2021高考理科数学总复习课标通用版作业：平面解析几何课时作业50

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【与名师对话】2021高考数学课时作业50 文（含解析）北师大版(1)

课时作业(五十)一、选择题1．已知定点A (1,1)和直线l ：x ＋y －2＝0，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：由于点A 在直线x ＋y －2＝0上，因此选D. 答案：D2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是 ( )解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x＋y ＋1＝0右上方的部份．答案：C3．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，那么动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：∵|PA |＝|PN |，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|MA |＝6>|MN |.故动点P 的轨迹是椭圆．答案：B4．已知F 是抛物线y ＝14x 2的核心，P 是该抛物线上的动点，那么线段PF 中点的轨迹方程是A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：把抛物线方程y ＝14x 2化成标准形式x 2＝4y ，可得核心F (0,1)，设P (x 0，y 0)，PF 的中点M (x ，y )．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1.又∵P (x 0，y 0)在抛物线y ＝14x 2上，∴2y －1＝14(2x )2，即x 2＝2y －1.答案：A5．(2021年合肥月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，那么Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，那么P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.答案：D6．(2021年温州八校联考)设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC．y2＝4x或y＝0(x<0) D．y2＝4x或y＝0解析：解法一设动圆圆心M(x，y)，半径为R，依照已知条件得：R＝|x|＝|MC|－1，即|x|＝x－12＋y2－1.①x≥0时，(x＋1)2＝(x－1)2＋y2，即y2＝4x；②x<0时，(－x＋1)2＝(x－1)2＋y2，即y＝0.综合①②得，圆心M的轨迹方程为y2＝4x或y＝0(x<0)．解法二当x>0时，转化为动点M到直线x＝－1的距离与它到定点C(1,0)的距离相等，依照抛物线的概念，M 的轨迹方程为y 2＝4x ；当x <0时，因C (1,0)到y 轴的距离为1，∴x 轴负半轴上的点均知足．综上，圆心M 的轨迹方程为y 2＝4x 或y ＝0(x <0)．应选C. 答案：C 二、填空题7．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，假设AB →⊥BC →，那么动点C 的轨迹方程为________．解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得2·x －y 2·y 2＝0.得y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，那么x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．(2021年开封模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个核心，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，那么OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，那么有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b 2＝1 三、解答题10．已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1和点P (1,2)，直线l 通过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当l 的倾斜角转变时，弦中点的轨迹方程．解：设弦中点为M (x ，y )，交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线．∴(y 2－y 1)(x －1)＝(x 2－x 1)(y －2)，①由x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1两式相减得 x 1－x 2x 1＋x 216＋y 1－y 2y 1＋y 29＝0.又x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴2x x 1－x 216＝－2y y 1－y 29，② 由①②可得：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0，③当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1,2)适合方程③， ∴弦中点的轨迹方程为：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0.11．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解：解法一：直接法．如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，那么CP ⊥OQ .因OC 中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接PM . 故|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围知0<x ≤1.解法二：概念法．∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．解法三：代入法．设Q (x 1，y 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又∵(x 1－1)2＋y 21＝1，∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0<x ≤1)．解法四：参数法．设动弦OQ 的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1. 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0， ∴x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k2，消去k 即可取得(2x －1)2＋(2y )2＝1(0<x ≤1)． 12．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，那么N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0， ②①、②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1，③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. [热点预测]13．点P 是以F 1、F 2为核心的椭圆上一点，过核心作∠F 1PF 2外角平分线的垂线．垂足为M ，那么点M 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N . ∵|PF 2|＝|PN |， ∴|F 1N |＝2a .连接OM ，那么在△NF 1F 2中，OM 为中位线，那么|OM |＝12|F 1N |＝a .∴M 的轨迹是圆．答案：A14．△ABC 的极点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么极点C 的轨迹方程是________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.依照双曲线概念，所求轨迹是以A 、B 为核心，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)15．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为核心，l1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易患点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1， ∴RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， ∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：数列课时作业30

则bn＝＝
＝
所以Tn＝
＝＝
(3)Tn＋1－Tn＝－
＝＞0、
∴{Tn}单调递增、∴Tn≥T1＝ .
∵Tn＝＜、∴ ≤Tn＜、
使得＜Tn＜恒成立、
只需解之得 ≤m＜ .
19．(20xx年湖北省华师一附中高三调研考试)已知数列{an}中、a1＝、其前n项的和为Sn、且满足an＝ (n≥2)．
－＝2
数列是以1为首项2为公差的等差数列、
＝1＋(n－1)×2＝2n－1
an＝
bn＝an·an＋1＝ · ＝
S10＝
＝ × ＝
故选C.
答案：C
二、填空题
13．(20xx年福建省莆田第九中学高二上学期第二次月考)今年冬天流感盛行、据医务室统计、北校近30天每天因病请假人数依次构成数列{an}、已知a1＝1、a2＝2、且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)、则这30天因病请假的人数共有________人．
A．2 017 B．2 018
C. D.
解析：∵an＝Sn－Sn－1、bn＝Tn－Tn－1
则cn＝an·Tn＋bn·Sn－an·bn
＝(Sn－Sn－1)Tn＋(Tn－Tn－1)Sn－(Sn－Sn－1)(Tn－Tn－1)＝SnTn－Sn－1Tn－1
则C2 018＝S2 018T2 018－S2 017T2 017
若S51＝1 328－a2＝1 350、则当a2＝－22＜2时成立
若S53＝1 433－a2＝1 350、则当a2＝83＞2不成立．
故选A.
答案：A
5．(20xx年湖北省××市沙市中学高一下学期期中考试)等差数列{an}前n项和为Sn、(1＋a5)3＋2 018(1＋a5)＝1、(1＋a2 014)3＋2 018(1＋a2 014)＝－1、则下列结论正确的是 ( )

最新-2021届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第八章平面解析几何 8.2 精品

【解析】选D.因为l1∥l2,且l1的斜率为2, 所以l2的斜率为2. 又l2过点(-1,1), 所以l2的方程为y-1=2(x+1), 整理即得:y=2x+3, 令x=0,得y=3, 所以P点坐标为(0,3).
5.(2016·泰安模拟)点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距
离的最大值等于
2.已知P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程 Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示 ( ) A.过点P且与l垂直的直线 B.过点P且与l平行的直线 C.不过点P且与l垂直的直线 D.不过点P且与l平行的直线
【解析】选D.因为P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点, 所以Ax0+By0+C=k,k≠0. 所以方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0, 即Ax+By+C+k=0. 因为直线Ax+By+C+k=0和直线l斜率相等,但在y轴上的截距不相等,
第二节直线的交点坐标与距离公式
【知识梳理】 1.两条直线的交点
唯一解无解有无数组解
2.三种距离
三种距离
条件
公式
两点间的距离
点到直线的距离
A(x1,y1),B(x2,y2)
P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离为d
|AB|=
__x_1 __x_2 _2___y_1 __y_2_2
两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5.
①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25,

