高中数学第三章三角恒等变换章末测试B新人教B版4

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高中数学必修四(人教B版)练习：第三章三角恒等变换3.1.1 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)．求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0，即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角．又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3，又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

高中数学第三章三角恒等变换章末综合测评含解析北师大版必修4.doc

章末综合测评(三) 三角恒等变形(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin (－2α)的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32B [∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32＝22sin α＋22cos α， ∴sin α＋cos α＝62， ∴等式两边平方可得：1＋sin 2α＝32，解得sin 2α＝12，∴sin (－2α)＝－sin 2α＝－12.故选B.]2．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．22cos αB ．2cos αC ．2sin αD ．sin αA [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α.]3．函数f (x )＝3cos x －3sin x 的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝－π3A [∵f (x )＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴函数的对称轴方程为x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z ，∴当k ＝1时，x ＝5π6是其中的一条对称轴方程．故选A.]4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，则cos 2α＝( ) A ．19B ．－19C ．－79D ．79A [向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，可得tan αcos α＝23，即sin α＝23.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝19，故选A.]5．已知0<A <π2，且cos2A ＝35，那么cos A 等于( )A ．425B ．45C ．55D ．255D [∵0<A <π2，∴cos A >0，∵cos 2A ＝35＝2cos 2A －1，整理可得：cos 2A ＝45，∴cos A ＝255.故选D.]6．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A ．15B ．55C ．33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B.]7．已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2<2α<π，tan (α－β)＝12，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D ．211A [∵π2<2α<π，∴cos 2α＝－45.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34，tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－34－121－34×12＝－2.]8．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆x 2＋y 2＝1交点的横坐标为14，则cos α2等于( )A ．104 B ．－104C ．－64D ．64A [由题意，得cos α＝14，又α为锐角，则cos α2＝1＋cos α2 ＝1＋142＝104.] 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin (A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2，所以2cos 2A ＋B2＝1，所以cos(A ＋B )＝0. 从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形．]10．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A ．33B ．－33C ．539D ．－69C [因为0＜α＜π2，所以π4＜α＋π4＜3π4，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223；因为－π2＜β＜0，所以π4＜π4－β2＜π2，得sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4· sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.] 11．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin x ，则函数f (x )满足( ) A ．最小正周期为T ＝2π B ．图像关于点⎝⎛⎭⎫π8，24对称C ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π8上为减函数 D ．图像关于直线x ＝π8对称D [因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin x ＝22(sin x ·cos x －sin 2x )＝24(sin2x －1＋cos 2x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－24，当x ＝π8时取最大值，故x ＝π8是对称轴，应选D.]12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sinαcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．0 [cos 89° cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.]14．已知tan α＝12，tan (α－β)＝15，则tan (2α－β)＝________．79 [∵tan α＝12，tan (α－β)＝15，则tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan （α－β）1－tan α·tan （α－β）＝12＋151－12·15＝79.] 15．若sin (π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________． 425 [∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝35，因此，sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－12(1＋cos α)＝2×45×35－12×⎝⎛⎭⎫1＋35 ＝2425－45＝425.] 16.3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin12°＝________．－43 [原式＝3·sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知f (α)＝sin 2（π－α）·cos （2π－α）·tan （－π＋α）sin （－π＋α）·tan （－α＋3π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18.可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又因为π4＜α＜π2，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0. 所以cos α－sin α＝－32. (3)因为α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3·sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3 ＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3 ＝12×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.18．(本小题满分12分)(1)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 160°－1－sin 220°；(2)已知：tan α＝3，求2cos ⎝⎛⎭⎫π2－α－3sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．[解] (1)原式＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°cos 20°sin 20°－|cos 20°|＝（cos 20°－sin 20°）2sin 20°－cos 20°＝|cos 20°－sin 20°|sin 20°－cos 20°＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1.(2)原式＝2sin α＋3cos α4cos α－sin α＝2tan α＋34－tan α＝2×3＋34－3＝9.19．(本小题满分12分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求cos 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． [解] (1)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，所以tan α＝43.(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：cos 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝1－2sin 2α＋cos α＝1－3225＋35＝825. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin ωx －sin 2ωx 2＋12(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f (x )的单调增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的取值范围． [解] (1)f (x )＝32sin ωx －1－cos ωx 2＋12＝32sin ωx ＋12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6， k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，1. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求tan (α＋β)的值． [解] (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫14×π3＋π6 ＝A cos π4＝22A ＝2，∴A ＝2.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2cos ⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫4α＋43π＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， ∴sin α＝1517.∵f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2cos ⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫4β－23π＋π6 ＝2cos β＝85，∴cos β＝45.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385， sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1517×45＋817×35＝8485. ∴tan (α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝8485－1385＝－8413.22．(本小题满分12分)已知坐标平面上三点A (2，0)，B (0，2)，C (cos α，sin α). (1)若(OA →＋OC →)2＝7(O 为原点)，求向量OB →与OC →夹角的大小； (2)若AC →⊥BC →，求sin 2α的值．[解] (1)∵OA →＋OC →＝(2＋cos α，sin α)，(OA →＋OC →)2＝7， ∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7， ∴cos α＝12.又B (0，2)，C (cos α，sin α)，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝2sin α2＝sin α＝±32，∴OB →与OC →的夹角为π6或5π6.(2)∵AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)， AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0，即cos α＋sin α＝12，∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，即sin 2α＝－34.。

