【山东省新人教B版数学(文科)2012届高三单元测试10：必修4第二章《平面向量》

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高中数学第二章《平面向量》测试题B卷新人教A版必修4(1)

高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →2．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝ ( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( )A ．(a ·b )c ＝a (b ·c )B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝bC ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0D ．|a ·b |≤|a |·|b |4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝ ( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－18．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－31529．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于 ( )A ．2 B. 3 C. 2D ．110．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．14．正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1) (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．16.（本题满分12分）设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值． 17.（本题满分12分）已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．18.（本题满分12分）已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19.（本题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．20.（本题满分14分）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)．(1)求△ABC 的面积；(2)若四边形的ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标．高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷参考答案一、选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →＝MB →－MA →＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．3. 【答案】D.【解析】对于A ：向量的数量积不满足结合律；对于B ：向量的数量积不满足消去律；对于C ：只要a 与b 垂直时就有a ·b ＝0；对于D ：由数量积定义有|a ·b |＝||a ||b |cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，等号成立． 4. 【答案】C.【解析】 a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误． 5. 【答案】 D【解析】 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n＝1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.9. 【答案】A.【解析】如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12， ∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－12， ∴cos∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.10. 【答案】D.【解析】依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ>1，AD →＝μAB →时，μ>1，此时1λ＋1μ<2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．二、填空题11.【答案】A ，B ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →. 12.【答案】－1【解析】 (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0， ∴k ＝－1. 13.【答案】 12【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.14. 【答案】－2【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、解答题15. 解： (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.16. 解：以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.17. 解： (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cosθ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 18. 解： (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k、t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19. 解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴co s α＋sin α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3323＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6即为所求的角.20. 解：如图，(1)作BC 边上的高为AE ，设E (x ，y )，∴AE →＝(x ，y ＋4)，BE →＝(x －4，y )，BC →＝(－10,2)，由AE →⊥BC →，则－10x ＋2(y ＋4)＝0①由于BE →与BC →共线，则2(x －4)＋10y ＝0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213y ＝813，因此S △ABC ＝12|BC →|·|AE →|＝12·104·122＋602132＝26×122613＝24. (2)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y ＋4)，BC →＝(－10,2)，由题意可知AD →＝BC →，∴(x ，y ＋4)＝(－10,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝－2，所以，所求点D 的坐标为(－10，－2)．。

人教版B版高中数学必修4平面向量基本定理

分析：显然a、b不共线，故可设 O→M ＝ma＋nb，由A、 M、D三点共线及B、M、C三点共线利用向量共线条件求解．
解析：设O→M＝ma＋nb (m，n∈R)，则A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12b－a 因为A、M、D三点共线，所以m－－11＝n1，即m＋2n＝1
变动，
1λ ＋
3 μ
＝7总成立．试问他的这个结论对吗？请说明理
由．
解析：(1)解法1：设O→M＝ma＋nb，则A→M＝O→M－O→A＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12O→B－O→A＝－a＋12b. ∵A、M、D三点共线，∴A→M与A→D共线．故存在实数t，使得A→M＝tA→D，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋12b)，
(理)如图所示，在▱ABCD中，已知
A→E
＝
1 3
B→C
，AC与BE
相交于点F，A→F＝λA→C，则λ＝________. 解析：设B→A＝a，B→C＝b.则B→E＝B→A＋A→E＝a＋13b.而A→C
＝b－a，
所以A→F＝λA→C＝λ(b－a)．
故B→F＝B→A＋A→F＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb.
答案：D
[例2] (2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m
＝________.
解析：a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，
∵(a＋b)∥c，∴－11＝m－2 1，
∴m＝－1.
答案：－1
点评：通过客观题考查向量的线性运算及平行垂直的坐标表示是高考命题的主要方式之一，复习这一部分内容，选题不宜过难，但要有一定的综合性，涉及多个知识点且入手较易的题是理想的选择．

山东省高中数学《第二章平面向量》单元测试新人教A

第二章平面向量（复习）1、理解和掌握平面向量有关的概念；熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；（预习教材P116—P121）二、新课导学※复习1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等向量；（4）相反向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）向量的夹角；（9）向量的坐标。

2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。

3、几个重要的结论：设11a (x ,y )=r ，22b (x ,y )=r，λ为一实数。

（1）+v v a b =________；-v v a b =__________ ；λv a =__________；a b ⋅r r = .（2）设a=(x,y),v 则2a =v _____________或a v _______________；（3）设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________；（4）a b ⊥r r ⇔a b 0⋅=r r ⇔ ；（5）a //⇔存在0λ≠，使得a b =λr r ⇔※ 典型例题例1、设1e u r 、2e u u r 是两个不共线的向量，已知AB =u u u r 122e ke +u r u u r ，123CB e e =+u u u r u r u u r ，122CD e e =-u u u r u r u u r ，若,,A B D 三点共线，求k 的值.例2、已知向量()()4,3,1,2a b ==-r r ，求⑴求a r 与br 的夹角θ；⑵若向量a b λ-r r 与2a b +r r 垂直，求λ的值.例3、向量a (1,1)=-r ，且a r 与a 2b +r r 方向相同，求a b ⋅r r 的取值范围。

）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则a b c ++r r r 为多少？2、若12,e e u r u u r 是夹角为60o 的两个单位向量，则122a e e =+r u r u u r ；1232b e e =-+r u r u u r的夹角为多少？3、已知向量()2,2a =-r ，()5,b k =r ，若a b +r r 不超过5，则k 的取值范围是多少？1. 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则b 在a 方向上的投影为________．2. 已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．3.已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61，求与的夹角θ.。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-平面与平面平行

