微积分及答案
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
微积分试题及答案
微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。
因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。
接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。
将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。
答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。
解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。
首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。
根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。
3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。
解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。
首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。
解析：首先，我们需要找到函数的极值点。
极值点对应于函数的导数为零的点。
对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。
所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。
接下来，我们需要找到函数的拐点。
拐点对应于函数的二阶导数为零的点。
对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。
令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。
综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。
第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。
解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。
对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。
根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。
将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。
所以切线的斜率 m = 1。
切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。
由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。
将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。
综上所述，切线方程为 y = x + 1。
第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分试题及答案
微积分试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0B. 2C. 4D. 8答案：C2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x dx \) 的值是：A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案：B二、填空题1. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) \) 等于__________。
答案：\( 9x^2 - 4x + 1 \)2. 曲线 \( y = x^3 \) 与直线 \( y = 6x \) 相切的点的横坐标是__________。
答案：2三、简答题1. 请说明如何求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数。
答案：函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数可以通过对数函数的导数公式求得，即 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
2. 计算定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \)。
答案：首先找到 \( e^x \) 的原函数，即 \( e^x \) 本身。
然后根据定积分的计算法则，代入上下限得到 \( e^e - e \)。
四、计算题1. 求曲线 \( y = x^2 + 3x - 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线斜率及切点坐标。
答案：首先求导得到 \( y' = 2x + 3 \)。
将 \( x = -1 \) 代入得到切线斜率 \( m = 1 \)。
切点坐标为 \( (-1, 0) \)。
2. 计算由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 4x \) 及 \( x \) 轴所围成的平面图形的面积。
答案：首先求出两曲线的交点，然后计算定积分 \( \int_{0}^{2} (4x - x^2) dx \)，结果为 \( \frac{16}{3} \)。
五、证明题1. 证明 \( \frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^5] = 10x(x^2 + 1)^4 \)。
高考数学微积分练习题及答案
高考数学微积分练习题及答案1. 题目：求函数f(x)=x^2+2x+1的导函数f'(x)。
解析：首先，根据导函数的定义，我们需要对函数f(x)进行求导。
根据求导法则，对于幂函数f(x)=x^n (n为常数)，其导函数为f'(x)=n*x^(n-1)。
因此，将函数f(x)=x^2+2x+1进行求导，得到f'(x)=2x+2。
答案：f'(x)=2x+2。
2. 题目：计算函数g(x)=∫(0 to x) (2t+1) dt。
解析：根据积分的定义，我们需要对被积函数进行积分，并将积分上限减去积分下限。
对于多项式函数的积分，我们可以按照常规的积分法则进行计算。
首先，对被积函数2t+1进行积分，得到∫(2t+1) dt = t^2 + t。
然后，将积分上限x代入积分结果，得到g(x) = x^2 + x - (0^2 + 0) = x^2 + x。
答案：g(x) = x^2 + x。
3. 题目：对函数h(x)=sin(x)进行求导。
解析：根据导函数的定义，我们需要对函数h(x)=sin(x)进行求导。
根据求导法则，对于三角函数sin(x)，其导函数为cos(x)。
因此，函数h(x)=sin(x)的导函数为h'(x)=cos(x)。
答案：h'(x)=cos(x)。
4. 题目：求函数f(x)=e^x的不定积分。
解析：函数f(x)=e^x是指数函数，其不定积分可以根据指数函数积分的常规法则进行计算。