高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式描述：两角差的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ．两角和的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ．两角和的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ．两角差的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ．两角和的正切公式对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式对于任意角α，β 有tan(α − β) =

高中数学第三章三角恒等变换学业水平达标检测新人教B版必修4(2021学年)

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第三章三角恒等变换学业水平达标检测时间:１２0分钟满分:1５０分一、选择题：本大题共１2小题，每小题5分,共６0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．错误!=（）A．1 Ｂ．2C。

＼ｒ(2) D。

错误!解析:原式＝错误!=＼f(ｃoｓ10°+sin10°,cｏｓ３5°)＝错误!＝错误!．答案：C２．函数y=２sin错误!-ｃos错误!(ｘ∈R)的最小值等于（ )A．-３ B.－2C．－1 Ｄ．-错误!解析:y=２cos错误!-cos错误!=cos错误!≥－1.答案：Ｃ３．函数y=ｓin x cosｘ＋＼ｒ(3)coｓ２x－＼r(3)的图象的一个对称中心是( )A.错误!B.错误!C.错误!Ｄ。

错误!解析:ｙ＝错误!siｎ２ｘ＋错误!(1+cos2x)－错误!=错误!sin2ｘ＋错误!cos2x－错误!=sin 错误!－错误!，令２x+＼f（π,３）=kπ,得x＝错误!-错误!，当k＝2时,x=错误!.∴函数图象的一个对称中心是错误!。

答案:B4．在△ＡＢC中，∠C=9０°,则函数y＝sｉｎ2A＋2siｎB的值的情况是( )A.有最大值,无最小值B．无最大值，有最小值C．有最大值也有最小值A.①B.②C．①和③D．②和④解析：ｙ＝siｎx＋coｓｘ=＼ｒ(2)sin错误!在错误!上不是单调函数，所以①不是，排除A 和Ｃ;y=错误!=tanｘ在错误!上为单调增函数，所以④是，排除B，故选D。

高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4(2021学年)

高中数学第三章三角恒等变换3．２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换 3.２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.２倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值:(１)c ｏｓ12πc ｏs 125π；（2)(ｃos 12π－s ｉn 12π）（c ｏs 12π+sin 12π);(3）21－ｃos 28π；（４)-32+34cos 215°．思路分析：本题考查倍角公式的变形及应用。

(1）题添加系数２，即可逆用倍角公式;（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式;（3）中提取系数21后产生倍角公式的形式;(4）则需提取系数32. 解:(1)cos 12πc ｏｓ125π=cos 12πsin 12π＝21×2cos 12πsin 12π=21s ｉn 6π=41; (2)(cos12π—s ｉn 12π)（co ｓ12π+s ｉn 12π)＝ｃos 212π-si ｎ212π=c ｏs 6π=23；（3)21-ｃos28π＝－21(2c ｏｓ２8π－1)=—21co ｓ4π=—42；(4）-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1）＝32ｃos ３0°=33。

