．3 B.2C． 2 D.2log3x， x>0，6．已知函数 f(x)＝1那么不等式 f(x) ≥1的解集为 ________________ ．x， x≤0，37．(2015 绵·阳市一诊 ) 某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本 C 与产量 q( q∈N* )1的函数关系式为 C＝ 100－ 4q，销售单价 p 与产量 q 的函数关系式为p＝ 25－16q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q＝ ________.2128．(2015 资·阳市测试 )若两个正实数 x，y 满足x＋y＝ 1，且 x＋ 2y>m＋ 2m恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．9．设 0<a<1，集合 A＝ { x∈R |x>0} ，B＝{ x∈R|2x2－ 3(1＋ a)x＋ 6a>0} ，D＝ A∩B，求集合D.( 用区间表示 )10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米 ( 按交通法规限制50≤x≤ 100)(单位：千2x米 /小时 )．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2＋360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．B 组能力提高11．(2015 陕·西 )设 f(x)＝ ln x,0＜ a＜ b，若 p＝ f( ab)，q＝ f a＋ b ，r＝ 1(f(a)＋ f(b))，则下列关22系式中正确的是()A ． q＝ r＜ p B． q＝ r ＞ pC．p＝ r＜ q D． p＝ r ＞ qx－ 1≥0，12． (2015 课·标全国Ⅰ )若 x， y 满足约束条件x－ y≤0，x＋ y－4≤0，则y的最大值为________． x13．已知 x>0 ，y>0，x＋ y＋ 3＝ xy，且不等式 ( x＋y)2－ a(x＋ y)＋1≥0恒成立，则实数 a 的取值范围是 ______________________________________ ．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米 /小时 )是车流密度x(单位：辆 /千米 )的函数．当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 千米 /小时；当车流密度不超过20 辆 /千米时，车流速度为60 千米 /小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x≤ 200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/ 小时 )f(x)＝ x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到 1 辆/小时 )．学生用书答案精析第 2 讲不等式与线性规划高考真题体验x x＋，x>0或 x<－2，1．C [由得|x|<1，－ 1<x<1，所以 0<x<1 ，所以原不等式组的解集为 { x|0<x<1} ，故选 C.] 2． B [不等式组所表示的可行域如下图所示，3z，依题当目标函数直线l ：y＝－3z经过由 z＝ 3x＋ 2y 得 y＝－ x＋x＋2222A 1，4423，故选 B.]时， z 取得最小值即z min＝ 3×1＋ 2×＝5553． B[令 x＝ 1， y＝ 2， z＝ 3， a＝ 1，b＝ 2， c＝3.A项： ax＋ by＋ cz＝ 1＋ 4＋ 9＝ 14；B项： az＋ by＋cx＝ 3＋ 4＋3＝ 10；C项： ay＋ bz＋cx＝ 2＋ 6＋3＝ 11；D项： ay＋ bx＋ cz＝ 2＋ 2＋ 9＝ 13.故选 B.]4．32解析∵a， b＞ 0， a ＋ b ＝ 5 ，∴ (a＋ 1＋b＋ 3) 2＝ a ＋ b ＋ 4＋ 2 a＋ 1b＋ 3≤a ＋ b ＋ 4 ＋(a＋ 1)2＋ (b＋ 3)2＝ a＋ b＋ 4＋ a＋ b＋4＝ 18，当且仅当a＝7，b＝3时，等号成立，则22a＋ 1＋b＋ 3≤32，即 a＋1＋ b＋3最大值为 3 2.热点分类突破例 1 (1)D(2)Cx1解析 (1) 由已知条件 0<10 <2，1解得 x<lg ＝－ lg 2.(2)由题意可知f(－x)＝ f(x)．即 (－ x － 2)( － ax ＋ b)＝ ( x － 2)(ax ＋ b)， (2a － b)x ＝ 0 恒成立，故 2a － b ＝ 0，即 b ＝2a ，则 f(x)＝a(x －2)(x ＋2)．又函数在 (0，＋ ∞)单调递增，所以 a>0.f(2－ x)>0 即 ax(x － 4)>0 ，解得 x<0 或 x>4.故选C.跟踪演练1(1)52(2)(1， e 2)e解析(1) 由 x 2－ 2ax － 8a 2<0，得 (x ＋2a) ·(x － 4a)<0，因为 a>0，所以不等式的解集为(－ 2a,4a)，5即 x 2＝ 4a ， x 1＝－ 2a ，由 x 2－ x 1＝ 15，得 4a － (－ 2a)＝ 15，解得 a ＝2.(2)∵ |f(1＋ln x)|<1，∴－ 1<f(1＋ ln x)<1，∴ f(3)< f(1＋ ln x)<f(0) ，又∵ f(x)在 R 上为减函数，∴ 0<1＋ ln x<3，∴－ 1<ln x<2 ，12∴ e <x<e .