一元二次不等式的解法(说课课件)
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《一元二次不等式的解法》教学课件ppt
o
没有实根
有两相异实根 有两个相等实根 b ax bx c 0(a 0) x1, x2 (x1<x2) x x 1 2 的根 2a
2
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
x | x x1,或x x2
b x | x 2a
2 y ax bx c a 0 . （2）二次函数
＊图象： 一条抛物线. a 0 开口向上 , ＊开口方向： a 0 开口向下.
b ＊对称轴： x 2a . b 4ac b 2 ＊顶点坐标： , . 4a 2a
去植树啦！
1 2
o
2
x
例1.解不等式 2 x 3x 2 0. 然后想像图象形状.
2
先求方程的根,
y
1 x | x , 或x 2. 2
变式为:不等式2 x2 3x 2 0.
1 x | x 2 . 2
1 2
o
2
x
例2.解不等式 x 2 x 3 0.
一元二次不等式的一般表达式为:
ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 (a≠0).
一元二次不等式
ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0.
二次函数
y ax2 bx c a 0.
一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0.
2
例2.解不等式 x2 2 x 3 0.
解： x 2 x 3 0可化为x 2 x 3 0.
一元二次不等式及其解法优质课幻灯片课件
一元二次不等式及其解法优质课
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
一元二次不等式的解法__说课讲课课件
注意：若a<0时,先变形!
4、归纳小结，发展深化
（1）知识结构： 解一元二次不等式的方法步骤是: 1、化正 （把二次项系数化成正数） 2、解方程（解一元二次方程的实数根） 3、画图象（画二次函数的图像） 4、写解集（写出一元二次不等式的解集） （2）思想方法： 数形结合 分类讨论 转化
5、当堂检测，巩固提升
请 同 ax2＋bx＋c=0 ｛x|x=x1 或 x=x2｝ 学 们 完 成 表 图象(草图) x1 x2 格
ax2＋bx＋c >0
x1=x2
x | x x1或x x2 x | x
b 2a
R
ax2＋bx＋c <0
x | x1 x x2
3、典例剖析，应用解法
△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a {x|x≠
b } 2a
△<0
y
y x1 O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O 没有实根
x
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
一次上网在多长时间以内能够保证选择电信 比选择网通所需费用少？
分析：假设一次上网x小时， 则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知，网通收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……
∵1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项，以-0.1为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x
不等式一元二次不等式的解法ppt
$\sqrt{a} \neq \sqrt{b}$
等价变形
参数分离
构造函数
不等式的解法概述
不等式在数学中的应用
证明不等式
利用已知条件和数学定理证明不等式
解决最值问题
通过求解不等式，得到变量的范围，进而求出最值
求函数的单调区间
通过求解不等式，得到函数的单调区间
01
02
03
02
一元二次不等式的解法
比赛排序
在生产、经营、决策等活动中，人们往往需要找到某种量的最大值或最小值，以判断经济效益、风险大小等。不等式可以用来表示各种约束条件和目标函数，通过求解不等式组来找到最优解。
最大最小值问题
不等式在生活中的应用
物理计算
在物理学中，很多概念和公式可以用不等式来表示。例如，能量守恒定律可以用不等式表示为E=mc²，其中E是能量，m是质量，c是光速。通过求解不等式，可以得到物理量的范围或限制条件。
04
分式不等式的解法
形如$\frac{f(x)}{g(x)} > a$或$\frac{f(x)}{g(x)} < a$（$a > 0$，且$g(x) \neq 0$）的不等式叫做分式不等式。
按分子和分母的次数可分为一次分式不等式、二次分式不等式等；按所含未知数的个数可分为一元分式不等式、二元分式不等式等。
一元二次不等式的特殊情况
当a=0时，一元二次不等式变成一元一次不等式，需要根据情况讨论。
当a>0时，一元二次不等式变成一元二次方程，此时两根为x1和x2，则一元二次不等式的解集为x1<x<x2或x<x1或x>x2。
当a<0时，一元二次不等式无解。
03
一元高次不等式的解法
等价变形
参数分离
构造函数
不等式的解法概述
不等式在数学中的应用
证明不等式
利用已知条件和数学定理证明不等式
解决最值问题
通过求解不等式，得到变量的范围，进而求出最值
求函数的单调区间
通过求解不等式，得到函数的单调区间
01
02
03
02
一元二次不等式的解法
比赛排序
在生产、经营、决策等活动中，人们往往需要找到某种量的最大值或最小值，以判断经济效益、风险大小等。不等式可以用来表示各种约束条件和目标函数，通过求解不等式组来找到最优解。
最大最小值问题
不等式在生活中的应用
物理计算
在物理学中，很多概念和公式可以用不等式来表示。例如，能量守恒定律可以用不等式表示为E=mc²，其中E是能量，m是质量，c是光速。通过求解不等式，可以得到物理量的范围或限制条件。
04
分式不等式的解法
形如$\frac{f(x)}{g(x)} > a$或$\frac{f(x)}{g(x)} < a$（$a > 0$，且$g(x) \neq 0$）的不等式叫做分式不等式。