绿色通道：根据式子本身的特征,经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征。

高中数学第三章三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4

3.3 三角函数的积化和差与和差化积点，提高推理、运算能力．1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．【自主测试1－1】函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解析：∵y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝12⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎭⎪⎬⎪⎫⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14，∴函数的最小正周期为π. 答案：B【自主测试1－2】sin 37.5°cos 7.5°＝__________.解析：si n 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin 30°)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14.答案：2＋142．和差化积公式sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y2；sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．【自主测试2－1】sin 105°＋sin 15°等于( )A ．32B ．22C ．62D ．64解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. 答案：C【自主测试2－2】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的最小值为________．解析：∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2cos x cos π4＝2cos x ，∴f (x )min ＝－ 2.答案：－ 21．和差化积与积化和差公式的作用剖析：(1)可从以下几方面来理解这两组公式：①这些公式都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系； ②三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解．(2)一般情况下，遇到正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算．(3)和积互化公式的基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值. 正因为如此，“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法．在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式．往往这样就能发现解决三角函数问题的思路．为了能够把三角函数化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把12－cos α化为积的形式，可将12看作cos π3，再化为积．2．教材中的“探索与研究” 用向量运算证明和差化积公式．如图所示，作单位圆，并任作两个向量OP＝(cos α，sin α)，OQ＝(cos β，sin β)．取PQ 的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ .∠xOM 和∠QOM 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP ，ON ，OQ之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2；sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.剖析：如图所示，P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，又M 为PQ的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 又N 为OM 与PQ 的交点，则N 必为PQ 的中点，∠NOQ ＝α＋β2－β＝α－β2.①由N 为线段PQ 的中点，则N 点的坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋cos β2，sin α＋sin β2. ②在Rt△ONQ 中， |ON |＝|OQ |cos∠NOQ ＝cos α－β2.所以点N 的横坐标x ＝|ON |cos∠MOx ＝cos α－β2·cos α＋β2.点N 的纵坐标y ＝|ON |sin∠MOx ＝cos α－β2·sin α＋β2.由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β2＝cos α－β2cos α＋β2，sin α＋sin β2＝cos α－β2sin α＋β2.也就是cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.题型一求值问题【例题1】(1)求sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值；(2)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．分析：解答本题利用积化和差公式和和差化积公式，对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件求解．解：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.题型二化简问题【例题2】化简：4sin(60°－θ)sin θsin(60°＋θ)．分析：观察(60°－θ)与(60°＋θ)的和为特殊角，所以可用积化和差公式化简．解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θcos 2θ ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.反思此题依然是直接考查公式应用的题，对于这种题，解题公式的选取是关键．题型三证明三角恒等式【例题3】在△AB C 中，求证：sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ．分析：先用降幂公式，再利用和差化积公式．证明：原式左边＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B 2－1－cos 2C 2＝12＋12cos 2C －12(cos 2A ＋cos 2B )＝cos 2C －cos(A ＋B ) cos(A －B )＝cos C[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin A sin B cos C ＝右边．故原式成立.题型四恒等变换公式的综合应用【例题4】已知A ＋B ＝23π，求cos 2A ＋cos 2B 的最值．分析：将cos 2A ＋cos 2B 利用降幂公式、积化和差公式与和差化积公式化为正弦函数形式或余弦函数形式．解：原式＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝12(2＋cos 2A ＋cos 2B ) ＝12[2＋2cos(A ＋B )cos(A －B )] ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )．所以当cos(A －B )＝－1时，原式取最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取最小值12.反思考查一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等问题，一般要化简为正弦函数或余弦函数形式，再进行求解．题型五易错辨析【例题5】化简：cos 2θ＋cos 2(60°－θ)＋cos 2(60°＋θ)．错解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos 120°－2θ 2＋1＋cos 120°＋2θ 2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋2×2cos 60°·cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)．错因分析：解题过程中由于没有发现60°－2θ与120°＋2θ是互补关系，从而没有消去cos(60°－2θ)和cos(120°＋2θ)这两个值，得出的结果并未化简彻底．正解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos 120°－2θ 2＋1＋cos 120°＋2θ 2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12×2cos 60°cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos[180°－(60°－2θ)]＝32.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的最小正周期是( )A ．π2 B ．2πC ．π4 D ．π答案：D2．在△AB C 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则这个三角形必是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案：B3．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcosθ；⑤sin x sin y ＝12[cos (x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①②③④均不正确，⑤正确．答案：B4．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的结果为( )A ．tan x2B ．tan 2xC ．tan xD ．－tan x解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos π4sin －x 2sin π4cos －x＝－tan x .答案：D5．sin 57°－sin 33°＋22cos 81°sin 69°＝__________.答案：226．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值－34. 答案：－347．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋sin 20°cos 50°＝1－12(cos 40°－cos 100°)＋12[sin 70°＋sin(－30°)]＝1－12×(－2)sin 70°sin(－30°)＋12sin 70°－14＝1－12sin 70°＋12sin 70°－14＝34.。