例 2 (1)C (2)B解析(1) ∵a ∥ b ，∴ 3(y － 1)＋ 2x ＝ 0，即 2x ＋ 3y ＝ 3.∵ x>0，y>0，∴ 3 23 ＋ 2 1x ＋＝ ( y ) ·(2x ＋ 3y)yx 3 ＝ 1 9y ＋ 4x 13(6＋ 6＋ x y ) ≥3(12＋ 2×6)＝ 8. 当且仅当 3y ＝ 2x 时取等号．2 ＝ 2(x － a)＋2＋2a(2)2x ＋ x － ax － a≥ 2·x －a2＋ 2a ＝ 4＋ 2a ，x － a3由题意可知 4＋2a ≥7，得 a ≥ ，23即实数 a 的最小值为2，故选 B.跟踪演练 2 (1)4 (2)4解析(1)log 2a·log 2(2b) ＝ log2 a·(1 ＋ log2 b) ≤log2a＋1＋log2b2＝log 2ab＋1 2 ＝log28＋1 2 ＝2224，当且仅当 log2a＝ 1＋log2b，即 a＝ 2b时，等号成立，此时a＝ 4， b＝ 2.(2)易知圆 x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 1＝0的半径为2，圆心为 (－ 1,2)，因为直线 2ax－by＋ 2＝ 0(a>0，22截得的弦长为 4，所以直线 2ax－ by＋ 2＝ 0(a>0，b>0) 过圆心，b>0)被圆 x＋y ＋2x－ 4y＋1＝ 0把圆心坐标代入得： a＋ b＝ 1，所以1＋1＝ (1＋1)(a＋ b)＝ 2 ＋b＋a≥4，当且仅当b＝a， a＋b a b a b a b a b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．例 3 (1)D (2)D解析(1) 可行域如图所示．目标函数化为y＝－1x＋1z，22当直线 y＝－112.x＋ z 过点 A(0,1) 时， z 取得最大值22(2)如图，由y＝ ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.跟踪演练 3 C [依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分 )，观察图象可知，当目标函数z＝ 2x＋y 过点 B(a，a)时， z min＝2a＋ a＝ 3a；因为目标函数z＝ 2x＋ y 的最小值为9，所以 3a＝ 9，解得 a＝ 3，故选 C.]高考押题精练1． D[因为点 A(a ， b)在第一象限，且在直线x ＋ 2y ＝ 1 上，所以a>0， b>0，且 a ＋ 2b ＝ 1，1 1 a ＋ 2b2 1所以 ab ＝ ·a ·2b ≤ ·(2 ) ＝，228当且仅当 a ＝ 2b ＝ 1，即 a ＝ 1， b ＝1时， “＝ ”成立．2 2 4 故选 D.]2． C [画出不等式组所表示的可行域为如图所示的 △ ECD 的内部 (包括边界 )，其中E(2,6)， C(2,0)， D(0,2) ．目标函数 → →z ＝ OA ·OB ＝x － y.令直线 l ：y ＝x － z ，要使直线 l 过可行域上的点且在 y 轴上的截距－ z 取得最大值，只需直线l 过点 E(2,6)．此时 z 取得最小值，且最小值z min ＝ 2－ 6＝－ 4.故选 C.]113． { x|－ 14≤x<2 或 x ≥3 }x>2，x<2，解析由题意得 x ＋ 3或－ x，x － 2 ≤4log 211解得 x ≥ 或－ 14≤x<2 ，311故不等式 f( x) ≤4的解集为 { x|－ 14≤x<2 或 x ≥} ．34． [－ 1,2]解析设 y ＝ 2， y ′＝－2 2，x －1x －故 y ＝ 2在 x ∈[2,6] 上单调递减，x－122即 y min ＝ 6－1＝ 5，故不等式2 12恒成立等价于1 22 a 2－ a －2≤0，x － 1 ≥|a － a|对于 x ∈[2,6]5|a － a| ≤恒成立，化简得a 2－ a ＋2≥0，55解得－ 1≤a≤2，故 a 的取值范围是 [ － 1,2] ．二轮专题强化练答案精析第 2 讲不等式与线性规划1．B[若 a>b，取 c＝ 0，则 ac2>bc2不成立，排除 A；取 a＝ 2，b＝－ 1， c＝1， d＝2，则选项 C 不成立，排除 C；取 a＝ 2， b＝ 1， c＝ 1，d＝－ 1，则选项 D 不成立，排除 D. 选 B.]2．C[ 根据题意，由于不等式2a b2 a bx ＋ x< ＋对任意 a，b∈ (0，＋∞)恒成立，则 x＋ x<( ＋ )min，b a b aa b a b∵＋≥2 ·＝2，b a b a∴ x2＋ x<2，求解此一元二次不等式可知其解集为( －2,1)． ]3． B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知 A(2,0) ，x－ y＝ 0，由x＋y＝ 2，得 B(1,1) ．由 z＝ ax＋ y，得 y＝－ ax＋ z.∴当 a＝－ 2 或 a＝－ 3 时， z＝ ax＋ y 在O(0,0) 处取得最大值，最大值为z max＝ 0，不满足题意，排除C， D 选项；当 a＝ 2 或 3 时， z ＝ax＋y 在 A(2,0) 处取得最大值，∴2a＝4，∴ a＝2，排除 A ，故选 B.]ab>0 ，a>0，4． D [由题意得ab≥0，所以b>0.3a＋4b>0，又log 4(3a＋4b)＝log2ab，所以 log4(3a＋ 4b)＝log 4ab，43所以 3a＋ 4b＝ ab，故＋＝1.433a4b所以 a＋ b＝ (a＋ b)( ＋ )＝7＋＋aa b b3a 4b≥7＋2· ＝7＋43，b a当且仅当3ab＝4ba时取等号．