共形映射ch 7 7-3 7-4

合集下载

复变函数-共性映射

8
y
z0
(z)
v
(w)
w0
O
x
O
u
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0).
9
y
(z) C2 z0
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O O x u 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线Γ1与Γ2之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性
29
因此, 映射w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 变为方程 d(u2+v2)+bu−cv+a=0 当然, 可能是将圆周映射为圆周(当a≠0,d≠0); 圆周映射成直线(当a≠0,d=0); 直线映射成圆周 (当a=0,d≠0)以及直线映射成直线(当a=0,d=0). 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.
13
2. 共形映射的概念定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射w=f(z)在z0是共形的, 或称w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共形的, 就称w=f(z)是区域D内的共形映射.
14
定理二如果函数w=f(z)在z0解析, 且f '(z0)≠0, 则映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表示这个映射在z0的转动角, |f '(z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f(z)在D内处处有f '(z)≠0, 则映射w=f(z)是D内的共形映射 z0

共形映射知识点总结

共形映射知识点总结1. 共形映射的定义共形映射是指一个保角映射，即保持角度不变的映射。

设f(z)是复平面上的一个函数，如果存在一个映射关系g(z)，使得对于任意z1和z2，它们的连线与x轴的夹角相等，则称f(z)是一个共形映射。

一个映射f(z)在z处保持共形，如果它在z处可微且其导数不为0，且满足下面的Cauchy-Riemann条件：\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partialu}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]其中f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是复平面上的一个函数，u和v是实数函数。

2. 共形映射的性质（1）共形映射保持曲线的角度不变。

设f(z)是一个共形映射，若曲线C经过f(z)映射后变为C'，则曲线C与C'在每个点处的切线夹角相等。

（2）共形映射保持比例不变。

设曲线C经过f(z)映射后变为C'，则C'的任意两点之间的距离与C的对应两点之间的距离之比在每个点处相等。

（3）共形映射不存在全纯的双全纯函数。

3. 共形映射的应用共形映射在多个领域有着广泛的应用，包括：（1）在解析几何中，共形映射可以用来描述复平面上的曲线和曲面，它可以将复平面上的各种曲线映射到圆盘上的圆或者半平面上的线段，从而简化对曲线和曲面的研究。

（2）在物理学中，共形映射被广泛应用于流体力学、电磁学和热力学等领域，因为共形映射保持角度和比例不变，它可以帮助研究者简化复杂的物理问题，得到更简洁的物理模型。

（3）在工程领域中，共形映射可以用来处理复杂的结构和材料的问题，比如用共形映射可以将一个复杂结构的材料映射为一个简单的结构，从而方便分析和计算。

（4）在计算机科学和计算机图形学中，共形映射可以用来处理和分析复杂的图形和图像，比如可以利用共形映射将一个图形映射到另一个图形，从而方便比较和分析。

共形映射

与方向不变，称这个性质为保角性保角性。与方向不变，称这个性质为保角性。
f ′(z0 ) ≠ 0是必要的，否则保角性是必要的，不成立
试求映射w=f(z)=z2 在z0处的旋转角与例1 试求映射伸缩率: 伸缩率 (1) 解： f′(z) = 2z (1)z0=1, f′(1) = 2 故w=z2在z0=1处的旋转角处的旋转角 z0=1 ； (2) z0=1+i
| 例5 设z平面上有两个圆 | z 1 |< 2，z + 1 |< 2 zi 求两个非公共区域在映射w = 下的像 z+i
y
i Ⅰ 1 x
v o u
Ⅱ 1
i 两圆的交点为( 解：两圆的交点为 i, 0) (i, 0)
ii z = i时， w = =∞ i+i
2 +1 i 1 i = 2 +1+ i 2
多项式除法
az + b a b = (z + ) 当c = 0时， w = 时 d d a
az + b a bc ad 当c ≠ 0时， w = 时 = + cz + d c c(cz + d )
a bc ad 例4 将分式线性映射 w = + 分解为四 c c(cz + d )
种形式的复合
z → z1 → z 2 → z 3 → z4
1 处共形，从而由 z = 知其在 w = ∞处共形， w 1 点处共形。也即 w = 在z = 0点处共形。 z
反演映射具有保形性
(2) 对于 w = az+b (a≠0) w=az+b(a≠0)在整个扩充复平面上是双方单值的在整个扩充复平面上是双方单值的 dw 保形当z ≠ ∞时, w = az + b解析且 =a≠0 dz 1 1 ξ 当z = ∞时, 令ξ = ，η = , 则η = (ξ ) = z w bξ + a ξ 1 ′(0) = ≠ 0 η = (ξ ) = 解析，解析，且 bξ + a a

第六章共形映射详解

l
v
w f (z)
w0
z0
z
C

Hale Waihona Puke oC : z z(t ), t : w f ( z(t )), t
在w0 f ( z0 )处的切线与实轴正向夹角为：
u
argw(t0 ) arg[ f ( z0 ) z(t0 )] arg f ( z0 ) arg z(t0 )
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案
East china university of science and technology
二、共形映射的概念
定义：设w f ( z)在某N ( z0 )有定义，若w f ( z)在z0
处具有保角性和保伸缩率不变性，则称 w f ( z)
在z0处是保角的；
z0 保角性 : w f ( z ) 在处具有保持两曲线夹角的大小、
方向不变性。
s
f ( z 0 ) 的几何意义：
i
z0
r
z

w
w0
i

令 z z0 re , w w0 e
w w0 f ( z ) - f ( z0 ) ei i z z0 z - z0 re
z z0 当t t 0 ( z z0 )时， z(t 0 ) t t0
z0
T
l
z
C

割线l的极限位置是切线T
于是切线T的方向与z(t0 )一致。
即 arg z(t0 )
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案
East china university of science and technology

15第六章共形映射

第六章共形映射§1. 共形映射的概念补充概念:映射的概念映射的定义:一. 导数的几何意义. , ,, , , 的点集之间的对应关系上必须看成是两个复平面的几何图形表示出来因而无法用同一平面内之间的对应关系和由于它反映了两对变量对于复变函数y x v u ).()( * )( )( , , 或变换的映射函数值集合平面上的一个点集变到定义集合平面上的一个点集是把在几何上就可以看作那末函数值的平面上的点表示函数而用另一个平面的值平面上的点表示自变量如果用G w G z z f w w w z z =. )( 所构成的映射函数这个映射通常简称为由z f w =1. 伸缩率与旋转角若极限z w limz ∆∆∆0→存在，则称此极限值为曲线C 经过映射()z f w =下在0z 点的伸缩率，称角00θϕ-为曲线C 经过映射()z f w =下在0z 点的旋转角. 2. 伸缩率不变性3. 旋转角不变性与保角性例1. 求函数3z w =在z =i 与z =0处的导数，并说明几何意义., ,)(0内一点为内解析在区域设函数D z D z f w =.)(,0)(0的伸缩率不变在那末映射且z z f w z f =≠' , ,)(0内一点为内解析在区域设函数D z D z f w =.)(,0)(0的旋转角不变在那末映射且z z f w z f =≠'部分缩小？哪一平面的哪一部分放大？转动角，并说明它将处的在试求映射z i z z z z f w 212)(2+-=+==例2二. 共形映射的概念定义: 对于定义在区域D 内的映射()z f w =，如果它在D 内任意一点都具有保角性及伸缩率不变性，则称()z f w =为第一类保角映射；如果它在D 内任意一点都保持曲线的交角的大小不变但方向相反，且伸缩率不变，则称()z f w =为第二类保角映射.定理1 若函数()z f w =在区域D 内解析，且()0≠'z f 恒成立，则它所构成的映射为第一类保角映射.例2. 考察映射z w =.定义设()z f w =是区域D 内的第一类保角映射，且对于任意21z z ≠，有()()21z f z f ≠成立，则称()z f w =为共形映射.例3. 判断ze w =是否为共形映射.§2. 共形映射的基本问题一. 解析函数的保域性与边界对应原理定理2 （保域性定理）设函数()z f w =在区域D 内解析，且不恒为常数，则像集合()D f G =为区域.定理3 （边界对应原理）设区域D 的边界为简单闭曲线C ，函数()z f w =在C D D =上解析，且将C 双方单值地映射成简单闭曲线Γ.当z 沿着C 的正向绕行时，相应的w 的绕行方向定为Γ的正向，并令G 是以Γ为边界的区域，则()z f w =将D 共形映射成G .例4. 设区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=10,2arg 0|z z z D π，求D 在映射3z w =下的像集.二. 共形映射的存在惟一性定理4 （黎曼存在惟一性定理）设D 和G 是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两个点，则一定存在解析函数()z f w =把D 保形地映射为G .如果在D 内和G 内再分别任意指定两个点0z 和0w ，并任给一个实数0θ()πθπ≤<-0，要求函数()z f w =满足()(),z f arg ,w z f 0000θ='=则映射()z f w =是惟一的.§3. 分式线性映射由分式线性函数()0,,,≠-++=bc ad d c b a dcz baz w 为复常数，构成的映射称为分式线性映射.其逆映射也为分式线性映射.特别地，当0=c 时，则称为（整式）线性映射.一. 分式线性映射的分解结论：任意一个分式线性映射都可以分解为以下四种映射.()()()()()()()zw r rz w zew b b z w i 14032100=>==+=反演映射相似映射为实数旋转映射为复常数平移映射θθ例5. 将分式线性映射i z z w +=2分解.1. 平移、旋转与相似映射2. 反演映射结论反演映射是由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成.二.分式线性映射的保形性定理5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.三. 分式线性映射的保圆性定理6 在扩充复平面上分式线性函数把圆映射为圆.例6. 求实轴在映射i z z w +=2下的像曲线.例7. 求区域{}21,21|<+<-=z z z D在映射i z i z w +-=下的像.四. 分式线性映射的保对称点性引理扩充复平面上的两点21,z z 关于圆C 对称的充要条件是通过1z 与2z 的任意圆都与圆C 正交.定理7 （保对称点定理）设21,z z 关于圆C 对称，则在分式线性映射下，它们的像点21,w w 关于C 的像曲线Γ对称.例8 求一分式线性映射d cz b az w ++=，将单位圆内部变为上半个平面.五.惟一决定分式线性映射的条件定理8 在z 平面上任给三个不同的点321,,z z z ，在w 平面上任给三个不同的点321,,w w w ，则存在惟一的分式线性映射d cz b az w ++=，把321,,z z z 分别依次地映射为321,,w w w .231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----（对应点公式）推论1 如果k z 或k w 中有一个是∞，则只需将对应点公式中含∞的项换为1。