高中数学第三章三角恒等变换章末测试B 新人教B版必修4

第三章三角恒等变换测评B(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013江西高考)若sin2αcos α＝( )A ．－23 B ．－13 C ．13 D ．232．(2013课标全国Ⅱ高考)已知sin 2α＝23，则cos 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．16 B ．13 C ．12 D ．233．(2013浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α，则tan 2α＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34 D ．－434．(2012四川高考)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝( )A ．10 B ．10 C ．10 D ．155．(2012重庆高考)sin 47sin17cos30cos17︒-︒︒︒＝( )A B ．－12 C ．12D 6．(2012重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．(2012陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A ．2 B ．12C ．0D ．－1 8．(2012江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．129．(2012大纲全国高考)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C ．1225D ．242510．(2012山东高考)若θ∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，sin 2θ＝8，则sin θ＝( )A ．35 B ．45 C D ．34二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．(2013上海高考)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．12．(2013江西高考)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________． 13．(2013山东烟台适应性练习)已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________．14．(2013四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________． 15．(2012江苏高考)设α为锐角，若cos 6a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45，则sin 212a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题6分)(2013广东高考)已知函数f (x )cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求f 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．(本小题6分)(2013湖南高考)已知函数f (x )＝sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，g (x )＝2sin 2x2．(1)若α是第一象限角，且f (α)＝5，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．18．(本小题6分)(2013北京高考)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x ． (1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，且f (α)＝2，求α的值．19．(本小题7分)(2012四川高考)已知函数f (x )＝cos 22x －sin 2x cos 2x －12． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)，求sin 2α的值．参考答案一、选择题1．解析：cos α＝1－2sin 22α＝1－2×2⎝⎭＝13．故选C ．答案：C2．解析：由半角公式可得，cos 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝1cos 222a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝1sin 22a -＝2132-＝16．答案：A3．解析：由sin α＋2cos α得，sin α－2cos α．① 把①式代入sin 2α＋cos 2α＝1中可解出cos α＝10或10，当cos α＝10时，sin α＝10；当cos α时，sin α所以tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝－34．答案：C4．解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝4π．在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin∠BEC＝5，cos∠BEC＝5． sin∠CED ＝sin 4BEC π⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭＝cos∠BEC－sin∠BEC＝55⎛- ⎝⎭＝．答案：B5．解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30cos17sin17cos30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒︒＝sin 30°＝12，故选C ．答案：C6．解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tanα·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-g ＝312-＝－3，故选A ．答案：A7．解析：由a ⊥b 可得，－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0．答案：C8．解析：因为tan θ＋1tan θ＝4，所以sin cos θθ＋cos sin θθ＝4．所以22sin cos cos sin θθθθ+＝4，即2sin 2θ＝4．所以sin 2θ＝12．答案：D9．解析：因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α45．所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2425．故选A ．答案：A 10．解析：由θ∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得2θ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又sin 2θ＝8，故cos 2θ＝－18．故sin θ34．答案：D 二、填空题11．解析：cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13⇒cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79．答案：－7912．解析：因为y ＝sin 2x －cos 2x )＝2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭所以T ＝22π＝π．答案：π13．解析：由cos 4α－sin 4α＝23，得cos 2α＝23，又α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 2α＝3．所以cos 23a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝12cos 2α－2sin 2α＝12×23－．14．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α．所以cos α＝－12．又因为α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＝2．所以sin 2αcos 2α＝2cos 2α－1＝－12．所以tan 2α＝sin 2cos 2aa15．解析：因为α为锐角，cos 6a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45，所以sin 6a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝35，所以sin 26a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2sin 6a π⎛⎫+⎪⎝⎭cos 6a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2×35×45＝2425，且0<α＋6π<4π，故0<α<12π，所以26a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2α＋3π∈,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以cos 26a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝725，所以sin 212a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 234a ππ⎡⎤⎛⎫+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 23a π⎛⎫+⎪⎝⎭cos4π－cos 23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 4π＝sin 26a π⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos4π－cos 26a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 4π＝2425×2－725×2＝1750．答案：1750三、解答题16．解：(1)f 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 612ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4π＝1．(2)f 23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭2312ππθ⎛⎫+-⎪⎝⎭24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ．因为cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin θ＝－45．所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725．所以f 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ ＝－725－2425⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1725． 17．解：f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝2sin x －12cos x ＋12cos x ＋2sin x x ， g (x )＝2sin 22x＝1－cos x ．(1)由f (α)＝5得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α>0．从而g (α)＝1－cos α＝1＝1－45＝15．(2)f (x )≥g (x )sin x ≥1－cos x ，x ＋cos x ≥1．于是sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12．从而2k π＋6π≤x ＋6π≤2k π＋56π，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z ．故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．18．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为2π．(2)因为f (α)＝2，所以sin 44a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1．因为α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4α＋4π∈917,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以4α＋4π＝52π．故α＝916π．19．解：(1)由已知，f (x )＝cos22x －sin 2x cos 2x －12＝12(1＋cos x )－12sin x －124x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎡⎢⎣⎦．(2)由(1)知，f (α)＝2cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝10，所以cos 4a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝35．所以sin 2α＝－cos 22a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 24a π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1－2cos 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝1－1825＝725．。