故选 D.]5． C [f′(x)＝ 2ax＋ b， f′ (0)＝ b>0，函数f(x)的值域为 [0，＋∞)，所以a>0 ，且 b2－ 4ac＝ 0，2f a ＋ b ＋c a ＋ c 2 ac 4ac即 4ac ＝ b ，所以 c>0. 又 f(1) ＝ a ＋ b ＋ c ，所以 f＝b＝ 1＋ b ≥1＋ b ＝1＋ b＝ 1＋ 1＝ 2(当且仅当 b ＝ 2a ＝ 2c 时取等号 )，所以f的最小值为 2，故选 C.]f6．(－∞，0]∪[3，＋ ∞)解析当 x>0 时，由 log 3x ≥1可得 x ≥3，当 x ≤0时，由 (1)x≥1可得 x ≤0，3∴不等式 f( x) ≥1的解集为 (－ ∞， 0]∪ [3，＋ ∞)．7． 40解析每件产品的利润 y ＝ 25－1100－ 4q ＝ 29－ ( q ＋10016q －q16q ) ≤ 29－2q 100＝ 24， 16·qq 100当且仅当 16＝ q 且 q>0 ，即 q ＝ 40 时取等号．8． (－ 4,2)解析∵ x ＋ 2y ＝( x ＋ 2y)(2＋1)＝4＋ x ＋ 4yx y yx≥4＋ 2x 4y· ＝ 8，∴ (x ＋ 2y)min ＝ 8，y x令 m 2＋ 2m<8，得－ 4<m<2.9．解令 g(x)＝ 2x 2－ 3(1＋ a)x ＋ 6a ，其对称轴方程为 x ＝ 3(1＋ a)，4＝ 9(1＋ a)2－ 48a ＝ 9a 2－ 30a ＋9＝ 3(3a － 1)(a － 3)．1 3①当 0<a ≤ 时， Δ≥0， x ＝(1＋ a)>0， g(0)＝ 6a>0，34方程 g( x)＝ 0 的两个根分别为0<x 1＝ 3a ＋ 3－9a 2－ 30a ＋ 9 3a ＋ 3＋ 9a 2－ 30a ＋94 <x 2＝ 4，3a ＋3－9a 2－30a ＋ 9 3a ＋ 3＋ 9a 2－ 30a ＋ 9 ∴ D ＝ A ∩B ＝ 0，4∪ ，＋∞ ；4 ②当 1<a<1 时， <0，则 g(x)>0 恒成立，3 所以 D ＝ A ∩B ＝ (0，＋ ∞)．综上所述，当10<a ≤ 时，33a＋ 3－9a2－ 30a＋ 9∪3a＋ 3＋9a2－30a＋ 9D＝ 0，4，＋∞；41当3<a<1 时， D＝ (0，＋∞)．130 10．解(1)行车所用时间为t＝x (h) ，130x2130，x∈[50,100] ．y＝x×2×(2＋360) ＋14×x所以，这次行车总费用y 关于 x 的表达式是2 34013y＝x＋18x， x∈[50,100] ．2 340＋ 13(2)y＝x18x≥ 26 10，当且仅当2 340 13x＝18x，即 x＝18 10时，上述不等式中等号成立．故当 x＝ 18 10时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．11． C [ ∵ 0＜ a＜ b，∴a＋b＞ ab，2又∵ f(x)＝ ln x 在 (0，＋∞)上为增函数，故 f a＋b＞ f(ab)，即 q＞ p.211111ab) ＝ p.又 r ＝ (f(a)＋ f( b))＝ (ln a＋ ln b)＝ ln a＋ ln b＝ ln(ab) ＝ f( 22222故 p＝r ＜ q.选 C.]12． 3解析画出可行域如图阴影所示，∵y表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，xy∴点 (x， y)在点 A 处时最大．x＝ 1，x＝ 1，由得x＋ y－ 4＝ 0，y＝ 3.∴A(1,3) ．∴y的最大值为 3. x3713． (－∞， 6 ]解析要使 (x ＋ y)2－ a(x ＋ y)＋ 1≥0恒成立，则有(x ＋ y)2＋ 1≥a(x ＋ y)，即 a ≤(x ＋y)＋ 1恒成立．x＋ yx ＋ y 2由 x ＋ y ＋ 3＝ xy ，得 x ＋ y ＋ 3＝ xy ≤( 2 ) ，即 (x ＋ y)2－ 4(x ＋ y)－ 12≥0，解得 x ＋ y ≥6或 x ＋ y ≤－ 2(舍去 )．设 t ＝ x ＋ y ，则 t ≥6， (x ＋ y)＋ 1 ＝ t ＋ 1.x ＋y t111 37 37设 f(t)＝ t ＋ t ，则在 t ≥6时， f(t)单调递增，所以 f(t)＝ t ＋ t 的最小值为 6＋ 6 ＝ 6 ，所以 a ≤6 ，即实数 a 的取值范围是 (－ ∞，376 ] ．14．解 (1)由题意：当0≤x ≤ 20时， v(x) ＝ 60；当 20≤x ≤ 200时，设 v(x)＝ ax ＋ b ，显然 v(x)＝200a ＋ b ＝ 0，1，a ＝－ 3ax ＋ b 在 [20,200] 上是减函数，由已知得解得20020a ＋ b ＝ 60，b ＝ 3 ，故函数 v(x) 的表达式为60x ，x ，v(x)＝ 1－ x ，x3(2)依题意并由 (1)可得60xx，f(x) ＝ 13x－ x x ，当 0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当 x ＝20 时，其最大值为 60×20＝ 1 200；当 20≤x ≤200时，f(x)1 1 x ＋－x 2 10 000，当且仅当 x ＝ 200 － x ，即 x ＝ 100 时，等号成立，＝x(200－x) ≤[2] ＝333所以，当 x ＝ 100 时， f(x)在区间 [20,200] 上取得最大值 10 000 .3综上，当 x ＝ 100 时， f(x)在区间 [0,200] 上取得最大值10 000≈ 3 333，3即当车流密度为 100 辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约 3 333 辆 /小时．。