复变函数理论中的共形映射及其性质

复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。

复变函数理论的一个重要概念是共形映射。

共形映射是指保持角度不变的映射关系。

本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。

一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。

设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。

二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。

设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。

2. 保距性质：共形映射保持距离不变。

设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。

3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。

若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。

4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。

具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。

三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。

线性变换可以将直线映射为直线或者圆。

2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。

幂函数可以将圆映射为圆或者直线。

3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。

分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。

四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。

共形映射ch 7 7.1

证首先证明G的每一点都是内点. 设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0). 要证w0是G的内点,只须证明w*与w0 充分接近时,w*亦属于G,
即当w*与w0 充分接近时, 方程w*=f(z) 在D内有解.
为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,) 显然 f(z0)-w0=0,
arg w'(t0 ) arg f '(z0 ) arg z'(t0 ), arg f '(z0 ).
设： f (z0 ) Re i , | f (z0 ) | R, arg f (z0 )
, 且 lim w R 0.
z0 z
y
Cz
z0+∆z
z0
0
x
w=f(z) 图7.1
因此根据儒歇定理6.10,在C的内部 f (z) w* [ f (z) w0 ] w0 w*
与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解. 其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均
可以用一条完全含于G的折线联结起来. 由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线 C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：
由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,
C及C的内部全含于D,使得f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)
均不为零.因而在C上:| f (z) w0 | 0.
对在邻域 | w* w0 | 内的点w*及在C上的点z有
| f (z) w0 | | w* w0 | .
证: 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数. 注定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充

第六章 6.1-6.2 共形映射及其基本问题

5
二、导数的几何意义
设函数 w f (z ) 在区域 D 内解析，
切线
z0 D , 且 f ( z0 ) 0 .
分析 f ( z0 ) lim
| w | i ( 0 0 ) e , z 0 | z | C0
( z0 )
z0
z
z
C0

0
(z )
w f (z )
可见，它不是双方单值的，因此，它不是共形映射。 (3) 如果设区域 D { z : 0 Im z 2π } , 则它在区域 D 内
是双方单值的，因此，它是区域 D 内共形映射。
13
§6.2 共形映射的基本问题
一、问题一二、问题二(基本问题)
14
一、问题一
对于给定的区域 D 和定义在区域 D 上的函数 w f (z ) , 求象集合 G f (D) .
2. 第二类保角映射定义若函数 w f (z ) 在区域 D内满足：
P138 定义 6.1
(1) 保角性 , (保大小, 保方向)； (2) 伸缩率不变性，
C1
1 0
C0
z0
0
1
(z )
(1) 能保持两条曲线的交角的大小不变，但方向相反； (2) 伸缩率不变性，则称函数 w f (z ) 为区域 D 内的第二类保角映射。
y x
1 1 i, , 有 z 解 (1) 由 w w zi
(z )
D
C
令 z x i y , w u iv ,
1 i 则有 x i y u iv
u v 2 2 ii, 2 2 u v u v
u2 v 2 v u . , y x 2 2 2 2 u v u v