人教版高中数学必修四第三章三角恒等变换章末检测B 含答案

第三章三角恒等变换(B) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]5．化简：sin (60°＋θ)＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1 B.32C. 3 D ．tan θ6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B.75 C ．－35 D.3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－πB ．－π C.5π D.2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______．14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角． (1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第三章三角恒等变换(B)答案1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]2．D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]3．A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]4．D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.]6．C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]7．B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2.解得a ＝ 3.]8．B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12，∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]．9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2×13－191＋19＝75.]10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.]11．D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．]12．D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]13.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)×(－13)＋223×13＝429.16．1解析令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°，∴y ＝sin α＋cos(α＋30°) ＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255.sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35.cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x2)2＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32.∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12.又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－35，∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310.21．解 (1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12.根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326.解得cos α＝513.因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214.22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

高中数学第三章三角恒等变换(含解析) 新人教B版必修4

单元测评三角恒等变换(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝± 15＝±55. 答案：A2．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( )A.12B.34C.58D.38解析：∵cos2α＝1－2sin 2α＝14，∴sin 2α＝38.答案：D3．函数y ＝cos2x ＋sin2xcos2x －sin2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D.π4解析：y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴T ＝π2. 答案：C4．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：a ＝2sin59°，b ＝2sin61°，c ＝2sin60°， ∴a ＜c ＜b . 答案：D5．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3解析：y ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－3＝12sin2x ＋32·cos2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x＋π3＝k π，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32. 答案：B6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4D.22解析：PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则 |PQ →|＝cos β－cos α2＋sin β－sin α2＝2－2cos α－β，故|PQ →|的最大值为2.答案：B7．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为( ) A.14 B.12 C ．4D ．12解析：由已知得：4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4，所以tan(α－β)＝4.答案：C8．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．答案：B9．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，1312πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其增区间是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的减区间，即π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：B10．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)的值为( )A ．－2B ．－1C ．－211D.211解析：由sin2α＝35，且π2＜2α＜π，可得cos2α＝－45，所以tan2α＝－34，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan α－β1＋tan2αtan α－β＝－2.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若π4<α<β<π2，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a ，b 的大小关系是__________．解析：sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，sin β＋cos β＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，因为π4<α<β<π2，所以π2<α＋π4<β＋π4<3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，所以a >b . 答案：a >b12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值为__________．解析：由已知条件可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin2θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可知θ＋π4＋2θ＝3π，即θ＝11π12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12. 答案：1213．已知cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限角，则tan2β＝__________.解析：由已知可得，cos β＝－35，可求tan β＝－43，∴tan2β＝247.答案：24714．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题：①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图像向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图像重合．其中正确命题的序号是__________(注：把你认为正确的序号都填上)．解析：∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 ＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π2－5π12(k ∈Z )，当k ＝1时，得③正确；应该是向右平移，故④不正确．答案：①③三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C ，sin B ＝45，cos (2A ＋C )＝－45，求cos2A 的值．解：∵A ＜B ＜C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0＜B ＜π2，A ＋C ＞π2，0＜2A ＋C ＜π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35.∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.(4分)∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.(8分)∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45 ＝725. ∴cos2A ＝1－2sin 2A ＝527625.(12分)16．(12分)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．(4分)f (x )的最小正周期为π2.(6分)(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.(10分)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.(12分)17．(13分)设f (x )＝6cos 2x －3sin2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α的值．解：(1)f (x )＝6×1＋cos2x2－3sin2x＝3＋3cos2x －3sin2x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos2x －12sin2x ＋3＝23c os ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，(4分) 故f (x )的最大值为23＋3.最小正周期T ＝2π2＝π.(6分)(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1.(8分)又由0＜α＜π2，得π6＜2α＋π6＜7π6，故2α＋π6＝π，解得α＝512π.(10分)从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α＝tan π3＝ 3.(13分) 18．(13分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解：f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(4分)(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }．(8分)(3)f (x )＝65即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.(13分)。