高考专题不等式与线性规划(教学案)高考理数二轮复习精品资料含答案

与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．2018高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．考点一不等式性质及解不等式例1、(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}解析：基本法：由x (x ＋2)＞0得x ＞0或x ＜－2；由|x |＜1得－1＜x ＜1，所以不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞速解法：令x ＝0，f (x )＝f (0)＝－1＜0. f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0.不适合f (x )＞f (2x －1)，排除C. 令x ＝2，f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)，由于f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在(0，＋∞)上为增函数∴f (2)＜f (3)，不适合．排除B 、D ，故选A. 答案：A考点二基本不等式及应用例2、【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2ab a a b b +<<+ （B ）()21log 2ab a b a b <+<+（C ）()21log 2ab a a b b+<+<（D ）()21log 2ab a b a b+<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 1,2ab a b a b ><<∴+=()12112log a ba ab a a b bb+>+>+⇒+>+ ，所以选B.【变式探究】(1)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案：C(2)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：基本法：x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22yx ＝2x 2－2y 2＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝x 2y ＋yx ， ∵x ＞0，y ＞0，∴x 2y ＋y x ≥212＝2，当且仅当x 2y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立，故所求最小值为 2. 答案： 2考点三求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：【变式探究】(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：基本法：作出可行域，如图：由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 过点 A ⎝⎛⎭⎫1，12时，z 取得最大值，z max ＝1＋12＝32.速解法：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x －2y ＝0得点(－2，－1)，则z ＝－3由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0x ＋2y －2＝0得点(0,1)，则z ＝1 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0x ＋2y －2＝0得点⎝⎛⎭⎫1，12则z ＝32.答案：32(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12处，z 取得最小值，答案：B考点四线性规划的非线性目标函数的最值例4、(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,11]D ．[3,10]答案：C(2)(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：基本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.答案：C1.【2017北京，理4】若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2.【2017浙江，4】若x，y满足约束条件3020xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则yxz2+=的取值范围是A．[0，6] B．[0，4] C．[6，)∞+D．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D．3.【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2ab a a b b +<<+ （B ）()21log 2ab a b a b <+<+（C ）()21log 2ab a a b b+<+<（D ）()21log 2ab a b a b+<+<【答案】B4.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，y由3{2330y x y =--+= 解得A (−6,−3)，则z =2x +y 的最小值是：−15. 故选：A.5.【2017山东，理4】已知x,y满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x+y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y=+最大为3245z =-+⨯=，选C.6.【2017天津，理2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23（B ）1（C ）32（D ）3【答案】D1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ．2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y=+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（）A ．2 B ．4 C ．3D ．6【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由20=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R，===AB QR ．故选C ．5.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A.0B.3C.4D.5 【答案】C6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足22(1)(1)2x y-+-≤，q：实数x，y满足1,1,1,y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q的( )（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC∆在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩错误！未找到引用源。