课时练习(十八) 平面与平面平行(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3B[把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B．]2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥βD[A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l，m的平行线l′，m′，则l′，m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.]3．下列说法中，错误的是()A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行C[分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面．]4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是()A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥bB．a∥b，b∥α，a⊄α⇒a∥αC ．α∥β，β∥γ⇒α∥γD ．α∥β，a ∥α⇒a ∥βD [当α∥β且a ∥α时，可能有a ⊂β，也可能有a ∥β，因此选项D 中的命题不正确．]5．能够判断两个平面α，β平行的条件是( )A ．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行B ．夹在两个平面间的线段相等C ．平面α内的无数条直线与平面β无公共点D ．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等D [平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．]二、填空题6．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.425 [∵平面α∥平面ABC ，平面P AB ∩平面α＝A ′B ′，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB ；同理，B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ．从而△ABC ∽△A ′B ′C ′.∵P A ′∶AA ′＝2∶3，即P A ′∶P A ＝2∶5，∴A ′B ′∶AB ＝2∶5，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25.]7．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题：① ⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎬⎫a ∥c α∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是________．(填序号)①④ [①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形．]8．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②P A∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________．①②③④[先把平面展开图还原为一个四棱锥，再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可．]三、解答题9．如图，E，F分别是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AC，A1C1的中点，证明：平面AB1F∥平面BC1E.[证明]由于四边形ACC1A1是平行四边形，所以FC1∥AE，且AC＝A1C1，由于E，F分别是AC，A1C1的中点，所以AE＝AC2＝12A1C1＝FC1，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1，而EC1在平面BC1E上，所以AF∥平面BC1E，连接EF，则由A1F＝12A1C1＝AC2＝AE，且A1F∥AE得四边形AEF A1是平行四边形，有EF AA1，又在平行四边形ABB1A1中有AA1BB1，所以EF BB1，则四边形EFB1B是平行四边形，有FB1∥BE，而BE在平面BC1E上，所以FB1∥平面BC1E，因为AF，FB1是平面AB1F上的两条相交直线，所以由AF∥平面BC1E，FB1∥平面BC1E，可得平面AB1F∥平面BC1E.10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D．[证明]因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D．又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．11．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有()A．1条B．2条C．3条D．无数条D[如图，过M作MQ∥AA1，交AB于点Q，过Q作QH∥AC，交BC于点H，过点H作NH∥BB1，交B1C于点N.因为BB1∥AA1，所以NH∥MQ，则平面MQHN∥平面ACC1A1，则MN∥平面ACC1A1.因为M为线段A1B上的动点，所以这样的MN有无数条，故选D．]12．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αCD[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．故选项A不是α∥β的充分条件；对于选项B，若存在一条直线a，a⊂α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故选项B不是α∥β的充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D是α∥β的一个充分条件．故选CD．]13．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①BM∥平面ADE；②CN∥平面ABF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中正确结论的序号是________．①②③④[将展开图还原成如图1所示的正方体．图1图2如图2，在正方体中，∵BM∥AN，∴BM∥平面ADE，同理可证CN∥平面ABF，∴①②正确．易知BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，∴平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．]14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝22，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.2[连接A1C1(图略)．设平面AB1C∩平面A1C1＝m.∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面A1C1，∴EF∥m.又平面A1C1∥平面AC，平面AB1C∩平面A1C1＝m，平面AB1C∩平面AC＝AC，∴m∥AC，∴EF∥AC．又A1C1∥AC，∴EF∥A1C1.∵E为A1D1的中点，∴EF＝12A1C1＝2.]15．如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．[解](1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1C1＝1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以A1D1D1C1＝A1O OB，又由题(1)可知A1D1D1C1＝DCAD，A1OOB＝1，所以DCAD＝1，即AD DC＝1.。

高中数学第二章平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案新人教B版必修4

2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略．应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。

【山东省新人教B版数学(文科)2012届高三单元测试4：必修2第一章《立体几何初步》

山东省新人教B 版2012届高三单元测试4必修2第一章《立体几何初步》(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中，正确的是( )A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行解析：选C.A 中，可能有无数个平面，B 中，两条直线还可能平行，相交，D 中，两个平面可能相交．2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3 C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm ，母线长为5 cm ，高为4 cm ，求表面积时不要漏掉底面积．3．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶ 2 D.2∶1解析：选C.设正四棱锥底边长为a ，则斜高为32a ，高h ＝(32a )2－(12a )2＝22a ∴高与底边长之比为22a ∶a ＝1∶ 2. 4．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.本题主要考查圆锥侧面展开图的有关性质及侧面展开图中心角公式．设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，依条件则有2πr ＝πl ，如图所示，∴r l ＝12，即∠ASO ＝30°，∴圆锥顶角为60°. 5．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )A ．2πR 2 B.94πR 2 C.83πR 2 D.52πR 2解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r ，则其高为3R －3r ，全面积S ＝2πr 2＋2πr (3R－3r )＝6πRr －4πr 2＝－4π(r －34R )2＋94πR 2，故当r ＝34R 时全面积有最大值94πR 2.6．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDE ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC解析：选C.因为BC ∥DF ，所以BC ∥面PDF ，即A 正确；由中点有BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面P AE ，所以DF ⊥平面P AE ，即B 正确；由BC ⊥平面P AE 可得平面P AE ⊥平面ABC ，即D 正确．7．在纬度为α的纬线圈上有A ，B 两点，这两点间的纬线圈上的弧长为πR cos α，其中R 为地球半径，则这两点间的球面距离是( )A.⎝⎛⎭⎫π2－2αRB.⎝⎛⎭⎫π2－αR C ．(π－2α)R D ．(π－α)R解析：选C.由题意易求得球心角为π－2α，所以球面距离为(π－2α)R . 8．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( ) A ．S 1＝2S 2 B ．S 1＝3S 2 C ．S 1＝4S 2 D ．S 1＝23S 2解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为3，而内切球直径为1，所以S 1S 2＝(31)2＝3，所以S 1＝3S 2.9．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 2解析：选A.设底面积为S ，由截面性质可知． S S 1＝(21)2⇒S 1＝14S ； S S 2＝21⇒S 2＝12S ； ( S S 3)3＝21⇒S 3＝134S .可知S 1<S 2<S 3，故选A. 10．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则对角面B 1BDD 1是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选D.AA 1在面ABCD 内的射影在底面的一条对角线上，∵AC ⊥BD ，∴AA 1⊥BD ，∴BB 1⊥BD .又∵∠BAD ＝60°，∴BD ＝AB ＝BB 1，∴B 1BDD 1是正方形．11．一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的边长分别为a ，b ，高为h ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是( )A.1h ＝1a ＋1bB.1h ＝1a ＋bC.1a ＝1b ＋1hD.1b ＝1a ＋1h解析：选A.S 侧＝4×h 2＋(b －a 2)2×a ＋b 2＝a 2＋b 2，即4[h 2＋(b －a 2)2]·(a ＋b )2＝(a 2＋b 2)2，化简得h (a ＋b )＝ab ， ∴1h ＝1a ＋1b. 12. 如图所示，三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x (x ∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )解析：选A.V ＝13S △AMC ·NO ＝13(12×3x ×sin30°)·(8－2x )＝－12(x －2)2＋2，x ∈[0,3]，故选A.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．解析：球的直径等于正六棱柱的体对角线的长．设球的半径为R ，由已知可得2R ＝ (62×2)2＋(6)2＝23，R ＝ 3.所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π.答案：43π 14．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm 的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是________cm.解析：由题意知，金属球的体积等于下降的水的体积，设水面下降h cm ，则有4π3＝π×22×h ，解得h ＝13.答案：1315．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z 叫做x 、y 、z 关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a 、b 、c 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是________．答案：平行16．点M 是线段AB 的中点，若点A 、B 到平面α的距离分别为4 cm 和6 cm ，则点M 到平面α的距离为________．解析：(1)如图(1)，当点A 、B 在平面α的同侧时，分别过点A 、B 、M 作平面α的垂线AA ′、BB ′、MH ，垂足分别为A ′、B ′、H ，则线段AA ′、BB ′、MH 的长分别为点A 、B 、M 到平面α的距离．由题设知AA ′＝4 cm ，BB ′＝6 cm.因此MH ＝AA ′＋BB ′2＝4＋62＝5(cm)．(2)如图(2)，当点A 、B 在平面α的异侧时，设AB 交平面α于点O ， ∵AA ′∶BB ′＝4∶6，∴AO ∶OB ＝4∶6. 又∵M 为AB 的中点， ∴MH ∶AA ′＝1∶4，即MH ＝1(cm)．故点M 到平面α的距离为5 cm 或1 cm. 答案：5 cm 或1 cm三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，E ，F 四点共面；(2)若A 1C 交平面BDEF 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．证明：如图所示．(1)连接B 1D 1.∵E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，∴EF ∥B 1D 1，又∵B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD ， ∴EF 与BD 共面， ∴E ，F ，B ，D 四点共面． (2)∵AC ∩BD ＝P ，∴P ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF .同理，Q ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF . ∵A 1C ∩平面DBFE ＝R ， ∴R ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF ，∴P ，Q ，R 三点共线．18．一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r ，R ，求圆锥的体积．解：如图，设圆锥的高AD ＝h ，由△AOE ∽△ACD ，可得AO AC ＝OECD ，即h －r h 2＋R2＝r R ，解得h ＝2rR 2R 2－r2，所以圆锥的体积为V ＝π3R 2·h ＝2πrR 43(R 2－r 2).19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，设AA 1＝2，求三棱锥F －A 1ED 1的体积．解：如图，连接AE ，容易证明AE ⊥D 1F . 又∵A 1D 1⊥AE ， ∴AE ⊥平面A 1FD 1.∵A 1D 1∥AD ，A 1D 1∥平面ABCD ，设平面A 1FD 1∩平面ABCD ＝FG ，则A 1D 1∥FG 且G 为AB 的中点， ∴AE ⊥平面A 1GFD 1，AE ⊥A 1G ，设垂足为点H，则EH即为点E到平面A1FD1的距离，∵A1A＝2，∴AE＝5，AH＝25，∴EH＝35.又∵S△A1FD1＝12S▱A1GFD1＝5，∴V F－A1ED1＝13×5×35＝1，故三棱锥F－A1ED1的体积为1.20. 如图△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体ADEBC的体积V.解：(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.∵G，F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE.又∵四边形ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB.∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.∴平面HGF∥平面ABC.∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.∴AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB 的中点N ，连接CN ，∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a .又平面ABED ⊥平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED .∵C －ABED 是四棱锥，∴V C －ABED ＝13S ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.21．如图是一个直三棱柱(以A 1B 1C 1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知A 1B 1＝B 1C 1＝1，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3.设点O 是AB 的中点，求证：OC ∥平面A 1B 1C 1.证明：作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ，则OD ∥BB 1∥CC 1. 因为O 是AB 的中点，所以OD ＝12(AA 1＋BB 1)＝3＝CC 1，则四边形ODC 1C 是平行四边形，因此有OC ∥C 1D .因为C 1D ⊂平面C 1B 1A 1且OC ⊄平面C 1B 1A 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1.22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，求证：BC ′∥面EFG . 解：(1)如图所示．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′.因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′的中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′. 又BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥面EFG .。