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第三章三角恒等变换§3．1 和角公式3．1．1两角和与差的余弦课时目标1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．能利用两角和与差的余弦公式进行三角函数式的化简和求值．1．两角差的余弦公式：Cα－β：cos (α－β)＝________________________________________________________．2．两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即： cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]＝________________________________________________＝________________________________________________________________________．一、选择题1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．12．化简cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α得( ) A ．cos α B ．cos βC ．cos (2α＋β)D ．sin (2α＋β)3．化简cos (45°－α)cos (α＋15°)－sin (45°－α)sin (α＋15°)得( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－324．若cos (α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π65．若sin (π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos (θ－φ)的值是( )A ．－55B ．55C ．11525 D ． 56．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos (α－β)的值为( ) A ．12 B ．－32 C ．34 D ．1 二、填空题7．若cos (α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．8．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝12，则tan αtan β＝________．9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos (α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos (α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos (α－β)＝－45，sin (α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos (α－β2)＝－19，sin (α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．第三章三角恒等变换 §3．1 和角公式3．1．1 两角和与差的余弦答案知识梳理1．cos αcos β＋sin αsin β 2．cos αcos (－β)＋sin α·sin (－β) cos αcos β－sin αsin β 作业设计 1．C 2．B3．A [原式＝cos (α－45°)cos (α＋15°)＋sin (α－45°)sin (α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos (－60°)＝12．]4．C [sin (α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝31010， ∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4．]5．B [∵sin (π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35，∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45．∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55．∴cos (θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝55．] 6．B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝1－32①cos α＋cos β＝12 ②①2＋②2⇒cos (α－β)＝－32．] 7．83解析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝83．8．15解析由⎩⎪⎨⎪⎧cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α sin β＝112cos αcos β＝512，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝15．9．－12解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos (α－β)＝－12．10．－π4解析 ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝255，sin β＝31010，∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0．∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22，∴α－β＝－π4．11．解 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，∴sin α＝437，cos α＝17．∵α＋β∈(0，π)，cos (α＋β)＝－1114，∴sin (α＋β)＝5314．∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12． 12．解 ∵π2<α－β<π，cos (α－β)＝－45，∴sin (α－β)＝35．∵32π<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－35， ∴cos (α＋β)＝45．∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1． ∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2． 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2．∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0．∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2．又cos (α－β2)＝－19<0，sin (α2－β)＝23>0，∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2． ∴sin (α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459．cos (α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53．∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)]＝cos (α－β2)cos (α2－β)＋sin (α－β2)sin (α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527．14．解由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1．∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝12，∴β－α＝±π3．∵sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，∴β－α＝π3．。

人教B版高中数学必修四第三章三角恒等变换本章练测()

第三章三角恒等变换（数学人教B版必修4）的两个不等实根，则α+β的值为（）A．B．-C．D．-或10.已知A={sinα，cossinαα，1}，B={sin2α，sinα+cosα，0}，若A=B，则sin2011α+cos2011α=（）A．0B．1C．3D．-1二、填空题（本大题共2小题，每小题6分，共12分.把答案填在题中横线上）11.已知f（cosx）=cos2x，则f（sinx）的表达式为．12.函数y=lg（sinx+cosx）的单调递减区间为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共88分）13.（17分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求函数f（x）在[-，]上的值域．（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．14.（17分）已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．（2）0＜α＜，＜β＜0，且sinβ=，求sinα．15.（18分）已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a-b|=．（1）求cos（α-β）的值；16.（18分）已知函数f （x ）=tanx ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12[f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x ）17.（18分）已知α为第二象限的角，sinα=，β为第一象限的角，cosβ=．求tan（2α-β）的值．第三章三角恒等变换（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题二、填空题11． 12．三、计算题13．14.15.16.17.第三章三角恒等变换（数学人教B版必修4）答案。

人教B版必修4第三章三角恒等变换典型习题(非常不错哦.