高考数学(理)二轮二轮课时专题专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划 Word版含答案

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)1.(必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为.(第1题)【答案】1 4【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得yD=12，所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.2.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+1x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为. 【答案】-4【解析】因为x<0，所以f(x)=-1(-)(-)xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时取等号.4.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值为. 【答案】23【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y11·x y=213=23.5.(必修5 P91习题3改编)函数224x+.【答案】5 2【解析】设t=24x +(t ≥2)，易知y=t+1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=24x +=2，即x=0时，y min =52.【课堂导学】运用基本不等式求最值例1 (2016·泰州期末)若正实数x ，y 满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y 的最大值是 .【点拨】设x+12y =z 进行整体代换.【分析】处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题，思考方向一，可以设x+12y =z ，代入之后转化为关于y 的方程(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z 的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x 再用基本不等式去处理；思考方向三，通过等比中项，引用一个新的参数q ，把x+12y 用q 来表示后再整理求最值.【答案】32-1【解析】方法一：令x+12y =z ，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z 2-5)≥0，化简得2z 2+4z-7≤0，故0<z ≤-1+.检验：当z=-1时，方程(*)可化为(17-)y 2-(12-16)y+8=0，此时y 1+y 2>0，y 1·y 2>4，故方程必有大于2的实根，所以x+12y的最大值为-1. 方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5111-22y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12-1y ，x-1522y ，+1y 成等比数列，设公比为q (q>1)，将x ，1y 用q 表示，则x+12y =23(-1)1q q ++12=32-12-1q q +++12≤-1，当且仅当q-1=2-1q ，即+1时等号成立.【点评】处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟2a b+a ，b>0)和ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b+(a ，b ∈R ).变式1(2016·天一中学)设x，y∈R，a>1，b>1，若a x=b y=2，a+b=4，则2x+1y的最大值为.【答案】4【解析】因为x=log a2，y=log b2，所以2x+1y=2log2a+1log2b=log2a2+log2b=log2(a2b).又4=a+b≥2a b，当且仅当a=b时取等号，所以a2b≤16，所以log2(a2b)≤4.变式2(2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】5-1【解析】方法一：由x2+2xy-1=0，得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2516-12=5-1，当且仅当x=±415时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0，得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=5-1，n=51+，从而x2+y2≥512+=5-1.变式3 (2015·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy 的最小值为 .【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg 4lg z x+lg lg z y=lgz 14lg x ⎛ ⎝+1lg y ⎫⎪⎭=lg lg 2x y +·114lg lg x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=58+12lg lg x y ⎛ ⎝+lg 4lg y x ⎫⎪⎭≥58+12·lg lg ·lg lg x yy x =98当且仅当lg lg x y =lg 4lg y x ，即y=x 2时取等号.线性规划中的最值问题例2 (2016·全国卷Ⅲ)若实数x ，y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x y x y =⎧⎨+=⎩，，得A 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当直线z=x+y 过点A 时，z 取得最大值，所以z max =1+12=32.(例2)变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.(变式1)【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x yx y+=⎧⎨=⎩，，得3-1xy=⎧⎨=⎩，，由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2016·苏州中学)若实数x，y满足约束条件-30--3001x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x yx y++的最小值为.(变式2)【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21yx y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，.基本不等式的实际应用例3 (2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (单位：万元)与x 的函数关系式； (2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3，问：P 能否大于120?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk (ax+5)，x ∈N *. (2)方法一：依题意知x=0.2a.所以P=mx y =(5)x k ax +=20.2(0.25)ak a +=2(25)a k a + ≤23(25)a a +=1253a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2532a a ⨯⨯130<120. 答：P 不可能大于120.方法二：依题意得x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+.假设P>120，得ka2-20a+25k<0.因为k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假设矛盾，故P≤120.答：P不可能大于120.