高中数学第2章平面向量 2.1.4 数乘向量练习新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题

2.1.4 数乘向量课时跟踪检测 [A 组基础过关]1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A ．2a －b B.2b －a C ．b －aD.a －b解析：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .答案：B2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD →C.BC →D.12BC → 解析：EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB → ＝12AC →＋12AB →＝AD →，故选A. 答案：A3．设x 是未知向量，a ，b 是已知向量，且满足3(x ＋a )＋3(b －a )＋x －a －2b ＝0，则x 等于( )A.14a －14bB.a ＋bC.12a －b D.0解析：∵3(x ＋a )＋3(b －a )＋x －a －2b ＝0，∴4x ＋3a －3a －a ＋3b －2b ＝0，∴4x ＝a －b ，∴x ＝14a －14b ，故选A.答案：A4.下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝ma －na ； ③若ma ＝mb (m ∈R)，则a ＝b ； ④若ma ＝na (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B.2 C ．3D.4解析：由向量的运算律知①②④正确，故选C. 答案：C5．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.23AD →－AB →B.12AD →－23AB →C.12AB →＋13AD → D.12AB →－23AD → 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC →＝AD →，DC →＝AB →.∵点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴EC →＝12DC →，CF →＝23CB →，∴EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12DC →－23BC →＝12AB →－23AD →.答案：D6．若点C 在线段AB 上，AC CB ＝52，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.解析：由题可知AC →＝52CB →，∴AC →＝57AB →，BC →＝－27AB →.答案：57 －277．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b －3x ＋c )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析：原式变形为2x －23a －12b ＋32x －12c ＋b ＝0，∴72x ＝23a －12b ＋12c ，∴x ＝421a －17b ＋17c . 答案：421a －17b ＋17c8．化简：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解：(1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. [B 组技能提升]1．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面ABC 内一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵AB →＝PB →－PA →，∴PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，即2PA →＋PC →＝0，故AP →＝12PC →，∴P 是AC边的一个三等分点．答案：D2．点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( ) A ．内心 B.外心 C ．垂心D.重心解析：∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.设AD →＝AB →|AB →|，AE →＝AC →|AC →|，如图所示，则AD →与AB →共线且同向，AE →与AC →共线且同向，AD →和AE →均是单位向量．设AD →＋AE →＝AG →，则四边形ADGE 是菱形， ∴点G 在∠BAC 的平分线上.AP →＝λAG →，又∵λ∈[0，＋∞)，∴点P 在射线AG 上．∴点P 的轨迹是∠BAC 的平分线，一定过△ABC 的内心，故选A. 答案：A3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝3DB →，CD →＝14CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：AD →＝3DB →， ∴CD →－CA →＝3(CB →－CD →)， ∴CD →＝14CA →＋34CB →，∴λ＝34.答案：344．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF →＝________.解析：如图所示，EF →＝EC →＋CD →＋DF →＝12AC →＋CD →＋12DB →＝12(AB →＋BC →)＋CD →＋12(DC →＋CB →)＝12(AB→＋DC →)＋CD →＝12(AB →＋CD →)＝12(a －2c ＋5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c5.如图，已知△OAB 中，点C 是以点A 为对称中心的点B 的对称点，OD ＝2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .用a ，b 表示向量OC →，DC →.解：由题意知A 是BC 的中点，则OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，又OD ＝2DB ，所以OD →＝23OB →＝23b .DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .6. 如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，延长PA ，与CM 的延长线交于点Q ，若AP →＝QA →，MQ →＝λCM →，试确定λ的值．解：AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →.∴λ＝12.。