共形映射

第六章共形映射（The Conformal mapping）第一讲授课题目：§6.1共形映射的概念；§6.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性.学时安排：2学时.教学目标：1、理解导数的几何意义；2、弄清共形映射的概念；3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：1-3作业布置：164板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念；2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理；教学过程：§6.1共形映射的概念(The conception of conformal mapping)一、导数的几何意义（Geometric meaning of derivative ）1、解析变换的保域性（Transform domain of security analysis ）解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质.注1：单叶函数是一个单射的解析函数.例 1 函数α+=z w 及z w α=是z 平面上的单叶解析函数它们把z 平面映射成w 平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射0≠α.例 2 z e w =在每个带形,2Im π+<<a z a 内单叶解析，并且把这个带形区域映射成w 平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a 是任意实常数.引理（Lemma ）：设函数)(z f 在0z z =解析，并且)(00z f w =.设...)3,2,1(0)(,0)(...)('')('0)(0)1(00=≠====-p z f z f z f z f p p ，那么0)(w z f -在0z 有p 阶零点，并且对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点.证明：由已知条件可知0)(w z f -在0z 有p 阶零点.由于)(z f 不恒等于零，作以0z 为心的开圆盘ρ<-|:|0z z D ，其边界为C ，使得)(z f 在C D D ⋃=上解析，并且使得0)(w z f -及)(z f '除去0z z =外在D 上无其它零点.有0|)(|min 0>=-∈μw z f Cz 取w ，使μ<-<||00w w .由儒歇定理，比较w z f -)(及0)(w z f -在内D 的零点的个数.由于),())(()(00w w w z f w z f -+-=-而当C z ∈时,0|||)(|00>->≥-w w w z f μ可见w z f -)(及0)(w z f -在D 内的零点个数同为p （每个n 阶零点作n 个零点）.因为0w w ≠，所以0z z ≠，而0]')([0≠-≠z z w z f . 所以w z f -)(在D 内的每个零点都是一阶的.由此引理可证明下面定理定理(Theorem)6.1、设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则D z ∈∀，有 .0)('≠z f注2：这个定理的逆定理不成立，例如z e w =的导数在z 平面上任意一点不为零，而z e w =在整个z 平面上不是单叶的.定理(Theorem)6.2设函数)(z f w =在0z z =解析，并且0)('0≠z f ，那么)(z f 在0z 的一个邻域内单叶解析.定理(Theorem)6.3设函数)(z f w =在区域D 内解析，并且不恒等于常数，则)(1D f D =是一个区域.注3：如果)(z f w =在区域D 内单叶解析，根据定理6.3，它把区域D 双射成区域)(D f .于是)(z f 有一个在)(D f 内确定的反函数)(w z ϕ=.定理(Theorem)6.4设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则)(z f w =在)(D f 内存在单叶解析的反函数)(w z ϕ=，且 .)('1)('z f w =ϕ 证明：考虑以下思路：)(0D f w ∈∀，有D z ∈∀0,1)()(000000z z w w w w z z w w w w --=--=--ϕϕ 因为当0w w →时，)()(00z z w z ϕϕ=→=，所以,)('1)()(lim 1lim 1)()(lim 0000000000z f z z z f z f z z w w w w w w z z z z w w =⎪⎪⎭⎫ ⎝--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--→→→ϕϕ即可给出定理的证明.2、导数的几何意义(Geometric meaning of derivative)设函数)(z f w =是区域D 内的单叶解析函数.)(,000z f w D z =∈.则有0)('0≠z f .过0z 作一条简单光滑曲线C ： ),()()()(b t a t iy t x t z z ≤≤+==]),[()(000b a t z t z ∈=.)(')(')('t iy t x t z dtdz +== 则)(0t z '存在，且0)(0≠'t z作过曲线C 上点)(00t z z =及)(11t z z =的割线，割线的方向向量为0101t t z z --，当1t 趋近于0t 时，向量0101t t z z --与实轴的夹角0101arg t t z z --存在极限，即为曲线C 在0z z =的切线的位置.已知,0)('lim 0010101≠=--→t z t t z z t t 所以，有),('arg arg lim 0010101t z t t z z t t =--→ 这就是曲线C 在)(00t z z =处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的. 函数)(z f w =把简单光滑曲线C 映射成一条简单曲线Γ： ),())((1t t t t z f w o ≤≤=由于())('))(('000t z t z f t w ='，可见Γ也是一条光滑曲线；它在0w 的切线与实轴的夹角是()),('arg ))(('arg )('))(('arg arg 00000t z t z f t z t z f t w +==' 因此，Γ在0w 处切线与实轴的夹角及C 在0z 处切线与实轴的夹角相差)('arg 0t z .注4：这里的)('arg 0t z 与曲线C 的形状及在0z 处切线的方无关.另外在D 内过0z 另有一条简单光滑曲线)(:11t z z C =，函数)(z f w =把它映射成一条简单光滑曲线))((:11t z f w =Γ.和上面一样，1C 与1Γ在0z 及0w 处切线与实轴的夹角分别是)('arg 01t z 及),('arg ))(('arg )('))(('arg 01010101t z t z f t z t z f +=所以，在0w 处曲线Γ到曲线1Γ的夹角恰好等于在0z 处曲线C 到曲线1C 的夹角：),('arg )('arg )('))(('arg )('))(('arg 001000101t z t z t z t z f t z t z f -=-因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性.下面再说明它的模的几何意义.因为,|||)()(|lim |)('|0000z z z f z f z f z z --=→ 由于|)('|0z f 是比值|||)()(|00z z z f z f --的极限，它可以近似地表示这种比值.在)(z f w =所作映射下，||0z z -及|)()(|0z f z f -分别表示z 平面上向量0z z -及w 平面上向量)()(0z f z f -的长度，这里向量0z z -及)()(0z f z f -的起点分别取在0z 及)(0z f .当较小||0z z -时，|)()(|0z f z f -近似地表示通过映射后，|)()(|0z f z f -对||0z z -的伸缩倍数，而且这一倍数与向量0z z -的方向无关.我们把|)('|0z f 称为在点0z 的伸缩率.从几何直观上来看.设)(z f w =是在区域D 内解析的函数，0)(',),(,00000≠∈=∈z f D z z f w D z ，那么)(z f w =把z 平面上半径充分小的圆ρ=-||0z z 近似地映射成w 平面上圆),0(|)('|||00+∞<<=-ρρz f w w因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性.二、共形映射的概念(The concept of conformal mapping) 定义(Definition)6.1对于区域D 内的映射)(z f w =，如果它在区域D 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射)(z f w =是第一类保角映射；如果它在区域D 内任意一点保持曲线的交角的大小不变，则称映射)(z f w =是第二类保角映射.定理(Theorem)6.5如)(z f w =在区域D 内解析，且0)(≠'z f 则)(z f w =所构成的映射是第一类保角映射. 定义(Definition)6.2设)(z f w =是区域D 内的第一类保角映射，如果当21z z ≠时，有()21)(z f z f ≠，，则称)(z f 为共形映射.例1z e w =在复平面上解析，且0)(≠='z z e e ，因此z e 在任何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射，而在区域π4Im 0<<z 内，z e w =构成共形映射.§6.2共形映射的基本问题(The basic problem of conformal mapping)一、共形映射的基本问题(The basic problem of conformalmapping)对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题.问题一对于给定的区域D 和定义在D 上的解析函数()z f =ω，求像集()D f G =，并讨论()z f 是否将D 共形的映射为G .问题二给定两个区域D 和G ，求一解析函数()z f =ω，使得()z f 将D 共形的映射为G .对于问题二，我们只需考虑能把D 变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数()z f =ξ把D 变为1<ξ，而函数()ωξg =把G 变为1<ξ，则()()z f g 1-=ω把D 映射为G （下图）.二、解析函数的保域性与边界对应原理(Analytic functions of protection domain and the boundary correspondence principle )对于问题一，有下面两个定理.定理(Theorem)6.6（保域性定理）设函数()z f 在区域D 内解析，且不恒为常数，则像集合()D f G =是区域.定理(Theorem)6.7 （边界对应原理）设区域D 的边界为简单闭曲线C ，函数()z f =ω在C D D Y =上解析，且将C 双方单值的映射成简单闭曲线Γ.当z 沿C 正向绕行时，相应的ω的绕行方向定为Γ的正向，并令G 是以Γ为边界的区域，则()z f =ω将D 共形的映射为G .注1：定理6.6说明了解析函数把区域变为区域，注2：定理6.7为像区域的确定给出了一个一般性的方法. 注3：是Γ的方向.（如下图），区域D 在曲线C 的内部，在C 上沿逆时针方向取三个点321,,z z z ，函数()z f =ω将C 于321,,z z z 分别映射为Γ和321,,ωωω.若321,,ωωω也按逆时针方向排列，则像区域G 在Γ的内部.例1 设区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=10,2arg 0:z z z D π，求区域D 在映射3z =ω下的像区域G .解：（如下图），设区域D 的边界为321C C C ++，其中1C 的方程为θi e z =（θ从0到2π），相应的像曲线1Γ的方程为 ϕθωi i e e ==3（ϕ从0到23π）； 2C 的方程为iy z =（y 从1到0），相应的像曲线2Γ的方程为()iv y i =-=3ω （v 从-1到0）3C 的方程为x z =（x 从0到1），相应的像区线3Γ的方程为u x ==3ω（u 从0到1）.因此像区域为()b⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=23arg 0,10:πωωωG .三、共形映射的存在唯一性(Conformal mapping of the existence and uniqueness)1、问题二函数的存在性：当区域D 是下面两种情况之一时，将不存在解析函数，使之保形地映射为单位圆内部.第一，区域是扩充复平面；第二，区域是扩充复平面除去一点（不妨设为∞点，如果是有限点z ，只需做一映射01z z -=ξ即可）.无论哪一种情况，如果存在函数)(z f =ω将它们共形映射为1<ω，则)(z f 在整个复平面上解析，且1)(<z f .根据刘维尔定理（见§3.4）)(z f 必恒为常数.这显然不是我们所要求的映射.2、问题二函数的唯一性：一般说来是不唯一的，例如，对任意给定的常数0θ，映射0θωi ze =均把单位圆内部映射为单位圆内部.那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且唯一呢？黎曼（Riemann ）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理.定理(Theorem)6.8（黎曼存在唯一性定理）设D 与G 是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数)(z f =ω 把D 保形的映射为G .如果在D 和G 内在再分别任意指定一点0z 和0ω，并任給一实数)(00πθπθ≤<-，要求函数)(z f =ω满足00)(ω=z f 且00)(arg θ='z f 则映射)(z f =ω是唯一的.注4：黎曼存在唯一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在唯一性，但没有给出具体的求解方法.2 1§6.3 分式线性映射分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.1、理解分式线性函数所构成的映射2、掌握分式线性映射的性质3、切实掌握两个典型区域间的映射分式线性映射的保圆性、保行性解析函数的保域性与边界对应原理分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件讲授法多媒体与板书相结合P习题六：4-9164一、分式线性函数及其分解二、分式线性映射的保圆性三、分式线性映射的保行性四、分式线性映射的保对称点性五、两个典型区域间的映射[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握分式线性函数所构成的映射第二讲授课题目：§6.3 分式线性映射；教学内容：分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.