【课堂评价】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】23【解析】因为0<x<1，所以f(x)=x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤13×234-32x x+⎛⎫⎪⎝⎭=43，当且仅当3x=4-3x，即x=23时取等号.2.(2016·海门中学)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是.【答案】4【解析】由题意知ab=1，所以m=b+1a=2b，n=a+1b=2a，所以m+n=2(a+b)≥4ab=4.3.(2016·北京卷)若实数x，y满足约束条件2-03x yx yx≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x+y的最大值为. 【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y 变为y=-2x+z，当目标函数的图象过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x+y的最大值是4.(第3题)4.(2016·扬州期末)已知a>b>1且2log a b+3log b a=7，则a+21-1b的最小值为. 【答案】3【解析】因为2log a b+3log b a=7，所以2(log a b)2-7log a b+3=0，解得log a b=12或log a b=3.因为a>b>1，所以log a b∈(0，1)，故log a b=12，从而b=a，因此a+21-1b=a+1-1a=(a-1)+1-1a+1≥3，当且仅当a=2时等号成立.5.(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域-20-340xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=.(第5题)【答案】2【解析】易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=2，故AB=32.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.(2015·福建卷)若直线x a +yb =1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 .2.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .3.(2015·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .4.(2015·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1a x (x>1)的最小值为3，则a 的值为 .5.(2016·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .6.(2016·新海中学)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (-2，0)的距离相等，则2x +4y 的最小值为 .7.(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.8.(2016·上海卷)设a>0，b>0.若关于x，y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b的取值范围是.二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?(第10题)11.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，b=22x xy y++xy m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.4【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b)1a⎛⎝+1b⎫⎪⎭=1+ab+ba+1≥2+2·a bb a=4，当且仅当a=b=2时等号成立.2.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以zmax=2×5-3=7.(第2题)3.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立-13y xx y=⎧⎨+=⎩，，解得12xy=⎧⎨=⎩，，即A(1，2)，故zmax=1+3×2=7.(第3题)4. 1 【解析】因为f (x )=x-1+-1ax +1，且x-1>0，所以f (x )≥2a +1=3，当且仅当x-1=a ，即x=a +1>0时取等号，此时a=1.5. [4，12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2)，而2xy ≤2242x y +，所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +，所以x 2+4y 2≥4，当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0，即2xy ≥-6，所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12. 6. 42【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x +4y ≥224xy⋅=222x y+=42，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x +4y 的最小值为42.7. 216 000 【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则1.50.51500.39053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，即330010390053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，目标函数为z=2 100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 100x+900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得M的坐标为(60，100)，所以当x=60，y=100时，z max=2 100×60+900×100=216 000.8.(2，+∞)【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b≠0，所以ab=1且b≠1，所以由基本不等式得a+b>2，故a+b的取值范围是(2，+∞).二、解答题9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+2≥2+2=2+2=2=20，当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以5≤x+y+5=3xy，所以3xy-5≥0，所以5)≥0，53，即xy≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy的最小值是259.10. (1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=xy，所以S≤22x y +⎫⎪⎝⎭=2 500，S max =.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m ，AQ=y m ，由题意得100×(x+1.5y )=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40000=1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值，此时x=2007.11. ①因为，c>0，故a+c>b 恒成立.②若a+b>c 恒成立，即恒成立.=2+，得m<2.故当m<2时，a+b>c 恒成立.③若b+c>a 恒成立，即恒成立.令(t ≥2)，则-，当t=2时，取得最大值，得m>2，故当m>2时，b+c>a恒成立.综上，2<m<2+.由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