山东省2012届高三数学第一章《立体几何初步》单元测试4理新人教B版必修2

OC∥平
则四边形 ODC1C 是平行四边形，因此有所以 OC∥平面 A1B1C1.
OC∥ C1D. 因为 C1 D? 平面 C1B1A1 且 OC?平面 C1B1A1，
22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出 ( 单位： cm)．
(3) 取 AB的中点 N，连接 CN，∵ AC＝ BC，
11 ∴CN⊥ AB，且 CN＝ 2AB＝ 2a.
又平面 ABED⊥平面 ABC，
∴CN⊥平面 ABED.
∵C－ ABED是四棱锥，
∴
VC－
＝ ABED
1 3
S · ABED
CN＝
13a2·
1 2
a＝
16a3.
21．如图是一个直三棱柱 ( 以 A1B1C1 为底面 ) 被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC. 已知
5
5
1
S S 又∵ ＝＝ △ A1FD1
?A1GFD1
5，
2
1
3
∴VF－A ＝ 1ED1 3×
5×
＝ 1， 5
故三棱锥 F－A1ED1 的体积为 1.
2 20. 如图△ ABC中， AC＝ BC＝ 2 AB，四边形 ABED是边长为 a 的正方形，平面 ABED⊥平面 ABC，若 G、 F 分别是 EC、BD的中点．
2]
·（a＋ b)
2＝ (
a2＋ b2)
2，
化简得 h( a＋b) ＝ ab，
111
∴
h＝
a＋
. b
12. 如图所示，三棱锥 P－ ABC的高 PO＝8， AC＝ BC＝ 3，∠ ACB＝30°， M、 N 分别在 BC

新教材数学人教B版必修第四册练习：11.2 平面的基本事实与推论Word版含解析

11.2平面的基本事实与推论必备知识基础练进阶训练第一层知识点一平面的概念与三种语言.有以下说法：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是0.001cm.中正确的个数为()．1B．2．3D．4．如图所示，下列符号表示错误的是()．l∈αB．P∉l．l⊂αD．P∈α.知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：1)点C与平面β：__________.2)点A与平面α：__________.3)直线AB与平面α：__________.4)直线CD与平面α：__________.5)平面α知识点二平面的基本事实与推论.能确定一个平面的条件是()．空间三个点B．一个点和一条直线．无数个点D．两条相交直线．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．．已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．．如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．下列命题中正确的是()．空间三点可以确定一个平面．三角形一定是平面图形．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合．四条边都相等的四边形是平面图形．如图，用符号语言可表述为()．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有()．1条或2条B．2条或3条．1条或3条D．1条或2条或3条．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()．必有三点共线B．必有三点不共线．至少有三点共线D．不可能有三点共线．(探究题)在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF 与HG交于点M，则()．M一定在直线AC上．M一定在直线BD上．M可能在AC上，也可能在BD上．M不在AC上，也不在BD上、填空题．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且AB∩l＝C，则AB∩β＝__________.．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．．(易错题)给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确的个数是________．、解答题0．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.证：E学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD 于点M，则下列结论正确的是()．C1，M，O三点共线．C1，M，O，C四点共面．C1，O，A，M四点共面．D1，D，O，M四点共面．(学科素养——直观想象)(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．11．2平面的基本事实与推论必备知识基础练．答案：B析：平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．．答案：A析：观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．．答案：(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD．答案：D析：A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上．．答案：P∈直线DE析：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.．证明：法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，l1和l2确定一个平面α.l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.直线l1，l2，l3在同一平面内．二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，l1，l2确定一个平面α.l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.A ∈l 2，l 2⊂β，∴A ∈β.理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内．平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．．证明：如图所示，连接C 1B ，GF ，HE ，由题意知HC 1∥EB ，且HC 1＝EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形，∴HE ∥C 1B .C 1G ＝GC ，CF ＝BF ，GF ∥C 1B ，且GF ＝12C 1B . GF ∥HE ，且GF ≠HE ，∴HG 与EF 相交．设交点为K ，K ∈HG ，HG ⊂平面D 1C 1CD ，∴K ∈平面D 1C 1CD .K ∈EF ，EF ⊂平面ABCD ，∴K ∈平面ABCD ，平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝DC ，∴K ∈DC ，EF ，HG ，DC 三线共点．关键能力综合练．答案：B析：共线的三点不能确定一个平面，故A 错；当A ，B ，C ，D 四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C 错；四边都相等的四边形可以是空间四边形，故D 错．．答案：A析：很明显，α与β交于m ，n 在α内，m 与n 交于A .．答案：D析：当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．．答案：C析：∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.α∩β＝A的写法错误．．答案：B析：如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确．．答案：A析：由题意得EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，又EF∩HG＝M，故M∈平面ABC，且M∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M一定在直线AC上．．答案：C析：因为A∈α，B∈α，AB∩l＝C，所以C∈AB，又因为C∈l，l⊂β，所以C∈β，所以AB∩β＝C.．答案：1或4析：(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．．答案：0析：命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内．所以正确命题的个数为0.0．证明：∵AB∥CD，AB，CD确定一个平面β，AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，E∈β，E在α与β的交线l上．理，F，G，H也在α与β的交线l上，E，F，G，H四点必定共线．学科素养升级练．答案：ABC析：在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，C∩平面C1BD＝M.1三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C 正确，D不正确．．答案：(1)4(2)7析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．．解析：如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.∵D1F⊂平面BED1F，A⊂平面ABCD，P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．。

人教新课标版数学高一B版必修4课件向量的概念

思考1 向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 用表示向量的有向线段的长度表示.向量A→B的大小，也就是向量A→B 的长度(或称模).记作|A→B|，有向线段A→B箭头表示向量A→B的方向.
记作|a|.两个向量 a 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
3.向量的平行 (1)通过有向线段A→B的直线，叫做向量A→B的基线 (如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 .向量 a
平行于 b，记作 a∥b. (2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行 .
第二章平面向量
内容索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
当堂测·查疑缺
1234
1.下列说法中错误的是( C )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念