学时安排：2学时.教学目标：1、理解分式线性函数所构成的映射；2、掌握分式线性映射的性质；3、切实掌握两个典型区域间的映射；教学重点：分式线性映射的保圆性、保行性；教学难点：分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：4-9作业布置：164板书设计：一、分式线性函数及其分解；二、分式线性映射的保圆性；三、分式线性映射的保行性；四、分式线性映射的保对称点性；五、两个典型区域间的映射参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握分式线性函数所构成的映射；教学过程：§6.2 分式线性映射（The fraction linearity mapping ）形如：dz c baz w ++=的函数，称为分式线性函数.其中d c b a ,,,是复常数，而且0≠-bc ad .在0=γ时，我们也称它为整式线性函数. 一、分式线性函数及其分解(Fractional linear function and its decomposition) 一般分式线性函数总可以分解为下列四种简单函数复合：（1）α+=z w （α为一个复数）；（2）z e w i θ=（θ为一个实数）；（3）rz w =（0>r ）；（4）、zw 1=. 例2 将分式线性函数iz zw +=2分解为四种简单函数复合解：⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-+=+=-i z e i z ii z z w i 1222222π，其复合过程为w z z z z z z z ez z iz i −−→−−→−−−→−−→−−→−++-242321143221π1、平移、旋转与相似映射 (1) 平移映射：α+=z w令iy x z +=，21ib b b +=，iv u w +=，则有1b x u +=，2b y v +=，它将曲线C 沿b 的方向平移到曲线γ(2)旋转映射：z e w i θ=令0θi e z =，则有)(0θθ+=i e w ，它将曲线C 绕原点旋转到曲线γ. (3 ) 相似映射：rz w =令θρi e z =，则有θρi e r w =，它将曲线C 放大（或缩小）到曲线γ 2、反演映射：zw 1=令θi re z =，则有)(1θ-=i e r w 即zw 1=，zw arg arg -=由zw 1=可知，当1<z 时，1>w ；当1>z 时，1<w 因此反演映射zw 1=的特点是将单位圆内部（或外部）的任一点映射到将单位圆外部（或内，部）且辐角反号.反演映射zw 1=可以分两步进行，第一步，将z 映射为z w 11=:zw 11=,且 z w arg arg 1=再将1w 映射为w 满足: 1w w=,且11arg arg w w -=定义 6.3设某圆的半径为B A R ,,为两点在从圆心出发地射线上，且2R B o A o =⋅,则称B A 与是关于圆周对称的.即设已给圆)0(|:|0+∞<<=-R R z z C ，如果两个有限点1z 及2z 在过0z 的同一射线上，并且20201||||R z z z z =--，那么我们说1z 及2z 是关于圆C 的对称点.因此，zw 1=可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成. 二、分式线性映射的保行性(Fractional linear maps preserving feasibility)规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆. 定理(Theorem)6.8 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆.证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw 1=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射z w 1=也把圆映射为圆即可. 由此可得如下定理定理(Theorem)6.9分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.三、分式线性映射的保圆性(Fractional linear maps preserving circle of)定理(Theorem)6.10扩充 z 平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w 平面上任何圆. 证明：由映射zw 1=把圆映射为圆可证明此定理. 注1：圆C 上的点是它本身关于圆C 的对称点；注2：规定0z 及∞是关于圆C 的对称点；注3 :利用此定理也可以解释关于直线的对称点.例1 求实轴在映射iz i w +=2下的像曲线. 解：在实轴上取三点∞=1z ，02=z ，13=z ，则对应的三个像点为01=w ，22=w ，i w +=13，所以像曲线为11=-w ，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部.四、分式线性映射的保对称点性(Fractional linear maps of symmetric point of)引理:不同两点1z 及2z 是关于圆C 的对称点的必要与充分条件是通过1z 及2z 的任何圆与圆C 直交.定理(Theorem)6.11设点1z 及2z 关于圆C 的对称，则在分式线性映射下，它们的像点1w 及2w 关于圆C 的像曲线Γ对称.证明：设Γ'是过1w 及2w 的任意一个圆，则其原像C '是过1z 及2z 的圆.由1z 及2z 是关于圆C 对称，有C '与C 正交，由保角性Γ'与Γ正交，即过1w 与2w 的任意圆Γ'与Γ正交，因此1w 及2w 关于圆C 的像曲线Γ对称.五、唯一决定分式线性映射的条件(The only decision the conditions of fractional linear maps)定理(Theorem)6.12 在z 平面上任意三个不同的点321,,z z z 以及扩充 w 平面上任意三个不同的点321,,w w w ，存在唯一的分式线性函数，把321,,z z z 分别映射成321,,w w w .证明：在z 平面上，考虑已给各点都是有限点的情形.设所求分式线性函数（也称为分式线性变换）是d cz b az w ++=那么，由dcz b az w d cz b az w d cz b az w ++=++=++=222222111,, 得))(())(())((1111d cz d cz d cz b az d cz b az w w ++++-++=-))(())((11d cz d cz bc ad z z +++-= 同理，有：))(())((131313d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((232323d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((222d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，因此，有231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----，将上式整理后可以解出形如dcz b az w ++=的分式线性函数.显然得这样的分式线性函数是唯一的. 由此，我们可以解出分式线性函数.由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的.推论1：如果k z ，或k w 中有一个为∞，则只需要将对应点公式中含有∞的项换为1.推论2：设)(z f w =是一分式线性映射，且)(11z f w =及)(22z f w =，则它可表示成2121z z z z k w w w w --=-- （k 为复常数）特别：当01=w ，∞=2w 时，有 21z z z z k w --= （k 为复常数）六、两个典型区域间的映射(Mapping between the twotypical regions)例1 求一分式线性映射把上半平面0Im >z 保形映射成单位圆盘内部1<w .解：所求映射一方面把0Im >z 内某一点0z 映射成0=w ，另一方面把0Im =z 映射成1=w .由于线性映射把关于实轴0Im =z 的对称点映射成为关于圆1=w 的对称点，所求映射不仅把0z 映射成0=w ，而且把0z 映射成∞=w .因此这种映射形如：0z z z z k w --= （k 为待定的复常数）当z 是实数时，有,1||00=--z z z z 对应1=w ，所以,1||=k 于是θi e k =，其中θ是一个实常数.因此所求的映射一般为：,00z z z z e w i --=θ 由于z 是实数时，1=w ，因此它把直线0Im =z 映射成圆1=w ，从而把上半平面0Im >z 映射成1<w ，取i z -0，0=θ，得所求映射为：iz i z w +-= 例2 求一分式线性映射把单位圆内部1<z 保形映射成单位圆盘内部1<w .解：在|z |<1内任取一点0z ，映射成00=w ，并且把1=z 映射成1=w .由于0z 与01z 关于圆1=z 对称，所以这种映射把01z 映射成∞=w .因此这种映射形如：01001/1z z z z k z z z z k w --=--= （01z k k -=为待定的复常数）当|z|=1时，有),(1000z z z z z z z z z -=-=- 于是,1|||1|||||1001==--=k z z z z k w 因此θi e k =1，其中θ是一个实常数.所求的映射为：,100z z z z e w i --=θ2 1§6.4几个初等函数构成的共形映射幂函数、指数函数、综合举例1、掌握幂函数构成的共形映射2、掌握指数函数构成的共形映射函数构成的共形映射指数函数构成的共形映射讲授法多媒体与板书相结合P习题六：4-9164一、幂函数构成的共形映射二、指数函数构成的共形映射三、综合举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好第三讲授课题目：§6.4几个初等函数构成的共形映射；教学内容：幂函数、指数函数、综合举例学时安排：2学时.教学目标：1、掌握幂函数构成的共形映射；2、掌握指数函数构成的共形映射；教学重点：函数构成的共形映射；教学难点：指数函数构成的共形映射；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：4-9作业布置：164板书设计：一、幂函数构成的共形映射；二、指数函数构成的共形映射；三、综合举例；参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好；§6.4几个初等函数构成的共形映射(Conformal mapping composed of several elementary functions)一、幂函数(Power function)()整数2≥=n z w n容易得到：函数n z w =将角形域)2(000nπθθθ≤<<共形映射为角形域00θϕn <<（如下图）.因此通俗地讲，幂函数的特点是扩大角形域.相应地，根式函数n z w =作为幂函数的逆映射，则是将角形域)2(000nπθθθ≤<<共形映射为角形域00θϕ<<.同样，我们也通常说，根式函数的特点是缩小角形域.注意：如果是扇形域（即模有限），则模要相应的扩大或缩小，这一点往往容易忽略.例1 区域{}0Re ,0Im ,1:>><=z z z z D 求一共形映射，将D 变为上半平面.解: 如下图，首先由21z z =将D 变为上半单位圆域.接着由分式线形映射11211z z z -+=将其变为第一象限，最后由映射22z =ω将其变为上半平面.因此所求映射为22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=z z ω. 二、指数函数(Exponential function)z e w =容易得到：函数z e w =将带形域()π2Im 0≤<<h h z 共形映射为角形域h w <<arg 0（图6.20）.因此可以简单的说，指数函数的特点是将带形域变成角形域.相应的，对数函数z w ln =作为指数函数的逆映射，则是将角形域()π2arg 0≤<<h h w 变成带形域h z <<Im 0.例2 求一共形映射，将带形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=ππz z D Im 2:映射为上半平面.解: 如下图，首先由平移映射i z z 21π-=将带形域D 变为带形域2Im 01π<<z ，再由相似映射122z z =变为带形域2Im 02π<<z ，最后由指数函数2z e w =变为上半平面.因此所求的映射为⎪⎭⎫⎝⎛-=i z ew 22π.三、综合举例（Comprehensive example ）例3 设区域{}0Im ,1:><=z z z D ，求一个共形映射，将区域D 保形映射成上半平面.解：作一分式线性映射11'-+=z z w 把-1及+1分别映射成w '平面上的0及∞两点，于是把1=z 及0Im =z 映射成w '平面上在原点互相直交的两条直线.z 平面上的实轴映射成w '平面上的实轴； 0=z 映射成1-='w ，半圆的直径AC 映射成w '平面上的负半实轴；平面-z O)1(-B )(i D -)0(A C平面-'w C)1(-D )1(B )0(A C平面-w圆1=z 映射成w '平面上的虚轴；又由于i z =映射成i i i w -=-+=11'半圆ADC 映射成w '平面上的下半虚轴.由在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w '平面上的的区域：第三象限23'arg ππ<<w . 作映射2'w w =当w '在第三象限中变化时，w arg 在π2及π3之间变化.因此w '平面上的第三象限就映射成w 平面上的上半平面. 因此，所求共形映射为：22)11('-+==z z w w . 例4 求一个共形映射，把z 平面上的带形π<<z Im 0保形映射成w 平面上的单位圆1<w .解：由于指数函数z e w ='把w 平面上的已给带形保形映射成w '平面上的上半平面. 取w '平面上关于实轴的对称点-i 及i ，那么函数iw iw w +-='', 把的w '平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆1<w . 因此，所求共形映射为：ie i e w z z +-=Oi-i平面-'w 平面-z。