根据指数函数积分的法则，不定积分∫e^x dx = e^x。
答案：∫e^x dx = e^x。
5. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=2x，且f(0)=1，求f(x)的表达式。
解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=2x积分得到函数f(x)。
根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。
由已知条件f(0)=1，将x=0代入函数表达式得到1=0^2 + C，解得C=1。
《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。
利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。
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微积分试题及答案
微积分试题及答案一、选择题(每题2分)1、设??x?定义域为（1,2），则??lgx?的定义域为（）a、（0,lg2）b、（0，lg2?c、（10,100）d、（1,2）x2?x2、x=-1就是函数??x?=的（）x?x2?1?a、跳跃间断点3、试求lima、?4、若b、可以回去间断点c、无穷间断点d、不是间断点2?x?4等于（）x?0x1b、0c、1d、?4yx??1，谋y?等同于（）xya、2x?yy?2x2y?xx?2yb、c、d、2x?y2y?x2y?x2x?y2x的渐近线条数为（）21?x5、曲线y?a、0b、1c、2d、36、以下函数中，那个不是态射（）a、y?x(x?r,y?r)b、y??x?12c、y?xd、y?lnx(x?0)2??22二、填空题（每题2分）1、y=11?x2fx)?mil、设（的反函数为__________2、(n?)1x，则()fx的间断点为__________x??nx2?1x2?bx?a?5，则此函数的最大值为__________3、已知常数a、b,limx?11?x4、已知直线y?6x?k是y?3x的切线，则k?__________5、求曲线xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________三、判断题（每题2分）2x2就是存有界函数()2、存有界函数就是发散数列的充份不必要条件()1、函数y?1?x23、若lim，就说道?就是比?低阶的无穷小()4可微函数的极值点未必就是它的驻点()?5、曲线上凹陷弧与凸弧的分界点称作拐点()sin1x四、计算题（每题6分）1、求函数y?x1的导数2、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy23、未知x2?2xy?y3?6，确认y就是x的函数，谋y?4、谋limtanx?sinx2x?0xsinxdxx2(cosx)5、排序?6、排序lim?3x?0（1?x)x五、应用题1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为r（x)?100x?x2，总成本函数为c(x)?200?50x?x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数y?x?211的图形（12分）x1x六、证明题（每题6分）f()?a1、用音速的定义证明：设limf(x)?a,则lim?xx?02、证明方程xex?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数一、选择题1、c2、c3、a4、b5、d6、b二、填空题1、x?02、a?6,b??73、184、35、x?y?2?0三、判断题1、√2、×3、√4、×5、×四、计算题1、y??（x?（esin1x)?)?1sinlnxx1111ecos(?2)lnx?sin??xxxx??1sin1111x?x(?2coslnx?sin)xxxx1sinlnxx2、dy?f?(x)dx112x?(arctanx?x?)dx221?x21?x?arctanxdx3、求解：2x?2y?2xy??3y2y??02x?3y?y??22x?3yy4、解：2)2(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)(2x?3yx2?当x?0时，x?tanx?sinx,1?cosx?212xxtanx(1?cosx)12?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx25、解：令t=6x,x?t6dx?6t5原式??（1?t2)t3t2?6?1?t2t2?1?1?6?1?t21?6?(1?)21?t?6t?6arctant?c?66x?6arctan6、求解：6x?c1原式?lime?x?0x2lncosx?ex?0?lim1x2lncosx其中：1lncosx2x?0xlncosx?lim2x?0?x1(?sinx)cosx?limx?0?2x?tanx1?lim??x?0?2x2lim??原式?e五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为l(x)12l(x)r(x)c(x)ax100xx2(20050xx2)ax2x2(50a)x200l(x)4x50 a50?a令l?(x)?0,得x?,此时l(x)获得最大值4a(50?a)税收t=ax?41t??(50?2a)41令t??0得a?25t02?当a?25时，t取得最大值2、解：d，00,间断点为x?0y??2x?1x2132令y??0则x?y2?2x3令y0则x??1xy?(??,?1)?1(?1,0)0?1??0,3?213201(3,??)2?y??y渐进线：k0拐点?k无定义?k?极值点?jlimyy无水平渐近线x??x?0limy?0?x?0就是y的圆外渐近线yx?1lim?2y无斜渐近线x??xx3图象六、证明题1、证明：limf(x)ax0,m0当x?m时，存有f(x)?a??111?0，则当0?x?时，存有?mmmx1?f()?a??x1即limf()?ax??x挑?=2、证明：。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
微积分试题及答案
一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→等于（）A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x=-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )四、计算题（每题6分）1、1sin xy x=求函数 的导数 2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算 6、210lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21y x x=+的图形（12分） 六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x x xdx='=+-++=3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x x xx x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxxx x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式 五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x a aL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则y '' +0 -+++y↘拐点↘无定义↘极值点↗渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M xf A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即2、证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。