按分子和分母的次数可分为一次分式不等式、二次分式不等式等；按所含未知数的个数可分为一元分式不等式、二元分式不等式等。
一元二次不等式的特殊情况
当a=0时，一元二次不等式变成一元一次不等式，需要根据情况讨论。
当a>0时，一元二次不等式变成一元二次方程，此时两根为x1和x2，则一元二次不等式的解集为x1<x<x2或x<x1或x>x2。
当a<0时，一元二次不等式无解。
03
一元高次不等式的解法
一元二次不等式及其解法 课件
研一研·问题探究、课堂更高效
S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用．这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一
解析 当 a＝0 时，－2≥0 解集为 ∅ ；
当 a≠0 时，a 满足条件：aΔ<＝04a2＋4aa＋2<0 ，
解得－1<a<0.
综上可知，－1<a≤0.
例 2 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
解 方法一 设 f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
3．不等式xx－＋23>0 的解集是 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
(C )
4．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m 的取值范
围是
(D )
A．m≥2
B．m≤－2
跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本 为 C＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于 1 300 元？ 解 由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300， 化简得 x2－65x＋900≤0
解得 0<k≤31.
小结 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二
次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等
一元二次不等式说课(市一等奖)ppt课件
练习：解下列不等式：
6 反思小结、提高认识 二次函数
四、教学过程的设计
一元二次 程的根
图像
一元二次不等 式的解
7 布置作业、自主探究
四、教学过程的设计
（1）练习等3、4两题 （2）课前引入
8 板书设计
四、教学过程的设计
1.5一元二次不等式的解法
一、三个二次的关系 二、一元二次不等式的解法 1、化正 2、求△及根 3、画草图 4、写解集
例1、 例2
x2 0 x 3 0
五、课堂意外预案
学生在做课本做例题y=x2-x-6时，可能会 提出因式分解为（x＋2）（x－3）＞0 ，转 化为不等式组{ 或{ 求解对不对。
六、教学效果评价
围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性 评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既 充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨。 本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。以“三 个一次关系→三个二次关系→一元二次不等式解法”为主线， 以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂，以 “画、看、说、用”为特色，把握重点，突破难点。在教学 思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方 法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生发 现数学的美，体验求知的乐趣。
四、教学过程的设计
四、教学过程的设计
5 例题讲解、形成结论
例2、-x2-3x<2 解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ，并解对应的一元二次方程 (3)画出相应函数的图像 (4)结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。 概括为： 一化正→二算Δ根→三画草图→四写解集
S甲= 0.1x 0.;0S1乙x2=
6 反思小结、提高认识 二次函数
四、教学过程的设计
一元二次 程的根
图像
一元二次不等 式的解
7 布置作业、自主探究
四、教学过程的设计
（1）练习等3、4两题 （2）课前引入
8 板书设计
四、教学过程的设计
1.5一元二次不等式的解法
一、三个二次的关系 二、一元二次不等式的解法 1、化正 2、求△及根 3、画草图 4、写解集
例1、 例2
x2 0 x 3 0
五、课堂意外预案
学生在做课本做例题y=x2-x-6时，可能会 提出因式分解为（x＋2）（x－3）＞0 ，转 化为不等式组{ 或{ 求解对不对。
六、教学效果评价
围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性 评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既 充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨。 本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。以“三 个一次关系→三个二次关系→一元二次不等式解法”为主线， 以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂，以 “画、看、说、用”为特色，把握重点，突破难点。在教学 思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方 法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生发 现数学的美，体验求知的乐趣。