第七章共形映射

第七章共形映射前面我们借助于积分、级数等方法研究了解析函数，这一章将用几何的思想来讨论解析函数的性质和应用。

从几何上看：复变函数)(z f w =是从复平面z 到复平面w 之间上的一个映射。

而解析函数所确定的映射（解析变换）是具有一些重要的性质。

它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。

如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。

不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。

第一节解析变换的特征首先，讨论一般解析变换的一些性质：定理7.1 设)(z f w =在区域D 内解析且不恒为常数，则D 的像)(D f G =也是一个区域。

证明：首先证明G 是一个开集。

设G w ∈0，则有D z ∈0使得)(00z f w =。

由解析函数零点的孤立性，存在以0z 为心的某个圆周C ，使得C 及C 的内部全包含在D 内，除0z 外，在C 及C 的内部，0)(w z f -都不为零，故存在,0>δ 在C 上δ≥-|)(|0w z f . 对于满足δ<-||0w w 的w ，在C 上，有|||)(|00w w w z f ->≥-δ. 由Rouche 定理，在C 的内部，w w w z f w z f -+-=-00)()(和0)(w z f -在C 内有相同个数的零点，即0w 的邻域δ<-||0w w 包含在D 内。

由于)(z f 是连续的，所以G 显然是连通的。

下面研究单叶解析函数的映射性质。

我们知道：设函数w=f (z )在区域D 内解析，并且在任意两不同点，函数所取的值都不同，则称它为区域D 上的单叶解析函数，简称即为单叶函数。

利用证明定理7.1的方法，我们可以得到：引理7.1 设函数f (z )在0z 点解析，且0z 为0)(w z f -的p 阶零点，则对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点。