2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第9章平面解析几何课时作业51

课时作业51 圆锥曲线的综合问题一、选择题1．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10 答案：D2．(2019年内蒙古集宁一中高三上学期期末)设某曲线上一动点M 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝－3的距离相等，经过点P (2，1)的直线l 与该曲线相交于A ，B 两点，且点P 恰为等线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝( )A ．6B ．10C ．12D ．14解析：由曲线上一动点M 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝－3的距离相等知该曲线为抛物线，其方程为y 2＝12x ，分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，垂足分别为A 1，B 1，P 1，由梯形的中位线定理知|P 1P |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|F A |＋|FB |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选B. 答案：B3．(2019年新疆乌鲁木齐高三考试)AB 是过抛物线y 2＝2px 焦点F 的弦，其垂直平分线交x 轴于点G ，设|AB |＝λ|FG |，则λ的值是( )A.32 B ．2C ．4D ．与p 的值有关解析：如图1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，图1则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p ＝2py 2＋y 1，故线段AB 的垂直平分线的方程为 y －y 2＋y 12＝－y 2＋y 12p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋x 12，令y ＝0，得x ＝p ＋x 2＋x 12，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋x 2＋x 12，0. ∴|FG |＝⎝⎛⎭⎪⎫p ＋x 2＋x 12－p 2＝x 2＋x 1＋p2，又|AB |＝x 2＋x 1＋p ，∴|AB |＝2|FG |.选B. 答案：B4．(2019年湖北省武汉市高中毕业生调研)已知不过坐标原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若直线OA ，AB 的斜率分别为2和6，则直线OB 的斜率为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2A 2p ，y A ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2B 2p ，y B ，那么k AB ＝y A －y B y 2A －y 2B 2p ＝2py A ＋y B ＝6，所以y A ＋y B ＝p 3，而k OA ＝y A y 2A2p＝2py A＝2，故y A ＝p ，y B ＝－23p ，所以x B ＝29p ，k OB ＝－3，选D. 答案：D5．(2019年重庆市高二上学期期末)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点，与y 轴交于A 点，若AF→＝FQ →，O 为坐标原点，则△OPQ 的面积为( ) A. 2 B.32 2 C ．2 2 D ．4解析：AF →＝FQ →⇒x Q ＝2⇒y Q ＝22，从而可设直线FQ 为y ＝22(x －1)，联立方程有： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x⇒y 2－2y －4＝0，由韦达定理： y p ×22＝－4⇒y P ＝－2，所以S ＝12|OF ||y Q －y P |＝12×1×(22＋2) ＝322，答案：B6．(2019年河南省郑州市高三毕业年级第二次质量预测)如图2，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )图2A ．23B ．42C ．12D ．52解析：由题意抛物线过定点(2，4)，得抛物线方程y 2＝8x ，焦点为F (2，0)．圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心为(2，0)，半径r ＝1.由于直线过焦点，所以有1|PF |＋1|QF |＝2P ＝12，又|PN |＋4|QM |＝(|PF |＋1)＋(4|QF |＋4)＝|PF |＋4|QF |＋5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝ ⎛⎭⎪⎫1|PF |＋1|QF |＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4|QF ||PF |＋|PF ||QF |＋5≥23, 当且仅当PF ＝2QF 时等号成立．选A.7．(2019年浙江省宁波市高三模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.56B.2033 C.1531 D.2029解析：抛物线的准线方程为l ：x ＝－1，分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ，则|BN |＝|BF |＝5，图3∴B 点横坐标为4，不妨设B (4，－4)，则直线AB 的方程为y ＝4x －20，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －20，y 2＝4x ，得4x 2－41x ＋100＝0，设A 横坐标为x 0，则x0＋4＝414，故而x 0＝254. ∴|AM |＝x 0＋1＝294，∴S △BCFS △ACF＝2029.答案：D8．(2019年湖南省邵阳市高三上学期期末)过圆P ：(x ＋1)2＋y 2＝14的圆心P 的直线与抛物线C ：y 2＝3x 相交于A ，B 两点，且PB →＝3P A →，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为( )A.116 B ．2 C.136 D.73解析：由题意可知：P (－1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设点A 位于第一象限，如图4所示，图4则：PB →＝(x 2＋1，y 2)，P A →＝(x 1＋1，y 1)，据此可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3y 1，x 2＋1＝3（x 1＋1），y 21＝3x 1，y 22＝3x2解方程可得：x 1＝13，y 1＝1，则|AP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＋12＝53，故点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为53＋12＝136. 本题选择C 选项. 答案：C9．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A, B 两点，设O 为坐标原点，则OA→·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3 D ．±13解析：由x 22＋y 2＝1 ，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1 ，焦点为(±1，0)．设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)·(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.故选B. 答案：B10．(2019年河南省平顶山高二第一学期期末)过点M (1，1) 的直线与椭圆x 24＋y 23＝1 交于A, B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为( )A ．4x ＋3y －7＝0B ．3x ＋4y －7＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．4x －3y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－34，所以直线的斜率为－34，由点斜式得到直线方程为3x ＋4y －7＝0.答案：B11．(2019年湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时， △AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A.433 B. 3 C.233 D.33图5解析：如图5所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点，则AE ＝3＋p2，EH ＝p, ∴2p ＝3＋p2，解得p ＝2, ∴y 2＝4x ，A (3，23)，F (1，0)，∴k AF ＝3，直线AF 为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程为3(x －1)2＝4x ，解得x ＝3或x ＝13，∴y ＝23或y ＝－233，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫13，－233∴S △OAB ＝S △OFB ＋S △OF A＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫23＋233 ＝433，故选A. 答案：A12．(2019年普通高校全国卷一(A))已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 分别交抛物线于点A ，B ，过点A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，两切线l 1，l 2交于点M ，若过点M 且与y 轴垂直的直线恰为圆x 2＋y 2＝1的一条切线，则p 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4解析：由题可知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，且过焦点F 的直线斜率存在，所以可设直线l ：y ＝kx ＋p2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ∴x 2－2kpx －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－p 2，x 1＋x 2＝2kp .又由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，∴y ′＝xp ，所以过A 点的切线方程为l 1：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，∴y ＝y 1＋x 1p x －x 21p ＝x 1p x －x 212p .同理可知过点B 的切线方程为l 2：y ＝x 2p x －x 222p ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22p ＝－p 2，因此点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－p 2，过点M 与y 轴垂直的直线为y ＝－p 2(p >0)，而圆x 2＋y 2＝1与y 轴负半轴交于点(0，－1)，所以－p2＝－1，∴p ＝2.故选C.答案：C 二、填空题13．(2019年高三数学训练题)F 是双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B.若2AF→＝FB →，则C 的离心率是________．解析：双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，由题意，得|AF |＝b ，|BF |＝2b ，在Rt △AOF 中， |OF |＝c ，则|OA |＝c 2－b 2＝a .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF ＝θ，则∠AOB ＝2θ，tan θ＝b a ，tan2θ＝3b a ，即3ba ＝2b a 1－b 2a 2，即a 2＝3b 2，则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝233.答案：23314．(2019年高三数学训练题)设F 1，F 2为椭圆C 1: x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且|MF 1|＝2，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________．解析：设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知|MF 1|＝2，|F 1F 2|＝|MF 2|＝2c ，其中c 2＝a 22＋b 22＝a 21－b 21，又根据椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a 1，|MF 1|－|MF 2|＝2a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋2c ＝2a 1，2－2c ＝2a 2即a 1－a 2＝2c ，其中2a 1，2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．因为椭圆的离心率38≤e ≤49，所以38≤c a 1≤49，所以9c 4≤a 1≤8c 3，而a 2＝a 1－2c ，所以c4≤a 2≤2c 3，所以32≤ca 2≤4，即双曲线C 2的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，415．(2019年新疆兵团农二师华山中学期末)P 为抛物线y 2＝4x 上任意一点，点P 在y 轴上的射影为Q ，点M (4，5)，则PQ 与PM 长度之和的最小值为________．解析：抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点F (1，0)，由抛物线的几何性质得|PQ |＝|PF |－1， |PQ |＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1 ≥|MF |－1＝34－1，当P ，M ，F 三点共线时等号成立．答案：34－116．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，作AC ，BD 垂直抛物线的准线l 于C ，D 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是________(填写序号)．①AC→＋CD →＝BD →－BA →；②存在λ∈R ，使得AD →＝λAO →成立；③FC→·FD →＝0；④准线l 上任意点M ，都使得AM →·BM →>0.图6解析：如图6，可见AC→＋CD →＝BD →－BA →＝AD →，所以①正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，“存在λ∈R ，使得AD →＝λAO →成立”等价于“D ，O ，A 三点共线”，等价于“y 2－p 2＝y 1x 1”，等价于“y 1y 2＝－p 2(*)”．又因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 可设为x ＝my ＋p 2，与y 2＝2px 联立，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，于是，y 1y 2＝－p 2，(*)成立，所以②正确；“FC →·FD →＝0”等价于“p 2＋y 1y 2＝0”，据y 1y 2＝－p 2，(*)成立，知③正确；据抛物线定义知|AB |＝|AC |＋|BD |，所以以AB 为直径的圆半径长与梯形ACDB 中位线长相等，所以该圆与CD 相切，设切点为M ，则AM ⊥BM ，所以AM→·BM →＝0，④不正确．答案：①②③ 三、解答题17．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA→·OB →的值； (2)如果OA→·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2，0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2，0)．图718．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2·x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.19．(2019年百校联盟TOP20高三三月联考(全国Ⅱ卷))在平面直角坐标系xOy 中，与点M (－2，3)关于直线2x －y ＋2＝0对称的点N 位于抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ，B 两点(非N 点)，若AB 过焦点F ，求|AF ||BF |的值．解：(1)设N (m ，n )，则⎩⎨⎧n －3m ＋2＝－12，m －22×2－n ＋32＋2＝0，解之得N (2，1)，代入x 2＝2py (p >0)得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)显然直线NA 的斜率是存在的，设直线NA 的方程y －1＝k (x －2)，设直线NB 的方程y －1＝－k (x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝k （x －2）消元，得x 2－4kx ＋8k －4＝0，所以2＋x 1＝4k ，∴x 1＝4k －2，∴y 1＝4k (k －1)＋1，故A (4k －2，4k (k －1)＋1)，同理，B (－4k －2，4k (k ＋1)＋1)，所以k AB ＝4k （k ＋1）＋1－4k （k －1）－1－4k －2－4k ＋2＝－1，若|AF ||BF |<1，因为cos45°＝|BF |－|AF ||BF |＋|AF |，∴|AF ||BF |＝2－22＋2＝3－22，若|AF ||BF |>1，同理可求|AF ||BF |＝2＋22－2＝3＋2 2.20．(2019年辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上．(1)求椭圆的离心率；(2)若过焦点F 2垂直x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3，斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得P A ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．解：(1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0x 0－c＝－1且x 0＋c 2－y 02＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ，y 0＝a ＋c ，即M (－a ，a ＋c )∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12. (2)由(1)及题设得：c a ＝12且2b 2a ＝3， ∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2－3＝0.依题Δ>0，即t 2<4设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－3如果存在P (m ，n )使得k P A ＋k PB 为定值，那么k P A ＋k PB 的取值将与t 无关k P A ＋k PB＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m＝⎝⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3，令⎝⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3＝M则Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2M －3M －2mn ＋3＝0为关于t (t 2<4)的恒等式∴⎩⎨⎧M ＝0，n ＝32m ，2mn ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝32或⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－32综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32及⎝⎛⎭⎪⎫1，32.。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：立体几何课时作业42

