沪教版(五四学制)九年级数学下册教案：27.1垂径定理

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九年级数学下册第27章圆的基本元素圆的对称性垂径定理圆周角2圆的对称性第2课时垂径定理教案华东师大版

27.1 圆的认识 2.圆的对称性第2课时垂径定理1．理解垂径定理和推论的内容,并会证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”,位于河北省赵县,是我国现存的著名的古代石拱桥,距今已有1400多年了,是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,全长50.82米,桥宽约10米,跨度37.4米,拱高7.2米,是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如图,⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ,且P 是半径OB 的中点,CD ＝6cm,则直径AB 的长是( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm 解析：∵直径AB ⊥DC ,CD ＝6,∴DP ＝3.连接OD ,∵P 是OB 的中点,设OP 为x ,则OD 为2x ,在Rt △DOP 中,根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2,解得x ＝ 3.∴OD ＝23,∴AB ＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径,利用半径、弦、垂直于弦的直径构造直角三角形,然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵),点O 是这段弧的圆心,C 是AB ︵上一点,OC ⊥AB ,垂足为D ,AB ＝300m,CD ＝50m,则这段弯路的半径是________m.解析：∵OC ⊥AB ,AB ＝300m,∴AD ＝150m.设半径为R ,根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502,解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．【类型三】垂径定理的综合应用如图,已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ,连接CO 并延长交AD 于点F ,且CF ⊥AD . (1)求证：点E 是OB 的中点； (2)若AB ＝8,求CD 的长．解析：(1)要证明E 是OB 的中点,只要求证OE ＝12OB ＝12OC ,即∠OCE ＝30°；(2)在Rt △COE 中,根据勾股定理可以解得CE 的长,进而求出CD 的长．(1)证明：连接AC .如图,∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ,∴AC ︵＝AD ︵,∴AC ＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥AD ,∴AF ＝DF ,即CF 是AD 的垂直平分线,∴AC ＝CD ,∴AC ＝AD ＝CD ,即△ACD 是等边三角形,∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中,OE ＝12OC ,∴OE ＝12OB ,∴点E 为OB 的中点；(2)解：在Rt △OCE 中,AB ＝8,∴OC ＝OB ＝12AB ＝4.又∵BE ＝OE ,∴OE ＝2,∴CE ＝OC 2－OE 2＝16－4＝23,∴CD ＝2CE ＝4 3.方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解．探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角的度数如图,⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°,M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点,则∠MON 的度数是( ) A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ,所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°,而∠BAC ＝50°,由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边的长度如图,点A 、B 是⊙O 上两点,AB ＝10cm,点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合),连接AP 、BP ,过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ,OF ⊥PB 于点F ,求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线,然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系,从而解决问题．解：在⊙O 中,∵OE ⊥AP ,OF ⊥PB ,∴AE ＝PE ,BF ＝PF ,∴EF 是△ABP 的中位线,∴EF ＝12AB＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识,但也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来解决问题,我们一定要学会把知识融会贯通,在解决问题时才能得心应手．【类型三】动点问题如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB ＝8cm,P 是弦AB 上的一个动点,求OP 长度的取值范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时,OP 最长,此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时,OP 最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：如图,作直径MN ⊥弦AB ,交AB 于点D ,由垂径定理,得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm,连接OA ,∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中,由勾股定理,得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短,当点P 处于弦AB 的端点时,OP 最长,此时OP 为半径的长,∴OP 长度的取值范围是3cm ≤OP ≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况,灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计垂径定理1．垂径定理2．垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理,由于它涉及的条件结论比较多,学生容易搞混淆,本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法,课前布置所有同学制作一张圆形纸片,课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,环环相扣、逐层深入,激发学生的学习兴趣,收到了很好的教学效果.。

九年级数学垂经定理教案

24．1.2 垂直于弦的直径1．进一步认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．一、情境导入如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．〔1〕圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？二、合作探究探究点一：垂径定理(小组讨论)如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．〔1〕圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？〔2〕你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？【类型一】垂径定理的理解“知二推三〞(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(3)时,应对另一条弦增加〞不是直径〞的限制.如下图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( ) A ．23cm B ．32cmC ．42cmD ．43cm解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DPOD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23，∴AB ＝4 3.应选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：此题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如下图，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦〞得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.应选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5cm. 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯穿，在解决问题时才能得心应手．【类型三】动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.。

沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理

DDBA27.3 垂径定理（2）[学习目标]1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点]能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.一、课前预习1、垂径定理： .2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ，且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“»»AD BD =”，结论还成立吗？为什么？4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的上，所以，弦AB 的垂直平分线必经过 .5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M.（1）如果AM =BM ，»»AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？（2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，»»AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？二、课堂学习1、由课前预习2可以归纳得到：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.2、由课前预习3可以归纳得到：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.4、由课前预习5可以归纳得到：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.4、总结上面的讨论，可以概括为：在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.5、例题1 如图，已知O e 中，C 是»AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ，120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长.（提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”，所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”）6、例题2 已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.）课堂小结BA三、课堂练习 1、如图，已知AD 是O e 的直径，»»»AB BC CD ==. （1) 求»BD所对的圆心角的大小；（2）OC 与BD 垂直吗？为什么？2、如图是一块残缺的圆形砂轮片，试画出这块砂轮片原来的图形，3，如图，已知O e 的半径长为3厘米，半径OB 与弦AC 垂直，垂足是点D ，AC 长为3厘米. 求：(1)AOB ∠的大小；（2）CD 的长.四、课后练习1、如图，已知O e 的半径OC 过弦AB 的中点D ，如果»AC 的长是20厘米，那么»AB 的长是厘米.2、如图，已知C 是»AB 的中点，半径OC 与弦AB 相交于点D ，如果60,6OAB AB ∠==o　厘米，那么AOD ∠= 度， CD= 厘米.3、已知：如图， AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.求证：.AMN CNM ∠=∠4、（提高题）已知：如图，MN 是O e 的弦，AB 是O e 的直径，AB MN ⊥，垂足为点P ，半径OC 、OD 分别交MN 于点E 、F ，且OE=OF.求证：（1）ME=NF ；（2）¼».MCND =。

沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(3)垂径定理

BABA BACA P27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ，求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结、）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥　，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥　，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）课堂小结POBACDFOE B A C D P ON M B A C DO B CBCE DOA四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。

四、课后练习1、已知：如图，O e 中的弦AB 、CD 交于点P ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，»».AC BD = 求证：PMN V 是等腰三角形.2、如图，已知点A 、B 、C 分别在O e 上，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求O e 的半径长.3、已知ABC V 是直径长为10厘米的O e 的内接等腰三角形，且底边BC=8厘米，求ABC S V .4、如图，已知O e 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，10,2CD DE ==　，求AB 的长.5、已知：如图，1O e 与2O e 相交于点P 、Q ，点C 是线段12O O 的中点，AB 过点P 且与CP 垂直，点A 、B 分别是AB 与1O e 、2O e 的交点. 求证：.AP BP =。

2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习圆的认识和垂径定理内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。

沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》教学设计

4.课后总结：
（1）请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
（2）针对自己的困惑，提出改进措施，为下一节课的学习做好准备。
注意事项：
1.要求学生在作业过程中，注重解题步骤的规范性和逻辑性。
2.鼓励学生积极参与思考题，培养他们的探究意识和创新能力。
3.课后总结要认真对待，发现问题并及时解决，提高学习效率。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的内容，能够准确判断圆的直径所对的圆周角是直角。
2.能够运用垂径定理解决实际问题，如求圆的直径、半径等。
3.掌握垂径定理的证明方法，提高演绎推理能力。
4.能够运用垂径定理推导出圆的相关性质，如圆周角定理、弦切角定理等。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论以下问题：“垂径定理在生活中的应用有哪些？”、“如何证明垂径定理？”等。
2.交流分享：各小组汇报自己的讨论成果，其他小组进行评价和补充，教师适时给予指导和点拨。
3.深入探讨：引导学生探讨垂径定理与其他几何定理的联系，如圆周角定理、弦切角定理等。
（四）课堂练习
4.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对几何学产生浓厚的兴趣。
2.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，树立自信心。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：判断题、选择题、填空题和解答题，涵盖垂径定理的发现、证明和应用等方面。

沪教版(上海)数学九年级第二学期-26.3垂径定理教案

26.3垂径定理一、教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题；（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点：垂径定理及运用教学难点：运用垂径定理解决实际问题的能力二、知识点整理：请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【学生答】：这些图形都是轴对称图形。

（那么，你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。

）【学生答】：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆。

（圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学过的轴对称图形。

刚才**同学提出了圆也是轴对称图形，他的说法对吗？让我们来共同研究一下。

下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。

首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？）【学生答】：圆是轴对称图形。

师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？【学生答】：它的直径经过圆心的直线（有同学说是直径，有同学说是经过圆心的直线，谁说的对呢？同学们讨论一下。

）【学生答】：对称轴是直线而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线。

（现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。

那么看图，AB是⊙O的直径，而CD是垂直AB的弦，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。

CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD（学生答）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？）【学生答】：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。