三角恒等变换2 1、知识回顾1•两角和与差公式：sin( a + 0) —:sin( a - 0}- cos< Lt * /O =;COM « = /O - hin( o + 0 }=:tim( Of p}2.倍角公式：sin 2(/ 二:tun 2(1 二 cos 2I 7 =1 降幕公式:;cos ft -3. 半角公式:ct cos —J4. 和差化积公式:sin V + sin cos A * cm y =5.积化和差公式: 6»{t ■公」/= a sin A I \ = v// 彳 X sin( A -i-)sm vcos y- :cos A sin y-cos A cos y- sin A sin J =:sin A - sin v = A 三 CDS y =7•常见角的拆分变换；加二3 + #)+(" "}.1 2u—X *口=5 *)-0 =5 -P)+ ”、于打，□托C —+ G+{—_ vJ4 4&换元丛解趣对^ > = d{sill A 土CCS A) +仇in ”丫cos A +丄■型的函数’可来用换？血上求值□^SJ[1 A+ COS A =人则：iitl A • COS A = '从而将原函数转化为二次函数.问题变成在桌一区间I禄二次函数的最f乩、应用举例Leos 7G COS 335 + sill 110 曲25 的借为AIR—r.= /j.=2 2 24S2.A4/?ON COS ?t==.cos —二侧g 厲勺值为-—513”33 "」6 C 16A. - —B. —U —- D.-—65 65 65 653.L2 Jill win 二三一m w f JT‘—人则sin( a +—［的伯为 5 24八忑门込和运… 7伍A------ R ------- f , ------- /X ---------10 10 10 104.打沁AliOV .2 cos Zisiii A= sill仁则A肋f的形状定是…昭) 人等K rm厂旳形/打L ffj工角形仁零腰二ffi形R等边二角形§.化简VSfQS A + s/b sin丸的納果为()A? cuM 巴 - N应2 J?coi^ — - A)C J?eos< —A}DJ J Z CO或一+阴6 3 6 36,L L)JI2 tin a• sin a - 3,a — ,0b WJws( a—)的值是... <2 6肿「•以r 1712知5in(a +)9) = —,sin(a -/?) =—，则"的ffi为210 tan 0,2 , 2」C 3A — B・・—C\・D・・■3 3 2 28.tan 10* tan 20* + VJftan IO* + tan 20°)等T()A—aVic-VI P.I3 9 •设a€ (- —fO) I “€(• —・())«tan ax tan p是方程2 2r -371“ 4 = 0的两个不相等的实根，则a + 0的值为・・・()A —B, - — C. — ZZ ——攻-—3 3 3 3 310.函数r(x)= 2sin Acos x是....... ()从文小II碉期为加的奇函数砒H、iE周期为加的偶曲数C垠小正周期为”的奇旳数D.域小正周期为用的偶旳数2爲11 ,LLS]sin — + cos —= ---- ，贝Ijsin a = , cos 2a =2 23 —12 .若sin( — - a)=[，则cos( — + 2a)6 3 33 打 3 T 1213•已知a♦p€ (^—t 穴)tsinf a + 0) = - — ,sin( 0 -—)=—,4 5 4 13则cos(a + —)=414.若Win X-Vicos A= 2V3sin( x-0),0€ (上二),则卩=2 215 tan 75*-tan 15* 'I + (an 75'tan 15'16.tan 17" Ian 43° + tan 17" tan 30° + tan 43" tan 3(f的值为皿知a为第二象限仏i…沁318.曲数尸2cos' -v+sin 2册故小值为2-cos^lO' 20.(2)31tan(a +—)= - ,tan( //-—) = -, !l!*J lan( a +//)=6 2 6 321 •已知sin tt = —,a e (—■龙).cos 0 二€ (打,—),13 2 5 2求 COS ( U +4 4 JT21 •已知COS( a ■ P) = - ,COS( Of + ^) = —, liar - 0 € (—“).5 5 2a + p € (—,2;r)，求cos 2a,cos 20的值。

高中数学必修四(人教B版)练习：第三章三角恒等变换3.1.3 Word版含解析(1)

3.1.1两角和与差的余弦公式
一．学习要点：两角和与差的余弦公式及其简单应用。

二．学习过程：
1．两角和与差的余弦公式及推导：
公式：
2．公式的结构特征：
3．公式的运用：
例１：求cos105︒及cos15︒的值．
例2：已知
4
cos
52
π
ααπ
⎛⎫
=-<<
⎪
⎝⎭
，求cos
6
π
α
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，cos
6
π
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
．
例3利用两角差的低余弦公式化简下列各式：（1）cos40cos25sin40sin25
︒︒+︒︒（2）sin34sin64sin56sin26
︒︒+︒︒
例4已知()34cos cos ,sin sin .55αβαβαβ+=+=,求cos -的值
巩固练习：
教材135页练习
补充练习：
1．求下列各式的值：
2．已知()34cos cos ,sin sin .55αβαβαβ+=-=+,求cos 的值
3．已知4sin()5αβ+=，12cos()13αβ-=，(,),2
παβπ+∈ (,0)2
παβ-∈-，求cos2α 小结：学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
作业：见作业（25）。