课时作业42 立体几何中的向量方法一、选择题1．(20xx 年江西省六校联考)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足：CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝30°，则t 的值为 ( )A.3－12B.3－1C.3－32D.3＋12 解析：∵CD→＝tCA →＋(1－t )CB →，∴A ，B ，D 三点共线， ∴由题意建立如图1所示的坐标系，设AC ＝BC ＝1，则C (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，图1直线AB 的方程为x ＋y ＝1，直线CD 的方程为y ＝33x ，故联立解得，x ＝3－32，y ＝3－12，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3－12，故CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3－12，CA →＝(1，0)，CB →＝(0，1)，故tCA →＋(1－t )CB →＝(t ，1－t )，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3－12 ＝(t ，1－t )，故t ＝3－32. 本题选择C 选项．答案：C2．(20xx 年江西省重点中学盟校联考)棱长为1的正方体ABCD －A1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的AB ，A 1D 1的中点P ，Q 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为 ()A.22B.12C.24 D.2－1解析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，所以球心O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，|PQ |＝62，|OP |＝|OQ |＝22，故O 到直线PQ 的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝24，而球的半径为12，所以在球内的线段长度为2⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝22，故选A.图2答案：A3．(20xx 年内蒙古××市北京八中分校月考)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 ( )A.23B.33C.23D.13解析：设AB ＝1，则AA 1＝2，建立如图3所示空间直角坐标系，则D (0，0，2)，C 1(0，1，0)，B (1，1，2)，C (0，1，2)，∴DB →＝(1，1，0)，DC1→＝(0，1，－2)，DC →＝(0，1，0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y －2z ＝0，取n ＝(－2，2，1)，设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n·DC →|n||DC →|＝23，故选A.图3答案：A4．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于 ( )A.13B.23C.33D.23解析：如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、OA 1分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图4.图4设△ABC 的边长为1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63，∴AB1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，12，63. 又平面ABC 的法向量为n ＝(0，0，1)．设AB 1与底面ABC 所成角为α，则sin α＝|cos AB1→，n |＝|AB1→·n||AB1→||n|＝23.故直线AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为23，选B. 答案：B5．(20xx 年河北省××市第一中学质检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BB 1的中点，则点C 到平面A 1D 1E 的距离为 ( )A.55B.52C.53D.35解析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可．如图5所示，建立空间直角坐标系，则A 1(0，0，1)，D 1(0，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，据此可得：A1D1→＝(0，1，0)，A1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，图5设平面A 1D 1E 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧y1＝0x1－12z1＝0，据此可得平面A 1D 1E 的一个法向量为m ＝(1，0，2)，而C (1，1，0)，据此有：A1C→＝(1，1，－1)，则点C 到平面A 1D 1E 的距离为|A1C →·m||m|＝15＝55.本题选择A 选项．答案：A6．(20xx 年湖南省××市茶陵三中月考)在如图6所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，且∠C 1EF ＝90°，则点F 的坐标为 ( )图6A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，23，0 解析：由题意得E (2，0，1)，C 1(0，2，2)，设F (2，y ，0)，则EC1→＝(－2，2，1)，EF →＝(0，y ，－1)， ∵∠C 1EF ＝90°，∴EC1→·EF →＝2y －1＝0，解得y ＝12，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，12，0，答案：A 7.图7(20xx 年河南省豫北重点中学联考)如图7，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝3，E 为AB 的中点，则点B 1到平面D 1EC 的距离为 ( )A.156161B.83131C.186161D.113131解析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设B 1(2，3，2)，C (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，0，D 1(0，0，2) 平面D 1EC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，0＝0（x ，y ，z ）·（0，3，－2）＝0⇒⎩⎨⎧2x ＝32y 3y ＝2z取n ＝⎩⎨⎧⎭⎪⎫14，13，12，所以点B 1到平面D 1EC 的距离为⎪⎪⎪⎪B1D1→cos n ，B1D1→＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B1D1→·n n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－16112 ＝186161，选C. 答案：C8．(20xx 年福建省××市模拟)如图8所示，在正方体ABCD －A 1B 1C1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为 ( )图8A.3030B.3015C.3010D.1515图9解析：建立如图9所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B 1(2，2，2)，M (1，1，0)， D 1(0，0，2)，N (1，0，0)∴B1M→＝(－1，－1，－2)，D1N →＝(1，0，－2) ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋41＋1＋4·1＋4＝3010，故选C. 答案：C9．(20xx 年福建省××市第一中学月考)如图10，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是 ( )图10A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π4≤α≤π2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π3≤α≤π2 解析：分别以边DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图11所示空间直角坐标系，图11设正方体边长为1，P (x ，0，0)，(0≤x ≤1)，并能确定以下几点坐标：M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0，0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12；解析：如图12，过点P作D1M的平行线交BC于点Q，交B1C1于点E，连接MQ，图12则PN是平面D1PM与平面BCC1B1的交线，MN是平面D1PM与平面ABCD的交线．EF∥BB1，交BC于点F，过点F作FG垂直MQ于点G，则有MQ与平面EFG垂直，所以，EG⊥MQ，即角EGF是平面D1PM与平面ABCD所成二面角的平面角，且sin∠EGF＝EFEG，MN∥CD交BC于点N，过点N作NH⊥EQ于点H，同上有：sin∠MHN＝MNMH，且有∠EGF＝∠MHN，又因为EF＝MN＝AB，故EG＝MH，而2S△EMQ＝EG×MQ＝MH×EQ，故MQ＝EQ，而四边形EQMD1一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E一定是B1C1的中点，点PC1长度的最小值是点C1到直线BE的距离，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，E (2，1，2)，B (2，0，0)，C 1(2，2，2)，BE→＝(0，1，2)， BC1→＝(0，2，2)， ∴PC 1 长度的最小值d ＝|BC1→|·1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|BE →·BC1→||BE →||BC1→|2 ＝22×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫65×82＝255，故选A.答案：A12．(20xx 年浙江省××市“十五校联合体”联考)如图13，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点P ，Q 分别是棱BC ，CD 上的动点，BC ＝4，CD ＝3，CC ′＝23，直线CC ′与平面PQC ′所成的角为30°，则△PQC ′面积的最小值是 ( )A.1855 B ．8 C.1633 D ．10图13＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4（k ＋3）＋40k ＋3－25≥24（k ＋3）·40k ＋3－25 ＝810－25，即最小值为810－25.图15答案：810－2514．(20xx 年江苏省清江中学质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为________．图16解析：分别以AB 、AD 、AA ′为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图17所示，设其棱长为1，图17则A 1(0，0，1)，E (1，0，12)，D (0，1，0)．∴A1D →＝(0，1，－1)，A1E →＝(1，0，－12)．设平面A 1ED 的法向量n ＝(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧n1·A1D →＝0，n·A1E →＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，x －12z ＝0.∴n 1＝(1，2，2)．又∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)．∴cos n 1，n 2＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23.答案：3215.由cos 〈PA→，PD1→〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，－3λ，1λ－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，－3λ，1λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－12，其分子化简得5－2λλ2，当λ>52时，cos PA →，PD1→<0，故∠APD 1的最大值可以为钝角，③错误；对于④，根据③计算的数据，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，－3λ，1λ－1， PD1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，－3λ，1λ |PA→|＋|PD1→|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－12 ＝25·1λ2－2·1λ＋1，在对称轴1λ＝15，即λ＝5时取得最小值为245＝455，故④错误．答案：①②16．(20xx 年浙江省××市调研)如图19，已知正四棱锥P —ABCD 中，AB ＝4，高h ＝22，点M 是侧棱PC 的中点，则异面直线B M 与AC 所成角的余弦值为________．＝|（－4）×（－3）＋4×（－1）＋0×242×23|＝66.答案：66三、解答题17．(20xx 年北京东城二中模拟)如图21，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面P AB ⊥底面ABCD .(1)设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥平面ABCD .(2)求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值．(3)在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角M －BD －C 的大小为60°，求CM CP 的值．图21图22解：(1)证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 中点为Q ，∴PQ ⊥AB ，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD ＝AB ，PQ ⊂侧面PAB ，∴PQ ⊥平面ABCD .(2)连接AC ，设AC ∩BD ＝O 点，以O 为原点，OB ，OC ，过O 点且垂直于平面ABCD 的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，3，PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－332，12，－3，平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，设斜线PD 与平面ABCD 所成角为α，则sin α＝|cosm ，PD →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·PD →|m|·|PD →||＝3274＋14＋3＝3010 (3)设CM →＝tCP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ，－32t ，3t ， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ，1－32t ，3t ， BM →＝(32t －3，－32t ＋1，3t )，DB→＝()23，0，0，设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ⊥DB →，n ⊥MB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n·DB →＝0，n·MB →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32t ＋1y ＋3tz ＝0，取z ＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6t 3t －2，3，又∵平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，∴|m·n||m||n|＝cosm ·n ＝cos60°， ∴33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6t 3t －22＝12，解出t ＝2(舍去)或t ＝25，此时CM CP ＝25.18．(20xx 年湖南省××市月考)如图23，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F ，G 分别是棱CC 1，AA 1的中点，E 为棱AB 上一点，B1M →＝3MA1→且GM ∥平面B 1EF .图23(1)证明：E 为AB 的中点；(2)求平面B 1EF 与平面ABC 1D 1成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：取A 1B 1的中点N ，连接AN ，因为B1M→＝3MA1→，所以M 为A 1N 的中点，又G 为AA 1的中点，所以GM ∥AN ，因为GM ∥平面B 1EF ，GM ⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面B 1EF ＝B 1E ，所以GM ∥B 1E ，即AN ∥B 1E ，又B 1N ∥AE ，所以四边形AEB 1N 为平行四边形，则AE ＝B 1N ，所以E 为AB 的中点．(2)以D 为坐标原点，建立如图24所示的空间直角坐标系D －xyz .不妨令正方体的棱长为2，则B 1(2，2，2)，E (2，1，0)，F (0，2，1)，A 1(2，0，2)，可得B1E→＝(0，－1，－2)，EF →＝(－2，1，1)，设m 是平面B 1EF 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m·B1E →＝－y －2z ＝0m·EF →＝－2x ＋y ＋z ＝0，令z ＝2，得m ＝(－1，－4，2)．易得平面ABC 1D 1的一个法向量为n ＝DA1→＝(2，0，2)，图24所以cos 〈m ，n 〉＝|m·n||m||n|＝222×21＝4242. 故所求锐二面角的余弦值为4242.19．正△ABC 的边长为2，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点(如图25(1))．现将△ABC 沿CD 翻成直二面角A —DC －B (如图25(2))．在图(2)中：图25(1)求证：AB ∥平面DEF ；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论；(3)求二面角E －DF －C 的余弦值．解：(1)证明：在△ABC 中，因为E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．则A (0，0，1)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，E (0，32，12)，F (12，32，0)，AB→＝(1，0，－1)，BC →＝(－1，3，0)，DE →＝(0，32，12)，DF →＝(12，32，0)．设BP→＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝(1－λ，3λ，－1)，注意到AP ⊥DE ，AP →·DE →＝0，λ＝13，BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .(3)平面CDF 的一个法向量DA→＝(0，0，1)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0DE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)， cos DA →，n ＝DA →·n |n||DA →|＝217，所以二面角E －DF －C 的余弦值为217.。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：平面向量课时作业25