微积分习题及答案
微积分习题及答案微积分习题及答案微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。
它是现代科学和工程领域中不可或缺的工具。
在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。
下面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。
一、极限习题1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。
2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。
这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。
二、导数习题1. 求函数f(x) = x^2的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。
所以函数f(x) = x^2的导数为2x。
2. 求函数f(x) = e^x的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。
所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。
三、积分习题1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。
解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C为常数。
2. 求∫(sinx + cosx)dx。
解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。
四、微分方程习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。
解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。
通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。
同时，通过解决实际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。
微积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。
(完整版)《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 .5、=-∞→x e x x arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a .12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=.14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~.3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
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任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：《微积分及其应用》考试题（一）开卷( ) 闭卷(√) 适用专业：经管类专业学号： 姓名： 班级：本试题共四大题25小题，共4页，满分100分。
考试时间120分钟注：1、答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废 2、试卷若有雷同以零分计一、 填空题，每题2分，共20分。
1、函数22()x f x x x=-，当()x =时为可去间断点，当()x =时为不可去间断点2、 0sin lim()x x xx→+=3、设⎩⎨⎧==tb y t a x cos sin , 则()dydx =4、22sin cos ()1sin x xdx x=+⎰5、2sin ()aax xdx -=⎰6、2()()()df x f x =⎰7、幂级数∑∞=1n nn x 的收敛半径为 ( ) 收敛区间为( )8、x-11展开成x 的幂级数为( ) 9、⎰-11dx ⎰-210),(x dy y x f 交换积分次序后是（ ）10、方程'''y y =的通解是（ ）二、单项选择题，每题4分，共20分。
1、下列命题，正确的是（ ）A ． 若00lim ()()x x f x f x →=，则0'()f x 存在.B ． 若0'()0f x =，则0x 是极值点.C ． 若yzx z ∂∂∂∂,存在，则(,)z f x y =可微. D ． 若()f x 是[,]a a -上的连续奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(.2、当0x →时，)(21,1122x x x x +=-++=βα的关系是（ ） A ．α是与β等价的无穷小量. B. α是与β同阶但不等价的无穷小量. C ．α是比β高阶的无穷小量. D. α是比β低阶的无穷小量.3、2221233x y z --=是旋转曲面，旋转轴为（ ） A ．X 轴. B ． Y 轴或Z 轴. C ． 直线z y x ==. D ． 直线⎩⎨⎧==0z y x .4、 33y x x =-上（ ）点处的切线平行于X 轴 A ． (0,0). B ． (1,2)-. C ． (1,2). D ． (1,0). 5、若xye z =，则=dz （ ）A ． dx e xy. B ． )(xdy ydx e xy+. C ．xdy ydx +. D ． xy e y x )(+.三、解答题，每题6分，共48分。
1、若21lim11x x ax bx →++=-，求b a ,任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：2、求59323+--=x x x y 的极值3、求⎰++dx x x )1ln(24、3x y =与X 轴 ，1x = 所围成的区域为D ，求D 绕X 轴旋转一周所得旋转体的体积5、计算00(2)lim1cos xt t x e e dt x-→+--⎰6、),(22xy y x f z +=，且f 可微，求dz7、计算⎰⎰11sin x dy yydx8、 求微分方程082'"=-+y y y 的通解四、证明题，每题6分，共12分。