四、教学过程的设计
四、教学过程的设计
5 例题讲解、形成结论
例2、-x2-3x<2 解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ，并解对应的一元二次方程 (3)画出相应函数的图像 (4)结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。 概括为： 一化正→二算Δ根→三画草图→四写解集
S甲= 0.1x 0.;0S1乙x2=
一元二次不等式的解法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
谢 谢 大 家！ 再 见！
请同学们完毕下表:
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－ b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式旳解集
方程或不等式
解
集
（a>0）
Δ>0
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
参照答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
本课小节：
解一元二次不等式旳环节: (1)化成原则形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集
小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 旳环节是：
x=x2｝
ax2＋bx＋c >0
｛x|x<x1 或 x>x2｝
｛－ b ｝
2a
｛x|x≠－ b｝
2a
ax2＋bx＋c <0 ｛x|x 1 <x <x2｝
ф
Δ<0 ф R ф
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
旳图象
⊿>0 x1 x2
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
方程
ax2+bx+c=0 旳根
《一元二次不等式的解法》PPT模板课件
一元二次不等式的解法
（Excellent handout training template）
1．解一元二次方程： （1）x2－15x+50 =0；
（2） x2x12=0．
2．解一元一次不等式组：
（1）
x x
3 7
（2）
x x
1 3
（3）
x x
3 2
（4）
x 1 x 4
一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为 30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2 元，则客房每天出租数会减少10间 ．不考虑其他因 素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可 以保证每天客房的总租金不少于10 000元．
解：设每间客房的日租金增加x个2元，即客房的日租金 为(30+2x)元，这时将有300－10x房间租出． （300－10x）(30+2x) ≥10 000，
－20x2+600x－300x+9 000 ≥10 000，
x2－15x+50 ≤0，
x2－15x+50 ≤0，
(x－5)(x－10)≤0，
本不等式等价于不等式组：
(2) 解不等式 x2x12<0
解：（1）因为=(1)2-41(12)=49>0，
方程 x2 x 12=0 的解=(x+3)(x4)>0 ．
原不等式转化为一元一次不等式组：
(Ⅰ)xx
3 4
0 0
或
(Ⅱ)xx
3 4
0 0
不等式组(Ⅰ)的解集是 {x|x >4}；
(Ⅰ)
x5 0
x
10
0
或
(Ⅱ)
x5 0
x
（Excellent handout training template）
1．解一元二次方程： （1）x2－15x+50 =0；
（2） x2x12=0．
2．解一元一次不等式组：
（1）
x x
3 7
（2）
x x
1 3
（3）
x x
3 2
（4）
x 1 x 4
一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为 30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2 元，则客房每天出租数会减少10间 ．不考虑其他因 素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可 以保证每天客房的总租金不少于10 000元．
解：设每间客房的日租金增加x个2元，即客房的日租金 为(30+2x)元，这时将有300－10x房间租出． （300－10x）(30+2x) ≥10 000，
－20x2+600x－300x+9 000 ≥10 000，
x2－15x+50 ≤0，
x2－15x+50 ≤0，
(x－5)(x－10)≤0，
本不等式等价于不等式组：
(2) 解不等式 x2x12<0
解：（1）因为=(1)2-41(12)=49>0，
方程 x2 x 12=0 的解=(x+3)(x4)>0 ．
原不等式转化为一元一次不等式组：
(Ⅰ)xx
3 4
0 0
或
(Ⅱ)xx
3 4
0 0
不等式组(Ⅰ)的解集是 {x|x >4}；
(Ⅰ)
x5 0
x
10
0
或
(Ⅱ)
x5 0
x
2.3第1课时 一元二次不等式及其解法PPT课件(人教版)
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
最大/最小值问题
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式的解法公开课课件
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解， 再画出函数图象，根据图象 写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
课后： （1） 作业 P21.习题1.5 1、3、5； （2） 归纳一元一次不等式的解集； （3） 预习 P20.~P21。
预习提纲 (1) 一元二次不等式能否可化为不等式组来解?