共形映射的性质及其应用

目录摘要 (I)Abstract (II)1.引言 (1)2.共形映射的概念 (2)2.1解析函数的导数的几何意义 (2)2.2共形映射的定义 (5)3.几种常见的共形映射 (6)3.1分式线性变换（默比乌斯变换） (6)3.2某些初等函数所构成的共形映射 (7)3.2.1幂函数与根式函数 (7)3.2.2指数函数与对数函数 (8)4.共形映射的性质 (9)4.1共形映射的两个基本性质 (9)4.2分式线性变换的保角性 (9)4.3分式变换的保圆周（圆）性 (10)4.4 分式线性变换的保对称性 (11)4.5分式线性变换的保交比性 (11)5.共形映射的应用 (12)5.1分式线性变换的应用 (12)5.2幂函数与根式函数的应用 (13)5.3指数函数与对数函数的应用 (15)5.4共形映射在其它领域的应用 (15)6．结束语 (17)参考文献 (18)摘要共形映射这个概念，是数学中很重要的概念之一，是在物理学的观念中所产生的，对于物理学的不同领域有着许多重要的应用.同时关于共形映射的性质也是相当重要的，对于共形映射的一些性质的论证，涉及到较多的基本概念以及方法.本文在共形映射的定义的基础上，较为详细地归纳并且探讨了共形映射所具有的性质.具体地来说，本文主要研究了共形映射在保角性、伸缩率不变性等方面性质及其应用等方面的问题.共形映射的方法成功地解决了在流体动力学、电学、弹性力学等方面的许多实际问题.关键词：共形映射，保角性，伸缩率不变性，分式线性变换AbstractConformal mapping is an important concepts in math, which can be deduced from the physics and applied to various field in physics. Meanwhile,the nature of conformal mapping is quite important,some of its character for the deduction,involving many basic concepts and methods .In this paper,conclude and discuss the nature of conformal mapping in more detail, which based on the definition of it. Specifically speaking, the paper mainly study the problems about the characters and applications of conformal, ratio of eapansion and contraction ,and others. The methods of conformal mapping successfully solve many practical issues in fluid dynamics,electricity ,and eleastic.Key words：Conformal mapping , Conformal, Invariability of ratio of expansion and conraction1.引言18世纪70年代，是复变函数中共形映射发展的起步，欧拉曾经遇到过称为“小范围里的相似映射”的所谓共形映射；而到了1779年，拉格朗日则创立了共形映射理论，这种理论是建立在从旋转曲面上到平面上的；1788年著作的制图学著作中最早出现了共形映射这一概念；19世纪20年代初，由高斯创立了更为一般的共形映射理论，这种理论是建立在复变函数的；1851年，黎曼首次发表了关于任意的单连域都可以映射到（单位）圆域的定理，此后，许多数学家都曾尝试给出对黎曼定理的严格证明，但都未成功；直到20世纪初才由奥斯古德成功给出严格证明.在复变函数论中，共形映射既是难点也是重点，是从几何的角度来讨论解析函数的性质及其应用，不仅对于解决数学本身的问题是一种简便的方法，而且对于解决弹性力学、电学、流体学等学科所遇到的实际问题，也是一种非常便捷且重要的方法.从19世纪中叶开始共形映射作为数学工具广泛应用于稠密介质力学的研究中.而共形映射理论的基本问题就是：要求建立由一个函数所构成的变换，使得它在给定的区域D 与*D 把区域映射D 到*D 上，且这个变换为共形映射.对解析函数的性质及其应用的探讨有很多种方法，有分析的方法，也即用微分、积分和级数等进行探讨，而本文主要讲的是另一种方法，从几何的角度来讨论解析函数的性质及其应用.从几何的角度来看，一个复变函数()ƒz w = z D ∈，可以视作从z 平面到w 平面之间的一个变换，在接下来的正文当中，将重点探讨由解析函数所构成的变换，也即解析变换的某些重要性质.通过探究可得知，在导数不为零的点处，这种变换具有保角的特性，并且懂得了判断一个变换是否为共形映射.但是，我们更需要了解共形映射所具有的性质及其应用.本文将阐述共形映射的性质，叙述探讨分式线性变换、幂函数与根式函数、指数函数与对数函数等几种简单变换.本文从探讨解析变换导数的几何意义，引入共形映射的概念，叙述几种常见的共形映射，进而总结共形映射的性质，最后总结共形映射在分式线性变换、幂函数与根式函数、指数函数与对数函数等方面的应用，并在本文举出一些例子，使我们可以借此认识到，如何选择适当的初等函数的组合（如果这是可以做到的话），来解决共形映射理论的这一问题，通过这些感受共形映射的重要性.2.共形映射的概念这一章节我们叙述的是共形映射的概念，先从解析函数所构成的变换的性质出发，探讨解析变换的保角性，以及解析函数在导数不为零的性质，从而引出共形映射的概念.2.1解析函数的导数的几何意义我们已经知道，z 平面上的任意一条有向连续曲线C 可以用(),z z t t αβ=≤≤来表示，它的正向取t 增大时点z 的移动方向，()z t 是一个连续函数.若()00,z t t αβ'≠≤≤，那么表示()0z t '的向量（0z 取为起点，以下不一一说明）与C 相切于点()00z z t =（图1）现在，我们做出如下规定：通过C 上两点0P 与P 的割线0P P 的正向对应参数t 增大的方向，那么这个方向与表示()()00z t t z t t+∆-∆的向量的方向相同，这里()0z t t +∆与()0z t 分别为点0P 和P 对应的复数（图1），当点P 沿着曲线C 无限趋近于点0P 时，割线0P P 的极限位置就是曲线C 上点0P 处的切线.所以，表示()()()0000limt z t t z t z t t∆→+∆-'=∆的向量与曲线C 相切于点0z 处的切线的正方向，因此我们便可以得到:（1）()0Arg z t '就是在曲线C 上点0z 处切线的正向与x 轴正向之间的夹角；（2）任意两条曲线12与C C ，这两条曲线相较于一点，则两条曲线之间的夹角就是曲线1C 与2C 在交点处的两条切线正方向之间的夹角.图1接下来，通过以上的论断以及规定，我们来讨论解析函数的导数所体现出的几何意义，然后由此引出共形映射这一概念.性质2.1.1[1] 解析变换的保角性（导数的几何意义）设()ƒz w =在区域D 内解析，0z D ∈，在点0z 处有导数且()00ƒz '≠，又设曲线C 为z 平面上任意一条通过0z 的有向的光滑曲线，它的参数方程为：()()01:C z z t tt t =≤≤，()00z z t =，则必然有()0z t '存在并且有()0z t '≠，从而C 在0z 处有切线，其切向量就是()0z t '，它的倾角则为ϕ=()0arg z t '，经过变换()z w =ƒ，C 之像曲线()ƒΓ=C 的参数方程变为()ƒ：z t w ⎡⎤=⎣⎦Γ()≤≤01t t t .由于()ƒz w =在0z 解析，故()ƒz w =在0z 的领域内是单叶解析的，又C 是通过0z 的光滑曲线，所以Γ在点()00=t w w 的邻域内是光滑的.由于()()()000ƒ0t z z t w ''=≠'，故Γ在()00z w =ƒ处也有切线，()0t w '就是其切向量，其倾角为()0=arg w t 'ψ=()()00arg arg z z t ''ƒ+，即 ϕψ=+()0arg z 'ƒ. 假设 ()0ƒRe i z α'=，则必 ()0ƒz R '=，()0arg z α'ƒ=，于是 -=ϕαψ，（1）且 0lim0z wR z∆→∆=≠∆. （2）图2若我们假设图1中的x 轴与u 轴、y 轴与v 轴的正方向相同，规定曲线C 经过变换后的旋转角就是原来的切线正方向与变换过后的切线的正向之间的夹角，极限值0lim z wz∆→∆∆ 称为曲线C 在0z 的伸缩率，因此我们有（1）式表明：曲线C 经过()ƒz w =变换后在0z 处的旋转角就是导数()0ƒ0z '≠的辐角()0Arg z 'ƒ，且旋转角的大小和方向跟曲线C 的形状与大小无关，所以这种变换具有旋转角不变性.（2）式表明：通过点0z 的任意曲线C 经过变换()ƒz w =后在0z 的伸缩率是()0ƒz '，它与曲C 的形状和方向无关，因此这种变换具有伸缩率不变性.上面的讨论说明：在导数不为零的点处，解析函数具有旋转角不变性和伸缩率不变性. 现在假设两条曲线12与C C 相交于点0z ，它们的参数方程分别为()1z z t =和()2z z t =，t αβ≤≤；并且()()01020z z t z t '==，()()102000z t z t '''≠≠，0t αβ<<，0t αβ'<<.现又假设变换()ƒz w =分别将12与C C 映射为相交于点()00ƒz w =的曲线1Γ与2Γ，它们的参数方程为()1w w t =与()2w w t =，t αβ≤≤.则由此可得到()()()()10102020Arg Arg Arg Arg w t z t w t z t ''''''-=-. 即 ()()()()20102010Arg -Arg =Arg Arg w t w t z t z t ''''''- （3）上式两端分别是1Γ与2Γ以及12与C C 之间的夹角.所以，（3）式表明：任意两条相交于点0z 的曲线12与C C 之间所成的夹角，与在经过变换()ƒz w=映射后1C 与2C 所对应曲线1Γ与2Γ之间所成的夹角的大小和方向都相同，这种性质便称为保角性.由此，我们便可以得到下面的定理.定理2.1.1[2] 设函数()ƒz w =在D 内解析，0z 是D 内一点，且()0ƒ0z '≠，则变换()ƒz w =在点0z 处具有以下两个性质：（1）通过0z 的两条曲线之间所形成的夹角在经过变换后所得的两曲线之间的夹角保持大小和方向不变，称为保角性.（2）任意一条通过0z 的曲线的伸缩率均为()0z 'ƒ，且与其形状和方向无关，称为伸缩率不变性.2.2共形映射的定义通过以上解析变换的性质可以引入共形映射的概念.定义 2.2.1[2] 如果()ƒz w =在区域D 内是单叶的，在0z 具有保角性和伸缩率不变性，则称此变换在0z 是共形的，或者称()ƒz w =在0z 是共形映射，若变换()ƒz w =在D 内每一点都是共形的，则称它为D 内的共形映射.设()ƒz w = z D ∈ ， 0z D ∈ ()00ƒz w =.又因为w z ∆∆=()()00z z z z --ƒƒ=0z z →−−−−−→= ()0ƒz '，所以()0ƒw z z '∆≈∆（忽略高阶无穷小）.那么圆：()()000ƒw z z z w w z δδ=ƒ'-=−−−→-=（忽略高阶无穷小）. 这就是为什么称为共形映射的原因. 根据以上的讨论以及定理和定义，我们有：定理2.2.1[2] 如果解析函数()ƒz w =在D 内每一处都有()0ƒ0z '≠，那么变换()ƒz w =是D 内的共形映射.上面所定义的共形映射，不仅要求曲线间的夹角在经过变换后保持大小不变，且方向也必须保持不变，如果变换()ƒz w =具有伸缩率不变性，且保持夹角的大小不变，但是方向相反，则称该变换为第二类共形映射.因此，前面叙述的共形映射相对地称为第一类共形映射.3.几种常见的共形映射在本文中，主要探讨的是解析函数所构成的共形映射，分式线性变换、以及某些初等函数所构成的共形映射等都是几种常见的共形映射，它们在共形映射中都是很基本的，下面我们就来讨论这几种常见的共形映射.3.1分式线性变换（默比乌斯变换）形如+=+az bw cz d ， 0==-≠a b w ad bc c d，称为分式线性变换，简记为()=w z L .为了保证()L z 不恒为常数，条件0ad bc -≠是必要的. 另外，对于分式线性变换，在扩充z 平面上的补充定义如下：如0c ≠，在 d z c =-处定义w =∞，在z =∞处定义w c=a；如0c =，在z =∞处定义w =∞.注分式线性变换又称为双线性变换，在这方面，德国数学家乌斯曾做过大量的研究.所以，在其它文献中，它也被称为默比乌斯变换.任一分式线性变换总可以由以下三种特殊类型变换复合而成：（Ⅰ）w z b =+；（Ⅱ）w z =a ；（Ⅲ）1w z=. 现在来叙述这三种变换各自所具有的几何意义.（Ⅰ）型变换w z b =+是一个平移变换.因为复数相加相当于化为向量相加，所以在变换w z b =+下，z 沿着向量b 即复数b 所表示的向量的方向平移一段距离b 后就得到w .（Ⅱ）型变换w az =是一个旋转与伸缩变换.事实上，我们设re i z θ=，re i θ=a ，那么r i w e θλ=.因此，先把z 旋转一个角度α，再将z 伸长或缩短到=λa 倍后就得到w .（Ⅲ）型可分解为：1w z=，w ω=. 上面第一个变换称为关于单位圆周的对称变换，并且z 与ω关于单位圆周对称；后面一个变换称为关于实轴的对称变换，并且w 与ω关于实轴对称.3.2某些初等函数所构成的共形映射 3.2.1幂函数与根式函数幂函数n w z =，其中n 是大于1的自然数，除了0z =,及z =∞外，它处处具有不为零的导数，因此幂函数在这些点处是保角的.