山东省实验中学2012届高三数学第四次诊断考试文新人教B版

山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试文科数学试题（2012.3）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若P Q ≠∅，则m 等于 A.1 B.2 C.1或52D.1或2 2. 设复数22(1)iz i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是 A.12B.-1C.-iD.1 3. 右图是一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积和体积分别为A.2324πcm ,12πcmB.2315πcm ,12πcmC.2324πcm ,36πcmD.2315πcm ,36πcm 4. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n = A.80 B.120 C.160 D.60 5. 对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆 6. 右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 A.12 B.23 C.34 D.457. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为A.12B.1C.2D.48. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml ，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（）小时后才可以驾驶机动车.A.1B.2C.3D.49. 已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--，则(2012)f = A.2 B.-2 C.4 D.010. 已知命题:p 若1a >，则log x a a x >恒成立；命题:q 等差数列{}n a 中，m n p q +=+是n m p q a a a a +=+的充分不必要条件（其中,,,*m n p q ∈N ）.则下面选项中真命题是A.（p ⌝）∧（q ⌝）B.（p ⌝）∨（q ⌝）C.p ∨（q ⌝）D.p q ∧11. 已知,x y 满足不等式组242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22222z x y x y =++-+的最小值为A.9512. 在实数的原有运算法则（“·”和“-”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=.则当[2,2]x ∈-时，函数()(1)(2)f x x x x =⊕⋅-⊕的最大值等于A.-1B.1C.6D.12第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.13．已知21()1f x x =+，则((0))f f =14．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S n =⋅+，则456a a a ++=15．若()f n 为21(*)n n +∈N 的各位数字之和，如：2141197,19717,+=++=则(14)17;f =记1211()(),()(()),,()(()),*k k f n f n f n f f n f n f f n k +===∈N ，则2012(8)f = .16．三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的三边；能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是（只写序号）①1sin cos 5A A += ②0AB BC ⋅< ③3,33,30b c B ===︒ ④tan tan tan 0A B C ++>三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题共12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3155,225.a S ==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）设32n a n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T 18.（本小题共12分）已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2a x b x =-=-，函数()() 2.f x a b a =+⋅-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）将函数()f x 的图像向左平移π6上个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 的解析式及其对称中心坐标. 19.（本小题满分12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，13,5,4,AC AB AA BC ====点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；（Ⅱ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅲ）求三棱锥11A B CD -的体积.20. （本小题满分12分）投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标.（Ⅰ）求点P 落在区域22:10C x y +≤内的概率；（Ⅱ）若以落在区域22:10C x y +≤上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率. 21. （本题满分12分）已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆22122:1,,x C y F F m+=分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1212,AF F BF F 的重心分别为,.G H 若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.22. （本题满分14分）已知函数2()2ln ,(),p e f x px x g x x x=--= （Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（Ⅲ）若20p p -≥，且至少存在一点0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围.四诊文科试题答案一、选择题：1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C二、填空题：13.1214.360 15.5 16.④ 17.解：（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题得11251514152252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，……3分解得112a d =⎧⎨=⎩ 21n a n ∴=-； (6)分（2）2113232923n a n n n b n n n -=+=+=⋅+，……………………………………………………8分23121(9999)2(123)3n n n T b b b n ∴=+++=+++++++++19(19)(1)319n n n -=⋅++-…………………………………………………………………………10分339(1)88n n n =⋅++-……………………………………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）2()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅- =21sin 13sin cos 22x x x +++-…………………………………………………………………2分1cos23131πsin 2sin 2cos2sin(2)222226x x x x x -=+-=-=-………………………………4分因为2ω=，所以2π=π2T =………………………………………………………………………6分（Ⅱ）向左平移π6个单位得，πππsin[2()]sin(2)666y x x =+-=+……………………………8分横坐标伸长为原来的3倍得，2π()sin()36g x x =+……………………10分令2ππ36x k +=得对称中心为 3π(π,0)24k k Z -∈………………………12分 19.解：（1）证明：在ABC 中，3,5,4,AC AB BC === 222,AB AC BC ABC ∴=+为Rt ，.AC BC ∴⊥………………………………………………………………………………………1分又1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，1.AC CC ∴⊥………………………………………………………………………………………2分11,,CC BC C CC BC =⊂平面11,BB C CAC ∴⊥平面11BB C C ，……………………………………………………………………………3分而1BC ⊂平面11BB C C ，1.AC BC ∴⊥………………………………………………………………………………………4分（2）设1B C 交1BC 于E 点，连结.DE 直三棱柱111,ABC A B C -∴四边形11BB C C 是平行四边形，E ∴是1BC 的中点…………………………………………5分又D 是AB 的中点，1//,AC DE ∴………………………………………………………………6分而DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，……………………………………………………7分1//AC ∴平面1CDB .………………………………………………………………………………8分（3）连结11,A D AC ，过点C 作CF AB ⊥，垂足为F . 在Rt ABC ∆中，3412,55AC BC CF AB ⋅⨯===……………………………………………………9分又直三棱柱111,ABC A B C - ∴平面ABC ⊥平面11ABB A ，而平面ABC 平面11,ABB A AB CF =⊂平面,ABC CF AB ⊥CF ∴⊥平面11ABB A ，即CF 是三棱锥11C A B D -的高，……………………………………11分又11111115410,22A B D S A B AA ∆=⋅=⨯⨯=…………………………………………………………12分1111111112108.335A B CD C A B D A B D V V S CF --∆∴==⋅=⨯⨯=20.解：（1）以0，2，4为横、纵坐标的点共有（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4）9个，而且是等可能的……………………………………………4分而落在区域C 的有（0，0），（0，2），（2，0），（2，2）4个…………………………………6分∴所求概率为4.9P =……………………………………………………………………………8分（2）因为区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π， (10)∴所求概率为42π=.105πP=……………………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）因为直线2:02ml x my--=经过2F22m，得22m=，又因为1m>，所以m故直线l的方程10x-=……………………………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）设1122(,),(,).A x yB x y由222221mx myxym⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x得222104my my++-=，则由2228(1)804mm m∆=--=-+>，知28m<，且有212121,.282m my y y y+=-⋅=-………7分由于12(,0),(,0),F c F c-可知1122(,),(,),3333x y x yG H………………………………………………8分因为原点O在以线段GH为直径的圆内，所以0OH OG⋅<，即1212x x y y+<， (10)分所以2222121212121()()(1)()0,2282m m mx x y y my my y y m+=+++=+-<解得24m<（符合28m<）又因为1m>，所以m的取值范围是（1，2）.………………12分22.解：（1）当2p=时，函数2222()22ln,(1)222ln10.()2,f x x x f f xx x x'=--=--==+-……………………………………………………………………………………………………2分曲线()f x在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)222 2.f'=+-=从而曲线()f x在点(1,(1))f处的切线方程为02(1),y x-=-即2 2.y x=-…………………………………………………………4分（2）22222().p px x pf x px x x-+'=+-=令2()2,h x px x p=-+要使()f x在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x≥………………………………………6分即222()20,1xh x px x p px=-+≥⇔≥+故正实数p的取值范围是[1,).+∞……………………8分（3）2()eg xx=在[1,]e上是减函数，x e∴=时，min()2;1g x x==时，max()2,g x e=即()[2,2],g x e∈………………………………………………………………………………………①当0p <时，2()2,h x px x p =-+其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在[1,]x e ∈内是减函数.当0p =时，()2h x x =-，因为[1,],x e ∈所以2()0,()0,h x f x x'<=-<此时，()f x 在[1,]x e ∈内是减函数.故当0p ≤时，()f x 在[1,]e 上单调递减max ()(1)02,f x f ⇒==<不合题意；………………………………………………………………12分②当1p ≥时，由（2）知()f x 在[1,]e 上是增函数，(1)02,f =<又()g x 在[1,]e 上是减数，故只需max min ()(),[1,],f x g x x e >∈而max min 1()()2ln ,()2,f x f e p e e g x e ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭即12ln 2,p e e e ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解得24,1e p e >-所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭.…………………………………………14分。