首先我们分析一下这个定理的题设和结论。

题设：垂直于弦的直径。

结论：平分弦和弦所对的弧。

（学生完成）根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。

沪科版九年级下册数学：垂径定理

CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
用注辅a表若意助示圆：线，心解的这到决添三弦有法者的关．之距弦往间离的往有用问结怎d题合表样时勾示的,股半，关定径半系理是径？计常用r算2用r表。的示d一2，种弦 a长2 2
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
例1 已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径
解：连结OA，作OE⊥AB于E，则 OE=3cm,AE=BE
∵AB=8cm
∴AE=4cm 在Rt中有 OA= OE2 AE2
A
E
B
└
•o
= 32 42
7.2m 7.2m
37.4m
A
D 37.4m
B
?
O
已知：在⊙O中，CD=7.2m，AB=37.4m 求解：OA的长（精确到0.1米）
赵州石拱桥
解：由题设得 AB 37.4,CD 7.2,
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
37.4
OD OC DC R 7.2.
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 7.2 A OA2 AD 2 OD 2 ,
作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定
理创造条件。
r2
d
2
a
2
2
注意课后提升
1、课本P110练习1、2做在家庭本上。 2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。如果具备

沪科版九年级下册数学：垂径定理

1、如图1，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB ，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是_________。
2、如图2，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，连接 BC、OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，若 ∠B=25°，则∠BAD的度数是_________。
（图1）
（图2）
3、如图3，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且 ∠BAC=28°，则∠ADC=________。
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦______，所对弦的弦心距_____。在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的____、所对的___、所对弦的_______中，有一组量相等，那么其余的各组量分别________。
二、圆的有关角：
4、如图4，在⊙O中，A»B 与B»C 相等，OD⊥BC， OE⊥AC，垂足分别为D. E，且OD=OE，则 △ABC的形状是_______________。
（图3）
（图4）
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形 ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为______。
变式：求∠OAD+ ∠OCD的大小？
【探究1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，CE＝1，DE＝3，则⊙O的半径是_________。
【探究2】如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB 于点P，且PA=1cm，PB=5cm，∠DPB=30°，M为 CD的中点，求OM的长.
【探究3】如图，AB是⊙O的直径，C是的中点， CE⊥AB于点E，BD交CE于点F. （1）求证：CF=BF；
1、圆周角定理及推论（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 _______。（2）①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 _______，相等的圆周角所对的弧也______。 ②半圆或直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是________。 2、圆内接四边形圆内接四边形的对角______，且任何一个外角都等于它的__________。

沪科版九年级数学下册《【说课稿】垂径定理》

沪科版九年级数学下册说课稿垂直于弦的直径性质一．教学背景分析1、学习任务分析“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（沪科版）九年级下册第24章《圆》第2节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。

“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。

“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。

2、学生情况分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。

对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。

但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。

3、重点难点的定位教学垂点：垂径定理及其推论。

教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。

二．教学目标设计:1.知识与技能目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

2.过程与方法目标：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

3.情感、态度与价值观：对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。

从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。

三．课堂结构设计：《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。

因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：1、欣赏美——营造问题情境2、探究美——揭秘核心问题3、徜徉美——问题变式发散4、品味美——重建知识体系课堂教学应以学生为主体，教师为主导。

九年级数学下册27.1.3垂径定理教案沪教版五四制.doc

垂径定理及其推论（运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二0H 是CD 垂直平分线证明EH 二EF ）例3如图，00的直径AB=15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B 不重合）, 且CE 丄CD 交AB 于E, DF 丄CD 交AB 于F.（1）求证：AE=BF （过点0作CD 的垂线）（2）在动弦CD 滑动的过程屮，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由.（定值S 二54） ” ----- 、—例4如图，在O0内，弦CD 与直径AB 交成45°角,若弦CD 交直径AB 于点P,且半+ PD 22•如图1, OO 的半径为6cm, AB. CD 为两弦，且AB 丄CD,垂足为点E,若CE=3cm, DE 二7cm,则AB 的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 4迈cmD. 8近cm3•有下列判断：①肓径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③肖•径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴冇无A. 1cmB. 2cmC. y[2cmD. y/Scm数条.其中正确的判断冇（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.如图2,同心圆中，大圆的弦交AB于C. D若AB二4, CD二2,圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为（）6. 如图，00的直径为10,弦AB 二& P 是弦AB 上的一个动点，那么0P 长的取值范|韦I 是 _____ .7. 如图，已知有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB 二16cm,拱高CD 二4cm,那么拱形的半径是 _____ m.8. 如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分）,水面的宽度昇〃为800mm,求水的最大深度⑦A. 3:2B. V5 :2C. 75 : V2D. 5:45.等腰外接圆三角形腰长为4cm,底角为3（）。