幂函数的单叶性区域是顶点在原点且张度不超过2n π的一个角形区域.例如说，它在角形区域d: 0arg z α<< 20n πα⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭内是单叶的，因此幂函数也是共形的（因为不保角的点z =0,及z =∞在d 的边界上，不在d 内）.故幂函数（将图3的角形区域d:0arg z α<<20nπα⎛⎫<≤⎪⎝⎭共形映射成为角形区域D ：0arg n w α<<.图3特别地，在指数函数n w z =下，角形区域arg z nπ<<20共形映射成为w 平面上除去原点及正实轴的区域（图4）.图4而指数函数n w z =的逆变换根式函数n z w =，将w 平面上的角形区域2:0arg 0D w n n παα⎛⎫<<<≤ ⎪⎝⎭共形映射成为z 平面上的角形区域d:0arg z α<<（图3）.（这里n w 是D 内的一个单值解析分支，区域d 确定了它的值.）总而言之，我们可以利用幂函数或者根式函数所构成的共形映射来拉大或缩小角形区域的张度.3.2.2指数函数与对数函数指数函数z w e =在任意的有限点处均有()0ze'≠，因此，由指数函数所构成的变换是z 平面上的共形映射.z w e =的单叶性区域是平行于实轴宽不超过2π的带形区域.例如说，z w e =在带形区域g:()0m 02z h h π<I <<≤是单叶的，因此也是共形的（z =∞不在g内，而在g 的边界上）.于是指数函数将带形区域g: ()0m 02z h h π<I <<≤共形映射成角形区域G ：0arg w h <<（图5）.图5特别地，带形区域0m 2z π<I <在指数函数=z w e 下共形映射成w 平面上除去原点及正实轴的区域.作为z w e =的逆变换ln z w =，将图5所示w 平面上的角形区域G ：()0arg 02w h h π<<<≤共形映射成z 平面上的带形区域g: 0m z h <I <(这里的ln w 是G 内的一个单值解析分支，它的值完全由区域g 确定.).4.共形映射的性质通过前面对共形映射的概念以及几种常见的共形映射的介绍，接下来是探讨共形映射所具有的某些性质，从共形映射的两个基本性质出发，再到具体的分式线性映射所特有的性质.4.1共形映射的两个基本性质性质4.1.1[3] 在相差一个高阶无限小的程度内，共形映射可以把无限小的圆周变换成圆周（圆性质）.性质4.1.2[3] 共形映射使在曲线的交点处曲线所成的角度保持不变（角保持性质）.性质4.1.1的意思是，当r 很小时，圆周0:r C z z -=被变换成这样的一条曲线*C ，它的任何一个点，与经过曲线*C （它是曲线C 考虑的映射下的像）上任何一个点所做的圆周0w w ρ-=的距离，都是一个关于r 的高阶无限小.性质4.1.2的意思是，在点0z 处任何两条曲线1Γ与Γ2所成的角度，等于在点0w 处这两条曲线的像*1Γ与*2Γ所成的角度.4.2分式线性变换的保角性首先，我们来讨论一下（Ⅲ）型变换1w z=，该变换称为反演变换，显然在扩充z 平面上反演变换是一一对应的，且在,z z ≠≠∞0处导数存在，则该变换在去除0z z ≠≠∞与后是共形的.但是，问题在于z z ==∞0和处是否共形的，下面我我们就来讨论.如果我们规定：两条伸向无穷远点∞处的曲线的夹角，等于它们在变换1=zζ下所映射成的通过原点的两条象曲线的夹角，那么变换1=w zζ=在原点处解析，且()010w ζζ='=≠，因此变换w ζ=在=0ζ处，也即变换1w z=在z =∞处是共形的.同样地，依次可得在0z =处w 1z =是共形的.所以，变换1w z=在扩充z 平面上是一个共形映射. 接下来，我们讨论（Ⅰ）型和（Ⅱ）型的复合变换()0w az b a =+≠.显然，这个变换在扩充z 平面上是一一对应，且()()00w az b a ''=≠≠+，因此当z ≠∞时，该变换是共形的.为了证明在z =∞处它也是共形的，设11=,z wζη=.这时，变换()0w az b a =+≠成为 a b ζηζ=+它在处解析，并且有()()2010aaa b ζζηζζ=='==≠+，所以在=0ζ处共形，即()0w az b a =+≠在z =∞处是共形的，故()0w az b a =+≠在扩充z 平面上是共形映射.综上所述，由于上述三种变换复合得到分式线性变换，所以，我们便得出下面的性质. 性质4.2.1 分式线性变换在扩充z 平面上是一一对应的，且具有保角性.4.3分式变换的保圆周（圆）性性质4.3.1[1]平面上的圆周（直线）经分式线性变换变为圆周或者直线.注在扩充平面上，直线可以看作经过无穷远点的圆周.证明显可得，圆周（直线）在整线性变换()0w kz h k =+≠变换下变为圆周（直线），而对于反演变换w z=1，事实上，圆周或直线则可表为Az 0z z z C ββ+++= （A ，C 为常数，2C β>A ），当A=0就上式就表示为直线.上式经过反演变换1w z=变换后成为 0Cww w w A ββ+++=，它表示直线或圆周（当C =0时表示直线，当0C ≠时表示圆周）.由于分式线性变换是由几个整线性变换型和反演线性变换的复合得到，这样分式线性变换将平面上的圆周（直线）变为圆周或直线.4.4 分式线性变换的保对称性分式线性变换除了保角性和保圆周性之外，还有保对称性.为了证明这个性质，我们引入下面一个定理.定理 4.4.1[1]12,z z 是关于圆周γ的一对对称的充要条件是通过12,z z 的任意圆周Γ都与γ正交.现在，我们就来证明分式线性变换的保对称性，也即定理4.4.1所得到的性质4.4.1 性质 4.4.1 设点12,z z 是关于圆周γ的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的像点1w 与2w 也是关于γ的像曲线Γ的一对对称点.（保对称性）证设经过12,z z 的圆周Γ由分式线性变换得到经过w 1与2w 的任意圆周'Γ，因为Γ与C 正交，而分式线性变换具有保角性，因此，'Γ与C '（C 的像）也必然是正交的，所以由定理4.4.1可知1w 与2w 是关于C '的一对对称点.4.5分式线性变换的保交比性在讨论分式线性变换的保交比性前，我们先引用2012年高等教育出版社出版的钟玉泉编著的《复变函数论》对交比的定义.定义4.5.1[1] 1234,,,z z z z 是扩充平面上有序的四个互异点，构成下面所示的量，称为它们的交比，记为()1234,,,z z z z ：()314112344232,,,:z z z z z z z z z z z z --=--.当四个互异点其中有一个点为∞时，则将含有此点的项用1代替.比如1z =∞时，即有()234423211,,,z z z z z z z ∞=:--，也即先把1z 看作是有限的，再令1z →∞取极限而得.性质4.5.1[1] 在分式线性变换下，四点的交比保持不变.证设 ,1,2,3,4i i i az bw i cz d+==+ ，则()()()()i j i j i j ad bc z z w w cz d cz d ---=++，所以()314112344232,,,:w w w w w w w w w w w w --=-- =()314112344232:,,,z z z z z z z z z z z z --=--.5.共形映射的应用5.1分式线性变换的应用当边界是圆弧或者直线的区域时，分式线性变换在处理这些问题时具有很大的作用. 下面的例子很好地反映了分式线性变换的作用.例1 若分式线性变换()az bz cz dw L +==+满足条件：,,,a b c d 是实数，并且0ad bc ->，则上半z 平面在该变换下共形映射成上半w 平面.证明由题设，当z 为实数时，则()az bz cz dw L +==+也为实数，因此该变换把实轴变换成实轴.又当z 为实数时()()20dw ad bc L z dz cz d -'==>+. 因此该变换把实轴变换成实轴且还是同向的，如图6所示，再注意到例1，该变换把上半z 平面共形映射成上半w 平面.图6例2 求出将上半平面z >Im 0共形映射成单位圆1w <的分式线性变换()w L z =，使得()0L =a，其中Im 0a >.解首先根据保对称点性，点a 关于实轴的对称点a 应该变成0关于单位圆周1w <的对称点∞.因此，该分式线性变换一定具有如下形式z aw k z a-=⋅-，其中k 是常数.下面，我们来确定k.根据保圆周性，()w L z =将实轴变换成单位圆周1w =，即实轴上的任意一点一定变成单位圆周1w =上的点，特别地，01z z a ak k w z aa=-⋅=⋅∈=-，所以k =1，即i k e θ=，θ为实常数，所求的分式线性变换为()Im 0i z a w e a z aθ-=⋅>-.5.2幂函数与根式函数的应用()0,,,az bw L z cz dab ca a b c d +==+->−−−−−→是实数以上是应用了分式线性变换的特性，下面我们举例运用幂函数或者根式函数所构成的共形映射将角形区域的张度进行拉大或缩小.例3 求将区域arg 42z ππ-<<共形映射成上半平面.使1,,0z i i =-分别变成2w =，1,0-（图7）解容易可知4143344i i e z e z ππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将指定区域变成上半平面，不过1z =，-i ， 0,i 变成3410,,ξ=-.现再作一个上半平面到上半平面的分式线性变换，使得3410,,ξ=-变成w =2，-1,0.此变换为(()3332414234w ξξ+=-+，复合这两个变换后，即得所求的变换为()()4334433342414234i i e z w e z ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.图75.3指数函数与对数函数的应用由于指数函数z w e =所构成的变换将水平的带型区域共形映射成角形区域，而指数函数的反函数对数函数ln z w =则相反地把角形区域共形映射成带型区域，所以经常利用这两种函数就将这两种类型的区域进行转换，下面的例子就是运用到了指数函数的映射的特性.例4 求一个变换将带形区域()0Im z π<<映射成单位圆1w <.解由前面的结论可知，变换=z e ζ将题目所给的带形区域映射成ζ平面的上半平面0Im ζ>，又根据上面例2可知：变换iw iζζ-=+将上半平面映射成单位圆1w <，故所求的变换为z ze iw e i-=+. 共形映射除了在数学本身的应用外，还可应用到物理等领域中，下面我们就应用共形映射技巧来解决调和函数22220x yϕϕ∂∂+=∂∂（4）中的一些物理问题.5.4共形映射在其它领域的应用在电学上，经常用到（4）式，在静电学中(,y)x ϕ可以理解为点()x y ,处的电势和电压，而它的偏导数x ϕ∂∂，y ϕ∂∂用作电场强度的表示.特别地，我们就可以确定区域边界上的电势或者电场强度的法向量，以及计算区域内部（或外部）的电势值.由方程ϕ=常数定义的曲线称为等势线.关于（4）式的解的更详细的物理解释，可查阅最后的参考文献.例5 如图8（a ）所示的阴影部分（透镜形状区域）上求一个调和函数，且它在边界圆弧上的取值分别为0和1. 这里的ϕ可以解释为：一个无限长带型材料内的稳定温度，它的截面就是一个透镜区域，且在边界上保持稳定的温度.解由于该区域是由圆弧所围成的一个有界区域，所以自然地，我们会想到利用分式线性变换，如果取1z i =+为该分式线性变换的极点，则两圆周都变成了两条相互正交的直线，这是因为共形性保证了0z =的角不变.因此可以考虑函数()()ƒ1zw z z i ==-+，（5）它把0z =映射到0w =，1z i =+映射到w =∞.为确定透镜的像，我们注意到()ƒ21i =+，()ƒ21i i =-，因此透镜被映射为图8(b)所示的阴影部分的角形区域，边界为射线Arg w=34π（圆弧在1ϕ=处的像）和3Arg 4w π=-（圆弧在0ϕ=处的像）.因此我们可以得到w 平面上所对应的调和函数为()25arg 2w w ψπ=-+，而其中arg w 取0arg 2w π<<的这个分支，由（2）式得()()25,arg 41zx y z i πϕπ⎛⎫=- ⎪ ⎪-+⎝⎭. 上式可以表示为()()()124,tan 411πϕπ-⎛⎫-=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭x y x y x x y y ，这里1tan 22ππθ--<<.图86.结束语通过本文对共形映射的讨论，我们可以总结得出：在导数不为零的所有点处，解析变换是共形的；要想确定一个区域映射后的像，我们就可以利用共形映射的性质，通过该区域边界的像来确定.分式线性变换可以理解为平移，伸缩，旋转和反演变换的复合函数，是一类很重要的变换，分式线性映射的许多性质，尤其是它的保对称性，应用它可以解决直线或圆为边界的区域上的问题.共形映射的性质不仅可以解决数学本身的问题，而且还可以解决电学，流体力学等实际问题.共形映射的性质及其应用参考文献[1]钟玉泉．复变函数论（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2012．[2]西安交通大学高等数学教研室，工程数学复变函数（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，1996.[3]施祥林，夏定中．译复变函数论方法（第6版）[M]．北京：高等教育出版社，2005．[4]刘敏思，欧阳露莎．复变函数论[M]．武汉：武汉大学出版社，2007．[5]赵彦玲．共形映射的应用[J]．科技向导，2010年第32期．[6]李清桂．谈谈保形变换中分式线性变换的运用[J]．桂林师范高等专科学校学报，2001,15(4): 102-104．18。