2019-2020学年高中数学第三章三角恒等变换阶段性测试题新人教B版必修4.doc

2019-2020学年高中数学第三章三角恒等变换阶段性测试题新人教B 版必修4一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425[答案] A[解析] ∵α是第二象限角，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.4．下列各式中值为22的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15°C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30° [答案] C[解析] cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22. 5．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为( )A ．66 B ．－66 C ．306D ．－306[答案] D[解析] ∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋232＝－306. 6．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R )， ∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数． 7．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B ．5π4＜θ＜7π4C ．3π2＜θ＜2πD ．π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，得1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22，又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22，由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.8．下列各式与tan α相等的是( ) A ．1－cos2α1＋cos2αB ．sin α1＋cos αC ．sin α1－cos2αD ．1－cos2αsin2α[答案] D[解析] 1－cos2αsin2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α，故选D ．9．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．不确定[答案] A[解析] ∵a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＜2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4. 10．已知cos(x ＋π6)＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32[答案] B[解析] ∵x ∈(0，π)，∴x ＋π6∈(π6，7π6)，又∵cos(x ＋π6)＝35，∴x ＋π6∈(π6，π2)．∴sin(x ＋π6)＝45.sin x ＝sin[(x ＋π6)－π6]＝sin(x ＋π6)cos π6－cos(x ＋π6)sin π6＝32×45－12×35＝43－310. 11．已知f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．12 D ．0[答案] B[解析] f (tan x )＝sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1，∴f (－1)＝－22＝－1. 12．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈[0，π2]的最小值是( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．3D ．1[答案] C[解析] y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin(x ＋π4)＋2，∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴sin(x ＋π4)∈[22，1]，∴y min ＝2×22＋2＝3. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于________．[答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15. 14．求值：tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝________. [答案]3[解析] tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50° ＝tan60°(1－tan10°tan50°)＋3tan10°tan50° ＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3. 15．化简：1＋2sin610°cos430°sin250°＋cos790°＝________.[答案] －1 [解析]1＋2sin610°cos430°sin250°＋cos790°＝1＋＋＋＋＋＋＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝－2－sin70°＋cos70°＝sin70°－cos70°－sin70°＋cos70°＝－1.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π，得k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求：(1)cos x ＋sin x 的值； (2)sin2x ＋2sin 2x1－tan x的值．[解析] (1)由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－45，∴cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)＝－425.(2)cos x ＝cos[(π4＋x )－π4]＝cos(π4＋x )cos π4＋sin(π4＋x )sin π4＝35×22－45×22＝－210. 又由17π12<x <7π4，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－7210，∴tan x ＝7，∴原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.18．(本小题满分12分)(2015·河北邯郸高一期末测试)设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角．(1)若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；(2)若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．[解析] (1)a ·b ＝2＋sin θcos θ＝136，∴sin θcos θ＝16.∵θ为锐角，∴sin θ＋cos θ>0， ∴sin θ＋cos θ＝θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2×16＝233.(2)∵a ∥b ，∴2cos θ－sin θ＝0，∴tan θ＝2. ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝12sin2θ＋32cos2θ ＝sin θcos θ＋3cos 2θ－32＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32 ＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32 ＝2＋35－32＝4－3310. 19．(本小题满分12分)已知sin α＝210，cos β＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β 的值．[解析] ∵sin α＝210，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210.∵cos β＝31010，β为锐角，∴sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫310102＝1010. ∴sin2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35， cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫10102＝45. 又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2β∈(0，π)．而cos2β>0，∴2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∴α＋2β∈(0，π)．又cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4. 20．(本小题满分12分)(2015·重庆文，18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x－32＝sin(2x －π3)－32.因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知，g (x )＝sin(x －π3)－32.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为[12，1]，那么sin(x －π3)－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．[解析] (1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)，∴最小正周期T ＝2π2＝π.∵2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ， ∴对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z . (2)∵x ∈[－π12，π2]，∴2x －π6∈[－π3，5π6]．∴f (x )＝sin(2x －π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.所以函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．22.(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．求g (x )在[0，5π24]上的值域． [解析] (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x＝A (32sin2x ＋12cos2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．∵A >0，由题意知A ＝6.(2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度后，得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图象．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．∵x ∈[0，5π24]，∴4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。

高中数学第三章三角恒等变换章末测试B新人教B版4

高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析