九年级数学下册 27.1.3 垂径定理教案沪教版五四制

垂径定理及其推论教学目标垂径定理的内容及其推论重点、难点垂径定理的内容及其推论考点及考试要求会灵活运用垂径定理的内容及其推论计算及证明。

教学内容知识点梳理垂径定理：垂直于弦的直径，并且．推论1：①平分弦（不是）的直径，并且． ②弦的经过，并且．③平分弦所对的一条孤的直径, ，并且．推论2．圆的两条平行弦．垂径定理及推论1中的三条可概括为：经过； ②垂直于； ③平分 (不是直径)； ④平分弦所对的； ⑤平分弦所对的．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB ．CD 是⊙O 的弦，M ．N 分别是AB ．CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ．(联结OM,ON)例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．求证：CE=DF ．A BD C O ·N M O DC MA Bl•问题一图1 OHFE D CBA l•问题一图2 O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA(运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二OH 是CD 垂直平分线证明EH=EF)例3 如图，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于E ，DF⊥CD 交AB 于F ．（1）求证：AE ＝BF （过点O 作CD 的垂线）（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由．（定值S=54）例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（联结OC ，过点O 作CD 的垂线，定值等于2）【课堂练习】1．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）． A ．1cm B ．2cm C ．cm 2 D ．cm 32．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB ．CD 为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（） A ．10cm B ．8cm C ．cm 24 D ．cm 283．有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条．其中正确的判断有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C ．D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）O A B C D E FmA BCDPO．A BDCO 800 A ．3:2 B ．5:2 C ．5:2 D ．5:45．等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm6．如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是． 7．如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _ __m ．8．如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．9．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为． 10．已知在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为弧AB 的中点,AB ．OC 相交于点M ．试判断四边形OACB 的形状,并说明理由．A B C D BP A O D CBA MCBAO A D EC B ·图1A ·C DB 图211．如图，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC ．BD 交直径MN 于E 、F ．求证：ME=NF ．（作AB 的垂线）【课后作业】 1．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M ．且OM=3cm ，则CD= ．2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm ． 3．若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是．4．已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为． ⊙O 的面积为． 5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是．6．⊙O 中，AB ．CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD ．BC ，则梯形ABCD 的面积等于．7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB ．CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= ．8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为．O A B D C E FM N · A E F BC DO。

27.3 垂径定理(课件)九年级数学下册(沪教版)

AD与BD相等吗？为什么？
C
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
·O
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒=BC
⌒ =BD.
⌒， AD
⌒
（2）根据图形对称性可得AC
E
A
D
B
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
C
（1）CD⊥AB吗？为什么？
C
①过圆心；
②垂直于弦；
O
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧.
A
E
D
B
在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，可以推出其
他三个结论吗？
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
⌒ ⌒
⌒ ⌒
（2）AC与BC相等吗？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
你能证明上述结论吗？
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，
垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
A．CE＝DE
B．AE＝OE
⌒ ⌒
C. BC＝BD
D．△OCE≌△ODE
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中
不一正确的是( D )
A．∠COE＝∠DOE
B．CE＝DE
C.

2017春九年级数学下册 27.3 垂径定理(1)教案沪教版五四制

学生学情分析：学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系
课型
新授课
教
学
目
标
1.经历利用圆的轴对称性探究垂直于弦的直径的性质的过程，掌握垂径定理；
2.能初步运用垂径定理解决有关数学问题；
3.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；
结合例题进行爱国主义教育.
也可以说成：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号表达式:
∵直径CD⊥AB，垂足为E，
∴AE=BE，AC=BC，AD=BD.
有时也可以这样表达:
∵半径OD⊥AB，垂足为E，(或OE是弦心距)
∴AE=BE，AD=BD.
(在应用垂径定理解题时常构造“半径、半弦、弦心距”所构成的Rt△).
课堂小结：知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
通过今天的学习我们将可解决这个问题.
课前练习二
线段,角,等腰三角形,矩形等都是轴对称图形;平行四边形是中心对称图形.
圆是一个怎样的对称图形?
任意一条直径所在直线都是它的对称轴,它的对称中心是圆心.
知识呈现：
新课探索一（1）
思考如图,AB是O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
问题你发现图中有哪些相等的线段和弧(半圆除外).
也可以说成：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
新课探索二
例题1已知:如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.
新课探索三
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗?

沪教版初三下册垂径定理—知识讲解(提高)

沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴，，∴在Rt△BOM中，．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2016•乐山模拟）李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？【思路点拨】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．运用垂径定理和勾股定理即可求解．【答案与解析】解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm∴AG=GC=160cm，设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣40）2+1602，解得R=340cm，340×2=680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．【点评】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练勾股定理的表达式及垂径定理的内容，注意构造直角三角形．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.。

沪教版(五四学制)九年级数学下册教案：27.1垂径定理

九年级数学下册第27章圆的基本元素圆的对称性垂径定理圆周角2圆的对称性第2课时垂径定理教案华东师大版

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