共形映射-分式线性映射

w f (z)

C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0 Argw(t0 ) Argf (z0 ) Argz(t0 )
2.分式线性映射的保角性
Def. 两条曲线在的夹角定义为这两条曲线在映射w 1
下的像曲线在原点的夹角,且方向相同.
z
Thm. 分式线性映射在扩充复平面上处处保角. Proof .只要验证w az b(a 0)与w 1的保角性. z
(1) w az b(a 0)的保角性
Review
(对数留数定理) f 在简单正向闭曲线C上解析且
非零, 在C内部除有限个极点外处处解析,则
1 f (z)
2i C
dz N ( f ,C) P( f ,C). f (z)
对数留数的几何意义
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
1
2
C Argf
(z)
绕原点的圈数
C1
:

1 z1 (t
)
与C2
:

1 z2 (t)
在

0的夹角.
1, 2在w 的夹角等于映射
与2
:

1 az2 (t)

b
在

0的夹角.
1 w
下1
:

1 az1 (t )

共形映射的概念

21
人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
w w0 z z0
存在，则此极限值称为曲线C经函数w f (z)
映射后在z0处的伸缩率 .
y
z(t0 ) s
p0 .z0 r
p
.z C
0
x
v
Q. Q0.w0 R w
0
u
4.旋转角
设曲线C在z0处的切线倾角为 0，曲线在 w0处的切线倾角为0，则0 0称为曲线
第六章共形映射
第一节共形映射的概念
一、伸缩率与旋转角二、导函数的几何意义三、共形映射的概念
一、伸缩率与旋转角
z平面内的有向连续曲线C可表示为: z z(t), ( t ) 正向: t 增大时, 点 z 移动的方向.
y p. C z(t0 t)
p0. z(t0 )
0
x
沿C
当p
p0 时,
p0 p
C上 p0 处切线
lim
t 0
z(t0
t) t
z(t0 )
z(t0 )
y
z(t0 )
p. C z(t0 t)
p0. z(t0 )
0
x
1.切线倾角 argz(t0 )就是C上点z0处的切线的正向与 x轴
正向之间的夹角.
y
z(t0 )
C

共形映射第七章共形映射

定理7.10 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
4. 保对称性对称点的特性
C z.
设 z1, z2是关于圆周
z0. z.1
数
w zn w ez
§2分式线性映射一分式线性映射
w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
称为分式线性映射.
说明:
1) ad bc 0的限制，保证了映射的保角性.
否则,
由于dw dz
ad bc (cz d )2
0,有w
常数.
那末整个z平面映射成 w平面上的一点.
二、解析函数导数的几何意义
两曲线的夹角
P26 光滑曲线的定义
y p. C z(t0 t)
p0. z(t0 )
0
x
两曲线的夹角
z平面内的有向连续曲线C可表示为:
z z(t), ( t )
正向: t 增大时, 点 z 移动的方向.
如果规定: 割线 p0 p正向对应于 t 增大的方向 , 那么 p0 p 与 z(t0 t ) z(t0 )同向.
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
综上所述, 有定理
设函数w f (z)在区域 D内解析, z0 为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在 z0 具有两个性
质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
例7.1 试求映射w f (z) z2 2z 在 z 1 2i 处的转动角，并说明它将z平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？

第六章共形映射

1 1 , 2 ; w A 2 B 1
分解为三种: 1)w z b ,2) w az ,3) w 1
z
1) 平移 w z b 因复数相加可化为矢量相加
2) 旋伸 w az a 0这是一个旋转与伸长(缩短)映射
2).伸缩率不变性.即过z 0的任一条曲线的伸缩率均为 f (z 0 ) 与其形状及方向无关.
2.共形映射的概念
定义 : 设w = f(z)在z 0的邻域内是一一的, 在z 0保角和伸缩率不变性.称w = f(z) 在z 0是共形的.若在D内每一点是共形的.称w = f(z)是D内的共形映射.
第六章共形映射
共形映射
解析函数所确定的映射：共形映射. 是重要的概念.应用共形映射已成功地解决了，空，弹，电磁，热，音，超音速飞机设计等问题.是一种化繁为简的重要方法.
主要研究单叶解析函数.
有规则就有例外.
塞万提斯
第六章共形映射
第一节共形映射的概念
平面曲线C：z z(t ), （ t ）正向为t z 的方向.z(t)连续.
o
z
x

2
分式线性映射
§2 分式线性映射
az b w ( ad bc 0 ) cz d
德:麦比乌斯(Mö bius)(1790-1868)
变形为 :cwz dw az b 0 w cons时上式关于z线性 z cons时上式关于w线性称为双线性.
-dw+b 逆映射为:z= cw-a
( a )( d ) bc 0 )
分式线性映射的复合亦是分式线性映射
z az b w ; . w z cz d

共形映射汇总

例3 区域D = {z: 0 < argz < /2,0 < |z| < 1}，求在映射 v 2 y w = z 下的象区域
i
o
1
x
o
u
§3 分式线性映射
由分式线性函数
az b (a,b,c,d为复数且ad bc≠0) w cz d 构成的映射，称为分式线性映射。
1.四种基本的分式线性映射
(2) 伸缩率不变性 w0+△w u
G
w e w f ( z0 ) lim lim z 0 z z 0 z e iq w i ( j q ) lim e z 0 z
ij
w 因此有 f ( z 0 ) lim z 0 z
即对过z0的任何曲线C，经w = f(z)映射后在z0均有相同的伸缩率，即该映射具有伸缩率不变性。 (3)旋转角f (z)
G
保域性定理：设函数f (z)在区域D内解析，
且不恒为常数，则象集合是区域。
边界对应原理：设区域D的边界为简单闭曲线C，
函数w=f (z)在 D DUC 上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线G ，当z沿C的正向绕行时，相应的w的绕行方向定为G 的正向，并令G是以G 为边界的区域，则w=f (z)将D共形映射成G。注意： 1. 确定象区域时，只需求出象区域的边界和方向 2. 象区域边界方向不同，象区域也不同
cz cz2 1 / z3
z1 d
z5 w
2.分式线性映射的保形性
1 (1)对于 w z 1 w 在整个扩充复平面上是双方单值的 z 1 dw 1 当z 0和z 时, w 解析且 2 0 z dz z

共形映射

内容简介
在第一章曾讲过w=f (z )在几何上，可以看作是平面上的一个点集G (定义集合)变到w 平面上的点集G* (函数值集合)的映射(或变换)，这个映射通常称为由函数w=f (z )所构成的映射。

*)(G
w G z z f w ∈⎯⎯→⎯∈=称为的原象。

的象点（映象），而为z z w ~~~~~~~~~~~~~~~~
第六章共形映射
第六章共形映射
:C 增大时点它的正向取t 1. 曲线的切线
)()(000方向相同则割线的方向向量t t z t t z p Δ−Δ+，的参数分别为若t t t t z ,,0)('000∈≠设连续曲线方向。

对应于参数割线p p 0
2. 解析函数导数的几何意义,,)(0∈=f D z D z f w 且内解析在区域设]
,[)(::0βα∈=t t z z C z D 引一条有向光滑曲线内过在)(00增大方向的曲线，正向取过点—t z f w =Γ)
(),(000t z z t =∈βα取0)('0≠t z :)(:)(w w t z z C z z f w Γ→==平面上平面上~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3. 共形映射的概念
)(00为共形的，或称在变性具有保角性和伸缩率不的邻域内有定义，且在在设f w z z z f w ==~~~~~~
定义)()(内是共形映射在区域内每一点都是共形的，在若D z f w D z f w ==~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~。

共形映射ch 7 7-3 7-4

复变函数-共性映射

共形映射知识点总结

共形映射

第六章共形映射详解

15第六章共形映射

复变函数理论中的共形映射及其性质

共形映射ch 7 7.1

第六章 6.1-6.2 共形映射及其基本问题

共形映射

第七章 共形映射

共形映射的性质及其应用

共形映射-分式线性映射

共形映射的概念

共形映射 第七章 共形映射

第六章 共形映射

共形映射汇总

共形映射

第七章共形映射

共形映射第七章共形映射

第六章共形映射