2x2－3x－2 < 0
1 x2 2
-2
3
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解， 再画出函数图象，根据图象 写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
例2.解不等式 －3x2＋6x > 2
略解: －3x2＋6x > 2
3x2－6x＋2 < 0
x |1
3 x 1 3
Δ>0 Δ=0 Δ<0
请同学们完成下表:
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
ax2＋bx＋c=0、 ｛x|x=x1 或 x=x2｝
新课 一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图像如下：
x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y -3 -2 -1 0 1 2 3
一元二次不等式的解法ppt课件
_______
x∈R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．
－c_≤
ax__
＋_b__≤
c
①|ax＋b|≤c⇔____
____
___；
≥_c__
或__ax
b≤－
c
②|ax＋b|≥c⇔__ax
__＋
__b
___
__＋
_____
___．
绝对值不等式的解法
不等式3≤|5－2x|＜9的解集为 ( D )
x－1≠0，
1
{x|x≥1或x<0}
不等式x ≤1 的解集为______________.
解析
xx－1≥0，
x－1
1
∴x≥1 或 x<0.
∵x ≤1，∴ x ≥0，∴x≠0，
分式不等式的解法
分式不等式的解法：
先通过移项、通分整理，再化成整式不等
式来解.
如果能判断出分母的正负，直接去分母即
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7)
D．(－2,1]∪[4,7)
下
课
啦
解二次不等式
① x 2x 3 0
判 别 式
△> 0
2
② 9x 6x 1 0 ③ x 4x 5 0
2
2
△= 0
△< 0
y
y
方程的根
图
像
开
口
y
O
含参问题
练. 设a∈R，解关于x的不等式 x2＋ax+2>0.
解含参数的一元二次不等式的步骤
一元二次不等式解法——课件PPT
（ 5） 9x 6x 1 0
2
1 （ 6）x (a ) x 1 0(a 0, a R) a
2
总结解一元二次不等式的步骤：
第一步： 将二次项系数化正 第二步： 求 b 2 4ac ，判断
0 求出对称轴，然后结合图像
0 利用因式分解或求根公式求根，然后结合图像
一元一次不等式的解集
ax b 0
b x x a
思考：
函数
函数、方程、 不等式 三者关系？
方程
方程的根
不等式
不等式的端点
不等式大于0的解 不等式小于0的解
图象与x轴交点横坐标
x轴上方图象对应横坐标 x轴下方图象对应横坐标
一元二次不等式如何解呢？
一元二次不等式解集表
与x轴交 点横坐标
ax b 0
b x x a
一元一次不等式的解集
ax b 0
b x x a
b x x a
方程的根 b x x a 不等式解集 b 端点 x x a
∆=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程x2+bx+c=0 的根 △ >0 △ =0 △ <0
x1
x2
x1 ( x2 ) 有两个相 等实根 x1=x2 x≠x1 无解 无实根
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2) ax2+bx+c>0（a>0） x<x 或x>x 1 2 的解集 ax2+bx+c<0（a>0） 的解集 x1<x<x2
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2
1
y
x1
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x