⑤a|a|是与a 同向的单位向量，b 与a 不一定同向，故选项不正确．故答案为B.答案：B3．(20xx 年山西省平遥中学高三高考适应性调研考试)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解析：图1由|a ＋b |＝|a －b |，得a ⊥b ，所以如图1，令OA→＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b ，则a ＋b 与a 的夹角即∠AOC ，由条件可知，∠AOC ＝π6，故选A. 答案：A4．(20xx 年河北省××市第一中学高二下学期期中考试)已知|a |＝3，|b |＝5，|a ＋b |＝7，则a 在b 方向上的投影为 ( )A ．－12 B ．1 C.32 D ．2解析：由题意可得：(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝9＋25＋2a ·b ＝49，∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)图2＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2 ＝29×4＋59×2×2×12＋29×4 ＝269. 故选C. 答案：C7．(20xx 年山东省××市高一下学期期中考试)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝ ( )A ．53B ．35C ．25D ．22解析：因为a ∥b ，所以－2x ＝4，即x ＝－2；所以a －b ＝(3，－6)；所以|a －b |＝35. 答案：B8．(20xx 年广西××市高三第三次质量检测试卷)已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是 ( )A ．[－1，0]B ．[－1，2]C ．[－1，3]D ．[－1，4]解析：如图3所示，由题意可得：点M 所在的方程为：(x －1)2＋(y －1)2≤1(0≤x ≤2，0≤y ≤2)．可设点M (x ，y )A (0，0)，B (2，0)．图3∴MA →·MB →＝(－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝－x (2－x )＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1，由（x －1）2＋y2∈[0，2]， ∴MA →·MB →∈[－1，3]，故选C. 答案：C9．(20xx 年江西省××市高三上学期期末质量检测)已知正三角形A BC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC→，则|BM →|2的最大值是 ( ) A.37＋2334 B.37＋6334C.434D.494解析：如图4所示，建立直角坐标系，取AC 中点N ，图4∵|AP→|＝1，PM →＝MC →， ∴|MN →|＝12，从而M 轨迹为以N 为圆心，12为半径的圆， ∴B ，N ，M 三点共线时，|BM →|为最大值． ∴|BM →|的最大值为3＋12＝72，∴|BM →|2的最大值是494，本题选择D 选项．答案：D10．(20xx 年××市第八中学高一下学期期中考试)如图5，在△AB C 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD→＝ ( )图5A ．23 B.32图6答案：A12．(20xx 年湖北省黄冈、黄石等八市高三联考)在直角坐标系xO y 中，已知三点A (a ，1)，B (2，b )，C (3，4)，若向量OA →与OB →在向量OC→方向上的投影相同，则a 2＋b 2的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C.25 D.425解析：∵向量OA→，OB →在向量OC →方向上的投影相同，∴OA →·OC →＝OB→·OC →，∵A (a ，1)，B (2，b )，C (3，4)，∴3a ＋4＝6＋4b ，∴3a －4b ＝2，(a ，b )在直线3x －4y －2＝0上，a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x －4y －2＝0距离的平方，因为d ＝25，所以a 2＋b 2的最小值为425，故选D.答案：D 二、填空题13．(20xx 年××市巴蜀中学高三适应性月考)如图7，正方形ABCD 的边长为2，顶点A ，B 分别在y 轴的非负半轴，x 轴的非负半轴上移动，E 为CD 的中点，则OE →·OD→的最大值是________．图7解析：根据题意，设A (0，2sin α)，B (2cos α，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，根据正方形的特点，可以确定出C (2cos α＋2sin α，2cos α)，D (2sin α，2sin α＋2cos α)，根据中点坐标公式，可以求得E (cos α＋2sin α，sin α＋2cosα)，所以有OE→·OD →＝2sin α(cos α＋2sin α)＋(2sin α＋2cos α)(sin α＋2cos α)＝4＋8sin αcos α＋2sin 2α＝5＋4sin2α－cos2α＝5＋17sin(2α－φ)，所以其最大值为5＋17. 答案：5＋1714．(20xx 年山西省榆社中学高三诊断性模拟考试)在△ABC 中，点D 在BC 边上，AD 平分∠BAC ，N 是BC 边上的中点，4AB →·AD →＝AC →·AD →，|AB →|＝1，|AN |＝sinB 2sinC ，则|BC |＝________．解析：如图8所示，∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，图8又∵4AB →·AD →＝AC →·AD→， ∴4|AB |·|AD |cos ∠BAD＝|AC |·|AD |cos ∠CAD ，即|AC |＝4|AB |＝4，∴由正弦定理可得|AN |＝sinB 2sinC ＝|AC|2|AB|＝42＝2，设BN ＝x ，由余弦定理得cos ∠ANB ＝4＋x2－12·2·x ，cos ∠ANC ＝4＋x2－162·2·x ，又∵∠ANB ＋∠ANC ＝π，∴cos ∠ANB ＝－cos ∠ANC ，即4＋x2－12·2·x ＝－4＋x2－162·2·x ，解得x ＝322(舍负)，可得|BC |＝32，故答案为32.答案：3215．(20xx 年××市第二中学高二上学期开学考试)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP→的最大值为________．解析：AO→·AP →＝|AO →|·|AP →|cos θ≤|AO →|·|AP →|≤2×(2＋1)＝6.所以最大值是6.答案：6。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：立体几何课时作业38

课时作业38空间点、线、面之间的位置关系一、选择题1．(20xx年××市实验中学高二上学期期中考试)下列说法正确的是( )(1)任意三点确定一个平面；(2)圆上的三点确定一个平面；(3)任意四点确定一个平面；(4)两条平行线确定一个平面A．(1)(2) B．(2)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)解析：任意三个不共线点确定一个平面；圆上的三点确定一个平面；任意四点不一定确定一个平面；两条平行线确定一个平面；选C.答案：C2．(20xx年高考数学高考复习)如图1，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A，B，C对面的字母依次分别为( )图1A．D，E，F B．F，D，EC．E，F，D D．E，D，F解析：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F.选D.答案：D3．(20xx年陕西省××市汉台中学、西乡中学高一上学期期末联考)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行解析：如图2所示，a，b，c三条直线平行，a与d异面，而b 与d异面，c与d相交，故选C.图2答案：C4．(海南省××市20xx年高三高考适应性考试数学文科卷4)下列命题中：①一条直线和两条平行线都相交，那么这三条直线共面；②每两条都相交，但不共点的四条直线一定共面；③两条相交直线上的三个点确定一个平面；④空间四点不共面，则其中任意三点不共线．其中正确命题的个数是( )A．1个B．2个 C．3个D．4个答案：C5．(20xx年江西省××市第二中学高二下学期第一次阶段性考试)给出下列四个命题，其中正确的是( )①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解析：根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、B、C正确．答案：D7．(20xx年内蒙古××市北京八中分校高二上学期期末考试)如图4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )图4A．直线 B．圆C．双曲线 D．抛物线解析：由正方体的性质可知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到定直线BC的距离等于到定点C1的距离，符合抛物线的定义，∴点P的轨迹所在的曲线是抛物线，故选D.答案：D图58．(20xx年浙江省诸暨中学高一下学期期中考试)设四棱锥P－AB CD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图5),使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α有( ) A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：证明：由侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1则由面面平行的性质定理得：A1B1∥m∥C1D1，A1D1∥n∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个．故选D.答案：D图69．(20xx年江苏省××市第五中学高二月考)如图6，在四面体ABC D中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为( ) A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC⊂平面ACD，且MN与AC无公共点，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM 与BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C，故选C.答案：C10．一个正方体的展开图如图7所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A．AB⊥CD B．AB∥CDC. AB与CD所成的角为60°D. AB与CD相交A．相交且垂直 B．共面C．平行 D．异面且垂直解析：由题意易知：直线AB1⊥平面A1BCD1，∴AB1⊥EF，又直线AB1与直线EF是异面直线，故选：D.答案：D12．(20xx年安徽省马××市度第一学期学业水平测试高二)如图9，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )图9A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE是共面直线C．AE与B1C1是异面直线D．AE与BB1是共面直线解析：由于CC1与B1E均在平面BCC1B1内，不是异面直线；CC1∩平面ABC＝C，AE⊂平面ABC，点C不在直线AE上，所以CC1和AE是异面直线，AE∩平面BCC1B1＝E，B1C1⊂平面BCC1B1，点E不在直线B1C1上，则AE与B1C1是异面直线，选C.答案：C二、填空题13．(20xx年陕西省××市第一中学高一上学期期末考试)长宽高分别为5，4，3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，由顶点A沿其表面到顶点C1的最近距离为________．解析：从A点沿不同的表面到C1，有三种不同捷径，其距离可采用将长方体展开的方式求得，分别是（3＋4）2＋52＝74，（3＋5）2＋42＝45，（4＋5）2＋32＝90＝310，∴从A点沿表面到C1的最短距离为74，故答案为74.答案：74图1014．(20xx年江苏省邗江中学(创新班)高一下学期期中考试)如图1 0所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．解析：∵直线CC1在平面CC1D1D上，而M∈平面CC1D1D，A∉平面CC1D1D，∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故③正确，因此，S max ＝213，当且仅当θ＝π2－φ时取到．因此，4≤S ≤213.答案：4≤S ≤21316．(20xx 年福建省闽侯第四中学高二上学期期中)给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②有三个不同公共点的两个平面重合；③没有公共点的两条直线是异面直线；④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．其中正确结论的序号是________．解析：对于①，若四点中有三点共线时，则必有这四点共面，故①正确；对于②，当这三个点共线时，则这两个平面不一定重合，故②不正确；对于③，当两条直线平行时，无公共点，但这两条直线不异面，故③不正确；对于④，如图12，直线a ，b 为异面直线，直线AB ，AC 与两异面直线都相交，但直线AB ，AC 有公共点，故④不正确；图12对于⑤，当直线c 和异面直线a ，b 相交时，则a ，b ，c 必不共面，所以它们可以确定两个平面，故⑤正确。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：平面向量课时作业26

课时作业26 平面向量的应用一、选择题1．如图1所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC→，则x ＋2y 的最小值为 ( )图1A ．2 B.13 C.3＋223 D.34 答案：C2．(20xx 年浙江省杭州期中六校联考)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P0B →·P0C→，则 ( ) A ．AC ＝BC B ．AB ＝AC C ．∠ABC ＝π2 D ．∠BAC ＝π2解析：由题意，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，取B (4，0)，则P 0(3，0)，设P (a ，0)(a ∈[0，4])，C (x 0，y 0)，则PB →＝(4－a ，0)，PC →＝(x 0－a ，y 0)，P0B →＝(1，0)，P0C →＝(x 0－3，y 0)，则(4－a )(x 0－a )≥x 0－3，即a 2－(4＋x 0)a ＋3x 0＋3≥0恒成立，所以△＝[－(4＋x 0)]2－4(3x 0＋3)≤0，即(x 0－2)2≤0，解得x 0＝2，则易知点C 在边AB 的垂直平分线上，所以AC ＝BC ，故选A.图2答案：A3．(20xx 年四川省新津中学高三上学期模拟)已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(OB →＋OC →－2OA →)·(OB →－OC→)＝0，则△ABC 是( ) A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：设BC 的中点为D ， ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， ∴CB→·(2OD →－2OA →)＝0，∴CB →·2AD →＝0， ∴CB→⊥AD →，∴△ABC 的BC 边上的中线也是高线， ∴△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形．答案：B4．(20xx 年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试)20xx 年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北60°的方向移动，距台风中心t 千米以内的地区都将受到影响。