1、若0>x ，则x x xx<+<+)1ln(1 2、若22ln y x z +=，则1=∂∂+∂∂yz y x z x任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：《微积分及其应用》试题B 参考答案一、 填空题：每空2分，共20分 1、0，1； 2、 2 ； 3、t abtan -； 4、 sin arctan(sin )x x c -+； 5、 0； 6、c x f +-)(1； 7、1,[1,1)-; 8、∑∞=0n nx； 9、⎰⎰---22111),(y y dx y x f dy; 10、x e c c 21+ ；二、选择题：每题4分，共20分1、D ；2、 A ；3、 A ；4、 B ；5、B ； 三、计算题： （每题6分共48分）1、解：Q 21lim11x x ax bx →++=- ∴ 21lim 0x x ax b →++=(1)a b ∴=-+))(1(2b x x b ax x --=++Θ∴ 1lim()1x x b →-=∴ 0,1b a ==-2、解：)3)(1(3963'2-+=--=x x x x y Θ12)3('',12)1(''66''=-=--=y y x y1022-函数的极大值为函数的极小值为3、解：⎰++dx x x )1ln(2ln(x x =+-⎰ln(x x c =４、解：Ｖ＝⎰=167ππdx x …….６分5、解： 0lim→x xdt e e xt t cos 1)2(0--+⎰- =0lim →x xe e x x sin 2-+-=0lim →x xe e xx cos --=0 ６、解：Θ),(),(2222221xy y x yf xy y x xf xz+++=∂∂=∂∂yz),(),(2222221xy y x xf xy y x yf +++ =dz )()(221xdy ydx f ydy xdx f +++7、解：原式=⎰⎰⎰=y ydy dx y ydy 0110sin sin1cos 1cos 10-=-=x8、解: 0822=-+λλ 4,221-==λλx xe c ec y 4221-+=四、 证明题（每题6分，共12分）证：1、设)1ln()(x x f +=则 )(x f 在[0,x]上连续,在 （0, x ）内可导;由拉格朗日中值定理知:至少存在一个),0(x ∈ξ 使 ξ+=-+11ln )1ln(xx ； ln(1)1xx x x<+<+任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：证：2、)ln(2122y x z +=Θ 2222y x y y z y x x x z+=∂∂+=∂∂ 22221z z x y x y x y x y ∂∂+∴+==∂∂+《微积分及其应用》试题（二）开卷( ) 闭卷(√) 适用专业：经管类专业07级学号 姓名 专业 班级本试题共四大题25小题，共4页，满分100分。
考试时间120分钟注：1 2、试卷若有雷同以零分计一.填空（每空2分，共20分）1、设12)3(+=x x f ，则)(x f = ;2、 =+→x x x 3arcsin )21ln(0lim ;3、若,sin 2x y =则)(2x d dy= ; 4、⎰+dx xxx 22sin 1cos sin =5、523123+-=x x y 在[-2，2]上的最大值和最小值分别为 和 ； 6、函数x y tan =的二阶麦克劳林展式7、数项级数∑∞=1n nu收敛的必要条件是8、x+11展开成x 的幂级数为 ； 9、04=-''y y 的通解为 ；10、二次积分⎰⎰-ydx y x f dy101),(交换积分次序为 ；任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：二 选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法中,正确的是( ) A 、0lim 0=∆→∆y x )('x f ⇒存在;B 、xy x ∆∆→∆0lim 存在⇒0lim 0=∆→∆y xC 、若曲线)(x f y =在0x x =处有切线,则)(0'x f 存在.D 、若xyx y x x ∆∆∆∆-+→∆→∆00lim ,lim 均存在,则)('x f 存在.2曲线3)1(-=x y 的拐点是( )A （-1，8）B （1，0）C （0，-1）D （0，1） 3.)ln(),(22y x y x f +=则 )(),(),(''=+y x f y x f y x :222222224.2.4.4.y x x D y x y x C y x y B y x yx A ++++++, 4．当0→x 时，xx tan sin -是x 的( )无穷小:A .同阶B .等价C 低阶 .D .高阶 5．=⇒=)(cos )(sin '22x f x x f （ ）A. c x x +-221B. c x x +-4212sin sin C ．c x x +-221sin sin D. c x x +-42126．设te y t e x tt sin cos ==,则)(=dxdyA ．)tan(4π+t B. t 2cos C. t cot - D. t t 2tan 2sec + 7.方程03=-ydy dx x 的通解为（ ）A . c y x =-2424B . c x y =-2424 C .x y = D . c x y +=38.级数∑∞=--113)1(n nn 是（ ） A 正项级数 B 等比级数 C 条件收敛 D 绝对收敛 9. 设函数,12)(32xx xx f -=则=)1('f ( )。
A 、21-B 、67C 、67- D 、61.10设),(y x z z =是由方程y z x ln=确定的隐函数,则=∂∂xz( )。
A 1. B xe . C xye . D y . 三 计算题 （每题8分共40分）1．xx dt x t x xx sin sin )(lim⎰-→2．dx e x x 211--⎰3．求由曲线2x y =与x y =2围成的图形的面积以及绕Y 轴旋转而成的立体体积。
4. ).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：5.计算dxdy y x y x ⎰⎰≤+--122224四 证明题（每题5分共10分） 1. 证明：当0>x 时，)1ln(x x +>2. 证明 dx x f e e dx x f e dy xy y)()()(112⎰⎰⎰-=《微积分及其应用》考试题（三）开卷( ) 闭卷(√) 适用专业：经管类专业06级学号： 姓名： 班级：本试题共四大题26小题，共4页，满分100分。
考试时间120分钟注：1 2、试卷若有雷同以零分计一．填空（每题2分，共24分）1：当→x 0x 时，)(lim 0x f x x →存在的充要条件是2：函数3423)(22+-+-=x x x x x f 的间断点是 ，连续区间是3：设x ex f x5cos )(2-=，则[]')0(f =4：)(x f 的一个原函数是2x ，则⎰dx x f )('=5：当→x 时，112--=x x y 是无穷小量。
6：y x y 23'=的通解是 7：⎰xdx dxdln = 8：幂级数∑∞=1!n nxn 的收敛半径为 收敛区间为 ;9：211x +展开成x 的幂级数为 10：⎰-51dx =任课教师： 邓阳春 石立新 系主任：二．选择题：（每题3分，共24分） 1：若2sin 22lim0=+→xxa x ，则=a （ ）A. 0.B. 2,C. 1,D. -1 2：设)(x f 为可微函数，则)cos 2(x df =（ ） A. dx x xf )cos 2('sin 2, B. -dx x xf )cos 2('sin 2C. dx x f )(cos '2,D. -dx x f )(cos '23：下列凑微分正确的是（ ）A ．x d dx x=1， B 。