2020版新高考复习理科数学教学案：不等式、线性规划含答案

答案：B
调研二基本不等式
■备考工具——————————————
1．基本不等式及有关结论
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)几个常用的重要结论
∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6，
即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12.
∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2.
∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2 ＝2 ＝4 .
当且仅当x＋2＝2y＋2，即x＝2 －2，y＝－1时取“＝”．
∴x＋2y≥4 －4.即(x＋2y)min＝4 －4.
答案：C
2．[20xx·浙江卷]若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1B．1
C．10D．12
■自测自评——————————————
1．[20xx·石家庄质检]已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－abB．|a|<|b|
C. > D. a> b
解析：通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|， a< b，∴A，B，D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴ －＝ >0，∴ > 一定成立，故选C.
6．[20xx·湖北重点中学考试]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2<x<1}B．{x|x≤1或x≥2}

高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式教案理-人教版高三

第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c 1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c 2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ；又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。

2023届二轮专练_专题三不等式_第1讲基本不等式与线性规划(含答案)

2023届二轮专练_专题三不等式_第1讲基本不等式与线性规划一、填空题（共17小题）1. 不等式组 {y ≤−x +2,y ≤x −1,y ≥0 所表示的平面区域的面积为． 2. 若 x ，y 满足约束条件 {2x +y ≥4,x −y ≥1,x −2y ≤2, 则 z =x +y 的最小值是． 3. 已知函数 f (x )=x +1x −2(x <0)，那么 f (x ) 的最大值为． 4. 若 x >0，y >0，且 log 3x +log 3y =1，则 1x +1y 的最小值为．5. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =2，a +√b =4，则 2x +1y 的最大值为．6. 设实数 x ，y 满足 x 2+2xy −1=0，则 x 2+y 2 的最小值是．7. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0, 则 z =x +y 的最大值为． 8. 若变量 x ，y 满足约束条件 {x +y ≤2,2x −3y ≤9,x ≥0, 则 x 2+y 2 的最大值是．9. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −3≥0,x −y −3≤0,0≤y ≤1, 则 z =2x+y x+y 的最小值为． 10. 若 0<x <1，则当 f (x )=x (4−3x ) 取得最大值时 x 的值为． 11. 已知 a >0，b >0，a ，b 的等比中项是 1，且 m =b +1a ，n =a +1b，则 m +n 的最小值是．12. 若实数 x ，y 满足约束条件 {2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则 2x +y 的最大值为．13. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0中的点在直线 x +y −2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 AB = ． 14. 函数 y =2√x 2+4 的最小值为．15. 设 x ，y ，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lgz 4lgx +lgz lgy 的最小值为．16. 已知 a >b >1，且 2log a b +3log b a =7 ，则 a +1b 2−1 的最小值为．17. 若正实数 x ，y 满足 (2xy −1)2=(5y +2)(y −2)，则 x +12y 的最大值为．二、解答题（共1小题）18. 某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）试求新建道路交叉口的总造价y（单位：万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数，并说明理由．的20%，且k≥3．问：P能否大于120答案1. 142. 23. −44. 2√335. 46. √5−127. 328. 109. 5310. 2311. 412. 413. 3√214. 52【解析】y=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为y=t+1t在[2,+∞)上为增函数，所以当t=2时，y min=2+12=52，所以当且仅当x=0时，y min=52．15. 98【解析】因为z为x和y的等比中项，所以z2=xy．两边同时取以e为底的对数得，ln(z2)=ln(xy)，即2lnz=lnx+lny．因为x，y，z>1，所以lnx，lny，lnz>0，所以lgz 4lgx +lgzlgy=lnx+lny8lgx+lnx+lny2lgy=18+18×lnylnx+12+12×lnxlny≥58+2√18×lnylnx×12×lnxlny=98.当且仅当y=x2时" = "号成立．所以最小值为98．16. 3【解析】提示：因为a>b>1，所以t=log a b<1，又因为2log a b+3log b a=7，所以2t+3t=7，解得t=12，或t=3（舍去），所以t=log a b=12，所以b2=a，所以a+1b2−1=a−1+1a−1+1≥2√(a−1)1a−1+1=3，当且仅当a−1=1a−1，即a=2且b=√2时，取等号．17. 3√22−1【解析】方法一：令x+12y=t．则2xy=2ty−1，代入已知等式，得(2ty−2)2=(5y+2)(y−2)，整理得(4t2−5)y2+8(1−t)y+8=0．因为总存在正实数y使得等式成立，所以Δ=64(1−t)2−32(4t2−5)≥0，即2t2+4t−7≤0，解得−3√22−1≤t≤3√22−1．当t=3√22−1时，y=−8(1−t)2(4t2−5)=8+6√2为正值，所以x+12y 的最大值为3√22−1．方法二：由题意知(x−12y )2=(52+1y)(12−1y)，整理得(x−12y)2+(1y+1)2=94．令x−12y =32cosα，1y+1=32sinα，其中α∈R，且x,y>0，所以12y =34sinα−12，x=32cosα+34sinα−12，所以x+12y =32cosα+32sinα−1≤3√22−1．即所求的最大值为3√22−1．18. （1）由题意知y=mkn=mk(ax+5),x∈N∗．（2）方法一：由题意知x=0.2a，所以P=mxy=xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)≤a3(a2+25)=13(a+25a)≤3×2√a×25a=130<120.答：P不可能大于120．方法二：由题意知x=0.2a，所以P=mxy =xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)．假设P>120，得ka2−20a+25k<0．因为k≥3，所以Δ=100(4−k2)<0，不等式ka2−20a+25k<0无解．故P不可能大于120．答：P不可能大于120．。

线性规划题及答案

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种优化问题求解的方法，广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。

本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相关题目及其答案。

正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数常用来表示利润、成本等经济指标。

1.2 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。

约束条件可以表示资源限制、技术限制等。

1.3 变量：线性规划的解是一组变量的取值，这些变量表示决策变量，用来描述问题的决策方案。

2. 线性规划的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。

通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到目标函数的最优解。

2.2 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。

该方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。

2.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解。

这种方法在实际问题中更具实用性。

3. 线性规划题目及答案3.1 例题1：某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。

生产A产品需要2小时，B产品需要3小时。

工厂每天有8小时的生产时间。

求如何安排生产，使得利润最大化。

答案：假设生产A产品x单位，B产品y单位，则目标函数为10x + 15y，约束条件为2x + 3y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。