高中数学第二章平面解析几何初步综合测试A(含解析)新人教B版必修2

【成才之路】2015-2016学年高中数学第二章平面解析几何初步综合测试A 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.2．(2015·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2.3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －22＋z －22＝1＋y ＋32＋z －12，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k＝2k －32.解得k ＝5，故选C ．6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3[答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关[答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2[答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2.9．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 由题意知，点P 在线段AB 的垂直平分线x ＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3.∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0.10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m2＝1－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] C[解析]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m[答案] B[解析]圆半径OA＝3.6 m，卡车宽1.6 m，∴AB＝0.8 m，∴弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5 m.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________．[答案]－2或8[解析]由题意，得|6－4k＋6|32＋－42＝4，∴k＝－2或8.14．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的方程是________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]由题意知，圆的半径r＝|AB|＝－1－22＋1－02＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． [答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3.16．(2015·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________．[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b .∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ，25－25m ，∵|AE |＝|BE |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m －m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m 2，平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)．E 点坐标为(－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1.即点C (－1,1)，又∵⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－4＋x 222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4，即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k，由题设条件12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1，∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0，∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0.Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4[(m ＋1)2－5]，当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋ 5. 当Δ＝0时，m ＝－1±5，当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋ 5.故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m <－1－5或m >－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)，且半径为1的圆C 2的方程．[解析]解法一：由圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，知圆心为C 1(2，－1)，则过点A (4，－1)和圆心C 1(2，－1)的直线的方程为y ＝－1，设所求圆的圆心坐标为C 2(x 0，－1)，由|AC 2|＝1，即|x 0－4|＝1，得x 0＝3，或x 0＝5，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 解法二：设所求圆的圆心为C 2(a ，b )， ∴a －42＋b ＋12＝1，①若两圆外切，则有a －22＋b ＋12＝1＋2＝3，②联立①、②解得a ＝5，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1；若两圆内切，则有a －22＋b ＋12＝2－1＝1，③联立①、③解得a ＝3，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.21．(本题满分12分)(2014·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长．[解析] (1)由两圆方程x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0相减，得x －y ＋4＝0. 故它们的公共弦所在直线的方程为x －y ＋4＝0.(2)圆x 2＋y 2＋6x －4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r ＝13， ∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝|－3－0＋4|12＋－12＝22， ∴公共弦长l ＝2132－222＝5 2.22．(本题满分14分)(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(2)在(1)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85.x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85.(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.。

独家山东省新人教B数学文科高三单元测试10：必修4第二章平面向量

山东省新人教B 版2012届高三单元测试10必修4第二章《平面向量》(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题（ 12 小题，每小题 5分）1.a 与b 是非零向量，下列结论正确的是A ．|a |＋|b |＝|a ＋b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a |＋|b |＞|a ＋b |D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a 与b 同向时，取“＝”号. 答案：D2.在四边形ABCD 中，DC AB =，且|AB |＝|BC |，那么四边形ABCD 为A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形解析：由AB ＝DC 可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB |＝|BC |得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为A ．（2，2）B ．（－6，0）C ．（4，6）D ．（－4，2）解析：设D （x ，y ），则AB ＝（5，3），DC ＝（－1－x ，3－y ）， AD ＝（x ＋2，y －1），BC ＝（－4，－1）.又∵∥，∥，∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0，解得x ＝－6，y ＝0.答案：B 4.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：∵2=++，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错. 在④中，＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是54，故④正确. 答案：C5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于A ．（－1，25）B ．（1，－25） C ．（－4，10） D ．（4，－10）解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D.答案：D6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 A ．43 B ．4 C ．42 D ．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：a ·e ＝|a ||e |cos 3π＝8×1×21＝4. 答案：B7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵a ⊥b∴a ·b ＝0又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ）∴（2a ＋3b ）·（k a －4 b ）＝0得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2=1解得k ＝6.答案：B8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于A ．（－51,1511） B ．（－1511,51） C ．（－51,154） D ．（51,154）解析：b ＝（x －1，3x －2）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0即3（x －1）＋4（3x －2）＝0，解得x ＝1511. 答案：C9.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于A ．0B ．1C ．－21D ．－23 解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－23. 答案：D 10.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-x C ．y ＝392-x D ． y ＝332+x 解析：把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可得y －2＝31)1(2-+x . 整理得y ＝372+x 答案：A11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（）A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：∵a 与b 共线∴a ＝λb （λ∈R ），即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0∵e 1、e 2不共线.∴⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 解得k ＝±1，故选A.答案：A12.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：|a ＋b |＝| a －b |⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b .答案：C二、填空题（ 4小题，每小题 4分）13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则MN ＝ .解析：AB AC BC -=＝b －a ， ∴MN ＝3131=（b －a ）. 答案：31（b －a ） 14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .解析：∵（a －b ）2＝7∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7∴a ·b ＝3∴cos θ＝21||||=⋅b a b a ∴θ＝3π. 答案：3π 15.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ . 解析：y ＝－2x 2－4x －1＝－2（x ＋1）2＋1∴y －1＝－2（x ＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a ＝（－1，1）.答案：（－1，1）16.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 3π＝2×1×21＝1 ∴|a +b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2 a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21三、解答题：（共74分）17.（本小题满分10分）已知A （4，1），B （1，－21），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x . 解：∵AB ＝（－3，－23），BC ＝（x －1，－1）又∵∥∴根据两向量共线的充要条件得－23（x －1）＝3 解得x ＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值. 解：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0∴3m a 2＋（5m －3）a ·b －5b 2＝0∴27m ＋3（5m －3）－20＝0解得m ＝4229. 19.（本小题满分12分）已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由已知，（a ＋3b ）·（7 a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2 b ）＝0，即7a 2＋16a ·b －15 b 2＝0 ①7a －30a ·b ＋8 b 2＝0 ②①－②得2a ·b ＝b 2代入①式得a 2＝b 2∴cos θ＝21||21||||22==⋅b b b a b a ，故a 与b 的夹角为60°.20.（本小题满分12分）已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 证明：∵DC AD AC DC BD BC +=+=,，两式平方相加可得a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2＋2（·＋·） ∵BD ·DC ＋AD ·DC＝|BD ||DC |·cos BDC ＋|AD ||DC |cos CDA ＝0∴a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 21.（本小题满分14分）设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且＝－2i ＋m j ，＝n i ＋j ，＝5i －j ，⊥，求实数m 、n 的值.解：∵OA ⊥OB ， ∴－2n ＋m ＝0① ∵A 、B 、C 在同一直线上， ∴存在实数λ使AC ＝λAB ， AC ＝OC －OA ＝7i ＋［－（m ＋1）j ］AB ＝OB －OA ＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，∴7＝λ（n ＋2）m ＋1＝λ（m －1）消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0② 由①得m ＝2n 代入②解得m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝23. 22.（本小题满分14分）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A 为圆心，直径P Q ＝2ｒ，问：当P 、Q 取什么位置时，BP ·CQ 有最大值?解：·CQ ＝（-）·（AC AQ -）＝（AB AP -）·（－AC AP -）＝－r 2＋·+·设∠BAC ＝α，PA 的延长线与BC 的延长线相交于D ，∠PDB ＝θ，则·＝－r 2＋cb cos θ＋ra cos θ∵a 、b 、c 、α、r 均为定值，∴当cos θ＝1，即AP ∥BC 时，·CQ 有最大值.。