山东2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业51椭圆及其几何性质含解析.doc

课时作业51 椭圆及其几何性质一、选择题1．(2019·北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( B )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：由题意得，c a ＝12，∴c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，∴4b 2＝3a 2.故选B.2．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( B )A.25B.35C.235D.255解析：由题图知2b ＝16.4,2a ＝20.5，则b a ＝45，则离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.故选B.3．(多选题)若方程x 23－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中错误的是( AD )A ．若C 为椭圆，则1<t <3B ．若C 为双曲线，则t >3或t <1 C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1<t <2解析：若t >3，则方程可变形为y 2t －1－x 2t －3＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若t <1，则方程可变形为x 23－t －y 21－t ＝1，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若2<t <3，则0<3－t <t －1，故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；若1<t <2，则0<t －1<3－t ，故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；若t ＝2，方程x 23－t ＋y 2t －1＝1即为x 2＋y 2＝1，它表示圆，综上，选AD.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( A )A.45 B.35 C.34D.15解析：因为直线l 的斜率为－34，且过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，所以b c ＝34.又b 2＋c 2＝a 2，即⎝⎛⎭⎫34c 2＋c 2＝a 2，即2516c 2＝a 2，所以离心率e ＝c a ＝45.故选A. 5．已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2面积为( A )A ．3 3B ．2 3 C. 3D.33解析：方法1：由椭圆的标准方程可得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.设|PF 1|＝t 1，|PF 2|＝t 2，由椭圆的定义可得t 1＋t 2＝10①.∵在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝60°，∴根据余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝64，整理可得t 21＋t 22－t 1t 2＝64②. 把①两边平方得t 21＋t 22＋2t 1t 2＝100 ③，由③－②得t 1t 2＝12，∴S △F 1PF 2＝12t 1t 2·sin ∠F 1PF 2＝3 3.故选A.方法2：由于椭圆焦点三角形的面积公式为S ＝b 2tan θ2，故所求面积为9tan30°＝3 3.故选A.6．已知F 1，F 2分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若|PF 1||PF 2|的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( B )A.13B.12C.63D.22解析：∵点P 到椭圆C 的焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .又|PF 1||PF 2|的最大值为3，∴a ＋c a －c＝3，∴椭圆C 的离心率e ＝12.故选B.7．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2,0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为3b，则椭圆的标准方程为(A)A.x28＋y24＝1 B.y28＋x24＝1C.y216＋x212＝1 D.x216＋y212＝1解析：由左焦点为F1(－2,0)，可得a2－b2＝4，过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝33(x＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d＝2331＋⎝⎛⎭⎫332＝1.由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为3b，可得2b2－1＝3b，解得b＝2，a＝22，则椭圆方程为x28＋y24＝1.故选A.8．(多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(AB)A．a1＋c1>2(a2＋c2)B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁解析：由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a22＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－a22－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1－e2＝c1a1－c2a2＝a2＋c2－2c22a2＝a2－c22a2>0，即e1>e2，则椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以D错误，故选AB.二、填空题9．椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝72.解析：F1(－3，0)，∵PF1⊥x轴，∴P⎝⎛⎭⎫－3，±12，∴|PF1→|＝12，∴|PF2→|＝4－12＝72.10．(多填题)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则|MF 2|＝4，M解析：根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎡35，2. 解析：因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2，|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.② 联立①②，得35≤e <22.三、解答题12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e .(1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22<e ≤32，求k 的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx 得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0.即－a 2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2. 因为22<e ≤32，所以23≤a <32，即12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫24，＋∞.13．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解：(1)连接PF 1，由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，即c |y |＝16，① x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2，又由①知y 2＝162c 2，故b ＝4.由②③得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2.当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．14．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( B )A.33 B.12C.2 2D.32解析：设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.15．(2019·浙江卷)已知椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是15.解析：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF 于点H，所以|OH|＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152，所以k PF＝tan∠HFO＝15212＝15.16．(多填题)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为2－32，则椭圆的方程为x24＋y2＝1；若点P为椭圆上的任意一点，则1|PF1|＋1|PF2|的取值范围是[1,4]．解析：由已知得2b ＝2，故b ＝1，∴a 2－c 2＝b 2＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c ＝2－3，∴a ＝2，c ＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝4|PF 1|(4－|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|，又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4， ∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4.即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．。

2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第八章平面解析几何课时作业50

课时作业50 圆的方程一、选择题1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( A )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．(2019·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( A )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝2 5.故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x－y＋4＝0的距离为5＝|2a＋3|5，即a＝1或a＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x－y－6＝0的距离也为r＝5，所以a＝1.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A.3．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(D)A．2 B．－2C．1 D．－1解析：因为曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝9，若圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m＝－1.4．(2019·贵阳市监测考试)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(A)A．2 3 B．2 2C．3 D．4解析：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m ＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±3，所以|MN|＝2 3.5．(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(D)A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33)D ．[－33，33]解析：解法1：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 解法2：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－0－3|12＋(－1)2＝2>1，直线与圆相离，故排除A ，B ；当k ＝33时，直线l 的方程为x －3y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－3×0－3|12＋(－3)2＝1，直线与圆相切，排除C ，故选D.6．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图．∴圆与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B.二、填空题7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.8．(2019·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.9．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y ＝12x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1. 解析：依题意设圆的方程为(x －a )2＋(y －12a 2)2＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝1.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1.三、解答题10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40. ② 由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11．(2019·山西长治六校联考)已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程；(2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2，即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4.又易知r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P 22，22，Q 22，－22或P －22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，∵OP⊥OQ且C1的半径为1，∴O到l的距离为2 2，又l与圆C相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧|m|1＋k2＝22，①|m－4|1＋k2＝22，②由①②知|m|＝|m－4|，∴m＝2，代入①得k＝±7，∴l的方程为y＝±7x＋2.综上，l的方程为x＝±22或y＝±7x＋2.12．(2019·江西新余五校联考)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(D)A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.13．(2019·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于－33.解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin∠OPH＝|OH| |OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－33.14．如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为4π.解析：解法1：设C坐标为(x，y)，则A坐标为(4－x，－y)，∵|AB|＝|AC|，∴(5－x)2＋y2＝(4－2x)2＋4y2，整理得(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以C的轨迹包围的图形面积为4π.解法2：由已知|AB|＝2|AD|，设点A(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝4[(x －2)2＋y2]，所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)，设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·福州高三考试)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1<x <4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1<x <4)，故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －a x＝2x －4，因为1<x <4，所以－2<k PQ <4，所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2，4)．(2)证明：P (0，a )(a ≠0)．令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a >0，a <2，且a ≠0，解得x ＝1±4－2a 2，故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a 2，0)两点．故可设圆E 的圆心为M (1，t )，由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14，则圆E 的半径r ＝|MP |＝1＋(14－a 2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2)2，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：立体几何课时作业37