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例题1
(1) x 2 x 3 0
2
y
1 (2) x x 0 4 2 (3)2 x 2 x 4 0
2
O
x
(4) x x 6 0
2
例题2
解下列不等式，并用区间表示不等式的解集
(1) x 5 x 0 2 ( 2) x 6 x 9 0
y
O
x
教学目标
掌握一元二次函数图象的性质 掌握由图象找一元二次不等式解集的方法 渗透由具体到抽象和数形结合的思想
重点难点分析
重点：一元二次方程、一 元二次不等式、一元二次 函数之间的联系。 难点：方程的解，不等式 的解集与图象上的点的坐 标的转化
教学方案设计
考虑到学生的认知能力和相关知识的掌握程度，本小节的教学应从学 设计依据：依照奥苏伯尔的“有意义学习”或者 生原有的认知基础出发，遵循由易到难，由具体到一般的原则，在学 叫“认知—同化”理论。 生已在初中初步建立起的方程与函数的思想的基础上，复习学过的一 元一次不等式，再引入可以分解成两个一次因式乘积的简单一元二次 奥苏伯尔认为：有意义学习的实质是符号所代表 不等式，引导学生利用两个一次不等式的解集来找原二次不等式的解 的新知识与学习者认知结构中适当的观念建立非 集．接着再举例说明对于一般的一元二次不等式的“图象法”和“区 人为的和实质性的联系。 间法”。这样处理，由于学生对一次不等式相对坚实的认知基础，加 之知识难度不深，所需的思维层次相对不高，学生较易由具体问题概 括出一般性的规律，形成利用因式分解的方法求不等式解集的思 想．在此基础上，将所获得的知识迁移到一般的一元二次不等式解法 上会相对
地位与作用 将本节内容设置在这一章里， 一元二次不等式解法是初中一 一方面是为了让学生在学完集 元一次不等式解法在知识上的 合的知识后能有所应用；另一 延伸和发展。由于它是数学中 方面是为了本学科和其它学科 其他一些问题计算和推理的基 后续的学习作好铺垫。 础，将形成后续学习重要的基 本技能，又将非常广泛地应用 于其它学科，所以本节内容的 教学在中学数学教学中具有举 足轻重的地位。
教学过程设计
引入一元二次函数的图象 （1）复习一元一次不等式的解集。 y 的解集？ （2）x 3x 4 0
（3） x 2 x 4 0的解集呢？
2
O
x
具体过程：
小于0
大于0
表格
例1
例2
小结
结束
⑴ (a>0)有两个不等实根x1>x2 x 则 ax2+bx+c>0的解为x> x1或x< x2 0 ax2+bx+c <0的解为x2<x< x1 y ⑵ ax2+bx+c=0(a>0)若无实根即△<0 则 ax2+bx+c>0的解为R 0 2+bx+c<0的解为φ ax ⑶ ax2+bx+c=0(a＞0) 若有两相等实根x1 = x2 y 2+bx+c>0的且解为x≠x 且X∈R 则 ax 1 ax2+bx+c<0的解为φ 0 x a<0 同理可得以上规律 ax2+bx+c=0
2
(3) x 2 x 3 0 2 1 2 ( 4) x x 0 3 9
2
口诀：1、根上等于0， 根间小于0，根外大 于0，无根恒大于0。
口诀：2、大于取两 边，小于取中间。
小结
总结一元二次不等式的解法，再次回味一元二次不等式与 一元二次方程、一元二次函数之间的关系；回顾本课的开 头提出的问题，提出“若已知一元二次不等式ax2+bx+c>0 x 的解集为 2 x 3 ，则系数a,b,c的符号能否判断？” 并引导学生利用图象对这个问题进行考察，结合一元二次 不等式与一元二次方程、一元二次函数之间的关系得到可 以将原不等式转化成为 a( x 3)(x 2) 0 ，先判断a的符号， 进而再判断出b，c的符号。
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x1
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例题1
(1) x 2 x 3 0
2
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1 (2) x x 0 4 2 (3)2 x 2 x 4 0