高一数学(人教B版)必修4：第2章基本知能检测

阶段性测试题三(第二章基本知能检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．若平面向量b 与向量a ＝(－1,2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)[答案] B[解析] 由已知a 与b 方向相反，可设b ＝(－λ，2λ)，(λ<0)．又|b |＝35＝λ2＋4λ2，解得λ＝－3或λ＝3(舍去)，∴b ＝(3，－6)．2．正方形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，则a －b ＋c 表示的向量等于( )A.AD →B.DB →C.DA →D.DC → [答案] C[解析] ∵a 与c 是一对相反向量，∴a －b ＋c ＝－b ＝DA →.3．已知|a |＝22，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7D ．8[答案] A[解析] AD →＝12(AC →＋AB →)＝3a －12b ， |AD →|2＝AD →·AD →＝9a 2＋14b 2－3a ·b＝72＋94－3×22×3×22＝2254，∴|AD →|＝152. 4．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝⎛⎭⎫32，12B.⎝⎛⎭⎫12，32 C.⎝⎛⎭⎫14，334 D ．(1,0) [答案] B[解析] 解法一：令b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1(y ≠0) ①3x ＋y ＝3 ②将②代入①知x 2＋(3－3x )2＝1⇒x 2＋3－6x ＋3x 2－1＝0，即4x 2－6x ＋2＝0，即2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32. 解法二：排除法，D 中y ＝0不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入A ，不合题意，故选B.5．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 [答案] B[解析] ∵e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)，∴－1×7≠2×5，即e 1与e 2不共线，故选B.6．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线[答案] A[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋10b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线．7．设向量a ＝(sin15°，cos15°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] A[解析] ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90 °.8．在四边形ABCD 中，若AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|，且BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|，则该四边形一定是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 [答案] A[解析] 由AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|可知AB →与CD →的夹角为180°，∴AB ∥CD .又由BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|知BC →与AD →夹角为0°，∴BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．9．已知平面上直线l 的方向向量e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，点O (0,0)和点A (1，－2)在l 上的射影分别为O ′和A ′，且O ′A ′→＝λe ，则λ等于( )A.115B ．－115C ．－2D ．2 [答案] C[解析] 设OA →在e 上的正射影数量为O ′A ′即O ′A ′→＝λ·e ＝O ′A ′eO ′A ′＝OA →·e ＝(1，－2)⎝⎛⎭⎫－45，35 ＝－45－65＝－2. 10．已知m ，n 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ＝2m ＋n ，b ＝－3m ＋2n ，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案] C[解析] 由题设m ·n ＝|m |·|n |·cos60°＝12， a ·b ＝－6|m |2＋m ·n ＋2|n |2＝－6＋12＋2＝－72， |a |2＝(2m ＋n )2＝4|m |2＋|n |2＋4m ·n ＝7，∴|a |＝7，|b |2＝(－3m ＋2n )2＝9|m |2＋4|n |2－12m ·n ＝7，∴|b |＝7.cos<a ，b >＝a ·b |a |·|b |＝－12， ∴<a ，b >＝120°.11．如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且E 、F分别为AB 、CD 的中点，则( )A.EF →＝12(a ＋b ＋c ＋d ) B.EF →＝12(a －b ＋c －d ) C.EF →＝12(c ＋d －a －b ) D.EF →＝12(a ＋b －c －d ) [答案] C[解析] EF →＝OF →－OE →＝12(OC →＋OD →)－12(OA →＋OB →)＝12(c ＋d )－12(a ＋b )， ∴EF →＝12(c ＋d －a －b )． 12．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上的一点P ，使AP →·BP →为最小值，则P 点的坐标是( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] A[解析] 设P (x 0,0)，则AP →＝(x 0－2，－2)，BP →＝(x 0－4，－1)，∴AP →·BP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋2＝x 20－6x 0＋10＝(x 0－3)2＋1，∴x 0＝3时，取最小值．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于________．[答案] ⎝⎛⎭⎫47，－27 [解析] 设OC →＝(x ，y )，∴AC →＝(x －2，y －4)，∵OC →⊥OA →，∴2x ＋4y ＝0.又∵AC →∥OB →，∴y －4＝3(x －2)，即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＝03x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝47y ＝－27.∴OC →＝⎝⎛⎭⎫47，－27. 14．(2009·天津)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则AM →·MB →＝________.[答案] －2[解析] 如图所示，MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝(CA →－16CB →－23CA →)·(CB →－16CB →－23CA →) ＝⎝⎛⎭⎫13CA →－16CB →·⎝⎛⎭⎫56CB →－23CA →＝518CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＋19CB →·CA →＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2 ＝718×(23)2×12－29×(23)2－536×(23)2 ＝－2.15．若将向量OA →＝(2,1)围绕原点O 按逆时针方向旋转90°得到向量OB →，则向量OB →的坐标是________．[答案] (－1,2)[答案] 设OB →＝(x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝52x ＋y ＝0， ∴x 2＝1，由题意可知x <0，∴x ＝－1，∴y ＝2.故OB →＝(－1,2)．16．给出下列命题：①已知a 、b 是非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；②已知a 、b ，c 是非零向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；③已知a 、b 为两个单位向量，则a 2＝b 2；④已知a 、b 为非零向量，则a ⊥b 的充要条件是|a ＋b |＝|a －b |.其中所有正确命题的序号为________．[答案] ③④三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a·b ，|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．[解析] (1)因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)所以a ＝3e 1－2e 2＝(3，－2)，b ＝4e 1＋e 2＝(4,1)，a ·b ＝10，a ＋b ＝(7，－1)，|a ＋b |＝52；(2)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1013·17＝10221221. 18．(本小题满分12分)已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围．[解析] (1)∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.∴(a －b )⊥c ；(2)∵|k a ＋b ＋c |>1，∴|k a ＋b ＋c |2>1，∴k 2a ·a ＋b ·b ＋c ·c ＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1.∵a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos120°＝－12， ∴k 2－2k >0，∴k <0，或k >2.19．(本小题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)，且|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值．[解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)，∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)，又∵|AC →|＝|BC →|，∴|AC →|2＝|BC →|2，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，化简，得2sin θ＝cos θ.若cos θ＝0，则sin θ＝±1，则上式不成立．∴cos θ≠0，即tan θ＝12. 20．(本小题满分12分)设a ＝OA →＝3OC →，b ＝OB →＝4OD →，且a 与b 不共线，AD →与BC →相交于点E .试用a 和b 表示OE →.[解析] 设AE →＝λAD →，则OE →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎫14OB →－OA →，∴OE →＝(1－λ)a ＋14λb . 同理，设BE →＝μBC →，则OE →＝13μa ＋(1－μ)b ， ∴⎩⎨⎧ 1－λ＝13μ14λ＝1－μ，⎩⎨⎧ λ＝811μ＝911.∴OE →＝311a ＋211b . 21．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 、b 满足关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)求a 与b 的数量积用k 表示的解析式f (k )；(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值．[解析] (1)|a|＝|b|＝1，∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3(a 2－2k ·a·b ＋k 2b 2)，∴8k a·b ＝2k 2＋2，∴a·b ＝k 2＋14k(k >0)． (2)∵a·b ＝f (k )>0，∴a 与b 不可能垂直．若a ∥b ，则a 与b 同向，∴a·b ＝|a||b |cos0°＝|a||b |＝1，∴k 2＋14k＝1，∴k ＝2±3， ∴当k ＝2±3时，a ∥b.22．(本小题满分14分)已知平面上三个向量a 、b 、c ，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值． [解析] (1)不妨设c ＝λa ＝(λ，2λ)，所以|c |2＝5λ2.∵|c |＝2 5.∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵a ＝(1,2)，∴|a |＝ 5.∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2a 2＋3a·b －2b 2＝0，∴3×5＋3a·b －2×254＝0， ∴a ·b ＝56，∴cos θ＝a ·b |a||b|＝56×152×5＝515.。