课时作业37 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图一、选择题1．(20xx 年湖南省××市高三上学期期末考试)某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图1所示、则该几何体的体积为 ( )A ．54B ．45C ．27D ．81 解析：画出直观图如图2所示、由图可知、几何体为三棱柱和四棱锥组合而成、故体积为12×3×6×3＋13×6×3×3＝27＋18＝45、故选B.图2图4解析：由题意知光线从上向下照射、得到C、光线从前向后照射、得到A、光线从左向右照射得到B、故选D.答案：D4．(20xx年山西省××市高三模拟考试)某多面体的三视图如图5所示、则该多面体的各棱中、最长棱的长度为 ( )图5A.6B.5 C．2 D．1解析：由三视图可知该多面体的直观图为如图6所示的四棱锥P －ABCD：图6其中、四边形ABCD为边长为1的正方形、PE⊥面ABCD、且AE＝1、PE＝1.∴AP＝AE2＋PE2＝2、BE＝AB＋AE＝2、DE＝AD2＋AE2＝2∴CE＝BE2＋BC2＝5、PB＝BE2＋PE2＝5、PD＝PE2＋DE2＝3、∴PC＝CE2＋PE2＝6、∴最长棱为PC、故选A.答案：A5．(20xx年辽宁省××市普通高中高三第一次模拟考试)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著、书中有如下问题：“今有刍甍、下广三丈、袤四丈、上袤二丈、无广、高二丈、问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体、下底面宽3丈、长4丈、上棱长2丈、高2丈、问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺、该楔体的三视图如图7所示、其中网格纸上小正方形边长为1、则该楔体的体积为 ( )图7A．10 000立方尺 B．11 000立方尺C．12 000立方尺 D．13 000立方尺解析：图8由题意、将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体、作出几何体的直观图如图8所示：沿上棱两端向底面作垂面、且使垂面与上棱垂直、则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱、则三棱柱的体积V1＝12×3×2×2＝6、四棱锥的体积V2＝13×1×3×2＝2、由三视图可知两个四棱锥大小相等、∴V＝V1＋2V2＝10立方丈＝10 000立方尺．故选A.答案：A6.图9(20xx 年陕西省××市××区高一上学期期末考试)如图9、△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图、则△OAB 的面积是 ( )A ．6B ．32C ．62D ．12解析：由直观图画法规则、可得△AOB 是一个直角三角形、直角边OA ＝OA ′＝6、OB ＝2O ′B ′＝4、∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×6×4＝12、故选D. 答案：D 7.图10(20xx 年山西省平遥中学高三高考适应性调研考试)如图10、网格纸上小正方形的边长为1、粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图、则该多面体的体积为 ( )A.53B.83 C ．3 D ．8解析：如图11、几何体为P －ABCD .图11所以体积为8－2－13×3×2－13×2×2＝83、故选B. 答案：B8．(20xx 年四川省南充市高三第二次高考适应性考试)某三棱锥的三视图如图12所示、则该三棱锥的表面积为 ( )图12A ．27＋43＋2B ．27＋10C ．10＋7D ．12＋43解析：由题意作图如图13、三棱锥为A －BCD 、图13△ABC与△ADC是全等的直角三角形、其中AB＝4、BC＝2、故S△ADC＝S△ABC＝4、△BDC是等腰直角三角形、BC＝CD＝2、故S△BCD＝12×2×2＝2、△ADB是等腰三角形、AB＝AD＝4、BD＝22、故点A到BD的距离AE＝14、故S△BAD＝27、故表面积S＝10＋27.故答案为B.答案：B9.图14(20xx年河南省八市学评高三下学期第一次测评)某无盖容器的三视图如图14所示、其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形、腰长为3、俯视图是半径为1和2的两个同心圆、则它的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．13πD ．14π解析：几何体为一圆台、母线长为3、侧面展开图为圆环、对应圆心角为2π3、所以表面积是π·12＋12×6×4π－12×3×2π＝10π.选B.答案：B10．(20xx 年陕西省××市××区高一上学期期末考试)如图15是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图、则该几何体的表面积为 ( )图15A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体、设圆柱底面圆半径为r 、周长为c 、圆锥母线长为l 、圆柱高为h 、由图得r ＝2、c ＝2πr ＝4π、h ＝4、由勾股定理得、l ＝22＋（23）2＝4、S ＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π、故选C.答案：C图16图17设球O 半径为R 、由∠OCB ＝30°、可得OC ＝2R 、故OA ＝OC ＝2R 、所以R ＋2R ＝3∴R ＝1、OC ＝2、故得EC ＝1.设小球半径为r 、同理可得O ′C ＝2r 、故3r ＝1、所以小球半径为r ＝13、且OO ′＝43.这时O ′到直线AO 的距离为43sin60°＝233.这些小球相邻相切、排在一起、则球心在一个半径为233的圆M 上、如图17所示：H 为相邻两球切点、M 1、M 2分别为相邻两球球心、设∠M 1MH ＝θ、则sin θ＝r M1M ＝36、对于④、直线C 1E 在平面ABC 上的投影为直线CE 、则∠CEC 1为直线C 1E 与平面ABC 所成的角、在Rt △C 1CE 中、tan ∠CEC 1＝CC1CE ＝1BC2＋BE2＝55≠3、故不正确．故答案为①②③.答案：①②③三、解答题17.图19(20xx 年浙江省诸暨中学高一下学期期中考试)如图19是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体、截面为ABC 、已知A 1B 1＝B 1C 1＝2、∠A 1B 1C 1＝90°、AA 1＝4、BB 1＝3、CC 1＝2、求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C 、交AA 1、BB 1分别于点A 2、B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2、则该几何体的体积V ＝V A1B1C1A2B2C ＋V CABB2A2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC 中、AB ＝22＋（4－3）2＝5、BC ＝22＋（3－2）2＝5、AC ＝（22）2＋（4－2）2＝23.则S △ABC ＝12×23×（5）2－（3）2＝6.18.图20如图20所示、Rt △ABC 中、∠ACB ＝90°、AC ＝2、BC ＝3、以点C 为圆心、AC 为半径作扇形ACD 、∠ACD ＝90°.(1)求平面图形绕直线BD 旋转一周所成的几何体的体积；(2)求平面图形绕直线BD 旋转一周所成的几何体的表面积．解：(1)V 圆锥＝13×π×4×3＝4π、V 半球＝16π3、V 全＝4π＋16π3＝28π3(2)AB ＝13、S 圆锥侧＝213π、S 半球＝8π.S 表面＝S 圆锥侧＋S 半球＝213π＋8π.19.图21(20xx 年安徽省××市第一中学高二上学期月考)某种“笼具”由内、外两层组成、无下底面、内层和外层分别是一个圆锥和圆柱、其中圆柱与圆锥的底面周长相等、圆柱有上底面、制作时需要将圆锥的顶端剪去、剪去部分和接头忽略不计、已知圆柱的底面周长为24π cm 、高为30 cm 、圆锥的母线长为20 cm.(1)求这种“笼具”的体积；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”、该材料的造价为每平方米8元、共需多少元？解：设圆柱的底面半径为r 、高为h 、圆锥的母线长为l 、高为h 1、根据题意可知(1)2πr ＝24π、∴r ＝12(cm)、h 1＝202－122＝16(cm)、所以“笼具”的体积V ＝πr 2h －13πr 2h 1 ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫144×30－13×144×16＝3 552π(cm 3)． (2)圆柱的侧面积S 1＝2πrh ＝720π cm 2、圆柱的底面积S 2＝πr 2＝144π cm 2、。