通过计算可得最优解为x = 2，y = 2，最大利润为70元。

3.2 例题2：某公司有两个部门，部门A和部门B。

部门A每月产生利润10万元，部门B每月产生利润15万元。

公司规定，部门A的人数不能超过100人，部门B的人数不能超过80人。

求如何分配人力资源，使得利润最大化。

答案：假设部门A的人数为x人，部门B的人数为y人，则目标函数为10x + 15y，约束条件为x ≤ 100，y ≤ 80，x ≥ 0，y ≥ 0。

第1讲基本不等式与线性规划

第1讲基本不等式与线性规划高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解.真题感悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 302.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________.解析作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，133.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________.解析由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等式两边同时除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1，所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ，即tan B tan C (tan A －2)＝tan A .因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0，且tan A >2，所以tan B tan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t (t >0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号. 故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案 8考点整合1.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).2.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2017·苏州调研)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________.解析 (1)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)设x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，m >2，n >1，则m ＋n ＝x ＋2＋y ＋1＝4，4x ＋2＋1y ＋1＝4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 4＝54＋n m ＋m 4n ≥54＋2n m ·m 4n ＝94，当且仅当n m ＝m 4n ，m ＝83，n ＝43时取等号，故4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案 (1)8 (2)94探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练1】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2. 答案 (1)4 (2)2 2热点二简单的线性规划问题 [命题角度1] 求线性目标函数的最值【例2－1】 (1)(2017·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案 (1)3 (2)－5[命题角度2] 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则y x 的取值范围是________.解析不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝yx ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3，2)时取得最大值23，故yx 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23[命题角度3] 线性规划中的含参问题【例2－3】 (2017·南京师大附中模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________.解析约束条件对应的可行域是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形及其内部.当a ≥－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(1，1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(2，2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. 答案－2探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练2】 (1)(2017·山东卷改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x＋2y 的最大值是________.(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m ＝________.解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)5 (2)11.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.一、填空题1.(2017·全国Ⅱ卷改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.解析可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15.答案－152.若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号. 答案 233.(2017·海门中学检测)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________.解析由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号. 答案 44.(2017·宿迁调研)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值是________.解析由xy ＋3x ＝3可得y ＋3＝3x ，又0<x <12，则y ＋3>6，y >3，所以3x ＋1y －3＝y＋3＋1y －3＝(y －3)＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4时取等号，故3x ＋1y －3的最小值是8.答案 85.(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________.解析平面区域M 是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线y ＝kx －2，即k ＝y ＋2x 表示区域M 内的点(x ，y )与点(0，－2)连线的斜率.当经过点(2，2)时，k 取得最小值2；当经过点(1，3)时，k 取得最大值5，故实数k 的取值范围为[2，5]. 答案 [2，5]6.已知x ，y ∈R ，且x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围是________.解析因为2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，所以6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，所以x 2＋4y 2≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，又因为(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，所以z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上可得4≤x 2＋4y 2≤12. 答案 [4，12]7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1.∴2xy ≤x ＋y ＝1，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ，所以12≤x 2＋y 2≤1.法二可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎨⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎨⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 二、解答题9.设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围. 解先根据约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)，要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.(1)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求3x ＋27y ＋2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值.解 (1)由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，所以3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥23x ·33y ＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20，当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy ，所以2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy ，所以3xy －2xy －5≥0，所以(xy ＋1)(3xy －5)≥0，所以xy ≥53，即xy ≥259，当且仅当x ＝y ＝53时取等号，故xy 的最小值是259.11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大. 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。

2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)

2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy，解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2，联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝＋为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值，最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。

(新课标)山东省2013高考数学二轮复习

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习（研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升）第一部分专题一客观题专题攻略 1-1-3第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理理一、选择题1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．答案：C2．(2012年高考广东卷)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z max ＝3×3＋2＝11.答案：B3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2，我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．答案：B4．(2012年高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．答案：B6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C ．[45，4]D ．[45，5]解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D.答案：D7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C8．(2012年高考福建卷)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案：B 二、填空题9．如果(3x 2－2x3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：由T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r·(－2x3)r＝C rn ·3n －r·(－2)r ·x2n －5r，∴2n －5r ＝0，∴n ＝5r2(r ＝0，1，2，…n )，故当r ＝2时，n min ＝5. 答案：510．某实验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3 kg 的药品袋数为x ，购买每袋2 kg 的药品袋数为y ，花费为z 元，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥100≤x ≤50≤y ≤5x ∈Z，y ∈Z，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2，2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：4411．(2012年唐山模拟)在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1，5块区域颜色相同，则有C14C13C12＝24种不同的着色方法；若2，4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．答案：48。

高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

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[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先点到直线变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将距离型问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三线性规划中的参数问题

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