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O
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(4) x x 6 0
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例题2
解下列不等式，并用区间表示不等式的解集
(1) x 5 x 0 2 ( 2) x 6 x 9 0
y
O
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教学目标
掌握一元二次函数图象的性质 掌握由图象找一元二次不等式解集的方法 渗透由具体到抽象和数形结合的思想
重点难点分析
重点：一元二次方程、一 元二次不等式、一元二次 函数之间的联系。 难点：方程的解，不等式 的解集与图象上的点的坐 标的转化
教学方案设计
考虑到学生的认知能力和相关知识的掌握程度，本小节的教学应从学 设计依据：依照奥苏伯尔的“有意义学习”或者 生原有的认知基础出发，遵循由易到难，由具体到一般的原则，在学 叫“认知—同化”理论。 生已在初中初步建立起的方程与函数的思想的基础上，复习学过的一 元一次不等式，再引入可以分解成两个一次因式乘积的简单一元二次 奥苏伯尔认为：有意义学习的实质是符号所代表 不等式，引导学生利用两个一次不等式的解集来找原二次不等式的解 的新知识与学习者认知结构中适当的观念建立非 集．接着再举例说明对于一般的一元二次不等式的“图象法”和“区 人为的和实质性的联系。 间法”。这样处理，由于学生对一次不等式相对坚实的认知基础，加 之知识难度不深，所需的思维层次相对不高，学生较易由具体问题概 括出一般性的规律，形成利用因式分解的方法求不等式解集的思 想．在此基础上，将所获得的知识迁移到一般的一元二次不等式解法 上会相对
地位与作用 将本节内容设置在这一章里， 一元二次不等式解法是初中一 一方面是为了让学生在学完集 元一次不等式解法在知识上的 合的知识后能有所应用；另一 延伸和发展。由于它是数学中 方面是为了本学科和其它学科 其他一些问题计算和推理的基 后续的学习作好铺垫。 础，将形成后续学习重要的基 本技能，又将非常广泛地应用 于其它学科，所以本节内容的 教学在中学数学教学中具有举 足轻重的地位。
教学过程设计
引入一元二次函数的图象 （1）复习一元一次不等式的解集。 y 的解集？ （2）x 3x 4 0
（3） x 2 x 4 0的解集呢？
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具体过程：
小于0
大于0
表格
例1
例2
小结
结束
⑴ (a>0)有两个不等实根x1>x2 x 则 ax2+bx+c>0的解为x> x1或x< x2 0 ax2+bx+c <0的解为x2<x< x1 y ⑵ ax2+bx+c=0(a>0)若无实根即△<0 则 ax2+bx+c>0的解为R 0 2+bx+c<0的解为φ ax ⑶ ax2+bx+c=0(a＞0) 若有两相等实根x1 = x2 y 2+bx+c>0的且解为x≠x 且X∈R 则 ax 1 ax2+bx+c<0的解为φ 0 x a<0 同理可得以上规律 ax2+bx+c=0
2
(3) x 2 x 3 0 2 1 2 ( 4) x x 0 3 9
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口诀：1、根上等于0， 根间小于0，根外大 于0，无根恒大于0。
口诀：2、大于取两 边，小于取中间。
小结
总结一元二次不等式的解法，再次回味一元二次不等式与 一元二次方程、一元二次函数之间的关系；回顾本课的开 头提出的问题，提出“若已知一元二次不等式ax2+bx+c>0 x 的解集为 2 x 3 ，则系数a,b,c的符号能否判断？” 并引导学生利用图象对这个问题进行考察，结合一元二次 不等式与一元二次方程、一元二次函数之间的关系得到可 以将原不等式转化成为 a( x 3)(x 2) 0 ，先判断a的符号， 进而再判断出b，c的符号。