2021年高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时训练理

2021年高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时训练理1. 直线xsinπ7＋ycos π7＝0的倾斜角α是____________．答案：67π解析：tan α＝－sinπ7cosπ7＝－tan π7＝tan 67π，∵ α∈[0，π)，∴ α＝67π.2. (原创)若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率为____________．答案：－32解析：设直线上任一点为(x ，y)，按题意平移后的点为(x －2，y ＋3)，利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.3. 若三点A(－2，3)、B(3，－2)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则实数m ＝________．答案：m ＝12解析：由A 、B 、C 三点共线，则k AB ＝k AC .∴－2－33＋2＝m －312＋2，解得m ＝12. 4. 如果图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为__________．答案：k 3<k 1<k 2解析：由图知，k 1<0，k 2>0，k 3<0.另外，tan α1＝k 1<0，α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tanα3＝k 3<0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，而α3<α1，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以 k 3<k 1.综上，k 3<k 1<k 2.5. 过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率和倾斜角分别为________，________．答案：－1 135°解：设A(a ，0)，B(0，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－1，∴ ⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－2.即A(－2，0)，B(0，－2)，∴ k AB ＝－2－00－（－2）＝－1，故直线l 的倾斜角为135°.6. 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是____________．答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π 时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上k∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.7. (xx·郑州质检)直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为____________．答案：y ＝－34(x －1)解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1，0)即可求得直线方程为y ＝－34(x －1)．8. (xx·贵阳模拟)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是__________．答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12. 9. 已知α、k 分别是直线l 的倾斜角和斜率． (1) 当sin α＝35时，求k 的值；(2) 当cos α＝35时，求k 的值；(3) 当cos α＝－35时，求k 的值．解：(1) 当sin α＝35时，∵ α∈[0，π)，∴ cos α＝±45，∴ k ＝tan α＝±34. (2) 当cos α＝35时，∵ α∈[0，π)，∴ sin α＝45，∴ k ＝tan α＝43.(3) 当cos α＝－35时，∵ α∈[0，π)，∴ sin α＝45，∴ k ＝tan α＝－43.10. (xx·莱芜模拟)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1，1)、(2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围．解：(解法1)直线x ＋my ＋m ＝0恒过点A(0，－1)，k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32，则－1m ≥32或－1m ≤－2.∴ －23≤m ≤12且m≠0.又m ＝0时，直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，∴ 所求m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.(解法2)过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)，即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m＝0，整理得x ＝－7mm ＋3，由已知－1≤－7m m ＋3≤2，解得－23≤m ≤12.即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12. 11. 已知两点A(－1，2)，B(m ，3)．(1) 若直线AB 的倾斜角为3π4，试求实数m 的值；(2) 已知实数m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1) 由直线AB 的倾斜角为3π4知直线AB 的斜率为－1，∴ 3－2m ＋1＝－1，解得m ＝－2.(2) ① 当m ＝－1时，α＝π2； ② 当m≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0，3]， ∴ k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴ α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0(x≥－1)有交点，求实数k 的取值范围．解：kx ＋y －k ＝0k(x －1)＋y ＝0，直线系过定点(1，0)斜率k′＝－k ，可画图看出k ′∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞∪⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14， ∴k ∈(－∞，－34)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.(或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0k ≥14或k<－34)第2课时直线的方程1. 过两点(－1，1)和(2，7)的直线在x 轴上的截距为________．答案：－32解析：由两点式可得过已知两点的直线方程为2x －y ＋3＝0，所以此直线在x 轴上的截距为－32.2. 直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是____________．答案：x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0过点(0，－2)且斜率为2，此直线绕点(0，－2)，逆时针旋转π2所得直线的斜率为－12，故直线方程为y ＝－12x －2，即x ＋2y ＋4＝0. 3. 已知A(3，0)，B(0, 4)，P(x ，y)是直线AB 上一动点，则xy 的最大值是________．答案：3解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P(x ，y)，则x ＝3－34y ，∴ xy ＝3y －34y 2＝34(－y2＋4y)＝34[－(y －2)2＋4]≤3.4. 已知直线l 过(2，1)，(m ，3)两点，则直线l 的方程为________．答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0解析：由两点式可得过两点的直线为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.5. 如图，点A 是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象与x 轴的一个交点，点B(3，t)在函数y＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上，则直线AB 的方程为______________．答案：x －y －2＝0解析：由y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝0得A(2，0)，点B(3，t)在函数y ＝tan(π4x －π2)的图象上得t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2，解得t ＝1，所以B(3，1)，由两点式得直线的方程为y －10－1＝x －32－3，整理得x －y －2＝0.6. 已知过点(0，1)的直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan (α＋β)＝________．答案：1解析：依题意得，tan α＝2，tan β＝－13，故tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.7. (必修2P 77习题10改编)已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P(2，3)，则经过两点M(a 1，b 1)，N(a 2，b 2)的直线方程是__________．答案：2x ＋3y ＋1＝0解析：∵ 直线过点P(2，3)，∴ 2a 1＋3b 1y ＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0，∴ 点M 、N 的坐标为方程2x ＋3y ＋1＝0的解，由定义知直线2x ＋3y ＋1＝0过点M 、N ，故过两点M 、N 的直线的方程为2x ＋3y ＋1＝0.8. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12.整理，得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.9. 已知△ABC 的三个顶点为A(2，8)、B(－4，0)、C(6，0)，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程．解：AC 中点D 的坐标D(4，4)，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得y －04－0＝x ＋44＋4，即x －2y ＋4＝0.10. 如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2.由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.11. 已知直线方程为(2＋m)x ＋(1－2m)y ＋4－3m ＝0. (1) 证明：直线恒过定点M ；(2) 若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．(1) 证明：(2＋m)x ＋(1－2m)y ＋4－3m ＝0可化为(x －2y －3)m ＝－2x －y －4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，－2x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 直线必过定点M(－1，－2)．(2) 解：设直线的斜率为k(k ＜0)，则其方程为y ＋2＝k(x ＋1)，∴ |OA|＝1－2k，|OB|＝2－k ，S △AOB ＝12·|OA|·|OB|＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k (2－k)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k －2）2－k .∵ k ＜0，∴ －k ＞0，∴ S △AOB ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k －2）2－k ＝12[4＋(－4k)＋(－k)]≥4.当且仅当－4k＝－k ，即k ＝－2时取等号，∴ △AOB 的面积最小值是4，此时直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即y ＋2x ＋4＝0. 12. 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1) 求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2) 为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．(1) 证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a(x －15)，∴ 直线l 的斜率为a ，且过定点A(15，35)，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴ 直线l 恒过第一象限． (2) 解：要使直线l 不经过第二象限，则直线l 所在的区域介于AO 和AB 之间，如图，包含直线AO ，但不包含直线AB.∴ a ≥3.第3课时直线与直线的位置关系1. (xx·镇江期末)点A(1，2)关于点P(3，4)对称的点的坐标为____________．答案：(5，6)解析：由中点公式知(2×3－1，2×4－2)＝(5，6)．2. “m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的____________________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：当2m －1＝0，即m ＝12时，两直线方程为x ＝－4和3x ＋12y ＋3＝0，此时两直线不垂直．当m ＝0时，两直线方程为y ＝2和x ＝－1，此时两直线垂直．当m≠0且m≠12时，两直线方程为y ＝m 1－2m x ＋21－2m 和y ＝－3m x －3m ，两直线的斜率为m 1－2m ，－3m ，要使两直线垂直，则有m 1－2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m ＝－1，解得m ＝－1，所以直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直，则有m ＝－1或m ＝0，所以m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．3. (xx·武汉调研)已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为____________．答案：10解析：由两直线垂直，得－1a·2＝－1，解得a ＝2.所以中点P 的坐标为(0，5)．则OP＝5，在直角三角形中斜边的长度AB ＝2OP ＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10.4. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________．答案：(0，2) 解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．5. 直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5，1)，则l 的方程是________________．答案：x ＋3y －8＝0解析：设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0，解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.6. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案：[0，10]解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a∈[0，10]．7. 若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________．答案：4解析：设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2.又(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.8. 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1) l 1与l 2相交； (2) l 1⊥l 2； (3) l 1∥l 2；(4) l 1、l 2重合．解：(1) 由已知1×3≠m(m－2)，即m 2－2m －3≠0，解得m≠－1且m≠3，故当m≠－1且m≠3时，l 1与l 2相交．(2) 当1·(m－2)＋m·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3) 当1×3＝m(m －2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4) 当1×3＝m(m －2)且1×2m＝6×(m－2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．9. 过点A(3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC|＝2|AB|，求直线l 的方程．解：当k 不存在时B(3，0)，C(3，6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1， |BC|≠2|AB|.所以直线l 的斜率存在．所以设直线l 的方程为y ＋1＝k(x －3)．令y ＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＋1＝k （x －3），得C 点横坐标x C ＝1＋3k k －2.若|BC|＝2|AB|，则|x B －x C |＝2|x A －x B |.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3k k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k . 所以1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k，解得k ＝－32或k ＝14.所以所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 10. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35.④(1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x 、y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 11. 过点P(1，2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长AB ＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵ AB ＝2，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为7x －y －5＝0或x ＋7y －15＝0.12. 两条平行直线分别过点P(－2，－2)、Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行．(1) 求d 的变化范围；(2) 用d 表示这两条直线的斜率；(3) 当d 取最大值时，求两条直线的方程．解：(1) (解法1)设过点P(－2，－2)的直线l 1的方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q(1，3)的直线l 2的方程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 在直线上，得－2A －2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0，两式相减得C 1－C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|3A ＋5B|A 2＋B2，即(d 2－9)A 2－30AB ＋(d 2－25)B 2＝0.(*)① 当B≠0时，两直线斜率存在，有(d 2－9)⎝ ⎛⎭⎪⎫A B 2－30⎝ ⎛⎭⎪⎫A B ＋d 2－25＝0.由d>0及Δ≥0，得(－30)2－4(d 2－9)(d 2－25)≥0，从而0<d≤34；② 当B ＝0时，两直线分别为x ＝－2与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论．综上所述，d 的取值范围是(0，34]． (解法2)两平行直线在旋转过程中，0<d ≤PQ ，而PQ ＝34，故d 的取值范围是(0，34]．(2) 当B≠0时，两直线的斜率存在，从方程(*)中解得A B ＝15±d 34－d2d 2－9，直线的斜率k ＝－A B ＝－15±d 34－d2d 2－9. (3) 当d ＝34时，k ＝－A B ＝－35，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y －18＝0.第4课时圆的方程1. 已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是__________________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13解析：由题意可知一条直径的两个端点分别为(4，0)和(0，－6)，则直径长为42＋62＝213，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.2. (xx·银川模拟改)圆心在y 轴上且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是__________．答案：x 2＋y 2－10x ＝0解析：设圆心为(0，b)，半径为r ，则r ＝|b|，∴ 圆的方程为x 2＋(y －b)2＝b 2，∵ 点(3，1)在圆上，∴ 9＋(1－b)2＝b 2，解得b ＝5，∴ 圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.3. 已知点A 是Rt△ABC 的直角顶点，且A(a ，2)，B(－4，a)，C(a ＋1，1)，则△ABC 的外接圆的方程是____________．答案：(x ＋2)2＋y 2＝5解析：k AB ＝a －2－4－a ，k AC ＝－1.∵ AB ⊥AC ，∴ k AB ·k AC ＝a －2－4－a·(－1)＝－1，解得a＝－1.∴ △ABC 的外接圆是以B(－4，－1)，C(0，1)为直径的圆，∴ 所求圆的方程是(x＋2)2＋y 2＝5.4. 若圆的方程为x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________．答案：(0，2)解析：圆的方程为x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －2)2＝4－3k 24，∵ r 2＝4－3k 24≤4，∴ k ＝0时r 最大．此时圆心为(0，2)．5. (xx·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为__________．答案：6解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，∴ m ＝6. 6. (xx·湘潭二模改)过点M(1，2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__________．答案：x －2y ＋3＝0解析：若∠ACB 最小，则CM⊥l，可知C(2，0)，∴ k CM ＝2－01－2＝－2，∴ 直线l 的斜率为k ＝12，∴ 直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.7. 已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为__________．答案：112解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴ △ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案：10 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD ＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC ＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积为12AC ×BD ＝12×210×25＝10 2.9. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1) 求直线CD 的方程； (2) 求圆P 的方程．解：(1) 直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2) 设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① ∵ 直径CD ＝410，∴ PA ＝210，∴ (a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. ∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴ 圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10. (xx·连云港调研)已知圆C 过点P(1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r>0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1) 求圆C 的方程；(2) 设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解：(1) 设圆心C(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2) 设Q(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.∵ P 在圆C 上，故令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴ PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， ∴ PQ →·MQ →的最小值为－4.11. 已知圆C 通过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1. (1) 试求圆C 的方程；(2) 过原点O 作两条互相垂直的直线l 1、l 2，且l 1交圆C 于E 、F 两点，l 2交圆C 于G 、H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值．解：(1) 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，且PC 的斜率为－1，所以－E 2－0－D 2－m ＝－1.①因为圆C 通过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，②4＋2D ＋F ＝0，③m 2＋Dm ＋F ＝0.④联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.(2) 圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，圆心到l 1、l 2的距离设为d 1、d 2，则d 21＋d 22＝OC 2＝132，又⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＋d 21＝252，⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22＋d 22＝252，两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF·GH.所以S ＝12EF ·GH ≤372，即(S 四边形EGFH)max ＝372.第5课时直线与圆的位置关系1. (xx·丽水模拟)直线y ＝x ＋1被圆x 2－2x ＋y 2－3＝0所截得的弦长为____________．答案：2 2解析：题中的圆心坐标是(1，0)，半径是2，圆心(1，0)到直线x －y ＋1＝0的距离等于2，因此所求的弦长等于222－（2）2＝2 2.2. (必修2P 106练习3(2)改编)过坐标原点且与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________.答案：y ＝－3x 或y ＝13x解析：过坐标原点的直线为y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切，则圆心(2，－1)到直线的距离等于半径102，即|2k ＋1|1＋k2＝102，解得k ＝13或k ＝－3，所以切线方程为y ＝－3x 或y ＝13x.3. 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是____________．答案：相交解析：由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交．4. 过点(－4，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB|＝8，则直线l 的方程为__________．答案：5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1，2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴ k ＝－512.此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.5. 若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为23，则公共弦所在直线的方程为________．答案：y ＝1解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y ＝1a ，画图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋(3)2＝22，解得a＝1.故公共弦所在直线的方程为y ＝1.6. (xx·南通一模)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程为______________．答案：y ＝－3(x －1)＋1解析：由题意知直线HB 的方程为y ＝x －1，代入圆的方程，得x 2＋(x －1)2＝2，解得x＝3＋12，从而得B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12，从而k AB ＝1－3－121－3＋12＝－3，从而直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)＋1.7. (xx·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(3，0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A 、B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为__________．答案：[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]解析：圆C 的方程为(x －m)2＋(y －2)2＝32.圆心C(m ，2)，半径r ＝32＝4 2.S △ABC ＝12r 2sin ∠ACB ＝16sin ∠ACB ≤16，故当sin ∠ACB ＝1，即∠ACB＝90°时，S △ABC 取得最大值．即当△ACB 为等腰直角三角形时，面积取到最大值．故此时圆心到动直线的距离d ＝r×22＝4，从而d≤PC＜r ，即16≤(m－3)2＋4＜32，解得m∈[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]．8. (xx·南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．答案：(x －1)2＋y 2＝1解析：∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆，∴ 可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r ＋2×32r ×32＝2，解得r ＝1，所以所求圆M的方程为(x －1)2＋y 2＝1.9. (xx·南京十二中质检)已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0. (1) 若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；(2) 若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP⊥OQ，求实数m 的值．解：(1) 圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝37－4m 4，故有37－4m 4>0，解得m<374.将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，消去y ，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 22＋x －6×3－x 2＋m ＝0，整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0.①∵ 直线l 与圆C 没有公共点，∴ 方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.∴ m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫8，374.(也可用圆心到直线的距离大于半径求解)(2) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由OP⊥OQ，得 OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.②由(1)及根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③∵ P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴ y 1y 2＝3－x 12×3－x 22＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]．将③代入上式，得y 1y 2＝m ＋125，④将③④代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝4m －275＋m ＋125＝0，解得m ＝3.代入方程①检验得Δ>0成立，∴ m ＝3.10. 已知m∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1) 求直线l 斜率的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1) 直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，此时斜率k ＝mm 2＋1.因为|m|≤12(m 2＋1)，所以|k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2) 不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12；圆C 的圆心为C(4，－2)，半径r ＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k|≤12，得d≥45>1，即d>r2.若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．11. (xx·哈尔滨模拟)已知定点M(0，2)，N(－2，0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1) 若点M 、N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2) 对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围．解：(1) ∵点M 、N 到直线l 的距离相等， ∴ l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵ M(0，2)，N(－2，0)，∴ k MN ＝1，MN 的中点坐标为C(－1，1)． ∵ 直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过点D(2，2)，∴ 当l∥MN 时，k ＝k MN ＝1，当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2) ∵ 对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴ l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得，k<－17或k>1.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－17∪(1，＋∞)．12. (xx·江阴调研)平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝4.(1) 若直线l 过点A(4，－1)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆C 1和圆C 2都相交，且l 被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k(x －4)－1，即kx －y －4k －1＝0，由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1，结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1, 化简得24k 2＋7k ＝0，所以k ＝0或k ＝－724.故直线l 的方程为 y ＝－1或y ＝－724(x －4)，即y ＝－1或7x ＋24y －28＝0.(2) 假设存在，设点P(a ，b)，l 的方程为y －b ＝k(x －a)，即kx －y ＋b －ak ＝0. 因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的圆心到直线l 的距离也相等，即|－3k ＋b －ak|1＋k 2＝|4k －4＋b －ak|1＋k2，整理得(14a －7)k 2－(8a ＋14b －32)k ＋8b －16＝0. 因为k 的个数有无数多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧14a －7＝0，8a ＋14b －32＝0，8b －16＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.第6课时椭圆(1)1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________．答案：x 216＋y 27＝1或x 27＋y216＝1解析：∵ a＝4，e ＝34，∴ c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴ 椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y216＝1.2. (xx·金陵中学模拟)椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为__________．答案：14解析：由题意，1m ＝4，所以m ＝14.3. 已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为____________．答案：6解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4. 椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________．答案：2 120°解析：∵ a 2＝9，b 2＝2，∴ c ＝a 2－b 2＝9－2＝7， ∴ |F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴ |PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－（27）22×2×4＝－12，∴ ∠F 1PF 2＝120°.5. (xx·广州模拟)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为____________．答案：－1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.6. 设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案：34解析：由题意可得PF 2＝F 1F 2，∴ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，∴ 3a ＝4c ，∴ e ＝34.7. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A 为左顶点，B 为短轴一顶点，F 为右焦点，且AB →⊥BF →，则此椭圆的离心率为__________.答案：5－12解析：∵ AB＝a 2＋b 2，BF ＝a ，AF ＝a ＋c ，又AB →⊥BF →，∴ AB 2＋BF 2＝AF 2，即2a 2＋b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ c 2＋ac －a 2＝0，∴ c a ＝5－12.所求的离心率为5－12. 8. 已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：① 椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；② a 21－a 22＝b 21－b 22；③ a 1a 2＞b 1b 2；④ a 1－a 2＜b 1－b 2.其中，所有正确的结论是________．(填序号) 答案：①②④解析：由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵ a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴ a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)·(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.9. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解：(1) 若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2) 由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3.所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.10. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C 1：x 26＋y23＝1，A 1、A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设P 为椭圆C 2上异于A 1、A 2的任意一点，过P 作PQ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H.求证：H 为△PA 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1) 解：由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)，椭圆C 1的离心率e ＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，则b ＝ 6.因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3.所以椭圆C 2的方程为y 212＋x26＝1.(2) 证明：设P(x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1，得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204，即y ＝±y 02.因为P 、H 在x 轴的同侧，所以取y ＝y 02，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.所以kA 2P ·kA 1H ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 202（x 20－6）＝－1，从而A 2P ⊥A 1H.又PH⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心．11. (xx·新课标全国Ⅱ)设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1) 若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2) 若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a 、b.解：(1) 根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 22ac ＝34，即2b 2＝3ac.将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2) 由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a.①由|MN|＝5|F 1N|得|DF 1|＝2|F 1N|.设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.第7课时椭圆(2)1. 已知椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，则椭圆离心率为______________．答案：22解析：设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，则椭圆的两条准线间的距离为2a2c ，依题意2a 2c ＝4c ，即a 2＝2c 2，∴ e ＝c a ＝22. 2. 设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率e ＝____________．答案：45解析：由a ＋b ＝2c, a 2－b 2＝c 2,两式相除得a －b ＝12c, 与a ＋b ＝2c 相加得2a ＝52c ，从而e ＝c a ＝45.3. (xx·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝____________．答案：3解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴ 2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴ S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴ b ＝3.4. (xx·海门中学检测)已知半椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(y≥0，a>b>0)和半圆x 2＋y 2＝b 2(y≤0)组成的曲线C 如图所示．曲线C 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点G 、H ，点M 是半圆上异于A 、B的任意一点，当点M 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫63，－33时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程为______________．答案：y 22＋x 2＝1(y≥0)解析：由点⎝⎛⎭⎪⎫63，－33在半圆上，所以b ＝1，而当点M 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫63，－33时，△AGM的面积最大可知，OM ⊥AG ，即k OM ·k AG ＝－1，a ＝2，所以半椭圆的方程为y 22＋x 2＝1()y≥0.5. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为________．答案：263解析：由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x|＝263，即点M 到y 轴的距离为263.6. 已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e.若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．答案：[2－1，1)解析：∵ PF 1PF 2＝e ，∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e.又a －c≤PF 1≤a ＋c ，∴ a－c≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，即a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，亦即1－e≤2e 1＋e ≤1＋e ，解得e≥2－1.又0＜e ＜1，∴ 2－1≤e<1.7. (xx·潍坊模拟)已知椭圆：x 24＋y2b2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是__________．答案： 3解析：由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB|＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B(－c ，－32)，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3.8. 以O 为中心，F 1、F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为________．答案：63解析：不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0，并设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t ，根据勾股定理可知，|MF 1→|2－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.9. 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1) 由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x24＝1(a>2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2) A 、B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.10. (xx·淮阴中学调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，且过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且BD →＝2DA →，求直线AB 的方程．解：(1) ∵ e＝c a ＝12，∴ a ＝2c.∴ b 2＝a 2－c 2＝3c 2.设椭圆方程为x 24c 2＋y23c2＝1，∵ 椭圆过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴ 14c 2＋34c 2＝1， ∴ c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2) 设B(x 0，y 0)，D(0，m)，则BD →＝(－x 0，m －y 0)，DA →＝(1，32－m)．∵ BD →＝2DA →，∴ －x 0＝2，m －y 0＝3－2m ，即x 0＝－2，y 0＝3m －3，代入椭圆方程得m ＝1，∴ D(0，1)．∴ l AB ：y ＝12x ＋1.11. 椭圆C 的右焦点为F ，右准线为l ，离心率为32，点A 在椭圆上，以F 为圆心，FA 为半径的圆与l 的两个公共点是B 、D.(1) 若△FBD 是边长为2的等边三角形，求圆的方程；(2) 若A 、F 、B 三点在同一条直线m 上，且原点到直线m 的距离为2，求椭圆方程．解：设椭圆的半长轴是a ，半短轴是b ，半焦距是c ，由椭圆C 的离心率为32，可得椭圆C 的方程是x 24b 2＋y2b2＝1,焦点F(3b ，0)，准线x ＝4b3，设点A(x 0，y 0), (1) △FBD 是边长为2的等边三角形，则圆半径为2，且F 到直线l 的距离是3，又F 到直线l 的距离是FM ＝a 2c －c ＝b 2c ＝b3，所以b 3＝3，b ＝3, 所以c ＝3 3.所以圆的方程是(x －33)2＋y 2＝4.(2) 因为A 、F 、B 三点共线，且F 是圆心，所以F 是线段AB 中点，由B 点横坐标是4b 3，得x 0＝2c －a 2c ＝23b －433b ＝233b ，再由x 204b 2＋y 20b 2＝1得y 20＝b 2－x 204＝23b 2，y 0＝63b,所以直线m 斜率k ＝y 0x 0－c ＝63b －3b3＝－2，直线m ：y ＝－2(x －c)，2x ＋y －2c ＝0，原点O 到直线m 的距离d ＝2c3，依题意2c 3＝2，c ＝6，所以b ＝2，所以椭圆的方程是x 28＋y22＝1.第8课时双曲线1. 双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于____________________．答案：52解析：由已知及双曲线的概念知，a ＝2，b ＝1，故c ＝22＋12＝5，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝52.2. 设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．答案：x 2－y 2＝1解析：由题意设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b>0)，∵ 1＋b 2＝(2)2，∴ b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.3. (xx·南京期初)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为________.答案：2解析：由题意，得b a ＝3，∴ e ＝c a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝2.4. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为________________．答案：x 2－y 2＝2解析：设双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，一个焦点(2a ，0)到一条渐近线x －y ＝0的距离为2，|2a|2＝2，即a ＝ 2.故所求双曲线方程为x 2－y 2＝2.5. (xx·天津调研改)已知双曲线C 的右焦点为(5，0)，且双曲线C 与双曲线C′：x24－y216＝1有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为__________．答案：x 2－y 24＝1解析：∵ 双曲线C 与双曲线x 24－y 216＝1有相同的渐近线，∴ 设双曲线C 的方程为x 24－y216＝λ(λ≠0)．则双曲线C ：x 24λ－y216λ＝1，又双曲线C 的右焦点为(5，0)，∴ c ＝5，则4λ＋16λ＝5，∴ λ＝14.故所求双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.6. (xx·江西卷改)过双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为____________．答案：x 24－y212＝1解析：由直线方程x ＝a 和渐近线方程y ＝bax 联立解得A(a ，b)．由以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O 可得c ＝4，即右焦点F(4，0)．由该圆过A 点可得|FA|2＝(4－a)2＋b 2＝a 2＋b 2－8a ＋16＝c 2－8a ＋16＝c 2，所以8a ＝16，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y212＝1.7. (xx·黄冈一模改编)我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图，给出以下几个说法：① 双曲线x 2－2y 25＋1＝1是黄金双曲线；② 若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③ 若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④ 若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是____________．(填序号)。