新课标人教版必修4第二章平面向量单元测试题

必修4第二章《平面向量》单元测试姓名班级一、选择题(每小题5分,共50分)1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e -（）2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 6．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或 )135,1312(-- D ．)135,1312(±± 7．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．108．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为 ( ）A ． )223,22(-- B ．)223,22( C ．)22,223(-D ．)22,223(-9．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是（）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e10．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（） A ．60° B ．120° C ．135° D ．150° 二、填空题(每小题4分,共16分)11．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .12．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 13．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .14．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题(每题14分,共84分)15．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥16．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.17、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵d c ⊥19．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.20．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.。

第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )

第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。

《平面向量基本定理》说课稿

《平面向量基本定理》说课稿《平面向量基本定理》说课稿1各位评委、各位老师，大家好。

今天，我说课的内容是：人教A版必修四第二章第三节《平面向量的基本定理及坐标表示》第一课时，下面，我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程以及设计说明五个方面来阐述一下我对本节课的设计。

一、教材分析：1、教材的地位和作用：向量是沟通代数、几何与三角函数x的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。

平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。

（1）知识与技能了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（2）过程与方法通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。

（3）情感、态度与价值观引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。

3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为———平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用二、教法分析：针对本节课的教学目标和学生的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原则，本节课采用由“自学—探究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导学方法。

三、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。

人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点

人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算章复习与测试本章小结第二章函数2.1函数2.2一次函数和二次函数2.3函数的应用(i)2.4函数与方程章复习与测试本章小结第三章基本初等函数(i)3.1指数与指数函数3.2对数与对数函数3.3幂函数3.4函数的应用(ii)章复习与测试本章小结第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例章复习与测试本章小结第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性章复习与测试本章小结第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用章复习与测试本章小结必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2点、线、面之间的位置关系章复习与测试第二章平面解析几何初步2．1平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系章复习与测试必修三必修四第一章基本初等函数（ⅱ）1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质章复习与测试第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用章复习与测试第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化.章复习与测试必修课5第1章解斜三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用示例章节复习和测试第2章序列2.1序列2.2算术序列2.3比例序列章节复习和测试第3章不等式3.1不等式关系和不等式3.2平均不等式3.3一元二次型不等式及其解3.4不等式的实际应用3.5二元二次不等式（群）和简单线第1章复习和测试选修II（2-1）第1章常见逻辑术语1.1命题和量词1.2基本逻辑连接词1.3充分条件，第2章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线2.5直线与圆锥章节综合第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2空间向量在立体几何章节综合中的应用选修课2（2-2）选修课4-1几何证明选修课4-4坐标系与参数方程选修课4-5不等式选修课第一章导数及其应用1.1导数1.2导数的运算1.3导数的应用1.4定积分与微积分基本定理章复习与测试第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法章复习与测试第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数的运算章复习与测试选修二(2-3)第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理章复习与测试第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数学特征2.4正态分布章复习与测试第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析章复习与测试每章节主要内容：必修1集合1.如何区分φ、{φ}、0、{（）；}2．集合的运算有哪些常用性质与结论？3．对应、映射、函数有何关系？必修1函数4.找到函数解析表达式的常用方法是什么？5.判断函数单调性的常用方法是什么？6.函数单调性的应用是什么？7.判断功能对等时应注意什么？判断函数奇偶性的常用方法是什么？8.函数奇偶性的性质是什么？9.函数是否有反函数？什么样的函数有反函数？10．如何求二次函数在区间上的最值？11．函数的零点是函数的图像与x轴的交点吗？它与方程的根有何关系？12．分数指数幂与根式有何关系？13．指数式ab=n与对数式logon中，a，6，n三者之间有何关系？14．指数函数、对数函数有哪些常见问题？必修2直线和圆的方程20.直线的倾角和斜率之间的关系是什么？21.五种形式的线性方程有哪些局限性？22.两条直线平行和垂直的等效条件是什么？23.什么是线性系统？什么是常见的线性系统？有哪些应用程序？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25.求解圆方程的常用方法是什么？26.直线和圆之间有多少位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3算法29.算法的特点是什么？它的描述方法是什么？30．画程序框图有什么规则？31.算法有多少基本逻辑结构？他们有什么共同点？它是如何用方框图表示的？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？强制性3统计-抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34.系统抽样的特点是什么？当总容量不能除以样本容量时会发生什么？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计――样本分布36.样本频率分布直方图和总体密度曲线之间的关系是什么？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？强制3概率39．频率和概率有何关系？40.相互排斥的事件和对立事件之间的关系是什么？如何判断相互排斥的事件和对立的事件？15．幂函数的图像有哪几种形式？有哪些性质？必修2立体几何16．如何证明线线、线面、面面之间的平行和垂直？17.四面体中常见的数量和位置关系是什么？18．立体几何中分割与补形有哪些常见技巧？19.经度和纬度分别指什么角度？如何求两点之间的球面距离？必修2直线和圆方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24.平面解析几何中常用的对称公式是什么？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27.圆圈之间有多少位置关系？如何确定？28.你能写出两个圆相交的圆系方程吗？信息技术有何应用？必修3算法29.算法的特点是什么？它的描述方法是什么？30．画程序框图有什么规则？31.算法有多少基本逻辑结构？他们有什么共同点？它是如何用方框图表示的？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？强制性3统计-抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34.系统抽样的特点是什么？当总容量不能除以样本容量时会发生什么？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计――样本分布36.样本频率分布直方图和总体密度曲线之间的关系是什么？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38.方差和标准差在反映人口方面的意义是什么？必修3概率39.频率和概率之间的关系是什么？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？……必修4三角函数必修4平面向量必修5解三角形必修5序列必修5不等式选修2-1（选修1-1）简单逻辑选修2-1（选修1-1）圆锥曲线选修2-1空间向量、角度及距离选修2-2导数、微积分定理选修课2-2（选修课1-2）推理与证明复数选修课2-3排列与组合、二项式定理、数据分布选修课4-1几何证明选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲。